Pressão

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Universidade Federal do Rio Grande do Sul 
Escola de Engenharia 
Engenharia Mecânica 
Energia e Fenômenos de Transporte 
 
 
 
 
 
 
 
Medição de Pressão em Fluidos 
 
 
 
 
 
 
Medições Térmicas - ENG03108 
 
 
 
 
Prof. Paulo Schneider 
pss@mecanica.ufrgs.br 
 
GESTE - Grupo de Estudos Térmicos e Energéticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Setembro de 2000; Revisado 2003-1; 2005-1; 2007-1; 2007-2; 2010-2; 2012-1 
Porto Alegre - RS - Brasil 
 
UFRGS - Engª Mecânica - Medições Térmicas – Medição de Pressão em Fluidos - Prof. Paulo Schneider 
 
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PRESSÃO DE FLUIDOS 
 
1. Conceitos básicos de medição de pressão 
 Para um fluído em repouso, define-se o escalar pressão p como sendo a razão do vetor força 
F
r
exercida pelo fluido perpendicularmente a uma área orientada unitária A
r
, tal que 
 
Ad
Fdp = (1.1) 
 
Como mostra a relação, a pressão é dimensionalmente descrita em termos de massa M, comprimen-
to L e tempo T. 
 A pressão é uma propriedade local do fluido, e para uma situação estática apresenta forte 
dependência da posição, apesar de não ser dependente da direção. A figura que segue mostra uma 
porção de um fluido na forma de uma cunha, de tamanho ∆x, ∆z e ∆s, e profundidade b, normal ao 
plano, em repouso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.1- Equilíbrio de forças sobre uma cunha de fluido em repouso [Fonte: WHITE, 2002] 
 
 A fim de manter o fluido em repouso, a resultante das forças deve ser nula, como expresso 
no balanço que segue. 
 
θ∑ ∆−∆== sin0 sbpzbpF nxx e zxbsbpxbpF nzz ∆∆−∆−∆==∑ γθ 2
1
cos0 (1.2) 
 
Como zs ∆=∆ θsin e xs ∆=∆ θcos , verifica-se que 
 
nx pp = e zpp nz ∆+= γ2
1
 (1.3) 
 
o que estabelece para uma condição hidrostática que não há variação de pressão na direção horizon-
tal e que a variação vertical é proporcional ao peso específico ( gργ = ) e a variação da profundida-
de. 
 Quando a cunha tende a um ponto ( 0→∆z ), as relações da equação anterior ficam: 
 
pppp nzx === (1.4) 
 
 
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A independência do ângulo θ e a dependência da profundidade é mostrada na figura que 
segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 1.2- Aplicação da pressão num fluido estático e sua dependência com a altura e a direção 
 
 
 A existência de uma força líquida sobre um elemento de fluido não é provocada por uma 
dada pressão, mas sim por sua variação. Para entender essa afirmação, basta observar a força líqui-
da Fx, resultado da aplicação de uma pressão nas faces da direção x, como mostra a figura que se-
gue: 
 
 
 
 
Fig. 1.3- Força líquida na direção x de um ele-
mento de volume de fluido. 
 
 
 
 
 
 
O balanço que leva à força líquida provocada por forças de superfície é dado por: 
 
dzdydx
x
pdzdydx
x
ppdzdypdFx ∂
∂
−=





∂
∂
+−= (1.5) 
 
 Considerando-se o volume infinitesimal completo, chega-se à expressão do vetor de força 
líquida total Fpress, em N: 
 
dzdydx
z
p
y
p
x
pdFpress 





∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−= kji
 ou dzdydxpdFpress −∇= (1.6) 
 
que confirma a afirmação que deu início a esta discussão. 
Deve-se considerar a força de campo gravitacionais, dada por: 
 
dzdydxgdFgrav ρ= (1.7) 
 
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e ainda a força superficial viscosa, 
 
VdFvisc 2∇= µ (1.8) 
 
O equilíbrio do elemento de volume é resultante do seguinte balanço, já expresso em unidade de 
volume: 
 
viscgravpress ffff ++=∑ ou Vgpa 2∇++∇−= µρρ (1.9) 
 
Como o volume encontra-se em repouso, V=0 e é possível eliminar-se as forças viscosas. Pela 
mesma razão, a=0, e tem-se que a equação anterior fica: 
 
γρ −=−= g
dz
dp
 (1.10) 
 
que integrada leva à solução do problema hidrostático, como segue: 
 
∫−=−
2
1
12 dzpp γ (1.11) 
 
 Encerra-se essa apresentação com a conclusão [WHITE, 2002] que a pressão em um fluido 
estático uniforme, distribuído continuamente, varia apenas com a distância vertical e é independente 
da forma do recipiente. A pressão é a mesma em todos os pontos sobre um dado plano horizontal no 
fluido, e aumenta com a profundidade do fluido. 
 
2. Unidades e formas de medir pressão 
 De forma resumida, pode-se apresentar o conceito de pressão das seguintes maneiras: 
 
Tabela 2.1- Diferentes maneiras de expressão da pressão 
abordagem equação significado 
mecânica 
dA
dFp = força F sobre unidade de área A 
hidráulica dzdzgdp γρ −=−= peso específico ρg vezes altura h 
teoria cinética 
V
KE
p
3
2
= 
energia cinética molecular por unidade de volume V 
termodinâmica 
dV
FWp δδ += trabalho W por unidade de volume V 
 
 Em muitos casos necessita-se medir a pressão absoluta, obtida por um barômetro, mas os 
manômetros de pressão ou de vácuo tem como referência a pressão atmosférica local. A diferença 
entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica local chama-se de pressão manométrica ou efetiva, 
e sua relação é vista na figura que segue. 
Pelo sistema internacional SI, a unidade de pressão é o newton por metro quadrado N/m2 , 
ou pascal Pa, tal que 1N/m2 = 1Pa. Com unidades derivadas do SI emprega-se o bar, sendo 1 bar = 
105 Pa ou 0,1 MPa 
 
 
 
 
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Fig. 2.1-Medição da pressão e seus ter-
mos 
 
 
 
 
 
 
Existem várias outras unidades fora do SI, e as mais usuais são: 
 
atm (1 atm = 101325 Pa) 
kgf/cm2 (1 kgf/cm2 = 0.9678411 atm = 98066.5 Pa) 
mmHg (760 mmHg = 1 atm) 
mCa (~10 mCa = 1 atm) 
 
No sistema inglês, tem-se a libra por polegada quadrada lbf/in2, ou simplesmente psi (1 atm 
= 14.69595 lbf/in2 ). Deve-se atentar para a diferença entre pressão absoluta psia e a manométrica 
psig. 
 
 
3. Instrumentos e sensores de pressão 
 
Os instrumentos para medição de pressão podem ser classificados seguindo as categorias 
que seguem [WHITE, 2002]: 
 
Baseados na gravidade: barômetros, manômetros, pistão de peso morto. 
Deformação elástica: tubo de bourdon, diafragma, extensômetro (stain-gage) 
Comportamento de gases: compressão de gás (McLeod), condutância térmica (Pirani), impacto mo-
lecular (Knudsen), ionização, condutividade térmica, etc. 
Saída elétrica: resistência (Bridgman), extensômetro, capacitivo, piezoelétrico, LVDT, freqüência 
de ressonância, etc. 
 
3.1 Manômetro de tubo em U 
O estudo inicia pelo manômetro de tubo em U devido a sua simplicidade e importância. Ele 
pode ser construído facilmente, e lê a diferença de pressão entre dois pontos desconhecidos, portan-
to, uma diferença monométrica. Nessa situação, conhecendo-se as massas específicas dos fluidos 
envolvidos, o manômetro em de tubo em U não necessita de calibração para ler diferenças de pres-
são. 
Trata-se de um instrumento histórico, pois serviu a Boyle para determinar a pressão estática 
de fluidos, em 1662. Empregado para medidas de pressão de fluidos em regime permanente e em 
condições controladas, é um instrumento padrão para as pressões na faixa de 2.54 milímetros de 
coluna d'água (cerca de 25 Pa) até 0.7 MPa, com incertezas que variam de 0,02 a 0,2 % da leitura. 
 No caso dos manômetros de tubo em U, da figura que segue, a diferença entre a pressão pA 
e a pressão de referência do sistemapB é dada em função da altura z. 
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Fig. 3.1- Montagem genérica para um manôme-
tro de tubo em U 
 
 
 
 
Os fluidos A e B podem ser tanto líquidos ou gases, enquanto que o fluido manométrico M é 
um líquido. Para os líquidos, pode-se assumir um comportamento incompressível ( )0/ =∂∂ pρ , e 
assim o peso específico γ na equação 
 
∫−=−
2
1
12 dzpp γ 
 
pode ser tomado como constante, e a equação anterior fica na forma: 
 
( )2112 zzpp −=− γ ou simplesmente ( )jiij zzpp −=− γ (3.1) 
 
para dois pontos quaisquer i e j. 
 Para o caso dos gases, o peso específico γ também pode ser tomado como constante, mas 
com o cuidado de tomá-lo na forma ( )Tpf ,=ρ . 
 Uma maneira simples e prática de estabelecer o equacionamento que leva à diferença de 
pressão entre pA e pB, para manômetros de diferentes fluidos, é de aplicar a equação anterior para 
pontos limites, como segue: 
 
( ) ( ) ( ) BBBMBAAA pzzzzzp =−∆−∆+++ γγγ (3.2) 
 
 Iniciando-se pelo ponto A, e progredindo no mesmo sentido da aceleração da gravidade g, 
os sinais da equação são positivos, tornando-se negativo no sentido inverso. Ainda, o trecho 1-2, de 
mesma altura, é desconsiderado. O valor de pB pode tanto assumir um valor conhecido, como o da 
pressão atmosférica, como de um valor dado por um outro manômetro, ou ainda de pressão absoluta 
nula, o que transforma o manômetro em um barômetro. 
Essa equação pode ser reescrita de forma a colocar em evidência o grupo adimensional Ch 
 
( ) z
z
zz
z
zpp BA
M
AB
M
B
MBA ∆










+
∆
+
−
∆
+=− 11
γ
γ
γ
γγ
 = zChM ∆γ (3.3) 
 
Se γA= γB, 



+
∆
−= 11
z
zC A
M
A
h γ
γ
 (3.4) 
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e se além de γA= γB,também zA=0,tem-se que 
M
A
hC γ
γ
−=1 (3.5) 
 
Com todas essas simplificações, a equação que descreve a diferença de pressão lida fica: 
 
( ) zgppp AMBA ∆−=−=∆ ρρ , sendo A=B (3.6) 
 
 Para uma medição mais correta, é necessário se considerar a correção dos efeitos de capila-
ridade, no contato do fluido manométrico com o fluido para o qual se lê a pressão. O fator de corre-
ção de capilaridade CC , em metros, para manômetros é dado por: 
 






−=
−−
B
MB
A
MA
M
M
C
rr
C σσ
γ
θcos2
 (3.7) 
 
com o raio do tubo r, o ângulo de contato θ e a tensão superficial σ mostrados na figura e na tabela 
que seguem 
 
Fig. 3.2- Efeitos de capilaridade em manômetros de água e mercúrio 
 
Tab. 3.1-Tensão superficial de fluidos 
combinação σ (N/m) ângulo de contato θ 
Mercúrio - vácuo (vidro) 0,48 140 
Mercúrio - ar (vidro) 0,47 140 
Mercúrio - água (vidro) 0,38 140 
água - ar (vidro) 0,073 0 
 
 Como o resultado da equação anterior é em metros, o valor é somado na equação (3.3) na 
forma 
 
 
( )ChM CzCp ±∆=∆ γ (3.8) 
 
É importante salientar que a pressão não é afetada pela forma do sensor, no interior do equipamento 
ou sistema de medição, como mostra a figura. 
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Fig. 3.3- Independência da forma do 
sensor de medição em seu interior 
 
 
 
3.2. Manômetro de poço 
Similar ao de tubo em U, opera apenas com uma escala de medida, como mostra a figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.4- Manômetro de poço 
 
 
 
 
 
A diferença de pressão é dada por 
 






+=−
D
d
zpp M 1112 γ (3.9) 
 
 
3.3. Manômetros inclinados 
Também de escala única, localizada no tubo inclinado (ver próxima figura), tem a vantagem 
de operar com escalas de maior graduação que os manômetros verticais, para a mesma variação de 
pressão. O ângulo α é de cerca de 10º em relação à horizontal, e chega-se a medidas de ± 0.254 
mm. 
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Fig. 3.5- Manômetro de escala inclinada 
 
3.4. Micromanômetros 
Serve como padrão de leitura de pressões na faixa de 0.005 até 500 milímetros de coluna 
d'água (0,050 Pa até 5000 Pa), variando desde a pressão 0 absoluta até 0.7 MPa. Existem vários 
tipos de micromanômetros, e os mais utilizados são: 
Tipo Prandtl - Nele, os erros de capilaridade e de leitura com menisco são diminuídos pela movi-
mentação tanto do reservatório de fluido manométrico como pelo tubo inclinado de medição, como 
mostra a figura: 
Fig. 3.6- Micromanômetro tipo Prandtl 
 
 
Tipo micrômetro - Mede a altura h por meio de micrômetros, como mostra a figura. Esse instru-
mento serve como padrão para leituras na ordem de 0,0254 mmCa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.7- Micromanômetro tipo micrômetro 
 
 
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Tipo a Ar - Extremamente sensível, usa ar como fluido manométrico, combinado com óleo em go-
tas, que são aspergidas num disco rotativo. O emprego do ar elimina os erros de capilaridade e de 
efeito de menisco. 
 
 
Fig. 3.8- Micromanômetro tipo a Ar 
 
 
3.5. Barômetros 
Seu desenvolvimento se deve à Torricelli, e destina-se a medida da pressão absoluta do ar 
atmosférico. Trata-se de um caso particular do manômetro de poço, e sua incerteza de medição po-
de variar na faixa de 0,001 a 0,03 % da leitura. A figura que segue mostra seu funcionamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.9- Barômetro 
 
 
 
 
A parte superior da coluna contém vapor de mercúrio saturado a temperatura do local, cuja 
pressão é desprezível em relação à pressão atmosférica. O poço (ou cisterna) é exposto à pressão 
atmosférica, e quando ela for de 1 atm = 101 325 Pa, e a temperatura local for de 20 ºC, a coluna de 
mercúrio se elevará a 760 mm. 
A variação da massa específica do ar atmosférico deve ser prevista na equação diferencial da 
hidrostática. O uso da lei dos gases perfeitos, onde TRp ρ= , leva a: 
 
g
RT
pg
dz
dp
−=−= ρ (3.10) 
 
cuja integração entre dois pontos quaisquer 1 e 2 resulta em 
 
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11
∫ ∫−=
2
1
2
1 T
dz
R
g
p
dp
 (3.11) 
 
A solução da equação anterior é dada por 
 
( )






−
−=
0
12
12 exp TR
zzgpp
 (3.12) 
 
onde 0T é definida como a temperatura da atmosfera isotérmica. Essa hipótese merece ainda uma 
correção, já que a temperatura média da atmosfera varia conforme mostra a figura abaixo: 
 
Fig. 3.10- Distribuição de temperatura e pressão na atmosfera padrão dos EUA [WHITE, 2002] 
 
 Para a faixa de alturas que vai do nível do mar até cerca de 11 km (troposfera), a variação da 
temperatura do ar na atmosfera pode ser tomada como linear, e assim estabelece-se a relação 
 
zBTT −= 0 com B = 0,00650 K/m (3.13) 
 
 A equação (3.11) é então resolvida com auxílio de (3.13), ficando: 
 
)/(
0
1
RBg
a T
zBpp 





−= , onde 26,5=
RB
g
 para o ar (3.14) 
 
onde pa é a pressão atmosférica padrão ao nível do mar, B uma constante que vale 0,00650 K/m, T0 
a temperatura de referência de 288,16 K (15 ºC) e Z a altitude do local, em metros.3.6. Sensor de Peso-Morto 
É usado para a determinação de pressão de fluidos em equilíbrio, na faixa de pressões ma-
nométricas compreendida entre 70 Pa até 70 MPa, com incertezas entre 0,01 a 0,05 % da leitura. 
O aparato é usado para calibração de sensores, com o sensor S da figura. O aparelho é pre-
enchido com óleo, enquanto a bomba de deslocamento é deixada na sua posição de máximo curso. 
Após a instalação do sensor S, aplica-se pressão ao sistema através do deslocamento da bomba. A 
pressão é aplicada tanto ao sensor S quanto ao peso-morto , sendo que esse último tem massa e área 
conhecidas. A incerteza da medida depende fundamentalmente dos atritos internos e da indetermi-
nação das massas e das áreas. 
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Fig. 3.11- Sensor de Peso-Morto 
 
 
3.7. Sensor McLeod 
Destina-se à determinação de pressões absolutas muito baixas. O aparato é usado como pa-
drão para pressões barométricas a partir de 0,001333224 até 13,3 Pa. O aparato é um manômetro de 
mercúrio em vidro modificado, como mostra a figura. Um gás a pressão desconhecida é confinado e 
comprimido isotermicamente por uma coluna de mercúrio, conseguindo assim a amplificação da 
pressão e possibilitando sua leitura manométrica por meios convencionais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.12- Sensor McLeod 
 
 
 
 
3.8. Manômetro de Bourdon 
O elemento sensor desse manômetro é um tubo 
com pequeno volume, elástico, fixo na extremidade 
onde se aplica a pressão, e livre na extremidade 
oposta. Esta última é fechada, e a aplicação de uma 
diferença de pressão provoca a deformação no tubo 
que pode ser observada pela movimentação na ex-
tremidade livre, como mostra a figura. 
 
 
 
 
Fig. 3.12- Manômetro de Bourdon 
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Com a aplicação da pressão, o tubo passa de oval a circular, e aumenta o raio do arco circular. O 
movimento, praticamente sem atrito, é sentido pelo ponteiro, que é calibrado numa escala. A pres-
são de referência do manômetro é a atmosférica, mas ele também pode ser usado como barômetro. 
A faixa de medida é ampla, o aparelho pode ser usado para medição de pressões barométrica, ma-
nométrica e ainda diferencial, e a incerteza é de 0,1% da leitura. O emprego de tubos trançados 
permite o acoplamento de sensores elétricos passivos, que permitem a automação da medição. 
 
3.9. Diafragma ou fole 
Seu emprego de ambos é extremamente diversificado, servindo tanto em instrumentos de 
campo como para calibração. Seu funcionamento é mostrado nos esquemas da figura que segue. 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.13- (Esquerda) Montagens com sensor de diafragma e (direita a) de diafragma e (direita b) de 
fole. 
 
 
3.10. Sensor Piezoelétrico 
São considerados sensores ativos porque a pressão que atua sobre o elemento sensor, um 
cristal, gera uma força eletromotriz (fem) proporcional. Essa categoria de sensores é empregada 
para captar pressão sonora, como em microfones, para perturbações aerodinâmicas, entre outros. 
Os elementos piezoelétricos são cristais, como o quartzo , a turmalina e o titanato que acu-
mulam cargas elétricas em certas áreas da estrutura cristalina, quando sofrem uma deformação físi-
ca, por ação de uma pressão. São elementos pequenos e de construção robusta. Seu sinal de resposta 
é linear com a variação de pressão, são capazes 
de fornecer sinais de altíssimas freqüências de 
milhões de ciclos por segundo. 
O efeito piezoelétrico é um fenômeno re-
versível. Se for conectado a um potencial elétrico, 
resultará em uma correspondente alteração da 
forma cristalina. Este efeito é altamente estável e 
exato, por isso é utilizado em relógios de preci-
são. A carga devida à alteração da forma é gerada 
sem energia auxiliar, uma vez que o quartzo é um 
elemento transmissor ativo. Esta carga é conecta-
da à entrada de um amplificador (ver próxima 
figura), sendo indicada ou convertida em um si-
nal de saída, para tratamento posterior. 
 
Fig. 3.14- Sensor piezoelétrico 
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14
 
3.11. Strain gauges 
O princípio do strain gauge é de medir a variação da resistência de um sensor que sofre uma 
elongação. O elemento sensor é colado num elemento, chamado célula de carga, que uma vez sub-
metido a uma pressão sofre uma deformação, observada pela variação de seu comprimento. A célu-
la pode ser acoplada a um diafragma ou a elementos elásticos, como mostra a figura, e a incerteza 
de medição do conjunto pode chegar a 1% da medida de fundo de escala. As montagens e arranjos 
possíveis para strain gauges pode ser obtida na literatura específica (HOLMAN 1996, OMEGA 
1995 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.14- Sensor com Strain Gauges 
 
 
3.12. Potenciométrico 
São montagens simples onde o elemento sensor de pressão, baseado em uma deformação 
percebida por um tubo de Bourdon (Fole, na figura que segue) aciona um potenciômetro. Este, por 
sua vez, que converte os valores de pressão em valores de resistência elétrica. 
O potenciômetro tem custo baixo, opera sob diversas condições, e seu sinal dispensa ampli-
ficações. Deve-se tomar cuidado com os desvios inerentes ao mecanismo e aos efeitos de diferenças 
de temperatura, além de seu desgaste em função do uso. São normalmente empregados para medir 
pressões de 0,035 a 70 MPa, com incerteza na faixa de 0,5 a 1% do fundo de escala sem considerar 
as variações de temperatura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.15- Esquema de medição de pressão com 
potenciômetro 
(Fonte: http://www.mspc.eng.br/fldetc/press1.asp) 
 
 
3.13. Capacitivo 
Um sensor ou transdutor capacitivo é um condensador que exibe uma variação do valor no-
minal da capacidade em função de uma grandeza não elétrica. Uma vez que um condensador con-
siste basicamente num conjunto de duas placas condutoras separadas por um dielétrico, as variações 
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no valor nominal da capacidade podem ser provocadas por redução da área frente a frente e da sepa-
ração entre as placas, ou por variação da constante dielétrica do material. 
Os sensores capacitivos permitem medir com grande precisão um grande número de grande-
zas físicas, tais como a posição, o deslocamento, a velocidade e a aceleração linear ou angular de 
um objeto; a umidade, a concentração de gases e o nível de líquidos ou sólidos; a força, o torque, a 
pressão e a temperatura; mas também detectar a proximidade de objetos, a presença de água e de 
pessoas, etc. 
A principal característica dos sensores capacitivos é a completa eliminação dos sistemas de 
alavancas na transferência da força / deslocamento entre o processo e o sensor. Este tipo de sensor 
resume-se na deformação, diretamente pelo processo de uma das armaduras do capacitor. Tal de-
formação altera o valor da capacitância total que é medida por um circuito eletrônico. Esta monta-
gem, se por um lado elimina os problemas mecânicos das partes móveis, expõe a célula capacitiva 
às rudes condições do ambiente, principalmente a temperatura do processo. Isto pode ser contorna-
do através de circuitos sensíveis a temperatura montados juntos ao sensor. Outra característica ine-
rente a montagem, é a falta de linearidade entre a capacitância e a distância das armaduras devido á 
deformação não linear, sendo necessário uma compensação (linearização) à cargo do circuito ele-
trônico. 
O sensor capacitivo é apresentado na figura que segue, juntamente com seuscomponentes 
 
Fig. 3.16 – Elementos de um sensor capacitivo (FONTE: http://tecnociencia.com.br/revista) 
 
O diafragma sensor (1) flexiona-se em função da diferença de pressões aplicadas aos dia-
fragmas isoladores (2), que protegem a célula contra a corrosão provocada por fluidos de processos. 
A pressão é diretamente transmitida ao diafragma sensor através do fluido de enchimento (3), pro-
vocando a sua deflexão. O diafragma sensor é um eletrodo móvel. As duas superfícies metalizadas 
(4) são eletrodos fixos. A deflexão do diafragma sensor é percebida através da variação da capaci-
tância entre os dois eletrodos fixos e o móvel. Uma montagem com o circuito de leitura é mostrada 
na próxima figura 
 
 
Fig. 3.17- Montagem de um sensor capacitivo 
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16
O circuito eletrônico ressonante lê a variação da capacitância entre a placa móvel e a fixa. A 
CPU condiciona o sinal e comunica de acordo com o protocolo do transmissor. Como não há con-
versão A/D, os erros e desvios são eliminados durante a conversão. O sensor de temperatura forne-
ce a compensação da temperatura que, combinada com a precisão do sensor de pressão. 
 
3.14. LVDT 
Ou Linear Variable Differential Transformer Type, é um transformador composto por uma 
espira primária e duas secundárias, todas elas fixas, além de um corpo magnético móvel, ligado à 
um elemento elástico que percebe a pressão do ambiente, como mostra a figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 3.18- Sensor de pressão LVDT 
 
 
 
Quando o corpo magnético móvel encontra-se em posição central, a tensão nas duas espiras 
secundárias é igual e com defasagem de 180º. Uma diferença de pressão aplicada à extremidade do 
corpo magnético provoca seu deslocamento, o que aumenta a tensão induzida em um dos secundá-
rios e reduz a tensão em outro. A diferença de tensão é associada a variação de pressão por calibra-
ção. 
 
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17
4. Medição de Pressão em Escoamentos 
4.1. Conceitos básicos 
 
 A pressão num escoamento apresenta a componente termodinâmica ou estática p, e soma-se 
a essa uma componente pc, que depende da energia associada ao escoamento, dita cinética ou dinâ-
mica. A pressão total pt é a soma de ambas, tal que 
 
ct ppp += (4.1) 
 
 Aplicando-se a primeira lei da termodinâmica, sendo Q o calor, Ec a parcela de energia ciné-
tica, Ep a parcela de energia potencial e W o trabalho de um fluido em um escoamento, tem-se: 
 
Q dE Wδ δ= + ; ( )c pQ d U E E Wδ δ= + + + ���	���� �
 
 (4.2) 
 
com U a energia interna, 	
 = �
�	�
, mgzE p = e � = ��, onde m é massa do fluido (kg), u sua 
velocidade (m/s), z a cota vertical (m), e V é seu volume (m3). 
Considerando-se que o escoamento seja adiabático ( 0=Qδ ), e que não haja variação na 
temperatura do fluido ao longo de uma transformação (dU=0), a equação anterior aplicada a uma 
mesma linha de corrente ao longo de um escoamento fica: 
 
0 = ��	
 + 	�� + �� ou 
 
 0 = � ��
��
 +���� + �(��) (4.3) 
 
Dividindo-se todos os termos por pelo volume V e integrando a equação, chega-se em 
 
 !" = �
#�
 + #�� + � (4.4) 
 
válida para escoamentos incompressíveis, como acontece em líquidos e também em gases onde o 
número de Mach é inferior a 0,3. Conhecida como equação de Bernoulli pode ser aplicada a dois 
pontos diferentes ao longo de uma linha de corrente, o que leva à expressão 
 
$12 #�
 + #�� + �'
= $12#�
 + #�� + �'
�
 
 
Quando uma corrente atinge uma barreira ou obstáculo, anulando a velocidade u, a conservação de 
energia pode ser escrita como 
 
 
(�( − �)*+
 = ,	-
�
 (4.5) 
 
onde p é a pressão termodinâmica ou estática, po a pressão de estagnação, e o índice inc designa que 
trata-se de um escoamento incompressível. O termos à esquerda da equação também é chamado de 
pressão dinâmica pc, pois pc= po - p. 
 
 
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18
Escoamento compressível 
 
Iniciando-se pela lei dos gases ideais, expressa em base molar 
 
�� = .	/01	 ou �2̅ = 	/01 com 2̅ = 4+ 
 
onde /0 é a constante universal dos gases (8 314,472 J kmol-1K-1), n o número de moles e 2̅ o volu-
me específico molar. 
 Em base mássica, com o emprego da massa molecular M (kg/kmol), tem-se 
 
 
� 506 =	
70
6 1 � �2 = 	/�1 ou ainda � = 	#/�1 
 
onde ρ é a massa específica (kg/m3) e Rg é a constante do gás g 
 
 Os valores reais das propriedades termodinâmicas dos gases podem ser encontrados nas suas 
tabelas, disponíveis na literatura (WHITE, 2002) ou por meio de correções aplicadas à equação dos 
gases ideais. A mais simples dela é obtida pelo fator de compressibilidade Z, dado por 
 
8 = 	 �2̅/01 
 
que assume o valor unitário para o caso de gases ideais. A figura a seguir mostra valores de Z para 
diferentes gases 
 
 
Figura 4.1- Fator de compressibilidade Z para diferentes gases em funçã da pressão reduzida 
�7 = � �9: e temperatura reduzida 17 = 1 19: [ÇENGEL and BOLES, 2006] 
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19
 
 A compressibilidade de um fluido escoando tem outro significado. Considera-se a compres-
sibilidade de um fluido quando sua massa específica ρ apresenta variações em função da pressão 
imposta, tal que 
 
0≠
∂
∂
p
ρ
 (4.6) 
 
Esse efeito é geralmente desprezado em se tratando de fluidos líquidos, para uma grande faixa de 
pressões, mas deve ser considerado para fluidos gasosos. Nesses, emprega-se o número de Mach M 
como parâmetro de observação, e segundo WHITE (2002) pode-se classificar os tipos de escoamen-
tos gasosos da seguinte maneira 
 
Tabela 4.1 –Tipos de escoamentos gasosos segundo o número de Mach [WHITE (2002)] 
Ma < 0,3 Incompressíveis 
0,3 < Ma < 0,8 Escoamento subsônico, alteração da massa específica porém sem ondas de cho-
que 
0,8 < Ma < 1,2 Escoamento transônico, com aparecimento de ondas de choque porém com regi-
ões distintas e separadas de escoamento sub e super sônicos 
1,2 < Ma < 3,0 Escoamento supersônico 
3,0 < Ma Escoamento hipersônico 
 
 Para a análise do escoamento no interior de dutos basta classificá-los como subsônicos (Ma 
< 1) ou supersônicos (Ma > 1). A variação da massa específica com a pressão não deve ser confun-
dida com sua variação em função da temperatura, que vem de efeitos de expansão e contração. 
 
Equacionamento 
 
 Os números adimensionais e grandezas importantes para a caracterização e o equacionamen-
to de escoamentos compressíveis são apresentados a seguir. 
 
 O número de Mach Ma representa a natureza compressível do gás, na forma 
 
a
uMa = ou 2/1)( TRk
uMa
g
= (4.7) 
 
onde a é a velocidade do som em um dado meio (m/s), u a velocidade real desse fluido a mesma 
temperatura (m/s), Rg a constante do gás (J kg-1 K-1 ou Pa m3 kg-1 K-1) e T a temperatura (K). 
 A expressão ; = 2/1)( TRk g é uma relação de gás ideal e apresenta desvios se comparada 
aos valores da velocidade do som real, disponível em tabelas de dados do gás. A figura abaixo mos-
tra o comportamento para dois gases. 
 
 
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20
 
 
 
Figura – Velocidade do som para CO2 e ar pela formulação de gás ideal comparada com dados de 
comportamento real 
 
Lembrando que processos isentrópicos são aqueles onde as transformações são adiabáticas e 
sem atrito, eque a definição do coeficiente isentrópico k, adimensional, é dada pela razão entre o 
calor específico a pressão constante cp e volume constante cv ,(kJ kg-1 K-1): 
 
< = 
=
> onde p
h
c
T
∂
=
∂
 e 
'v
u
c
T
∂
=
∂
 (4.8) 
 
sendo h a entalpia específica (kJ/kg) e u a energia específica (kJ/kg). 
 
 Em se tratando de escoamentos isentrópicos, a correção para as propriedades termodinâmi-
cas é dada por 
 
�
�� = $
1
1�'
�/(�@�)
= $#
#�'
�
 
 
Voltando-se na Equação (4.2), particularizada para processos adiabáticos 
 
0 de wδ= + � �" = 	−��2 
 
Sendo e a energia específica total (u + ec +ep) e ℎ = � + �2, chega-se à equação (4.5) 
 
(�( − �)*+
 = #	�
2 
 
Que agora para escoamentos compressíveis é dada por 
 
2
1 2u
k
kpp
compo
o 




 −
=





−
ρρ
 (4.9) 
 
Introduzindo o número de Mach Ma, a equação (4.5) pode ser reescrita na forma: 
 
( ) ( ) 





+−++=− ...
24
2
4
1
2
422 MakMaupp
compo
ρ
 (4.10) 
 
300 400 500 600 700 800 900 1000 1100
300
350
400
450
500
550
600
650
Temperatura (K)
a (m/s)
ideal
real
ar
200 300 400 500 600 700 800 900 1000
200
250
300
350
400
450
500
550
Temperatura (K)
real
ideal
a (m/s)
CO2
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21
e observa-se que ela iguala-se à equação (4.5) quando Ma→0. 
 
4.2. Pressão estática ou termodinâmica 
 
A medida da pressão estática é importante para a identificação do estado termodinâmico do 
fluido, além de ser necessária para a determinação da velocidade e direção de um escoamento. A 
medição da pressão estática pode ser obtida por processos onde pequenos furos ou orifícios são 
feitos na parede de interface do escoamento, sempre evitando perturbá-lo, como mostra a figura a 
seguir. 
 Fig. 4.1- Tomada de pressão [Fonte: BENEDICT, 1984] 
 
Os procedimentos mais comuns envolvem os registros de parede, em inglês tap, constituídos 
por um furo normal ao escoamento do fluido. Os formatos e tipos de acabamentos que podem ser 
empregados para a construção das tomadas de pressão estática podem provocar, para um mesmo 
diâmetro d, diferentes erros ou comportamentos. A próxima figura mostra um catálogo de opções 
usuais de construção e instalação dos furos, onde são apresentados os desvios percentuais na pres-
são estática lida, em relação a um orifício de referência, de bordas com ângulos retos ou vivos. As 
montagens indicam as variações em percentagem da pressão dinâmica lida, que deve então 
corrigir a pressão estática. Todos os efeitos são resultantes da componente de velocidade do esco-
amento, que passa a interferir na leitura da pressão estática. 
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22
 
 
Fig. 4.2- Efeitos da forma dos orifícios na medição de pressão estática. As variações em percenta-
gem da pressão dinâmica [Fonte: BENEDICT, 1984] 
 
Os furos muito pequenos mostram-se ser mais indicados por causar pouca perturbação no escoa-
mento, mas em compensação apresentam dificuldades de usinagem e de limpeza. Para uma correta 
definição da dimensão do orifício a ser empregado para um escoamento, deve-se recorrer a um pro-
cedimento experimental de ajuste, onde o diâmetro d (ver figura anterior) é variado em torno de 
uma faixa de dimensões, até que se construa uma curva semelhante a da figura que segue. O furo 
de referência é determinado experimentalmente, bem como as curvas de correção correspondentes, 
que indicam que os erros nesses dispositivos aumentam sempre com o aumento do diâmetro d, a 
partir do furo de referência. . 
 
 
 
 
 
Fig. 4.3- Determinação experimental do efei-
to da dimensão do diâmetro do furo, para a 
relação 1,5 < L/d <6,0 [Fonte: BENEDICT, 
1984] 
A dimensão L/d nunca deve ser infe-
rior a 1,5, e a Benedict, 1984, relata que a 
literatura recomenda que essa relação se 
mantenha em 1,5 < L/d < 15. A mesma literatura (cap 17) apresenta os procedimentos mais detalha-
dos para o cálculo do erro de pressão estática em orifícios, mas que não serão abordados nesse tex-
to. As montagens da figura que segue são empregadas para leitura da pressão média de um escoa-
mento. 
 
 
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23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.2 - Montagem em anel para medida da pressão estática média 
 
Ainda se utilizam arranjos com tubos estáticos, aerodinâmicos e por bloqueio. 
 
4.3. Pressão total ou de estagnação 
 A pressão total é importante para a determinação da altura manométrica H de uma máquina 
de fluxo (ventiladores e bombas), também chamada de head. Esta é importante para a determinação 
da velocidade e vazão do fluido de trabalho. 
 Uma maneira de medir a pressão total 0p é feita com a estagnação isentrópica de um escoa-
mento, onde a energia cinética da corrente de fluido é convertida como mostra a figura que segue: 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.3- Medição da pres-
são estática e de estagnação 
 
 
 
 
 
Recorda-se a equação de Bernoulli, ou equação da energia sem perdas, aplicada a dois pon-
tos 1 e 2 de uma linha de corrente de um escoamento, 
 
2
2
1
2
2
1
2
1






++=





++ zgupzgup ρρρρ (4.11) 
 
 Nesse caso, não há variação de altura, e portanto o termo zg ∆ρ é nulo. A velocidade na 
entrada do tubo (2) é nula, pois nele há a estagnação do escoamento. Assim, a equação de Bernoulli 
é reescrita como: 
 
0
2
11 2
1 pVp =+ ρ (4.12) 
 
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24
 A origem dessa determinação deve-se a Pitot (1732), que montou o experimento da figura 
que segue. Num escoamento de água, foi colocado o tubo 1, com a seção aberta perpendicular a 
direção do escoamento, indicando a pressão estática do fluido. O tubo 2, com seção aberta normal 
ao fluxo, provoca a estagnação (preferencialmente isentrópica) do escoamento, indicando sua pres-
são total. A diferença entre as pressões indicadas nos dois tubos é a pressão cinética ou dinâmica. 
Modernamente empregam-se sensores de geometria esférica ou cilíndrica para obter-se a estagna-
ção do escoamento. 
 
 
 
Fig. 4.4 – Experimento de Pitot para a determinação da vazão de um rio 
 
 O procedimento proposto por Pitot hoje é realizado com o auxílio de sondas aerodinâmicas, 
como as esferas ou cilindros da figura que segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 4.4 – Sondas aerodinâmicas de pressão de es-
tagnação [BENEDICT, 1984] 
 
 
A intensa prática nesse campo experimental já levou a determinar que a geometria mais in-
dicada para a medição de pressão de estagnação é a cilíndrica, que é pouco sensível ao alinhamento 
com a direção do escoamento. A figura que segue mostra o comportamento de diferentes monta-
gens da tomada de pressão de estagnação, sempre em um tubo cilíndrico, em relação ao ângulo de 
ataque formado entre a linha de simetria da sonda e a direção do escoamento. 
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25
 
Fig 4.5- Correção da pressão de estagnação em função do ângulo de ataque para diferentes sensores 
cilíndricos [Fonte: BENEDICT, 1984] 
 
 
4.4. Pressão dinâmica ou cinética 
 A pressão 1p , indicada na equação (4.10), é a pressão estática ou termodinâmica medida nasuperfície do tubo, seguida das precauções necessárias para que não haja efeitos cinéticos. A dife-
rença entre a pressão de estagnação 0p e a pressão estática resulta na pressão dinâmica do escoa-
mento, dada então por: 
 
ppu −= 0
2
2
1 ρ (4.13) 
 
 Dessa relação sai a determinação da velocidade local do escoamento, dada por: 
 
( )
ρ
pp
u
−
=
02
 (4.14) 
 
 Ainda é interessante ver graficamente os níveis de energia de um fluido durante um escoa-
mento. A figura que segue mostra um fluido armazenado num reservatório de altura z1, ao qual é 
instalada uma tubulação posicionada em uma cota mais abaixo, e que termina na cota z4. Na situa-
ção proposta, o escoamento é invícito, i.e., sem perdas de carga. 
 
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26
 
Fig. 4.6- Linhas de energia em um escoamento [FOX e MCDONALD, 1995] 
 
A equação de Bernoulli é dividida por gρ de forma a expressar suas quantidades em me-
tros, conhecido como altura ou head do escoamento. 
 
constante
2
2
=++ z
g
u
g
p
ρ (4.15) 
 
 A linha superior é a de energia total. Ela representa a altura z1 no reservatório, onde o fluido 
está em repouso ( 0=V ) e manterá o mesmo valor, se mantida a condição de escoamento sem per-
das de carga. A linha hidráulica ou piezométrica é resultante da soma da altura z e da pressão estáti-
ca, tal que gpz ρ/+ . Sua diferença é o termo gV 2/2 
É necessário considerar as perdas de carga por atrito nesse escoamento, e nesse caso será possível 
observar que a linha de energia total sofrerá uma diminuição ao longo da canalização, e o nível de 
energia envolvido é representado pelo último termo da equação da energia com perdas, como se-
gue: 
 
g
p
z
g
u
g
p
z
g
u
g
p
ρρρ
∆
+++=++ 2
2
22
1
2
11
22
 (4.16) 
 
onde o termo p∆ representa as perdas por atrito devido aos efeitos viscosos do fluido em movimen-
to. Essas perdas se manifestam sempre que há a ação das forças de cisalhamento entre o fluido e as 
paredes da canalização. Para efeito de cálculo, separa-se comumente o fenômeno em atrito ao longo 
de dutos, de curvas e singularidades, como bocais, acessórios, válvulas, etc. A consideração dessas 
perdas altera as linhas de energia, como mostra a figura que segue: 
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27
 
 
Fig 4.6- Linhas de energia ao longo de uma tubulação considerando a perda de carga. [FOX e 
MCDONALD, 1995] 
 
Referências bibliográficas 
 
ÇENGEL Y. A. and BOLES M. A., 2006. Thermodynamics: An Engineering Approach, 5th ed, 
McGraw-Hill 
FOX, R.W. e MCDONALD, A.T., 1995, Introdução à Mecânica de Fluidos, Editora Guanabara 
Koogan S.A., Rio de Janeiro 
BENEDICT, R.P., 1984, Fundamentals of Temperature, Pressure and Flow Measurements, 3ª 
edição, John Wiley & Sons, Nova Iorque. 
HOLLMAN, J.P., 1996, Experimental Methods for Engineers, , McGraw-Hill 
OMEGA 1995, The Pressure, Starin and Force Handbook, Omega Engeneering Inc., Stamford 
(www.omega.com) 
WHITE, F.M., 2002, Mecânica dos Fluidos, 4ª edição, McGraw-Hill Interamericana do Brasil, 
Ltda., Rio de Janeiro