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Exercícios de Álgebra Linear - Lista 12 – Exercícios Complementares de Revisão
1. Verificar se é Transformação Linear a aplicação F: IR2 →IR3, tal que F(x,y)=
(3x, -2y, x-y).
Para ser transformação linear a aplicação deve satisfazer as seguintes condições:
i)F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
ii)F(ku)=kF(u);kR
i)F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
u1=(x1,y1) u=R2 ∕ F(u1)=F(x1,y1)=(3x1,-2y1,x1-y1)
u2=(x2,y2) u=R2 ∕ F(u2)=F(x2,y2)=(3x2,-2y2,x2-y2)
u1+u2=(x1+x2,y1+y2) u=R2 ∕
F(u1+u2)=F(x1+x2,y1+y2)
F(u1+u2)=[3(x1+x2) , -2(y1+y2) , (x1+x2)- (y1+y2)]
F(u1+u2)=[3x1+3x2 , -2y1-2y2 , x1+x2-y1-y2]
F(u1+u2)=[(3x1,-2y1 , x1-y1) + (3x2,-2y2,x2-y2)]
F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
ii)F(ku)=kF(u);kR
ku=k(x,y)=(kx,ky)
F(ku)=F(kx,ky)
F(ku)=[3(kx),-2(ky),(kx-ky)]
F(ku)=(3kx,-2ky,kx-ky)
F(ku)=k(3x),k(-2y),k(x-y)
F(ku)=k(3x,-2y,x-y)
F(ku)=kF(u)
Portanto a aplicação é uma transformação Linear.
2. Verificar se é Transformação Linear a aplicação F: IR →IR, tal que F(x)=3x.
i)F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
u1=(x1) u=R ∕ F(u1)=F(x1)=3x1
u2=(x2) u=R ∕ F(u2)=F(x2)=3x2
u1+u2=(x1+x2) u=R ∕
F(u1+u2)=F(x1+x2)
F(u1+u2)=3(x1+x2)
F(u1+u2)=3x1+3x2
F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
ii)F(ku)=kF(u);kR
ku=k(x)=(kx)
F(ku)=F(kx)
F(ku)=3(kx)
F(ku)=k(3x)
F(ku)=kF(u)
Portanto a aplicação é uma transformação Linear.
3. Verificar se é Transformação Linear a aplicação F: IR2 →IR, tal que F(x,y)=
3x + 1.
i)F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
u1=(x1,y1) u=R2 ∕ F(u1)=F(x1,y1)=(3x1+1)
u2=(x2,y2) u=R2 ∕ F(u2)=F(x2,y2)=(3x2+1)
u1+u2=(x1+x2,y1+y2) u=R2 ∕
F(u1+u2)=F(x1+x2,y1+y2)
F(u1+u2)=(3x1+3x2,2)
F(u1+u2)≠ F(u1)+F(u2)
Portanto a aplicação não é uma transformação Linear.
4. Verificar se é Transformação Linear a aplicação F: IR2 →IR2 , tal que F(x,y)=
( x2, 3y).
i)F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
u1=(x1,y1) u=R2 ∕ F(u1)=F(x1,y1)=(1,3y1)
u2=(x2,y2) u=R2 ∕ F(u2)=F(x2,y2)=(2,3y2)
u1+u2=(x1+x2,y1+y2) u=R2 ∕
F(u1+u2)=F(x1+x2,y1+y2)
F(u1+u2)=[(x1+x2)2 , 3(y1+y2)]
F(u1+u2)=[(1+2x1x2+2),( 3y1+3y2)
F(u1+u2)=(1, 3y1)+(2,3y2)+(2x1x2)
F(u1+u2)≠ F(u1)+F(u2)
Portanto a aplicação não é uma transformação Linear.
5. Verificar se é Transformação Linear a aplicação F: IR3 →IR3 , tal que F(x,y,z)=(x,0,0)
i)F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
u1=(x1,y1,z1) u=R3 ∕ F(u1)=F(x1,y1,z1)=(x1,0,0)
u2=(x2,y2,z2) u=R3 ∕ F(u2)=F(x2,y2,z2)=(x2,0,0)
u1+u2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) u=R3 ∕
F(u1+u2)=F(x1+x2,y1+y2, z1+z2)
F(u1+u2)=(x1+x2,0,0)
F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
ii)F(ku)=kF(u);kR
ku=k(x,y,z)=(kx,ky,kz)
F(ku)=F(kx,ky,kz)
F(ku)=(kx,k0,k0)
F(ku)= (kx,0,0)
F(ku)= k(x,0,0)
F(ku)=kF(u)
Portanto a aplicação é uma transformação Linear.
6. Verificar se é Transformação Linear a aplicação F: IR3 →IR3, tal que F(x,y,z)=(x,y,0)
i)F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
u1=(x1,y1,z1) u=R3 ∕ F(u1)=F(x1,y1,z1)=(x1,y1,0)
u2=(x2,y2,z2) u=R3 ∕ F(u2)=F(x2,y2,z2)=(x2,y2,0)
u1+u2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) u=R3 ∕
F(u1+u2)=F(x1+x2,y1+y2, z1+z2)
F(u1+u2)=(x1+x2,y1+y2,0)
F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
ii)F(ku)=kF(u);kR
ku=k(x,y,z)=(kx,ky,kz)
F(ku)=F(kx,ky,kz)
F(ku)=(kx,ky,k0)
F(ku)= (kx,ky,0)
F(ku)= k(x,y,0)
F(ku)=kF(u)
Portanto a aplicação é uma transformação Linear.
7. Verificar se é Transformação Linear a aplicação F: IR2 →IR3, tal que F(x,y)=
(x-y, 2x+y, 0).
i)F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
u1=(x1,y1) u=R2 ∕ F(u1)=F(x1,y1)=(x1-y1,2x1+y1,0)
u2=(x2,y2) u=R2 ∕ F(u2)=F(x2,y2)=(x2-y2,2x2+y2,0)
u1+u2=(x1+x2,y1+y2) u=R2 ∕
F(u1+u2)=F(x1+x2,y1+y2)
F(u1+u2)=[(x1+x2) -(y1+y2) ,2(x1+x2)+ (y1+y2),0]
F(u1+u2)=[(x1+x2 -y1-y2) , (2x1+2x2+y1+y2),0]
F(u1+u2)=[x1-y1 + x2-y2 , 2x1+y1+2x2+y2,0)]
F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
ii)F(ku)=kF(u);kR
ku=k(x,y)=(kx,ky)
F(ku)=F(kx,ky)
F(ku)=(kx-ky,2kx+ky, k0)
F(ku)=[k(x-y),k(2x+y),0]
F(ku)=k(x-y,2x+y,0)
F(ku)=kF(x,y)
F(ku)=kF(u)
Portanto a aplicação é uma transformação Linear.
8. Verificar se é Transformação Linear a aplicação F: IR2 →IR2, tal que F(x,y)=
(x+2, y+3).
i)F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
u1=(x1,y1) u=R2 ∕ F(u1)=F(x1,y1)=(x1+2,y1+3)
u2=(x2,y2) u=R2 ∕ F(u2)=F(x2,y2)=(x2+2,y2+3)
u1+u2=(x1+x2,y1+y2) u=R2 ∕
F(u1+u2)=F(x1+x2,y1+y2)
F(u1+u2)=[(x1+x2+2),(y1+y2+3)]
F(u1+u2)=(x1+y1,y2+x2,5)
F(u1+u2)≠ F(u1)+F(u2)
Portanto a aplicação não é uma transformação Linear.
9. Verificar se é Operador a aplicação F:IR3 →IR3, tal que F(x,y,z)=(x+2y+2z, x+2y-z,-x+y+4z).
i)F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
u1=(x1,y1,z1) u=R3 ∕ F(u1)=F(x1,y1,z1)=(x1+2y1+2z1; x1+2y1-z1;-x1+y1+4z1)
u2=(x2,y2,z2) u=R3 ∕ F(u2)=F(x2,y2,z2)=(x2+2y2+2z2; x2+2y2-z2;-x2+y2+4z2)
u1+u2=(x1+x2,y1+y2,z1+z2) u=R3 ∕
F(u1+u2)=F(x1+x2,y1+y2, z1+z2)
F(u1+u2)=(x1+x2)+2(y1+y2)+2(z1+z2);(x1+x2)+2(y1+y2)-(z1+z2); -(x1+x2)+
(y1+y2)+4(z1+z2)
F(u1+u2)= (x1+x2+2y1+2y2+2z1+2z2; x1+x2+2y1+2y2-z1-z2; -x1-x2+
y1+y2+4z1+4z2)
F(u1+u2)= (x1+2y1+2z1+x2+2y2+2z2; x1+2y1-z1+x2+2y2-z2; -x1+y1+
4z1-x2+y2+4z2)
F(u1+u2)= F(u1)+F(u2)
ii)F(ku)=kF(u);kR
ku=k(x,y,z)=(kx,ky,kz)
F(ku)=F(kx,ky,kz)
F(ku)=(kx+2ky+2kz;kx+2ky-kz;-kx+ky+4kz)
F(ku)=k(x+2y+2z);k(x+2y-z);k(-x+y+4z) 
F(ku)=k(x+2y+2z;x+2y-z;-x+y+4z) 
F(ku)=kF(u)
Portanto é operador a aplicação.
10. Considerando a Transformação Linear F:IR3 →IR2 , sendo B={ (0,1,0); (1,0,1); (1,1,0)} uma base de IR3, determinar F(5,3,-2), sabendo que F(0,1,0)=(1,-2); F(1,0,1)=(3,1) e F(1,1,0)=(0,2).
B={u1=(0,1,0); u2=(1,0,1); u3=(1,1,0)} R3
 (x,y,z) u é C.L. de B, isto é:
(x,y,z)=a(0,1,0)+b(1,0,1)+c(1,1,0)
(x,y,z)=(0,a,0)+(b,0,b)+(c,c,0)
(x,y,z)=(b+c, a+c, b)
 b+c=x z+c=x c=x-z
 a+c=y a+(x-z)=y a=y-x+z
 b=z
F(x,y,z)=F[a(0,1,0)+b(1,0,1)+c(1,1,0)]
F(x,y,z)=F[a(0,1,0)]+F[b(1,0,1)]+F[c(1,1,0)]
F(x,y,z)=a.F(0,1,0)+b.F(1,0,1)+c.F(1,1,0)]
F(x,y,z)=(y-x+z).(1,-2)+z.(3,1)+(x-z).(0,2)
F(x,y,z)=(y-x+z, -2y+2x-2z)+(3z,z)+(0,2x-2z)
F(x,y,z)=(-x+y+4z; 4x-2y-3z)
Portanto:
F(5,3,-2)=(-5+3+ 4.2; 4.5 -2.3 -3.-2)
F(5,3,-2)=(-10;20)
11. Sabendo que F:IR2 →IR3 é Transformação Linear e que F(1,-1) = (3,2,-2) e 
F(-1,2)=(1,-1,3), determinar F(x,y).
B={u1=(1,-1); u2=(-1,2)} R2
 (x,y) u é C.L. de B, isto é:
(x,y)=a(1,-1)+b(-1,2)
(x,y)=(a,-a)+(-b,2b)
(x,y)=(a-b, -a+2b)
 a-b=x somando as duas equações teremos:
-a+2b=y
b=x+y a-b=x
 a-(x+y)=x
 a=2x+y
F(x,y)=F[a(1,-1)+b(-1,2)]
F(x,y)=F[a(1,-1)]+F[b(-1,2)]
F(x,y)=a.F(1,-1)+b.F(-1,2)
F(x,y)=(2x+y).(3,2,-2)+(x+y).(1,-1,3)
F(x,y)=(6x+2y, 4x+2y, -4x-2y)+(x+y, -x-y, 3x+3y)
F(x,y)=(7x+3y, 3x+y, -x+y)
12. Sabendo que F: IR2 →IR2 é Operador Linear e F(1,0)=(3,-2) e F(0,1)=(1,4),determinar F(x,y).
B={u1=(1,0); u2=(0,1)} R2
 (x,y) u é C.L. de B, isto é:
(x,y)=a(1,0)+b(0,1)
(x,y)=(a,0)+(0,b)
(x,y)=(a, b)
x=a e y=b
F(x,y)=F[a(1,0)+b(0,1)]
F(x,y)=F[a(1,0)]+F[b(0,1)]
F(x,y)=a.F(1,0)+b.F(0,1)
F(x,y)=x.(3,-2)+y.(1,4)
F(x,y)=(3x, -2x)+(y, 4y) F(x,y)=(3x+y, -2x+4y)
13. Determinar Núcleo, uma base e a dimensão Imagem da Transformação Linear F: IR2 →IR2, sendo F(x,y)=(x+y,2x-y).
Núcleo:
F(u)=0
F(x,y)=(0,0)
(x+y, 2x-y)=(0,0)
 x+y=0 somando as duas equações teremos:
2x-y=0
3x=0 x+y=0
 x=0 y=0 kerf={(0,0)}, dim=0
Pelo teorema: dim base= dim núcleo+dim Img
 2 0 2
base e dim da Img.
F(1,0)=(1,2)
F(0,1)=(1,-1) base Img.={(1,2),(1,-1)},dim=2
14. Determinar Núcleo, uma base e a dimensão da Imagem da Transformação Linear F:IR3→IR3 , sendo: F(x,y,z)=(x+2y-z, y+2z, x+3y+z).
Núcleo:
F(u)=0
F(x,y,z)=(0,0,0)
(x+2y-z, y+2z, x+3y+z)=(0,0,0)
 x+2y-z=0 substituir L3 por –L1+L3
 y+2z=0
x+3y+z=0
 x+2y-z=0 substituir L3 por –L2+L3
 y+2z=0
 y+2z=0
 x+2y-z=0 y+2z=0 x+2y-z=0
 y+2z=0 y=-2z x+2(-2z)-z=0
 0=0x-5z=0
 x=5z
Base do núcleo=(x,y,z)=(5z,-2z,z)=z.(5,-2,1)
Base do núcleo={(5,-2,1)}, dim. 1
Pelo teorema dim(u)=dim.(núcleo)+dim.(Img)
 3 1 2
Sistema de geradores da imagem:
F(1,0,0)=(1,0,1)
F(0,1,0)=(2,1,3)
F(0,0,1)=(-1,2,1)
Temos que escalonar, pois temos um conjunto com 3 vetores, e pelo teorema podemos ter apenas 2.
 1 0 1
 2 1 3 substituir L2 por -2L1+L2 e L3 por L1+L3
-1 2 1
 1 0 1
 0 1 1 substituir L3 por -2L2+L3
 0 2 2
 1 0 1 Portanto teremos base da img.={(1,0,1),(0,1,1)}, dim=2
 0 1 1 
 0 0 0
15. Determinar Núcleo e Imagem da Transformação Linear F:IR3→IR2 , sendo F(1,0,0)=(1,2); F(0,1,0)=(0,1) e F(0,0,1)=(-1,3).
Primeiro temos que achar F(x,y,z)
B={u1=(1,0,0); u2=(0,1.0);u3=(0,0,1)} R3
 (x,y,z) u é C.L. de B, isto é:
(x,y,z)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)
(x,y,z)=(a,0,0)+(0,b,0)+(0,0,c)
(x,y,z)=( a, b, c)
x=a y=b z=c
F(x,y,z)=F[a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1)]
F(x,y,z)=F[a(1,0,0)]+F[b(0,1,0)]+F[c(0,0,1)]
F(x,y,z)=a.F(1,0,0)+b.F(0,1,0)+c.F(0,0,1)]
F(x,y,z)=x.(1,2)+y.(0,1)+z.(-1,3)
F(x,y,z)=(x,2x)+(0,y)+(-z,3z)
F(x,y,z)=(x-z; 2x+y+3z)
Núcleo:
F(u)=0
F(x,y,z)=(0,0)
(x-z; 2x+y+3z)=(0,0)
 x-z=0 x=z
 2x+y+3z=0 2z+y+3z=0 5z+y=0 y=-5z
Base do núcleo=(x,y,z)=(z,-5z,z)=z(1,-5,1)
Base do núcleo={(1,-5,1)}
Pelo teorema dim(u)=dim.(núcleo)+dim.(Img)
 3 1 2
Sistema de geradores da imagem:
F(x,y,z)=(x-y), 2x+y+3z)=x(1,-1)+y(0,1)+z(-1,3)
Img(F)={(1,-1),(0,1),(-1,3)}
Temos que escalonar, pois temos um conjunto com 3 vetores, e pelo teorema podemos ter apenas 2.
 1 -1
 0 1 substituir L3 por L1+L3
-1 3 
 1 -1
 0 1 substituir L3 por -2L2+L3
 0 2 
 1 -1
 0 1 portanto base da img={(1,-1),(0,1)}jh
 0 0 
16. Sabendo que F:IR2 →IR2 tal que F(x,y) =(x-2y, 2x+3y) é um Operador Linear, verificar se 0 vetor (5,3) pertence ao conjunto Imagem de F.
Primeiro temos que achar a base da imagem, pois para pertencer a F o vetor deve ser escrito como C.L. da base.
Base do núcleo:
F(u)=(0,0)
F(x,y)=(0,0)
(x-2y, 2x+3y)+(0,0)
 x-2y=0 substituir L2 por -2L1+L2
 2x+3y=0
 
x-2y=0 x-2(0)=0 x=0
7y=0 y=0
kerf{(0,0,0)}, dim. 0
Pelo teorema: dim base= dim núcleo+dim Img
 2 0 2
Sistema de geradores da imagem:
F(1,0)=(1,2)
F(0,1)=(-2,3)
Portanto teremos base da img.={(1,2),(-2,3)}, dim=2
B={u1=(1,2); u2=(-2,3)} R2
 (x,y) u é C.L. de B, isto é:
(5,3)=a(1,2)+b(-2,3)
(5,3)=(a,2a)+(-2b,3b)
(5,3)=(a-2b, 2a+3b)
 
 a-2b=5 substituir L2 por -2L1+L2
 2a+3b=3
 a-2b=5 a-2(-1)=5 a=3
 7b=-7 b=-1
Portanto o vetor pode ser escrito como C.L. da base
(5,3)=3(1,2)_1(-2,3), o vetor pertence a imagem de F.
17. Verificar que o operador Linear F:IR2 →IR2 tal que F(x,y) =(2x+y, 3x+2y), é um Isomorfismo.
Para ser Isomorfismo a aplicação deve ser bijetora.
Base do núcleo:
F(u)=(0,0)
F(x,y)=(0,0)
(2x+y, 3x+2y)+(0,0)
 2x+y=0 substituir L2 por -3L1+2L2
 3x+2y=0
 2x+y=0 2x+0=0 x=0
 0+y=0 y=0
kerf{(0,0}, dim 0, portanto é injetora.
Pelo teorema: dim base= dim núcleo+dim Img
 2 0 2
Sistema de geradores da imagem:
F(1,0)=(1,3)
F(0,1)=(1,2)
Portanto teremos base da img.={(1,3),(1,2)}, dim=2, é sobrejetora pois 
dim. Img.=dim(u), sendo injetora e sobrejetora a aplicação é bijetora, ou seja, é um isomorfismo
18. Verificar que a Transformação Linear F:IR2 →W, sendo W={(x,y,z) ∈IR3 / z=0} é um Isomorfismo.
Para ser Isomorfismo W=R2
dim. R2=2
dim W:
(x,y,z)=(x,y,0)
(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,0)
W={(1,0,0);(0,1,0)}, dim. 2
dim W=dim R2, portanto é Isomorfismo.
19. Considerando as Transformações Lineares F:IR3 →IR2 e G:IR3 →IR2, tais que F(x,y,z)=(x+y,z) e G(x, y, z) = (x, y-z), determinar as transformações de IR3 em IR2 :
a) F + G;
(F+G) (x,y,z)=F(x,y,z)+G(x,y,z)
(F+G) (x,y,z)=(x+y,z)+(x,y-z)
(F+G) (x,y,z)=(x+y+x ; z+y-z)
(F+G) (x,y,z)=(2x+y ; y)
b) 2F – 3G;
(2F-3G) (x,y,z)=2F(x,y,z)-3G(x,y,z)
(2F-3G) (x,y,z)=2(x+y,z)-3(x,y-z)
(2F-3G) (x,y,z)=(2x+2y ; 2z)-(3x ; 3y-3z)
(2F-3G) (x,y,z)=(2x+2y-3x ; 2z-3y+3z)
(2F-3G) (x,y,z)=(-x+2y ; -3y+5z)
20. Considerando as Transformações Lineares F: IR2 →IR e G:IR →IR, tais que 
F(x, y) = x+2y e G(x) = 2x, determinar a transformação de G ο F .
Existe a composta F com G (GoF), pois o contra domínio de F é igual ao domínio de G.
(GoF) (x)=G[F(x,y)]
(GoF) (x)=G[x+2y]
(GoF) (x)=[2(x+2y)] (aplicamos G em F)
(GoF) (x)=(2x+4y)
21. Considerando as Transformações Lineares F e G de L(IR2) , tais que F(x, y) = (x-y, x) e G(x,y)=(x, 0), determinar:
a) 2F+3G;
(2F+3G) (x,y)=2F(x,y)+3F(x,y)
(2F+3G) (x,y)=2(x-y,x)+3(x,0)
(2F+3G) (x,y)=(2x-2y,2x)+(3x,0)
(2F+3G) (x,y)=(2x-2y+3x ; 2x+0)
(2F+3G) (x,y)=(5x-2y ; 2x)
b) F o G;
(FoG) (x,y)=F[G(x,y)]
(FoG) (x,y)=F(x,0)
(FoG) (x,y)=(x-0 ; x) (aplicamos F em G)
(FoG) (x,y)=(x,x)
c) G o F;
(GoF)(x,y)=G[F(x,y)]
(GoF)(x,y)=G(x-y,x)
(GoF)(x,y)=(x-y ; 0) (aplicamos G em F)
d) ;
 =(FoF)(x,y)=F[F(x,y)]
 =(FoF)(x,y)=F(x-y,x)
 =(FoF)(x,y)=(x-y-x,x-y) (aplicamos F em F)
 =(FoF)(x,y)=(-y ; x-y)
e) ;
 (GoG)(x,y)=G[G(x,y)]
 (GoG)(x,y)=G(x,0)
 (GoG)(x,y)=(x,0) (aplicamos G em G)
22. Considerando as Transformações Lineares F e G de L(IR2) , tais que F(x, y) = 
(0, x) e G(x,y)=(x, 0), determinar:
a) G ο F;
(GoF)(x,y)=G[F(x,y)]
(GoF)(x,y)=G(0,x)
(GoF)(x,y)=(0,0) (aplicamos G em F) 
b) F ο G;
(FoG)(x,y)=F[G(x,y)]
(FoG)(x,y)=F(x,0)
(FoG)(x,y)=(0,x) (aplicamos F em G) 
c) ;
 =(GoF)o(GoF)
Primeiro faremos a composta (GoF)
(GoF)(x,y)=G[F(x,y)]
(GoF)(x,y)=G(0,x)
(GoF)(x,y)=(0,0) (aplicamos G em F)
Como (GoF)=(0,0) ; =(0,0)
d) ;
 = (FoG)o(FoG)
Primeiro faremos a composta (FoG),
(FoG)(x,y)=F[G(x,y)]
(FoG)(x,y)=F(x,0)
(FoG)(x,y)=(0,x) (aplicamos F em G) 
Agora faremos a composta (FoG)o(FoG) ,
(FoG)o(FoG)(x,y)=F[FoG(x,y)]
(FoG)o(FoG)(x,y)=F(0,x)
(FoG)o(FoG)(x,y)=(0,0) (aplicamos (FoG) em (FoG))
23. Considerando as Transformações Lineares F e G de L(IR3, IR2) , tais que 
F(x, y, z) = (0, 2x) e G(x,y,z)=(x-y, x), e ainda a transformação H de L(IR2) tal que H(x,y)=(x+y, x-y), determinar:
a) H o(F+G);
H o(F+G)=(HoF)+(HoG)
Primeiro faremos (HoF)
(HoF)(x,y)=H[F(x,y,z)]
(HoF)(x,y)=H(0,2x)
(HoF)(x,y)=(0+2x ; 0-2x) (aplicamos H em F)
(HoF)(x,y)=(2x ; -2x)
Agora faremos (HoG)
(HoG)(x,y)=H[G(x,y,z)]
(HoG)(x,y)=(x-y,x)
(HoG)(x,y)=(x-y+x ; x-y-x) (aplicamos H em G)
(HoG)(x,y)=(2x-y ; -y)
Agora somamos as compostas
H o(F+G)(x,y)=(2x ; -2x)+(2x-y ; -y)
H o(F+G)(x,y)=(2x+2x-y ; -2x-y)
H o(F+G)(x,y)=(4x-y ; -2x-y)
b) (H + I) o F; (onde I é o operador Idêntico de IR2).
(H + I) o F=(HoF)+(IoF)
Primeiro faremos (HoF)
(HoF)(x,y)=H[F(x,y,z)]
(HoF)(x,y)=H(0,2x)
(HoF)(x,y)=(0+2x ; 0-2x) (aplicamos H em F)
(HoF)(x,y)=(2x ; -2x)
Agora faremos (IoF)
(IoF)=F(x,y)=(0 ; 2)
 Portanto:
(x,y)=(2x ; -2x) + (0 ; 2x)
(x,y)=(2x ; 0)
24. Dada a Transformação Linear F∈ L(IR3 , IR2) , definida por F(x, y, z) = 
(z, x+y).
a) Determinar a Matriz F em relação às Bases B = { (1, 1, 1) ; (1, 1, 0) ; (1, 0, 0)} de e C= base canônica de .
F(1,1,1)=(1,2)= (1,0)+ (0,1)
F(1,1,0)=(0,2)= (1,0)+ (0,1)
F(1,0,0)=(0,1)= (1,0)+ (0,1)
F(1,2)=(,0)+(0,)
F(0,2)=(,0)+(0,)
F(0,1)=(,0)+(0,)
F(1,2)=(,)
F(0,2)=(,)
F(0,1)=(,)
=1 ; =2 ; =0 ; =2 ; =0 ; =1
(F) BC= (F) BC=
b)Determinar a Matriz F em relação às Bases B = { (1, 1, 1) ; (1, 1, 0) ; (1, 0, 0)} de e C= { (1, 3) ; (2, 5) }de .
F(1,1,1)=(1,2)= (1,3)+a (2,5)
F(1,1,0)=(0,2)= (1,3)+ (2,5)
F(1,0,0)=(0,1)= (1,3)+ (2,5)
F(1,2)=(,3)+(2,5)
F(0,2)=(,3)+(2,5)
F(0,1)=(,3)+(2,5)
 +2=1 multiplicar L1 por -3 e somar com L2 
 3+5=2
-=-1 +2=1 
 =1 +1=1 
 =0 
 +2=0 multiplicar L1 por -3 e somar com L2 
 3+5=2
-=2 +2=0 
 =-2 -4=0 
 =4 
 +2=0 multiplicar L1 por -3 e somar com L2 
 3+5=1
-=1 +2=0 
 =-1 -2=0 
 =2 
(F) BC=
25. Representar através da Matriz de Transformação Linear os Operadores Lineares do IR2 em
relação às Bases indicadas conforme o caso:
a) F(x,y)=(2x, 3y-x) e base canônica de .
F(1,0)=(1,-1) 
F(0,1)=(0 ,3)
M=
b) F(x,y)=(3x-4y , x+5y) e a Base B = { (1, 2) ; (2, 3) }.
F(1,2)=(3.1 – 4.2 ; 1 + 5.2)=(-5,11)
F(2,3)=(3.2 – 4.3 ; 2 + 5.3)=(-1,17)
M=
26. Determinar o Operador Linear F do IR2, cuja Matriz em relação à Base B=
{ (1, 1) ; (1, 2) } é:
(F)B = 1 0
 1 2
F(x,y)=(x ; x+2y)
F(1,1)=(1,3)
F(1,2)=(1,5)
27. Determinar a matriz F em relação à base canônica de IR2 (usando a fórmula de mudança de base) do Operador Linear cuja matriz em relação à base B={(1, 1) ; (1, -1)} é:
(F)B = 1 0
 0 5
Nota: Fórmula de Mudança de Base para um Operador Linear: (F)C = M-1 • (F)B • M , onde M é a
Matriz Mudança de Base de B para C.
 B1=C1+C2
 B2=C1-C2
M BC =
(F)c=.(F)B.M
 =.==
=
 a+c=1 fazer L1+L2
 a-c=0
2a=1 a-c=0 
 a=1/2 c=1/2
 b+d=0 fazer L1+L2
 b-d=1
2b=1 b+d=0 
 b=1/2 d=-1/2
 =
(F)c=.=
 ==
28. Considerando os Operadores Lineares do IR2 , F: IR2 → IR2 dado por F(x , y) = (x , x-y) e G: IR2 →IR2 dado por G(x,y)=(x+y, 2x). Determinar as Matrizes em relação a Base Canônica
B={(1,0), (0,1)} de: 
a) F+G ;
(F+G)(x,y)=F(x,y)+G(x,y)
(F+G)(x,y)=(x , x-y)+(x+y , 2x)
(F+G)(x,y)=(2x+y , 3x-y)
Matriz em relação a base Canônica;
F(1,0)=(2,3) M=
F(1,0)=(1,-1)
b) 3F ;
3F(x,y)= 3.(x , x-y)=(3x , 3x-3y)
Matriz em relação a base Canônica;
F(1,0)=(3,3) M=
F(1,0)=(0,-3)
c);
 FoF= → /(FoF)(x,y)=F[F(x,y)]
 (x,y)=F[x , x-(x-y)]
 (x,y)=(x , x-(x-y))
 (x,y)=(x , y) 
Matriz em relação a base Canônica;
F(1,0)=(1,0) M=
F(1,0)=(1,1)
d) FoG.
(FoG)(x,y)=F[G(x,y)]
 (x,y)=F[x+y , 2x]
 (x,y)=(x+y , x+y-2x)
 (x,y)=(x+y , -x+y) 
Matriz em relação a base Canônica;
F(1,0)=(1,-1) M=
F(1,0)=(1,1)
29. Dada B={e1,e2}, uma base de um Espaço Vetorial V e considerando F,G ∈ L(V) definidas por:
 F(e1)=2 e1 -3 e2 e G(e1)=3 e1 +2 e2 
 F(e2)= e1 + e2 G(e2)= e1 - e2
Determinar, em relação à base B as matrizes de:
a) F ; 
F=
b) G ; 
G=
c) GoF ; 
GoF é o produto das matrizes com ,isto é,
 =.=
 . =
d) +I ; 
+I=GoG+I
 .+=
+=
e) -;
-=(FoFoF)-(GoG)
(FoFoF)=..=.=
(GoG)=.=
Portanto (FoFoF)-(GoG)=-=