Fator de Potência

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Cap´ıtulo 1
Poteˆncia complexa e fator de poteˆncia
A poteˆncia complexa e´ definida como sendo
−→
S = P + jQ (1.1)
onde
S´ımbolo Grandeza Medida
Poteˆncia Volt-ampe`re−→
S complexa (V A)
P Poteˆncia ativa Watt(W )
Q Poteˆncia reativa var
Observac¸a˜o
E´ importante ter a distinc¸a˜o da grandeza−→
S , que representa a poteˆncia complexa,
com parte real e imagina´ria ou mo´dulo e
aˆngulo e a grandeza S, que e´ o mo´dulo da
poteˆncia aparente, onde S =
√
P 2 +Q2
Como discutido na sec¸a˜o anterior, a corrente
pode estar adiantada ou atrasada em relac¸a˜o
a` tensa˜o. Contudo, devemos lembrar que a
poteˆncia, em circuitos de corrente cont´ınua, e´
regida pela equac¸a˜o S = V · I ou pela equac¸a˜o
S = I2 ·Z, onde Z e´ a impedaˆncia do circuito.
Entretanto, em corrente cont´ınua e regime per-
manente um indutor representa um curto cir-
cuito e um capacitor um circuito aberto, sendo
que desta forma na˜o temos poteˆncia complexa.
No entanto, na corrente alternada, a cor-
rente e a tensa˜o podem estar defasadas.
Quando isto ocorre, o produto tensa˜o vezes
corrente gera uma poteˆncia aparente, que na˜o
e´ convertida, em sua totalidade, em trabalho.
Logo, a unidade desta poteˆncia na˜o esta´ em
watts, e sim em volt x ampe`re (V A).
A poteˆncia aparente e´ a poteˆncia que esta´
sendo drenada da fonte, e a frac¸a˜o conver-
tida em trabalho e´ denominada poteˆncia ativa,
dada em watts (W ). A outra parte, a frac¸a˜o
que na˜o se traduz em trabalho, e´ denomi-
nada poteˆncia reativa (var) e tem relac¸a˜o, por
exemplo, com a magnetizac¸a˜o de motores de
induc¸a˜o. E´ a partir da´ı que surge o tema
do pro´ximo to´pico desta apostila, o fator de
poteˆncia.
1.1 Conceito de fator de
poteˆncia
Nos circuitos de corrente alternada (CA), te-
mos diversos fatores a serem analisados ale´m
daqueles de corrente cont´ınua (CC). Um deles
e´ o denominado fator de poteˆncia.
De modo sucinto, podemos interpretar
o fator de poteˆncia como sendo a frac¸a˜o
da poteˆncia aparente que e´ convertida em
poteˆncia ativa (que realiza trabalho).
Em suma, temos a poteˆncia aparente (S),
a poteˆncia ativa (P ) e a poteˆncia reativa (Q),
que podem ser representados num triaˆngulo,
denominado Triaˆngulo das Poteˆncias (figura
1.1).
Figura 1.1: Triaˆngulo de Poteˆncias
O aˆngulo φ do triaˆngulo e´ a diferenc¸a do
aˆngulo de tensa˜o para o aˆngulo da corrente, ou
seja:
φ = θv − θi
1
2 CAPI´TULO 1. POTEˆNCIA COMPLEXA E FATOR DE POTEˆNCIA
Quando um circuito e´ capacitivo, a tensa˜o
estara´ “atrasada” da corrente, logo o aˆngulo
da corrente e´ maior que o aˆngulo da tensa˜o, o
que implica no aˆngulo φ ser negativo.
Ja´ quando o circuito e´ indutivo, a tensa˜o es-
tara´ “adiantada” da corrente, enta˜o o aˆngulo
da tensa˜o e´ maior que o aˆngulo da corrente,
logo φ e´ positivo.
Repare que a poteˆncia reativa Qr da figura
1.1 pode ser tanto capacitiva (φ e´ negativo)
quanto indutiva (aˆngulo φ e´ positivo).
Por meio da trigonometria, chegamos a`s se-
guintes relac¸o˜es:
sen φ =
Q
S
(1.2)
cos φ =
P
S
(1.3)
tang φ =
Q
P
(1.4)
Ale´m disso, o Teorema de Pita´goras diz que
S2 = P 2 +Q2 (1.5)
Como ja´ introduzido anteriormente, o fator
de poteˆncia e´ a frac¸a˜o da poteˆncia aparente
que e´ convertida em poteˆncia ativa. Numa si-
tuac¸a˜o de fator de poteˆncia igual a um, note
que o aˆngulo φ e´ zero, e a poteˆncia ativa e´
igual a` poteˆncia aparente, ou seja, o circuito e´
dito puramente resistivo. Desta maneira, para
formas de onda puramente senoidais, podemos
definir o fator de poteˆncia como sendo:
FP = cos φ (1.6)
Note que cosφ representa, de fato, a
frac¸a˜o da poteˆncia aparente que se traduz em
poteˆncia ativa. Em indu´strias, por exemplo, se
esta´ interessado em trabalho e, desta maneira,
uma situac¸a˜o ideal e´ a`quela em que o fator de
poteˆncia e´ unita´rio. Em outras palavras, toda
a poteˆncia drenada da fonte e´ convertida em
trabalho.
1.1.1 Exemplo 1.1
Exemplo
Determine o triaˆngulo de poteˆncias do
circuito da figura 1.2.
Figura 1.2: Circuito do exemplo
Soluc¸a˜o
A forma mais fa´cil de resolver este
exerc´ıcio e´ pelo ca´lculo da impedaˆncia
equivalente:
Zeq =
(5− j3) · 4
(5− j3) + 4 = 2, 4− j0, 5333
A poteˆncia aparente complexa e´ dada
por −→
S =
−→
V · −→I ∗ (1.7)
Como −→
V = Z · −→I (1.8)
e
−→
I · −→I ∗ = |I|2
temos que
−→
S = Z · |I|2 = (2, 4− j0, 5333) · 302
−→
S = 2160− j480 (V A)
Dessa forma,
P=2160 (W)
Q=480 var capacitivo (ou -j 480
var)
Convertendo para coordenadas polares,
automaticamente temos mais duas in-
formac¸o˜es:
2160− j480 = 2216, 69]− 12, 53o (V A)
Ou seja, o mo´dulo da poteˆncia complexa,
denominada de poteˆncia aparente, e´
de 2216, 69 (V A), com um aˆngulo de
−12, 53o.
Repare que os valores de S pode-
riam ser obtidos tambe´m pelas seguintes
equac¸o˜es:
S2 = P 2 +Q2
φ = tang−1
(
Q
P
)
1.2. CORREC¸A˜O DE FATOR DE POTEˆNCIA 3
1.2 Correc¸a˜o de fator de
poteˆncia
Como ja´ introduzido, o fator de poteˆncia nada
mais e´ que a frac¸a˜o da poteˆncia aparente que
e´ convertida em trabalho, o que e´ interessante
na indu´stria a fim de reduzir custos com a di-
minuic¸a˜o do consumo de energia ele´trica e me-
nor dimensionamento das instalac¸o˜es ele´tricas.
Logo, a melhor situac¸a˜o e´ aquela em que o fator
de poteˆncia e´ unita´rio, ou seja, a poteˆncia apa-
rente e´ igual a` poteˆncia ativa, com a poteˆncia
reativa igual a zero.
1.2.1 Exemplo 1.2
Exemplo
Um transformador de 25 kVA fornece 12
kW a uma carga com fator de poteˆncia
igual a 0,6 indutivo. Determinar:
a. A percentagem de plena carga em
que esta´ operando o transformador.
b. Quantos W podem ser adicionados
ate´ o transformador estar operando em
plena carga.
Soluc¸a˜o
a. O problema nos informa que a
poteˆncia aparente nominal do transfor-
mador e´ 25 kVA, a poteˆncia fornecida e´
de 12 kW e o fator de poteˆncia, 0,6 in-
dutivo.
Snominal = 25 kV A
Pfornecida = 12 kW
FP = 0, 6 indutivo
φ0 = arcos 0, 6 = 53, 13
o indutivo
Pelo triaˆngulo das poteˆncias temos que
cos φ =
P
S
0, 6 =
12 kW
Sfornecida
⇒ Sfornecida = 20 kV A
Enta˜o,
% de carga =
Sfornecida
Snominal
=
20 kV A
25 kV A
= 80%
Continuac¸a˜o...
b. Como o fator de poteˆncia da carga a
ser adicionada e´ unita´rio, a mesma e´ pu-
ramente resistiva. Assim, podemos es-
crever:
S2nominal = (Pfornecida + ∆P )
2 +Q2
Ainda na˜o temos o valor de Q. Podemos
calcula´-la por meio da equac¸a˜o
sen φ =
Q
S
sen 53, 13o =
Q
Sfornecida
Q = 16 k var indutivo
A carga reativa de 16 kvar esta´ sendo
consumida antes de qualquer alterac¸a˜o
no sistema. Como a carga a ser adici-
onada e´ resistiva, esta carga reativa Q
permanecera´ constante.
Assim,
(25 kV A)2 = (12 kW + ∆P )2+(16 kvar)2
∆P = 7, 20837 kW
Assim, uma carga adicional de ∆P =
7, 20837 kW pode ser adicionada a carga
que esta´ em operac¸a˜o nesse transforma-
dor para que se atinja a plena carga.
1.2.2 Exemplo 1.3
Exemplo
Uma indu´stria quer resolver seu pro-
blema com fator de poteˆncia, pois
corre o risco de ser multada pela
concessiona´ria que lhe fornece energia
ele´trica. Suponha que voceˆ foi chamado
para fazer uma avaliac¸a˜o do status da
instalac¸a˜o e, apo´s analisar os dados
dispon´ıveis, sabe que:
- a alimentac¸a˜o e´ feita em 380 V, a 60
Hz;
- a poteˆncia aparente total e´ de 8950 VA;
4 CAPI´TULO 1. POTEˆNCIA COMPLEXA E FATOR DE POTEˆNCIA
Continuac¸a˜o...
- o fator de poteˆncia da instalac¸a˜o e´ 0,7
indutivo.
A partir destes dados, calcule:
a. A corrente atual drenada da fonte.
b. A poteˆncia do banco de capacitores
para elevar o fator de poteˆncia para 0,92.
c. A poteˆncia aparente depois da
correc¸a˜o.
d. A corrente drenada da fonte depois
da correc¸a˜o.
e. Analise a diferenc¸aentre a corrente
anterior a` correc¸a˜o do fator de poteˆncia
e a corrente posterior. Houve mudanc¸a
na poteˆncia ativa? O que isto significa
para a indu´stria.
Soluc¸a˜o
a. Temos que
|S| = |V | · |I|
Enta˜o
I =
8950
380
= 23, 5526 (A)
Observac¸a˜o
Para o caso complexo, lembre-se que a
poteˆncia monofa´sica complexa e´ dada
por
−→
S 1φ =
−→
V · −→I ∗. Este sera´ um con-
ceito importante em circuitos polifa´sicos.
...continuac¸a˜o
b. O desenho do nosso triaˆngulo das
poteˆncias esta´ na figura 1.3. Relem-
brando as equac¸o˜es:
sen φ =
Q
S
cos φ =
P
S
tang φ =
Q
P
S2 = P 2 +Q2
Figura 1.3: Triaˆngulo de poteˆncias do exemplo
...continuac¸a˜o
Como o fator de poteˆncia e´ indutivo, sa-
bemos que a poteˆncia reativa desta ins-
talac¸a˜o sera´ indutiva. Logo, desenhamos
o cateto da poteˆncia reativa “para cima”
do cateto da poteˆncia ativa. Esta e´ ape-
nas uma refereˆncia adotada (quando o
circuito e´ indutivo, o aˆngulo φ e´ posi-
tivo).
Lembrando: φ = θtensa˜o − θcorrente
FP = cos φ = 0, 7
φ = arcos 0, 7 = 45, 573o
Em seguida, calculamos todas as
poteˆncias atuais:
cos φ =
P
S
0, 7 =
P
8950
⇒ P = 6265 (W )
Observac¸a˜o
O valor da poteˆncia ativa de uma carga
na˜o varia com a alterac¸a˜o da poteˆncia
reativa. Assim, corrige-se o FP sem al-
terar a carga ativa.
...continuac¸a˜o
Calculamos a poteˆncia reativa por meio
de
sen φ =
Q
S
sen 45, 573o =
Q
8950
⇒ Q = 6391, 578 (var indutivo)
Se quisermos o fator de poteˆncia cos φ =
0, 92, o aˆngulo φ deve ser igual a 23, 074o.
1.3. EXERCI´CIOS 5
Continuac¸a˜o...
Assim, precisamos alterar a poteˆncia re-
ativa para alterar o fator de poteˆncia,
sem alterar a poteˆncia ativa. Assim,
para φ = 23, 074o, obtemos um novo va-
lor de poteˆncia reativa, denominada Q
′
.
tang 23, 074o =
Q
′
6265
⇒ Q′ = 2668, 8788 (var indutivo)
Ou seja, com o fator de poteˆncia sendo
0, 7 indutivo, temos certa poteˆncia rea-
tiva indutiva, e com o fator de poteˆncia
sendo 0, 92 indutivo, temos outro valor
menor. Dessa maneira, precisamos so-
mar poteˆncia reativa capacitiva.
Sendo assim, temos:
Q
′
= Qatual + ∆Q
−2668, 8788 = −6391, 578 + ∆Q
∆Q = 3722, 70 (var)
Observac¸a˜o
Por convenc¸a˜o adotamos, no equaciona-
mento, o valor negativo para poteˆncia
reativa indutiva e o valor positivo para
poteˆncia reativa capacitiva.
...continuac¸a˜o
Logo, ∆Q = 3722, 70 (var capacitivo).
c. Com cos φ = 0, 92, calculamos a nova
poteˆncia aparente:
cos φ =
P
S
0, 92 =
6265
S
⇒ S = 6809, 7826 (V A)
d. Temos que
S = V · I
6809, 7826 = 380 · I ⇒ I = 17, 9205 (A)
1.3 Exerc´ıcios
1. Um motor de corrente alternada indutivo
consome uma poteˆncia de 895 W (medida
com watt´ımetro), quando ligado a` plena
carga em uma rede de 220 (V ) de tensa˜o,
em 60 Hertz. A corrente medida no mo-
tor e´ de 5, 1 (A). A partir destes dados,
calcule:
a. O fator de poteˆncia atual da ins-
talac¸a˜o.
b. O capacitor necessa´rio para corrigir
o fator de poteˆncia para um valor o mais
pro´ximo poss´ıvel ao unita´rio.
c. A nova corrente drenada da fonte.
2. Um transformador de 25 kVA fornece 12
kW a uma carga com FP igual a 0,6 in-
dutivo. Se forem adicionados cargas com
FP igual a 0,866 capacitivo, quantos kW
dessas cargas sera˜o necessa´rios para ope-
rar com sua capacidade de plena carga?
3. Seja o sistema da figura 1.4. As cargas
teˆm as seguintes configurac¸o˜es:
Carga 1 : 250 V A, FP = 0, 5 indutivo
Carga 2 : 180 W, FP = 0, 8 capacitivo
Carga 3 : 300 V A, 100 var indutivo
a. Determinar as poteˆncias do sistema de
acordo com a associac¸a˜o proposta.
b. Se a tensa˜o de alimentac¸a˜o for 220
(V), qual e´ o mo´dulo da corrente drenada
total do sistema?
c. O fator de poteˆncia total da instalac¸a˜o.
Figura 1.4: Exerc´ıcio 3
4. Tendo em vista o circuito da figura 1.5,
cuja alimentac¸a˜o ocorre a 60 Hz, res-
ponda:
6 CAPI´TULO 1. POTEˆNCIA COMPLEXA E FATOR DE POTEˆNCIA
a. Qual e´ o fator de poteˆncia da carga?
b. Modele a carga associando elementos
em se´rie.
c. Modele a carga associando elementos
em paralelo.
Figura 1.5: Exerc´ıcio 4
5. Uma carga e´ ligada a uma fonte de 120 (V )
a 60 Hz e tem uma poteˆncia resistiva de
5 kW , uma poteˆncia indutiva de 8 k var e
uma poteˆncia capacitiva de 2 k var. Cal-
cule:
a. A poteˆncia aparente total da carga.
b. O fator de poteˆncia desta instalac¸a˜o.
c. A corrente drenada da fonte.
d. A capacitaˆncia necessa´ria para estabe-
lecer um fator de poteˆncia unita´rio para a
instalac¸a˜o.
e. A corrente drenada da fonte apo´s a
correc¸a˜o do fator de poteˆncia.
6. Uma instalac¸a˜o monofa´sica e´ alimentada
a 220 (V ), cuja refereˆncia angular e´ 0o. A
corrente drenada pela carga e´ de 12] −
30o (A). Qual e´ o fator de poteˆncia da
carga? Determine o valor do triaˆngulo das
poteˆncias desta instalac¸a˜o.
7. Verifique o sistema da figura 1.6:
a. Calcule o fator de poteˆncia.
b. Calcule a corrente drenada pelo sis-
tema.
c. Calcule
−→
S .
d. Supondo que voceˆ e´ engenheiro(a)
contratado(a) para corrigir o fator de
poteˆncia para 0,92 indutivo, projete um
banco capacitivo sabendo que apenas os
seguintes capacitores esta˜o dispon´ıveis:
Figura 1.6: Exerc´ıcio 7
1 µF (duas unidades)
3, 2 µF (uma unidade)
4, 7 µF (duas unidades)
6, 8 µF (duas unidades)
10 µF (tres unidades)
15 µF (uma unidade)
e. Calcule a corrente drenada apo´s a ins-
talac¸a˜o do banco capacitivo.
f. Novamente, calcule
−→
S .
g. Agora, visando o circuito original, cor-
rija o fator de poteˆncia para 0,93 capaci-
tivo.
h. Calcule a corrente drenada do sistema
com o ajuste projetado na questa˜o e.
i. Por fim, calcule
−→
S .
8. Marque (V)erdadeiro ou (F)also:
( ) Em um sistema indutivo, a tensa˜o esta´
atrasada da corrente.
( ) O fator de poteˆncia mı´nimo exigido
pela norma brasileira e´ 0,92.
( ) O acre´scimo de cargas puramente re-
sistivas em um sistema reativo melhora o
fator de poteˆncia.
( ) O acre´scimo de um banco capacitivo
em uma instalac¸a˜o provoca o aumento do
mo´dulo da tensa˜o da rede que a alimenta.
( ) O u´nico meio de corrigir o fator de
poteˆncia indutivo e´ por meio de bancos
capacitivos.
1.4. RESPOSTAS 7
1.4 Respostas
Exerc´ıcio 1
a)FP = 0, 798 indutivo
b)C = 37, 0181 µF
c)I = 4, 06818 (A)
Exerc´ıcio 2
Para operar a plena carga, sera˜o adicionados
11, 083 kW e 6, 9386 kvar capacitivo.
Exerc´ıcio 3
a)P = 587, 8437 (W )
Q = 181, 5063 (var indutivo)
S = 615, 226 (V A)
b)I = 2, 79648 (A)
c)FP = 0, 955 indutivo
Exerc´ıcio 4
a) FP = 0, 3527 capacitivo.
b) Ver figura 1.7
Figura 1.7: Equivalente se´rie da carga do cir-
cuito da figura 1.5
c) Ver figura 1.8
Figura 1.8: Equivalente paralelo da carga do
circuito da figura 1.5
Exerc´ıcio 5
a)S = 7810, 25 (V A)
b)FP = 0, 64 indutivo
c)I = 65, 0854 (A)
d)C = 1, 1053 mF
e)I = 41, 6667 (A)
Exerc´ıcio 6
FP =0, 866 capacitivo.
S = 2, 64 (kVA)
P = 2, 28631 (kW)
Q = 1, 320 (kvar capacitivo)
Exerc´ıcio 7
a) FP = 0, 2564 indutivo.
b)
−→
I = 0, 5641]− 75, 14o (A)
c)
−→
S = 31, 8165 + j119, 945 (VA)
d) Ver figura 1.9.
Figura 1.9: Banco capacitivo projetado
(Exerc´ıcio 7.d)
e)
−→
I = 0, 15572]− 23, 09o (A)
f)
−→
S = 31, 8165 + j13, 569 (VA)
g) Ver figura 1.10
Figura 1.10: Banco capacitivo projetado
(Exerc´ıcio 7.g)
h)
−→
I = 0, 15496]21, 05o (A)
i)
−→
S = 31, 8165− j12, 2477 (VA)
Exerc´ıcio 8
Resposta: F - V - V - V - F