1

Prévia do material em texto

TRANSFORMADAS: TEMPO 
CONTÍNUO E DISCRETO 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Guilherme Augusto Pianezzer 
 
 
2 
 
CONVERSA INICIAL 
 
Caros alunos! 
 O curso de Transformadas, que se inicia nesta primeira aula, busca trazer 
a você ferramentas de Matemática Avançada que o permitirão resolver 
problemas específicos da área de Engenharia, como aqueles encontrados em 
modelagem de sinais para a Engenharia Elétrica, ou modelagens avançadas de 
fenômenos físicos, como as Equações de Onda, as Equações de Calor ou as 
Equações de Laplace, além de tantas outras. 
 Antes de entrarmos diretamente na temática referente às transformadas, 
essa primeira aula irá apresentar a Série de Fourier e algumas de suas 
propriedades, como a sua continuidade, sua convergência, além de outras 
características. O estudo da Série de Fourier o permitirá compreender os 
fundamentos acerca da Transformada de Fourier. 
 
 
3 
 
TEMA 1: FUNÇÕES PERIÓDICAS; CONVERGÊNCIA UNIFORME 
A Série de Fourier, assunto dessa primeira aula, é considerada como uma 
série trigonométrica de uma função periódica. Visto que uma série trigonométrica 
é uma série escrita em termos de funções trigonométricas e que uma série é a 
soma dos termos de uma sequência, podemos imaginar o formato que a Série 
de Fourier possui. 
Os primeiros exemplos de sequência numérica do qual você aprendeu, 
possivelmente, foi no Ensino Médio, com a progressão aritmética (PA) e a 
progressão geométrica (PG). A sequência numérica infinita é definida como uma 
função discreta cujo domínio é ℕ e seus elementos são denotados por {𝒂𝒏}. Por 
exemplo, os primeiros elementos de uma sequência são: 
𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒏 
Nos casos em que consideremos uma progressão geométrica, 
considerando o primeiro termo 𝒂𝟏, temos os seguintes elementos da sequência: 
𝒂𝟏, 𝒂𝟏. 𝒒, 𝒂𝟏. 𝒒
𝟐, … , 𝒂𝟏. 𝒒
𝒏 
Uma sequência pode ser convergente, ou seja, 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒂𝒏 existe, ou 
divergente caso contrário. A série numérica infinita é definida como a soma de 
todos os termos de uma sequência numérica infinita. Denotando por 𝑺 a série, 
temos que: 
𝑺 = ∑𝒂𝒏
∞
𝒏=𝟏
= 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 +⋯+ 𝒂𝒏 
Assim como para sequência, a série pode ser convergente, ou seja 
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝑺𝒏 = 𝑺 existe, ou divergente caso contrário. Para isso, considera-se 𝑺𝒏 =
𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟑 +⋯+ 𝒂𝒏 como a soma parcial de ordem 𝒏 da série. 
Não é intuitivo perceber que uma soma infinita pode resultar em um 
resultado finito, entretanto, existem algumas séries específicas que, devido a 
características de cada elemento da sequência geram números reais. Vejamos 
o caso da série 
𝑺 = ∑
𝟏
𝒏(𝒏 + 𝟏)
∞
𝒏=𝟏
=
𝟏
𝟏. 𝟐
+
𝟏
𝟐. 𝟑
+
𝟏
𝟑. 𝟒
+ ⋯+
𝟏
𝒏(𝒏 + 𝟏)
+⋯ 
 
 
 
 
4 
 
Nesse caso, 
𝒂𝒏 =
𝟏
𝒏(𝒏 + 𝟏)
 
Com o uso de decomposição em frações parciais, podemos realizar a 
decomposição desta fração em 
𝟏
𝒏(𝒏 + 𝟏)
=
𝟏
𝒏
−
𝟏
𝒏 + 𝟏
 
Portanto, esta série pode ser reescrita: 
𝑺 = ∑
𝟏
𝒏(𝒏 + 𝟏)
∞
𝒏=𝟏
=
𝟏
𝟏. 𝟐
+
𝟏
𝟐. 𝟑
+
𝟏
𝟑. 𝟒
+ ⋯+
𝟏
𝒏(𝒏 + 𝟏)
+⋯ 
𝑺 = ∑
𝟏
𝒏(𝒏 + 𝟏)
∞
𝒏=𝟏
= ∑(
𝟏
𝒏
−
𝟏
𝒏 + 𝟏
)
∞
𝒏=𝟏
= (𝟏 −
𝟏
𝟐
) + (
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟑
) + (
𝟏
𝟑
−
𝟏
𝟒
) +⋯+ (
𝟏
𝒏
−
𝟏
𝒏 + 𝟏
) 
𝑺 = 𝟏 −
𝟏
𝒏 + 𝟏
=
𝒏
𝒏 + 𝟏
 
Veja que, por características de cada elemento alguns fatores foram 
eliminados em cadeia com outros, resultando apenas o termo 
𝒏
𝒏+𝟏
. Perceba 
também que 
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝑺𝒏 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒏
𝒏 + 𝟏
= 𝟏 
Ou seja, essa série numérica infinita é convergente. 
 As séries não precisam ser, necessariamente, séries numéricas. 
Os termos gerais da sequência que o geram podem ser funções. Nesse caso, 
uma série de funções assume a forma: 
∑𝒖𝒏(𝒙)
∞
𝒏=𝟏
= 𝒖𝟏(𝒙) + 𝒖𝟐(𝒙) + 𝒖𝟑(𝒙) + ⋯ 
Por exemplo, se as funções forem potências 𝒖𝒏(𝒙) = 𝒙
𝒏, teremos uma 
série de potências: 
∑𝒙𝒏
∞
𝒏=𝟏
= 𝟏 + 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒 +⋯ 
A Série de Fourier é uma série de funções trigonométricas. Adiantando, 
sua forma é dada por: 
 
 
 
 
5 
 
𝒂𝟎
𝟐
+∑[𝒂𝒏 𝐜𝐨𝐬 (
𝒏𝝅𝒙
𝑳
) + 𝒃𝒏𝒔𝒆𝒏 (
𝒏𝝅𝒙
𝑳
)]
∞
𝒏=𝟏
 
Antes de determinarmos os coeficientes da Série de Fourier de uma 
função periódica dada, podemos utilizar o Teste M de Weierstrass para 
determinar se uma série de funções é convergente ou não. O teste afirma que, 
se cada função 𝒖𝒏(𝒙) for limitada por uma respectiva constante 𝑴𝒏, ou seja, 
−𝑴𝒏 ≤ 𝒖𝒏(𝒙) ≤ 𝑴𝒏 
E ainda, se a série definida pela sequência gerada por cada 𝑴𝒏 convergir, 
em outras palavras, se 
∑𝑴𝒏
∞
𝒏=𝟏
 
Converge, então podemos afirmar que ∑ 𝒖𝒏(𝒙)
∞
𝒏=𝟏 também converge. 
Vejamos o seguinte exemplo: A série 
∑
𝐜𝐨𝐬(𝒏𝒙)
𝒏𝟐
∞
𝒏=𝟏
= 𝐜𝐨𝐬(𝒙) +
𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙)
𝟐𝟐
+
𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)
𝟑𝟐
+
𝐜𝐨𝐬(𝟒𝒙)
𝟒𝟐
 
é convergente. Podemos mostrar esse resultado a partir do Teste M de 
Weierstrass. Lembrando que a função 𝐜𝐨𝐬⁡(𝒙) é limitada em [−𝟏, 𝟏], ou seja 
−𝟏 ≤ 𝐜𝐨𝐬(𝒙) ≤ 𝟏 
Temos que 
−
𝟏
𝒏𝟐
≤
𝐜𝐨𝐬(𝒙)
𝒏𝟐
≤
𝟏
𝒏𝟐
 
Dessa forma, existe uma série definida como 
∑𝑴𝒏
∞
𝒏=𝟏
=
𝟏
𝒏𝟐
 
O qual satisfaz a condição necessária para a validade do Teste M de 
Weierstrass. Podemos testar a convergência da série de funções dada 
indiretamente pela convergência da série de constantes. Como 
∑
𝟏
𝒏𝟐
∞
𝒏=𝟏
=
𝝅𝟐
𝟔
 
 
Concluímos que a série de funções proposta é convergente. 
 
 
 
 
6 
 
A Série de Fourier é uma série utilizada para reescrever uma função dada. 
Iniciam-se os estudos da série de Fourier de uma função periódica, o qual é 
entendida como uma função que se repete após um período fundamental P. 
Portanto, dizemos que uma função periódica é tal que 
𝒇(𝒙 + 𝑷) = 𝒇(𝒙) 
Por exemplo, a função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛⁡(𝑥) é definida como uma função de 
período fundamental 𝑷 = 𝟐𝝅, visto que, acrescido 2𝜋 ao argumento da função, 
seu resultado passa a ser o mesmo. Esse fenômeno pode ser observado no 
gráfico da Figura 1. 
 
Figura 1: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛⁡(𝑥). Função periódica de período fundamental 𝑃 = 2𝜋. Fonte: (O 
autor) 
A função onda triangular, possui período fundamental 𝑃 = 1.0, como pode 
ser observado no gráfico da Figura 2. 
 
Figura 2: Função Onda Triangular. Função periódica de período fundamental 𝑃 = 1.0. 
Fonte: (O autor) 
 
 
7 
 
Compreendendo os conceitos de sequência, série, convergência e 
funções periódicas você conseguirá entender os conceitos abordados no 
próximo tema: A Série de Fourier. 
 
TEMA 2: SÉRIES DE FOURIER: COEFICIENTES; DEFINIÇÃO 
A série de Fourier correspondente a uma função 𝑓(𝑥) periódica é uma 
série trigonométrica infinita dada pela equação 1. 
𝑓(𝑥) =
𝒂𝟎
𝟐
+∑ [𝒂𝒏 𝐜𝐨𝐬 (
𝒏𝝅𝒙
𝑳
) + 𝒃𝒏𝒔𝒆𝒏 (
𝒏𝝅𝒙
𝑳
)]
∞
𝒏=𝟏
 (1) 
Cada elemento da série gerado para cada valor de 𝑛 é chamado de 
harmônico da série, enquanto os termos 𝑎0, 𝑎𝑛 e 𝑏𝑛 são os coeficientes da série. 
Para determinarmos a Série de Fourier relativa a uma função 𝑓(𝑥) dada, 
devemos determinar seus coeficientes. 
Os coeficientes 𝑎𝑛 podem ser obtidos multiplicando a equação 1 por 
cos (
𝑚𝜋𝑥
𝐿
) e integrando ambos os lados de −𝐿 a 𝐿. Nesse caso, reescrevemos a 
equação 1 como se segue: 
∫ 𝑓(𝑥) cos (
𝑚𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
=
𝑎0
2
∫ cos (
𝑚𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
+∑[𝑎𝑛
∞
𝑛=1
∫ cos (
𝑚𝜋𝑥
𝐿
) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
+ 𝑏𝑛∫ cos (
𝑚𝜋𝑥
𝐿
) 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
] 
Essa equação nos traz indicativos de como determinar os coeficientes 𝑎𝑛. 
Para conseguir obter uma expressão simplificada para o coeficiente 𝑎𝑛, devemos 
encontrar a solução de algumas das integrais acima. Entre elas: 
a)∫ cos (
𝑚𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
= 2𝐿 
𝑏)⁡∫ cos (
𝑚𝜋𝑥
𝐿
) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
= {
0, 𝑠𝑒⁡𝑚 ≠ 𝑛
𝐿, 𝑠𝑒⁡𝑚 = 𝑛
 
 
 
8 
𝑐)⁡∫ cos (
𝑚𝜋𝑥
𝐿
) 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
= 0 
O estudante que tiver interesseem conhecer o resultado de cada uma 
dessas integrais pode consultar o material de (KREYSZIG, 2006) ou utilizar 
alguns apêndices presentes em alguns livros de Cálculo Diferencial e Integral. 
Com o resultado dessas integrais em mãos, podemos continuar 
reescrevendo a equação 1, obtendo 
∫ 𝑓(𝑥)
𝐿
−𝐿
cos (
𝑚𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥 = 𝑎𝑚𝐿 
visto que a maior parte desses resultados é 0. Rearranjando os termos, 
obtemos uma expressão que permite achar os coeficientes 𝑎𝑛 da Série de 
Fourier: 
𝑎𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)
𝐿
−𝐿
cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥 
Repare que, no caso em que 𝑛 = 0 e lembrando que cos(0) = 1, 
𝑎0 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
 
De forma equivalente, podemos multiplicar a equação 1 por 𝑠𝑒𝑛 (
𝑚𝜋𝑥
𝐿
) e 
integrar ambos os lados de −𝐿 a 𝐿 para obtermos os coeficientes 𝑏𝑛. 
Reescrevendo como se segue: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
𝑚𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
=
𝑎0
2
∫ 𝑠𝑒𝑛 (
𝑚𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
+∑ [𝑎𝑛∫ 𝑠𝑒𝑛 (
𝑚𝜋𝑥
𝐿
) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
∞
𝑛=1
+∫ 𝑠𝑒𝑛 (
𝑚𝜋𝑥
𝐿
) 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
] 
e utilizando as integrais 𝑎), 𝑏)⁡𝑒𝑐), além da integral 
 
 
9 
𝑑)⁡∫ 𝑠𝑒𝑛 (
𝑚𝜋𝑥
𝐿
) 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥 = {
0, 𝑠𝑒⁡𝑚 ≠ 𝑛
𝐿, 𝑠𝑒⁡𝑚 = 𝑛
𝐿
−𝐿
 
Obtemos uma expressão que permite definir 𝑏𝑛. 
𝑏𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
 
Com esses resultados em mãos, podemos afirmar que algumas funções 
𝑓(𝑥) de período fundamental P possuem uma Série de Fourier dada por: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 𝑓(𝑥) =
𝑎0
2
+∑ [𝑎𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) + 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
∞
𝑛=1
𝑎0 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
𝑎𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
𝑏𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
 
Para entendermos para uma função específica como determinar a sua 
Série de Fourier, vejamos como fazê-lo para o caso em que 
𝑓(𝑥) = {
0, 𝑠𝑒 − 5 < 𝑥 < 0
4, 𝑠𝑒⁡0 < 𝑥 < 5
, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 10) ((2) 
Neste caso, temos que 𝐿 = 5. Vamos determinar o coeficiente 𝑎0 da Série 
de Fourier. Visto que a função é separada por partes, as integrais que serão 
calculadas também deverão ser separadas de acordo com cada intervalo de 
integração: 
𝑎0 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
=
1
5
[∫ 0𝑑𝑥
0
−5
+∫ 4𝑑𝑥
5
0
] =
4
5
[𝑥]0
5 = 4 
Vamos determinar os coeficientes 𝑎𝑛 da Série de Fourier, se atentando a 
separação do intervalo de integração: 
𝑎𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)
𝐿
−𝐿
cos (
𝑛𝜋𝑥
5
)𝑑𝑥 =
1
5
[∫ 0. cos (
𝑛𝜋𝑥
5
)
0
−5
𝑑𝑥 + ∫ 4
5
0
. cos (
𝑛𝜋𝑥
5
) 𝑑𝑥] = 
4
5
[∫ cos (
𝑛𝜋𝑥
5
) 𝑑𝑥
5
0
] = [
4
5
.
5
𝑛𝜋
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
5
)]
0
5
=
4
𝑛𝜋
[𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜋) − 𝑠𝑒𝑛(0)] = 0 
 
 
10 
Também, se atentando a separação do intervalo de integração, iremos 
determinar os coeficientes 𝑏𝑛 da Série de Fourier: 
𝑏𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
=
1
5
[∫ 0. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
5
)𝑑𝑥
0
−5
+∫ 4⁡𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
5
) 𝑑𝑥
5
0
] = 
4
5
∫ cos (
𝑛𝜋𝑥
5
)𝑑𝑥
5
0
= [−
4
5
.
5
𝑛𝜋
. cos (
𝑛𝜋𝑥
5
)]
0
5
= −
4
𝑛𝜋
[cos(𝑛𝜋) − cos(0)] = 
−
4
𝑛𝜋
(cos(𝑛𝜋) − 1) =
4
𝑛𝜋
(1 − cos(𝑛𝜋)) =
4
𝑛𝜋
(1 − (−1)𝑛) 
Como encontramos cada um dos coeficientes 
𝑎0 = 4 
𝑎𝑛 = 0 
𝑏𝑛 =
4
𝑛𝜋
(1 − (−1)𝑛) 
Podemos escrever a Série de Fourier do exemplo dado pela equação 1, 
substituindo os coeficientes obtidos na forma geral da Série de Fourier: 
𝑓(𝑥) = 2 +∑
4
𝑛𝜋
(1 − (−1)𝑛). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
5
)
∞
𝑛=1
 
Para confirmação do aprendizado de como obter a Série de Fourier de 
uma função dada, faremos a realização de mais um exemplo, no qual 
determinaremos a Série de Fourier da função dada pela equação 3: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2, 0 < 𝑥 < 2𝜋, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 2𝜋) (3) 
Vamos determinar 𝑎0. Nesse caso, 
𝑎0 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)
𝐿
−𝐿
𝑑𝑥 =
1
𝜋
∫ 𝑥2𝑑𝑥
2𝜋
0
=
1
𝜋
[
𝑥3
3
]
0
2𝜋
=
8𝜋2
3
 
Vamos determinar 𝑎𝑛. Nesse caso, 
𝑎𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
=
1
𝜋
∫ 𝑥2 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝜋
) 𝑑𝑥
2𝜋
0
=
1
𝜋
∫ 𝑥2 cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
2𝜋
0
 
 
 
11 
Essa integração pode ser resolvida de duas formas distintas, ou através 
do Método de Integração por Partes ou através do Método Tabular, ambos 
aprendidos na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. 
Nesse caso, o uso do Método de Integração por Partes, nos faz obter: 
𝑎𝑛 =
4
𝑛2
 
Vamos determinar 𝑏𝑛. Nesse caso, 
𝑏𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
=
1
𝜋
∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝜋
)𝑑𝑥
2𝜋
0
=
1
𝜋
∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥
2𝜋
0
 
Utilizando o Método de Integração por Partes, obtemos: 
𝑏𝑛 = −
4𝜋
𝑛
 
Dessa forma, podemos escrever a Série de Fourier respectiva a função 
dada no exemplo 3: 
𝑓(𝑥) =
4𝜋2
3
+∑[
4
𝑛2
cos (
𝑛𝜋𝑥
𝜋
) −
4𝜋
𝑛
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝜋
)]
∞
𝑛=1
 
𝑓(𝑥) =
4𝜋2
3
+ 4∑ [
cos(nx)
n2
−
𝜋𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)
𝑛
]
∞
𝑛=1
 
Em um último exemplo para esta temática, veremos qual é a Série de 
Fourier relativa a função da equação 4 
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝜋, −𝜋 < 𝑥 < 𝜋 (4) 
Veja que seu período 𝐿 = ⁡𝜋. Vamos determinar 𝑎0 
𝑎0 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
=
1
𝜋
∫ (𝑥 + 𝜋)𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
=
1
𝜋
[𝑥2 + 𝜋𝑥]−𝜋
𝜋 =
1
𝜋
[2𝜋2 − 0] = 2𝜋. 
Vamos determinar 𝑎𝑛. 
𝑎𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
=
1
𝜋
∫ (𝑥 + 𝜋). cos (
𝑛𝜋𝑥
𝜋
)𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
=
1
𝜋
∫ (𝑥 + 𝜋) cos(𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
= 
 
 
12 
1
𝜋
∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑛𝑥)𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
+
1
𝜋
∫ 𝜋cos⁡(𝑛𝑥)
𝜋
−𝜋
𝑑𝑥 = 0 −
1
𝑛
𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)−𝜋
𝜋 = 0 
Vamos determinar 𝑏𝑛: 
𝑏𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
=
1
𝜋
∫ (𝑥 + 𝜋)𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝜋
)𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
=
1
𝜋
∫ (𝑥 + 𝜋)𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
= 
1
𝜋
∫ 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
+
1
𝜋
∫ 𝜋𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥)𝑑𝑥
𝜋
−𝜋
=
2(−1)𝑛+1
𝑛
 
Assim, podemos a Série de Fourier relativa a função da equação 4 é dada por: 
𝑓(𝑥) = 𝜋 + 2∑
(−1)𝑛+1
𝑛
𝑠𝑒𝑛⁡(𝑛𝑥)
∞
𝑛=1
 
 
TEMA 3: FUNÇÕES SECCIONALMENTE CONTÍNUAS 
Com a apresentação do Tema 2, foi possível definir a Série de Fourier de 
uma função f(x). O cálculo dessa Série de Fourier pode ser simplificado no caso 
em que a função é par e ímpar. Entretanto, nem toda função possui uma Série 
de Fourier própria. É necessário que essa função cumpra algumas exigências, 
em especial, que ela seja uma função seccionalmente contínua. 
Uma função seccionalmente contínua é uma função cujo seu intervalo 
pode ser dividido em um número n finito de sub-intervalos, os quais são, por sua 
vez contínuos. 
A propriedade de continuidade seccional ou continuidade por partes é 
uma das condições necessárias para que a função possua uma Série de Fourier 
convergente. Entretanto, tal condição não é suficiente para este critério. 
A condição necessária e suficiente para que a Série de Fourier de uma 
função f(x) dada é conhecida como condições de Dirichlet, os quais dizem 
respeito a três condições. 
 
 
13 
Em primeiro lugar, a função f(x) precisa ser definida em (L, L). Entretanto, 
esta não precisa estar definida em todos os pontos, podendo existir um número 
finito de pontos no qual não se conhece informações sobre f(x). 
Em segundo lugar, é necessário, mas não suficiente, que a função f(x) 
seja periódica e que seu período fundamental seja P = 2L. Ou seja, que a função 
repete seus valores após cada período P. 
A última condição, necessária, mas não suficiente, para a existência de 
uma Série de Fourier de uma função f(x) é de que, tanto f(x), como f ′(x) sejam 
seccionalmente contínuas em(−L, L). 
Quando uma função atende as três condições, temos as condições 
necessárias de Dirichlet, para a existência de uma Série de Fourier da função 
dada. 
A Série de Fourier da função f(x) dada 
𝑓(𝑥) =
𝑎0
2
+∑ [𝑎𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) + 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
∞
𝑛=1
 
converge quando atende essas condições. Pode-se demonstrar que a 
convergência desses valores é f(x), quando x é um ponto de continuidade 
 Quando x é um pontode descontinuidade, a convergência da Série 
de Fourier da função dada é: 
[ lim
ℎ→0+
𝑓(𝑥 + ℎ)] + [ lim
ℎ→0−
𝑓(𝑥 − ℎ)]
2
⁡ 
 
TEMA 4: SÉRIES DE FOURIER: FUNÇÕES PARES E ÍMPARES 
Como pode ser observado ao longo do desenvolvimento da Série de 
Fourier pra uma função f(x) dada, pode-se notar que os cálculos das integrais 
envolvidas não são elementares e muitas delas levam um tempo excessivo para 
sua resolução. Entretanto, algumas funções específicas, as Funções Pares e as 
Funções Ímpares possuem uma forma simplificada da Série de Fourier, 
conhecida como Série de Fourier de Senos ou Série de Fourier de Cossenos. 
 
 
14 
Essa simplificação será vista em detalhes no Tema 5 desta aula. Antes 
disso, serão definidas funções pares e ímpares e serão investigados quais os 
resultados de algumas integrais notáveis que surgirão na simplificação de 
algumas Séries de Fourier. 
A paridade ou a ímparidade de uma função é uma propriedade de simetria 
que a função possui. Observe que na Figura 3, o gráfico da função f(x) = cos⁡(x) 
possui uma simetria em relação ao eixo das ordenadas: É como se o eixo 
representasse um espelho para a função. 
 
Figura 3: 𝑓(𝑥) = cos(𝑥), exemplo de função par. Fonte: (O autor) 
Nesse caso, definimos, matematicamente, que uma função é par, se 
f(−x) = f(x). 
Para todo x pertencente ao domínio. As funções pares que mais aparecem 
são f(x) = x2, como mostra o gráfico da figura 4 e f(x) = |x|, como mostra o 
gráfico da figura 5. 
 
Figura 4: 𝑓(𝑥) = 𝑥2, exemplo de função par. Fonte: (O autor) 
 
 
15 
 
Figura 5: 𝑓(𝑥) = |𝑥|, exemplo de função par. Fonte: (O autor) 
Uma função é ímpar quando apresenta uma simetria em relação a origem. 
Observe que a função f(x) = sen(x) da Figura 6 é um exemplo de função ímpar. 
 
Figura 6: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), exemplo de função ímpar. Fonte: (O autor) 
Definimos, matematicamente, uma função ímpar, se 
f(−x) = −f(x) 
Para todo x pertencente ao domínio. Uma função ímpar notável, além de 
f(x) = sen(x) é a função f(x) = x3, como mostra a figura 7. 
 
Figura 7: 𝑓(𝑥) = 𝑥3, exemplo de função ímpar. Fonte: (O autor) 
 
 
 
 
 
16 
 
Alguns resultados acerca de funções pares e ímpares precisam ser 
discutidos e entendidos para a simplificação das Séries de Fourier. Para isso, 
seja 
F(x) = f(x). g(x) 
Se as funções f(x) e g(x) forem pares, veja que 
F(−x) = f(−x). g(−x) = f(x). g(x) = F(x), 
Ou seja, F(x) também é par. Se as funções f(x) e g(x) forem ímpares, veja 
que 
F(−x) = f(−x). g(−x) = [−f(x)]. [−g(x)] = f(x). g(x) = F(x) 
Ou seja, F(x) é par. Se uma das funções, digamos, f(x) é par e a outra 
g(x) é ímpar, veja que: 
F(−x) = f(−x)g(−x) = f(x). [−g(x)] = −f(x)g(x) = −F(x) 
Ou seja, F(x) é ímpar. Dessa forma, podemos resumir estes três primeiros 
resultados como: 
a) O produto de duas funções pares é par. 
b) O produto de duas funções ímpares é par. 
c) O produto de uma função par e uma função ímpar é ímpar. 
Além dessas propriedades que nos ajudam a definir que tipo de função 
estamos trabalhando, a Série de Fourier envolve o cálculo de integrais de 
funções que podem ser pares ou ímpares. Nesse caso, veja que, sendo f(x) par 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−𝐿
+∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
+∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
= 2∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
 
O que simplifica o cálculo da integral, principalmente por tornar um dos 
limites de integração nulo. Veja que, sendo f(x) ímpar, 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
0
−𝐿
+∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
= −∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
+∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
= 0 
 
 
17 
Ou seja, a integração de uma função ímpar ao longo de um limite de 
integração simétrico resulta em zero. 
Vejamos como esses resultados podem ser usados para simplificar o 
exemplo dado pela equação 5. 
𝑓(𝑥) = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥). cos(4𝑥) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
 
(5) 
No caso abordado aqui, temos o produto de duas funções sen(x) e 
cos⁡(4x). Como a função sen(x) é ímpar, enquanto cos⁡(4x) é par, então, podemos 
afirmar que sen(x). cos⁡(4x) é uma função ímpar. A integral de uma função ímpar 
em um intervalo de integração simétrica resulta em zero. 
No caso da equação 6, 
𝑔(𝑥) = ∫ cos(2𝑥) . cos(5𝑥) 𝑑𝑥,
𝐿
−𝐿
 
(6) 
temos o produto de duas funções cos⁡(2x) por cos⁡(5x). Como ambas as funções 
são pares, podemos afirmar que cos(2x) . cos⁡(5x) é par. Assim, o cálculo da 
integral pode ser simplificado: 
𝑔(𝑥) = ∫ cos(2𝑥) . cos(5𝑥) . 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
= 2.∫ cos(2𝑥) . cos(5𝑥) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
Em um terceiro caso, indicado pela equação 7, 
ℎ(𝑥) = ∫ x7 cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥,
𝐿
−𝐿
 
(7) 
temos o produto de três funções, x7, cos⁡(x) e sen(4x). Como cos⁡(x) é par e 
sen(4x) é ímpar, seu produto resulta em uma função ímpar. A função x7, assim 
como todos os monômios xn com n ímpar, é ímpar. Nesse caso, o produto das 
três funções resulta em uma função par. O cálculo da integral proposta pode ser 
simplificado: 
ℎ(𝑥) = ∫ 𝑥7 cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
= 2.∫ 𝑥7 cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(4𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
 
 
 
 
18 
 
TEMA 5: SÉRIES DE FOURIER: SENOS E COSSENOS 
Vimos, principalmente ao longo do tema 2, como determinar os 
coeficientes de uma Série de Fourier de uma função f(x)dada. Como visto, 
𝑓(𝑥) =
𝑎0
2
+∑ [𝑎𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) + 𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)]
∞
𝑛=1
𝑎0 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
𝑎𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
𝑏𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
 
Entretanto, no caso em que a função f(x) dada é par ou é ímpar, o cálculo 
dos coeficientes a0, an e bn se tornam mais simplificados. Vejamos o caso em 
que a função f(x) é par no intervalo de −L⁡a⁡L. Nesse caso, 
𝑎0 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
=
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
 
visto que f(x) é uma função par. 
𝑎𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥) cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
=
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)
𝐿
0
cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥⁡ 
visto que 𝑓(𝑥). cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) é uma função par. 
𝑏𝑛 =
1
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
= 0 
visto que 𝑓(𝑥). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) é uma função ímpar. 
Nesse caso, a Série de Fourier pode ser reescrita como 
𝑓(𝑥) =
𝑎0
2
+∑𝑎𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
 
e por se tratar de uma série que não envolve termos de senos é 
considerada como uma Série de Fourier de cossenos. 
No caso em que a função f(x) dada é ímpar no intervalo de −L⁡a⁡L, temos: 
 
 
19 
𝑎0 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
= 0 
visto que 𝑓(𝑥) é uma função ímpar. 
𝑎𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥). cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
= 0 
visto que 𝑓(𝑥). cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) é uma função ímpar. 
𝑏𝑛 = ∫ 𝑓(𝑥). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
−𝐿
= 2.∫ 𝑓(𝑥). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
visto que 𝑓(𝑥). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) é uma função par. Nesse caso, a Série de Fourier pode 
ser escrita como: 
𝑓(𝑥) = ∑𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
 
Neste caso, a Série de Fourier é uma Série de Fourier de senos. 
Vamos determinar a Série de Fourier de algumas funções específicas 
para ver como esta propriedade facilita a escrita da Série de Fourier. Por 
exemplo, podemos determinar para a função dada na equação 8. 
𝑓(𝑥) = {
−𝑥, 𝑠𝑒 − 2 < 𝑥 < 0
𝑥, 𝑠𝑒⁡0 < 𝑥 < 2
 
(8) 
 Veja que a função dada é par. Portanto, sua série de Fourier é 
{
 
 
 
 
 
 𝑓(𝑥) =
𝑎0
2
+∑𝑎𝑛 cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
𝑎0 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
𝑎𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥). cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
Vamos calcular o coeficiente a0: 
𝑎0 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝐿
0
=
2
2
∫ 𝑥𝑑𝑥
2
0
=
𝑥2
2
|
0
2
= 2 
Vamos calcular os coeficientes an: 
𝑎𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥). cos (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
0
=
2
2
∫ 𝑥. cos (
𝑛𝜋𝑥
2
) 𝑑𝑥
2
0
 
Essa integral precisa ser resolvida pelo método de integração por partes, 
conhecido desde o Cálculo Diferencial e Integral. Nesse caso, chamamos 𝑢 = 𝑥, 
 
 
20 
𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋𝑥
2
). Sendo assim, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 e 𝑣 =
2
𝑛𝜋
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
) e pelo método de 
integração por partes 
𝑎𝑛 = ∫ 𝑥. cos (
𝑛𝜋𝑥
2
) 𝑑𝑥2
0
= ∫ 𝑢. 𝑣
2
0
= 𝑢. 𝑣|0
2 −∫ 𝑣. 𝑑𝑢
2
0
 
𝑎𝑛 =
2𝑥
𝑛𝜋
. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
)|
0
2
−∫
2
𝑛𝜋
𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
) 𝑑𝑥
2
0
 
𝑎𝑛 =
2𝑥
𝑛𝜋
. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
) −
4
𝑛2𝜋2
cos (
𝑛𝜋𝑥
2
)|
0
2
 
𝑎𝑛 = −
4
𝑛2𝜋
[cos(𝑛𝜋) − cos(0)] = −
4
𝑛2𝜋2
[(−1)𝑛 − 1] 
Agrupando os termos, podemos escrever a Série de Fourier de cossenos 
da função dada pela equação 8: 
𝑓(𝑥) = 1 −
4
𝜋2
∑
[(−1)𝑛 − 1]
𝑛2
. cos (
𝑛𝜋𝑥
2
)
∞
𝑛=1
 
Como outro exemplo, vamos determinar a Série de Fourier da função 
dada pela equação 9. 
𝑓(𝑥) = 𝑥, −2 < 𝑥 < 2, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 4) (9) 
Veja que a função dada é uma função ímpar o que significa que podemos 
escrever uma Série de Fourier de senos para ela, ou seja: 
{
 
 
 
 𝑓(𝑥) = ∑𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
𝑏𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
Vamos determinar os coeficientes bn neste caso: 
𝑏𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
=
2
2
∫ 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
)𝑑𝑥
2
0
 
Essa integral também é solucionada pelo método de integração por 
partes. Para isso, consideramos u = x e dv = sen (
nπx
2
). Com essa escolha, du =
dx e v = −
2
nπ
cos (
nπx
2
). E pelo método de integração por partes, podemos 
reescrever a integral do cálculo de bn: 
𝑏𝑛 = ∫ 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
) 𝑑𝑥
2
0
= ∫ 𝑢. 𝑑𝑣
2
0
= 𝑢. 𝑣|0
2 −∫ 𝑣. 𝑑𝑢
2
0
 
 
 
21 
𝑏𝑛 = [−
2𝑥
𝑛𝜋
cos (
𝑛𝜋𝑥
2
)]
0
2
−∫ (−
2
𝑛𝜋
cos (
𝑛𝜋𝑥
2
)) 𝑑𝑥
2
0
| 
𝑏𝑛 = −
2𝑥
𝑛𝜋
cos (
𝑛𝜋𝑥
2
) +
2
𝑛𝜋
.
2
𝑛𝜋
. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
)|
0
2
 
𝑏𝑛 = −
4
𝑛𝜋
. cos(𝑛𝜋) = −
4
𝑛𝜋
. (−1)𝑛 
Com a determinação de bn, podemos definir a Série de Fourier de Senos 
da função dada pela equação 9: 
𝑓(𝑥) =
4
𝜋
∑
(−1)𝑛
𝑛
. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
2
)
∞
𝑛=1
 
Como exemplo final, iremos determinar a Série de Fourier da função dada 
pela equação 10: 
𝑓(𝑥) = 2𝑥, −3 < 𝑥 < 3, 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 6) (10) 
Neste último caso, a função tratada possui P = 6 e, portanto, L = 3. Além 
disso, tal função é ímpar o que significa que a sua Série de Fourier é de senos. 
Ou seja, 
{
 
 
 
 𝑓(𝑥) = ∑𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛(
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)
∞
𝑛=1
𝑏𝑛 =
2
𝐿
∫ 𝑓(𝑥). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
) 𝑑𝑥
𝐿
0
 
Vamos determinar os coeficientes bn: 
 
𝑏𝑛 =
2
𝐿
⁡∫ 𝑓(𝑥). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
𝐿
)𝑑𝑥
𝐿
0
=
2
3
∫ 2𝑥. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
3
)𝑑𝑥
3
0
=
4
3
∫ 𝑥. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
3
) 𝑑𝑥
3
0
 
Como no caso anterior, essa integral é solucionada a partir de integração 
por partes. Chamando u = x⁡, dv = sen (
nπx
3
), temos que du = dx e v =
−
3
nπ
cos (
nπx
3
). Logo, 
𝑏𝑛 =
4
3
. [−
3𝑥
𝑛𝜋
. cos (
𝑛𝜋𝑥
3
)|
0
3
+
3
𝑛𝜋
∫ cos (
𝑛𝜋𝑥
3
) 𝑑𝑥
3
0
] 
𝑏𝑛 =
12
𝑛𝜋
. (−1)𝑛+1 
 
 
22 
Assim, podemos escrever a Série de Fourier de senos do exemplo dado 
pela equação 10: 
𝑓(𝑥) =
12
𝜋
∑
(−1)𝑛+1
𝑛
. 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋𝑥
3
)
∞
𝑛=1
 
 
FINALIZANDO 
 
Caros alunos, 
Com esta aula foi possível ter um entendimento inicial do que é a Série de 
Fourier e de como podemos determinar a Série de Fourier de algumas funções 
dadas. Também foi discutido como propriedades específicas das funções tornam 
sua Série mais simplificada. 
Na aula seguinte iremos discutir outros formatos da Série de Fourier, além 
de discutir formas de resoluções de condições de contorno de algumas 
Equações Diferenciais Parciais com a ajuda desta ferramenta. 
 
REFERÊNCIAS 
KREYSZIG, Erwin. Advanced engineering mathematics. 9th ed. [Hoboken]: J. 
Wiley, 2006. 
BOYCE, William E., DiPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares 
e Problemas de Valores de Contorno, 10ª edição. LTC, 02/2015. 
ZILL, Dennis G., CULLEN, Michael R. Matemática Avançada para Engenharia 
- Vol I, 3ª edição. Bookman, 08/2011. 
BRONSON, Richar, COSTA, Gabriel. Equações Diferenciais, 3ª edição. 
Bookman, 01/2008. 
NAGLE, R. K., SAFF, Edward B., SNIDER, Arthur D. Equações Diferenciais, 8ª 
edição. Pearson Education do Brasil, 2012. 
OPPENHEIM, Alan V., SCHAFER, Ronald W. Processamento em tempo 
discreto de sinais, 3ª edição. Pearson Education do Brasil, 2012. 
BRANDAO, João C., ABRAHAM , Alcaim, SAMPAIO, Raimundo N. Princípios 
de Comunicações, Interciência, 2014. 
 
 
23 
DINIZ, Paulo R., DA SILVA, Eduardo B., NETTO, Sergio L. Processamento 
Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas, 2ª edição. Bookman, 
01/2014. 
ALEXANDER, Charles K., SADIKU, Matthew O. Fundamentos de Circuitos 
Elétricos, 5ª edição. AMGH, 03/2013. 
BOYLESTAD, Robert L. – Introdução à Análise de Circuitos, 10ª. Edição. 
Pearson Education do Brasil, 2004 
ÇENGEL, Yunus A., PALM III, William J. Equações Diferenciais. AMGH, 
01/2014. 
NALON, José A. Introdução ao Processamento Digital de Sinais. LTC, 
02/2009. 
OPPENHEIM, Alan V., WILLSKY, Alan S., NAWAB, S. H. Sinais e Sistemas, 2ª 
edição. Pearson Education do Brasil, 2010. 
FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Análise de Fourier e equações diferenciais 
parciais. 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012. 
ZILL, Dennis G., CULLEN, Michael .Matemática Avançada para Engenharia - 
Vol III, 3ª edição. Bookman, 08/2011. 
BRANNAN, James R., BOYCE, William E. Equações Diferenciais uma 
Introdução a Métodos Modernos e suas Aplicações. LTC, 11/2008. 
SPIEGEL, Murray R. Análise de Fourier. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1976 
J., ROBERTS. M. Fundamentos de Sinais e Sistemas. ArtMed, 09/2010. 
HSU, Hwei P. Sinais e Sistemas, 2ª edição. Bookman, 01/2012.