(Resumo Individualizado) Séries de Fourier

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Séries de Fourier 1
Séries de Fourier
As séries de Fourier receberam esse nome em homenagem a Jean Baptiste Joseph 
Fourier (1768-1830). Em 1822, o gênio Fourier teve a brilhante ideia de que qualquer 
função periódica prática pode ser representada como uma soma de senoides. Uma 
representação destas, junto ao teorema de superposição, nos permite encontrar a 
resposta de circuitos para entradas periódicas arbitrárias usando-se técnicas de 
fasores. De acordo com o teorema de Fourier, qualquer função periódica prática de 
frequência pode ser expressa na forma de uma soma infinita de funções seno ou 
cosseno que são múltiplos inteiros de . Ou seja é:
Onde é a chamada frequência fundamental, o coeficiente é a 
componente CC ou o valor médio de f (t) e os coeficientes e (para n ≠ 0) são 
as amplitudes das senoides no componente CA. Ou seja, Série de Fourier de uma 
função periódica f (t) é uma representação que decompõe f (t) em um componente 
CC e outra CA formada por uma série infinita de senoides harmônicas.
Uma função que pode ser representada por uma série de Fourier deve atender a 
certos requisitos, pois a série infinita pode ou não convergir. As condições em 
relação a f (t) que a levem a uma série de Fourier convergente são as seguintes:
 é uma função que apresenta um único valor em qualquer ponto.
 tem um número finito de descontinuidades em qualquer período.
 tem um número finito de máximos e mínimos em qualquer período.
A integral para qualquer .
Os coeficientes de interesse podem ser calculados por:
 e o valor é o valor médio de .
ω0
ω0 f(t)
ω =0
T
2π
a0
an bn
f(t)
f(t)
f(t)
∣f(t)∣dt <∫
t0
t +T0 ∞ t0
a =0 f(t)dt
T
1
∫0
T
a0 f(t)
Séries de Fourier 2
 e 
Sendo periódica, pode ser mais conveniente realizar as integrações anteriores 
a partir de a ou, geralmente, de a , em vez de a . O 
resultado será o mesmo.
Uma forma alternativa á expressão acima é mostrada abaixo, chamada de 
amplitude-fase:
Cujos coeficientes são dados por e 
ou seja:
 e 
Somando os termos um a um, notamos como a superposição dos termos pode 
evoluir para a forma de onda original. Entretanto, na prática, não é possível 
somarmos a série na Equação ao infinito. É possível apenas uma soma parcial (n = 
1, 2, 3, ..., N, em que N é finito). Se representarmos graficamente a soma parcial (ou 
série truncada) ao longo de um período por um N grande, notamos que a soma 
parcial oscila acima e abaixo do valor real de f (t). Na vizinhança dos pontos de 
descontinuidade (nesse caso, para x = 0, 1, 2, ...), existe oscilação com 
transbordamento e amortecimento. De fato, um transbordamento de 
aproximadamente 9% do valor de pico está sempre presente, independentemente do 
número de termos usados para aproximar f (t). Isso é denominado fenômeno de 
Gibbs.
a =n f(t)cos nω t dt
T
2
∫0
T
0 b =n
f(t)sen nω t dt
T
2
∫0
T
0
f  (t)
–T/2 T/2 t0 t +0 T 0 T
a =n A cos ϕn n b =n B sen ϕn n
A =n a + bn2 n2 ϕ =n −tan
−1
an
bn
Séries de Fourier 3
Simetria
Simetria par
Uma função f (t) é par se seu gráfico for simétrico em relação ao êxito 
vertical; isto é . Para tais funções, os coeficientes são:
 e 
Como , a Equação se transforma em uma série cosseno de Fourier. 
Isso faz sentido porque a função cosseno é, por si só, par. Também há um 
sentido intuitivo de que uma função par não contém nenhum termo seno, já 
que a função seno é ímpar.
Simetria ímpar
Diz-se que uma função f (t) é ímpar se seu gráfico for antissimétrico em 
relação ao eixo vertical, ou seja . Para tais funções, os 
coeficientes são:
 e 
Que nos fornece uma série seno de Fourier. Enfatizando, isso faz sentido, 
pois a função seno é, por si só, uma função ímpar. Observe também que não 
existem termos CC para a expansão da série de Fourier de uma função 
ímpar.
O produto de duas funções pares também é uma função par.
f(t) = f(−t)
a =0 f(t) dt
T
2
∫0
T/2
a =n f(t)cos nω t dt
T
4
∫0
T/2
0
b =n 0
b =n 0
f(−t) = −f(t)
a =0 0 a =n 0 b =n f(t)sen nω t dt
T
4
∫0
T/2
0
Séries de Fourier 4
O produto de duas funções ímpares também é uma função par.
O produto de uma função par com uma função ímpar é uma função ímpar.
A soma (ou diferença) de duas funções pares também é uma função par.
A soma (ou diferença) de duas funções ímpares é uma função ímpar.
A soma (ou diferença) de uma função par com uma função ímpar não é nem 
par nem ímpar.
Simetria de meia onda
Uma função é simétrica (ímpar) de meia onda se que 
significa que cada meio ciclo é a imagem espelhada do meio ciclo seguinte.
Note que, para cada função um semiciclo, é a versão invertida do semiciclo 
adjacente. Os coeficientes de Fourier resultam em
 para ímpar, ou 
, para par. Analogamente, 
para ímpar, e para par. 
demonstrando que a série de Fourier de uma função simétrica de meia onda 
contém apenas harmônicas ímpares.
Funções comuns - Tabela
f(t− ) =
2
T
−f(t)
a =o 0 a =n f(t)cos nω t dt
T
4
∫0
T/2
0 n
a =n 0 n b =n f(t)sen nω t dt
T
4
∫0
T/2
0
n b =n 0 n
Séries de Fourier 5
Aplicações em circuitos
Descobrimos que, na prática, muitos circuitos são comandados por funções 
periódicas não senoidais. Encontrar a resposta em regime estacionário de um 
circuito, provocada por uma excitação periódica senoidal, requer a aplicação de 
uma série de Fourier, análise de fasores em CA e o princípio da superposição. O 
procedimento normalmente envolve quatro etapas.
1. Expresse a excitação como série de Fourier.
Séries de Fourier 6
2. Transforme o circuito do domínio do tempo para o domínio da frequência.
3. Determine a resposta das componentes CC e CA na série de Fourier.
4. Some as respostas CC e CA individuais usando o princípio da superposição.
A primeira etapa é determinar a expansão das séries de Fourier da excitação. 
Para uma fonte de tensão periódica, a série de Fourier é expressa como 
Ressaltando que o mesmo poderia ser feito para uma fonte de corrente 
periódica. A Equação acima mostra que v(t) é formada por duas partes: a 
componente CC e a componente CA = com várias harmônicas. 
Essa representação de série de Fourier pode ser considerada um conjunto de 
fontes senoidais ligadas em série, em que cada fonte possui sua própria 
amplitude e frequência.
A terceira etapa é encontrar a resposta para cada termo na série de Fourier. A 
resposta à componente CC pode ser determinada no domínio da frequência, 
fazendo ou , ou no domínio do tempo, substituindo todos os 
indutores por curtos-circuitos e todos os capacitores por circuitos abertos. A 
resposta à componente CA é obtida aplicando-se as técnicas de fasores já 
vistas.
Finalmente, seguindo o princípio da superposição, somamos todas as respostas 
individuais, temos 
Potência média e valores RMS
Para encontrar a potência média absorvida por um circuito devido a uma 
excitação periódica, expressamos tensão e corrente na forma amplitude-
fase, como por exemplo:
 e 
v(t) = V +0 V cos (nω t+
n=1
∑
∞
n 0 θ )n
V0 Vn ∣V ∣∠θn n
n = 0 ω = 0
i(t) = I +0 I cos (nω t+
n=1
∑
∞
n 0 ψ )n
v(t) = V +0 V cos (nω t−
n=1
∑
∞
n 0 θ )n i(t) = I +0
I cos (nω t−
n=1
∑
∞
n 0 ϕ )n
Séries de Fourier 7
Como o cálculo de potência média é realizado através da relação 
, temos finalmente: 
Isso demonstra que, no cálculo da potência média, envolvendo tensão e 
corrente periódicas, a potência média total é a soma das potências média 
em cada tensão e corrente relacionadas harmonicamente.
Caso não tenhamos analiticamente o valor de tensão e corrente sobre o par 
de terminais do resistor, podemos utilizar as relações auxiliares como as 
relações de potência e sabendo que é 
possível encontrar o valor RMS de uma expansão em série de Fourier de 
uma função como:
 ou seja, em termos dos coeficientes de 
fourier 
P =
vidt
T
1
∫0
T
P = V I +dc dc V I cos(θ −2
1
n=1
∑
∞
n n n ϕ )n
P =
R
VRMS
2
P = I RRMS
2
f(t)
F =RMS a + A0
2
2
1
n=1
∑
∞
n
2
a  e bn n F =RMS a + (a + b )0
2
2
1
n=1
∑
∞
n
2
n
2