Cálculo A - Funções de uma Variável

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO 
RIO GRANDE DO SUL 
FACULDADE DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Material elaborado pelo Prof. Francisco Leal Moreira 
 
SUMÁRIO 
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL .................................................................................................................... 1 
1. INTRODUÇÃO......................................................................................................................................... 1 
2. FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR......................................................................................................... 4 
3. ZEROS DE UMA FUNÇÃO ..................................................................................................................... 4 
4. TRANSLAÇÕES E REFLEXÕES DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES......................................................... 5 
4.1. Translações Verticais ......................................................................................................................... 5 
4.2. Translações Horizontais..................................................................................................................... 5 
4.3. Reflexões............................................................................................................................................. 5 
5. FUNÇÃO POLINOMIAL......................................................................................................................... 6 
5.1. Função constante................................................................................................................................ 6 
5.2. Função polinomial de 1o grau ............................................................................................................ 6 
5.3. Função polinomial de 2o grau(função quadrática) ............................................................................ 8 
5.4. Função potência ................................................................................................................................. 9 
6. FUNÇÃO RACIONAL .............................................................................................................................. 9 
7. FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA ...................................................................................................................... 10 
8. FUNÇÕES DEFINIDAS POR MAIS DE UMA LEI................................................................................ 10 
9. FUNÇÃO VALOR ABSOLUTO ............................................................................................................. 11 
9.1. Interpretação geométrica ................................................................................................................. 11 
9.2. Propriedades do valor absoluto ....................................................................................................... 11 
10. OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM FUNÇÕES................................................................................. 12 
11. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES ............................................................................................................. 12 
12. FUNÇÃO INVERSA.............................................................................................................................. 13 
13. FUNÇÃO EXPONENCIAL ................................................................................................................... 14 
13.1. Função Exponencial Natural........................................................................................................... 16 
13.2. Crescimento e Decrescimento Exponencial .................................................................................... 16 
14. FUNÇÃO LOGARITMO ...................................................................................................................... 17 
14.1. Propriedades dos Logaritmos ......................................................................................................... 17 
14.2. Função Logaritmo Natural............................................................................................................. 17 
14.3. Mudança de Base ............................................................................................................................ 18 
15. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ....................................................................................................... 21 
15.1. Revisão de Trigonometria no Triângulo Retângulo ........................................................................ 21 
15.2. Radiano ........................................................................................................................................... 23 
15.3. Ciclo Trigonométrico ...................................................................................................................... 23 
15.4. Funções Seno e Cosseno.................................................................................................................. 24 
15.5. As Demais Funções Trigonométricas .............................................................................................. 25 
15.6. Relações Importantes ...................................................................................................................... 25 
15.7. Adição e Subtração de Arcos........................................................................................................... 25 
16. RESPOSTAS.......................................................................................................................................... 26 
LIMITES E CONTINUIDADE........................................................................................................................ 30 
1. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE.......................................................................................................... 30 
2. LIMITES LATERAIS.............................................................................................................................. 31 
3. FUNÇÃO CONTÍNUA NUM PONTO ................................................................................................... 33 
4. FUNÇOES BÁSICAS CONTÍNUAS...................................................................................................... 33 
5. PROPRIEDADES OPERATÓRIAS........................................................................................................ 34 
6. LIMITES INFINITOS ............................................................................................................................. 34 
7. ASSÍNTOTA VERTICAL....................................................................................................................... 35 
8. LIMITES NO INFINITO ......................................................................................................................... 36 
9. ASSÍNTOTA HORIZONTAL................................................................................................................. 37 
10. RESPOSTAS.......................................................................................................................................... 37 
DERIVADAS................................................................................................................................................... 38 
1. TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO(TMV).................................................................................................. 38 
2. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO ................................................................................... 39 
3. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA .............................................................. 39 
4. REGRAS DE DERIVAÇÃO ...................................................................................................................39 
4.1. Derivada da Função Constante...................................................................................................... 39 
4.2. Derivada da Função Identidade..................................................................................................... 39 
4.3. Derivada da Função Exponencial Natural..................................................................................... 39 
4. 4. Derivada da Função Logaritmo natural ....................................................................................... 39 
4. 5. Derivada da Função Seno ............................................................................................................. 39 
4. 6. Derivada da Função Cosseno ....................................................................................................... 40 
4.7. Derivada da Soma de duas Funções.............................................................................................. 40 
4. 8. Derivada do Produto de uma constante por uma Função.............................................................. 40 
4. 9. Derivada da Função Potência....................................................................................................... 40 
4. 10. Derivada do Produto de duas Funções ......................................................................................... 40 
4. 11. Derivada do Quociente de duas Funções ...................................................................................... 41 
5. DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA................................................................................................ 41 
5.1. Derivada da Composta da Função Potência com uma Função f ..................................................... 41 
5.2. Derivada da Composta da Função Logaritmo Natural com uma Função f ...................................... 41 
5.3. Derivada da Composta da Função Exponencial Natural com uma Função f .................................. 41 
5.4. Derivada da Composta da Função Seno com uma Função f ........................................................... 42 
5.5. Derivada da Composta da Função Cosseno com uma Função f...................................................... 42 
6. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA......................................................................... 43 
7. TAXA DE VARIAÇÃO .......................................................................................................................... 44 
8. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR ................................................................................................. 44 
9. REGRA DE L’HOPITAL......................................................................................................................... 45 
10. ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO.................................................................. 45 
10.1. Ponto Crítico .................................................................................................................................. 45 
10.2. Função Crescente e Função Decrescente ...................................................................................... 45 
10.3. Determinação dos Intervalos de Crescimento e Decrescimento .................................................... 46 
10.4. Determinação dos Extremos Relativos de uma Função ................................................................. 46 
10.5. Concavidade e Inflexão .................................................................................................................. 47 
10.6. Taxa de Variação de uma Taxa de Variação .................................................................................. 49 
11. RESPOSTAS ......................................................................................................................................... 50 
INTEGRAL INDEFINIDA .............................................................................................................................. 53 
1. PRIMITIVA.............................................................................................................................................. 53 
2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA.................................................... 53 
3. REGRAS DE INTEGRAÇÃO.................................................................................................................. 54 
4. RESPOSTAS............................................................................................................................................ 58 
 
INTEGRAL DEFINIDA....................................................................................................................................60 
1. PRIEDADES BÁSICAS..............................................................................................................................60 
2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA..........................................................61 
3. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS................................................................................................................62 
4. RESPOSTAS...............................................................................................................................................62 
 
BIBLIOGRAFIA:............................................................................................................................................. 63 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
Exemplo: Quando dizemos que o volume ocupado por uma massa constante de um gás, em condições de 
 
pressão constante, depende unicamente da temperatura do gás, queremos dizer que conhecida a medida da 
 
temperatura T , podemos determinar o seu volume V, através da expressão V = kT . 
 
 A equação V = kT , onde k é uma constante, define V como função de T , pois dado o valor da variável 
 
independente T , existe, em correspondência, um único valor para a variável dependente V. 
 
Uma relação deste tipo é denominada de função de uma variável. 
 
 
 Uma grandeza y é uma função de outra grandeza x, se a cada valor de x estiver associado um único valor 
 
de y. Dizemos que y é o valor da função ou a variável dependente, e x a variável independente. Escrevemos 
 
y = f(x), onde f é o nome da função. 
 
O domínio da função é um conjunto de possíveis valores da variável independente e a imagem é o conjunto 
 
correspondente de valores da variável dependente. 
 
 
 As funções de uma variável podem ser representadas por meio de tabelas, gráficos e fórmulas. Observe o 
 
exemplo a seguir. 
 
 A tabela abaixo, construída experimentalmente, apresenta a relação entre pressão e volume de um gás ideal 
 
numa certa temperatura. 
 
 
 P(atm) 1 2 4 5 8 10 
 
 V(L) 40 20 10 8 5 4 
 
 
 Observe que a cada valor de V esta associado um único valor de P e vice versa. Portanto, podemos pensar 
 
numa função de V em P ou numa função de P em V. Na físico-química, considera-se P com função de V, 
 
sendo então V a variável independente e P a variável dependente. 
 
 
 Nota: As tabelas são importantes porque com freqüência é a forma como as funções aparecem 
 
 
 
 
 2
 Esta mesma função de V em P, poderia ser dada através do gráfico abaixo. 
 
 P(atm) 
 10 
 
 85 
 4 
 
 2 
 1 
 
 0 4 5 8 10 20 40 V(L) 
 Notas: 
 
 a) A variável independente V não é uma variável discreta e sim uma variável continua, pois assume 
 
 valores numéricos num intervalo e não valores isolados. 
 
 b) Através do gráfico podemos perceber propriedades globais rapidamente, por exemplo: domínio, 
 
 imagem, velocidades de crescimento e decrescimento, etc... 
 
 
 Outra forma de apresentar esta função de V em P é através de uma fórmula. 
 
 Da tabela, P.V = 40 e portanto a função pode ser dada pela equação P
V
40= . 
 
 Nota: As fórmulas são exatas e sujeitas à análise. 
 
 
E1) Qual o significado de f(x) = x2 , x2 4≤ , x2= 4 ? 
E2) Esboce os gráficos de f(x) =
xx
xx
2
3
−
− , g(x) = x4 – 2x2 e h(x) = x2+ 2x – 3, mostrando as 
 intersecções com os eixos coordenados. 
 
E3) Qual a solução da inequação , x2 4≤ ? 
 
E4) Qual o significado de x2 + y2 =4 ? A equação define uma função do tipo y = f(x)? 
 
E5) Interprete as equações y = f(x) = x2 , v = f(t) = t2 , v = f(x) = t2. 
 
E6) Você tem um orçamento fixo de R$ 50,00 para gastar com refrigerantes e óleo de bronzear, que custam 
 
 R$1,00 e R$20,00 por litro, respectivamente. 
 
a) Obtenha uma equação expressando a relação entre o número de litros de refrigerante e o número de 
 
 litros de óleo de bronzear que você pode comprar caso use todo o seu orçamento. (Esta equação é sua 
 
 restrição orçamentária.) 
 3
 
b)Esboce o gráfico da restrição orçamentária supondo que você possa comprar frações de litro. Indique 
 
 as intersecções com os eixos vertical e horizontal. 
 
c) Suponha que seu orçamento de repente é dobrado. Esboce o gráfico da nova restrição orçamentária 
 
 usando os mesmos eixos. 
 
d) Com um orçamento de R$50,00, o preço do óleo de bronzear dobra repentinamente. Esboce o gráfico 
 
 da nova restrição orçamentária usando os mesmos eixos. 
 
E7) Em um carro que comporta até cinco passageiros, a despesa com a gasolina será dividida entre o número 
 
 de pessoas que efetuará uma viagem. Se a despesa com gasolina é R$ 45,00, organize uma tabela que 
 
 relacione o número de passageiros do carro e o valor a ser pago por cada um. Expresse uma lei que 
 
 relacione essas variáveis. 
 
E8) Achar o domínio das seguintes funções: 
 a) f(x) = 
3x
1
− b) f(x) = 7x5
1
+ c) f(x) = x36 − d) f(x) = 4x
2 − 
 
 e) f(x) = 3+ x f) f(x) = 
x
3 g) f(x) = 
x3
1
+ h) f(x) = 2x
4x 2
−
− 
 
E9) Com uma folha de cartolina de 20cm por 20 cm, queremos construir uma caixa retirando de cada canto 
 
 quadrados de lado x. 
 
 a)Escrever a lei que expressa o volume da caixa. 
 
 b)Esta lei define uma função ? Em caso afirmativo determine o domínio. 
 
E10) Expressar a diferença entre a idade de seu pai e a sua em função do tempo. 
 
E11) A tarifa de uma corrida de táxi em determinada cidade é composta de duas partes: uma parte fixa 
 
 chamada bandeirada e uma parte variável que corresponde ao número de quilômetros que o táxi 
 
 percorre. Sabe-se que a bandeirada custa R$ 2,80 e o preço por quilômetro rodado é de R$ 0,80. 
 
 Expresse o preço a pagar y em função do número de quilômetros rodados x. 
 
E12) Um botijão de gás contém 13 kg de gás. Em média, é consumido, por dia, 0,5 kg. 
 
 a) Expresse a massa m de gás no botijão, em função de t (dias de consumo). 
 
 b) Esboce o gráfico dessa função. 
 
 c) Determine o domínio dessa função. 
 
 
 4
(a) (b) (c) (d) 
E13) Um professor pediu para sua turma uma tarefa a ser realizada em grupo. Os grupos variam de dois a 
 
 no máximo 5 componentes. A despesa de cada grupo que será de R$ 60,00 será dividida entre seus 
 
 elementos. Encontre uma expressão que especifique o valor a ser pago por um aluno de um possível 
 
 grupo. 
 
E14) Uma caixa aberta deve ser construída de uma folha retangular de metal de 8 cm por 15 cm cortando 
 
 fora quadrados com lados de comprimento x de cada canto, dobrando os lados. Expresse o volume V 
 
 da caixa em função de x. Quais os valores que poderão ser assumidos pela variável independente? 
 
E15) Hoje a população de um país é de 100 milhões de habitantes e sua taxa de crescimento é de 2% ao ano. 
 
 Supondo que essa taxa se mantenha, qual a fórmula que dá a população, em milhões, daqui a n anos ? 
 
E16) Qual dos gráficos melhor se ajusta a cada função? 
 
t G(t) H(t) K(t) 
1 23 10 2,2 
2 24 20 2,5 
3 26 29 2,8 
4 29 37 3,1 
5 33 44 3,4 
6 38 50 3,7 
 
 
2. FUNÇÃO PAR E FUNÇÃO ÍMPAR 
 
 a) Uma função f é par quando para todo x no domínio de f têm-se f(-x) = f(x). 
 
 b) Uma função f é ímpar quando para todo x no domínio de f têm-se f(-x) = -f(x). 
 
 
E17) Identifique as funções que são pares ou ímpares. 
 
 a) f(x) =x2 b) f(x) =x3 c) f(x) = 3x3 - x2 d) f(x) = 5x4 + 2 e) f(x) = 2x5 - 3x3 
 
Observação: O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas e o gráfico de uma 
 
 função ímpar é simétrico em relação à origem. 
 
 
3. ZEROS DE UMA FUNÇÃO 
 
 Zeros ou raízes de uma função f são os valores de x para os quais f(x) = 0. Geometricamente, são 
 
os pontos de interseção da curva, gráfico de f , com o eixo dos x. 
 
 
E18) Encontre os zeros das funções: 
 
 a) f(x) = 2x – 4 b) f(x) = x2 – 2x – 3 c) f(x) = x4 – x2 
 5
4. TRANSLAÇÕES E REFLEXÕES DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES 
 
 Para facilitar o traçado de um gráfico, é bastante útil saber o que acontece com o gráfico de uma função 
 
y = f(x) quando f(x) é substituído por f(–x) ou – f(x) ou f(x+k) ou f(x – k ) ou f(x) + k ou f(x) – k, onde k é 
 
uma constante positiva. 
 
4.1. Translações Verticais 
 
 a) O gráfico da função definida por y = f(x) + k tem o mesmo formato do gráfico de f, porém deslocado k 
 
 unidades para cima. 
 
 b) O gráfico da função definida por y = f(x) – k tem o mesmo formato do gráfico de f, porém deslocado k 
 
 unidades para baixo. 
 
4.2. Translações Horizontais 
 
 a) O gráfico da função definida por y = f(x + k) tem o mesmo formato do gráfico de f, porém deslocado k 
 
 unidades para a esquerda. 
 
 b) O gráfico da função definida por y = f(x – k) tem o mesmo formato do gráfico de f, porém deslocado k 
 
 unidades para a direita. 
 
4.3. Reflexões 
 
 a) O gráfico da função definida por y = – f(x) tem o mesmo formato do gráfico de f, porém simétrico ao 
 
 gráfico de f em relação ao eixo x. 
 
 b) O gráfico da função definida por y = f(–x) tem o mesmo formato do gráfico de f, porémsimétrico ao 
 
 gráfico de f em relação ao eixo y. 
 
E19) Dados os gráficos das funções abaixo, faça por reflexões e translações os gráficos das funções dadas: 
 y y y y y 
 
 
 
 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 
 
 y = | x | y = x2 y = x y =
x
1 y =
2x
1 
 
 a) y = | x – 2 | b) y = | x | + 1 c) y = – | x | d) y = x2 – 2 e) y = (x+2)2 
 f) y =–x2 – 1 g) y = –x h) y =x+1 i) y = –x – 2 j) y = –
x
1 
 k) y = 
x
1 + 1 l) y = 
2x
1
− m) y = 2)2x(
1
+ n) y = 2x
1 – 2 
 6
 
0 
5. FUNÇÃO POLINOMIAL 
 
 É uma função definida por uma equação da forma f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +...+ an-1x +an , onde 
 
 a0, a1, a2 ... an-1 e an são números reais chamados coeficientes e n é um número inteiro não-negativo. 
 
 Se a0 ≠ 0 dizemos que esta função polinomial é de grau n. 
 
Exemplos: 
 a) f(x) = 2x3 – 5x2 + 4x – 1 é polinomial do grau 3 
 
 b) f(x) = 2 – 5x2 é polinomial do grau 2 
 
 c) f(x) = 3x + 1 é polinomial do grau 1 
 
 d) f(x) = – 5 é polinomial do grau 0 
 
 e) f(x) = 0 é polinomial e não se atribui grau 
 
 
5.1. Função constante 
 
É uma função polinomial da forma f(x) = c, onde c∈ lR. 
 
O gráfico cartesiano de uma função constante é sempre uma reta paralela ao eixo dos x e que 
 
 intercepta o eixo dos y no ponto (0, c). 
 
 
 
 Dom f = lR 
 
 Im f = { c } 
 
 
 
 
5.2. Função polinomial de 1o grau 
 
É uma função polinomial da forma f(x) = ax + b, com a e b ∈ lR e a ≠ 0. 
 
O gráfico cartesiano de uma função polinomial do 1o grau é sempre uma reta de equação 
 
 y = ax + b, onde a é o coeficiente angular ou declividade e b é o coeficiente linear. 
 
 f2 y 
 f1 Como o1
o 900 <α< , a1 = tg 1α > 0 e portanto f1 é crescente. 
 b2 
 2α 1α 
 o x Como o2
o 18090 <α< , a2 = tg 2α < 0 e portanto f2 é decrescente. 
 
 b1 
 
E20) Numa função polinomial do 1o grau o coeficiente angular “a” não pode ser zero, por quê ? 
c 
y 
x 
 7
 
E21) Um caso particular da função polinomial do 1o grau é a função Identidade, definida por f(x) = x. 
 
 Esboce o seu gráfico. 
 
E22) Construa os gráficos das seguintes funções: 
 
 a) f(x) =–x + 1 b) f(x) = 3x + 2 , x∈ [-2,1) c) f(x) = –2, x∈ (-1,3] 
 
Importante: Numa função polinomial do 1o grau, a razão de variação de y em relação a x é constante e igual ao 
 coeficiente angular a, isto é, .
Δx
Δy a= 
 y y 
 y2 y1 
 yΔ yΔ 
 y1 y2 
 xΔ xΔ 
 0 x1 x2 x 0 x1 x2 x 
 0
Δx
Δy >= a 0
Δx
Δy <= a 
 
E23) Valores correspondentes a p e q são dados na tabela abaixo. 
 
 a)Determine se a tabela define q como uma função linear de p. 
 
 b)Determine se a tabela define p como um função linear de q. 
 
 p 1 2 3 4 
q 950 900 850 800 
 
E24) Ao longo dos anos iniciais dos Jogos Olímpicos, a marca vencedora do salto com vara teve um 
 
 crescimento dado pela tabela: 
 
 Ano 1900 1904 1908 1912 
 Altura (m) 3,33 3,53 3,73 3,93 
 
a) Ache uma lei que represente a altura atingida no salto em função do tempo em anos, desde 1900. 
 
 b) Esboce o gráfico da equação obtida em a. 
 
E25) Uma equação linear foi usada para gerar os valores da tabela abaixo. Encontre esta equação. 
 
x 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 
y 27,8 29,2 30,6 32 33,4 
 
E26) Às 9h20min da manhã, uma sonda lunar está a 1.000 pés acima da superfície da lua e começa uma 
 descida vertical atingindo o solo lunar às 10h 13min da manhã. Supondo que a sonda mantenha uma 
 velocidade constante, ache uma função D tal que D(t) expresse aproximadamente a altitude da sonda 
 acima da lua como uma função de t. 
 
 8
E27) Uma empresa de aluguel de automóveis oferece carros a R$40,00 por dia e 15 centavos o quilômetro. 
 
 Os carros do seu concorrente estão a R$ 50,00 por dia e 10 centavos o quilômetro. 
 
 a)Para cada empresa, obtenha uma fórmula que dê o custo de alugar um carro por dia em função da 
 
 distância percorrida. 
 
 b) Nos mesmos eixos, esboce o gráfico de ambas as funções. 
 
 c) Como decidir que empresa está com o aluguel mais barato? 
 
E28) Para pequenas variações de temperatura, a fórmula para a dilatação de uma barra de metal submetida a 
 
 mudanças de temperatura é )( 000 ttalll −=− , onde l é o comprimento do objeto quando a 
 
 temperatura é 0, lt é o comprimento inicial na temperatura 0t , e a é uma constante que depende do tipo 
 
 de metal. 
 
 a) Expresse l como função linear de t . Encontre a inclinação e a intersecção vertical. 
 
 b) Suponha que você tenha uma barra que, inicialmente, mede 100cm a uma temperatura de 10ºC, e 
 
 feita de um metal com a igual a 510− . Obtenha a equação que dá o comprimento da barra em função 
 
 da temperatura .t 
 
 c) O que diz o sinal da inclinação a respeito da dilatação de um metal sob uma variação de t ? 
 
5.3. Função polinomial de 2o grau(função quadrática) 
 
É uma função polinomial da forma f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c ∈ lR e a ≠ 0. 
 
Seu gráfico é uma parábola : 
 
a) com eixo de simetria paralelo ao eixo das ordenadas; 
 
 b) de vértice V(xV , yV), onde: xV = a2
b− e yV = f(xV) ou yV = a4
Δ− , com Δ = b2 – 4ac; 
 
 c) com a concavidade voltada para cima se a > 0 e com a concavidade voltada para baixo se a < 0. 
 
 Y y = a1x2 + b1x + c1 (a1 > 0 ,Δ = 0 , c1 > 0) 
 
 V2 
 c1o V1 x 
 
 
 c2 y = a2x2 + b2x + c2(a2 < 0 ,Δ > 0 , c2 < 0) 
 
 9
E29) Construa os gráficos de: 
 
 a) f, quadrática, tal que x1 = x2 = 1, c = -1 e V(1,0) b) f, quadrática, tal que x1 = 0, x2 = 4, c = 0 e V(2,-4) 
 
 c) f, quadrática, tal que x1, x2 ℜ∉ , c = -4 e V(1,-3) d) f(x) = x2 – 4 e) f(x) = -x2 + 2x 
 
 f) f(x) = x2 – 2x + 1 g) f(x) = –x2 – 2 , x∈ [-2,1) 
 
 
E30) Na figura, ABCD é um quadrado de lado igual a 4. Os pontos M e N, deslocam-se sobre os lados AB e AD de 
 
 modo que se tenha AM = 2.AN. Se AN = x, determine: 
 
 a) a área S(x) do quadrilátero MCDN, em função de x. 
 
 b) o valor de x para que a área desse quadrilátero seja máxima. 
 
 c) o valor máximo da área citada em b. 
C
D N
B
A
M
4
 
5.4. Função potência 
 
É uma função polinomial da forma f(x) = xn , onde n é um número inteiro positivo. 
 
 
E31) Trace os gráficos das funções dadas por y = x2 e y = x4 , no mesmo sistema de eixos e compare-os. 
 
E32) Trace os gráficos das funções dadas por y = x, y = x3 e y = x5 , no mesmo sistema de eixos e compare-os. 
 
 
6. FUNÇÃO RACIONAL 
 É uma função da forma f(x) 
q(x)
p(x)= onde p(x) e q(x) são funções polinomiais e 0q(x) ≠ . 
 Seu gráfico pode apresentar retas denominadas assíntotas verticais nos pontos onde o denominador se anula 
 
e retas denominadas assíntotas horizontais se f(x) se aproxima de um valor finito quando x cresce ou decresce 
 
sem limites. 
 
Exemplo: y 
 f(x) =
1x
x
2
2
− 
 1 
 
 -1 1 x 
 
 
 Assíntotas verticais: x = -1 e x = 1 Assíntota horizontal: y = 1 
 10
E33) Trace os gráficos das funções dadas por y =
x
1 e y =
x
1− , compare-os e determine os domínios. 
E34) Trace os gráficos das funções dadas por y = 
1x
1
− e y = x
1 + 2 , compare-os com o gráfico de y =
x
1 
 
 e determine os domínios. 
 
E35) Trace os gráficos das funções dadas por y =
2x
1 e y =
2x
1− , compare-os e determine os domínios. 
E36) Trace os gráficos das funções dadas por y = 
2)1x(
1
+ e y = 2x
1 – 2 , compare-os com o gráfico de 
 y =
2x
1 e determine os domínios. 
E37) Trace o gráfico da função dada por y = 
1x
1x 2
−
− e determine o domínio. 
 
7. FUNÇÃO RAIZ N-ÉSIMA 
 
 É uma função da forma n x)x(f = , onde n é um número inteiro maior que um. 
 
E38) Trace os gráficos das funções dadas por y = x e y = 3 x , compare-os e determine os domínios. 
 
E39) Trace os gráficos das funções dadas por y = 1x − , y = x + 1 , y =– x e y = x− e compare-os com 
 
 o gráfico de y = x . 
 
E40) Trace os gráficos das funções dadas por y = 3 1x + , y = 3 x - 1 , y =– 3 x e y = 3 x− e compare-os com 
 
 o gráfico de y = 3 x . 
 
 
8. FUNÇÕES DEFINIDAS POR MAIS DE UMA LEI 
 
E41) Um imposto é cobrado em função da renda mensal do contribuinte da seguinte maneira: até 10 sm (salários 
 
 mínimos), inclusive, o contribuinte está isento; entre 10 sm e 20 sm paga 10%; 20 sm ou mais, paga 25%. 
 
 Dê a lei dessa função e esboce o seu gráfico. 
 
E42) Esboce o gráfico da função abaixo, determinando o domínio e imagem. 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<≤−
−<≤−+
=
1xse2,
1x2se,x
2x5se,52x
f(x) 2 
E43) Defina uma função que forneça a distância de um ponto da reta à origem. 
 
 
 11
9. FUNÇÃO VALOR ABSOLUTO 
 
 É a função definida por f(x) = x onde 
⎩⎨
⎧
<−
≥=
0xse,x
0xse,x
x . 
 
Observação: 2x = x 
 
E44) Esboce o gráfico da função valor absoluto, determinando o domínio e imagem. 
 
 
E45) Resolva as equações: 
 
 a) 34x =− b) 51x =+ c) 3x1x −=− 
 
9.1. Interpretação geométrica 
 
 Se x ℜ∈ , x representa na reta a distância do ponto x à origem. 
 
 
9.2. Propriedades do valor absoluto 
 
 Se +∈∈∈ lRaelRy,lRx , temos: 
 
1. xx =− 2. yxxy ⋅= 
 
3. 0y,
y
x
y
x ≠= 4. yxyx +≤+ 
 
5. axaxax −=∨=⇔= 6. axaax ≤≤−⇔≤ 
 
7. axaxax ≥∨−≤⇔≥ 8. 22 xx = 
 
 
E46) Resolva as inequações: 
 a) 12x <+ b) 34x >− c) 12x ≤− d) 34x ≥+ 
 
E47) Esboce os gráficos das funções definidas abaixo : 
 
 a) f(x) = 1x − b) f(x) = 2x + c) f(x) = 4x 2 − d) f(x) =
x
x 
 
 e) f(x) = 2x + f)f(x)= 2x − g) f(x) = - x 
 
E48) No exercício E47, defina as funções como funções definidas por mais de uma lei. 
 
 
 
 12
10. OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM FUNÇÕES 
 
 Assim como podemos adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir números reais, obtendo novos números 
 
 reais, podemos operar com funções, produzindo novas funções. 
 
 Duas funções f e g podem ser adicionadas, subtraídas, multiplicadas ou divididas para formar as funções 
,
g
feg.f,gf,gf −+ ditas, respectivamente, função soma, função diferença, função produto e função 
quociente, assim definidas: 
 
)x(g
)x(f
)x(
g
f
)x(g).x(f)x)(g.f(
)x(g)x(f)x)(gf(
)x(g)x(f)x)(gf(
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
=
−=−
+=+
 
 
Sendo: 
 DomgDomf)g.f(Dom)gf(Dom)gf(Dom I==−=+ 
 }0)x(g/IRx{DomgDomf
g
fDom =∈−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ I 
E49) Usando f(x) = x2 e g( x) = x , achar as funções: f+g,f–g,f.g, f/g, explicitando os domínios. 
 
 
11. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dadas as funções f e g, a composta de f e g denotada por fog, é a função definida por (fog)(x)=f(g(x)). 
 Dom fog = {x ∈dom g / g(x) ∈ dom f} 
 
 • x g(x) 
 
fog 
g f 
 dom g 
 dom f 
 
f(g(x)) 
 
 13
E50) Em certa fábrica, durante o horário de trabalho, o custo de fabricação de q unidades é dado por 
 C(q) = q2 + q + 900 reais. Num dia normal de trabalho, durante as t primeiras horas de produção, são 
 fabricadas q(t) = 25 t unidades. 
 a) Determine o custo total em função de t. 
 b) Quanto terá sido gasto na produção, no final da 3a hora ? 
 
E51) Dadas as funções f e g, determine as compostas fog , gof, fof, gog e respectivos domínios. 
a) f(x) = x2 – 16 e g(x) = x b) f(x) = x2 e g( x) = 3x − 
 c) f(x) = 2x2–x e g(x) = 3x+2 d) f(x) = 
x
1 e g(x) = x3+2x 
 
E52) A queda de uma pedra num lago cria ondas circulares que se espalham a uma velocidade de 60cm/s. 
 
 a) Expresse o raio desse círculo como função do tempo t (em segundos). 
 
 b) Se A é a área do círculo como função do raio, encontre Aor e interprete-a.E53) Se f(x) = (2x +1)3 , encontre duas funções g e h , tais que f = goh. 
 
E54) Se f(x) = 3x+5 e h(x) = 3x2+3x+2, encontre uma função g tal que fog = h. 
 
 
12. FUNÇÃO INVERSA 
 
E55) Se invertermos os pares da função f de A em B abaixo, teremos uma função g de B em A ? 
 
 A B A B 
 a) f b) f 
 1 1 4 
 4 
 2 2 5 
 5 
 3 3 6 
 
 
E56) Se invertermos os pares das funções dadas por y = 2x e y = x2 teremos novas funções? 
 
 A B 
 f 
 
 
 x y 
 
 
 f -1 
 
y = f(x) ⇔ f -1(y) = x 
 
Dom f = Im f –1 e Dom f –1 = Im f 
 
 14
 
E57) A função dada por f(x) = 2x+3 é inversível? Em caso afirmativo qual a lei da inversa, o domínio e a 
 
 imagem? Represente graficamente a f e a inversa de f no mesmo sistema de eixos. Quem é a composta 
 
 da f com a inversa? 
 
 
E58) A função dada por g(x) = x2 é inversível? Em caso afirmativo, repita o exercício E57 e em caso 
 
 contrário, determine uma restrição do domínio onde g seja inversível, com os respectivos domínios, 
 
 imagens e gráficos no mesmo sistema de eixos. Neste caso, encontrar a composta de g com a inversa. 
 
 
E59) Encontre, caso exista, a inversa da função f. 
 
 a) f(x) = 2x – 3 b) f(x) = x2 – 1 c) f(x) = x2 – 1, x ≥ 0 d) f(x) = x3 + 1 e) f(x) =
x2
1x
−
− 
 
IMPORTANTE: 
 
a) Toda função crescente (decrescente) é inversível. 
 
 b) Uma função f é inversível se e somente se cada y ∈ Im f é imagem de um único x∈Dom f. 
 
 Geometricamente: Uma função f é inversível se e somente se o gráfico de f for cortado, no máximo, 
 
 uma vez por qualquer reta horizontal. 
 
 c) Os gráficos de f e f -1 são simétricos em relação à reta y = x. 
 
 d) f –1(f(x)) = x , Ax∈∀ e f(f –1(x)) = x , Bx∈∀ 
 
 
 
13. FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 
E60) Suponha que exista inicialmente 1 bactéria em certa cultura. Sabendo que a cada hora o número de 
 
 bactérias duplica, escreva a lei da função que relaciona o número de bactérias com o tempo em horas. 
. 
 
E61) A pressão que a camada de ar exerce sobre um corpo, ao nível do mar, é de 1 atm(atmosfera). Para cada 
 
 metro de altitude acima do nível do mar, essa pressão cai em 10 %. Construa uma tabela que forneça a 
 
 pressão, em atmosferas, em função da altitude, em metros. Escreva a lei que relaciona a pressão com a 
 
 altitude. 
 
 
 
 
 15
 A Função Exponencial é uma função definida por f(x) = ax, onde a∈ lR , a > 0 e a ≠ 1. 
 
O gráfico de f(x) = ax depende do valor da base a. 
 a > 1 0 < a < 1 
 função crescente função decrescente 
 
 
 A fórmula f(x)= fo ax gera uma família de funções exponenciais com parâmetro f0 e base a. A base tem 
 
a mesma importância para uma função exponencial do que a declividade tem para uma função linear. O 
 
crescimento ou decaimento exponencial é descrito com freqüência em forma de porcentagem. Por exemplo, 
 
se uma população está aumentando 20% , o fator de crescimento é a = 1 +
100
20 = 1 + 0,20 = 1,2. De modo 
análogo, se uma população está diminuindo 20%; o fator de decaimento é a = 1 -
100
20 = 0,8. 
 
Observação: No E60, o número de bactérias está aumentando exponencialmente 100% a cada hora, logo o 
 
 fator de crescimento é a = 2. No E61, a pressão está diminuindo exponencialmente 10% a cada 
 
 metro de altitude, logo o fator de decrescimento é a = 1 – 0,10 = 0,9. 
 
 
E62) A tabela abaixo nos dá a população do México no período de 1980-1986: 
 
Ano População ( em milhões) 
1980 67,38 
1981 69,13 
1982 70,93 
1983 72,77 
1984 74,66 
1985 76,60 
1986 78,59 
 
 Escreva a lei da função que relaciona a população do México em função do tempo. 
 
E63) Suponha que Q= f(t) é uma função exponencial de t. Se f(4) = 8.100 e f(7) = 218.700: 
 
 a) Encontre a base. b) Encontre a taxa de crescimento percentual. 
 
 c) Calcule f(0). d) Calcule f(10). 
 
y y 
 y = ax 
1
x 
y = ax 
x 
1 
0 
0 
 16
E64) Uma droga é injetada na corrente sangüínea de um paciente ao longo de um intervalo de cinco minutos. 
 
 Durante esse tempo, a quantidade de droga no sangue cresce linearmente. Após os cinco minutos a 
 
 injeção é interrompida, e, então, a quantidade de droga decai exponencialmente. Esboce um gráfico da 
 
 quantidade versus tempo. 
 
E65) Investigar o valor de x)
x
11( + para valores de x cada vez maiores. 
 
 
13.1. Função Exponencial Natural 
 
 Se a = e (Número de Euler), a função exponencial é chamada função exponencial natural e é notada 
 
 por f(x) = ex . 
 
 
13.2. Crescimento e Decrescimento Exponencial 
 
 
 Uma função f cresce exponencialmente se f (x) = foekx e decresce exponencialmente se f(x) = foe-kx onde 
 
 fo é o valor f(0). 
 
 
 
E66) Estima-se que, daqui a t anos, a população de um certo país será de P(t) = 50e0,02t milhões de 
 
 habitantes. 
 
 a) Qual é a população atual do país? 
 
 b) Qual será a população, daqui a 30 anos? 
 
 
E67) Uma certa máquina desvaloriza de tal forma que, após t anos, seu valor é dado pela função 
 
 Q(t) = Qoe-0,04t . Após 20 anos, a máquina vale R$ 8.986,58. Qual era seu valor original ? 
 
 
E68) Suponha que existam inicialmente 2000 bactérias em certa cultura e que existirão 6000 bactérias 
 
 20 minutos depois. Sabendo que o número de bactérias cresce exponencialmente, determine o 
 
 número de bactérias que existirão, após uma hora. 
 
E69) A função exponencial de base a é inversível? Em caso afirmativo, determine a lei da inversa, o domínio, 
 
 a imagem e o gráfico? 
 
 
 
 
 17
14. FUNÇÃO LOGARITMO 
 
A Função logarítmica é a função definida por f(x) = loga x , onde a∈ lR, a > 0 e a ≠ 1. 
 
A função logarítmica de base a é a inversa da função exponencial de base a. 
 
Assim temos y = logax ⇔ ay = x 
 a > 1 0 < a < 1 
 função crescente função decrescente 
 
E70) Calcule: 
 a) 8log
2
 b) 
3
1log
9c) 5log
5
 d) 1log
6
 
 
E71) Se f(x) = 2x e g(x) = log2x , ache fog(x), gof(x), fog( 1), fog( 2) e fog(1/2). 
 
 
14.1. Propriedades dos Logaritmos 
 
 1. 01log
b
= 2. 1blog
b
= 3. BlogAlogABlog
bbb
+= 
 
 4. BlogAlog
B
Alog
bbb
−= 5. AlogmAlog
bb
m = 
 
E72)Resolva as equações: 
 
 a)2x = 16 b)3x = 5 c)2t = 7 
 
 
14.2. Função Logaritmo Natural 
 
 Se a = e (Número de Euler), a função Logaritmo é chamada função logarítmica natural e é notada por: 
 
 
 f(x) = ln x ou f(x) = L(x) 
 
 Como a função logarítmica natural é a inversa da função exponencial, temos: 
 
 y = ln x ⇔ ey = x 
 
 
E73) Calcule os valores exatos de: 
 
 a) 3.lne + ln (1/e) b)lne2 + e –lne c)3.ln(e lne) + ln( lne) 
y 
y = loga x 
y 
x 
y = loga x 
x 
1 
1 
0 
0 
 18
E74) Determinar o domínio e representar geometricamente o gráfico das funções abaixo: 
 a)f(x) = ln(x+2) b) f(x) = ln(x–2) c) f(x) = xln d) g(x) = xln 
 
E75) No exercício E74, cada função f é uma composta de duas funções g e h. Determine g e h para cada f. 
 
E76) Se f(x) = ex e g(x) = lnx , ache as composta fog e gof e determine os respectivos domínio. 
 
14.3. Mudança de Base 
 
 As calculadoras científicas, geralmente, fornecem teclas para calcular logaritmos decimais e logaritmos 
naturais. Para calcular o x
b
log utiliza-se uma seguintes fórmulas x
b
log =
bln
xln
 ou x
b
log =
blog
xlog
. 
 
E77) Calcule: 
 a) 5
3
log b) 6
2
log c) 4
9
log 
E78) Em uma cultura o número de bactérias é dado por f(t)= 1.000.30,5t (t é o tempo em horas). Quando o 
 
 número de bactérias for 9.000, qual será o valor de t ? 
 
E79) Após t horas, a quantidade de bactérias de uma dada espécie é dada por Q(t) = 100. ekt , onde k é uma 
 
 constante. Se a quantia inicial dobrar em 1h, quanto tempo levará para se ter 1.120.000 de bactérias. 
 
E80) Segundo uma pesquisa, após x meses de constatação da existência de uma epidemia, o número de 
 pessoas atingidas por ela é f(x) =
x24.162
000.20
−+ . Daqui a quanto tempo, aproximadamente, o número de 
 pessoas atingidas por essa epidemia será de 2.000? 
 
E81) Encontre a função inversa de f(t) = 50 e0,1t. 
E82) Definimos f(x) = xe1
1
−+ . 
 a) A f é crescente ou decrescente? 
 
 b) Explique por que a f é inversível e encontre uma fórmula para )x(f 1− .Qual o domínio da ?f 1− 
 
E83) O ar em uma fábrica está sendo filtrado de modo que a quantidade P de um poluente (medido em 
 
 mg/litro) está diminuindo de acordo com a equação P= Po e-kt, onde t representa o tempo em horas. Se 
 
 10% do poluente são removidos nas primeiras cinco horas: 
 
 a) Que percentagem do poluente ainda permanece após 10 horas? 
 
 b) Quanto tempo levará até que o poluente esteja reduzido em 50%? 
 
 c) Faça um gráfico da poluição versus tempo. Mostre os resultados de seus cálculos no gráfico. 
 
E84) A população P da Nicarágua, em milhões de habitantes, era de 3,6 milhões em 1990 e estava crescendo 
 
 a uma taxa de 3,4% ao ano. Seja t o tempo, em anos, desde 1990: 
 
 a) Expresse P como função da forma P=Po at b) Expresse P como função exponencial usando a base e 
 19
DATAÇÃO POR CARBONO 
 
 “O dióxido de carbono existente no ar contém, além do isótopo estável 12C (“carbono 12”), o isótopo 
 
radioativo 14C (“carbono 14”). As plantas vivas absorvem dióxido de carbono do ar, o que significa que a 
 
razão entre as massas de 12C e 14C em uma planta viva (ou em um animal que se alimenta de plantas) é a 
 
mesma que no ar. Quando uma planta ou animal morre, deixa de absorver dióxido de carbono. A massa de 
 
12C continua a mesma após a morte do organismo, mas a massa de 14C diminui exponencialmente por causa 
 
do decaimento radioativo, o que faz com que a razão entre as massas de 12C e 14C também diminua 
 
exponencialmente. É razoável imaginar que a razão R0 entre as massas de 12C e 14C na atmosfera tenha se 
 
mantido praticamente constante nos últimos milhares de anos, caso em que podemos supor que a razão entre 
 
as massas de 12C e 14C em uma atmosfera ( isso é, um fóssil ou artefato) é dada por uma função da forma 
 
Q(t) = Q0e-kt. A meia–vida do 14C é 5730 anos. Comparando Q(t) com Q0, os arqueólogos podem estimar a 
 
idade da amostra”(trecho extraido do livro de Cálculo,Um Curso Moderno e Suas Aplicações de Hoffmann e 
 
Bradley, ed. LTC,2002). 
 
 Ao estudar fósseis, os cientistas encontram neles elementos radioativos, ou seja, elementos químicos que 
 
emitem radiação. A unidade de medida da radiação é a meia-vida: intervalo de tempo necessário para que a 
 
massa de uma amostra radioativa se reduza à metade através de desintegração, como mostra o gráfico a seguir. 
 
Em geral, se uma substância tem meia-vida de h anos, minutos ou segundos, então a quantidade restante, Q, 
de substância após t unidades de tempo, se havia uma quantidade inicial Q0 da substância, é Q(t) = Q0
h/t
2
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 
 Q 
 Q0 
 
 
 
 
 
 Q0/2 
 
 
 Q0/4 
 
 Q0/8 
 Q0/16 
 t0 t0+h t0+2h t0+3h t0+4h t 
 
 
E85) Suponha que uma substância radioativa se desintegre, de modo que partindo de uma quantidade Qo, a 
 
 quantidade existente após t anos seja dada por Q(t) = Q0 e-0,05 t. Calcule a meia – vida da substância. 
 20
E86) Um quadro de Vermeer (1632-1675) ainda contém 99,5% do seu carbono-14 . A partir dessa informação, 
 
 você pode determinar se o quadro é ou não falsificado? 
 
E87) O elemento rádio decai exponencialmente, com uma meia–vida de 1690 anos. Quanto tempo uma 
 
 amostra de 50 g de rádio leva para se reduzir a 5 gramas? 
 
E88) Um arqueólogo encontrou um fóssil no qual 1/3 do 14C existente na atmosfera continua presente. Qual a 
 
 idade aproximada do fóssil? 
 
E89) Testes realizados em um artefato descoberto no sítio arqueológico de Debert, na Nova Escócia, revelam 
 
 que 28% do 14C original ainda está presente. Qual é a idade aproximada do artefato ? 
 
E90) Os Pergaminhos do MarMorto foram escritos por volta do ano 100 a.C. Que porcentagem do 14C 
 
 original ainda existia nos pergaminhos em 1947, quando foram descobertos ? 
 
E91) Um quadro supostamente pintado por Rembrandt em 1640 conserva 99,7% do 14C original. Há quanto 
 
 tempo foi pintado o quadro? Qual seria a porcentagem de 14C se o quadro fosse legítimo? 
 
E92) O iodo radioativo, 133I, tem uma meia–vida de 20,9 horas. Quando injetado na corrente sanguínea, o 
 
 iodo tende a se acumular na glândula tireóide. 
 
 a) Depois de 24 horas, um técnico examina a glândula tireóide do paciente para verificar se está 
 
 funcionando normalmente. Se a tireóide absorveu todo o iodo injetado, que porcentagem da massa 
 
 inicial de iodo radioativo deve ser detectada ? 
 
 b) Um paciente volta à clínica 25 horas depois de receber uma injeção de 133I. O técnico examina a 
 
 glândula tireóide e detecta a presença de 41,3% da massa de iodo que foi injetada. Qual a 
 
 porcentagem da massa inicial que foi eliminada do corpo do paciente? 
 
E93) Durante o início dos anos 60, a substância radioativa estrôncio-90 foi liberada durante testes de armas 
 
 nucleares na atmosfera e se acumulou nos ossos das pessoas. Se a meia–vida do estrôncio–90 é de 
 
 29 anos, que porcentagem do estrôncio–90 absorvido em 1960 permanece nos ossos das pessoas em 
 
 1990? 
 
E94) Uma certa substância radioativa decai exponencialmente de tal modo que, após 10 anos, ainda restam 
 
 70% da quantidade inicial. Obtenha uma expressão para a quantidade que ainda resta após um número 
 
 t qualquer de anos. Que quantidade ainda restará após 50 anos? Qual é a meia– vida? Quanto tempo é 
 
 preciso para que reste somente 20% da quantidade inicial? E para que reste somente 10%? 
 
 21
β 
α 
E95) Imagine que o preço médio P de uma residência subiu de R$50.000,00 em 1970, para R$ 100.000,00 
 
 em 1990. Seja t o número de anos desde 1970: 
 
 a) Suponha que a variação de preço de residências tenha sido linear. Encontre uma equação para a reta 
 
 que representa o preço P em função de t. Use esta equação para completar a coluna (a) da tabela. 
 
 Trabalhe com o preço em unidades de R$1.000,00 
 
 b) Se, ao contrário, os preços de residências tivessem subido exponencialmente, determine uma 
 
 equação da forma t0aPP = que representaria a variação do preço de residências de 1970 a 1990 e 
 
 complete a coluna (b) 
 
 c) No mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos das funções representadas nas colunas (a) e (b). 
 
t (a) crescimento linear dos preços 
em unidades de R$1000,00 
(b) crescimento exponencial dos preços 
em unidades de R$1000,00 
0 50 50 
10 
20 100 100 
30 
40 
 
 
15. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
 
15.1. Revisão de Trigonometria no Triângulo Retângulo 
 
 
 α + β = 900 
 a 
 b a2 = b2 + c2 
 
 c senα = cos β = 
a
c sen β = cosα = 
a
b 
 tg α = 
b
c tg β = 
c
b 
 
E96) Uma pessoa está distante 80 metros da base de um prédio e vê um ponto mais alto do prédio sob um 
 
 ângulo de 16° em relação à horizontal. Qual é a altura do prédio? 
 
E97) Um avião levanta vôo em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15° com a horizontal. A que altura 
 
 estará e qual a distância percorrida quando passar pela vertical que passa por uma igreja situada a 2 km 
 
 do ponto de partida? 
 
 
 
 22
E98) Uma torre vertical de altura 12 metros é vista sob um ângulo de 30° por uma pessoa que se encontra a 
 
 uma distância x da sua base e cujos olhos estão no mesmo plano horizontal dessa base. Determinar a 
 
 distância x. 
 
E99) Dois observadores A e B vêem um balão, respectivamente, sob ângulos visuais de 20° e 40°. Sabendo 
 
 que a distância entre A e B é de 200 metros, calcule a altura do balão. 
 
E100) Num exercício de tiro, o alvo se encontra numa parede cuja base está situada a 82m do atirador. Sabendo 
 
 que o atirador vê o alvo sob um ângulo de 12° em relação à horizontal, calcule a altura do alvo. 
 
E101) A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 30°.Caminhando 23m em direção 
 
 ao prédio, atingimos outro ponto, onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60°. Desprezando a 
 
 altura do observador, calcule, em metros, a altura do prédio. 
 
E102) Um móvel parte de A e segue numa direção que forma com a reta AC um ângulo de 30°. Sabe-se que o 
 
 móvel se desloca com uma velocidade constante de 50 km/h. Determine a que distância o móvel se 
 
 encontra da reta AC após 3 horas de percurso. 
 
E103) Queremos encostar uma escada de 8m de comprimento numa parede, de modo que forme um ângulo de 
 
 60 0 com o solo . A que distância da parede devemos apoiar a escada no solo? 
 
E104) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 300. Quando tiver percorrido meio quilômetro a que altura 
 
 estará do solo? 
 
E105) Um observador em A vê uma torre vertical CD sob um ângulo de 300 e caminhado 40m em direção a 
 
 torre passa a vê-la sob 400. Sabendo que a altura do observador é 1,70m, calcule a altura da torre e a 
 
 distância inicial entre o observador e a torre. 
 
E106) Um mergulhador percorreu uma distância de 40m, entre a superfície e o fundo do mar, segundo uma 
 
 trajetória retilínea que forma um ângulo de 500 com a superfície. 
 
 a) Qual é, aproximadamente, a profundidade do local alcançado pelo mergulhador? 
 
 b) Subindo verticalmente para a superfície, a que distância do ponto em que mergulhou ele sairá 
 
 aproximadamente? 
 
 
Dados : tg 12° = 0,21 ; sen15°=0,26 ; tg 15° = 0,27; tg 16° = 0,28 ; tg 20°= 0,36 ; tg 30°= 0,58 ; sen 400=0.64 ; 
 
 cos 400= 0.76 ; tg 40° = 0,84; tg 60° = 1,73. 
 
 
 23
α 
15.2. Radiano 
 
 Um radiano (1 rd) é a medida de um ângulo central α que determina sobre uma circunferência de raio 
 
 r = 1, um arco t de comprimento igual a um. 
 
 
 t =1 
 α = 1 rd 
 r = 1 
 
Observações: 
 a) Se t = 2, α = 2 rd 
 
 b) Se t = 2π r = 2π ,α = 2π rd , isto é 2π rd = 360o 
 c) 1 rd = o
o
57
2
360 ≅π 
 
15.3. Ciclo Trigonométrico 
 
Seja a circunferência }1yx/)y,x{(C 222 =+ℜ∈= 
 y 
 
 
 P(x,y) 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
Cada arco de comprimento t, representado a partir do ponto A(origem de todos os arcos) tem como 
 
extremidade um ponto P(x,y) C∈ . Podemos então, definir uma função f de ℜ em C que associa a 
 
cada número real t, um único ponto P da circunferência, onde: para t >0, o arco t é representado no 
 
sentido anti-horário e, para t < 0, o arco é representado A no sentidohorário. 
 
 f:
)y,x(Pt
C
a
→ℜ 
 
E107) Considere a função f acima e determine: 
 
 a) f(0) b) f(2π ) c) f(π ) d) f(-2π ) e)f(-π ) f) f(π /2) 
 
 g) f(-π /2) h) f(3π /2) i) f(-3π /2) j) f(8π ) k) f(7π /2) l) f(21π ) 
 
E108) Encontre na circunferência C, a localização aproximada dos pontos: 
 
 a) f(1) b) f(2) c) f(3) d) f(-1) e)f(-2) f) f(-3) 
B’(0,-1) 
B(0, 1) 
A(1,0) A’
 
(-1,0) 
 24
 
E109) Reduzir à primeira volta os seguintes arcos: 
 a)3520° b) rad
3
22π c)-2210° d) rad
6
73π e)-1860° f) rad
3
8π− 
 
 
15.4. Funções Seno e Cosseno 
 
 Define-se o cosseno do número real t como sendo a abscissa do ponto P e o seno do real t como 
 
sendo a ordenada do ponto P. 
 y 
 B 
 P(cos t , sen t) 
 
 sen t t 
 A’ 0 A x 
 cos t 
 
 
 
 B’ 
 
 sen:
tsent→
ℜ→ℜ cos:
tcost→
ℜ→ℜ 
 
E110) Encontre de forma exata ou aproximada ,conforme o caso, os valores de: 
 a) sen 0° b) cos π c) sen(-90°) d) cos 900° e)sen (
4
π− ) f)cos(
3
2π− ) 
E111) Determine os domínios e as imagens das funções seno e cosseno. 
 
E112) Conhecendo o seno de um arco t, é possível encontrar o cosseno de t? Justifique. 
 
E113) Esboce os gráficos das funções seno e cosseno nos sistemas abaixo. 
 
 y 
 1 
 
 
 -π 
2
π− 0 
2
π π 
2
3π 2π 
2
5π 3π 
2
7π x 
 
 -1 
 y 
 1 
 
 
 -π 
2
π− 0 
2
π π 
2
3π 2π 
2
5π 3π 
2
7π x 
 
 -1 
Observação: As funções seno e cosseno são periódicas de período π2 , isto é, sen( t +2π ) = sen t e 
 
 cos( t +2π ) = cos t 
 25
E114) Fazer um esboço do gráfico das seguintes funções: 
 
 a) y = sen ( 2t) b) y = sen( t/2) c) y = cos ( 3t) d) y = 2cos t 
 
 e) y = -3cos t f) y= 2sen ( 2t) g) y= –3sen( t/2) h) y= 1+ 2 sen t 
 
 
Nota: Seja f(t) = A sen ( Bt) ou g(t) = A cos ( Bt): 
 
 | A | é a amplitude: (metade da distância entre os valores máximo e mínimo) 
 Período : 
|B|
2π ( tempo necessário para que a oscilação complete um ciclo) 
 
E115) Verifique no ciclo trigonométrico que a função cos é par e a função seno é impar, isto é, que 
 
 
 tsen)tsen(etcos)tcos(,t −=−=−ℜ∈∀ 
 
 
15.5. As Demais Funções Trigonométricas 
 
 TANGENTE: ℜ→ =→D:f ttgyt , onde tg t = tcos
tsen
 e D= }k,
2
k2t/t{ Z∈±≠ ππ 
 
 COTANGENTE: ℜ→=→D:f tgcotyt , onde cotg t = tsen
tcos
 e D= }k,kt/t{ Z∈≠ π 
 
 SECANTE: ℜ→=→D:f tsecyt , onde sec t = tcos
1 e D= }k,
2
k2t/t{ Z∈±≠ ππ 
 
 COSECANTE: ℜ→=→D:f tseccosyt , onde cossec t = tsen
1 e D= }k,kt/t{ Z∈≠ π 
 
15.6. Relações Importantes 
 sen2t +cos2t = 1 1+tg2t = sec2t 1+cotg2t = cossec2t 
 cos2t =
ttg1
1
2+ sen
2t =
ttg1
ttg
2
2
+ 
 
15.7. Adição e Subtração de Arcos 
 acosbsenbcosasen)basen( ±=± 
 bsenasenbcosacos)bacos( m=± 
 
tgb.tga1
tgbtga)ba(tg m
±=± 
 26
16. RESPOSTAS 
 
E3) [-2,2] 
 
E6) a) x + 20y = 50 
E7) 
x
45y = , x∈{1,2,3,4,5} 
E8) a) }3{−ℜ b) }
5
7{−−ℜ c) ]2,(−∞ d) ),2[]2,( +∞∪−−∞ e)[0, )+∞ f) (0, )+∞ g)[0, )+∞ 
 h) [-2, )+∞ – {2} 
E9) a) V(x) = 4x3 – 80x2 + 400x b) 0 < x < 10 
 
E11) y = 0,8x + 2,8 
 
E12) a) m = 13 – 0,5t c) t∈ [0,26] 
E13) 
n
60)n(p = , n∈{2,3,4,5} 
E14) V(x) = 4x3 – 46x2 + 120x , 0 < x < 4 
 
E15) P(n) = 100(1,02)n em milhões 
 
E16) G-d, H-c, K-a 
 
E17) a) par b) impar c)nanhuma d) par e) impar 
 
E18) a) 2 b) 3,-1 c) 0,1,-1 
 
E24) a) h = 0,05t + 3,33 , t∈{0,4,8,12} 
 
E25) y = 14x – 45 
E26) 1000
53
t1000)t(D +−= , t em minutos, 53t0 ≤≤ 
E27) a) y = 0,15x + 40 , y = 0,10x + 50 
 
E28) a) l = al0t + l0 – al0t0 , al0 , l0 – al0t0 b) l = 0,001t + 99,99 
 
E30) a) A(x) = -x2 + 4x + 8 b) x = 2 c) 12 
E41) 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
≥
<<
≤
=
20rse,
4
r
20r10se,
10
r
10rse,0
)r(I 
 E45) A) {1,7} B) {4,-6} C){2} 
 
E46) a) (-3,-1) b) ),7()1,( +∞∪−∞ c) [1,3] d) ),1[]7,( +∞−∪−−∞ 
E49) (f+g)(x)= ),0[,xx 2 +∞+ , (f-g)(x)= ),0[,xx 2 +∞− , (f.g)(x)= ),0[,x.x 2 +∞ , ),0(,
x
x)x(
g
f 2 +∞=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 
E50) a) C(t) = 625t2 + 25t + 900 b) R$ 6.600,00 
E51) a)(fog)(x)= x - 16 ),0[, +∞ , (gof)(x)= ),4[]4,(,16x 2 +∞∪−−∞− , (fof)(x)= ℜ+− ,240x32x 24 , 
 27
 ),0[,x)x)(gog( 4 +∞= 
 b)(fog)(x)= x - 3 ),3[, +∞ , (gof)(x)= ),3[]3,(,3x 2 +∞∪−−∞− , (fof)(x)= ℜ,x 4 , 
 ),12[,33x)x)(gog( +∞−−= 
 c)(fog)(x)= 18x2 + 21x + 6 ℜ, , (gof)(x)= 6x2 – 3x + 2 ℜ, , (fof)(x)= ℜ+− ,xx8x8 34 , 
 ℜ+= ,8x9)x)(gog( 
 d)(fog)(x)= 
x2x
1
3 + }0{, −ℜ , (gof)(x)= x
2
x
1
3
+ , }0{, −ℜ , (fof)(x)= }0{,x −ℜ , 
 ℜ++++= ,x4x10x12x6x)x)(gog( 3579 
 e)(fog)(x)= 
2
1x
−
+ }1{, −−ℜ , (gof)(x)= 
x
x2 − , }1,0{, −ℜ , (fof)(x)= 
x2
1x
−
− }2,1{, −ℜ , 
 }0,1{,
x
1)x)(gog( −−ℜ−= 
E52) a) r = 60t b) (Aor)(t) = 2t3600π 
E53) h(x) = 2x + 1 e g(x) = x3 
E54) g(x) = x2 + x – 1 
E55) a) Não b) Sim 
E57) x)x)(fof(,,,
2
3xy 1 =ℜℜ−= − 
E59) a) 
2
3xy += b) Não c) 1x,1xy −≥+= d) 3 1xy −= e) 
1x
1x2y +
+= 
E60) N(t) =2t 
E61) P(h) =(0,9)h 
E62) P(t) = 67,38(1,026)t 
E63) a) 3 b) 200 % c) 100 d) 5.904.900 
E65) Quando x aumentainfinitamente, o valor da expressão ,)
x
11( x+ transforma-se em um dos números mais 
 importante da Matemática. Esse número irracional, denominado número de Euler, é a base mais usada 
 nas funções exponenciais úteis na representação de muitos fenômenos nas ciências naturais e sociais. 
 e = 2,71828 ... 
 28
E66) a) 50 milhões b) 91,11 milhões 
E67) R$ 20.000,00 
E68) 54.000 
E70) a)3 b)
2
1− c) 1 d) 0 
E71) (fog)(x) = x2 xlog2 = , (gof)(x) = x2log x2 = , 1 , 2 , 4
1 
E72) a) 4 b) 5log3 c) 7log 2 
E73) a) 2 b) 2 + e-1 c) 3 
E74) a) ),2( +∞− b) ),2( +∞ c) }0{−ℜ d) ),0( +∞ 
E75) a) g(x) = ln x , h(x) = x + 2 b) g(x) = ln x , h(x) = x – 2 c) g(x) = ln x , h(x) = |x| 
 d) g(x) = |x|, h(x) = ln x 
 
E76) (fog)(x) = x , Dom(fog)= ),0( +∞ , (gof)(x) = x , Dom(gof)=ℜ 
 
E77) a) 1,46 b) 2,59 c) 0,63 
 
E78) 4 
 
E79) 13,5 horas 
 
E80) 7,5 dias 
 
E81) f-1(t) = 10ln
50
t 
E82) a) crescente b) y = ln
x1
x
− 
 
E83) a) 82% b)34,5 horas 
 
E84) a) P(t) = 3,6(1,034)t b) P(t) = 3,6e0,033t 
 
E85) 13,86 anos 
E86) Falso, t = 41,5 anos 
E87) 5.633,33 anos 
E88) 9.126,48 anos 
E89) 10.571,15 anos 
E90) 77,4% 
 29
E91) 24,95 anos , 95,9% 
E92) a)45% b) 2,3% 
E93) 49% 
E94) Q(t) = Q0
2,19
t
2
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ , 19,2 anos , 44,8 anos , 64 anos 
E95) a) y = 50
2
t5 + b) P(t) =50.2t/20 
E96) 22,4 m 
E97) 0,54 km , 2,08 km 
E98) 20,69 m 
E99) 126 m ou 50,4 m 
E100) 17,22 m 
E101) 20,07 m 
E102) 75 km 
E103) 4 m 
E104) 250 m 
E105) 76,65 m , 129,23 m 
E106) a) 30,4 m b) 25,6 m 
E107) a) (1,0) b) (1,0) c) (-1,0) d) (1,0) e) (-1,0) f) (0,1) 
 g) (0,-1) h) (0,-1) i) (0,1) j) (1,0) k) (0,-1) l) (-1,0) 
E109) a) 280o b) rad
3
4π c) – 50o d) rad
6
π e) – 60o f) rad
3
2π− 
E110) a) 0 b) –1 c) –1 d) –1 e) 
2
2− f) 
2
1− 
E111) Dom f =ℜ , Im f = [-1,1] 
E112) sen2t +cos2t = 1, ℜ∈∀t 
 
 30
 LIMITES E CONTINUIDADE 
 
 
1. NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE 
 
 
 Vamos fazer um estudo informal de limites, de modo a desenvolver intuitivamente idéias básicas que 
 
irão alicerçar nossos estudos futuros. 
 
 Muitas vezes quando trabalhamos com funções, o que nos interessa são os valores f(x) de uma função 
 
f, quando x assume valores próximos de um número a, em outras palavras, queremos saber se a f(x) se 
 
aproxima de um número b quando x se aproxima de a. Em caso afirmativo, dizemos que o limite de f(x) 
 
quando x tende para a, é igual a b e indicamos pela notação b)x(flim
ax
=→ . 
 Seja a função f, dada por 
1x
1x)x(f
2
−
−= . Note que o domínio da f é }.1{−ℜ 
 
 A f(x) se aproxima de algum número quando x assume valores próximos de 1? 
 
 Para responder esta pergunta, observe a tabela abaixo com valores de x próximos do número 1 e os 
 
correspondentes valores de f(x). 
 
x 0 0,5 0.7 0,9 0,99 … 1 … 1,01 1,1 1,2 1,5 2 
f(x) 1 1,5 1,7 1,9 1,99 … 2 … 2,01 2,1 2,2 2,5 3 
 
 lado esquerdo lado direito 
 
 Pela tabela, podemos concluir que, quando x se aproxima cada vez mais de 1, f(x) fica cada vez mais 
 
próxima de 2. 
 
 Simbolicamente: .2)x(flim
1x
=→ 
 
 Note que, 2)x(flim
1x
=→ não significa que x vai assumir o valor 1 e nem que a f(x) vai assumir o valor 2. 
 
 Podemos responder a pergunta acima, observando o gráfico da função f ao invés da tabela. 
 
 Como 1x ≠ , 1x
1x
)1x()1x(
1x
1x)x(f
2
+=−
+−=−
−= . Logo, a função f se comporta como a função g 
 
dada por 1x)x(g += , isto é, f(x) = g(x) para todo 1x ≠ . Como o gráfico cartesiano da g é uma reta, o 
 
gráfico cartesiano da f é a mesma reta, excluindo o ponto )2,1( , pois 1x ≠ . 
 
 
 
 
 31
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. LIMITES LATERAIS 
 
 a) Limite à esquerda: b)x(flim
ax
=−→ é o limite de f(x) quando x se aproxima de a por valores menores 
 do que a. 
 
 b) Limite à direita: b)x(flim
ax
=+→ é o limite de f(x) quando x se aproxima de a por valores maiores 
 do que a. 
 
 
E1) Considere a função f(x) = x + 1. 
 
a) Qual é o domínio de f ? 
 
b) Represente o gráfico de f. 
 
c) Encontre ).x(flim
1x→ 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 x 
 
 
E2) Substitua a função do exemplo anterior por f(x) = 
1x
xx 2
−
− . 
 y 
 
 
 
 
 
 
 0 x 
 
 
x O 1 
2 
y 
 32
E3)Repita para a função f(x) = 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠−
−
1xse,4
1xse,
1x
1x 2
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 x 
 
 
E4) Repita para a função f(x) = 
⎩⎨
⎧
<−
≥−
1xse,x2
1xse,1x
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 0 x 
 
 
 )x(flim
ax→ = L se e somente se )x(flimax +→
= )x(flim
ax −→
= L. 
 
 
 Se )x(flim
ax +→
 ≠ )x(flim
ax −→
, então )x(flim
ax→ não existe. 
 
 
E5) Seja f a função cujo gráfico aparece abaixo. 
 y 
 
 
 
 
 
 
 3 
 
 -10 -5 0 5 x 
 
 
 Determine: