cap 1 6 calculo com funcoes vetoriais

Prévia do material em texto

Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.6 - Ca´lculo com func¸o˜es vetoriais - versa˜o 02/2009 1
Cap´ıtulo 1.6 - Ca´lculo com func¸o˜es vetoriais
1.6.1 - Limites 1.6.3 - Significado geome´trico da derivada
1.6.2 - Derivadas 1.6.4 - Regras de derivac¸a˜o
Utilizaremos agora o ferramental aprendido no curso de Ca´lculo 1 para definir limites e derivadas para
func¸o˜es vetoriais de uma varia´vel real.
1.6.1 - Limites
A noc¸a˜o de limite para uma func¸a˜o F (t) = (x(t), y(t), z(t)) e´ semelhante a` de func¸o˜es de uma varia´vel real
simples. Por isso, vamos primeiro nos lembrar da noc¸a˜o aprendida de limites para uma func¸a˜o f : R → R.
Um limite lim
x→a
f(x) = L significa que, conforme a varia´vel x se aproxima de a, na˜o importa se pela esquerda
ou pela direita, a func¸a˜o f(x) se aproxima cada vez mais de L. Isto e´ ilustrado no exemplo a seguir.
Exemplo 1: calcule lim
x→1
x2.
Soluc¸a˜o: queremos calcular o limite da func¸a˜o f(x) = x2 quando x → 1. Para isso, consideremos nu´meros bem
pro´ximos de 1, dados nas tabelas a seguir. Conforme vamos nos aproximando de x = 1, seja pela esquerda (nu´meros
menores que 1), seja pela direita (nu´meros maiores que 1), o valor de f(x) vai se aproximando de f(x) = 1.
x f(x)
0 0
0, 5 0, 25
0, 75 0, 5625
0, 9 0, 81
0, 99 0, 9801
0, 999 0, 998001
x f(x)
2 4
1, 5 2, 25
1, 25 1, 5625
1, 1 1, 21
1, 01 1, 0201
1, 001 1, 002001
Se pude´ssemos fazer uma aproximac¸a˜o infinita, ter´ıamos
o resultado f(x) = 1. Portanto, podemos escrever
lim
x→1
x2 = 1.
As duas figuras a seguir mostram duas formas diferentes
de visualizarmos o processo do limite deste exemplo.
x
y
−2 −1
0
1 2
1
2
3
4
x
y
−2 −1
0
1 2
1
2
3
4
Exemplo 2: dada a func¸a˜o f(x) =
{
2 + x , x < 4
2− x , x > 4 , calcule limx→4 f(x), se este existir.
Soluc¸a˜o: por aproximac¸o˜es sucessivas, temos
x 3, 9 3, 99 3, 999 3, 9999
f(x) 5, 9 5, 99 5, 999 5, 9999
e
x 4, 1 4, 01 4, 001 4, 001
f(x) −2, 1 −2, 01 −2, 001 −2, 0001 ,
de modo que na˜o existe o limite lim
x→4
f(x).
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.6 - Ca´lculo com func¸o˜es vetoriais - versa˜o 02/2009 2
Para func¸o˜es vetoriais, a regra do limite e´ bastante simples: como uma func¸a˜o vetorial
F (t) = (x1(t), x2(t), · · · , xn(t))
pode ser vista como uma n-upla ordenada de func¸o˜es escalares, o limite de uma func¸a˜o vetorial quando t tende
a um valor t = t0 sera´ o limite das func¸o˜es que a compo˜e, isto e´,
lim
t→t0
F (t) =
(
lim
t→t0
x1(t), lim
t→t0
x2(t), · · · , lim
t→t0
xn(t)
)
.
Exemplo 3: calcule lim
t→1
(t2 − 5, 2t).
Soluc¸a˜o: lim
t→1
(t2 − 5, 2t) = (−4, 2).
Exemplo 4: calcule lim
t→∞
(t− 4t2, t, 1/t).
Soluc¸a˜o: lim
t→∞
(t− 4t2, t, 1/t) = (−∞,∞, 0).
Observe que o limite de uma func¸a˜o vetorial F (t) = (x(t), y(t))
sera´ um elemento do R2. Podemos ainda pensar nesse tipo de li-
mite como sendo um processo segundo o qual estabelecemos inter-
valos cada vez menores em torno de t = t0 e, como consequeˆncia,
temos intervalos cada vez menores em torno do limite, o que e´ re-
presentado na figura ao lado. Isto significa que, se t estiver dentro
de um intervalo aberto ]t0 − δ, t0 + δ[, enta˜o F (t) estara´ dentro
de um c´ırculo (sem a borda), que chamaremos bola aberta, em
torno de L = (x0, y0). Esta e´ a noc¸a˜o mais pro´xima do verdadeiro
conceito de limite, que sera´ estudado mais tarde no contexto de
func¸o˜es de diversas varia´veis.
b
x
y
x0
y0
z
L f
bc
bc
Exemplo 5: calcule lim
t→0
(
sen t
t
, t,
t2 − t
t− 1
)
.
Soluc¸a˜o: esta e´ uma situac¸a˜o em que podemos aplicar o teorema de L’Hoˆpital no limite do primeiro elemento da
terna ordenada (mas na˜o aos outros dois):
lim
t→0
(
sen t
t
, t,
t2 − t
t− 1
)
= lim
t→0
(
cos t
1
, t,
t2 − t
t− 1
)
=
(
cos 0, 0,
0
−1
)
= (1, 0, 0) .
1.6.2 - Derivadas
Lembremo-nos da definic¸a˜o de derivada para func¸o˜es de uma varia´vel real a uma varia´vel real, f : R → R,
como sendo o limite da taxa de variac¸a˜o de uma func¸a˜o quando a variac¸a˜o da varia´vel independente tende a
zero:
f ′(x) =
df
dx
= lim
∆x→0
∆f
∆x
= lim
∆x→0
f(x+∆x)− f(x)
∆x
.
Graficamente, ela coorresponde ao coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (x, f(x)) e
(x+∆x, f(x+∆x)) quando ∆x tende a zero, como e´ mostrado nas figuras a seguir.
y
x
b
bf(x+∆x)
f(x)
x x+∆x
y
x
b
bf(x+∆x)
f(x)
x x+∆x
y
x
b
bf(x+∆x)
f(x)
x x+∆x
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.6 - Ca´lculo com func¸o˜es vetoriais - versa˜o 02/2009 3
Vimos durante o curso de Ca´lculo 1 que existem diversas fo´rmulas e te´cnicas que tornam poss´ıvel derivar
func¸o˜es sem a necessidade de utilizar a definic¸a˜o de derivada. Veremos agora como adaptar essa definic¸a˜o a
func¸o˜es vetoriais. Comec¸amos escrevendo a variac¸a˜o de uma func¸a˜o vetorial com relac¸a˜o ao seu paraˆmetro t
quando este varia em ∆t = h:
∆F = F (t+ h)− F (t) = (x(t+ h), y(t+ h)) − (x(t), y(t)) = (x(t+ h)− x(t), y(t+ h)− y(t)) .
A taxa de variac¸a˜o fica
∆F
∆t
=
(x(t+ h)− x(t), y(t + h)− y(t))
h
.
Pela definic¸a˜o de derivada como o limite de h→ 0, ficamos, enta˜o, com
F ′(t) =
dF
dt
= lim
h→0
∆F
∆t
= lim
h→0
(x(t+ h)− x(t), y(t+ h)− y(t))
h
= lim
h→0
(
x(t+ h)− x(t)
h
,
y(t+ h)− y(t)
h
)
.
De acordo com a definic¸a˜o de limites de func¸o˜es vetoriais vista na sec¸a˜o anterior e com a definic¸a˜o de derivada
de uma func¸a˜o escalar, ficamos com
F ′(t) =
(
lim
h→0
x(t+ h)− x(t)
h
, lim
h→0
y(t+ h)− y(t)
h
)
=
(
x′(t), y′(t)
)
.
Portanto, a derivada de uma func¸a˜o vetorial F (x(t), y(t)) e´ simplesmente o par ordenado formado pelas
derivadas de suas func¸o˜es componentes. A generalizac¸a˜o para uma func¸a˜o de R em Rn,
F (t) = (x1(t), x2(t), · · · , xn(t)) ,
e´ bastante imediata:
F ′(t) =
(
x′1(t), x
′
2(t), · · · , x′n(t)
)
.
Exemplo 1: calcule a derivada de F (t) = (t2 − 1, sen t).
Soluc¸a˜o: F ′(t) = (2t, cos t).
Exemplo 2: calcule a derivada de F (t) = ( et, 2t, ln t).
Soluc¸a˜o: F ′(t) =
(
et, 2t ln 2,
1
t
)
.
O pro´ximo exemplo utiliza a regra da derivada do produto de duas func¸o˜es, (uv)′ = u′v + uv′.
Exemplo 3: calcule a derivada de F (t) = (t cos t, t2 ln t, et sen t).
Soluc¸a˜o: utilizando a derivada do produto,
F ′(t) =
(
1 · cos t+ t(− sen t), 2t ln t+ t2 1
t
, et sen t+ et cos t
)
=
(
cos t− t sen t, 2t ln t+ t, et sen t+ et cos t) .
A regra da cadeia,
df
dx
=
df
dg
dg
dx
, e´ utilizada nos pro´ximos dois exemplos.
Exemplo 4: calcule a derivada de F (t) =
(
cos (2t), e−t
2
, t
)
.
Soluc¸a˜o: F ′(t) =
(
− sen (2t) · 2, e−t2 · (−2t), 1
)
=
(
−2 sen (2t),−2t e−t2, 1
)
.
Exemplo 5: calcule a derivada de F (t) =
(
t sen (2t),
√
t2 − 1, ln sen (2t− 1)
)
.
Soluc¸a˜o: comec¸amos escrevendo F (t) =
(
t sen (2t), (t2 − 1)1/2, ln sen (2t− 1)). A derivada dessa func¸a˜o fica
F ′(t) =
(
1 · sen (2t) + t cos (2t) · 2, 1
2
(t2 − 1)−1/2 · 2t, 1
sen (2t− 1) · cos (2t− 1) · 2
)
=
=
(
sen (2t) + 2t cos (2t), t(t2 − 1)−1/2, 2 cos (2t− 1)
sen (2t− 1)
)
.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.6 - Ca´lculo com func¸o˜es vetoriais - versa˜o 02/2009 4
Um u´ltimo exemplo utiliza a regra da derivada do quociente de duas func¸o˜es,
(u
v
)
′
=
u′v − uv′
v2
.
Exemplo 5: calcule a derivada de F (t) =
(
t2
1− t , tg t
)
.
Soluc¸a˜o: comec¸amos escrevendo F (t) =
(
t2
1− t ,
sen t
cos t
)
. A derivada dessa func¸a˜o fica
F ′(t) =
(
2t(1− t)− 2(−1)
(1− t)2 ,
cos t · cos t− sen t(− sen t)
cos 2t
)
=
(
2t(1− t) + 2
(1− t)2 ,
cos 2t+ sen 2t
cos 2t
)
=
=
(
2t(1− t) + 2
(1− t)2 ,
1
cos 2t)
=
(
2t(1− t) + 2
(1 − t)2 , sec
2 t
)
,
onde utilizamos a relac¸a˜o trigonome´trica fundamental sen 2t+ cos 2t = 1 e a definic¸a˜o da secante.
1.6.3 - Significado geome´trico da derivada
Veremos agora qual e´ a interpretac¸a˜o geome´trica da derivada de uma func¸a˜o vetorial. Consideremos a
primeira figura abaixo, que ilustra a imagem de uma func¸a˜o F (t) = (x(t), y(t), z(t)). Nessa figura esta˜o
destacados dois pontos, F (t0) e F (t0 + h), representados em forma vetorial.
x y
z
b F (t0)
b
F (t0 + h)
x y
z
b
F (t0)
b
F (t0 + h)
∆F
A diferenc¸a entre os dois vetores e´ dada por ∆F = F (t0+h)−F (t0), de modo que F (t0)+∆F = F (t0+h).
Como F (t0 + h) e´ a soma dos vetores F (t0) e ∆F , podemos representar o vetor ∆F como sendo o vetor que
vai de F (t0) a F (t0 + h), como ilustrado na segunda figura acima.
Como a derivada e´ o limite de uma taxa de variac¸a˜o
∆F
h
, ela tera´ a mesma direc¸a˜o de ∆F quando h tende
a zero. O pro´ximo exemplo calcula va´rias aproximac¸o˜es da derivada de uma func¸a˜o vetorial e ilustra o que
acontece graficamente.
Exemplo 1: calcule aproximac¸o˜es sucessivas da derivada da func¸a˜o F (t) = (2 cos (3t), 2 sen (3t), t+ 1).
Soluc¸a˜o: a tabela a seguir mostra os valores da func¸a˜o para t = 1, t = 1, 01, t = 1, 1 e t = 1, 5 usando quatro casas
decimais de precisa˜o.
t x(t) y(t) z(t)
1 −1, 9800 0, 2822 2
1, 01 −1.9876 0, 2227 2, 01
1, 1 −1, 9750 −0, 3155 2, 1
1, 5 −0, 4216 −1, 9551 2, 5
Esses valores sa˜o utilizados para calcular as taxas de variac¸a˜o a seguir. As respectivas taxas de variac¸a˜o,
expressas como vetores partindo de F (1), sa˜o representadas graficamente ao lado de cada ca´lculo.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.6 - Ca´lculo com func¸o˜es vetoriais - versa˜o 02/2009 5
• Entre t = 1 e t = 1, 5:
∆F
∆h
=
F (1, 5)− F (1)
1, 5− 1 ≈
≈ (−0, 4216,−1, 9551, 2, 5)− (−1, 9800, 0, 2822, 2)
0, 5
=
=
(1, 5584,−2, 2373, 0, 5)
0, 5
≈ (3, 1168,−4, 4746, 1) .
x y
z
b
F (1)
b
F (1, 5)
∆F
• Entre t = 1 e t = 1, 1:
∆F
∆h
=
F (1, 1)− F (1)
1, 1− 1 ≈
≈ (−1, 9750,−0, 3155, 2, 1)− (−1, 9800, 0, 2822, 2)
0, 1
=
=
(0, 0050,−0, 5977, 0, 1)
0, 1
≈ (0, 0502,−5, 9773, 1) .
x y
z
b
F (1)b
F (1, 1)
∆F
• Entre t = 1 e t = 1, 01:
∆F
∆h
=
F (1, 01)− F (1)
1, 01− 1 ≈
≈ (−1, 9876, 0, 2227, 2, 01)− (−1, 9800, 0, 2822, 2)
0, 01
=
=
(−0, 0076,−0, 0595, 0, 01)
0, 01
≈ (−0, 7575,−5, 9518, 1) .
x y
z
b
F (1)b
F (1, 01)
∆F
Dos nu´meros e das figuras, deve-se observar que, primeiro, ao contra´rio do vetor diferenc¸a, ∆F , o mo´dulo do
vetor derivada na˜o diminui necessariamente conforme h diminui. Em segundo lugar, pode-se observar das figuras
que o vetor derivada F ′(t0) e´ tangente ao vetor F (t0).
1.6.4 - Regras de derivac¸a˜o
Como vimos no cap´ıtulo anterior, podemos somar duas func¸o˜es vetoriais, multiplicar uma func¸a˜o vetorial
por um escalar e calcular o produto interno entre duas func¸o˜es vetoriais. Veremos agora como funcionam as
regras de derivac¸a˜o para essas operac¸o˜es.
a) Derivada da soma
Considerando que, dadas F (t) = (x1(t), x2(t), · · · , xn(t)) e G(t) = (y1(t), y2(t), · · · , yn(t)), a sua soma fica
F (t) +G(t) = (x1(t) + y1(t), x2(t) + y2(t), · · · , xn(t) + yn(t)) ,
a derivada dessa soma fica
[F (t) +G(t)]′ =
(
x′1(t) + y
′
1(t), x
′
2(t) + y
′
2(t), · · · , x′n(t) + y′n(t)
)
=
=
(
x′1(t), x
′
2(t), · · · , x′n(t)
)
+
(
y′1(t), y
′
2(t), · · · , y′n(t)
)
= F ′(t) +G′(t) .
Portanto, temos a seguinte regra para a derivada da soma de duas func¸o˜es vetoriais:
[F (t) +G(t)]′ = F ′(t) +G′(t) ,
ou seja, a derivada da soma e´ a soma das derivadas.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.6 - Ca´lculo com func¸o˜es vetoriais - versa˜o 02/2009 6
Exemplo 1: calcule [F (t) +G(t)]′, onde F (t) = (5,−t, t3) e G(t) = (t, 2− t, t2).
Soluc¸a˜o: [F (t) +G(t)]′ = F ′(t) +G′(t) = (0,−1, 3t2) + (1,−1, 2t) = (1,−2, 3t2 + 2t).
b) Derivada do produto por um escalar
Dada uma func¸a˜o vetorial F (t) = (x1(t), x2(t), · · · , xn(t)), o seu produto por um escalar α ∈ R fica
αF (t) = (αx1(t), αx2(t), · · · , αxn(t)) .
A derivada dessa operac¸a˜o fica
[αF (t)]′ =
(
αx′1(t), αx
′
2(t), · · · , αx′n(t)
)
= α
(
x′1(t), x
′
2(t), · · · , x′n(t)
)
= αF ′(t) .
Portanto, temos a seguinte regra para a derivada do produto de uma func¸a˜o vetorial por um escalar:
[αF (t)]′ = αF ′(t) .
Exemplo 1: calcule [3F (t)]′, onde F (t) = ( sen t, et, t).
Soluc¸a˜o: [3F (t)]
′
= 3F ′(t) = 3( cos t, et, 1) = (3 cos t, 3 et, 3).
c) Derivada do produto interno
Dadas F (t) = (x1(t), x2(t), · · · , xn(t)) e G(t) = (y1(t), y2(t), · · · , yn(t)), o produto interno entre elas fica
〈F (t), G(t)〉 = x1(t)y1(t) + x2(t)y2(t) + · · · + xn(t)yn(t) ,
de modo que a derivada fica
〈F (t), G(t)〉′ = x′1(t)y1(t) + x1(t)y′1(t) + x′2(t)y2(t) + x2(t)y′2(t) + · · · + x′n(t)yn(t) + xn(t)y′n(t) =
= x′1(t)y1(t) + x
′
2(t)y2(t) + · · ·+ x′n(t)yn(t) + x1(t)y′1(t) + x2(t)y′2(t) + · · ·+ xn(t)y′n(t) =
=
〈
F ′(t), G(t)
〉
+
〈
F (t), G′(t)
〉
.
Portanto, temos a seguinte regra para a derivada do produto interno entre duas func¸o˜es vetoriais:
〈F (t), G(t)〉′ = 〈F ′(t), G(t)〉 + 〈F (t), G′(t)〉 .
Exemplo 1: calcule 〈F (t), G(t)〉′, onde F (t) = (1, t,−t) e G(t) = (t, 1 + t, 1− t).
Soluc¸a˜o: 〈F (t) +G(t)〉′ = 〈F ′(t), G(t)〉 + 〈F (t), G′(t)〉 = 〈(0, 1,−1), (t, 1 + t, 1− t)〉+ 〈(1, t,−t), (1, 1,−1)〉 =
= 1 + t− 1 + t+ 1 + t+ t = 1 + 4t.
Observac¸a˜o: geralmente, e´ mais fa´cil fazer primeiro o produto interno entre duas func¸o˜es vetoriais e depois
derivas o resultado em vez de utilizar a fo´rmula aqui deduzida.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.6 - Ca´lculo com func¸o˜es vetoriais - versa˜o 02/2009 7
Resumo
• Limite de uma func¸a˜o vetorial. lim
t→t0
F (t) =
(
lim
t→t0
x1(t), lim
t→t0
x2(t), · · · , lim
t→t0
xn(t)
)
.
• Derivada de uma func¸a˜o vetorial. F ′(t) = (x′1(t), x′2(t), · · · , x′n(t)).
• Significado geome´trico da derivada. O vetor derivada de uma func¸a˜o para um valor t = t0,
F ′(t0), e´ perpendicular ao vetor F (t0).
• Derivada da soma. [F (t) +G(t)]′ = F ′(t) +G′(t).
• Derivada do produto por um escalar. [αF (t)]′ = αF ′(t), α ∈ R.
• Derivada do produto interno. 〈F (t), G(t)〉 = 〈F ′(t), G(t)〉 + 〈F (t), G′(t)〉.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.6 - Ca´lculo com func¸o˜es vetoriais - versa˜o 02/2009 8
Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 1.6
Nı´vel 1
Limite de uma func¸a˜o vetorial
Exemplo 1: calcule lim
t→1
t2 − 1
t− 1 .
Soluc¸a˜o: lim
t→1
t2 − 1
t− 1 = limt→1
(t+ 1)(t− 1)
t− 1 = limt→1(t+ 1) = 2,
E1) Calcule os seguintes limites:
a) lim
t→0
(
2t+ 1
t− 4 ,
t2 − 1
2t− 1
)
. b) lim
t→∞
(
t2 + 4
2t2 − 1 ,
1
t
, t− t2
)
. c) lim
t→0
(
cos t− 1
t
,
t2 − 1
t2
,
sen t
t
)
.
d) lim
t→1
(
1
t− 1 ,
1
t
)
.
Derivadas de func¸o˜es vetoriais
Exemplo 2: calcule a derivada de F (t) =
(
t cos t, ln(3t),
√
t
)
.
Soluc¸a˜o: F ′(t) =
(
cos t− t sen t, 1
3t
· 3, 1
2
t−1/2
)
=
(
cos t− t sen t, 1
t
,
1
2
√
t
)
.
E2) Calcule as derivadas das seguintes func¸o˜es:
a) F (t) = (1 + t2, t, 1− 2t). b) F (t) = (2 sen t, et, 2 ln t). c) F (t) = (3 cos t, 3t, log2 t, 3).
d) F (t) = (ln(5t), cos t2). e) F (t) = (
√
4− t2, 1
2t− 4 , e
−2t3).
f) F (t) =
(
sen
(
ln(1− t3)) , 3t− 8√
1− t3
)
. g) F (t) =
(
t cos t, t2 ln t, t− t3 sen t).
h) F (t) =
(
t2
√
t2 − 4, t ln(1− t2), t et sen t
)
. i) F (t) =
(
1− t
2 + t2
,
ln t
2 + sen t
)
.
Derivadas de operac¸o˜es com func¸o˜es vetoriais
Exemplo 3: dadas F (t) = (1 + t, 2− t) e G(t) = (t2, 1− 2t), calcule [F (t)−G(t)]′ e [〈F (t), G(t)〉]′.
Soluc¸a˜o: [F (t)−G(t)]′ = F ′(t) − G′(t) = (1,−1) − (2t,−2)= (1 − 2t, 1) e [〈F (t), G(t)〉]′ = 〈F ′(t), G(t)〉+
+ 〈F (t), G′(t)〉 = 〈(1,−1), (t2, 1− 2t)〉+ 〈(1 + t, 1− t), (2t,−2)〉 = t2 − 1 + 2t+ 2t+ 2t2 − 2 + 2t = 3t2 + 6t− 3.
E3) Dadas as func¸o˜es F (t) = (t, t− 1, 2), G(t) = (1 + t, t2,−t) e H(t) = (0,−1, t), calcule:
a) [F (t) +G(t)]′. b) [3G(t)]′. c) [2F (t) +G(t)−H(t)]′. d) [〈F (t),H(t)〉]′.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.6 - Ca´lculo com func¸o˜es vetoriais - versa˜o 02/2009 9
Nı´vel 2
E1) Verifique se F (t)
{
tg t
t
, t 6= 0
1 , t = 0
e´ cont´ınua em t = 0.
E2) Dada a func¸a˜o F (t) = ( cos t, sen t), mostre que F ′(t) e´ ortogonal a F (t) para todo t ∈ R.
E3) Calcule um vetor tangente a F (t) = (t, 1 + t2, 2− t2) em t = 1 que tenha mo´dulo 1.
E4) Definindo F ′′(t) como a derivada segunda de F (t), ou seja, F ′′(t) = [F ′(t)]′, calcule a derivada segunda de
F (t) = ( cos (wt+ ϕ), sen (wt+ ϕ)), onde w e ϕ sa˜o constantes, e mostre que F ′′(t) = −w2F (t).
E5) Mostre que as curvas dadas pelas imagens de F (t) =
(
et, 2− et, 2 e3t) e G(t) = ( sen t, 1 + cos t, 3− sen t)
se cruzam no ponto (1, 1, 2).
Nı´vel 3
E1) Dada uma func¸a˜o F (t) deriva´vel ate´ pelo menos a primeira ordem:
a) prove que G(t) =
F (t)
||F (t)|| tem norma 1.
b) prove que G′(t) e´ ortogonal a G(t) para todo t ∈ D(G).
c) prove que F ′(t) =
1
2||F (t)||G(t) + ||F (t)||G
′(t).
E2) Calcule o aˆngulo entre os vetores tangentes a F (t) =
(
1− t2, 2 + t, t3) e G(t) = ( cos t, 2− sen t, 2 sen t) no
ponto onde as imagens dessas curvas se cruzam.
E3) Mostre que a norma da projec¸a˜o da derivada da func¸a˜o F (t) =
(
sen (rt), cos (rt), sen 2(rt)
)
sobre a func¸a˜o
G(t) = ( cos (rt),− sen (rt), 0) e´ constante.
Respostas
Nı´vel 1
E1) a)
(
−1
4
, 1
)
. b)
(
1
2
, 0,−∞
)
. c) (0,−∞, 1). d) Na˜o existe o limite.
E2) a) F ′(t) = (2t, 1,−2). b) F ′(t) =
(
2 cos t, et,
2
t
)
. c) F ′(t) =
(
−3 sen t, 3t ln 3, 1
t ln 2
, 0
)
.
d) F ′(t) =
(
1
t
,−2t sen t2
)
. e) F ′(t) =
( −t√
4− t2 ,
−2
(2t− 4)2 ,−6t
2 e−t
3
)
.
f) F ′(t) =
( −3t2
1− t3 cos
(
ln(1− t3)) , 3− 12t2
(1− t3)3/2
)
.
g) F ′(t) =
(
cos t− t sen t, 2t ln t+ t, 1− 3t2 sen t− t3 cos t).
h) F ′(t) =
(
2t
√
t2 − 4 + t
3
√
t2 − 4 , ln(1− t
2)− 2t
2
1− t2 , e
t sen t+ t et sen t+ t et cos t
)
.
i) F ′(t) =
(
t2 − 2t− 2
(2 + t)2
,
(1/t)(2 + sen t)− ln t cos t
(2 + sen t)2
)
.
E3) a) (2, 2t+ 1,−1). b) (3, 6t,−3). c) (3, 2t+ 2,−2). d) 1.
Ca´lculo 2 - Cap´ıtulo 1.6 - Ca´lculo com func¸o˜es vetoriais - versa˜o 02/2009 10
Nı´vel 2
E1) Ela e´ cont´ınua em t = 0.
E2) F ′(t) = (− sen t, cos t), de modo que 〈F (t), F ′(t)〉 = 〈( cos t, sen t), (− sen t, cos t)〉 = − sen t cos t+ sen t cos t = 0, de
modo que F (t) e F ′(t) sa˜o ortogonais.
E3)
F ′(1)
||F ′(1)|| =
(
1
3
,
2
3
,−2
3
)
. Outra soluc¸a˜o seria o vetor inverso a este: − F
′(1)
||F ′(1)|| =
(
−1
3
,−2
3
,
2
3
)
.
E4) F ′′(t) =
(−w2 cos (wt+ ϕ),−w2 sen (wt+ ϕ)) = −w2F (t).
E5) F (0) = G(pi/2).
Nı´vel 3
E1) a) ||G(t)|| =
∣∣∣∣
∣∣∣∣ F (t)||F (t)||
∣∣∣∣
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 1||F (t)||
∣∣∣∣ ||F (t)|| = 1||F (t)|| ||F (t)|| = 1.
b) Como a norma de G(t) e´ 1, enta˜o sua derivada e´ nula, o que significa que
d||G(t)||
dt
= 0⇔ d
dt
√
〈G(t), G(t)〉 = 0⇔ 1
2
(〈G(t), G(t)〉)−1/2 [〈G(t), G(t)〉]′ = 0⇔
⇔ 1
2
√
〈G(t), G(t)〉 [〈G
′(t), G(t)〉 + 〈G(t), G′(t)〉] = 0⇔ 2 〈G(t), G′(t)〉 = 0⇔ 〈G(t), G′(t)〉 = 0 .
c) Dado que G(t) =
F (t)
||F (t)|| , enta˜o F (t) = ||F (t)||G(t). Derivando essa expressa˜o, temos
F ′(t) = [||F (t)||]′G(t) + ||F (t)||G′(t) =
[√
〈F (t), F (t)〉
]
′
G(t) + ||F (t)||G′(t) =
=
1
2
[〈F (t), F (t)〉]−1/2 G(t) + ||F (t)||G′(t) = 1
2||F (t)||G(t) + ||F (t)||G
′(t) .
E2) As curvas se cruzam em (1, 2, 0) e o aˆngulo pedido e´ θ = arccos
(−1√
5
)
≈ 116o.
E3) A derivada de F (t) e´ F ′(t) = (r cos (rt),−r sen (rt), 2r sen (rt) cos (rt)) e a sua projec¸a˜o sobre a curva G(t) fica
PGF = (r cos (t),−r sen (rt), 0), de modo que ||PGF || = r, que e´ constante.