Resolucao lista 03

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Exercícios de Álgebra Linear - Lista 03 – Subespaços vetoriais
1. Verificar se são Sub-espaços Vetoriais os seguintes subconjuntos do Espaço Vetorial do IR3 e , em caso negativo, identificar para cada caso, qual item da definição de sub-espaço vetorial não é atendido.
Para ser um sub-espaço do R3, devemos ter satisfeitas as seguintes condições:
i) o vetor nulo ∈ IR3,
ii) o vetor soma (u1+u2) de dois vetores de W, ∈ W,
iii) o vetor obtido pelo produto de um real por um vetor u, ∈ a U(ku) ,também ∈ W.
a) W={(x, y, z) ∈ IR3 / x = 0}
i) 0=(0,0,0) ∈ W
ii) w1=(x1,y1,z1)∈ W w1=(0,y1,z1)
 w2=(x2,y2,z2)∈ W w2=(0,y2,z2)
w1+w2=(0,y1,z1)+( 0,y2,z2) = (0, y1+y2 , z1+z2) ∈ W
iii) kw=k(0,y,z)=(0,ky,kz) ∈ W
Portanto w é um sub-espaço de R3.
b) W={(x, y, z) ∈ IR3 / x ∈ Z}
i) 0=(0,0,0) ∈ W
ii) w1=(x1,y1,z1)∈ W w1=(x1,y1,z1),com x1 ∈ Z 
 w2=(x2,y2,z2)∈ W w2=(x2,y2,z2), com x2 ∈ Z
w1+w2=( x1,y1,z1)+( x2,y2,z2) = (x1+x2, y1+y2 , z1+z2), com x1+x2∈ Z, ∈ W
iii) kw=k(x,y,z)= (kx,ky,kz),não vale pois k∈R e x∈ Z, kx pode w, então w não é um sub-espaço.
c) W={(x, y, z) ∈IR3 / y é Irracional}
i) 0=(0,0,0) w, pois y é irracional, então w não é subespaço.
d) W={(x, y, z) ∈IR3 / x −3z = 0}
i) 0=(0,0,0) ∈ W, pois 0-3(0)=0, 0=0
ii) w1=(x1,y1,z1)∈ W w1= x1-3z1=0
 w2=(x2,y2,z2)∈ W w2= x2-3z2=0
w1+w2=( x1,y1,z1)+( x2,y2,z2) = (x1+x2, y1+y2 , z1+z2) / (x1+x2)+(-3)(z1+z2)=0 
(x1+x2)+(-3z1-3z2)=0 (x1-3z1)+( x2-3z2)=0 0+0=0, ∈ W
iii) kw1=k(x,y,z)=(kx,ky,kz) / kx-3kz=0 k(x-3z)=0 k0=0 0=0, portanto w é um sub-espaço.
e) W={(x, y, z) ∈IR3 / a x + b y + c z = 0, com a, b, c ∈ IR}
i) 0=(0,0,0) ∈ W, a(0)+b(0)+c(0)=0 0=0
ii) w1=(x1,y1,z1)∈ W w1= ax1+by1+cz1=0
 w2=(x2,y2,z2)∈ W w2= ax2+by2+cz2=0
w1+w2=( x1,y1,z1)+( x2,y2,z2) = (x1+x2, y1+y2 , z1+z2) / a(x1+x2)+b(y1+y2)+c(z1+z2) =0 
(ax1+ax2)+(by1+by2)+ (cz1+cz2) =0 (ax1+by1+cz1)+ (ax2+by2+cz2)=0 0=0, ∈ W
iii) kw1=k(x,y,z)=(kx,ky,kz) /k(ax)+k(by)+k(cz)=0 kax+kby+kcz=0 k(ax+by+cz)=0 k0=0 0=0, portanto w é um sub-espaço.
f) W={(x, y, z) ∈IR3 / x = 1}
i) 0=(0,0,0) w, pois 1+0+0≠0, então w não é subespaço
g) W={(x, y, z) ∈ IR3 / x2 + y + z =0}
i) 0=(0,0,0) ∈ W, pois 02+0+0=0
ii) w1=(x1,y1,z1)∈ W w1= x12+y1+z1=0
 w2=(x2,y2,z2)∈ W w2= x22+y2+z2=0
w1+w2=( x1,y1,z1)+( x2,y2,z2) = (x1+x2, y1+y2 , z1+z2) / (x1+x2)2+( y1+y2 )+(z1+z2)=0 
(x12+2 x1.x2+ x22)+( y1+y2 )+(z1+z2)=0 (x12 +y1+z1)+ (x22 +y2+z2)+(2x1.x2)=0, w, portanto não é sub-espaço.
h) W={(x, y, z) ∈IR3 / x ≤ y ≤ z }
i) 0=(0,0,0) ∈ W, pois 000
ii) w1=(x1,y1,z1)∈ W x1y1z1
 w2=(x2,y2,z2)∈ W x2y2z2
w1+w2=( x1,y1,z1)+( x2,y2,z2) = (x1+x2, y1+y2 , z1+z2) /
(x1+x2)( y1+y2) (z1+z2)
(x1+y1+ z1+y2) (x2+y2+z2), ∈ W
iii) kw=k(x,y,z)=(kx,ky,kz)/
kxkykz, w pois nada garante que kxkykz, pois k é um número real qualquer, portanto w não é um sub-espaço.
i) W={(x, y, z) ∈IR3 / x + y ∈ Q}
i) 0=(0,0,0) ∈ W, pois 0+0=0 ∈ Q
ii) w1=(x1,y1,z1)∈ W x1+y1 ∈ Q
 w2=(x2,y2,z2)∈ W x2+y2 ∈ Q
w1+w2=( x1,y1,z1)+( x2,y2,z2) = (x1+x2, y1+y2 , z1+z2)/
(x1+x2)( y1+y2) ∈ Q
(x1+y1)( x2+y2) ∈ Q, ∈ W
iii) kW=(kx,ky,kz)/
kx+ky ∈ W
k(x+y) ∈ W, W, pois kx não será necessariamente um número racional.
2. Verificar, justificando, se são subespaços vetoriais de IRn concernentes para cada caso:
a) S={ (x,y,z) ∈ IR3 / x=3y e z =-2y}
i) 0=(0,0,0) S, pois 0=3(0) e 0=-2(0)
ii) S1=(x1,y1,z1) S ∕ x1=3y1 e z1=-2y1
 S2=(x2,y2,z2) S ∕ x2=3y2 e z2=-2y2
S1+ S2=(x1+x2,y1+y2+z1+z2) ∕
x1+x2= 3y1+3y2 = 3(y1+y2) S
z1+z2=-2y1+(-2y2)=-2(y1+y2) S
iii) kS=(kx,ky,kz) ∕ 
kx=k(3y)=k3y=3ky=3(ky), como k , então S 
kz=k(-2z)=-k2z=-2kz=-2(kz), como k , então S
Portanto S é um sub-espaço. 
b) S={ (x,y,z) ∈IR3 / x=y=z}
i) 0=(0,0,0) S, pois 0=0=0
ii) S1=(x1,y1,z1) S ∕ x1=y1=z1
 S2=(x2,y2,z2) S ∕ x2=y2=z2
S1+ S2=(x1+x2,y1+y2+z1+z2) ∕
x1+x2=y1+y2=z1+z2, S
iii) kS=(kx,ky,kz) ∕ 
kx=ky=kz, k , então S 
Portanto S é um sub-espaço. 
c) S={ (x,y,z) ∈IR3 / x=3y+1 e z =-2y}
i) 0=(0,0,0) S, pois 0≠3(0)+1, portanto não é um subespaço.
d) S={ (x,y,z) ∈IR3 / y=0 e z =2x} 
i) 0=(0,0,0) S, pois 0=0 e 0=2(0)
ii) S1=(x1,y1,z1) S ∕ y1=0 e z1=2x1
 S2=(x2,y2,z2) S ∕ y2=0 e z2=2x2
S1+ S2=(x1+x2,y1+y2+z1+z2) ∕
(y1+y2)=0+0=0, S
(z1+z2)=2x1+2x2=2(x1+x2), S
iii) kS=(kx,ky,kz) ∕ 
ky=k(0)=0, S
kz=k(2x)=k2x=2(kx), sendo k , então S
Portanto S é um sub-espaço. 
e) S={ (x,y,z) ∈IR3 / x-y+z =1}
i) 0=(0,0,0) S, pois 0-0+0≠1, portanto não é um subespaço.
f) S={ (x,y) ∈IR2/ y=x2}
i) 0=(0,0,0) S, pois 0=02
ii) S1=(x1,y1) S ∕ y1=1
 S2=(x2,y2) S ∕ y2=2
S1+ S2=(x1+x2,y1+y2) ∕
(y1+y2) =(x1+x2)2=1=2x1x2+2 , 2x1x2 S, portanto não é sub-espaço.