ESTUDO DIRIGIDO 1

Prévia do material em texto

ESTUDO DIRIGIDO 1: VETORES – EQUILÍBRIO – ATRITO – MOMENTO DE UMA FORÇA 
Antes faça uma revisão dos conceitos, leis e definições encontradas em livros, internet, etc. e também faça uso das anotações e resoluções feitas em sala de aula. Tente sempre reproduzir as resoluções.
NATUREZA DAS FORÇAS MECÂNICAS – AÇÃO/REAÇÃO
1) Um corpo repousa sobre uma superfície horizontal.
(a) Qual a natureza das forças a ele aplicadas?
(b) Quais os corpos que exercem essas forças (pares ação-reação)?
Resp: resolução em sala de aula
2) Um corpo repousa sobre uma superfície inclinada de ângulo θ em relação à horizontal.
(a) Qual a natureza das forças a ele aplicadas?
(b) Quais os corpos que exercem essas forças (pares ação-reação)?
Resp: resolução em sala de aula
3) Um corpo encontra-se em equilíbrio estático e suspenso no ar através de uma corda fixada no teto.
(a) Qual a natureza das forças a ele aplicadas?
(b) Quais os corpos que exercem essas forças (pares ação-reação)? 
Resp: resolução em sala de aula
4) Um corpo encontra-se em repouso na extremidade de uma mesa. É dado um impulso (empurrão) e o corpo adquire velocidade, percorre a distância da mesa e cai no chão. Incluindo o ar na análise, responda:
(a) Quais as forças aplicadas ao corpo durante a sua trajetória da mesa ao chão?
(b) Quais os corpos envolvidos e as forças de ação-reação?
Resp: resolução em sala de aula
5) Determinar graficamente (no caderno quadriculado ou com régua) os módulos das componentes horizontal e vertical de uma força de 40 unidades (u) aplicadas a um corpo, cuja direção é de 500 com a horizontal e sentido noroeste? Sugestão: 1 cm = 4 u de força.
Resp: 25,7 u e 30,6 u.
6) Uma caixa de madeira encontra-se em repouso numa superfície horizontal. A caixa é empurrada sobre o solo por uma força de 40 u com direção 300 com a horizontal. Determinar os módulos das componentes desta força e representar graficamente. Sugestão: 1 cm = 4 u de força.
Resp: 34,6 u e 20 u.
7) Um corpo é arrastado para a parte superior de um plano inclinado de 450 em relação a horizontal, por uma força F cuja direção faz um ângulo de 300 com o plano inclinado.
(a) Qual deve ser a intensidade (módulo) de F a fim de que a sua componente paralela ao plano seja 16 u? (b) Neste caso, qual será o valor da componente vertical?
c) Resolução gráfica fazendo 1 cm = 2 u de força.
Resp: (a) 18,5 u (b) 9,25 u.
8) As três forças na figura abaixo agem sobre um corpo extenso, porém considerado um ponto material e situado na origem das coordenadas cartesianas.
(a) Determinar o módulo da resultante das três forças. O corpo está em equilíbrio?
(b) Calcule a intensidade, a direção e o sentido de uma quarta força a ser adicionada ao sistema, de modo que a resultante no corpo seja nula e indicá-la no diagrama. O corpo está em equilíbrio? Seja 2 cm = 5 u. Resp: (a) 23,1 u, não está em equilíbrio, portanto acelerado. (b) módulo: 23,1 u, direção: 56,1o com a horizontal e sentido oposto. Sim, o corpo está em equilíbrio, pois a força resultante é nula e não há aceleração. No entanto, pode estar em repouso ou em MRU (v = 0 ou v ≠ 0).
 
9) Na figura abaixo, A e B são forças aplicadas a um ponto material. Determinar o vetor soma graficamente e sua intensidade, direção e sentido.
 
Resp: 15 u, 53,20 acima da abscissa X.
10) Duas forças estão aplicadas a um ponto material. A intensidade de F1 = 8 u, com direção 600 com eixo X, sentido para cima no primeiro quadrante. A intensidade de F2 = 5 u, direção 530 com eixo X e para baixo no quarto quadrante.
(a) Determine o módulo da força resultante pela lei dos cossenos.
(b) Determine o módulo da força resultante pelo método das projeções nos eixos X e Y e depois Pitágoras.
(c) Represente graficamente o vetor força resultante com direção e sentido.
Resp: (a) ~ 7,6 u. (b) ~ 7,6 u. (c) ~22,7o com X, nordeste.
11) Duas forças estão aplicadas a um corpo, de tal maneira que a resultante possui a mesma intensidade que uma delas e faz com ela um ângulo de 900. Seja esta força = 10 u. Determinar o módulo da outra força e sua posição em relação à primeira.
Resp: 14,1 u com ângulo 1350.
12) Determinar o módulo da força resultante do seguinte sistema de forças aplicadas a um corpo, pelo processo da decomposição no eixo cartesiano X e Y: (considere o corpo um ponto material no centro do eixo cartesiano).
a) (80 u, vertical para baixo); (100 u, 600 com eixo X, nordeste); (60 u, horizontal, para a esquerda).
b) Verificar graficamente (caderno quadriculado ou régua) pelo método do polígono, considerando 50 unidades de força = 5 cm.
Resp: (a) ~12 u.
FORÇA PESO – SISTEMA DE CORPOS EM EQUILÍBRIO ESTÁTICO – PONTO MATERIAL
13) Dois corpos de pesos 10 u são pendurados nas extremidades de uma corda que passa por uma pequena roldana (polia) sem atrito. A roldana, por sua vez, está fixada a uma corrente pendurada no teto.
(a) Qual a força de tração na corda?
(b) Qual a força de tração na corrente?
Resp: (a) 10 u (b) 20 u
14) Na figura abaixo, o módulo da força peso do corpo pendurado é 5 u. Desprezar as massas dos fios.
(a) Determinar as forças de tração T1 e T2 nos cabos, se θ1 = θ2 = 600. 
(b) Determinar as forças de tração T1 e T2 nos cabos, se θ1 = θ2 = 100. Resp: 14,4 u. 
(c) Determinar a força de tração T1 e T2 nos cabos, se AB = 10 m, AO = 6 m e OB = 8 m. Resp: 4 u e 3,1 u.
 
 
Resp: (a) 2,87 u. (b) 14,4 u. (c) 4 u e 3,1 u.
15) Nas figuras a, b e c abaixo, determinar as forças nas cordas A, B e C, sabendo que a força peso do corpo suspenso (P) é 200 u.
 
Resp: Figura (a): A = 146,4 u; B = 178,6 u; C = 200 u. Figura (b): A = 200 u; B = 280 u; C = 200 u.
 Figura (c): A = 550 u; B = 670 u; C = 200 u.
16) Para o sistema da figura abaixo, em equilíbrio, qual a relação entre os pesos PA e PB dos corpos A e B? Os fios e as polias são ideais.
 
Resp: PA / PB = √ 3
17) Determine as trações nos fios ideais BC e BA, sabendo-se que o sistema está em equilíbrio na posição indicada. Dados: senθ = 0,6; cosθ = 0,8; Força peso P = 90 N. Resp: TBC = 150 N; TBA = 120 N
 
18) O sistema da figura, para chegar à posição de equilíbrio, fez com que a mola M fosse alongada de 0,5 cm. Se as massas dos fios e da mola forem desprezíveis e a intensidade da força peso do corpo suspenso for 200 N, qual a constante elástica da mola?
 
Resp: 4 . 104 N/m (40000 N/m).
19) O bloco abaixo encontra-se sustentado por fios como indicado. Dado o peso do bloco igual a P e o ângulo igual a θ, calcular o módulo da força horizontal no fio AB. Resp: P tg θ. 
 
EQUILÍBRIO (ESTÁTICO/DINÂMICO) EM CORPOS EXTENSOS -– FORÇAS SOBRE BARRAS 
20) A figura representa uma esfera de peso P = 10 √3 N, apoiada sobre uma superfície horizontal e presa à parede vertical por meio de um fio inextensível e de massa desprezível. Sendo F = 20 √3 N, determine as intensidades de T e de N. Resp: 30 N e 0.
 
21) Na figura, E é uma esfera de peso 400 √3 N, em equilíbrio, apoiada sobre um plano horizontal indeformável. Desprezando-se os pesos dos fios (inextensíveis) e das roldanas, bem como todos os atritos, calcule os valores da reação do apoio F e do ângulo α. Resp: 100 √3 e 600.
 
 
22) Nas montagens das figuras a, b, c e d abaixo ilustradas, determinar a tração na corda e a intensidade, direção e o sentido da força exercida sobre a barra pela articulação. Considerar o peso do corpo pendurado igual a 1000 u e desprezar o peso da barra.
 
Respostas:
Figura a: Tração = 2000 u; Força = 1732 u; direção horizontal, sentido à direita.
Figura b: Tração = 1732 u; Força= 2000 u; direção 300 com a horizontal, nordeste.
Figura c: Tração = 897,1 u; Força = 735,3 u; direção 300 com a horizontal, sentido nordeste.
Figura d: Tração = 2702,7 u; Força = 3311,8 u; direção 450, nordeste. 
23) Uma haste horizontal de 2,4 m se articula a uma parede vertical por uma de suas extremidades e na outra suporta um peso de 220 u. Um fio liga esta extremidade a um ponto da parede, semelhante à montagem da figura a da questão 15. Desprezar o peso da haste.
(a) Se a tração no fio não deve exceder 450 u, qual é a altura mínima acima da articulação onde se pode prender o fio? 
(b) De quantas unidades de força aumentaria a tração no fio causando o rompimento, se ele fosse preso à parede num ponto 0,3 m abaixo do calculado em (a), permanecendo a haste horizontal?
Resp: (a) 1,345 m (134,5 cm). (b) 101 u.
24) Determinar a carga máxima (força peso P máximo) que pode ser suportado pela estrutura projetada na figura abaixo, se a tração máxima que o cabo superior pode suportar é 450 u e a compressão máxima que a barra pode suportar é 900 u. O cabo vertical é forte o suficiente para suportar qualquer carga. Desprezar o peso da barra. DICA: Primeiro calcule N (compressão na barra) utilizando tração máxima no cabo. 
 
Resp: 614,7 u. 
ATRITO (CINÉTICO E ESTÁTICO)
25) O corpo A na figura abaixo pesa 45 u. O coeficiente de atrito estático entre o corpo e a superfície sobre a qual ele se apóia é 0,3. O peso P na situação indicada é 9 u e o sistema se encontra em equilíbrio.
(a) Determinar a força de atrito exercida sobre o corpo A. 
(b) Determinar o peso máximo P para o qual o sistema ainda se mantém em equilíbrio.
 
Resp: (a) 9 u. (b) 13,5 u.
26) O esquema anexo representa um sistema em equilíbrio já na iminência de movimento. Determine o coeficiente de atrito estático (Ke) entre o corpo A e o plano horizontal. Os fios são ideais. São dados os pesos dos corpos A e B: PA = 200 N e PB = 100 N; senθ = 0,8 e cosθ = 0,6.
 
Resp: 3/8 = 0,375. 
27) Um corpo extenso é puxado para a direita, em um plano horizontal, com velocidade constante (força resultante = 0, aceleração = 0, MRU) por uma força de intensidade igual a 10 u, 300 com a horizontal e sentido noroeste. O coeficiente de atrito de escorregamento (dinâmico ou cinético) entre o corpo e a superfície tem valor 0,5. Qual o módulo da força peso do corpo? Supor que todas as forças atuem no centro do corpo extenso, ou seja, considere o corpo extenso um ponto material.
Resp: 17,3 u.
28) O bloco A é de madeira e tem massa mA = 300 g. Tanto na Figura 1 como na Figura 2, o corpo encontra-se em repouso. As superfícies também são de madeira. Determine as forças de atrito. Considere aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e despreze forças atrito com o ar.
 
 Figura 1. Plano horizontal. Figura 2. Plano inclinado de 300 com a horizontal.
Resp: Figura 1: 0 (não há força externa solicitadora). Figura 2: 1,5 N.
29) Na Figura 2 anterior, o coeficiente de atrito estático (Ke) entre superfícies de madeira foi determinado experimentalmente no laboratório e o seu valor médio é 0,65. Qual o ângulo e o módulo da força de atrito máximo?
Resp: 330 e 1,64 N.
30) O corpo A da figura abaixo tem peso igual a 6,35 u e está posicionado sobre um plano inclinado que faz um ângulo θ em relação à horizontal. Corpo A se liga a outro corpo B de peso 4,54 u, através de um fio que passa por uma roldana com atrito desprezível. O coeficiente de atrito dinâmico (ou cinético) entre o corpo A e a superfície do plano é 1/7. 
 
 
Quais os dois valores do ângulo θ de modo que o sistema se movimenta com velocidade constante (MRU)? Supor que todas as forças aplicadas ao corpo A atuam no seu centro. Sugestão: sen2θ + cos2θ = 1.
Resp: ~53o (A descendo no plano e B subindo vertical) ou ~37o (A subindo no plano e B descendo vertical).
31) Na figura anterior PA = 100 u e θ = 30o. O coeficiente de atrito estático tem valor 0,4 e o coeficiente de atrito dinâmico é 0,3.
(a) Determinar a força peso PB de modo que o corpo A suba o plano inclinado com velocidade constante.
(b) Determinar a força peso PB de modo que o corpo A desça o plano inclinado com velocidade constante. 
(c) Para que intervalo de valores de PB o corpo A fica em repouso?
Resp: (a) 76 u (b) 24 u (c) entre 15,4 u e 84,6 u.
32) Ainda na mesma figura anterior, PA = 50 N e o plano está inclinado de θ = 300 com a horizontal. O coeficiente de atrito estático entre o corpo e a superfície do plano é Ke = 0,2. Entre que limites pode variar a força peso do corpo B (PB), de forma que o sistema permaneça em repouso?
Resp: 16,3 N ≤ PB ≤ 33,7 N
33) Os corpos A e B das figuras abaixo tem pesos 4 u e 8 u, respectivamente. O coeficiente de atrito dinâmico entre todas as superfícies é 0,25. Determinar as forças F indicadas nas figuras, necessárias para arrastar o corpo B para a esquerda com velocidade constante nas seguintes condições:
(a) Se o corpo A permanece sobre o corpo B e se move com ele (Figura a).
(b) Se o corpo A é mantido fixo em repouso (Figura b). 
(c) Se os corpos A e B são ligados por uma corda leve e flexível passando por uma roldana fixa sem atrito. Resp: (a) 3 u (b) 4 u (c) 5 u 
34) Dois corpos, A e B, de pesos iguais a 20 u, são ligados por corda ao corpo C, conforme mostra a figura abaixo. O coeficiente de atrito de escorregamento entre cada corpo e a superfície é 0,5 e o corpo C desce com velocidade constante.
(a) Traçar os diagramas de forças aplicadas aos corpos A, B e C.
(b) Determinar a força de tração na corda que liga os corpos A e B. 
(c) Qual o módulo do peso do corpo C?
 
Resp: (b) 10 u (c) 30 u 
MOMENTO DE UMA FORÇA
35) Uma barra de 50 cm (0,5 m) situada num plano vertical pode girar em torno do ponto de suspensão “o” (referencial “o”). Determine o momento da força F de módulo 10 N em relação ao ponto “o” nos casos indicados nas figuras A, B, C e D.
 
Resp: A) 0 (não produz rotação) B) 0 (não produz rotação) C) + 2 N.m (produz rotação anti-horário)
 D) ─ 5 N.m (produz rotação horário).
36) Determine os momentos da força F indicados na figura abaixo nas situações A e B em relação ao ponto de referência “o” da barra de comprimento 100 cm. Dados: módulo da força igual 10 N e θ = 300.
Resp: A) + 5 N.m B) ─ 5 N.m
37) Uma barra homogênea AB de peso P = 10 N e comprimento L = 50 cm está apoiada num ponto “o” a 10 cm de A onde pende um corpo de peso 50 N. A que distância (X) de B deve ser colocada um corpo de peso igual a 10 N para que a barra fique em equilíbrio na horizontal?
Resp: X = 5 cm ou X = 0,05 m
38) A barra indicada BD é mantida horizontalmente pela corda AC e é articulada em B. Qual a reação do pino de articulação (componente horizontal e vertical) na barra e qual a força de tração na corda AC, sendo desprezível o peso da barra? Dado: força peso P = 100 N.
Resp: NX = 150 N (horizontal); NY = 100 N (vertical, para baixo); T = 250 N.
39) Uma ponte de 100 m de comprimento e peso igual a 120000 N apóia-se em dois pilares A e B. Uma locomotiva de peso igual a 20000 N encontra-se parada sobre a ponte a 10 m do pilar A. Determine as reações que os pilares A e B exercem sobre a ponte. Considere a força peso da locomotiva aplicada em seu ponto central.
 
Resp: NA = 78000 N; NB = 62000 N.
40) No sistema em equilíbrio esquematizado abaixo, o peso e o comprimento da barra são, respectivamente, 12 N e 4 m. Determine a tração no fio e a reação do apoio. Resp: 8 N e 4 N.41) Uma chapa de aço de duas toneladas está suspensa por cabos flexíveis conforme mostra a figura abaixo. A roldana R está fixada e P é a força peso necessário do corpo para equilibrar a chapa na posição indicada. Desprezando-se as massas dos cabos, da roldana e o atrito no eixo da mesma, qual o valor de P? Considere aceleração da gravidade igual a 10 m/s2.
Resp: 2 . 104 N (20000 N).
42) Um painel retangular de comprimento 100 cm e de grande peso, deve ser suspenso por meio de uma corda cujas extremidades se prendem a dois pontos A e B conforme mostrado. Ponto C funciona como uma “roldana”. Qual o comprimento da corda de maior segurança, isto é, de menor perigo da corda arrebentar?
 
Resp: 200 cm (2 m).
 
43) A barra mostrada na Figura 1 acima, pesa 40 u e o centro de gravidade da barra coincide com o centro geométrico da barra. Determinar:
(a) Força de tração no cabo.
(b) Componente horizontal e componente vertical da força exercida pela barra sobre a parede.
Resp: (a) 133,3 u. (b) 106,64 u e 20,02 u.
44) Uma força única necessária deve ser aplicada à barra da Figura 2 para mantê-la em equilíbrio na posição indicada. O peso da barra pode ser desprezado.
(a) Quais são as componentes (horizontal e vertical) desta força?
(b) Qual a tangente do ângulo da força necessária para manter a barra na horizontal?
(c) Qual a intensidade da força necessária?
(d) Onde ela deve ser aplicada? 
Resp: (a) 2,73 u; 4,54 u. (b) 1,66666. (c) 5,3 u. (d) 0,61 m da extremidade direita.
45) Um disco circular (roldana) com diâmetro 30,5 cm (0,305 m), mostrada na Figura 3, é articulado num eixo que passa pelo seu centro e possui um fio enrolado em torno da sua superfície cilíndrica. O fio passa pela polia sem atrito e se prende a um corpo cujo peso é 21,8 N. Ao disco é parafusada uma barra uniforme de 122 cm (1,22 m) de comprimento com uma extremidade coincidindo com o centro do disco. Se o sistema está em equilíbrio com a barra na horizontal, qual é o peso da barra?
Resp: 5,41 N.
46) A barra homogênea de seção reta e uniforme esquematizada abaixo, está articulada através de um pino ligado à parede que passa por orifício existente na barra. Isso permite que a barra gire livremente no plano da figura. A força de reação (R) da articulação na barra tem direção (ângulo) não determinada a priori. Devido a isso, recorre-se às componentes horizontal (RX) e vertical (RY) de R. A barra tem peso 100 N e o corpo pendurado tem peso 250 N. Mediante essas informações, determine a força de tração no fio que sustenta a barra na direção horizontal e as componentes horizontal e vertical da força de reação da articulação na barra. Dados: senθ = 0,6; cosθ = 0,8.
 
Resp: Rx = 400 N; RY = 50 N; força de tração T = 500 N.
 
47) O disco circular cilíndrico mostrado na figura abaixo, encontra-se articulado num eixo que passa pelo seu centro e possui um fio enrolado em torno de sua superfície cilíndrica. O fio passa por uma roldana sem atrito e se prende a um corpo cuja massa é 2 kg. Uma barra de 1 m de comprimento e massa 500 g é parafusada ao disco com uma extremidade coincidindo com o centro do disco e a outra extremidade da barra sustenta um corpo de massa 200 g. Se o sistema está em equilíbrio, qual é a direção da barra em relação à horizontal (linha pontilhada)? Considere aceleração da gravidade igual a 10 m/s2.
 
Atenção: veja a resolução e resposta na ultima página.
48) O diagrama abaixo mostra uma escada de comprimento L em equilíbrio encostada na parede vertical com atrito desprezível, porém o piso horizontal tem atrito (caso contrário, a escada iria escorregar). A força F2 tem direção θ com o piso horizontal. Pesou-se a escada numa balança de molas e obteve-se 20 N e um transferidor forneceu ângulo α = 40,5o. 
 
Com estes dados, determine:
a) Módulo da força F1 aplicada pela parede vertical sobre a escada. Observe que não há atrito, então é a própria força normal da parede sobre a escada. Qual o significado físico da força F1?
b) Força de atrito exercida pelo piso horizontal na base da escada. Observe que a força de atrito não é F2.
c) Determine o módulo e a direção da força F2. 
d) Para outra escada de peso igual a 30 N e na iminência desta escorregar, determine o coeficiente de atrito estático (Ke) entre o material do piso e a escada.
Atenção: veja resolução e respostas na ultima página.
49) No esquema abaixo o bloco de cimento de peso 10 kgf possui 30 cm de altura, 60 cm de comprimento e o centro de gravidade coincide com o seu próprio centro. O bloco se movimenta para a direita devido à ação da força T com direção 300 com a superfície horizontal. O coeficiente de atrito dinâmico (Kd) entre o cimento e a superfície tem valor 0,2.
a) Determinar a força T necessária para arrastar o bloco com velocidade constante (MRU, força resultante nulo, não tem aceleração). Atenção: peso do bloco é diferente da força normal.
b) Determinar a linha de ação da força normal N exercida pela superfície sobre o bloco.
 
Resp: (a) 2,1 kgf (b) x = 33 cm
50) Estagiando em uma construtora, você é designado para testar a segurança de um elevador, cuja carga máxima é de 1000 kg, incluído a própria massa. Ele deve ser suspenso por um cabo de aço de 300 m comprimento e diâmetro 3,0 cm. Haverá risco se o cabo for tracionado mais do que 3,0 cm. Seu encargo é de determinar se o elevador é ou não seguro, como projetado, sabendo que a máxima aceleração do sistema será de 1,5 m/s2. Dado o módulo de Young para o aço: 2,0 . 1011 N/m2. Considerar g = 10 m/s2.
Atenção: leia e estude o texto abaixo até o final, onde você vai encontrar a resolução da questão 50.
MÓDULO DE YOUNG (Y) ou MÓDULO DE ELASTICIDADE
É uma medida da rigidez de um material sólido, parâmetro fundamental para a engenharia e aplicação de materiais, pois está associado com a descrição de várias outras propriedades mecânicas, como por exemplo, a tensão de escoamento, a tensão de ruptura, a variação de temperatura crítica para a propagação de trincas sob a ação de choque térmico, etc. É uma propriedade intrínseca dos materiais, portanto depende da composição química, da microestrutura e de eventuais defeitos que possa ter como poros e trincas. Esta propriedade pode ser obtida da razão entre a tensão exercida e a deformação sofrida pelo material.
Tensão (pressão) é definida através de força ou carga por unidade de área (F/A) aplicada sobre um determinado material. Deformação é mudança sofrida nas dimensões por unidade da dimensão original (ΔL/Lo). Assim, o módulo de Young (Y) é dado por:
 
F é força, em Newton (N).
A é área da seção transversal na qual é exercida a força (compressão ou tração), em metros quadrados (m2).
ΔL é variação do comprimento longitudinal, em metros (m).
Lo é comprimento inicial do corpo, em metros (m).
ΔL/Lo é, portanto, deformação elástica longitudinal do corpo de prova (adimensional).
Para a maioria dos metais, Y varia entre 45 GPa (45.109 N/m2) para o magnésio, até 400 GPa (400.109 N/m2) para o tungstênio. Os polímeros possuem Y entre 0,002 e 4,8 GPa. 
A diferença na magnitude de Y dos metais, cerâmicas e polímeros é uma consequência dos diferentes tipos de ligação atômica existentes nestes materiais. Além disso, com o aumento da temperatura, o Y diminui para quase todos os materiais, com exceção de alguns elastômeros, polímeros que apresentam propriedades "elásticas" obtidas depois da reticulação e suportam grandes deformações antes da ruptura.
Os valores de Y de diferentes classes de materiais podem ser encontrados em tabelas, livros e sites que abordam o assunto.
Outras propriedades elásticas importantessão: módulo de cisalhamento (), módulo volumétrico () e coeficiente de Poisson (). Os métodos de caracterização de Y podem ser realizados por meio de ensaios destrutivos (em que o corpo de prova fica inutilizado após o teste) ou ensaios não destrutivos (sem qualquer dano, podendo o material ser reutilizado normalmente).
Nos ensaios destrutivos, também chamados de quase-estáticos, a carga, que pode ser estática ou se alterar lentamente no tempo, é aplicado uniformemente sobre uma seção reta ou superfície de um corpo. A deformação é medida e relacionada ao módulo elástico que pode ser o módulo de Young ou o módulo de cisalhamento, dependendo do tipo de ensaio. Há três maneiras principais, segundo as quais uma carga ou força pode ser aplicada: tração ou compressão para a determinação do módulo de Young e cisalhamento ou torcional para o módulo de cisalhamento. Os ensaios de tração são os mais comuns.
Já nos ensaios não destrutivos, dinâmicos ou por ultra-som (tensão), os módulos elásticos são determinados a partir da frequência de vibração natural (ressonância) do corpo de prova com amplitudes de vibração (deformação) mínimas.
Resolução da questão 50:
Primeiro deve-se calcular a força de tração T no cabo de aço quando o elevador estiver subindo acelerado: T – P = m . a
T – m . g = m . a
Substituindo os valores dados:
T – 1000 . 10 = 1000 . 1,5
T = 11500 N
Substituem-se os dados na fórmula do módulo de Young, onde T = F:
 
2.1011 = [(11500) / 3,14.(0,015)2] / (ΔL/300)
ΔL = 0,0244 m
ΔL = 2,44 cm
Relatório ao seu chefe
De acordo com os cálculos, o cabo sofrerá elongação máxima de 2,44 cm, ou seja, 18,7 % menor que o limite de ruptura de 3,0 cm. No entanto, na nota de rodapé da tabela do módulo de Young que consultei, os valores fornecidos são representativos e diz o autor que valores reais podem variar de amostra para amostra para um mesmo material. Os riscos foram avaliados, porém, mediante esta consideração, recomendo consultar um engenheiro para avaliação profissional. 
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO 47
47) O disco circular cilíndrico mostrado na figura abaixo, encontra-se articulado num eixo que passa pelo seu centro e possui um fio enrolado em torno de sua superfície cilíndrica. O fio passa por uma roldana sem atrito e se prende a um corpo cuja massa é 2 kg. Uma barra de 1 m de comprimento e massa 500 g é parafusada ao disco com uma extremidade coincidindo com o centro do disco e a outra extremidade da barra sustenta um corpo de massa 200 g. Se o sistema está em equilíbrio, qual é a direção da barra em relação à horizontal (linha pontilhada)? Considere aceleração da gravidade igual a 10 m/s2.
 
Resolução
Primeiro deve-se isolar a barra e identificar e posicionar as forças aplicadas nela.
P1 é a força peso aplicada pela terra no corpo de massa 2 kg. Portanto P1 = 2 . 10 = 20 N que é transmitida ao fio e igual à força de tração T no fio, que por sua vez, é transmitida à barra como mostrada na figura abaixo.
P2 é a força peso aplicada pela terra no corpo de massa 200 g (0,2 kg). Portanto P2 = 0,2 . 10 = 2 N.
Pb é a força peso aplicada pela terra na barra. Portanto Pb = 0,5 . 10 = 5 N. 
 
L = comprimento da barra = 1 m
R = 0,15 m (metade do diâmetro que é 0,3 m)
T = 20 N
Pb = 5 N
P2 = 2 N 
BT = braço da força T = R = 0,15 m
BPb = braço do peso da barra = (L/2) . cosθ = 0,5 . cosθ
BP2 = braço do peso P2 = L . cosθ = 1 . cosθ = cosθ
MT = + T . BT = 20 . 0,15 = + 3 
MPb = ─ Pb . BPb = ─ 5 . 0,5 . cosθ = ─ 2,5 . cosθ 
MP2 = ─ P2 . BP2 = ─ P2 . cosθ = ─ 2 . cosθ
SOMA M = 0
MT + MPb + MP2 = 0
3 ─ 2,5.cosθ ─ 2.cosθ = 0
3 = 2,5.cosθ + 2 . cosθ
4,5.cosθ = 3
cosθ = 3 / 4,5 = 0,6666
θ = arc cos (0,6666....) = 48,20
RESOLUÇÃO DA QUESTÃO 48
48) O diagrama abaixo mostra uma escada de comprimento L em equilíbrio encostada na parede vertical com atrito desprezível, porém o piso horizontal tem atrito (caso contrário, a escada iria escorregar). A força F2 tem direção θ com o piso horizontal. Pesou-se a escada numa balança de molas e obteve-se 20 N e um transferidor forneceu ângulo α = 40,5o.
 
 
Com estes dados, determine:
a) Módulo da força F1 aplicada pela parede vertical sobre a escada. Observe que não há atrito, então é a própria força normal da parede sobre a escada. Qual o significado físico da força F1?
b) Força de atrito exercida pelo piso horizontal na base da escada. Observe que a força de atrito não é F2.
c) Determine o módulo e a direção da força F2. Qual o significado físico da força F2? 
d) Para outra escada de peso igual a 30 N com os mesmos ângulos α e θ, porém na iminência da escada escorregar no piso, determine o coeficiente de atrito estático (Ke) entre o material do piso e a escada.
Resolução
(a) Considerando “ponto o” no ponto de aplicação de F2:
 MP = ─ P . (L/2) . cosα = ─ 20 . (L/2) . cos 40,5o = ─ 10 . L . cos 40,5o
 MF1 = + F1 . L . senα = F1 . L . sen 40,5o
 Soma dos momentos = 0 ---------- F1 . L . sen 40,5o = 10 . L . cos 40,5o ---------- F1 = 11,7 N
Resp: F1 ou força aplicada pela parede sobre a escada tem módulo 11,7 N. Observe que F1 é a força da parede aplicada na escada com sentido de movimento para a esquerda. Então o piso horizontal reage a esta força com sentido para a direita, portanto F1 é, em módulo, igual à força de atrito.
(b) Considerando a escada um ponto material e as projeções no eixo X: F2 . cosθ = F1
Observe que F2 . cosθ = força de atrito. Então F1 é a força solicitadora, logo: 11,7 N.
Resp: força de atrito tem módulo 11,7 N.
(c) Considerando a escada um ponto material e as projeções no eixo X: F2 . cosθ = F1 = 11,7
 Considerando a escada um ponto material e as projeções no eixo Y: F2 . senθ = P = 20
 Dividindo membro-a-membro, temos: senθ / cosθ = tgθ = 20 / 11,7 = 1,71
 θ = arc tg 1,71 = 59,7o
 substituindo em qualquer das duas equações: F2 = 23,2 N
 
Significado físico da força F2: É a resultante entre a força de atrito e a força normal sobre a escada. 
Resp: F2 tem intensidade 23,2 N e direção 59,7o com o piso horizontal. A força F2 resulta de duas forças, a de atrito (F2 . cosθ) e da normal (F2 . senθ). 
(d) Considerando “ponto o” no ponto de aplicação de F2:
 MP = ─ P . (L/2) . cosα = ─ 30 . (L/2) . cos 40,5o = ─ 15 . L . cos 40,5o
 MF1 = + F1 . L . senα = F1 . L . sen 40,5o
 Soma dos momentos = 0
MP + MF1 = 0
─ 15 . L . cos 40,5o + F1 . L . sen 40,5o = 0
F1 . L . sen 40,5o = 15 . L . cos 40,5o
F1 = 17,56 N
Da projeção no eixo X:
F2 . cosθ = F1
F2 = F1 / cosθ (F1 = 17,56 e θ = 59,7o)
F2 = 17,56 / cos 59,7o 
F2 = 34,8 N
força normal n = F2 . senθ
n = 34,8 . sen 59,7o = 30,046 N
Sendo F1 a força solicitadora de atrito máximo (iminência de movimento), vem:
fmáx = Ke . n
17,56 = Ke . 30,046
Ke = 17,56 / 30,046 = 0,58
Resp: o coeficiente de atrito estático entre o material do piso e a escada tem valor 0,58, ou seja, para este tipo de revestimento do piso e ângulo α, o peso da escada não deve ultrapassar 30 N. 
 
 
 
_1505469527.unknown