Álgebra Linear e Suas Aplicações

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Álgebra Linear e suas Aplicações
Notas de Aula
Petronio Pulino

1 3 4
3 1 0
4 0 1
 = Q

−4
1
6
Qt
QtQ =
 1 1
1

sqPULINUS
Álgebra Linear e suas Aplicações
Notas de Aula
Petronio Pulino
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estat́ıstica e Computação Cient́ıfica
Universidade Estadual de Campinas
E–mail: pulino@ime.unicamp.br
www.ime.unicamp.br/∼pulino/ALESA/
Janeiro de 2012
Conteúdo
A Provas e Avaliações 1
A.1 Segundo Semestre de 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A.1.1 Primeiro Teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A.1.2 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
A.1.3 Segundo Teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
A.1.4 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
A.1.5 Segunda Chamada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
A.1.6 Exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
A.2 Segundo Semestre de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A.2.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A.2.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
A.2.3 Terceira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
A.2.4 Segunda Chamada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
A.2.5 Exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
A.3 Primeiro Semestre de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
A.3.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
A.3.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
A.3.3 Terceira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
A.3.4 Segunda Chamada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
A.3.5 Exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
A.4 Segundo Semestre de 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A.4.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A.4.2 Primeira Prova (Substitutiva) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
A.4.3 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A.4.4 Terceira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
A.4.5 Segunda Chamada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
A.4.6 Exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
i
ii CONTEÚDO
A.5 Segundo Semestre de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A.5.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A.5.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
A.5.3 Terceira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
A.5.4 Segunda Chamada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.5.5 Exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A.6 Segundo Semestre de 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.6.1 Primeiro Teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.6.2 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
A.6.3 Segundo Teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
A.6.4 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
A.6.5 Exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
A.7 Segundo Semestre de 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
A.7.1 Primeiro Teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
A.7.2 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
A.7.3 Segundo Teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
A.7.4 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
A.7.5 Exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
B Gabarito das Avaliações 61
B.1 Segundo Semestre de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
B.1.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
B.1.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
B.1.3 Terceira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
B.1.4 Segunda Chamada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
B.1.5 Exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
B.2 Primeiro Semestre de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B.2.1 Primeira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B.2.2 Segunda Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
B.2.3 Terceira Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
B.2.4 Segunda Chamada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
B.2.5 Exame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
c©Petronio Pulino, 2011 DMA – IMECC – UNICAMP
A
Provas e Avaliações
Conteúdo
A.1 Segundo Semestre de 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
A.2 Segundo Semestre de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
A.3 Primeiro Semestre de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
A.4 Segundo Semestre de 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
A.5 Segundo Semestre de 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A.6 Segundo Semestre de 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
A.7 Segundo Semestre de 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1
2 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.1 Segundo Semestre de 2008
A.1.1 Primeiro Teste
No Teste temos quatro questões enumeradas, 0, 1, 2 e 3. O aluno deve fazer
uma questão cujo número é o resto da divisão por 4 da soma dos algarismos
de seu RA. Exemplo: RA 0314468, 0+3+1+4+4+6+8 = 26. Como o resto
da divisão de 26 por 4 é 2, o aluno com esse RA deve fazer a Questão 2.
Problema:
(1) Mostre que o subconjunto W ⊂ IR4 é um subespaço vetorial de IR4.
(2) Verifique se os elementos v1, v2, v3, v4 são linearmente dependentes em IR
4.
(3) Encontre um sistema de geradores para cada um dos subespaços U ∩W e U +W .
Questão 0. W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / 2x − y + 3z + 4t = 0 }
v1 = (1, 2, 0, 0) , v2 = (−5,−3, 1, 1) , v3 = (0, 7, 1, 1) e v4 = (1, 0, 1, 0)
U = [(0, 3, 1, 0), (1, 0, 1, 0), (−4, 6, 2, 2)]
Questão 1. W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / 3x + y − z + 6t = 0 }
v1 = (1, 1, 10, 1) , v2 = (0, 2,−4,−1) , v3 = (2, 12, 0,−3) e v4 = (1, 1, 0, 1)
U = [(1, 1, 4, 0), (1, 1, 0, 1), (2, 3, 3,−1)]
Questão 2. W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / 2x + 2y + z − t = 0 }
v1 = (1, 1, 0, 4) , v2 = (0, 1, 1, 3) , v3 = (3,−1,−4, 0) e v4 = (1, 0, 1, 1)
U = [(2,−2, 3, 3), (1, 0, 1, 1), (1, 2,−2, 4)]
Questão 3. W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x − 3y − 2z − t = 0 }
v1 = (1, 1,−1, 0) , v2 = (6, 1, 1, 1) , v3 = (5, 0, 2, 1) e v4 = (0, 1, 0, 1)
U = [(−4, 0,−3, 2), (0, 1, 0, 1), (12, 3, 1, 1)]
Petronio Pulino 3
A.1.2 Primeira Prova
Questão 1. (2.5 Pontos)
Considere o subconjunto U do espaço vetorial real P3(IR) definido da forma:
U = { p(x) ∈ P3(IR) / p(−1) + p′(−1) = 0 e p(1) = 0 } .
onde p′ indica a derivada de p. Verifique se o subconjunto U é um subespaço vetorial
de P3(IR). Em caso afirmativo, determine uma base para o subespaço U .
Questão 2. (2.0 Pontos)
Considere o subespaço W do espaço vetorial real IR4 gerado pelos elementos do conjunto
S definido por:
S = { (1, 0, 1, 2), (2, 1, 1, 2), (1,−1, 2, 4) } .
Determine um subespaço U de IR4 de modo que IR4 = W ⊕ U .
Questão 3. (2.5 Pontos)
Sejam V um espaço vetorial real e γ = { v1 , v2 , v3 } uma base ordenada de V .
(a) Mostre que β = { v1 + v3 , v2 + v3 , v1 + v2 + v3 } é uma base de V .
(b) Se oelemento v ∈ V tem como matriz de coordenadas [v]γ dada por:
[v]γ =
31
2
 ,
determine a matriz de coordenadas do elemento v em relação à base ordenada β.
Questão 4. (3.0 Pontos)
Considere a transformação linear T : IR3 −→ P3(IR) definida por:
T (1, 0, 1) = 2 + x2 + x3 , T (0, 1, 0) = 1 + x2 e T (0, 0, 1) = x2 − x3 .
(a) Calcule T (a, b, c) para a transformação linear T .
(b) Determine uma base para o subespaço Im(T ).
(c) A transformação linear T é injetora ?
4 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.1.3 Segundo Teste
No Teste temos quatro questões enumeradas, 0, 1, 2 e 3. O aluno deve fazer
uma questão cujo número é o resto da divisão por 4 do último algarismo de
seu RA. Exemplo: RA 0314468, que tem 8 como último algarismo. Como
o resto da divisão de 8 por 4 é 0, o aluno com esse RA deve fazer a Questão 0.
Questão 0. Considere a transformação linear T : IR2 −→ P1(IR) tal que
[T ]βγ =
[
1 1
0 1
]
,
onde β = { (0, 1) , (1, 1) } é a base ordenada para IR2 e γ = { 1 + t , t− 1 } é a base
ordenada para P1(IR).
(a) Determine o elemento (a, b) ∈ IR2 de modo que T (a, b) = 1 + t.
(b) Determine explicitamente a expressão de T (a, b).
(c) Verifique se T é um isomorfismo de IR2 em P1(IR). Em caso afirmativo, determine
o isomorfismo inverso T−1 : P1(IR) −→ IR2.
Questão 1. Considere a transformação linear T : IR2 −→ P1(IR) tal que
[T ]βγ =
[
1 1
0 −1
]
,
onde β = { (1, 1) , (0, 1) } é a base ordenada para IR2 e γ = { 1 , t − 1 } é a base
ordenada para P1(IR).
(a) Determine o elemento (a, b) ∈ IR2 de modo que T (a, b) = t− 1.
(b) Determine explicitamente a expressão de T (a, b).
(c) Verifique se T é um isomorfismo de IR2 em P1(IR). Em caso afirmativo, determine
o isomorfismo inverso T−1 : P1(IR) −→ IR2.
Petronio Pulino 5
Questão 2. Considere a transformação linear T : IR2 −→ P1(IR) tal que
[T ]βγ =
[
1 0
−1 1
]
,
onde β = { (1,−1) , (1, 1) } é a base ordenada para IR2 e γ = { 2t − 1 , 1 + t } é a
base ordenada para P1(IR).
(a) Determine o elemento (a, b) ∈ IR2 de modo que T (a, b) = 1 + t.
(b) Determine explicitamente a expressão de T (a, b).
(c) Verifique se T é um isomorfismo de IR2 em P1(IR). Em caso afirmativo, determine
o isomorfismo inverso T−1 : P1(IR) −→ IR2.
Questão 3. Considere a transformação linear T : IR2 −→ P1(IR) tal que
[T ]βγ =
[
1 1
0 −1
]
,
onde β = { (−1,−1) , (0, 1) } é a base ordenada para IR2 e γ = { t , 2t− 1 } é a base
ordenada para P1(IR).
(a) Determine o elemento (a, b) ∈ IR2 de modo que T (a, b) = t.
(b) Determine explicitamente a expressão de T (a, b).
(c) Verifique se T é um isomorfismo de IR2 em P1(IR). Em caso afirmativo, determine
o isomorfismo inverso T−1 : P1(IR) −→ IR2.
6 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.1.4 Segunda Prova
Questão 1. (3.0 Pontos)
Considere a transformação linear T : IR4 −→ IR3 definida por:
T (x, y, z, t) = (x − 2y + t , 2x + y − z , 5y − z − 2t) .
(a) Determine uma base para o subespaço Ker(T ).
(b) Determine uma base para o subespaço Im(T ).
(c) Determine uma base γ para o espaço vetorial IR4 contendo uma base de Ker(T ).
(d) Determine a matriz [T ]γβ , onde β é a base ordenada de IR
3 dada por:
β = { (1, 0, 0) , (1, 1, 0) , (0, 1, 1) } .
Questão 2. (2.0 Pontos)
Considere T : IR2 −→ P1(IR) a transformação linear tal que
T (1, 1) = 1 − x e T (1,−1) = 1 + 3x .
Mostre que T é um isomorfismo de IR2 em P1(IR). Determine explicitamente a
expressão do isomorfismo inverso T−1(a0 + a1x).
Questão 3. (2.5 Pontos)
Considere o espaço vetorial real IR3 munido com o seguinte produto interno
〈u , v 〉 = 2x1x2 + y1y2 + 4z1z2 ,
onde u = (x1 , y1 , z1) e v = (x2 , y2 , z2). Dados os elementos
w1 = (1, 0, 1) e w2 = (1, 1, 1) ,
determine dois elementos v1, v2 ∈ IR3 de modo que
w2 = v1 + v2 ,
com { v1 , w1 } um conjunto linearmente dependente e { v2 , w1 } um conjunto ortogonal
com relação ao produto interno definido acima.
Petronio Pulino 7
Questão 4. (2.5 Pontos)
Considere o seguinte subespaço vetorial W do espaço vetorial real IR4 dado por:
W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / z + t = 0 e x − y = 0 } .
Utilizando o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt, determine uma base
ortogonal para o espaço vetorial real IR4 contendo uma base ortogonal do subespaço W ,
com relação ao produto interno canônico de IR4.
8 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.1.5 Segunda Chamada
Questão 1. (4.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real P2(IR) e o subconjunto U definido por:
U =
{
p(x) ∈ P2(IR) /
∫ 1
−1
p(x)dx + 2 p′(0) = 0IR
}
.
(a) Mostre que o subconjunto U é um subespaço vetorial de P2(IR).
(b) Determine uma base para o subespaço U .
(c) Determine um subespaço W de P2(IR) de modo que P2(IR) = U ⊕W .
(d) Dado o polinômio p(x) = 2 − x, determine um polinômio q(x) ∈ U e um
polinômio r(x) ∈ W de modo que p(x) = q(x) + r(x).
Questão 2. (3.0 Pontos)
Seja T : IR2 −→ IR3 a transformação linear tal que
T (1, 2) = (1, 0, 1) e T (2, 1) = (1, 1, 0) .
(a) Mostre que T é uma transformação linear injetora.
(b) Determine a matriz [T ]βγ , onde β = { (1, 2) , (2, 1) } é a base ordenada de IR2 e
γ é a base canônica de IR3.
(c) Exiba uma transformação linear P : IR3 −→ IR2 tal que Ker(P ) = Im(T ).
Questão 3. (3.0 Pontos)
(a) Mostre que a aplicação 〈 · , · 〉 : P2(IR)× P2(IR) −→ IR dada por:
〈 p , q 〉 = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1)
define um produto interno no espaço vetorial real P2(IR).
(b) Determine uma base para o complemento ortogonal do subespaço U = [1 + x] em
P2(IR) com relação ao produto interno 〈 · , · 〉 definido acima.
(c) Utilizando o Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt, determine uma
base ortogonal para o espaço vetorial real P2(IR) com relação ao produto interno
〈 · , · 〉 definido acima.
Petronio Pulino 9
A.1.6 Exame
Questão 1. (2.5 Pontos)
Considere o subconjunto U do espaço vetorial real IMn(IR) dado por:
U = { A ∈ IMn(IR) / At = A e tr(A) = 0 } .
(a) Mostre que U é um subespaço vetorial de IMn(IR).
(b) Considerando o espaço vetorial IM3(IR), exiba uma base para o subespaço U .
Questão 2. (2.5 Pontos)
Considere os subespaços W1 e W2 do espaço vetorial real IR
3 dados por:
W1 = { (x, y, z) / 3x − 2y + z = 0 } e W2 = { (x, y, z) / 2x + y − 4z = 0}.
(a) Determine a dimensão dos subespaços W1 + W2 e W1 ∩ W2.
(b) Encontre uma base de IR3 que contenha uma base do subespaço W1 e também
uma base do subespaço W2.
Questão 3. (2.5 Pontos)
Considere o operador linear T : P1(IR) −→ P1(IR) dado por:
T (p(x)) = p′(x) + (x + 1)p(1) .
Sejam β = { 1, 7− 4x } e γ = { q(x), 2x− 1 } bases para P1(IR) tais que
[T ]βγ =
 3 s
−1 1
 .
(a) Determine o polinômio q(x) e o parâmetro s ∈ IR.
(b) T é um automorfismo? Em caso afirmativo, determine o automorfismo inverso.
Questão 4. (2.5 Pontos)
Seja W o subespaço de IR4 dado por:
W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x + y = 0 e 2x − y + z = 0 } .
Determine uma base ortogonal para cada um dos subespaços W e W⊥, com relação ao
produto interno usual de IR4.
10 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.2 Segundo Semestre de 2006
A.2.1 Primeira Prova
Questão 1. (2.5 Pontos)
Considere o espaço vetorial real IR2 e os seguinte subespaços
U =
{
(x, y) ∈ IR2 / y = 3x
}
e W =
{
(x, y) ∈ IR2 / y = −2x
}
.
Verifique se o seguinte subconjunto
U ∪ W =
{
(x, y) ∈ IR2 / (x, y) ∈ U ou (x, y) ∈ W
}
é um subespaço vetorial de IR2.
Questão 2. (2.5 Pontos)
Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo IF e u, v, w elementos distintos de V .
Prove que o conjunto {u, v, w } é linearmente independente em V se, e somente se, o
conjunto {u + v, u + w, v + w } é linearmente independente em V .
Questão 3. (2.5 Pontos)
Considere o espaço vetorial real IM2(IR) e os seguintes subespaços
U =
{ [
a b
c a
]
; a , b , c ∈ IR
}
e W =
{ [
0 a
−a b
]
; a , b ∈ IR
}
.
(a) Determine uma base para cada um dos seguintes subespaços:
U , W , U ∩ W e U + W.
(b) IM2(IR) = U ⊕ W ? Justifique sua resposta.
Questão 4. (2.5 Pontos)
Considere o espaço vetorial IR2. A matriz de mudança da base ordenada γ = {u1, u2 } ,
onde u1 = (1, 1) e u2 = (−2, 2), para a base ordenada α = { v1, v2 } é dada por:
[I]γα =
[
1 0
4 −2
]
.
(a) Determine a base ordenada α.
(b) Determine o elemento u ∈ IR2 tal que [u]α =
[
1
2
]
.
Petronio Pulino 11
A.2.2 Segunda Prova
Questão 1. (3.0 Pontos)
Determine explicitamente a expressão de uma transformação linear T : P2(IR) −→ IR3
satisfazendo simultaneamente as seguintes condições:
(a) O elemento p(x) = ( 1 + x ) ∈ Ker(T ).
(b) O elemento q(x) = x 6∈ Ker(T ).
(c) Im(T ) = [(1, 1, 1)].
Questão 2. (3.0 Pontos)
Sejam T um operador linear sobre IR4, γ = { v1, v2, v3, v4 } uma base ordenada para
o espaço vetorial real IR4 e o subespaço S = [v1, v2, v3]. Pede–se:
(a) Sabendo que T (v) = v para todo v ∈ S e T (v4) = v1 + v3 , determine [T ]γγ .
(b) Sabendo que
[I]βγ =

0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0
 ,
onde β = { e1, e2, e3, e4 } é a base canônica de IR4, determine [T (e1)]γ .
Questão 3. (3.0 Pontos)
Considere o operador linear T sobre P2(IR) , definido por: T (p(x)) = p′(x) + p(x) , e a
transformação linear P : P2(IR) −→ IR3 definida por: P (a+bx+cx2) = (a+b, c, a−b).
(a) Determine a transformação linear P ◦ T : P2(IR) −→ IR3.
(b) Determine a matriz [P ◦ T ]βγ , onde β é a base canônica de P2(IR) e γ é a base
canônica de IR3.
(c) Verifique se P é um isomorfismo de P2(IR) em IR3. Em caso afirmativo,
determine o isomorfismo inverso P−1 : IR3 −→ P2(IR).
12 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 4. (2.0 Pontos)
Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita, com dim(V ) = n, e T um operador
linear sobre V tal que Im(T ) = Ker(T ). Pede–se:
(a) Mostre que n é par.
(b) Considerando V = IR4, determine um operador linear T sobre V com essas
propriedades.
Petronio Pulino 13
A.2.3 Terceira Prova
Questão 1. (2.0 Pontos)
Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo IF , T um operador linear sobre V , λ ∈ IF
e Eλ o subconjunto de V definido por:
Eλ = { v ∈ V / T (v) = λv } .
Prove que T (Eλ) ⊂ Eλ .
Questão 2. (3.0 Pontos)
Sejam V um espaço vetorial de dimensão n sobre o corpo IF e T um operador linear
sobre V . Pede–se:
(a) Se v ∈ V é um autovetor de T , quantos autovalores associados a v podem
existir, no máximo? Justifique sua resposta.
(b) Se λ = 0 é um autovalor de T , podemos afirmar que T não é um operador
injetor? A rećıproca é verdadeira? Justifique suas respostas.
(c) Se o operador linear T possui somente dois autovalores distintos λ1 e λ2 com
dim(Vλ1) = n − 1, prove que T é um operador diagonalizável.
Questão 3. (3.0 Pontos)
Seja T : IR2 −→ IR2 um operador linear definido por T (x, y) = (5x− 6y , x). Pede–se:
(a) Calcule os autovalores e os autovetores do operador T .
(b) Exiba uma base para cada um dos autoespaços do operador T .
(c) Utilizando o resultado do item (a), calcule os valores de a, b, c, d ∈ IR, tais que
T 8(x, y) = (ax+ by , cx+ dy) ,
onde T n : IR2 −→ IR2 é o operador linear definido por:
T 0 = I e T n = T n−1 ◦ T para todo natural n ≥ 1 .
14 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 4. (3.0 Pontos)
Determine explicitamente a expressão do operador linear T sobre IR4, diagonalizável,
satisfazendo simultaneamente as seguintes condições:
(a) Ker(T ) = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x+ y − z + t = 0 e z − t = 0 }.
(b) T (0, 0, 1, 0) = (0, 0, 2, 0).
(c) (0, 1, 0, 0) ∈ Im(T ).
(d) λ = −3 é um autovalor do operador T .
Petronio Pulino 15
A.2.4 Segunda Chamada
Questão 1. (2.5 Pontos)
Diga se é Falsa ou Verdadeira cada uma das afirmações abaixo, justificando sua resposta.
(a) Existe uma transformação linear T : IR4 −→ IR3 que é injetora.
(b) Existe uma transformação linear T : IR4 −→ P2(IR) que é sobrejetora.
(c) Subconjuntos de um conjunto linearmente dependente são linearmente dependentes.
(d) Os espaços vetoriais P4(IR) e IM2(IR) são isomorfos.
(e) Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita com dim(V ) = n, U e W
subespaços de V com dim(U) >
n
2
e dim(W ) >
n
2
. Então, U ∩W = { 0V } .
Questão 2. (2.5 Pontos)
Considere o subconjunto U do espaço vetorial real IMn(IR) definido por:
U = { A ∈ IMn(IR) / At = A e tr(A) = 0 }
(a) Mostre que U é um subespaço vetorial de IMn(IR).
(b) Considerando o espaço vetorial IM3(IR), exiba uma base para o subespaço U .
Questão 3. (2.5 Pontos)
Considere a transformação linear T : IR2 −→ IR3 tal que
[T ]βγ =
 1 −10 1
−2 3
 ,
onde β é a base canônica de IR2 e γ = { (1, 0, 1), (−1, 0, 1), (0, 1, 0) } é uma base
ordenada de IR3. Pede–se
(a) Determine T (1, 0) e T (0, 1).
(b) Determine uma base para Im(T ).
(c) A transformação T é injetora? Justifique sua resposta.
16 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 4. (2.5 Pontos)
Considere o operador linear T sobre P2(IR) definido por:
T (a + bx + cx2) = (3a + 2b + c) + (b − c)x + 2cx2 .
Determine os autovalores e os autovetores do operador linear T , exibindo uma base para
cada um dos autoespaços de T . O operador T é diagonalizável? Justifique sua resposta.
Petronio Pulino 17
A.2.5 Exame
Questão 1. (3.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real IR4 e os seguintes subespaços
U = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x+ y − z + t = 0 e z − t = 0 }
W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x+ y + z = 0 }
(a) Determine uma base para o subespaço U +W .
(b) O subespaço U +W é uma soma direta dos subespaços U e W? Justifique.
(c) Determine uma base para o subespaço U ∩W .
(d) Determine o operador linear T sobre IR4 tal que Im(T ) = U∩W e Ker(T ) = W .
Questão 2. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real P3(IR) e o subconjunto U definido por:
U = { p(x) ∈ P3(IR) / p(1) + p(−1) = 0 } .
O subconjunto U é um subespaço vetorial de P3(IR)? Justifique sua resposta. Em caso
afirmativo, determine uma base para U .
Questão 3. (3.0 Pontos)
Considere o operador linear T sobre IR2 tal que
[T ]αγ =
[
−1 −1
0 −1
]
,
onde α = { (0, 1) , (1, 0) } e γ = { (−1, 0) , (0,−1) } são bases ordenadas de IR2.
(a) Determine T (1, 0) e T (0, 1).
(b) Determine a matriz [I]αγ .
(c) Determine explicitamente a expressão do operador linear T .
(d) O operador linear T 2 é diagonalizável? Justifique.
18 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 4. (3.0 Pontos)
Sejam A e B matrizes similares de ordem n. Pede–se:
(a) Mostre que A e B possuem os mesmos autovalores.
(b) Determine a relação entre os autovetores das matrizes A e B.
(c) Mostre que se A é diagonalizável, então B é diagonalizável.
Petronio Pulino 19
A.3 Primeiro Semestre de 2006
A.3.1 Primeira Prova
Questão 1. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real C([−1, 1]). Dê exemplo de um subconjunto S de C([−1, 1])
que é fechado com relação à operação de adição de elementos, mas que não é fechado com
relação à operação de multiplicação por escalar. Justifique sua resposta.
Questão 2. (2.0 Pontos)
Considere V um espaço vetorial sobre o corpo IF . Sejam S = { v1, v2, v3, v4 } um
conjunto linearmente independente em V e um elemento u ∈ V , não nulo. Mostre que
o conjunto { v1, v2, v3, v4, u } é linearmente dependente se, e somente se, o elemento u
pertence ao subespaço gerado pelos elementos do conjunto S, isto é, u ∈ [v1, v2, v3, v4].
Questão 3. (2.0 Pontos)
Considere os seguintes subespaços vetoriais de IR3
U = { (x, y, z) ∈ IR3 / 2x − 4y + 6z = 0 }
W = [(1, 0, 1), (1, 1, 3)]
Determine um sistema de geradores para cada um dos subespaços U + W e U ∩ W .
O subespaço U +W é uma soma direta dos subespaços U e W ? Justifique sua resposta.
Questão 4. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real P3(IR). Determine uma base para o subespaço vetorial
de P3(IR) definido por:
S = { p(x) ∈ P3(IR) / p(−1) + p′(−1) = 0 e p(1) = 0 } .
Questão 5. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real IR4. Seja W o subespaço deIR4 gerado pelos elementos
do conjunto S = { (1, 0, 1, 2), (2,−1, 1, 3), (−1, 1, 0,−1) }. Determine uma base de IR4
contendo uma base do subespaço W .
20 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.3.2 Segunda Prova
Questão 1. (2.0 Pontos)
A matriz de mudança da base ordenada α = { p1(x), p2(x), p3(x) } de P2(IR), onde
p1(x) = 1 − x , p2(x) = 1 + x e p3(x) = 1 − x2 ,
para uma base ordenada γ = { q1(x), q2(x), q3(x) } de P2(IR) é dada por:
[I]αγ =
1 2 01 1 0
0 0 1
 .
Determine a base ordenada γ. Dado o polinômio p(x) = 3 − x + 2x2 determine seu
vetor de coordenadas [p(x)]α , com relação à base ordenada α.
Questão 2. (2.0 Pontos)
Determine explicitamente a expressão de uma transformação linear T de P2(IR) em
IM2(IR) satisfazendo simultaneamente as seguintes condições:
(a) O elemento p(x) = ( 1 + x2 ) ∈ Ker(T ).
(b) O elemento q(x) = 1 6∈ Ker(T ).
(c) O elemento A =
[
2 0
0 1
]
∈ Im(T ).
Questão 3. (2.0 Pontos)
Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo IF e T : V −→ W uma transformação
linear injetora. Mostre que se { v1, · · · , vm } é linearmente independente em V , então
{T (v1), · · · , T (vm) } é linearmente independente em W .
Questão 4. (2.0 Pontos)
Diga se é Falsa ou Verdadeira cada uma das afirmações abaixo, justificando sua resposta.
(a) Existe uma transformação linear T : IR4 −→ IR3 que é injetora.
(b) Existe uma transformação linear T : IR4 −→ P2(IR) que é sobrejetora.
(c) Existe uma transformação linear T : IR2 −→ P2(IR) que é bijetora.
Petronio Pulino 21
Questão 5. (2.0 Pontos)
Considere T : IR2 −→ P1(IR) a transformação linear tal que
T (1,−1) = 2 + x e T (0, 1) = x − 1 .
Mostre que T é um isomorfismo de IR2 em P1(IR). Determine o isomorfismo inverso
T−1 de P1(IR) em IR2.
22 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.3.3 Terceira Prova
Questão 1. (2.0 Pontos)
Seja U um subespaço de P3(IR) tendo como base β = { x−x2+x3, 1+x+x2 }. Considere
a transformação linear T : U −→ P2(IR) dada por: T (p(x)) = p′(x) + (x + 1)p(0) .
Considere que [T ]βγ =
1 12 1
1 2
, onde γ é uma base para P2(IR). Pede–se:
(a) Determine [p(x)]β sabendo que [T (p(x))]γ =
13
0
.
(b) Se γ = { x− 1, p1(x), p2(x) }, determine o polinômio q(x) = p1(x) − p2(x).
Questão 2. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real C10([0, 1]), isto é,
C10([0, 1]) = { f ∈ C1([0, 1]) / f(1) = 0 } .
Verifique se cada uma das aplicações
(a) 〈 f , g 〉 =
∫ 1
0
f ′(x)g(x)dx (b) 〈 f , g 〉 =
∫ 1
0
f ′(x)g′(x)dx
define um produto interno no espaço vetorial C10([0, 1]). Justifique sua resposta.
Questão 3. (2.0 Pontos)
Sejam V um espaço vetorial real munido do produto interno 〈 · , · 〉 e ‖ · ‖2 a norma
Euclidiana. Pede–se:
(a) Mostre que se θ é o ângulo entre os elementos u, v ∈ V , não nulos, então
‖ u + v ‖22 = ‖ u ‖22 + ‖ v ‖22 + 2 ‖ u ‖2 ‖ v ‖2 cos(θ) .
(b) Mostre que se β = { q1, · · · , qn } é um conjunto ortonormal em V , então β é
um conjunto linearmente independente em V .
Petronio Pulino 23
Questão 4. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real P2(IR) munido do produto interno
〈 p , q 〉 =
∫ 1
−1
x2p(x)q(x)dx ; ∀ p, q ∈ P2(IR) .
Determine uma base para o complemento ortogonal do subespaço S = [1 + x] em
P2(IR) com relação ao produto interno 〈 · , · 〉 definido acima.
Questão 5. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real P2(IR) com o produto interno
〈 p , q 〉 =
∫ 1
0
p(x)q(x)dx ; ∀ p, q ∈ P2(IR) .
Determine a melhor aproximação do polinômio q(x) = 1 − x2 no subespaço P1(IR).
24 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.3.4 Segunda Chamada
Questão 1. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real P2(IR) e a base β = { 1, x, x2 }. Dada a matriz
P =
1 0 21 1 2
0 0 1
 .
Pede–se:
(a) Determine uma base γ = { p1(x), p2(x), p3(x) } de modo que P = [I]γβ .
(b) Dado o polinômio q(x) = −3 − 2x + 2x2 , determine [q(x)]γ .
Questão 2. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real IR3 com o produto interno usual 〈 · , · 〉 e S o
subespaço definido por:
S = { (x, y, z) ∈ IR3 / x + y + z = 0 } .
Determine um operador linear T : IR3 −→ IR3 tal que Im(T ) = S e Ker(T ) = S⊥.
Questão 3. (2.0 Pontos)
Seja T : IR2 −→ IR2 o operador linear definido por:
T (x, y) = (3x − 2y, −2x + 3y) .
Pede–se:
(a) Determine uma base para cada um dos seguintes subespaços:
U1 = { (x, y) ∈ IR2 / T (x, y) = 5(x, y) }
U2 = { (x, y) ∈ IR2 / T (x, y) = (x, y) }
(b) Mostre que o conjunto β = β1 ∪ β2 , onde β1 é uma base para U1 e β2 é uma
base para U2 , é uma base para IR
2 e determine [T ]ββ.
Petronio Pulino 25
Questão 4. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real IR3 munido do produto interno usual 〈 · , · 〉 . Dados os
elementos u = (1, 1, 1) e v = (3, 2, 1). Pede–se:
(a) Determine os elementos w1 e w2 tais que v = w1 + w2 , de modo que w1 seja
ortogonal ao elemento u e que o conjunto {w2, u } seja linearmente dependente.
(b) Decompor o elemento w = (1,−1, 2) como a soma de um elemento no subespaço
S = [u,w1] e outro no subespaço S
⊥.
Questão 5. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real IR4 munido do produto interno usual. Seja U o
subespaço gerado pelos elementos u1 = (1, 1, 1, 1) e u2 = (−1, 1,−1, 1). Pede–se:
(a) Determine a melhor aproximação do elemento v = (2, 1, 3, 1) no subespaço U .
(b) Determine um subespaço W de modo que IR4 = U ⊕ W . Justifique sua resposta.
26 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.3.5 Exame
Questão 1. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real P2(IR) e o subconjunto U definido por:
U =
{
p ∈ P2(IR) /
∫ 1
−1
p(x)dx + p′(0) = 0
}
.
O subconjunto U é um subespaço vetorial de P2(IR) ? Justifique sua resposta. Em caso
afirmativo, determine uma base para U .
Questão 2. (2.0 Pontos)
Considere V um espaço vetorial real e β = {u1, u2, u3 } uma base ordenada de V .
Seja γ = {w1, w2, w3 } cujos elementos estão relacionados com os elementos da base
β da seguinte forma: 
w1 = u1 − u2 − u3
w2 = 2u2 + 3u3
w3 = 3u1 + u3
(a) Mostre que γ é uma base para V .
(b) Determine a matriz de mudança de base [I]γβ .
(c) Se um elemento v ∈ V tem por vetor de coordenadas, em relação à base γ,
[v]γ =
−12
1
 ,
qual é o seu vetor de coordenadas com relação à base ordenada β ?
Questão 3. (2.0 Pontos)
Sejam U e W subespaços vetoriais de IR3 definidos por:
U = { (x, y, z) ∈ IR3 / x + y + z = 0 }
W = [(1, 0, 1), (0,−1, 1)]
Determine um operador linear T sobre IR3 tal que Im(T ) = U e Ker(T ) = U ∩W .
Petronio Pulino 27
Questão 4. (2.0 Pontos)
Considere o operador linear T : P3(IR) −→ P3(IR) definido por:
T (p(x)) = p(x) + (1 + x)p′(x) .
Verifique se T é um automorfismo de P3(IR) e determine a matriz [T ]ββ , onde β é a
base canônica de P3(IR).
Questão 5. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real P2(IR) com o produto interno
〈 p , q 〉 =
∫ 1
−1
p(x)q(x)dx ; ∀ p, q ∈ P2(IR) .
Determine uma base para o complemento ortogonal do subespaço S = [1 + x, 1 − x2]
em P2(IR) com relação ao produto interno 〈 · , · 〉 definido acima.
28 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.4 Segundo Semestre de 2005
A.4.1 Primeira Prova
Questão 1. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real V = { (x, y) / x, y ∈ IR }, com as operações:
• adição de elementos: (x1, y1)⊕ (x2, y2) = (x1 + x2 + 5, y1 + y2)
• multiplicação por escalar: α� (x, y) = (αx+ 5(α− 1), α y) para α ∈ IR.
(a) Exiba o elemento neutro da adição desse espaço.
(b) Exiba o elemento simétrico aditivo do elemento (x, y) ∈ V .
(c) Verifique se W = { (x, y) ∈ V / x = −5 } é um subespaço vetorial de V .
Questão 2. (2.0 Pontos)
Diga se é Falsa ou Verdadeira cada uma das afirmações, justificando sua resposta.
(a) Seja V um espaço vetorial real. Se { v1, v2, v3 } é LI em V , então o conjunto
{ v1 − v2 , v2 + v3 , v1 + v3 } é LI em V .
(b) O subconjunto W = {A ∈ IM2(IR) / A2 = A } é um subespaço de IM2(IR).
(c) O subconjunto S = { f ∈ C([−a, a]) / f(−x) = f(x) ; x∈ [−a, a] } é um
subespaço de C([−a, a]).
Questão 3. (2.0 Pontos)
Considere o sistema linear homogêneo
2x + 4y + z = 0
x + y + 2z = 0
x + 3y − z = 0
.
Pede–se:
(a) Mostre que o conjunto solução S é um subespaço vetorial de IR3 e determine
uma base para esse subespaço.
(b) Dado o subespaço vetorial U = { (x, y, z) ∈ IR3 / x− y + z = 0 }, determine o
subespaço U ∩ S e uma base para esse subespaço.
(c) Determine o subespaço vetorial U + S e uma base para esse subespaço.
Petronio Pulino 29
Questão 4. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real P2(IR). Pede–se:
(a) Mostre que o subconjunto W = { p ∈ P2(IR) / p(2) = 0 } é um subespaço vetorial
de P2(IR).
(b) Exiba uma base β para o subespaço W .
(c) Encontre as coordenadas do polinômio p(x) = 6− 5x+ x2 com relação à base β.
Questão 5. (2.0 Pontos)
Considere o subespaço
V = { (x, y, z) ∈ IR3 / x+ 2y + z = 0 e − x+ 3y + 2z = 0 }
do espaço vetorial real IR3. Determine um subespaço W do IR3 tal que IR3 = V ⊕W .
30 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.4.2 Primeira Prova (Substitutiva)
Questão 1. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real (V,⊕,�), onde V = { (x, y) ∈ IR2 / x > 0 e y > 0 }
munido com as operações
• adição de elementos: (x1, y1)⊕ (x2, y2) = (x1x2, y1y2), ∀ (x1, y1), (x2, y2) ∈ V.
• multiplicação por escalar: α� (x, y) = (xα, yα), ∀ α ∈ IR e ∀ (x, y) ∈ V.
Pede–se:
(a) Exiba o elemento neutro da adição desse espaço.
(b) Exiba o elemento simétrico aditivo do elemento u = (x, y) ∈ V .
(c) Mostre que (α + β)� u = α� u ⊕ β � u , u = (x, y) ∈ V e α, β ∈ IR.
(d) W = { (x, y) ∈ V / y = 2x } é um subespaço vetorial de V ?
Questão 2. (2.0 Pontos)
Considere os seguintes subconjuntos do espaço vetorial real IMn(IR)
U = { A ∈ IMn(IR) / At = A } e W = { A ∈ IMn(IR) / At = −A }
Mostre que U e W são subespaços vetoriais de IMn(IR) e que IMn(IR) = U ⊕W .
Considerando o espaço vetorial IM3(IR), exiba uma base para os subespaços U e W .
Questão 3. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real P3(IR) e os elementos p(x) = −3 − 5x − 2x2 + x3 e
q(x) = −9 − 4x − 5x2 + 3x3. Mostre que o elemento r(x) = −6 + 12x − 2x2 + 2x3
pode ser escrito como uma combinação linear dos elementos p e q, mas que o elemento
s(x) = 8 + 7x − 2x2 + 3x3 não pode.
Questão 4. (2.0 Pontos)
Seja (V,+, ·) um espaço vetorial real. Se { v1, v2, v3 } é linearmente independente em
V , mostre que { v1 + v2 + v3 , v2 + v3 , v1 + v3 } é linearmente independente em V .
Petronio Pulino 31
Questão 5. (2.0 Pontos)
Considere o seguinte subconjunto do espaço vetorial real IMn(IR)
U = { A ∈ IMn(IR) / At = A e tr(A) = 0 }
Mostre que U é um subespaço vetorial de IMn(IR). Considerando o espaço vetorial
IM3(IR), exiba uma base para o subespaço U .
32 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.4.3 Segunda Prova
Questão 1. (2.0 Pontos)
Seja V um espaço vetorial real e γ = { v1, v2, v3 } uma base para V . Pede–se:
(a) Mostre que β = { v1, v1 + v2, v1 + v2 + v3 } é uma base para V .
(b) Determine a matriz de mudança da base β para a base γ.
(c) Se o elemento v ∈ V tem como vetor de coordenadas em relação à base γ
[v]γ =
12
1

determine seu vetor de coordenadas [v]β.
Questão 2. (2.0 Pontos)
Considere os seguintes subespaços de IR4
U = [(1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1)]
W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x + y = 0 e z + t = 0 }
Determine um operador linear T sobre IR4 tal que Ker(T ) = W e Im(T ) = U .
Questão 3. (3.0 Pontos)
Diga se é Falsa ou Verdadeira cada uma das afirmações, justificando sua resposta.
(a) D : IM2(IR) −→ IR com D(A) = det(A) é uma transformação linear.
(b) Não existe transformação linear T : IR4 −→ IR3 que é injetora.
(c) Existe uma transformação linear T : IR4 −→ P2(IR) que é sobrejetora.
(d) Existe transformação linear T : IRm −→ IRn, com m < n, que é bijetora.
Questão 4. (2.0 Pontos)
Considere as transformações lineares T : IR2 −→ IR3 e P : IR3 −→ IR2 dadas por:
T (x, y) = ( 2x , x − y , y ) e P (x, y, z) = ( y − z , z − x ). Determine a matriz
[T ◦ P ]ββ , onde β é a base canônica do IR3, e determine uma base para o subespaço
Im( T ◦P ). O operador linear T ◦P é um automorfismo de IR3 ? Justifique sua resposta.
Petronio Pulino 33
Questão 5. (2.0 Pontos)
Considere a transformação linear T : P2(IR) −→ P1(IR) dada por:
T (p(x)) = ap(0) − p′(x)
com
[T ]αβ =
[
3 −3 b
3 −3 −2
]
,
considerando α = { 1, cx + 1, x2 } a base para P2(IR) e β = { 1 − x, x } a base
para P1(IR). Pede–se:
(a) Determine os parâmetros a, b, c ∈ IR.
(b) Determine [T (q(x))]β e [T (q(x))]γ, com γ = { 1, x } a base canônica de
P1(IR), sabendo que
[q(x)]α =
 1−1
2
 .
34 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.4.4 Terceira Prova
Questão 1. (2.0 Pontos)
Seja V um espaço vetorial real munido do produto interno 〈 · , · 〉 e T um automorfismo
de V . Mostre que a aplicação
f(·, ·) : V × V −→ IR
(u, v) −→ f(u, v) = 〈T (u) , T (v) 〉
define um produto interno em V . Dê um exemplo considerando V = IR3 munido do
produto interno usual.
Questão 2. (2.0 Pontos)
(a) Sejam a e b reais positivos e os elementos u = (
√
a,
√
b), v = (
√
b,
√
a) ∈ IR2.
Utilize a desigualdade de Cauchy–Schwarz para comparar a média aritmética
a + b
2
com a média geométrica
√
a b.
(b) Seja V um espaço vetorial real munido do produto interno 〈 · , · 〉 e ‖ · ‖2 a
norma Euclidiana. Mostre que os elementos (u − v), (u + v) ∈ V são ortogonais
se, e somente se, ‖u ‖2 = ‖ v ‖2.
Questão 3. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial P2(IR) munido do produto interno
〈 p , q 〉 =
∫ 1
−1
t2p(t)q(t)dt .
A partir da base canônica β = { 1, t, t2 } do espaço P2(IR), construir uma base
ortogonal γ = {P1, P2, P3 } para o espaço P2(IR).
Questão 4. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial IR4 munido do produto interno usual. Seja U o subespaço
gerado pelos elementos u1 = (1, −1, 1, 1) e u2 = (1, 2, 0, 1). Pede–se:
(a) Determine uma base para o subespaço U⊥.
(b) Calcule a projeção ortogonal do elemento u = (2, 1, 1, −1) no subespaço U .
(c) Considere o operador linear P : IR4 −→ IR4 que representa a projeção ortogonal
sobre o subespaço U . Mostre que Ker(I − P ) = U .
Petronio Pulino 35
Questão 5. (2.0 Pontos)
Seja V um espaço vetorial real munido do produto interno 〈 · , · 〉 e ‖ · ‖2 a norma
Euclidiana. Considerando os elementos u, v ∈ V , com v 6= 0V , determine o elemento
w∗ do conjunto S = { w ∈ V / w = u − tv , t ∈ IR } que possui a menor norma
Euclidiana. Dê uma interpretação geométrica para o elemento w∗.
36 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.4.5 Segunda Chamada
Questão 1. (2.0 Pontos)
Seja V um espaço vetorial real e γ = { v1, v2, v3, v4 } uma base ordenada de V . Pede–se:
(a) Mostre que β = { v1 , v1 + v2 , v1 + v2 + v3 , v1 + v2 + v3 + v4 } é uma base de V .
(b) Se o elemento v ∈ V tem como vetor de coordenadas
[v]γ =

4
3
1
2

determine seu vetor de coordenadas [v]β.
Questão 2. (2.0 Pontos)
Considere os seguintes elementos do espaço vetorial IR4
v1 = (1, −1, 2, 3) , v2 = (2, 1, −1, −2) e v3 = (3, 3, −4, −7) .
Sejam U e V subespaços do IR4 tais que dim(U) = 3 e U ∩ V = [v1, v2, v3].
Determine as posśıveis dimensões dos subespaços V e U + V .
Questão 3. (2.0 Pontos)
Seja V o subespaço de IM2(IR) das matrizes simétricas. Considere a transformação
linear T : V −→ P2(IR) dada por:
T
( [
a b
b c
] )
= (a + b) − b x + (c − a + b)x2 .
Mostre que T é um isomorfismo. Considerando a base canônica γ para o P2(IR) e a
base canônica β para o subespaço V , determine a matriz [T ]βγ .
Questão 4. (2.0 Pontos)
Mostre que a aplicação 〈 · , · 〉 : P2(IR)× P2(IR) −→ IR dada por:
〈 p , q 〉 = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1)
define um produto interno no espaço vetorial P2(IR). Determine uma base para o com-
plemento ortogonal do subespaço U = [2 − x] em P2(IR) com relação ao produto
interno 〈 · , · 〉 definido acima.
Petronio Pulino 37
Questão5. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real C([−1, 1]) munido do produto interno usual. Determine
o polinômio p(x) = a + bx, a, b ∈ IR, mais próximo da função f(x) = sin(πx),
x ∈ [−1, 1], com relação à norma Euclidiana. Dê uma interpretação geométrica para o
polinômio p(x).
38 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.4.6 Exame
Questão 1. (2.0 Pontos)
Considere os elementos u1 = (−1, 2, 1, 1) e u2 = (2, 1,−1, 1) do IR4. Pede–se:
(a) Encontre o complemento ortogonal do subespaço W = [u1, u2] em IR
4 com relação
ao produto interno usual.
(b) Encontre dois elementos u3, u4 ∈ IR4 tais que β = { u1, u2, u3, u4} seja uma
base para IR4.
(c) Determine a projeção ortogonal do elemento v = (1, 2,−1, 0) ∈ IR4 sobre W .
Questão 2. (2.0 Pontos)
Considere o seguinte subconjunto do espaço vetorial real IMn(IR)
U = { A ∈ IMn(IR) / At = A e tr(A) = 0 } .
Pede–se:
(a) Mostre que U é um subespaço vetorial de IMn(IR).
(b) Considerando o espaço vetorial IM3(IR), exiba uma base para o subespaço U .
Questão 3. (2.0 Pontos)
Seja T : IR2 −→ IR3 a transformação linear tal que
T (2, 1) = (3, 0, 2) e T (1, 2) = (1, 1, 0) .
Pede–se:
(a) Mostre que T é injetora.
(b) Exiba uma transformação linear P : IR3 −→ IR2 tal que Ker(P ) = Im(T ).
Petronio Pulino 39
Questão 4. (2.0 Pontos)
Considere o operador linear T : P1(IR) −→ P1(IR) dado por:
T (p(x)) = p′(x) + (x + 1)p(0) .
Sejam β = { 1, 1− x } e γ = { q(x), 1− x } bases para P1(IR) tais que
[T ]βγ =
[
2 1
1 s
]
.
Pede–se:
(a) Determine o polinômio q(x) e a constante s ∈ IR.
(b) T é um isomorfismo ? Justifique sua resposta.
Questão 5. (2.0 Pontos)
(a) Seja V um espaço vetorial real munido do produto interno 〈 · , · 〉 e T um operador
linear sobre V . Se 〈T (u) , T (v) 〉 = 〈u , v 〉 para todo u, v ∈ V , então T é um
operador injetor.
(b) Considere o espaço vetorial IRn munido do produto interno usual 〈x , y 〉 = ytx.
Se A ∈ IMn(IR) é uma matriz simétrica, então 〈Ax , y 〉 = 〈x , Ay 〉 para todo
x, y ∈ IRn.
40 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.5 Segundo Semestre de 2004
A.5.1 Primeira Prova
Questão 1. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real V = { (x, y) ∈ IR2 / x > 0 } com as operações:
Adição de Elementos: (x1, y1)⊕ (x2, y2) = (x1 x2, y1 + y2)
Multiplicação por Escalar: α� (x, y) = (xα, α y) , α ∈ IR
Pede–se:
(a) Exiba o elemento neutro da operação ⊕ .
(b) Exiba o inverso aditivo do elemento v = (x, y) ∈ V .
(c) Mostre que α� (u ⊕ v) = α� u ⊕ α� v , u, v ∈ V e α ∈ IR.
(d) Verifique se W = { (x, y) ∈ V / x = 1 } é um subespaço vetorial de V .
Questão 2. (2.0 Pontos)
Considere os seguintes subespaços de IR4
W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x − y − z = 0 e x − 3y + t = 0 }
U = [(1, 2, 1, 3), (3, 1, −1, 4)]
Determine uma base para os subespaços U + W e U ∩ W . O subespaço U + W é
uma soma direta dos subespaços U e W ? Justifique sua resposta.
Questão 3. (2.0 Pontos)
Considere o seguinte subespaço S de P3(IR) definido da seguinte forma:
S = { p ∈ P3(IR) / p(−1) = 0 e p′(1) = 0 } .
Qual é a dimensão de S ? Encontre uma base para S.
Petronio Pulino 41
Questão 4. (2.0 Pontos)
Seja Γ = { v1, v2, v3 } uma base para o espaço vetorial real V . Pede–se:
(a) Mostre que β = { v1, v1 + v2, −v1 + v2 + v3 } é também uma base para V .
(b) Se o elemento v ∈ V tem como vetor de coordenadas
[v]Γ =
 2−1
1

em relação à base Γ, quais são as suas coordenadas em relação à base β ?
Questão 5. (2.0 Pontos)
Seja V um espaço vetorial sobre o corpo IF , com dim(V ) = 9. Sejam U e W
subespaços vetoriais de V tais que dim(U) = 6 e dim(W ) = 5. Mostre que
2 ≤ dim(U ∩W ) ≤ 5.
42 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.5.2 Segunda Prova
Questão 1. (2.0 Pontos)
Considere o operador linear
T : P4(IR) −→ P4(IR)
p −→ q = T (p)
com q(x) = T (p)(x) = x2 p′′(x) ; x ∈ IR. Pede–se:
(a) Determine a representação matricial de T com relação à base canônica.
(b) Determine o núcleo e a imagem do operador T .
(c) T é um operador linear injetor ? Justifique.
Questão 2. (2.0 Pontos)
(a) Exiba uma transformação linear T : IR3 −→ P2(IR) tal que dim(Ker(T ) ) = 1 .
(b) A transformação linear T é sobrejetora ? Justifique.
Questão 3. (2.0 Pontos)
Sejam F e G operadores lineares de um espaço V , tais que G ◦ F = F ◦ G. Mostre
que Ker(F ) + Ker(G) ⊂ Ker(F ◦G).
Questão 4. (2.0 Pontos)
Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo IR e 〈 · , · 〉 um produto interno em W .
Se T : V −→ W é uma transformação linear injetora, então a aplicação f(·, ·) dada
por:
f(u, v) = 〈T (u) , T (v) 〉 para todo u, v ∈ V
define um produto interno em V .
Questão 5. (2.0 Pontos)
Sejam a1, · · ·, an números reais estritamente positivos. Aplicando a desigualdade de
Cauchy-Schwarz, em dois elementos u, v ∈ IRn escolhidos adequadamente, mostre que
( a1 + · · · + an )
(
1
a1
+ · · · + 1
an
)
≥ n2
Petronio Pulino 43
A.5.3 Terceira Prova
Questão 1. (2.0 Pontos)
Seja W o subespaço de IR5 gerado pelos vetores u = (1, 2, 3, −1, 2) e
v = (2, 4, 7, 2, −1). Encontre uma base ortogonal para o complemento ortogonal W⊥
de W em IR5 com relação ao produto interno usual de IR5.
Questão 2. (2.0 Pontos)
Determine todos os valores dos parâmetros a e b de modo que a matriz A dada abaixo
seja diagonalizável. Para estes valores de a e b , determine uma matriz inverśıvel P e
a matriz diagonal D de modo que P−1AP = D.
A =
 1 0 0a 2 0
0 b 2
 .
Questão 3. (2.0 Pontos)
Determinar e classificar os pontos cŕıticos das funções F : IR2 −→ IR, dadas abaixo,
através da análise dos autovalores da matriz Hessiana, justificando sua resposta.
(a) F (x, y) = 2x2 − xy − 3y2 − 3x + 7y
(b) F (x, y) = x3 + y3 − 3xy
Questão 4. (2.0 Pontos)
Se B ∈ IMn(IR) é similar a matriz A ∈ IMn(IR) auto–reflexiva, mostre que B é uma
matriz auto–reflexiva. Estabeleça a relação entre os autovetores de A e B.
Questão 5. (2.0 Pontos)
Considere o operador linear T : P3(IR) −→ P3(IR) dado por:
T (p)(x) = x2p′′(x) + p′(x) + p(x) ; x ∈ IR .
(a) Determine a matriz [T ]ββ onde β é a base canônica de P3(IR).
(b) Determine os autovalores e os autovetores do operador T .
(c) Para cada um dos autovalores do operador T , diga qual é o subespaço associado.
(d) Diga qual é a multiplicidade algébrica e geométrica de cada um dos autovalores do
operador T . Justifique sua resposta.
(e) O operador T é diagonalizável ? Justifique sua resposta.
44 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.5.4 Segunda Chamada
ATENÇÃO: Faça as 2 (duas) questões relativas à prova que você faltou e resolva mais
3 (três) questões, dentre as outras 4 (quatro). Leia as questões com atenção.
Questão 1. – P1 (2.0 Pontos)
Sejam U e V subespaços de IR4 tais que dim(U) = 3 e dim(V ) = 3 e o subespaço
U ∩ V = [(1, 1, 1, 1), (1,−3, 4,−2), (2,−2, 5,−1)]. Pede–se
(a) Qual é a dimensão do subespaço U + V ? Justifique.
(b) Exiba uma base do IR4 que contenha uma base do subespaço V , sabendo que o
elemento (0, 0, 0, 1) ∈ V .
Questão 2. – P1 (2.0 Pontos)
Seja Γ = { v1 , v2 , v3 , v4 } uma base para o espaço vetorial real (E, +, ·) .
(a) Mostre que β = { v1 , v1 + v2 , v1 + v2 + v3 , v1 + v2 + v3 + v4 } é também uma
base para E.
(b) Se o elemento v ∈ E tem como vetor de coordenadas
[v]Γ =

1
1
−1
0

em relação à base Γ , quais são as suas coordenadas em relação à base β ?
Questão 3. – P2 (2.0 Pontos)
Seja V o subespaço de IM2(IR) das matrizes triangulares superiores. Pede–se:
(a) Exiba uma base para V .
(b) Seja T : V −→ P2(IR) a transformação linear dada por:
T
( [
a b
0 c
] )
= (a + b) + b x + (c − a − b)x2 .
Mostre que T é uma transformação inverśıvel.
Petronio Pulino 45
Questão 4. – P2 (2.0 Pontos)
Sejam (V, +, ·) e (W, +, ·) espaços vetoriais reais e T : V −→ W uma transformação
linear. Mostre que:
(a) Ker(T ) = { 0V } se, e somente se, T é injetora.
(b) Se T é injetora e { v1, v2, .. . , vm } é linearmente independente em V , então
{ T (v1), T (v2), . . . , T (vm) } é linearmente independente em W .
Questão 5. – P3 (2.0 Pontos)
Seja W o subespaço de IR4 dado por
W = { (a+ c, b+ c, −b, −a) ∈ IR4 / a, b, c ∈ R } .
Encontre uma base ortonormal para o subespaço W com relação ao produto interno
usual de IR4.
Questão 6. – P3 (2.0 Pontos)
Seja T : IR3 −→ IR3 o operador linear dado por
T (x, y, z) = (3x− 2y − 4z, 4x− 3y − 4z, −z) . Pede–se :
(a) Encontre A = [T ]ββ onde β é a base canônica de IR
3
(b) Encontre os autovalores e os autovetores A
(c) Calcule A9 de uma forma eficiente.
46 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.5.5 Exame
Questão 1. (2.0 Pontos)
Considere um subespaço vetorial W de P2(IR) com base β = { 1 + t, 1 − t2 }.
Sabemos que a matriz de mudança da base β para a base γ é dada por:
[I]βγ =
[
1 2
1 −1
]
Determine a base γ do subespaço W .
Questão 2. (2.0 Pontos)
(a) Sejam U e V espaços vetoriais sobre o corpo IF e T uma transformação linear
de U em V . Se dim(U) > dim(V ), prove que existe um elemento não nulo
u ∈ U tal que T (u) = 0V .
(b) Considerando U = IR3 e V = P1(IR), dê um exemplo de uma transformação
linear T de U em V que seja sobrejetora.
Questão 3. (2.0 Pontos)
Seja W o subespaço de IR4 dado por:
W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x + y = 0 e 2x − y + z = 0 } .
Determine uma base ortogonal para cada um dos subespaços W e W⊥.
Questão 4. (2.0 Pontos)
Seja A ∈ IMn(IR) uma matriz simétrica. Pede–se:
(a) Considere o espaço vetorial IRn com o produto interno usual 〈 · , · 〉 . Mostre que
para todo x, y ∈ IRn temos que
〈Ax , y 〉 = 〈x , A y 〉 .
(b) Mostre que os autovalores de A são reais.
(c) Mostre que autovetores de A associados a autovalores distintos são ortogonais.
(d) Mostre que se a matriz B ∈ IMn(IR) é ortogonalmente similar à matriz A, isto
é, existe uma matriz ortogonal Q ∈ IMn(IR) tal que B = QtAQ, então B é
uma matriz simétrica.
Petronio Pulino 47
Questão 5. (2.0 Pontos)
Considere o operador linear T : IM2(IR) −→ IM2(IR) definido da seguinte forma:
T
( [
a b
c d
] )
=
[
2a+ b 2b
2c 3d
]
.
T é um operador linear diagonalizável ? Justifique.
48 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.6 Segundo Semestre de 1999
A.6.1 Primeiro Teste
Questão 1. (5.0 Pontos)
(a) Seja V um espaço vetorial e sejam U e W subespaços vetoriais de V . Mostre
que o subconjunto de V dado por
U + W = { v ∈ V / v = u + w ; u ∈ U e w ∈ W }
é também um subespaço vetorial de V .
(b) Dado o subespaço W = { (x, y, z) ∈ IR3 / x + 2y + z = 0 } determine um
subespaço U do IR3 tal que IR3 = U ⊕ W . Justifique sua resposta.
Questão 2. (5.0 Pontos)
(a) Mostre que o subconjunto W de IM3(IR) definido por
W = { A ∈ IM3(IR) / At = −A }
é um subespaço vetorial de IM3(IR) .
(b) Encontre uma base para o subespaço W . Qual a dimensão do subespaço W ?
Justifique suas respostas.
Petronio Pulino 49
A.6.2 Primeira Prova
Questão 1. (3.0 Pontos)
Seja Γ = { v1, v2, v3 } uma base para o espaço vetorial (E, +, ·). Pede–se:
(a) Mostre que β = { v1, v1 + v2, −v1 + v2 + v3 } é também uma base para E.
(b) Se o elemento v ∈ E tem coordenadas [v]Γ = (2, −1, 1) em relação à base Γ ,
quais são as suas coordenadas em relação à base β ?
Questão 2. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real
C?([a, b]) = { f ∈ C1([a, b]) / f(a) = f(b) } .
A aplicação F : C?([a, b])× C?([a, b]) −→ IR dada por
F (f, g) =
∫ b
a
f ′(x)g′(x)dx ,
define um produto interno em C?([a, b]) ? Justifique sua resposta.
Questão 3. (2.0 Pontos)
Seja (E, +, ·) um espaço vetorial e S um subconjunto de E com um número finito de
elementos. Nas afirmações abaixo, demonstre se for verdadeira ou dê um contra–exemplo
se for falsa:
(a) Se S é linearmente independente, então qualquer subconjunto de S é também
linearmente independente;
(b) Se S é linearmente dependente, então qualquer subconjunto de S é também
linearmente dependente.
Questão 4. (3.0 Pontos)
Sejam U e W subespaços vetoriais de dimensão 3 de IR4 e seja
U ∩ W = [ (1, 2, 1, 0), (−1, 1, 0, 1), (1, 5, 2, 1) ] .
Pede-se:
(a) IR4 = U + W ? Justifique sua resposta;
(b) Determine uma base ortonormal para o subespaço U ∩ W ;
(c) Determine a projeção do elemento u = (1, 1, 1, 1) no subespaço U ∩ W .
50 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.6.3 Segundo Teste
Questão 1. (5.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real IM3(IR) munido do produto interno usual. Seja S o
subespaço dado por: S = { D ∈ IM3(IR) / D é uma matriz diagonal }. Determine
o subespaço S⊥ , isto é, o complemento ortogonal de S. Encontre uma base para o
subespaço S⊥.
Questão 2. (5.0 Pontos)
Considere a seguinte transformação linear T : IR2 −→ IR3 dada por:
T (x, y) = (2x, x − y, y) .
Pede–se:
(a) Determine a representação matricial de T com relação às bases canônicas.
(b) Determine uma base para a imagem da transformação T .
(c) T é uma transformação linear injetora ? Justifique.
(d) T é uma transformação linear sobrejetora ? Justifique.
Petronio Pulino 51
A.6.4 Segunda Prova
Questão 1. (2.5 Pontos)
Considere a transformação linear T : P3(IR) −→ P3(IR) dada por:
T (p)(x) = xp′′(x) + p(x) ; x ∈ IR.
(a) Determine a matriz [T ]ββ onde β é a base canônica de P3(IR).
(b) Determine o núcleo e a imagem da transformação T .
(c) T é um isomorfismo ? Justifique.
Questão 2. (2.5 Pontos)
Sejam A , B ∈ IMn(IR) duas matrizes similares, isto é, existe uma matriz inverśıvel
P ∈ IMn(IR) tal que A = P−1 B P . Estabeleça a relação entre os autopares de A e
B.
Questão 3. (2.5 Pontos)
(a) Seja A ∈ IMn(IR) inverśıvel. Estabeleça a relação entre os autopares de A e
A−1 .
(b) Seja A ∈ IMn(IR) . Mostre que as matrizes A e At possuem os mesmos autova-
lores. Sugestão: utilize o polinômio caracteŕıstico.
Questão 4. (2.5 Pontos)
Determine todos os valores dos parâmetros a e b de modo que a matriz A dada abaixo
seja diagonalizável. Para estes valores de a e b determine uma matriz inverśıvel P e
a matriz diagonal D de modo que P−1AP = D.
A =
 1 0 0a 2 0
0 b 2
 .
52 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.6.5 Exame
Questão 1. (2.0 Pontos)
Considere o seguinte subespaço de P3([−1, 1])
S = { p ∈ P3([−1, 1]) / p(−1) = 0 e p′(1) = 0 }.
Qual é a dimensão de S ? Encontre uma base para S.
Questão 2. (2.0 Pontos)
Seja (E, +, ·) um espaço vetorial real munido do produto interno 〈 . , . 〉. Considere
a função J : IR −→ IR definida da seguinte forma: dados os elementos u , v ∈ E,
não nulos, seja
J(α) = ‖ v − αu ‖2 ; α ∈ IR ,
onde ‖ · ‖ é a norma proveniente do produto interno.
(a) Mostre que a função J possui um único ponto de mı́nimo α∗.
(b) Dê uma interpretação para o elemento α∗u .
Questão 3. (2.0 Pontos)
Considere a transformação linear T : P2(IR) −→ IR3 definida da seguinte forma
T ( a0 + a1t+ a2t
2 ) = ( a0 + a1 + a2 , a0 + a1 , a0 + a2 ) .
(a) Determine a matriz [T ]Γβ onde Γ é a base canônica de P2(IR) e β é a base
canônica de IR3 .
(b) Mostre que T é um isomorfismo e determine a expressão da transformação linear
T−1( x , y , z ) para todo ( x , y , z ) ∈ IR3 .
Questão 4. (2.0 Pontos)
Utilize a forma diagonal da matriz A para calcular eficientemente An, n ∈ IN .
A =
(
3 −5
1 −3
)
.
Questão 5. (2.0 Pontos)
Considere (E, +, ·) um espaço vetorial munido do produto interno 〈 · , · 〉 e um operador
linear auto-adjunto T : E −→ E , isto é, 〈 T (v) , u 〉 = 〈 v , T (u) 〉 para todo
u, v ∈ E . Sejam λ1 e λ2 autovalores distintos de T e v1 e v2 os autovetores
associados a λ1 e λ2 , respectivamente. Então, v1 e v2 são ortogonais.
Petronio Pulino 53
A.7 Segundo Semestre de 1998
A.7.1 Primeiro Teste
Questão 1. (5.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real IM2(IR). Dadas as seguintes matrizes:
A1 =
(
1 0
0 0
)
A2 =
(
0 0
0 1
)
A3 =
(
0 1
1 0
)
identificar o subespaço gerado pelos elementos do conjunto S = { A1,A2, A3 } .
Questão 2. (5.0 Pontos)
Seja E um espaço vetorial sobre um corpo IF . Mostre que, se U e W são subespaços
vetoriais de E , então U + W também é um subespaço vetorial de E.
Questão 3. (5.0 Pontos)
Considere o sistema linear homogêneo

2x + 4y + z = 0
x + y + 2z = 0
x + 3y − z = 0
Mostre que
S = { ( x, y, z ) ∈ IR3 / ( x, y, z ) é solução do sistema linear homogêneo }
é um subespaço do IR3. Encontre os vetores geradores do subespaço S.
54 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.7.2 Primeira Prova
Questão 1. (2.0 Pontos)
Seja V um espaço vetorial sobre o corpo F . Mostre que se { v1, v2, v3 } é linearmente
independente, então { v1+v2, v1+v3, v2+v3 } também é linearmente independente em V .
Questão 2. (2.0 Pontos)
Considere o subespaço W de IR3 gerado pelos elementos
w1 = (1,−1, 0, 0) , w2 = (0, 0, 1, 1) , w3 = (−2, 2, 1, 1) e w4 = (1, 0, 1, 0) .
Pede–se:
(a) Determine uma base para W .
(b) O elemento u = (2,−3, 2, 2) ∈ W ?
Questão 3. (2.0 Pontos)
(a) Dado o subespaço S = { (x, y, z) ∈ IR3 / x + 2y + z = 0 } do IR3. Determine
um subespaço W do IR3 tal que IR3 = S ⊕W .
(b) Dê exemplos de dois subespaços, S e W , de dimensão dois em IR3 tais que
IR3 = S + W . Temos uma soma direta ?
(c) Ilustre com um exemplo a seguinte proposição:
“Se S e W são dois subespaços de um espaço vetorial V de dimensão finita,
então dim(S +W ) = dim(S) + dim(W ) − dim(S ∩W )”.
Questão 4. (2.0 Pontos)
Considere o seguinte subconjunto do IR3
γ = { (1, 0, 2), (0, 1,−1), (1, 0, 1) } .
Pede–se:
(a) Mostre que γ é uma base para IR3 e determine a matriz de mudança da base γ
para a base canônica β.
(b) Dado o elemento u = (1, 1, 1). Determine o vetor de coordenadas [u]γ.
Petronio Pulino 55
Questão 5. (2.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial real IM2(IR) munido do produto interno usual, isto é,
〈A , B 〉 = tr(BtA). Seja S o subespaço de IM2(IR) gerado pelo elemento
A =
[
1 0
2 1
]
.
Pede–se:
(a) Dada a matriz
B =
[
2 3
0 −1
]
.
Determine sua projeção ortogonal sobre o subespaço S.
(b) Determine uma matriz C ∈ IM2(IR) tal que 〈A , C 〉 = 0.
56 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.7.3 Segundo Teste
Questão 1. (5.0 Pontos)
Considere o espaço vetorial IR3 munido do produto interno usual. Seja S o subespaço
gerado pelo vetor u = ( −1, 1, −1 ) . Pede–se:
(a) Determine o complemento ortogonal de S , isto é, o subespaço S⊥ .
(b) Determine uma base ortogonal para o subespaço S⊥ .
(c) Dado o vetor v = ( 3, 1, −1 ) calcule sua projeção no subespaço S⊥ .
Questão 2. (5.0 Pontos)
Considere a seguinte transformação linear T : IR3 −→ IR3 dada por:
T (x, y, z) = ( x− y + z , x+ y + 2z , x+ 5y + 4z) .
Pede–se:
(a) Determine a representação matricial de T com relação à base canônica.
(b) Determine Ker(T ) , dim(Ker(T )) , Im(T ) e dim(Im(T )) .
(c) T é uma transformação linear injetora ?
(d) Determine o complemento ortogonal de Im(T ) .
Petronio Pulino 57
A.7.4 Segunda Prova
Questão 1. (2.5 Pontos)
Considere a seguinte transformação linear T : IR3 −→ IR3 dada por:
T (x, y, z) = ( y + z , x+ z , x+ y + 2z ) ,
e as seguintes bases para o espaço IR3
β = { ( 1, 0, 0 ), ( 0, 1, 0 ), (0, 0, 1) }
Γ = { ( 1, 0, 1), ( 0, 1, 1), ( 0, 0, 1 ) }
Pede–se:
(a) Determine [T ]ββ e [T ]
Γ
β .
(b) Determine Ker(T ) , dim(Ker(T )) , Im(T ) e dim(Im(T )).
(c) Encontre os autovalores e autovetores da transformação T .
(d) Encontre uma base α para o IR3 de modo que [T ]αα seja uma matriz diagonal.
(e) Dado o vetor v = ( 1, 1, −1 ) calcule sua projeção no subespaço Im(T ) .
Questão 2. (2.5 Pontos)
Para quais valores do parâmetro a as matrizes abaixo são diagonalizáveis ?
(a) A =
(
1 1
0 a
)
(b) B =
(
1 a
0 1
)
.
Questão 3. (2.5 Pontos)
Mostre que a matriz A =
(
1 2
3 2
)
é semelhante à matriz D =
(
4 0
0 −1
)
.
Calcule de maneira eficiente An para n ∈ IN .
Questão 4. (2.5 Pontos)
Provar que se λ é um autovalor de A com o autovetor associado v , então λn é um
autovalor de An com o autovetor associado v.
58 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
A.7.5 Exame
Questão 1. (2.0 Pontos)
Seja E um espaço vetorial sobre um corpo IF . Mostre que, se { v1 , v2 , v3 } é um
conjunto linearmente independente em E, então { v1 + v2 , v1 + v3 , v2 + v3 }
também é um conjunto linearmente independente em E.
Questão 2. (2.0 Pontos)
Considere os seguintes subespaços de IR4
U = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x − y − z + t = 0 }
W = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x + y = 0 e z − t = 0 }
Pede–se:
(a) Determine uma base para o subespaço U ∩ W .
(b) Determine uma base para o subespaço U + W .
(c) Determine uma base ortogonal para o subespaço U .
(d) IR4 = U ⊕ W ? Justifique sua resposta.
(e) Calcule a projeção ortogonal de v = ( 3, 1, −1, 2 ) no subespaço U ∩ W .
Questão 3. (2.0 Pontos)
Considere o espaço Euclidiano IR4 munido do produto interno usual. Seja S o subespaço
gerado pelos elementos do seguinte subconjunto:
β = { ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , −1 , 1 , 1 ) } ⊂ IR4 .
Determine uma base ortogonal para S⊥, através do processo de Gram-Schmidt.
Questão 4. (2.0 Pontos)
Considere a transformação linear T : IR3 −→ IR3 dada por:
T (x, y, z) = ( y + z , x+ z , x+ y + 2z ) ,
e as seguintes bases para o espaço IR3
β = { (1, 0, 0 ), (0, 1, 0), (0, 0, 1) } e Γ = { (1, 0, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1) } .
Petronio Pulino 59
Pede–se:
(a) Determine [T ]ββ e [T ]
β
Γ.
(b) Determine Ker(T ) , dim(Ker(T )) , Im(T ) e dim(Im(T )).
(c) Encontre os autovalores e autovetores da transformação T .
(d) Encontre uma base α para o IR3 de modo que [T ]αα seja uma matriz diagonal
e exiba a matriz [T ]αα . Justifique sua resposta.
Questão 5. (2.0 Pontos)
Estudar quanto à possibilidade de diagonalização das matrizes dadas abaixo. Determine
a matriz inverśıvel P e a matriz diagonal D de modo que P−1AP = D .
(a) A =
 1 0 0a 2 0
0 b 2
 (b) A = ( 1 1
0 a
)
.
60 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
c©Petronio Pulino, 2011 DMA – IMECC – UNICAMP
B
Gabarito das Avaliações
Conteúdo
B.1 Segundo Semestre de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
B.2 Primeiro Semestre de 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
61
62 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
B.1 Segundo Semestre de 2006
B.1.1 Primeira Prova
Questão 1.
Vamos verificar se o elemento neutro da adição 0IR2 pertence ao subconjunto U ∪ W
e se o subconjunto U ∪ W é fechado com relação à operação de adição de elementos e
com relação à operação de multiplicação por escalar.
Como U e W são subespaços vetoriais de IR2, temos que 0IR2 pertence tanto a U
quanto a W . Logo, 0IR2 ∈ U ∪ W . Note que, U ∩ W = { 0IR2 }.
Considere um elemento v ∈ U ∪ W , isto é, v ∈ U ou v ∈ W . Assim, para qualquer
λ ∈ IR temos que λv ∈ U ∪ W , pois λv ∈ U ou λv ∈ W .
Finalmente, tomando os elementos v1, v2 ∈ U ∪ W , temos três possibilidades.
A primeira, consideramos que v1, v2 ∈ U . Como U é um subespaço vetorial de IR2,
temos que v1 + v2 ∈ U . Logo, v1 + v2 ∈ U ∪ W .
A segunda, consideramos que v1, v2 ∈ W . Como W é um subespaço vetorial de IR2,
temos que v1 + v2 ∈ W . Logo, v1 + v2 ∈ U ∪ W .
A terceira, consideramos que v1 ∈ U e v2 ∈ W . Assim, temos que
v1 = (x1 , 3x1) e v2 = (x2 , −2x2) .
Logo, v1 + v2 = (x1 + x2 , 3x1 − 2x2). Portanto, temos que
v1 + v2 6∈ U e v1 + v2 6∈ W .
Desse modo, v1 + v2 6∈ U ∪ W . Assim, mostramos que U ∪ W não é um subespaço
vetorial de IR2, pois o subconjunto U ∪ W não é fechado com relação à operação de
adição de elementos.
Petronio Pulino 63
Questão 2.
Inicialmente vamos provar que
{u, v, w } LI =⇒ {u+ v, u+ w, v + w } LI .
Tomando a combinação linear nula
a (u + v) + b (u + w) + c (v + w) = 0V
obtemos
(a + b)u + (a + c)v + (b + c)w = 0V .
Utilizando a hipótese que o conjunto {u, v, w } é linearmente independente, obtemos o
seguinte sistema linear homogêneoa + b = 0
a + c = 0
b + c = 0
que possui somente a solução trivial a = b = c = 0. Portanto, provamos que o conjunto
{u+ v, u+ w, v + w } é linearmente independente.
64 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Finalmente, vamos provar que
{u+ v, u+ w, v + w } LI =⇒ {u, v, w } LI .
Equivalentemente, podemos provar que
{u, v, w } LD =⇒ {u+ v, u+ w, v + w } LD .
Tomando a combinação linear nula
a (u + v) + b (u + w) + c (v + w) = 0V
obtemos
(a + b)u + (a + c)v + (b + c)w = 0V .
Utilizando a hipótese que o conjunto {u, v, w } é linearmente dependente, temos que os
coeficientes da combinação linear acima não são todos nulos, isto é,
(a + b) , (a + c) e (b + c)
não são todos nulos. Assim, existem escalares a, b, c ∈ IF não todos nulos tais que
a (u + v) + b (u + w) + c (v + w) = 0V .
Portanto, mostramos que o conjunto {u+ v, u+ w, v + w } é linearmente dependente.
Assim, provamos que
{u+ v, u+ w, v + w } LI =⇒ {u, v, w } LI .
completando a resolução da questão.
Petronio Pulino 65
Questão 3.
(a)
Vamos determinar uma base para o subespaço U . Note que, toda matriz A ∈ U é
escrita da seguinte forma:
A = a
[
1 0
0 1
]
+ b
[
0 1
0 0
]
+ c
[
0 0
1 0
]
para a, b, c ∈ IR .
Tomando a combinação linear nula
a
[
1 0
0 1
]
+ b
[
0 1
0 0
]
+ c
[
0 0
1 0
]
=
[
0 0
0 0
]
obtemos que a = b = c = 0, são os únicos escalares que satisfazem o sistema acima.
Assim, mostramos que o conjunto{ [
1 0
0 1
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
] }
é uma base para o subespaço U , pois gera o subespaço U e é linearmente independente.
Logo, temos que dim(U) = 3.
Vamos determinar uma base para o subespaço W . Note que, toda matriz A ∈ W é
escrita da seguinte forma:
A = a
[
0 1
−1 0
]
+ b
[
0 0
0 1
]
para a, b ∈ IR .
Tomando a combinação linear nula
a
[
0 1
−1 0
]
+ b
[
0 0
0 1
]
=
[
0 0
0 0
]
obtemos que a = b = 0, são os únicos escalares que satisfazem o sistema acima. Assim,
mostramos que o conjunto { [
0 1
−1 0
]
,
[
0 0
0 1
] }
é uma base para o subespaço W , pois gera o subespaço W e é linearmente independente.
Logo, temos que dim(U) = 2.
66 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Agora, vamos determinar uma base para o subespaço U ∩ W . Considere uma matriz
A ∈ U ∩ W , isto é, A ∈ U e A ∈ W . Assim, temos que A é escrita como:
A = a
[
1 0
0 1
]
+ b
[
0 1
0 0
]
+ c
[
0 0
1 0
]
= d
[
0 1
−1 0
]
+ e
[
0 0
0 1
]
para a, b, c, d, e ∈ IR.
Desse modo, obtemos o seguinte sistema linear
a = 0
b = d
c = −d
a = e
cuja solução é a = 0 , b = d , c = −d e e = 0. Portanto, toda matriz A ∈ U ∩W
é escrita como
A = d
[
0 1
−1 0
]
para d ∈ IR .
Assim, temos que { [
0 1
−1 0
] }
é uma base para o subespaço U ∩ W . Logo, dim(U ∩ W ) = 1.
Finalmente, vamos determinar uma base para o subespaço U + W . Pelos resultados
obtidos acima, sabemos que
dim(U + W ) = dim(U) + dim(W ) − dim(U ∩ W ) = 4 ,
e que o subespaço U + W tem por um sistema de geradores o seguinte conjunto{ [
1 0
0 1
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 1
−1 0
]
,
[
0 0
0 1
] }
.
Podemos observar que [
0 1
−1 0
]
=
[
0 1
0 0
]
−
[
0 0
1 0
]
.
Petronio Pulino 67
Portanto, temos que o conjunto{ [
1 0
0 1
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
[
0 0
0 1
] }
é uma base para o subespaço U + W .
(b)
Como U + W é um subespaço de IM2(IR) e dim(U + W ) = dim(IM2(IR)), temos
que U + W = IM2(IR), entretanto, não como soma direta, pois U ∩ W 6=
{
0IM2(IR)
}
.
68 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 4.
(a)
Conhecendo a matriz de mudança de base [I]γα , temos que u1 = v1 + 4v2u2 = − 2v2
Resolvendo o sistema acima, obtemos
v1 = u1 + 2u2
v2 = −
1
2
u2
Logo, v1 = (−3, 5) e v2 = (1,−1), que são os elementos da base ordenada α.
(b)
Conhecendo a matriz de mudança de base [I]γα e o vetor de coordenadas [u]α , temos
que
[u]α = [I]
γ
α [u]γ.
Chamando [u]γ =
[
a
b
]
, obtemos o seguinte sistema linear
[
1 0
4 −2
][
a
b
]
=
[
1
2
]
,
cuja única solução é a = b = 1. Portanto, temos que
u = a u1 + b u2 = u1 + u2 = (−1, 3) .
Observe que podemos obter o elemento u a partir do vetor de coordenadas [u]α =
[
1
2
]
e da base ordenada α obtida no item (a). Desse modo, temos que
u = v1 + 2v2 = (−1, 3) .
Petronio Pulino 69
B.1.2 Segunda Prova
Questão 1.
Da condição (a), temos que T (1 + x) = (0, 0, 0).
Da condição (b), isto é, q(x) = x 6∈ Ker(T ), implica que o elemento r(x) = 1 não
pode pertencer ao Ker(T ), pois podemos escrever q(x) = p(x) − r(x). Claramente, se
o elemento r(x) ∈ Ker(T ), então q(x) ∈ Ker(T ), o que contradiz a hipótese.
Da condição (c), isto é, Im(T ) = [(1, 1, 1)], temos que dim( Im(T ) ) = 1.
Logo, pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, devemos ter dim(Ker(T ) ) = 2, pois
dim(P2(IR) ) = 3.
Assim, podemos considerar T : P2(IR) −→ IR3, com { 1 + x , x2 } uma base ordenada
para Ker(T ), definida da seguinte forma:
T (1 + x) = (0, 0, 0) , T (x2) = (0, 0, 0) , T (x) = (1, 1, 1) ,
onde estamos escolhendo γ = { 1 + x , x2 , x } uma base ordenada para P2(IR), que foi
obtida completando a base do Ker(T ).
Finalmente, vamos determinar a expressão da transformação linear T definida acima.
Para isso, tomamos um elemento genérico p(x) = a + bx + cx2 ∈ P2(IR) que é
representado com relação à base ordenada γ de P2(IR) da seguinte forma:
p(x) = d1( 1 + x ) + d2x
2 + d3x
= d1 + (d1 + d3)x + d2x
2 ,
obtendo o seguinte sistema linear
d1 = a
d1 + d3 = b
d2 = c ,
que possui somente a solução d1 = a , d2 = c e d3 = b − a. Desse modo, temos que
p(x) = a( 1 + x ) + cx2 + (b − a)x .
70 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Agora, fazendo T (p(x)) = T (a + bx + cx2), obtemos
T (a + bx + cx2) = a T (1 + x) + c T (x2) + (b− a)T (x) = (b− a)(1, 1, 1) .
Assim, encontramos uma transformação linear T com as propriedades pedidas.
Petronio Pulino 71
Questão 2.
(a) Sabendo que T (v) = v para todo v ∈ S e que T (v4) = v1 + v3 , obtemos
T (v1) = v1 = 1v1 + 0v2 + 0v3 + 0v4
T (v2) = v2 = 0v1 + 1v2 + 0v3 + 0v4
T (v3) = v3 = 0v1 + 0v2 + 1v3 + 0v4
T (v4) = v1 + v3 = 1v1 + 0v2 + 1v3 + 0v4 .
Portanto, temos que
[T ]γγ =

1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 0
 .
(b) Conhecemos as matrizes [I]βγ e [T ]
γ
γ . Assim, para obter [T (e1)]γ , vamos
determinar inicialmente [e1]γ da seguinte forma:
[e1]γ = [I]
β
γ [e1]β =⇒ [e1]γ =

0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0


1
0
0
0
 =

0
0
0
1
 .
Finalmente, vamos calcular
[T (e1)]γ = [T ]
γ
γ [e1]γ =⇒ [T (e1)]γ =

1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 1
0 0 0 0


0
0
0
1
 =

1
0
1
0
 ,
o que completa a resolução da questão.
72 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 3.
(a) Dado um polinômio p(x) = a + bx + cx2 ∈ P2(IR), vamos calcular
T (p(x)) = p′(x) + p(x) = (b+ a) + (b+ 2c)x + cx2 ,
para em seguida calcular
(P ◦ T )(p(x)) = P (T (p(x)) = P ( (b+ a) + (b+ 2c)x + cx2) )
= ( a+ 2b+ 2c , c , a− 2c ) .
Portanto, a transformação linear P ◦ T : P2(IR) −→ IR3 é dada por:
(P ◦ T )(p(x)) = ( a+ 2b+ 2c , c , a− 2c )
para todo p(x) = a + bx + cx2 ∈ P2(IR).
(b) Considerando β = { 1 , x , x2 } a base canônica de P2(IR) e γ = { e1, e2, e3 } a
base canônica de IR3, vamos determinar a matriz [P ◦ T ]βγ .
Para isso, vamos calcular
(P ◦ T )(1) = (1, 0, 1) = 1e1 + 0e2 + 1e3
(P ◦ T )(x) = (2, 0, 0) = 2e1 + 0e2 + 0e3
(P ◦ T )(x2) = (2, 1,−2) = 2e1 + 1e2 − 2e3 .
Portanto, obtemos
[P ◦ T ]βγ =
1 2 20 0 1
1 0 −2
 .
Petronio Pulino 73
(c) Vamos verifique se P é um isomorfismo de P2(IR) em IR3.
Para isso, basta verificar se Ker(P ) = { 0P2(IR) }.
Tomando um elemento p(x) = a + bx + cx2 ∈ Ker(P ), isto é,
P (a + bx + cx2) = (a+ b , c , a− b) = (0, 0, 0) ,
obtemos o seguinte sistema linear homogêneo
a + b = 0
c = 0
a − c = 0 ,
que possui somente a solução trivial a = b = c = 0. Logo,Ker(P ) = { 0P2(IR) }.
Portanto, temos que P é um isomorfismo de P2(IR) em IR3.
Vamos determinar o isomorfismo inverso. Dado um elemento (a, b, c) ∈ IR3 tal que
P−1(a, b, c) = d1 + d2x + d3x
2 ,
temos que
P (d1 + d2x + d3x
2) = (a, b, c) =⇒ ( d1 + d2 , d3 , d1 − d2 ) = (a, b, c) .
Assim, obtemos o seguinte sistema linear
d1 + d2 = a
d3 = b
d1 − d2 = c ,
que possui somente a solução
d1 =
a+ c
2
, d2 =
a− c
2
e d3 = b .
Portanto, obtemos
P−1(a, b, c) =
(
a+ c
2
)
+
(
a− c
2
)
x + bx2 ,
o que completa a resolução da questão.
74 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 4.
(a) Sabemos que dim(V ) = n e que Im(T ) = Ker(T ).
Assim, podemos afirmar que dim( Im(T ) ) = dim(Ker(T ) ) = m.
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem, temos que
dim( Im(T ) ) + dim(Ker(T ) ) = dim(V ) .
Portanto, temos que n = 2m. Logo, podemos concluir que n é par e que m =
n
2
.
(b) Considerando V = IR4, temos que dim( Im(T ) ) = dim(Ker(T ) ) = 2.
Tomando a base canônica β = { e1, e2, e3, e4 } para IR4, vamos definir um operador
linear T sobre IR4, com as propriedades acima, da seguinte forma:
T (e1) = (0, 0, 0, 0) = 0IR4
T (e2) = (0, 0, 0, 0) = 0IR4
T (e3) = (1, 0, 0, 0) = e1
T (e4) = (0, 1, 0, 0) = e2 .
Podemos observar facilmente que { e1, e2 } é uma base para o subespaço Ker(T ) e
também para o subespaço Im(T ). Logo, temos que
dim(Ker(T ) ) = dim( Im(T ) ) = 2 e Ker(T ) = Im(T ) .
Portanto, o operador linear T , definido acima, possui as propriedades desejadas. Podemos
verificar facilmente que
T (x, y, z, t) = (z, t, 0, 0) para todo (x, y, z, t) ∈ IR4 .
Petronio Pulino 75
B.1.3 Terceira Prova
Questão 1.
Seja w ∈ T (Eλ), isto é, existe um elemento v ∈ Eλ tal que w = T (v). Como
v ∈ Eλ, temos que w = T (v) = λv. Logo, w = λv.
Aplicando o operador T no elemento w, obtemos T (w) = λT (v).
Como w = T (v), temos que T (w) = λw. Assim, podemos concluir que w ∈ Eλ.
Portanto, provamos que T (Eλ) ⊂ Eλ.
76 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 2.
(a) Temos somente um autovalor λ associado ao autovetor v. Podemos observar
que o autovalor λ é unicamente determinado pelo operador T e pelo autovetor v. De
fato, considere que λ e λ′ são autovalores do operador T associados ao autovetor v,
isto é,
T (v) = λ v e T (v) = λ′ v .
Assim, temos que
λ v − λ′ v = 0V =⇒ (λ − λ′ ) v = 0V =⇒ (λ − λ′ ) = 0 =⇒ λ = λ′ ,
pois v 6= 0V .
(b) Sim. De fato, se λ = 0 é um autovalor de T e v um autovetor associado, temos
que v ∈ Ker(T ), pois T (v) = λ v = 0V . Logo, como v 6= 0V , Ker(T ) 6= { 0V }.
Portanto, T não é um operador injetor.
Reciprocamente, se T não é um operador injetor, sabemos que Ker(T ) 6= { 0V }.
Logo, os elementos não nulos v ∈ Ker(T ) são autovetores do operador T associados
ao autovalor λ = 0, pois T (v) = 0V = λ v.
(c) Seja { v1 , · · · , vn−1 } uma base para o subespaço Vλ1 , desde que dim(Vλ1) = n− 1.
Sabemos que cada elemento vj é um autovetor de T associado ao autovalor λ1, pois
T (vj) = λ1 vj para j = 1 , · · · , (n− 1) .
Assim, temos (n − 1) autovetores T linearmente independentes. Tomando vn o
autovetor de T associado ao autovalor λ2, temos que o conjunto { v1 , · · · , vn−1 , vn }
também é linearmente independente, pois o autovetor vn 6∈ Vλ1 .
Desse modo, temos uma base ordenada γ = { v1 , · · · , vn−1 , vn } de autovetores de T
para o espaço vetorial V . Assim, sabemos que [T ]γγ = diag(λ1, λ1, · · ·λ1, λ2). Logo,
T é um operador diagonalizável.
Petronio Pulino 77
Questão 3.
(a) Com relação à base canônica β = { (1, 0) , (0, 1) } de IR2, temos que
[T ]ββ =
[
5 −6
1 0
]
.
Sabemos que o polinômio caracteŕıstico do operador T é o polinômio caracteŕıstico da
matriz A = [T ]ββ que é dado por:
p(λ) = det(A − λ I ) = −λ(5 − λ) + 6 = λ2 − 5λ + 6 .
Portanto, λ1 = 2 e λ2 = 3 são os autovalores do operador T .
Vamos determinar os autovetores de T associados ao autovalor λ1 = 2. Desse modo,
temos que encontrar os elementos não nulos do núcleo do operador T − λ1 I.
Assim, obtemos o seguinte sistema linear homogêneo{
3x − 6y = 0
x − 2y = 0
⇐⇒ x − 2y = 0
que possui como solução x = 2y para y ∈ IR não nulo.
Desse modo, os autovetores do operator T associados ao autovalor λ1 = 2 são do tipo
v = (2y, y) para y ∈ IR não nulo. Assim, podemos escolher v1 = (2, 1) o autovetor
de T associado ao autovalor λ1 = 2.
De modo análogo, para determinar os autovetores de T associados ao autovalor λ2 = 3,
temos que encontrar os elementos não nulos do núcleo do operador T − λ2 I.
Assim, obtemos o seguinte sistema linear homogêneo{
2x − 6y = 0
x − 3y = 0
⇐⇒ x − 3y = 0
que possui como solução x = 3y para y ∈ IR não nulo.
Desse modo, os autovetores do operator T associados ao autovalor λ2 = 3 são do tipo
v = (3y, y) para y ∈ IR não nulo. Assim, podemos escolher v2 = (3, 1) o autovetor
de T associado ao autovalor λ2 = 3.
78 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
(b) Do item (a), podemos observar facilmente que
Vλ1 = [(2, 1)] e Vλ2 = [(3, 1)]
são os autoespaços do operador T associados aos autovalores λ1 = 2 e λ2 = 3,
respectivamente.
(c) Do item (a), podemos concluir que T é um operador diagonalizável. Logo, a matriz
A = [T ]ββ é uma matriz diagonalizável.
Além disso, sabemos que os autovetores da matriz A são
X1 = [v1]β =
[
2
1
]
e X2 = [v2]β =
[
3
1
]
associados aos autovalores λ1 = 2 e λ2 = 3, respectivamente.
Temos que a matriz A é similar a matriz diagonal Λ = diag(2, 3), onde a matriz
invert́ıvel P que realiza a transformação de similaridade é dada por:
P =
[
2 3
1 1
]
e P−1 =
[
−1 3
1 −2
]
.
Desse modo, temos que A = P ΛP−1. Logo, sabemos que A8 = P Λ8 P−1 e que a
matriz do operador T 8 com relação à base canônica β é dada por [T 8]ββ = A
8.
Temos que a matriz A8 é obtida da seguinte forma:
A8 =
[
2 3
1 1
][
28 0
0 38
][
−1 3
1 −2
]
=
[
2 3
1 1
][
256 0
0 6561
][
−1 3
1 −2
]
=
[
19171 −37830
6305 −12354
]
Finalmente, temos que
[T 8(u)]β = [T
8]ββ[u]β para u = (x, y) ∈ IR
2 .
Portanto, a expressão expĺıcita do operador linear T 8 é dada por:
T 8(x, y) = ( 19171x − 37830y , 6305x − 12354y ) para (x, y) ∈ IR2 .
Petronio Pulino 79
Questão 4.
Da condição (a), sabemos que
Ker(T ) = { (x, y, z, t) ∈ IR4 / x+ y − z + t = 0 e z − t = 0 } .
Podemos verificar facilmente que { (−1, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 1) } é uma base para Ker(T ).
Desse modo, podemos concluir que λ1 = 0 é um autovalor de T com multiplicidade
algébrica igual a 2 e multiplicidade geométrica também igual a 2, pois Vλ = Ker(T )
e dim(Ker(T ) ) = 2. Assim, podemos escolher v1 = (−1, 1, 0, 0) e v2 = (0, 0, 1, 1)
os autovetores de T associados aos autovalores λ1 = 0 e λ2 = 0.
Da condição (b), sabemos que v3 = (0, 0, 1, 0) é um autovetor do operador T associado
ao autovalor λ3 = 2. De fato, T (v3) = λ3v3 , isto é, T (0, 0, 1, 0) = 2(0, 0, 1, 0).
Podemos observar que o conjunto { v1 , v2 , v3 } é linearmente independente em IR4.
Assim, estamos precisando de mais um elemento v4 ∈ IR4 para autovetor do operador
T de modo que γ = { v1 , v2 , v3 , v4 } seja uma base de autovetores para IR4.
Da condição (c), sabemos que o elemento (0, 1, 0, 0) ∈ Im(T ). Assim, podemos escolher
v4 = (0, 1, 0, 0) como um autovetor do operador T associado ao autovalor λ4 = −3.
Portanto, temos que
v1 = (−1, 1, 0, 0) , v2 = (0, 0, 1, 1) , v3 = (0, 0, 1, 0) e v4 = (0, 1, 0, 0)
são os autovetores do operador linear T associados aos autovalores λ1 = 0 , λ2 = 0 ,
λ3 = 2 e λ4 = −3 , respectivamente. Desse modo, γ = { v1 , v2 , v3 , v4 } é uma
base de autovetores para IR4 e sabemos que [T ]γγ = diag(0, 0, 2,−3).
Finalmente, vamos determinar a expressão expĺıcita do operador linear T diagonalizável
que satisfaz as condições desejadas. Para isso, vamos representar um elemento genérico
(x, y, z, t) ∈ IR4 em relação à base de autovetores γ = { v1 , v2 , v3 , v4 }, isto é,
(x, y, z, t) = a(−1, 1, 0, 0) + b(0, 0, 1,1) + c(0, 0, 1, 0) + d(0, 1, 0, 0) .
Podemos verificar facilmente que a = −x , b = t , c = z − t e d = x + y.
80 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Portanto, obtemos
T (x, y, z, t) = −xT (−1, 1, 0, 0) + tT (0, 0, 1, 1) + (z − t)T (0, 0, 1, 0) + (x+ y)T (0, 1, 0, 0)
= (0 , −3x− 3y , 2z − 2t , 0)
Petronio Pulino 81
B.1.4 Segunda Chamada
Questão 1.
(a) A afirmação é Falsa.
Considere que exista uma transformação linear injetora T de IR4 em IR3. Desse
modo, pelo Teorema do núcleo e da imagem, temos dim( Im(T ) ) = 4, pois
Ker(T ) = { 0V }. O que não é posśıvel, pois Im(T ) é um subespaço de IR3 e
dim( IR3 ) = 3. Logo, não existe uma transformação linear injetora T de IR4 em IR3.
(b) A afirmação é Verdadeira.
Considere uma transformação linear T de IR4 em P2(IR) tal que dim(Ker(T ) ) = 1.
Pelo Teorema do núcleo e da imagem, obtemos dim( Im(T ) ) = 3. Como Im(T ) é
um subespaço de P2(IR), tem–se que Im(T ) = P2(IR), pois dim(P2(IR) ) = 3. Logo,
existe uma transformação linear T sobrejetora de IR4 em P2(IR).
(c) A afirmação é Falsa.
Considere o conjunto linearmente dependente S em IR3 dado por:
S = { (1, 1, 0) , (−1, 1, 0) , (1, 3, 0) } .
Entretanto, o subconjunto { (1, 1, 0) , (−1, 1, 0) } é linearmente independente em IR3.
(d) A afirmação é Falsa.
De fato, os espaços vetoriais P4(IR) e IM2(IR) tem dimensões diferente, isto é,
dim(P4(IR) ) = 5 e dim( IM2(IR) ) = 4. Assim, não são espaços isomorfos.
(e) A afirmação é Falsa.
Considerando que U ∩W = { 0V }, pelo Teorema da dimensão da soma de subespaços,
temos que
dim(U + W ) = dim(U) + dim(W ) − dim(U ∩W ) > n
2
+
n
2
= n ,
que é uma contradição, pois U + W é um subespaço de V . Logo, podemos concluir que
U ∩W 6= { 0V } .
82 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 2.
(a) Podemos verificar que a matriz nula 0n pertence ao subconjunto U , pois 0n
é uma matriz simétrica e tem traço nulo.
Considerando as matrizes A , B ∈ U , temos
(A + B)t = At + Bt = A + B e tr(A + B) = tr(A) + tr(B) = 0 .
Portanto, a matriz A+B ∈ U .
Finalmente, considerando A ∈ U e λ ∈ IR, temos
(λA)t = λAt = λA e tr(λA) = λtr(A) = 0 .
Portanto, a matriz λA ∈ U .
Assim, mostramos que o subconjunto U é um subespaço de IMn(IR).
(b) Como At = A e tr(A) = 0, uma matriz genérica A ∈ IM3(IR) com essas
propriedades, pode ser escrita da seguinte forma:
A =
a x yx b z
y z (−a− b)
 ,
para a, b, x, y, z ∈ IR.
Por sua vez, podemos escrever
A =
a x yx b z
y z (−a− b)

= a
1 0 00 0 0
0 0 −1
 + x
0 1 01 0 0
0 0 0
 + y
0 0 10 0 0
1 0 0
 + b
0 0 00 1 0
0 0 −1
 + z
0 0 00 0 1
0 1 0
 .
Desse modo, escrevemos A = aA1 + xA2 + yA3 + bA4 + zA5 , onde o conjunto
{ A1 , A2 , A3 , A4 , A5 }
é linearmente independente e gera o subespaço U de IM3(IR). Assim, encontramos uma
base para U .
Petronio Pulino 83
Questão 3.
(a) Interpretando a matriz [T ]βγ , obtemos
T (1, 0) = (1, 0, 1) − 2(0, 1, 0)) = (1,−2, 1)
T (0, 1) = −(1, 0, 1) + (−1, 0, 1) + 3(0, 1, 0)) = (−2, 3, 0)
(b) Utilizando o resultado do item (a), obtemos
T (x, y) = T (x(1, 0) + y(0, 1)) = xT (1, 0) + yT (0, 1) = x(1,−2, 1) + y(−2, 3, 0) .
Desse modo, podemos verificar facilmente que { (1,−2, 1) , (−2, 3, 0) } é uma base para
o subespaço Im(T ), pois é um conjunto linearmente independente em IR3.
Assim, temos que
T (x, y) = (x− 2y , −2x+ 3y , x) para (x, y) ∈ IR2 .
(c) Para verificar se T é uma transformação injetora, vamos determinar o núcleo da
transformação T . Desse modo, vamos encontrar os elementos (x, y) ∈ IR2 tais que
T (x, y) = (0, 0, 0) =⇒ (x− 2y , −2x+ 3y , x) = (0, 0, 0) .
Assim, temos que determinar a solução do sistema linear homogêneo
x − 2y = 0
−2x + 3y = 0
x = 0
Obtemos, x = y = z = 0.
Portanto, Ker(T ) = { 0V }. Logo, a transformação linear T é injetora.
84 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 4.
Seja T o operador linear sobre P2(IR) definido por:
T (a + bx + cx2) = (3a + 2b + c) + (b − c)x + 2cx2 .
Inicialmente, vamos determinar a matriz A = [T ]ββ , onde β = { 1 , x , x2 } é a base
canônica de P2(IR). Temos que
T (1) = 3 , T (x) = 2 + x e T (x2) = 1 − x + 2x2 .
Portanto, obtemos
A = [T ]ββ =
 3 2 10 1 −1
0 0 2
 .
Desse modo, o polinômio caracteŕıstico do operador linear T é dado por:
p(λ) = det(A − λ I ) = (3− λ)(1− λ)(2− λ) .
Logo, λ1 = 3 , λ2 = 2 e λ3 = 1 são os autovalores do operador T . Como os
autovalores são distintos, sabemos que T é um operador linear diagonalizável.
Os autovetores da matriz A = [T ]ββ são
X1 =
10
0
 , X2 =
 1−1
1
 e X3 =
−11
0

associados aos autovalores λ1 = 3 , λ2 = 2 e λ3 = 1, respectivamente.
Sabemos que
[p1(x)]β = X1 , [p2(x)]β = X2 e [p3(x)]β = X3 ,
onde p1(x) , p2(x) e p3(x) são os autovetores do operador T associados aos
autovalores λ1 = 3 , λ2 = 2 e λ3 = 1, respectivamente. Logo, obtemos
p1(x) = 1 , p2(x) = 1 − x + x2 e p3(x) = −1 + x .
Finalmente, temos que
Vλ1 = [1] , Vλ2 = [1 − x + x2] e Vλ3 = [−1 + x]
são os autoespaços do operador T .
Petronio Pulino 85
B.1.5 Exame
Questão 1.
(a) Os elementos (x, y, z, t) ∈ U podem ser escritos como:
(x, y, z, t) = y(−1, 1, 0, 0) + t(0, 0, 1, 1) para y, t ∈ IR .
Assim, o conjunto { (−1, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 1) } é uma base para o subespaço U .
Os elementos (x, y, z, t) ∈ W podem ser escritos como:
(x, y, z, t) = y(−1, 1, 0, 0) + z(−1, 0, 1, 0) + t(0, 0, 0, 1) para y, z, t ∈ IR .
Assim, o conjunto { (−1, 1, 0, 0) , (−1, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1) } é uma base para W .
Podemos verificar que o conjunto { (−1, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 1) , (−1, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1) } é
uma base para o subespaço U +W .
(b) Pelo Teorema da dimensão da soma de subespaços, temos que
dim(U +W ) = dim(U) + dim(W ) − dim(U ∩W ) .
Como dim(U) = 2 , dim(W ) = 3 e dim(U +W ) = 4, obtemos dim(U ∩W ) = 1.
Logo, o subespaço U +W não é uma soma direta dos subespaços U e W .
(c) Como dim(U ∩W ) = 1 e o elemento (−1, 1, 0, 0) pertence tanto ao subespaço U
quanto ao subespaço W , podemos concluir que U ∩W = [(−1, 1, 0, 0)].
(d) Vamos determinar o operador linear T sobre IR4 de modo que Ker(T ) = W
e Im(T ) = U ∩W . Pelo item (a), temos que { (−1, 1, 0, 0) , (−1, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1) }
é uma base para o subespaço Ker(T ). Completando a base do núcleo de T , obtemos
que { (−1, 1, 0, 0) , (−1, 0, 1, 0) , (0, 0, 0, 1) , (0, 0, 1, 0) } é uma base para IR4. Assim, o
operador linear T é determinado por:
T (−1, 1, 0, 0) = (0, 0, 0, 0)
T (−1, 0, 1, 0) = (0, 0, 0, 0)
T (0, 0, 0, 1) = (0, 0, 0, 0)
T (0, 0, 1, 0) = (−1, 1, 0, 0)
o que completa a resolução da questão.
86 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 2.
Vamos verificar se o subconjunto U é um subespaço de P3(IR). Podemos verificar
facilmente que o polinômio identicamente nulo, isto é, p(x) = 0 para todo x, que é o
elemento neutro da operação de adição, pertence ao subconjunto U .
Tomando os elemento p(x), q(x) ∈ P3(IR), isto é,
p(1) + p(−1) = 0 e q(1) + q(−1) = 0 ,
temos que
(p + q)(1) + (p + q)(−1) = ( p(1) + p(−1) ) + ( q(1) + q(−1) ) = 0 .
Portanto, o elemento ( p(x) + q(x) ) ∈ P3(IR).
Agora, tomando o elemento p(x) ∈ P3(IR) e λ ∈ IR, temos que
(λp)(1) + (λp)(−1) = λp(1) + λp(−1) = λ( p(1) + p(−1) ) = 0 .
Portanto, o elemento λp(x) ∈ P3(IR).
Assim, mostramos que o subconjunto U é um subespaço vetorial de P3(IR).
Finalmente, vamos determinar uma base para o subespaço U . Para isso, consideramos um
elemento p(x) = a+ bx+ cx2 + dx3 ∈ P3(IR) e, impondo a condição p(1) + p(−1) = 0,
obtemos
( a + b + c + d ) + ( a − b + c − d ) = 0 =⇒ a + c = 0 .
Assim, temos que a = −c com b, c, d ∈ IR.
Desse modo, os elementos p(x) ∈ U podem ser representados da seguinte forma:
p(x) = c(−1 + x2) + bx + dx3 para b, c, d ∈ IR .
Portanto, o conjunto { −1 + x2 , x , x3 } é uma base para o subespaço U .
Petronio Pulino 87
Questão 3.
(a)Utilizando a matriz [T ]αγ , obtemos
T (0, 1) = −1(−1, 0) + 0(0,−1) = (1, 0)
T (1, 0) = −1(−1, 0) − 1(0,−1) = (1, 1)
Assim, temos que T (0, 1) = (1, 0) e T (1, 0) = (1, 1).
(b) Representando o elemento (0, 1) da base α em relação à base γ, temos
(0, 1) = a(−1, 0) + b(0,−1) .
Logo, a = 0 e b = −1.
Representando o elemento (1, 0) da base α em relação à base γ, temos
(1, 0) = c(−1, 0) + d(0,−1) .
Logo, c = −1 e d = 0. Portanto, obtemos
[I]αγ =
[
0 −1
−1 0
]
,
que é a matriz de mudança da base ordenada α para a base ordenada γ.
(c) Utilizando o resultado do item (b), obtemos
T (x, y) = T (x(1, 0) + y(0, 1))
= xT (1, 0) + yT (0, 1)
= x(1, 1) + y(1, 0)
= (x+ y , x)
Portanto, T (x, y) = (x+ y , x) para todo (x, y) ∈ IR2.
88 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
(d) Utilizando o resultado do item (c), obtemos
[T ]ββ =
[
1 1
1 0
]
,
onde β = { (1, 0) , (0, 1) } é a base canônica de IR2.
Sabemos que a matriz [T 2]ββ é dada por:
A2 =
[
2 1
1 1
]
.
Assim, o polinômio caracteŕıstico do operador linear T 2 é dado por:
p(λ) =
∣∣∣∣∣2− λ 11 1− λ
∣∣∣∣∣ = (2− λ)(1− λ) − 1 = λ2 − 3λ + 1 .
Portanto, os autovalores do operador T 2 são
λ1 =
3 +
√
5
2
e λ2 =
3 −
√
5
2
.
Como os autovalores de T são distintos, sabemos que T é um operador diagonalizável.
Petronio Pulino 89
Questão 4.
(a) Considerando que a matriz B é similar à matriz A, existe uma matriz P invert́ıvel
tal que B = P−1AP . Tomando o polinômio caracteŕıstico da matriz B, obtemos
p(λ) = det(B − λ In )
= det(P−1AP − λP−1 P )
= det(P−1(A − λ In )P )
= det(P−1) det(A − λ In ) det(P )
= det(A − λ In ) ,
onde In é a matriz identidade de ordem n. Assim, mostramos que as matrizes A
e B possuem o mesmo polinômio caracteŕıstico. Como os autovalores são as ráızes do
polinômio caracteŕıstico, temos que as matrizes A e B possuem os mesmos autovalores.
(b) Seja X um autovetor da matriz B associado ao autovalor λ, isto é,
BX = λX ⇐⇒ P−1APX = λX ⇐⇒ A(PX) = λ(PX) .
Portanto, obtemos que PX é um autovetor da matriz A associado ao autovalor λ.
(c) Considerando que A é uma matriz diagonalizável, existe uma matriz Q invert́ıvel
tal que A = QΛQ−1, onde Λ é uma matriz diagonal. Como B é similar a matriz A,
obtemos
B = P−1AP = P−1(QΛQ−1)P = (P−1Q)Λ(Q−1P ) = (Q−1P )−1 Λ (Q−1P ) .
Assim, mostramos que B é similar à matriz diagonal Λ. Logo, B é diagonalizável.
90 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
B.2 Primeiro Semestre de 2006
B.2.1 Primeira Prova
Questão 1.
Considere o subconjunto S de C([−1, 1]) das funções monótonas crescentes, isto é,
S = { f ∈ C([−1, 1]) / f(x) > f(y) para x > y } .
Considerando f, g ∈ S, isto é, f(x) > f(y) e g(x) > g(y) para x > y, temos que
f(x) +g(x) > f(y) +g(y). Assim, f + g ∈ S. Logo, S é fechado com relação à operação
de adição.
Considerando f ∈ S, isto é, f(x) > f(y) para x > y, e λ ∈ IR negativo. Desse
modo, temos que λf(x) < λg(x) para x > y. Logo, temos que (λ f) /∈ S. Portanto,
S não é fechado com relação à operação de multiplicação por escalar.
Questão 2.
(=⇒) Considerando que o conjunto { v1, v2, v3, v4, u } é linearmente dependente em
V , temos que existem escalares c1, c2, c3, c4, α , não todos nulos, tais que
c1v1 + c2v2 + c3v3 + c4v4 + αu = 0V .
Agora temos duas possibilidades. Primeira, se o escalar α 6= 0, obtemos
u = −c1
α
v1 −
c2
α
v2 −
c3
α
v3 −
c4
α
v4 =⇒ u ∈ [v1, v2, v3, v4] .
Segunda, se α = 0, temos que
c1v1 + c2v2 + c3v3 + c4v4 = 0V .
Como o conjunto { v1, v2, v3, v4} é linearmente independente em V , isto implicaria que
os escalares c1, c2, c3, c4 devem ser todos nulos. Entretanto, isso contraria a hipótese do
conjunto { v1, v2, v3, v4, u } ser linearmente dependente em V . Logo, mostramos que
u ∈ [v1, v2, v3, v4] .
(⇐=) Considerando que u ∈ [v1, v2, v3, v4] , existem escalares c1, c2, c3, c4, não todos
nulos, tais que
u = c1v1 + c2v2 + c3v3 + c4v4 =⇒ c1v1 + c2v2 + c3v3 + c4v4 − u = 0V .
Portanto, mostramos que { v1, v2, v3, v4, u } é linearmente dependente em V .
Petronio Pulino 91
Questão 3.
Todo elemento (x, y, z) ∈ U satisfaz a equação 2x − 4y + 6z = 0. Desse modo,
temos que x = 2y − 3z para y, z ∈ IR. Portanto, todo elemento (x, y, z) ∈ U é
escrito da seguinte forma:
(x, y, z) = y(2, 1, 0) + z(−3, 0, 1) ; y, z ∈ IR .
Assim, o conjunto { (2, 1, 0), (−3, 0, 1) } é um sistema de geradores para o subespaço U .
Sabemos que o subespaço U + W = { v ∈ IR3 / v = u + w ; u ∈ U e w ∈ W }.
Assim, temos que
v = a(2, 1, 0) + b(−3, 0, 1) + c(1, 0, 1) + d(1, 1, 3) ; a, b, c, d ∈ IR .
Assim, o conjunto { (2, 1, 0), (−3, 0, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 3) } é um sistema de geradores
para o subespaço U + W .
Vamos determinar um sistema de geradores para o subespaço U ∩W . Sabemos que, se
v ∈ U ∩W , então v ∈ U e v ∈ W . Assim, temos que
a(2, 1, 0) + b(−3, 0, 1) = c(1, 0, 1) + d(1, 1, 3) para a, b, c, d ∈ IR .
Desse modo, obtemos o seguinte sistema linear
2a − 3b = c + d
a = d
b = c + 3d
cuja solução é dada por a = d , b = d e c = −2d para d ∈ IR.
Portanto, se v ∈ U ∩ W , então ele pode ser escrito como v = d(−1, 1, 1) para
d ∈ IR. Logo, { (−1, 1, 1) } é um sistema de geradores para o subespaço U ∩W . Como
o subespaço U ∩ W 6= { 0IR3 } , o subespaço U + W não é uma soma direta dos
subespaços U e W .
92 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 4.
Consideramos um elemento genérico p(x) = a + bx + cx2 + dx3 ∈ P3(IR) e vamos
impor as condições para que esse elemento pertença ao subespaço S, isto é,
p(−1) + p′(−1) = a − c + 2d = 0
p(1) = a + b + c + d = 0
.
Escalonando o sistema linear homogêneo, obtemos a + b + c + d = 0− b − 2c + d = 0 .
Assim, obtemos um sistema linear homogêneo com dois graus de liberdade. Desse modo,
podemos concluir que o subespaço S tem dimensão dois. Logo, temos uma relação entre
os coeficientes dos elementos p(x) ∈ S. Podemos verificar facilmente que
b = −2c + d e a = c − 2d
para c, d ∈ IR. Substituindo a e b no polinômio p(x), obtemos que todo elemento do
subespaço S é escrito como:
p(x) = c(1 − 2x + x2) + d(−2 + x + x3) ; c, d ∈ IR .
Portanto, mostramos que o subespaço S é gerado pelos elementos do conjunto
Γ = { 1 − 2x + x2 , −2 + x + x3 } ,
que é linearmente independente em P3(IR), pois tomando a combinação linear nula
a( 1 − 2x + x2 ) + b( −2 + x + x3 ) = 0
obtemos o seguinte sistema linear homogêneo
a − 2b = 0
−2a + b = 0
a = 0
b = 0
cuja solução é a = b = 0. Logo, o conjunto Γ é uma base para o subespaço S.
Note que os elementos da base Γ satisfazem as condições para que um elemento do
espaço vetorial P3(IR) pertença ao subespaço S.
Petronio Pulino 93
Questão 5.
Inicialmente, vamos encontrar uma base para o subespaço W . Para isso, constrúımos
uma matriz cujas linhas são os elementos do sistema de geradores do subespaço W e
procedemos com o escalonamento
A =
 1 0 1 22 −1 1 3
−1 1 0 −1
 −→
 1 0 1 20 −1 −1 −1
0 1 1 1
 −→
 1 0 1 20 −1 −1 −1
0 0 0 0

Assim, podemos escolher
Γ = { (1, 0, 1, 2), (2,−1, 1, 3) } ou Γ′ = { (1, 0, 1, 2), (0, 1, 1, 1) }
para uma base do subespaço W .
Finalmente, vamos completar uma base de W para obter uma base de IR4.
Desse modo, podemos escolher
β = { (1, 0, 1, 2), (2,−1, 1, 3), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) } ou
β′ = { (1, 0, 1, 2), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) }
para uma base do espaço vetorial IR4, pois construindo a matriz M de ordem 4 associada
ao conjunto β′
M =

1 0 1 2
0 1 1 1
0 0 1 0
0 0 0 1

vemos que está forma escalonada e posto(M) = 4 .
94 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
B.2.2 Segunda Prova
Questão 1.
Da matriz de mudança de base [I]αγ , sabemos que
p1(x) = q1(x) + q2(x)
p2(x) = 2q1(x) + q2(x)
p3(x) = q3(x)
Da última equação, temos que q3(x) = 1 − x2. Das duas primeiras equações, obtemos
o seguinte sistema linear
q1(x) + q2(x) = p1(x)
2q1(x) + q2(x)= p2(x)
⇐⇒

q1(x) + q2(x) = p1(x)
q2(x) = 2p1(x) − p2(x)
que possui a solução q1(x) = p2(x) − p1(x) e q2(x) = 2p1(x) − p2(x). Assim, obtemos
q1(x) = 2x , q2(x) = 1 − 3x e q3(x) = 1 − x2
que são os elementos da base ordenada γ.
Vamos encontrar o vetor de coordenadas do elemento p(x) = 3 − x + 2x2 com relação
à base ordenada α. Para isso, basta fazer
p(x) = a p1(x) + b p2(x) + c p3(x)
3 − x + 2x2 = a(1 − x) + b(1 + x) + c(1 − x2)
obtendo o seguinte sistema linear
a + b + c = 3
−a + b = −1
− c = 2
que possui como solução a = 3 , b = 2 e c = −2 . Assim, temos
[p(x)]α =
 32
−2
 .
Petronio Pulino 95
Questão 2.
Da condição (a) temos que
T (1 + x2) =
[
0 0
0 0
]
.
Da condição (b), isto é, q(x) = 1 6∈ Ker(T ), implica que o elemento r(x) = x2 não
pode pertencer ao Ker(T ), pois podemos escrever q(x) = p(x) − r(x). Claramente, se
o elemento r(x) ∈ Ker(T ), então q(x) ∈ Ker(T ), o que contradiz a hipótese.
Assim, podemos considerar a seguinte transformação linear T : P2(IR) −→ IM2(IR), com
{ 1 + x2 } a base para Ker(T ), dada por:
T (1 + x2) =
[
0 0
0 0
]
, T (1) =
[
0 1
1 0
]
e T (x) =
[
2 0
0 1
]
onde estamos escolhendo γ = { 1 + x2, 1, x } uma base ordenada para P2(IR), que foi
obtida completando a base do Ker(T ).
Vamos tomar um elemento genérico p(x) = a + bx + cx2 ∈ P2(IR) e representa–lo
com relação à base ordenada γ de P2(IR)
p(x) = d1( 1 + x
2 ) + d2 + d3x
= (d1 + d2) + d3x + d1x
2
obtendo o seguinte sistema linear
d1 + d2 = a
d1 = c
d3 = b
que possui somente a solução d1 = c , d2 = a − c e d3 = b. Desse modo, temos que
p(x) = c( 1 + x2 ) + (a − c) + bx .
Agora, fazendo T (p(x)) = T (a + bx + cx2), obtemos
T (a + bx + cx2) = c T (1 + x2) + (a − c)T (1) + b T (x) =
 2b a− c
a− c b
 .
Assim, encontramos uma transformação T com as propriedades pedidas.
96 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 3.
Tomando uma combinação linear nula
m∑
i=1
ci T (vi) = 0W ,
e como T é uma transformação linear, podemos escrever
T
(
m∑
i=1
ci vi
)
= 0W .
Considerando a hipótese que T é injetora, isto é, Ker(T ) = { 0V }, temos que
m∑
i=1
ci vi = 0V .
Como { v1 , · · · , vm } é linearmente independente em V , implica que
c1 = c2 = · · · = cm = 0 .
Portanto, { T (v1) , · · · , T (vm) } é linearmente independente em W .
Questão 4.
(a) A afirmação é Falsa.
Considere que exista uma transformação linear injetora T de IR4 em IR3, isto é,
Ker(T ) = { 0V }. Pelo Teorema do núcleo e da imagem, temos dim( Im(T ) ) = 4.
O que não é posśıvel, pois Im(T ) é um subespaço de IR3 e dim( IR3 ) = 3. Logo, não
existe uma transformação linear injetora T de IR4 em IR3.
(b) A afirmação é Verdadeira.
Considere uma transformação linear T de IR4 em P2(IR) tal que dim(Ker(T ) ) = 1.
Pelo Teorema do núcleo e da imagem, temos que dim( Im(T ) ) = 3. Como Im(T )
é um subespaço de P2(IR), tem–se que Im(T ) = P2(IR), pois dim(P2(IR) ) = 3. Logo,
existe uma transformação linear T sobrejetora de IR4 em P2(IR).
(c) A afirmação é Falsa.
Considere uma transformação linear injetora T de IR2 em P2(IR). Pelo Teorema
do núcleo e da imagem, temos que dim( Im(T ) ) = 2, pois Ker(T ) = { 0V }.
Logo, tem–se que Im(T ) 6= P2(IR), pois dim(P2(IR) ) = 3. Portanto, não existe uma
transformação bijetora T de IR2 em P2(IR).
Petronio Pulino 97
Questão 5.
Temos que γ = { (1,−1), (0, 1) } é uma base para o IR2. Vamos mostrar que γ
é linearmente independente. Considere a combinação linear nula
a(1,−1) + b(0, 1) = (0, 0) ⇐⇒
 a = 0−a + b = 0 .
Assim, obtemos a = b = 0. Logo, γ é linearmente independente em IR2.
Vamos tomar um elemento genérico (a, b) ∈ IR2 e representa–lo com relação à base
ordenada γ
(a, b) = c(1,−1) + d(0, 1) = (c, −c+ d) .
Assim, obtemos o seguinte sistema linear c = a−c + d = b
que possui como solução c = a e d = a+ b. Desse modo, temos que
(a, b) = a(1,−1) + (a+ b)(0, 1) .
Agora, fazendo
T (a, b) = aT (1,−1) + (a+ b)T (0, 1)
= a(2 + x) + (a+ b)(x− 1)
= (a − b) + (2a + b)x
obtemos a transformação linear T .
Para mostrar que T é um isomorfismo, basta mostrar que Ker(T ) = { 0IR2 }. Assim,
considerando um elemento (a, b) ∈ Ker(T ), temos que
T (a, b) = (a − b) + (2a + b)x = 0P1(IR) para todo x ∈ IR
Assim, obtemos o seguinte sistema linear homogêneo a − b = 02a + b = 0
que possui somente a solução trivial a = b = 0. Logo, T é um isomorfismo.
98 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Vamos encontrar o isomorfismo inverso. Dado um elemento p(x) = a + bx ∈ P1(IR) ,
supomos que T−1(a + bx) = (c, d). Assim, temos que T (c, d) = a + bx, isto é,
(c − d) + (2c + d)x = a + bx ,
obtendo o seguinte sistema linear  c − d = a2c + d = b
que possui como solução c =
a+ b
3
e d =
b− 2a
3
.
Portanto, temos que o isomorfismo inverso é dado por:
T−1(a + bx) =
(
a+ b
3
,
b− 2a
3
)
.
Petronio Pulino 99
B.2.3 Terceira Prova
Questão 1.
Chamando [p(x)]β =
[
a
b
]
.
Sabemos que [T (p(x))]γ = [T ]
β
γ [p(x)]β . Assim, obtemos o seguinte sistema linear1 12 1
1 2
[a
b
]
=
13
0
 ⇐⇒

a + b = 1
2a + b = 3
a + 2b = 0
⇐⇒
{
a + b = 1
− b = 1
que tem uma única solução a = 2 e b = −1. Logo, [p(x)]β =
[
2
−1
]
.
Chamando β = { q1(x), q2 }, onde
q1(x) = x− x2 + x3 e q2(x) = 1 + x+ x2 .
Conhecemos a matriz [T ]βγ , onde γ = { x− 1, p1(x), p2(x) }. Assim, temos que
T (q1(x)) = (x − 1) + 2p1(x) + p2(x)
T (q2(x)) = (x − 1) + p1(x) + 2p2(x)
. (B.1)
Tomando T (p(x)) = p′(x) + (x + 1)p(0) , vamos calcular
T (q1(x)) = 1 − 2x + 3x2
T (q2(x)) = 1 + 2x + (x + 1) = 3x + 2
. (B.2)
Substituindo (B.2) em (B.1), obtemos um sistema linear nas incógnitas p1(x) e p2(x)
2p1(x) + p2(x) = 3x
2 − 3x + 2
p1(x) + 2p2(x) = 2x + 3
Fazendo a primeira equação menos a segunda equação, obtemos
p1(x) − p2(x) = 3x2 − 5x − 1 ,
o que completa a resolução da questão.
100 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 2.
(a) Note que a aplicação 〈 · , · 〉 definida por:
〈 f , g 〉 =
∫ 1
0
f ′(x)g(x)dx ; ∀ f, g ∈ C10([0, 1])
não satisfaz a propriedade de simetria. De fato,
〈 f , g 〉 =
∫ 1
0
f ′(x)g(x)dx 6=
∫ 1
0
g′(x)f(x)dx = 〈 g , f 〉 .
Por exemplo, tomando as funções f(x) = 1 − x e g(x) = 1 − x2, temos que
〈 f , g 〉 =
∫ 1
0
(x2 − 1 )dx = −2
3
e 〈 g , f 〉 =
∫ 1
0
( 2x2 − 2x )dx = −1
3
.
Portanto, 〈 f , g 〉 6= 〈 g , f 〉.
Além disso, podemos verificar facilmente que a aplicação 〈 · , · 〉 não satisfaz a propriedade
de positividade. De fato,
〈 f , f 〉 =
∫ 1
0
f ′(x)f(x)dx =
1
2
∫ 1
0
(f 2(x))′dx
=
1
2
( f 2(1) − f 2(0) ) = −1
2
f 2(0) ≤ 0 ,
onde f(1) = 0.
Logo, a aplicação 〈 · , · 〉 não define um produto interno no espaço vetorial C10([0, 1]).
Petronio Pulino 101
(b) Podemos verificar facilmente que a aplicação 〈 · , · 〉 definida por:
〈 f , g 〉 =
∫ 1
0
f ′(x)g′(x)dx ; ∀ f, g ∈ C10([0, 1])
satisfaz as propriedades de simetria, homogeneidade e distributividade. De fato,
〈 f , g 〉 =
∫ 1
0
f ′(x)g′(x)dx =
∫ 1
0
g′(x)f ′(x)dx = 〈 g , f 〉 ; ∀ f, g ∈ C10([0, 1]) .
〈λf , g 〉 =
∫ 1
0
(λf)′(x)g′(x)dx =
∫ 1
0
λf ′(x)g′(x)dx = λ
∫ 1
0
f ′(x)g′(x)dx = λ 〈 f , g 〉
para todas funções f, g ∈ C10([0, 1]) e λ ∈ IR.
〈 f + g , h 〉 =
∫ 1
0
(f + g)′(x)h′(x)dx =
∫ 1
0
f ′(x)h′(x)dx +
∫ 1
0
g′(x)h′(x)dx
= 〈 f , h 〉 + 〈 g , h 〉 ; ∀ f, g ∈ C10([0, 1]) .
Vamos mostrar que a aplicação 〈 · , · 〉 satisfaz a propriedade de positividade. De fato,
〈 f , f 〉 =
∫ 1
0
( f ′(x) )2dx ≥ 0 ,
pois o integrando é uma função cont́ınua positiva.
Agora, supomos que
〈 f , f 〉 =
∫ 1
0
( f ′(x) )2dx = 0 .
Como f ′ é uma função cont́ınua, temos que f ′(x) = 0 para todo x ∈ [0, 1]. Logo, f é
uma função constante em [0, 1], entretanto, f(1) = 0. Assim, a única função constante
no espaço C10([0, 1]) é a função identicamente nula ( f ≡ 0 ), isto é, f(x) = 0 para
todo x ∈ [0, 1].
Portanto, a aplicação 〈 · , · 〉 define umproduto interno no espaço vetorial C10([0, 1]).
102 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 3.
(a) Considerando que V é um espaço vetorial real, temos que
‖u + v ‖22 = 〈u + v , u + v 〉 = 〈u , u 〉 + 2〈u , v 〉 + 〈 v , v 〉 .
Utilizando o fato que θ é o ângulo entre os elementos u e v, não nulos, temos que
cos(θ) =
〈u , v 〉
‖u ‖2 ‖ v ‖2
=⇒ 〈u , v 〉 = ‖u ‖2 ‖ v ‖2 cos(θ) .
Portanto, obtemos a relação
‖u + v ‖22 = ‖u ‖22 + ‖ v ‖22 + 2 ‖u ‖2 ‖ v ‖2 cos(θ)
que é denominada Lei do Paralelogramo.
(b) Tomando a combinação linear nula dos elementos do conjunto β
c1q1 + · · · + ciqi + · · · + cnqn = 0V ,
e fazendo o produto interno de ambos os membros com um elemento qj ∈ β temos que
c1〈 q1 , qj 〉 + · · · + ci〈 qi , qj 〉 + · · · + cn〈 qn , qj 〉 = 0 .
Usando o fato que β é um conjunto ortonormal, isto é, 〈 qi , qj 〉 = 0 para i 6= j〈 qi , qj 〉 = 1 para i = j
obtemos cj = 0 para j = 1, · · · , n . Portanto, mostramos que β é um conjunto
linearmente independente em V .
Petronio Pulino 103
Questão 4.
Chamando p(x) = 1 + x, temos que o subespaço S = [p(x)] ⊂ P2(IR).
O subespaço S⊥ é definido por:
S⊥ = { q ∈ P2(IR) / 〈 r , q 〉 = 0 ; ∀ r ∈ S } .
Tomando um elemento genérico q(x) = a + bx + cx2 ∈ S⊥, sabemos que 〈 p , q 〉 = 0.
Assim, temos que
〈 p , q 〉 =
∫ 1
−1
x2(1 + x)(a + bx + cx2)dx
=
∫ 1
−1
(x2 + x3)(a + bx + cx2)dx
=
∫ 1
−1
( ax2 + bx3 + cx4 + ax3 + bx4 + cx5 )dx = 0
=
∫ 1
−1
( ax2 + cx4 + bx4 )dx = 0
Calculando a integral, resulta a seguinte equação
2
3
a +
2
5
c +
2
5
b = 0
Resolvendo a equação acima para a incógnita c, temos que
c = −5
3
a − b .
Portanto, todo elemento q(x) ∈ S⊥ é escrito como:
q(x) = a + bx +
(
−5
3
a − b
)
x2
=
(
1 − 5
3
x2
)
a + (x − x2 ) b para a, b ∈ IR .
Desse modo, uma base para o subespaço S⊥ é formada pelos elementos
q1(x) = 1 −
5
3
x2 e q2(x) = x − x2 ,
completando a resolução da questão.
104 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 5.
A melhor aproximação do elemento q(x) = 1 − x2 no subespaço P1(IR) ⊂ P2(IR) é
dada pela projeção ortogonal do elemento q(x) sobre o subespaço P1(IR).
Inicialmente, vamos obter uma base ortogonal β? = { q1(x), q2(x) } para o subespaço
P1(IR) a partir da base canônica β = { p1(x) = 1, p2(x) = x } , através do Processo
de Ortogonalização de Gram-Schmidt.
Desse modo, escolhemos q1(x) = p1(x) = 1. Agora, vamos construir o elemento q2(x)
da seguinte forma:
q2(x) = p2(x) − α12 q1(x)
ortogonal ao subespaço gerado pelo elemento q1(x). Assim, temos que
α12 =
〈 p2 , q1 〉
〈 p2 , q1 〉
=
1
2
.
Logo, o elemento q2(x) = x −
1
2
, completando a base ortogonal β? = { q1(x), q2(x) } .
Finalmente, vamos determinar a projeção ortogonal, q̃(x) , do elemento q(x) = 1 − x2
no subespaço P1(IR) que é dada por:
q̃(x) =
〈 q , q1 〉
〈 q1 , q1 〉
q1(x) +
〈 q , q2 〉
〈 q2 , q2 〉
q2(x)
onde
〈 q1 , q1 〉 =
∫ 1
0
dx = 1 e 〈 q2 , q2 〉 =
∫ 1
0
(
x − 1
2
)2
dx =
1
12
〈 q , q1 〉 =
∫ 1
0
( 1 − x2 )dx = 2
3
〈 q , q2 〉 =
∫ 1
0
( 1 − x2 )
(
x − 1
2
)
dx = − 1
12
Portanto, temos que
q̃(x) =
2
3
−
(
x − 1
2
)
=
7
6
− x ,
o que completa a resolução da questão.
Petronio Pulino 105
B.2.4 Segunda Chamada
Questão 1.
(a) Temos que P = [pij] é a matriz de mudança da base γ = { p1(x), p2(x), p3(x) }
para a base β = { 1, x, x2 } . Desse modo, obtemos
p1(x) = p11 + p21x + p31x
2 = 1 + x
p2(x) = p12 + p22x + p32x
2 = x
p3(x) = p13 + p23x + p33x
2 = 2 + 2x + x2
Assim, temos que γ = { 1 + x , x , 2 + 2x + x2 } .
(b) Sabemos que [q(x)]β = [I]
γ
β [q(x)]γ . Temos que
[q(x)]β =
−3−2
2
 e vamos denotar [q(x)]γ =
ab
c
 .
Assim, obtemos o seguinte sistema linear1 0 21 1 2
0 0 1

ab
c
 =
−3−2
2
 ⇐⇒

a + 2c = −3
a + b + 2c = −2
c = 2
que possui uma única solução a = −7 , b = 1 e c = 2. Logo, [q(x)]γ =
−71
2
.
106 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 2.
Vamos determinar uma base para o subespaço S. Temos que todo elemento (x, y, z) ∈ S
satisfaz a equação x + y + z = 0. Logo, temos que z = −x − y. Desse modo, obtemos
que todo elemento (x, y, z) ∈ S é escrito da seguinte forma:
(x, y, z) = x(1, 0,−1) + y(0, 1,−1) para x , y ∈ IR .
Portanto, o conjunto β = { (1, 0,−1) , (0, 1,−1) é uma base para o subespaço S. De
fato, tomando uma combinação linear nula dos elementos do conjunto β
α1(1, 0,−1) + α2(0, 1,−1) = (0, 0, 0)
obtemos α1 = α2 = 0.
Agora vamos determinar uma base para o subespaço S⊥ definido por:
S⊥ = {w ∈ IR3 / 〈w , v 〉 = 0 ; ∀ v ∈ S } .
Sabemos que todo elemento w = (a, b, c) ∈ S⊥ deve ser ortogonal aos elemento da base
β do subespaço S. Assim, temos que
〈w , v1 〉 = a − c = 0
〈w , v2 〉 = b − c = 0
onde v1 = (1, 0,−1) e v2 = (0, 1,−1).
Desse modo, obtemos a = c e b = c para c ∈ IR. Assim, todo elemento
w = (a, b, c) ∈ S⊥ é escrito da seguinte forma:
(a, b, c) = c(1, 1, 1) para c ∈ IR .
Logo, S⊥ = [(1, 1, 1)].
Considerando o espaço vetorial IR3 com a base γ = { (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (1, 1, 1) }, vamos
definir o operador linear T sobre o IR3, satisfazendo Im(T ) = S e Ker(T ) = S⊥,
da seguinte forma:
T (1, 0, 0) = (1, 0,−1)
T (0, 1, 0) = (0, 1,−1)
T (1, 1, 1) = (0, 0, 0)
Petronio Pulino 107
Vamos escrever um elemento genérico (x, y, z) ∈ IR3 com relação à base γ , isto é,
(x, y, z) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0) + c(1, 1, 1) = (a + c , b + c , c)
obtendo c = z , b = y − z e a = x − z. Assim, temos que
(x, y, z) = (x− z)(1, 0, 0) + (y − z)(0, 1, 0) + z(1, 1, 1) .
Finalmente, obtemos a expressão do operador T que é dada por:
T (x, y, z) = (x− z)T (1, 0, 0) + (y − z)T (0, 1, 0) + zT (1, 1, 1)
= (x− z)(1, 0,−1) + (y − z)(0, 1,−1) + z(0, 0, 0)
= (x − z , y − z , −x − y + 2z ) .
Portanto, temos que o operador linear
T (x, y, z) = (x − z , y − z , −x − y + 2z ) para (x, y, z) ∈ IR3
satisfaz as condições exigidas.
108 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 3.
(a) Vamos determinar uma base β1 para o subespaço U1. Temos que todo elemento
(x, y) ∈ U1 deve satisfazer a seguinte condição T (x, y) = 5(x, y), isto é,
(3x − 2y , −2x + 3y) = (5x, 5y) ⇐⇒ (−2x − 2y , −2x − 2y) = (0, 0) .
Logo, temos uma única equação x + y = 0, isto é, y = −x.
Assim, todo elemento (x, y) ∈ U1 é escrito como:
(x, y) = x(1,−1) para x ∈ IR.
Portanto, temos que β1 = { (1,−1) }.
Agora vamos determinar uma base β2 para o subespaço U2. Temos que todo elemento
(x, y) ∈ U2 deve satisfazer a seguinte condição T (x, y) = (x, y), isto é,
(3x − 2y , −2x + 3y) = (x, y) ⇐⇒ (2x − 2y , −2x + 2y) = (0, 0) .
Logo, temos uma única equação x − y = 0, isto é, y = x.
Assim, todo elemento (x, y) ∈ U2 é escrito como:
(x, y) = x(1, 1) para x ∈ IR.
Portanto, temos que β2 = { (1, 1) }.
(b) O conjunto β = β1 ∪ β2 = { (1,−1) , (1, 1) } é linearmente independente. De fato,
podemos observar que β é um conjunto ortogonal. Logo, β é uma base ortogonal para
o IR2.
Finalmente, vamos determinar a matriz [T ]ββ . Temos que
T (1,−1) = (5,−5) = 5(1,−1) + 0(1, 1)
T (1, 1) = (1, 1) = 0(1,−1) + 1(1, 1)
Portanto, obtemos
[T ]ββ =
[
5 0
0 1
]
,
o que completa a resolução do questão.
Petronio Pulino 109
Questão 4.
(a) Temos os elementos u = (1, 1, 1) e v = (3, 2, 1) , e as seguintes condições:
(1) v = w1 + w2.
(2) O elemento w1 é ortogonal ao elemento u, isto é 〈w1 , u 〉 = 0.
(3) O conjunto {w2, u } é linearmente dependente, isto é, existe um escalar α ∈ IR
tal que w2 = αu.
Substituindo o elemento w2 = αu , dado pela condição (3), na condição (1) e calculando
o produto interno 〈 v , u 〉 utilizando a condição (2), obtemos
〈 v , u 〉 = 〈w1 + αu , u 〉 = 〈w1 , u 〉 + α 〈u , u 〉 =⇒ α =
〈 v , u 〉
〈u , u 〉
=
6
3
= 2 .
Assim, temos que
w2 = (2, 2, 2) e w1 = v − w2 = (1, 0,−1) .
(b) Vamos representar o elemento w = (1,−1, 2) da seguinte forma:
w = w̃ + w onde w̃ ∈ S e w ∈ S⊥ ,
isto é, w̃ é a projeção ortogonal de w sobre o subespaço S e w é a projeção ortogonalde w sobre o subespaço S⊥.
Como o conjunto {w1, u } é uma base ortogonal para o subespaço S = [w1, u] , temos
que o elemento w̃ é calculado da seguinte forma:
w̃ =
〈w , u 〉
〈u , u 〉
u +
〈w , w1 〉
〈w1 , w1 〉
w1 .
Assim, temos que
w̃ =
2
3
(1, 1, 1) − 1
2
(1, 0,−1) =
(
1
6
,
4
6
,
7
6
)
.
Finalmente, temos que o elemento w = w − w̃. Logo,
w = (1,−1, 2) −
(
1
6
,
4
6
,
7
6
)
=
(
5
6
, −10
6
,
5
6
)
.
110 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 5.
(a) Temos que o subespaço U = [u1, u2] , onde u1 = (1, 1, 1, 1) e u2 = (−1, 1,−1, 1).
Note que os elementos u1 e u2 são ortogonais.
Sabemos que a melhor aproximação do elemento v = (2, 1, 3, 1) ∈ IR4 no subespaço
U é dada pela projeção ortogonal do elemento v sobre o subespaço U .
Como o conjunto {u1, u2 } é uma base ortogonal para o subespaço U , temos que a
projeção ortogonal, ṽ, do elemento v no subespaço U é calculada da seguinte forma:
ṽ =
〈 v , u1 〉
〈u1 , u1 〉
u1 +
〈 v , u2 〉
〈u2 , u2 〉
u2 .
Assim, temos que
ṽ =
7
4
(1, 1, 1, 1) − 3
4
(−1, 1,−1, 1) =
(
5
2
, 1 ,
5
2
, 1
)
.
(b) Basta considerar W como sendo o complemento ortogonal do subespaço U em IR4
com relação ao produto interno usual. Pelo Teorema da Decomposição Ortogonal,
temos que IR4 = U ⊕W . Como dim(U) = 2, temos que dim(W ) = 2.
Finalmente vamos determinar uma base para o subespaço W . Sabemos que todo elemento
w = (a, b, c, d) ∈ W = U⊥ deve ser ortogonal aos elemento da base de U , isto é,
〈w , u1 〉 = a + b + c + c = 0
〈w , u2 〉 = −a + b − c + c = 0
Assim, obtemos um sistema linear homogêneo
a + b + c + d = 0
−a + b − c + d = 0
⇐⇒

a + b + c + d = 0
2b + 2d = 0
que possui como solução b = −d e a = −c.
Assim, todo elemento w = (a, b, c, d) ∈ W = U⊥ é escrito da seguinte forma:
(a, b, c, d) = c(−1, 0, 1, 0) + d(0,−1, 0, 1) para c, d ∈ IR .
O conjunto β = { (−1, 0, 1, 0) , (0,−1, 0, 1) } é claramente linearmente independente.
Portanto, o conjunto β é uma base para o subespaço W = U⊥.
Petronio Pulino 111
B.2.5 Exame
Questão 1.
(a) Podemos verificar facilmente que U é um subconjunto não vazio, pois o polinômio
identicamente nulo satisfaz a condição para que um elemento de P2(IR) pertença a U .
Desse modo, 0P2(IR) ∈ U .
Assim, devemos mostrar que U é fechado com relação à operação de adição e fechado
com relação à operação de multiplicação por escalar.
Tomando p(x), q(x) ∈ U , isto é, satisfazendo∫ 1
−1
p(x)dx + p′(0) = 0 e
∫ 1
−1
q(x)dx + q′(0) = 0 .
Logo, temos que∫ 1
1
(p+ q)(x)dx + (p+ q)′(0) =
∫ 1
1
( p(x) + q(x) )dx + p′(0) + q′(0)
=
{∫ 1
−1
p(x)dx + p′(0)
}
+
{∫ 1
−1
q(x)dx + q′(0)
}
= 0
Assim, mostramos que ( p(x) + q(x) ) ∈ U .
Tomando p(x) ∈ U e λ ∈ IR, temos que∫ 1
1
(λp)(x)dx + (λp)′(0) =
∫ 1
1
λp(x)dx + λp′(0)
= λ
{∫ 1
−1
p(x)dx + p′(0)
}
= 0 .
Assim, mostramos que λp(x) ∈ U .
Portanto, mostramos que o subconjunto U é um subespaço vetorial de P2(IR).
112 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
(b) Vamos determinar uma base para o subespaço U . Tomando um elemento genérico
p(x) = a + bx + cx2 ∈ P2(IR), e impondo a condição que p(x) ∈ U , isto é,∫ 1
−1
( a + bx + cx2 )dx + b = 0 ,
obtemos uma equação algébrica
6a + 3b + 2c = 0 ,
que possui dois grau de liberdade, de onde conclúımos que dim(U) = 2.
Assim, temos que
c = −3a − 3
2
b ; a, b ∈ IR .
Logo, todo elemento p(x) ∈ U é escrito da seguinte forma:
p(x) = ( 1 − 3x2 )a +
(
x − 3
2
x2
)
b ; a, b ∈ IR .
Portanto, temos que o conjunto
γ =
{
1 − 3x2 , x − 3
2
x2
}
é uma base para o subespaço U .
Petronio Pulino 113
Questão 2.
(a) Como dim(V ) = 3, basta mostrar que o conjunto γ é linearmente independente.
Para isso, vamos considerar uma combinação linear nula dos elementos do conjunto γ
c1w1 + c2w2 + c3w3 = 0V .
Substituindo as relações entre os elementos de γ e os elementos da base β temos que
c1(u1 − u2 − u3 ) + c2( 2u2 + 3u3 ) + c3( 3u1 + u3 ) = 0V ,
que reorganizando os termos, obtemos
( c1 + 3c3 )u1 + (−c1 + 2c2 )u2 + (−c1 + 3c3 + c3 )u3 = 0V .
Como o conjunto β é linearmente independente, pois é uma base de V , implica que
os coeficientes da combinação linear nula acima devem ser todos iguais a zero. Assim,
obtemos o seguinte sistema linear homogêneo
c1 + 3c3 = 0
−c1 + 2c2 = 0
−c1 + 3c2 + c3 = 0
que possui somente a solução trivial c1 = c2 = c3 = 0. Logo, provamos que o conjunto
γ é linearmente independente. Portanto, o conjunto γ é uma base para V .
(b) Podemos encontrar facilmente a matriz [I]γβ utilizando as relações entre os elementos
de γ e os elementos da base β . Assim, temos que
[I]γβ =
 1 0 3−1 2 0
−1 3 1
 .
(c) Sabemos que [v]β = [I]
γ
β [v]γ . Desse modo, obtemos
[v]β =
 1 0 3−1 2 0
−1 3 1

−12
1
 =
25
8
 ,
o que completa a resolução da questão.
114 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 3.
Inicialmente vamos determinar um conjunto de geradores para o subespaço U .
Sabemos que todo elemento (x, y, z) ∈ U satisfaz a equação algébrica
x + y + z = 0 ⇐⇒ z = −x − y .
Logo, todo elemento (x, y, z) ∈ U é escrito da seguinte forma:
(x, y, z) = x(1, 0,−1) + y(0, 1,−1) ; x, y ∈ IR .
Portanto, temos que U = [(1, 0,−1), (0, 1,−1)] = Im(T ).
Agora considerando o subespaço W = [(1, 0, 1), (0,−1, 1)], vamos determinar uma base
para o subespaço U ∩W , que é o núcleo do operador que desejamos encontrar.
Tomando um elemento v ∈ U ∩W , isto é, v ∈ U e v ∈ W . Logo, temos que existem
escalares a, b, c, d ∈ IR tais que
v = a(1, 0,−1) + b(0, 1,−1) = c(1, 0, 1) + d(0,−1, 1) .
Desse modo, obtemos o seguinte sistema linear
a = c
b = −d
−a− b = c+ d
que possui a seguinte solução c = 0 , a = 0 e b = −d para d ∈ IR.
Portanto, todo elemento v ∈ U ∩W é escrito da seguinte forma:
v = b(0, 1,−1) ; b ∈ IR .
Logo, temos que U ∩W = [(0, 1,−1)] = Ker(T ).
Completamos a base do subespaço Ker(T ) para obter uma base para o espaço vetorial
IR3. Assim, podemos escolher γ = { (0, 1,−1), (1, 0, 0), (0, 1, 0) } uma base para IR3.
Petronio Pulino 115
Finalmente definimos o operador linear T com as caracteŕısticas solicitadas
T (0, 1,−1) = (0, 0, 0)
T (1, 0, 0) = (1, 0,−1)
T (0, 1, 0) = (0, 1,−1)
Para obtermos a expressão do operador T , vamos inicialmente representar um elemento
genérico (x, y, z) ∈ IR3 com relação à base ordenada γ, isto é,
(x, y, z) = a(0, 1,−1) + b(1, 0, 0) + c(0, 1, 0) ,
obtendo o seguinte sistema linear nas incógnitas a, b, c
b = x
a+ c = y
−a = z
Assim, temos que a = −z , b = x e c = y + z.
Logo, todo elemento (x, y, z) ∈ IR3 é escrito da seguinte forma:
(x, y, z) = −z(0, 1,−1) + x(1, 0, 0) + (y + z)(0, 1, 0) .
Portanto,
T (x, y, z) = −zT (0, 1,−1) + xT (1, 0, 0) + (y + z)T (0, 1, 0)
T (x, y, z) = −z(0, 0, 0) + x(1, 0,−1) + (y + z)(0, 1,−1)
T (x, y, z) = (x, y + z, −x− y − z)
o que completa a resolução da questão.
116 Álgebra Linear e suas Aplicações: Notas de Aula
Questão 4.
Vamos verificar se o operador T é um automorfismo de P3(IR). Para isso, devemos
determinar o subespaço Ker(T ), isto é,
Ker(T ) = { p(x) ∈ P3(IR) / T (p(x)) = 0P3(IR) } .
Tomando um elemento genérico p(x) = a + bx + cx2 + dx3, vamos impor a condição
que p(x) ∈ Ker(T ), isto é,
T (p(x)) = ( a + bx + cx2 + dx3 ) + ( 1 + x )( b + 2cx + 3dx2 ) = 0P3(IR)
= ( a + b ) + ( 2b + 2c )x + ( 3c + 3d )x2 + 4dx3 = 0P3(IR)
Isso nos leva a um sistema linear homogêneo cuja solução é a = b = c = d = 0.
Logo, Ker(T ) = { 0P3(IR) }, isto é, T é um operador injetor. Pelo Teorema do núcleo
e da imagem, sabemos que Im(T ) = P3(IR), isto é, T é um operador sobrejetor.
Portanto, mostramos que T é um automorfismo de P3(IR).
Finalmente vamos determinar a representação matricial do operador T com relação à
base canônica β = { 1, x, x2, x3 } de P3(IR). Para isso, vamos calcular
T (1) = 1
T (x) = 1 + 2x
T (x2) = 2x + 3x2
T (x3) = 3x2 + 4x3Desse modo, obtemos que
[T ]ββ =

1 1 0 0
0 2 2 0
0 0 3 3
0 0 0 4

o que completa a resolução da questão.
Petronio Pulino 117
Questão 5.
Chamando p1(x) = 1 + x e p2 = 1 − x2, temos que o subespaço S = [p1(x), p2(x)].
O subespaço S⊥ é definido por:
S⊥ = { q(x) ∈ P2(IR) / 〈 r , q 〉 = 0 ; ∀ r(x) ∈ S } .
Tomando um elemento genérico q(x) = a + bx + cx2 ∈ S⊥, sabemos que
〈 p1 , q 〉 =
∫ 1
−1
( a + bx + cx2 )( 1 + x )dx
=
∫ 1
−1
( a + bx + cx2 + ax + bx2 + cx3 )dx
=
∫ 1
−1
( a + cx2 + bx2 )dx = 0
〈 p2 , q 〉 =
∫ 1
−1
( a + bx + cx2 )( 1 − x2 )dx
=
∫ 1
−1
( a + bx + cx2 − ax2 − bx3 − cx4 )dx
=
∫ 1
−1
( a + cx2 − ax2 − cx4 )dx = 0
Calculando as integrais acima obtemos o sistema linear homogêneo
2a +
2
3
c +
2
3
b = 0
4
3
a +
4
15
c = 0
⇐⇒

6a + 2c + 2b = 0
5a + c = 0
que possui a seguinte solução b = 2a e c = −5a para a ∈ IR.
Desse modo, todo elemento q(x) ∈ S⊥ é escrito da seguinte forma:
q(x) = a( 1 + 2x − 5x2 ) ; a ∈ IR .
Portanto, uma base para o subespaço S⊥ é dada pelo conjunto
γ = { 1 + 2x − 5x2 } ,
o que completa a resolução da questão.