Exercícios Resolvidos - Potencial Elétrico

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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, a`s 16:08
Exercı´cios Resolvidos de Teoria Eletromagne´tica
Jason Alfredo Carlson Gallas
Professor Titular de Fı´sica Teo´rica
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Instituto de Fı´sica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul
91501-970 Porto Alegre, BRASIL
Mate´ria para a SEGUNDA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Conteu´do
26 Potencial Ele´trico 2
26.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
26.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 3
26.2.1 O potencial ele´trico . . . . . . . 3
26.2.2 Ca´lculo do potencial a partir do
campo . . . . . . . . . . . . . . 3
26.2.3 Potencial criado por uma carga
puntiforme . . . . . . . . . . . 6
26.2.4 Potencial criado por um dipolo
ele´trico . . . . . . . . . . . . . 7
26.2.5 Potencial criado por distribui-
c¸a˜o contı´nua de cargas . . . . . 8
26.2.6 Ca´lculo do campo a partir do
potencial . . . . . . . . . . . . 8
26.2.7 Energia potencial ele´trica de um
sistema de cargas puntiformes . 10
26.2.8 Um condutor isolado . . . . . . 13
26.2.9 O acelerador de van de Graaff . 13
26.2.10 Problemas Adicionais . . . . . 14
26.2.11 Problemas da terceira edic¸a˜o do
livro-texto . . . . . . . . . . . . 14
27 Capacitaˆncia 16
27.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
27.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 17
27.2.1 Capacitaˆncia . . . . . . . . . . 17
27.2.2 Ca´lculo da capacitaˆncia . . . . . 18
27.2.3 Capacitores em paralelo e em se´rie 19
27.2.4 Armazenamento de energia
num campo ele´trico . . . . . . . 22
27.2.5 Capacitor com um diele´trico . . 24
27.2.6 Os diele´tricos e a lei de Gauss . 25
28 Corrente e Resisteˆncia 27
28.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
28.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 27
28.2.1 Corrente ele´trica . . . . . . . . 27
28.2.2 Densidade de corrente . . . . . 27
28.2.3 Resisteˆncia e resistividade . . . 28
28.2.4 Energia e poteˆncia em circuitos
ele´tricos . . . . . . . . . . . . . 31
29 Circuitos Ele´tricos 33
29.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
29.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 33
29.2.1 Trabalho, energia e FEM . . . . 33
29.2.2 Diferenc¸as de potencial . . . . . 33
29.2.3 Circuitos de malhas mu´ltiplas . 35
29.2.4 Instrumentos de medidas ele´tricas 38
29.2.5 Circuitos RC . . . . . . . . . . 40
Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
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26 Potencial Ele´trico
26.1 Questo˜es
Q 26-1.
Podemos considerar o potencial da Terra igual a �������
Volts em vez de igual a zero? Que efeito tera´ esta es-
colha nos valores medidos para: (a) potenciais e (b)
diferenc¸as de potencial?
� Sim. O potencial ele´trico num ponto pode assumir
qualquer valor. Somente a diferenc¸a de potencial e´ que
possui sentido fı´sico determinado. Por razo˜es de como-
didade, podemos admitir que o potencial da Terra (ou
de qualquer outro referencial equ¨ipotencial ) seja igual
a zero. Qualquer outro valor escolhido tambe´m serve,
pois o que sera´ fisicamente relevante e´ a diferenc¸a de
potencial.
Q 26-2.
O que aconteceria a uma pessoa, de pe´ sobre uma pla-
taforma isolada, se o seu potencial fosse aumentado
�������	� Volts em relac¸a˜o a Terra?
� Na˜o aconteceria nada de grave: como a pessoa esta´
isolada, ela apenas teria seu potencial aumentado em
����
 ���	� Volts. Mas caso a pessoa resolvesse descer da
tal plataforma deveria faze-lo com muito cuidado...
Q 26-3.
Por que o ele´tron-volt e´ frequ¨entemente uma unidade
mais convencional para energia do que o joule?
� Espac¸o reservado para a SUA resposta.....
Q 26-13.
O fato de so´ conhecermos
�
, num dado ponto torna
possı´vel o ca´lculo de � neste mesmo ponto? Se na˜o,
que informac¸o˜es adicionais sa˜o necessa´rias?
� Na˜o. De acordo com a Eq. 26-8, para se calcular uma
diferenc¸a de potencial, torna-se necessa´rio o conheci-
mento de E ao longo de um dado percurso ligando os
dois pontos tomados para o ca´lculo desta diferenc¸a de
potencial.
Q 26-14.
Na Fig. 26-2 do Halliday, o campo ele´trico
�
e´ maior
do lado esquerdo ou do lado direito?
� O mo´dulo do campo ele´trico pode ser estimado da
a raza˜o �����	��� , onde � e´ a distaˆncia entre duas su-
perfı´cies equ¨ipotenciais. Note que do lado esquerdo da
figura 26-2 a distaˆncia entre duas superfı´cies equ¨ipoten-
ciais e´ menor do que a distaˆncia entre duas superfı´cies
equ¨ipotenciais do lado direito. Sendo assim, concluı´mos
que o valor de 
 na extremidade esquerda da figura 26-2
e´ maior do que 
 na extremidade direita da figura 26-2.
Lembre que 
 e´ proporcional a` densidade de linhas de
forc¸a (as quais sa˜o ortogonais a`s superfı´cies equ¨ipoten-
ciais em cada um dos pontos destas superfı´cies equ¨ipo-
tenciais).
Q 26-24.
Vimos na sec¸a˜o 26-10 que o potencial no interior de um
condutor e´ o mesmo que o da sua superfı´cie. (a) E no ca-
so de um condutor com uma cavidade irregular no seu
interior? (b) E no caso da cavidade ter uma pequena
“brecha” ligando-a com o lado de fora? (c) E no caso
da cavidade estar fechada mas possuir uma carga pun-
tiforme suspensa no seu interior? Discuta o potencial
no interior do material condutor e em diferentes pontos
dentro das cavidades.
� (a) Teria o mesmo valor ��� ������fiffffifl� .
(b) Se o condutor esta´ isolado e carregado, terı´amos
igualmente
�
�
e � � constante no interior e
na superfı´cie, mas na˜o poderı´amos determinar o valor
nume´rico da constante.
(c) Idem ao item (b), inclusive dentro da cavidade irre-
gular.
A carga puntiforme ira´ induzir cargas de sinal contra´rio
e de mesmo valor absoluto na superfı´cie da cavidade e,
consequ¨entemente, de mesmo valor na superfı´cie exter-
na do so´lido irregular. No so´lido, neste caso, devido a
presenc¸a da carga ! , o potencial mudara´ de valor mas
ainda sera´ constante e o campo ele´trico nulo, pois trata-
se de um condutor carregado e isolado.
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26.2 Problemas e Exercı´cios
26.2.1 O potencial ele´trico
E 26-1.
A diferenc¸a de potencial ele´trico entre pontos de descar-
ga durante uma determinada tempestade e´ de �	
#"%$&���	'
V. Qual e´ o mo´dulo da variac¸a˜o na energia potencial
ele´trica de um ele´tron que se move entre estes pontos?
� Use o conceito de potencial e, subsequ¨entemente,
uma conversa˜o de unidades, de Joules para eV, confor-
me o Apeˆndice F, para obter a resposta do livro:
�)( � *+���
� ,
�	
 -�$&���/.
�
' C 01, ��
 "%$&��� ' V 0
�
��
 23"4$&���/.
�65 J
� ,
�	
 2�"�$7�8�9.
�:5 J 0;, -/
#"=<>"4$&��� �6? eV/J 0
�
���	
 2	@�$7�8�
? eV A �	
#" GeV 
E 26-2.
Uma bateria de carro de �8" Volts e´ capaz de fornecer
uma carga de @B< Ampe`res C hora. (a) Quantos Coulombs
de carga isto representa? (b) Se toda esta carga for des-
carregada a �8" Volts, quanta energia estara´ disponı´vel?
� (a) Como � A � � C/s, encontramos:
!D�ffiEGFH��,
@B<
0;,JI
-	���
0H�ffiI
 �3"=<�$&���	K C 
(b) Usando a Eq. 4, encontramos para a energia solici-
tada o seguinte valor:
L
�ffi!B���MI
 ��"B<�$&���
K
$7�N"
AOI
 -3" M J 
P 26-3.
Em um relaˆmpago tı´pico, a diferenc¸a de potencial entre
pontos de descarga e´ cerca de ���	' V e a quantidade de
carga transferida e´ cerca de I � C. (a) Quanta energia e´
liberada? (b) Se toda a carga que foi liberada pudes-
se ser usada para acelerar um carro de �����	� kg apartir
do repouso, qual seria a sua velocidade final? (c) Que
quantidade de gelo a �
5
C seria possı´vel derreter se toda
a energia liberada pudesse ser usada para este fim? O
calor de fusa˜o do gelo e´ PQ�MI 
 I $7�8� K J/kg.
� (a) Usando a Eq. 4, encontramos o seguinte valor para
a energia:
(R�O!B���OI
��$&���
' J 
(b) Igualando a energia solicitada no item (a) com a
energia cine´tica do carro, encontramos: (S�UT �
VXW>Y
�
"
e, portanto,
W
�
Z
"
T
V
�M[
[B\
$&����]
m/s 
(c) A energia ( fornece o calor ^ necessa´rio para fundir
uma certa massa _ de gelo. Fazendo ^`�RP e usando
a Eq. 5 do Cap. 20, encontramos o seguinte valor para a
massa _ :
_U�
(
P
�
I
��$&����' J
I
I
$&���
K J/kg �
2�
a�8��$&���
�
kg
P 26-5.
Quando um ele´tron se move de b ate´ c ao longo da li-
nha de campo ele´trico mostrado na Fig. 26-24 (pg. 82),
o campo ele´trico realiza um trabalho de I 
 2	<%$d�8� .
�
' J
sobre ele. Quais sa˜o as diferenc¸as de potencial ele´trico
(a) ��eQfd�hg , (b) �hidfj��g e (c) �hidfj��e ?
� (a)
�
e
fj�
g
��f
L
gke
!
5
�lf
I
 2B<�$7�8�
.
�
'
�	
 -%$7�8�
.
�
'
��f
"9
 <�- V 
Nota: !
5
e´ uma carga-teste positiva e
L
gke o trabalho
feito pelo campo ele´trico. Observe das linhas de cam-
po na figura que o ponto b esta´ mais pro´ximo de cargas
negativas do que o ponto c . (O vetor campo E aponta
para as cargas negativas.)
(b) A ddp e´ a mesma que a do item anterior.
(c) Zero, pois os pontos c e m esta˜o sobre uma equipo-
tencial.
26.2.2 Ca´lculo do potencial a partir do campo
E 26-9.
A densidade de carga de um plano infinito, carregado e´
n
�
�/
o���qp C/m Y . Qual e´ a distaˆncia entre as superfı´cies
equ¨ipotenciais cuja diferenc¸a de potencial e´ de \ � Volts?
� De acordo com a Tabela 1, para um plano infinito
uniformemente carregado, podemos escrever a seguinte
relac¸a˜o:
���M�
5
f
nsr
"	t
5
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Donde se conclui que para duas superfı´cies equ¨ipoten-
ciais separadas por uma distaˆncia � r , a diferenc¸a de
energia potencial e´ dada por:
�����lf
n
"	t
5
�
r
Portanto considerando apenas o mo´dulo de � r , encon-
tramos a resposta:
�
r
�
"Bt
5
���
n
�
@/
 @
\ mm
P 26-11.
O campo ele´trico dentro de uma esfera na˜o-condutora de
raio u , com carga espalhada com uniformidade por todo
seu volume, esta´ radialmente direcionado e tem mo´dulo
dado por
�
!Nv
<�wyx
5
u
]
Nesta expressa˜o, ! (positiva ou negativa) e´ a carga total
da esfera e u e´ a distaˆncia ao centro da esfera. (a) To-
mando ��� � no centro da esfera, determine o potencial
�z,fivB0 dentro da esfera. (b) Qual e´ a diferenc¸a de poten-
cial ele´trico entre um ponto da superfı´cie e o centro da
esfera? (c) Sendo ! positiva, qual destes dois pontos tem
maior potencial?
� (a) Como a expressa˜o do campo e´ dada, para
determinar-se o potencial basta calcular a integral
�{,|vB0+fj�z,
�
0}�lf~Q€
5
�	v � f
!
<�wyx
5
u
]
~Q€
5
v���v
� f
!
@	wyx
5
v
Y
u
]
Como �z, � 0}� � , temos
�z,fivB0��Rf
!
@	wyx
5
v
Y
u
]
(b) Na superfı´cie ( v�ffiu ) a diferenc¸a de potencial e´
�����M�z,fiuD0+fj�z,
�
0}��f
!
@Bwyx
5
�
u
(c) Como a diferenc¸a acima e´ negativa, o centro tem
potencial maior.
P 26-12.
Um contador Geiger possui um cilindro meta´lico com
"9
 �
cm de diaˆmetro, tendo estendido ao longo do seu ei-
xo um fio de �	
 I $s�8� .
�
cm de diaˆmetro. Se aplicarmos
@
\
� V entre eles, calcule o campo ele´trico na superfı´cie:
(a) do fio e (b) do cilindro. (Sugesta˜o: Use o resultado
do Problema 24, Cap. 25.)
� Usando o resultado do problema 25-24, pag. 58, en-
contramos para o campo ele´trico entre o fio e o cilin-
dro a expressa˜o 
 �ƒ‚y�9, "=w„t
5
vB0 . Usando a Eq. 26-11,
pag. 68, encontramos para a diferenc¸a de potencial entre
o fio e o cilindro a seguinte expressa˜o:
�����M�†…Dfj�†‡���fˆ~ €Ł‰
€Ł‹
��v � ~ € ‹
€Ł‰
‚
"=w„t
5
v
��v
�
‚
"=w„t
5†Œ|Ž
v8‡
v …‘‘’
onde v8… e v8‡ representam os raios do fio e do cilin-
dro, respectivamente. Desta equac¸a˜o obtemos facilmen-
te que
‚s�
"=w„t
5
���
Œfi}“
vN‡”�=v8…B•8’
e, portanto, que
,|vB0–�
‚
"=w„t
5
v
�
�%�
v
Œ|}“
v8‡”�NvN…=•
�
@�@/
o��-B< Volts
v
Portanto: (a) Na superfı´cie do fio, temos:
�
@	@�
a�8-B< Volts
-/
\
$&���
.†— m
�
�
I
- M V/m ˜
(b) Na superfı´cie do cilindro:
�
@�@/
o��-	< Volts
��
 ���
m
�
@/
 @�" kV/m 
P 26-13*.
Uma carga ! esta´ uniformemente distribuı´da atrave´s de
um volume esfe´rico de raio u . (a) Fazendo �™� � no
infinito, mostre que o potencial a uma distaˆncia v do
centro, onde v�š›u , e´ dado por
���
!9,fiI�u
Y
f7v
Y
0
@Bwyx
5
u
]
(Sugesta˜o: Ver o exemplo 25-7.) (b) Por que este resul-
tado difere daquele do item (a) do Problema 11? (c)
Qual a diferenc¸a de potencial entre um ponto da su-
perfı´cie e o centro da esfera? (d) Por que este resultado
na˜o difere daquele do item (b) do Problema 11?
� (a) Fora da distribuic¸a˜o de cargas a magnitude do
campo ele´trico e´
�œ!	�9,
<�wyx
5
v
Y
0 e o potencial e´
��™!	�/,
<�wyx
5
vB0 , onde v e´ a distaˆncia a partir do cen-
tro da distribuic¸a˜o de cargas.
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Dentro da distribuic¸a˜o, usamos uma superfı´cie Gaussia-
na esfe´rica de raio v conceˆntrica com a distribuic¸a˜o de
cargas. O campo e´ normal a` superfı´cie e sua magnitu-
de e´ uniforme sobre ela, de modo que o fluxo atrave´s
da superfı´cie e´ <	w v Y
. A carga dentro da Gaussiana e´
!Nv
]
�Bu
]
.
Com isto, a lei de Gauss fornece-nos
<	wyx
5
v
Y
�
!Nv
]
u
]
que, simplificando, mostra ser o campo fora da Gaussia-
na dado por
�
!Nv
<�wyx
5
u
]
Se chamarmos de �hž o potencial sobre a superfı´cie da
distribuic¸a˜o de cargas, enta˜o o potencial num ponto in-
terno localizado a uma distaˆncia v do centro sera´
� � �hžŸfQ~Q€
�
��v
� �hžŸf
!
<	wyx
5
u
]
~ €
�
v��	v
� �
ž
f
!Nv
Y
@Bwyx
5
u
]
�
!
@Bwyx
5
u
O valor de �hž pode ser encontrado colocando-se v4�¡u
na expressa˜o do potencial em pontos fora da distribuic¸a˜o
de cargas, o que fornece-nos �†žq�O!	�9, <	wyx
5
uD0 . Portanto
���
!
<	wyx
5¢
�
u
f
v
Y
"
u
]
�
�
"
u{£
�
!
@Bwyx
5
u
]�¤
I�u
Y
f&v
Y8¥
(b) No Problema 11 o potencial ele´trico foi tomado co-
mo sendo zero no centro da esfera enquanto que aqui, o
zero esta´ no infinito.
De acordo com a expressa˜o derivada na parte (a), o po-
tencial no centro da esfera e´ �†‡{�¦I	!	�9, @Bwyx
5
uD0 . Por-
tanto, �§f¨� ‡ �©fª!Nv Y �/,
@Bwyx
5
u
]
0 , que e´ o resultado
encontrado no Problema 11.
(c) A diferenc¸a de potencial e´
�����M�
ž
fd�
‡
�
"
!
@Bwyx
5
u
f
I	!
@Bwyx
5
u
��f
!
@Bwyx
5
u
Este valor o´ mesmo dado pela expressa˜o obtida no Pro-
blema 11, como na˜o poderia deixar de ser.
(d) Moral da histo´ria toda: apenas as diferenc¸as de po-
tencial tem significado fı´sico, na˜o importando qual o va-
lor do potencial num so´ ponto. Analogamenteao caso
gravitacional, mudar-se o ponto de refereˆncia de lugar
na˜o altera as diferenc¸as de potencial.
P 26-14*.
Uma casca esfe´rica espessa de carga ^ e densidade vo-
lume´trica de carga « , esta´ limitada pelos raios v
�
e v
Y
,
onde v
Y›¬
v
�
. Com �­� � no infinito, determine o
potencial ele´trico � em func¸a˜o da distaˆncia v ao centro
da distribuic¸a˜o, considerando as regio˜es (a) v
¬
v
Y
, (b)
v
�
š®v)š®v
Y
, (c) v�š®v
�
. (d) Estas soluc¸o˜es concordam
em vD�ffiv
Y
e v�Ov
�
? (Sugesta˜o: Ver o exemplo 25-7.)
� (a) Para v
¬
v
Y
o campo e´ como o de uma carga
puntiforme e o potencial e´
���
�
<�wyx
5
^
v
’
onde o zero do potencial foi tomado no infinito.
(b) Para determinar o potencial no intervalo v
�
š¯vˆš
v
Y
usamos a lei de Gauss para calcular o campo ele´trico,
integrando-o posteriormente ao longo de uma trajeto´ria
radial, de v
Y
ate´ v . A melhor Gaussiana e´ uma superfı´cie
esfe´rica conceˆntrica com a casca em questa˜o. O cam-
po e´ radial, normal a` superfı´cie, com magnitude uni-
forme sobre a superfı´cie, de modo que o fluxo atrave´s
da superfı´cie e´ °›� <	w v Y
. O volume da casca e´
<�w
,|v
]
Y
f&v
]
�
0��=I , de modo que a densidade de carga e´
«��
I3^
<	w
,fiv
]
Y
f&v
]
�
0
Assim, a carga englobada pela Gaussiana de raio v e´
!��
<	w
I
,|v
]
f7v
]
�
0+«%�O^
Ž
v
]
f&v
]
�
v
]
Y
f&v
]
�

A lei de Gauss fornece-nos
<	wyx
5
v
Y
�¨^
Ž
v
]
f&v
]
�
v
]
Y
f&v
]
�

’
donde obtemos a magnitude do campo ele´trico:
�
^
<	wyx
5
v
]
f7v
]
�
v
Y
,|v
]
Y
f7v
]
�
0
Sendo �hž o potencial ele´trico na superfı´cie externa da
casca ( vs�±v
Y
), enta˜o o potencial a uma distaˆncia v do
centro e´ dado por
� � �hž�fQ~
€
€6²
��v
� �hž�f
^
<	wyx
5
�
v
]
Y
f&v
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�
~
€
€³²
Ž
vf
v
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�
v
Y
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� �hž�f
^
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5
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v
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Y
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Ž
v
Y
"
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Y
Y
"
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v
]
�
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v
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v
Y

http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 5 de 43
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, a`s 16:08
O valor da constante �hž na superfı´cie externa e´ encon-
trado substituindo-se v›�´v
Y
na expressa˜o para o po-
tencial que foi determinada no item (a) acima, ou seja,
�†žd�µ^4�9,
<	wyx
5
v
Y
0 . Substituindo-se este valor na ex-
pressa˜o acima e simplificando-a, obtemos
���
^
<	wyx
5
�
v
]
Y
f&v
]
�
Ž
I	v
Y
Y
"
f
v
Y
"
f
v
]
�
v%
Como «ˆ�¯I�^4�
“
<�w
,|v
]
Y
f v
]
�
0G• , o potencial pode ser es-
crito de uma maneira mais simples e elegante como
���
«
I
x
5qŽ
IBv
Y
Y
"
f
v
Y
"
f
v
]
�
v�
(c) O campo ele´trico anula-se na cavidade, de modo que
o potencial sera´ sempre o mesmo em qualquer ponto
da cavidade, tendo o mesmo valor que o potencial de
um ponto qualquer sobre a superfı´cie interna da casca.
Escolhendo-se v��Ov
�
no resultado do item (b) e simpli-
ficando, encontramos
���
^
<�wyx
5
I�,fiv
Y
Y
f7v
Y
�
0
"
,fiv
]
Y
f7v
]
�
09’
ou ainda, em termos da densidade de carga « ,
���
«
"Nx
5
,|v
Y
Y
f7v
Y
�
0
(d) As soluc¸o˜es concordam para v�ffiv
�
e vD�ffiv
Y
.
26.2.3 Potencial criado por uma carga puntiforme
E 26-19.
Grande parte do material compreendido pelos ane´is de
Saturno (Fig. 26-27 na terceira edic¸a˜o do Halliday,
ou Fig. 26-28 na quarta) tem a forma de minu´sculas
partı´culas de poeira cujos raios sa˜o da ordem de �8� .†¶
m. Estes pequenos gra˜os esta˜o numa regia˜o que conte´m
um ga´s ionizado e diluı´do, e adquirem ele´trons em ex-
cesso. Se o potencial ele´trico na superfı´cie de um gra˜o
for de f <3�	� V, quantos ele´trons em excesso foram ad-
quiridos?
� Usando o resultado do Exemplo 26-3, encontramos
para o potencial da esfera a seguinte expressa˜o:
���
!
<	w„t
5
u
Sendo

o nu´mero de ele´trons em excesso, temos !·�

* e, portanto,

�
<	w„t
5
�Du
*
�
"9
[
@%$&���	K
ele´trons 
P 26-24.
Um campo ele´trico de aproximadamente ���	� V/m e´
frequ¨entemente observado pro´ximo a` superfı´cie da Ter-
ra. Se este campo fosse realmente constante sobre a
superfı´cie total, qual seria o valor do potencial ele´trico
num ponto sobre a superfı´cie? (Veja Exemplo 26-5; su-
ponha ��� � no infinito.)
� Usando o resultado do Exemplo 26-5, encontramos
para o potencial da esfera a seguinte expressa˜o: �µ�
!	�/,
<�w„t
5
v=0 . Usando a Eq. 25-16, verificamos que o cam-
po ele´trico de uma esfera e´ dado por
�
�
<�w„t
5
!
v
Y
Portanto, usando-se o valor para o raio me´dio da terra
vD�
-�
I>[
$7�8�
¶
m, dado no Apeˆndice C, temos
���
v�
-
I3[ M V 
P 26-25.
Suponha que a carga negativa de uma moeda, de um
centavo, de cobre, fosse levada para uma distaˆncia mui-
to grande da Terra — talvez uma gala´xia distante — e
que a carga positiva fosse uniformemente distribuida so-
bre a superfı´cie da Terra. De quanto variaria o potencial
ele´trico na superfı´cie da Terra? (Veja o Exemplo 23-3.)
� O Exemplo 23-3 nos diz que a carga contida em tal
moeda e´ !� �	
 I3[ $�8� K C, enquanto que do Apeˆndice C
vemos que o raio da Terra e´ u¹¸7� -/
 I3[ $X��� ¶ m. Como
a carga positiva pode ser considerada como estando no
infinito, vemos que a variac¸a˜o de potencial sera´
���
!
<	w„t
5
u
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,
2�$&���	'
0;,
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I3[
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K
0
-/
I3[
$&���
¶
�
�	
 2
I
$7�8�
? V 
Note que a resposta do livro esta´ incorreta.
P 26-26.
Uma gota esfe´rica de a´gua tem uma carga de I � pC e
o potencial na sua superfı´cie e´ de \ ��� V. (a) Calcule o
raio da gota. (b) Se duas gotas iguais a esta, com mesma
carga e o mesmo raio, se juntarem para constituir uma
u´nica gota esfe´rica, qual sera´ o potencial na superfı´cie
desta nova gota?
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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, a`s 16:08
� (a) Usando a Eq. 26-12, temos �º�»!	�/, <	w„t
5
uD0��
\
��� V, ou seja,
u¨�
!
<	w„t
5
�
�
�/
\BI
2
mm
(b) O raio v da nova gota esfe´rica pode ser obtido da ex-
pressa˜o <�w v ] � " , <	w u ] 0
’
ou seja, v%� "
�Ł¼
]
u
 A carga
total sobre a nova gota e´ dada por " !�� -�$7�8� .
���
C 
Supondo que haja uma distribuic¸a˜o uniforme, vemos
que o potencial �½ procurado e´ dado por
�
½
�
"
!
<	w„t
5
v
�
"
!
<�w„t
5
,
"
�³¼
]
u�0
�¡[
2	< V 
26.2.4 Potencial criado por um dipolo ele´trico
P 26-32.
Uma carga puntiforme !
�
�
-
* esta´ fixa na origem de
um sistema de coordenadas retangulares, e uma segunda
carga puntiforme !
Y
�¾f
���
* esta´ fixa em ¿&� @�
 - nm,
À
�
�
. O lugar geome´trico de todos os pontos, no pla-
no ¿ À com �Á�
�
, e´ um cı´rculo centrado sobre o eixo
¿ , como mostra a Fig. 26-31. Determine (a) a posic¸a˜o
¿
‡ do centro do cı´rculo e (b) o raio u do cı´rculo. (c) A
sec¸a˜o transversal no plano ¿ À da superfı´cie equipoten-
cial de \ V tambe´m e´ um cı´rculo?
� (a) e (b) As equac¸o˜es que determinam ¿ ‡ e u sa˜o as
seguintes, chamando de b o ponto em u � ¿ ‡ e de c o
pontoem u¨f&¿ ‡ , onde o cı´rculo intersecta o eixo ¿ :
<�w„t
5
�
g
�
!
�
u
�
¿
‡
�
!
Y
¿
Y
f®,fiu¨f7¿
‡
0
�
�
’
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5
�
e
�
!
�
u¨f7¿
‡
�
!
Y
¿
Y
f®,fiu
�
¿
‡
0
�
��
Resolvendo este sistema de equac¸o˜es para u e ¿y‡ en-
contramos
¿
‡
�
!
Y
�
¿
Y
!
Y
�
fd!
Y
Y
�
,
-
*=0
Y
,
@�
 -
0
,
-
*=0
Y
f›,³f
���
*=0
Y
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nm
’
u �
!
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!
Y
¿
Y
!
Y
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Y
Y
�
,
-
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�8�
*=0;,
@/
 -
0
,
-
*=0
Y
f›,³f
���
*=0
Y
�
@/
o�
nm
(c) Na˜o. A u´nica equipotencial que e´ um cı´rculo e´ aque-
la para ��� � .
P 26-33.
Para a configurac¸a˜o de cargas da Fig. 26-32 abaixo,
mostre que �z,fiv=0 para os pontos sobre o eixo vertical,
supondo que vD� e´ dado por
���
�
<�w„t
5
!
v
Ž
���
"
�
vÐ
(Sugesta˜o: A configurac¸a˜o de cargas pode ser vista co-
mo a soma de uma carga isolada e um dipolo.)
�
���M�
�
�
�
Y
onde �
�
� potencial da carga do centro
e �
Y
� potencial do dipolo.
�
�
�
T7!
v¯’
�
Y
� T
!
v�fd�
�
T
fª!
v
�
�
� T7!
v
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�
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Y
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Y
’
���M�
�
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Y
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Ž
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v
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v
Y
fd�
Y

Para v�ÂÄ� temos, finalmente,
���ffiT
Ž
!
v
�
"
!=�
v
Y

E 26-34.
� Temos que, uma carga fÅ\B! esta´ a uma distaˆncia " � de
Æ
, uma carga fÅ\	! esta´ a uma distaˆncia � de
Æ
, e duas
cargas � \	! esta˜o cada uma a uma distaˆncia � de
Æ
, de
modo que o potencial ele´trico em Æ e´
���
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5¢
f
\
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\
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\
�
�
\
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�lf
\B!
@Bwyx
5
�
O zero do potencial foi tomado como estando no infini-
to.
E 26-39.
� (a) Toda carga esta´ a mesma distaˆncia u de m , de
modo que o potencial ele´trico em m e´
���
�
<	wyx
5O¢
^
u
f
-
^
u±£
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\	^
<�wyx
5
u
’
onde o zero do potencial foi tomado no infinito.
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 7 de 43
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, a`s 16:08
(b) Toda a carga esta´ a mesma distaˆncia Ç u Y � r Y de
Æ de modo que o potencial ele´trico e´
� �
�
<	wyx
5 ¢
^
Ç u
Y
�
r
Y
f
-
^
Ç u
Y
�
r
Y
£
� f
\	^
<	wyx
5
Ç u
Y
�
r
Y
26.2.5 Potencial criado por distribuic¸a˜o contı´nua
de cargas
E 26-40.
Um disco de pla´stico e´ carregado sobre um lado com
uma densidade superficial de carga n e, a seguir, treˆs
quadrantes do disco sa˜o retirados. O quadrante que res-
ta, e´ mostrado na Fig. 26-39, pg. 85. Com �´� � no
infinito, qual e´ o potencial criado por esse quadrante no
ponto
Æ
, que esta´ sobre o eixo central do disco original,
a uma distaˆncia r do centro original?
� Como o disco foi uniformemente carregado, isto im-
plica que quando o disco completo estava presente cada
quadrante contribuia de modo igual para o potencial em
Æ
, de modo que o potencial em Æ devido a um u´nico
quadrante e´ igual a um quarto do potencial devido ao
disco todo.
Vamos, portanto, determinar o potencial devido ao disco
completo.
Consideremos um anel de carga com raio v e largu-
ra ��v . Sua a´rea e´ "=w v`�	v e ele conte´m uma carga
�3!j�
"=w
n
vd��v . Toda esta carga esta´ a uma distaˆncia
Ç v
Y
�
r
Y de Æ , de modo que o potencial devido a tal
anel e´
�3���
�
<	wyx
5
"Bw
n
v¹��v
Ç v
Y
�
r
Y
�
n
v¹��v
"Nx
5
Ç v
Y
�
r
Y
O potencial total em
Æ
e´ a soma dos potenciais de todos
ane´is:
���
n
"Nx
5
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�
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Ç v
Y
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r
Y
�
n
"Nx
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Y
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r
Y/Ê
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Ê
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"Nx
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¢
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u
Y
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Y
f
r
£
O potencial �hË
fl
, devido a meio quadrante, em Æ e´
�hË
fl
�
�
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�
n
@Bx
5
¢
È
u
Y
�
r
Y
f
r
£
P 26-41.
Qual e´ o potencial no ponto Æ na Fig. 26-40, a uma
distaˆncia � da extremidade direita de uma barra fina de
pla´stico de comprimento P e carga total fÅ^ ? A carga
esta´ distribuı´da uniformemente e ��� � no infinito.
� Considere um elemento infinitesimal da barra, loca-
lizado entre ¿ e ¿ � ��¿ . Ele possui um comprimento
��¿ e conte´m uma carga ��!·�¾‚Q�	¿ , onde ‚ �»fÅ^��=P
e´ a densidade linear de carga da barra. Sua distaˆncia do
ponto
Æ
e´ �
�
¿ e o potencial que ela cria no ponto
Æ
e´
�3���
�
<	w„t
5
�3!
�
�
¿
�
�
<	w„t
5
‚)�	¿
�
�
¿
Para encontrar o potencial total no ponto
Æ basta agora
integrar sobre todo comprimento da barra. Portanto,
� �
‚
<	w„t
5
~ Ì
5
�	¿
�
�
¿
�
‚
<	w„t
5ªÍoÎ
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Ê
Ê
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‚
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5
ÍoÎ
Ž
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P
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�
fÅ^4�BP
<	w„t
5¯ÍoÎ
Ž
���
P
�q
26.2.6 Ca´lculo do campo a partir do potencial
E 26-45.
Na sec¸a˜o 26-8, vimos que o potencial para um ponto
sobre o eixo central de um disco carregado era
���
n
"Bt
5ŸŽ
È
u
Y
�
r
Y
f
r

Use a Eq. 26-34 e a simetria para mostrar que 
 para
um tal ponto e´ dado por
�
n
"Bt
5
Ž
�
f
r
Ç
u
Y
�
r
Y
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�
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5
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Y
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Y
0
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Y
•
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 8 de 43
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, a`s 16:08
Portanto,
Se v�ÂÓÑ Ô
�OT
!
v
Y
’
onde !D� n w Ñ Y ˜
Se v�ÕÓÑ Ô
�
n
"Bt
5
P 26-48.
(a) Mostre, calculando diretamente a partir da Eq. 26-
25, que o potencial ele´trico, num ponto do eixo de um
anel carregado, de raio u , e´ dado por
���
�
<	w„t
5
!
Ç
r
Y
�
u
Y
(b) Partindo deste resultado, obtenha uma expressa˜o
correspondente para 
 , nos pontos axiais, e compare
com o resultado do ca´lculo direto de 
 apresentado na
sec¸a˜o 24-6 do Cap. 24.
� (a) Seja �	Ö um elemento de linha do anel. A densida-
de de carga linear do anel e´ ‚ˆ��!	�9, "Bw uD0 . O potencial
�>� produzido por um elemento infinitesimal de carga
�3!D�M‚��	Ö e´ dado por
�3� �
�
<	w„t
5
�3!
v
�
�
<	w„t
5
,J!	�
"Bw
u�0³�BÖ
,Ju
Y
�
r
Y
0
�Ł¼
Y
O potencial no ponto Æ considerado e´ dado pela integral
���
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�
<�w„t
5
!
"Bw
u
�BÖ
,Ju
Y
�
r
Y
0
�³¼
Y
Note que u e r permanecem constantes ao longo do
anel, fazendo com que a integral se reduza a
���
�
<�w„t
5
,fi!	�
"Bw
uD0
,fiu
Y
�
r
Y
0
�Ł¼
Y
~
�BÖ
Como a integral de �	Ö e´ igual a ÖÅ� "Bw u , o comprimen-
to do anel, obtemos
�l�
�
<	w„t
5
!
,fiu
Y
�
r
Y
0
�Ł¼
Y
(b) Analisando a simetria do problema, concluı´mos que
o campo ele´trico na˜o possui nenhuma componente or-
togonal ao eixo do anel. Portanto, ocampo ele´trico e´
orientado ao longo do eixo do anel (para fora do anel),
sendo dado por
�lf
�>�
�
r
�
�
<�w„t
5
!
r
,fiu
Y
�
r
Y
0
]
¼
Y
P 26-49.
A barra fina com carga positiva da Fig. 26-42 tem uma
densidade linear de carga uniforme ‚ e se encontra ao
longo de um eixo ¿ como e´ mostrado. (a) Com �¾� �
no infinito, determine o potencial devido a` barra no pon-
to
Æ
sobre o eixo ¿ . (b) Use o resultado do item anterior
para calcular a componente do campo ele´trico em Æ ao
longo do eixo ¿ . (c) Use a simetria para determinar a
componente do campo ele´trico em Æ numa direc¸a˜o per-
pendicular ao eixo ¿ .
� (a) Suponha a origem dos ¿ como sendo a extremi-
dade direita da barra e considere um elemento infini-
tesimal da barra localizado numa coordenada negativa
¿ˆ�¨¿ ½ , com um comprimento ��¿ ½ e contendo uma car-
ga ��!D�¨‚���¿h½ . Sua distaˆncia de Æ e´ ¿fÿh½ e o potencial
que tal elemento cria em
Æ
e´
�>���
�
<�wyx
5
�3!
,|¿{f7¿
½
0
�
�
<	wyx
5
‚���¿h½
,|¿zf&¿
½
0
Para encontrar o potencial total em
Æ
, integramos sobre
toda a barra:
���
‚
<	wyx
5
~
5
.
Ì
�	¿†½
¿zf&¿
½
� f
‚
<�wyx
5
ln ,fi¿zf7¿ ½ 0 Ê
Ê
Ê
5
.
Ì
�
‚
<�wyx
5
ln
¿
�
P
¿
(b) Encontramos a componente ¿ do campo ele´trico
atrave´s da derivada do potencial ele´trico com respeito
a ¿ :
ª×
� fzØ
�
Ø
¿
�lf
‚
<�wkwyx
5
Ø
Ø
¿
ln ¿
�
P
¿
� f
‚
<	wyx
5
¿
¿
�
P
Ž
�
¿
f
¿
�
P
¿
Y

�
‚
<	wyx
5
P
¿‘,|¿
�
P�0
(c) Considere dois pontos a iguais distaˆncias de ambos
lados de
Æ
, ao longo da linha que e´ perpendicular ao
eixo ¿ . A diferenc¸a no potencial ele´trico dividida pela
separac¸a˜o dos dois pontos da´ a componente transversal
do campo ele´trico. Como os dois pontos esta˜o situa-
dos simetricamente em relac¸a˜o a` barra, seus potenciais
coincidem sendo, portanto, zero a diferenc¸a de poten-
cial. Consequentemente, a componente transversal do
campo ele´trico tambe´m e´ zero.
P 26-50.
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 9 de 43
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, a`s 16:08
Na Fig. 26-43, uma barra fina de comprimento P car-
regada positivamente, colocada ao longo do eixo ¿
com uma extremidade na origem ,|¿§� � 0 , tem uma
distribuic¸a˜o de carga linear dada por ‚¡�ÚÙ9¿ , onde Ù
e´ constante. (a) Considerando o potencial no infinito
igual a zero, calcule o valor de � no ponto
Æ
sobre o
eixo dos À . (b) Determine a componente vertical 
ªÛ , da
intensidade do campo ele´trico em Æ , a partir do resulta-
do do item(a), bem como atrave´s de um ca´lculo direto.
(c) Por que na˜o podemos calcular o componente hori-
zontal ( 
 × ) do campo ele´trico em Æ usando o resultado
do item (a)?
� (a) Temos que �3!��¨‚���¿ e, portanto, que
���¨~ƒ�>� � TÜ~
��!
v
� TÜ~ Ì
5
‚h�	¿
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Y
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Sabendo que Ýs�O¿ Y � À>Y , ��Ýs� " ¿h��¿ e que Þ%݆ß>��ÝX�
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¢
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À
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Y
�
À
Y
0
.
�Ł¼
Y
£
�
ç
O ca´lculo direto do mo´dulo da componente 
ªÛ pode ser
feito da seguinte maneira:
ÅÛ
�MT7Ù
~ Ì
5
¿Åê1ë�ì9í
À
Y
�
¿
Y
�	¿
(c) Quando calculamos o potencial �{, À 0 no item (a),
a varia´vel ¿ foi integrada. Assim, na˜o podemos usar a
relac¸a˜o dada por *
×
�îf�ï
ï
×
�
�
E para calcular
�
×
. Is-
to seria possı´vel somente se soube´ssemos o potencial
�z,fi¿
’
À
0 .
26.2.7 Energia potencial ele´trica de um sistema de
cargas puntiformes
E 26-52.
Duas cargas !�� ��"/
 ��$&��� .†¶ C esta˜o fixas no espac¸o,
separadas pela distaˆncia �z� "/
 � cm, como esta´ indica-
do na figura abaixo. (a) Qual e´ o potencial ele´trico no
ponto m ? (b) Uma terceira carga !X� ��"/
 �s$ �8� .y¶ C
e´ trazida lentamente do infinito ate´ o ponto m . Quan-
to trabalho foi realizado? (c) Qual a energia potencial
( da configurac¸a˜o quando a terceira carga esta´ no lugar
desejado?
� (a) A distaˆncia v entre o ponto m e qualquer uma das
duas cargas e´ dada por
vD�
Z
Ž
�
"

Y
�
Ž
�
"

Y
�
�
Ç
"
Como as cargas esta˜o a mesma distaˆncia, de acordo com
o Princı´pio de Superposic¸a˜o, basta calcular o potencial
devido a qualquer uma delas e multiplicar por dois. Por-
tanto, o potencial em m e´
�
‡
�
"%$
¢
�
<�w„t
5
!
vy£
�
"/
\
< M Volts 
(b) Sabendo-se o potencial no ponto m fica fa´cil calcular
o trabalho para deslocar a carga ! ] ,ð�M!B0 ate´ tal ponto:
L
�¡(
]
�O!
]
�h‡Ÿ�l,
"�$7�8�9.y¶
0;,
"9
\
<)$&���	¶
0}�M\
 ��@ J 
Alternativamente, usando a te´cnica indicada no Exem-
plo 26-10, encontramos para a energia potencial do con-
junto das treˆs cargas a seguinte relac¸a˜o:
(}… �
�
<	w„t
5O¢
!
Y
�
�
!
Y
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Ç
"
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!
Y
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Ç
"
£
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 10 de 43
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, a`s 16:08
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5¢
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Y
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5
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,
���ñ"
Ç
"
0}A
-/
 @	@	< J 
Antes de trazer do infinito a terceira carga, a energia po-
tencial inicial do conjunto das duas cargas e´ dado por:
(HòÉ�
�
<	w„t
5
!
Y
v
Substituindo os dados nume´ricos, obtemos para a ener-
gia potencial inicial (
�
�
�	
[
2�@ J 
 O trabalho que o
agente externo deve realizar para deslocar a terceira car-
ga do infinito ate´ o ponto m e´ nume´ricamente igual a`
variac¸a˜o da energia potencial do sistema, ou seja,
L
�M(–…DfQ(HòÉ�
-/
 @	@	<
f
�	
[
2�@
�¨\
 �	@�- J 
(c) A energia potencial do conjunto das treˆs cargas ja´ foi
calculada no item (b), ou seja,
(
…
�
-�
 @�@B< J 
E 26-56.
Determine uma expressa˜o para o trabalho necessa´rio pa-
ra colocarmos as quatro cargas reunidas como esta´ indi-
cado na figura abaixo.
� A energia total da configurac¸a˜o e´ a soma das energias
correspondentes a cada par de cargas, a saber:
( � (
�
Y
�
(
�
]
�
(
�
�
�
(
Y
]
�
(
Y
�
�
(
]
�
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Y
Ñ
�
!
Y
Ñ/Ç
"
f
!
Y
Ñ
f
!
Y
Ñ
�
!
Y
Ñ9Ç
"
f
!
Y
Ñ
0
�
T7!
Y
Ñ
,³f
<�
Ç
"
0–�lf
�/
#"9�
!
Y
t
5
Ñ
E 26-59.
� (a) Seja Ö	,G� ��
a� \ m 0 o comprimento do retaˆngulo
e óÅ,G�
�/
 �
\
�
m 0 sua largura. A carga !
�
esta´ a uma
distaˆncia Ö do ponto b e a carga !
Y
esta´ a uma distaˆncia
ó , de modo que o potencial ele´trico em b e´
� g �
�
<	wyx
5Å¢
!
�
Ö
�
!
Y
ô
£
�
-/
 ��$&���
�
Volts 
(b) Analogamente,
�he �
�
<	wyx
5¢
!
�
ô
�
!
Y
ÖD£
��f[
 @%$7�8� K Volts(c) Como a energia cine´tica e´ zero no inı´cio e no fim
da viagem, o trabalho feito pelo agente externo e´ igual
a` variac¸a˜o da energia potencial do sistema. A energia
potencial e´ dada pelo produto da carga ! ] e o potencial
ele´trico. Sendo ( g a energia potencial quando ! ] esta´
em b e ( e quando esta´ em c , o trabalho feito para
mover-se ! ] de c para b e´
L
� (
g
fQ(
e
� !
]
,J�
g
fd�
e
0
� ,JI
 ��$7�8�
.†¶
0
Ž
-/
 �%$7�8�
�
�
[
 @%$7�8�	K

�
"/
\ J 
(d) O trabalho feito pelo agente externo e´ positivo e,
portanto, a energia do sistema de treˆs cargas aumenta.
(e) e (f) A forc¸a eletrosta´tica e´ conservativa. Portanto, o
trabalho e´ sempre o mesmo, independentemente da tra-
jeto´ria percorrida.
P 26-61.
Uma partı´cula de carga ^ (positiva) e´ mantida num pon-
to
Æ
fixo. Uma segunda partı´cula de massa V e carga
(negativa) fª! move-se com velocidade constante, num
cı´rculo de raio v
�
, cujo centro e´ o ponto Æ . Obtenha
uma expressa˜o para o trabalho L que deve ser realiza-
do por um agente externo sobre a segunda partı´cula a
fim de aumentar o raio deste cı´rculo para v
Y
.
� Seja L&õ o trabalho realizado contra as forc¸as ele-
trosta´ticas. Enta˜o, sendo �hòª�ƒ^4�9, <	wyx
5
v8òð0 num ponto
v8ò devido a carga ^ , temos
L7õ
�Rfª!9,ð�
Y
fd�
�
0}�
^D!
<	w„t
5¢
�
v
�
f
�
v
Y
£
Como o movimento e´ circular uniforme, igualando a
forc¸a centrı´peta com a forc¸a eletrosta´tica, obtemos uma
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 11 de 43
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, a`s 16:08
relac¸a˜o que nos fornece VXW>Y e, portanto, a energia
cine´tica: ö
�
�
<	w„t
5
^D!
v
Y
�
VXW3Y
v
Com isto, a energia cine´tica da carga fª! e´
T¦�
VXW3Y
"
�
�
"
�
<	w„t
5
^!
v
A variac¸a˜o da energia cine´tica entre as o´rbitas de raios
v
�
e v
Y
e´
T
�
fdT
Y
�
�
"
^!
<	w„t
5 ¢
�
v
�
f
�
v
Y
£
P 26-64.
Uma partı´cula de carga ! e´ mantida fixa num ponto Æ
e uma segunda partı´cula de massa V com a mesma car-
ga ! esta´ inicialmente em repouso a uma distaˆncia v
�
de
Æ
. A segunda partı´cula e´, enta˜o, liberada, sendo repeli-
da pela primeira. Determine sua velocidade no instante
em que ela se encontra a uma distaˆncia v
Y
de
Æ
. Dados:
!ˆ�÷I
o�p C; V � "	� mg; v
�
�
��
 2��
mm e v
Y
�
"9
\
mm.
� Pela lei da conservac¸a˜o da energia, temos:
�
<	w„t
5
!
Y
v
�
� �
�
�
<�w„t
5
!
Y
v
Y
�
VsW>Y
"
Donde se conclui que
W
Y
�
"
V
!
Y
<�w„t
5¹¢
�
v
�
f
�
v
Y
£
Substituindo os dados nume´ricos, obtemos a seguinte
resposta:
W
�
"9
 <�@%$7�8�
]
m/s 
P 26-65.
Duas pequenas esferas de metal de massa V
�
�§\ g e
massa V
Y
�
��� g teˆm cargas positivas iguais, !j�¦\
p C. As esferas esta˜o ligadas por uma corda de massa
desprezı´vel e de comprimento �O� � m, que e´ muito
maior que o raio das esferas. (a) Calcule a energia po-
tencial eletrosta´tica do sistema. (b) Qual e´ a acelerac¸a˜o
de cada uma das esferas no instante em que cortamos o
fio? (c) Determine a velocidade de cada uma das esferas
muito tempo depois do fio ter sido cortado.
� (a) A energia potencial inicial e´ dada por
( inicial �
�
<	w„t
5
!
Y
�
�
�/
#"	"
\ J 
(b) A forc¸a
ö
existente depois do fio ser cortado e´ dada
pela forc¸a de interac¸a˜o Coulombiana. Portanto,ö
�
�
<	w„t
5
!
Y
�
Y
�
�/
#"	"=<
[B\ N 
De acordo com a Terceira Lei de Newton, esta forc¸a e´ a
mesma (em mo´dulo) para as duas esferas. Portanto, as
magnitudes das acelerac¸o˜es sa˜o dadas por
Ñ
�
�
ö
V
�
�
<
\
 �
m/s Y
’
Ñ
Y
�
ö
V
Y
�
"�"9
\ m/s Y 
(c) Muito tempo depois do fio ser cortado, as esferas
esta˜o suficientemente afastadas de modo que a ener-
gia potencial e´ igual a zero. Neste caso, pela Lei da
Conservac¸a˜o de energia, temos:
( final �
�
"
V
�
W
Y
�
�
�
"
V
Y
W
Y
Y
Da conservac¸a˜o do momento linear sabemos que � �
V
�
W
�
f
V
Y
W
Y
e, como temos V
�
�
V
Y
�
"
, segue que
W
�
�
"
W
Y
. Substituindo-se este valores de W
�
e V
�
na
expressa˜o da energia final ( final acima encontramos fi-
nalmente que
( final �
I
"
V
Y
W
Y
Y
�¡( inicial �
��
 "�"
\
Portanto,
W
Y
�MI
 @
[BI m/s
’
W
�
�
"
W
Y
�¡[
[
<3-
m/s 
P 26-70.
� Considere a energia potencial como sendo zero quan-
do o ele´tron que se move estiver muito distante dos
ele´trons fixos e use o princı´pio de conservac¸a˜o da ener-
gia.
A energia potencial final e´ ( … � " * Y �/, <�wyx
5
�30 , onde �
e´ a metade da distaˆncia entre os ele´trons.
A energia cine´tica inicial e´ T ò � VXW3Y � " , onde W e´ a
velocidade inicial e V a massa do ele´tron que se move.
A nergia cine´tica final e´ zero.
Portanto, T{òÒ�M(–… ou, isto e´, VXW3Y � " � " * Y �9, <	wyx �>0
’
de
onde se obte´m
W
��ø
<
*
Y
<�wyx
5
V
�
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Y
m/s 
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 12 de 43
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, a`s 16:08
26.2.8 Um condutor isolado
P 26-75.
Qual e´ a carga sobre uma esfera condutora de raio
vd�
�/
o�
\ m sabendo-se que seu potencial e´ � \ �	� V e
que ��� � no infinito?
� Sendo zero o potencial no infinito, o potencial na su-
perfı´cie da esfera e´ �´�Á!	�/, <	wyx
5
v=0 , onde ! e´ a carga
sobre a esfera e v o seu raio. Portanto
!D�
<�wyx
5
���
,
�/
o�
\ m 01,
�
\
�	� V 0
2�
 ��$&���
'7ù
C
V
Y
�	m
Y
�
"/
\
$)���9.
? C 
P 26-79.
Duas esferas meta´licas teˆm raio de I cm e cargas de
����$Q���
.
?
C e fªI $ �8� .
?
C. Suponha que estas car-
gas estejam distribuı´das de maneira uniforme e que os
centros das esferas estejam afastados " metros um do
outro. Sendo assim, calcule: (a) o potencial do ponto
situado a` meia distaˆncia entre os centros das esferas e
(b) o potencial de cada esfera.
� (a) No ponto situado a` meia distaˆncia, o potencial e´
dado por
� �
�
<	w„t
5¹¢
���D$&���
.
?
�
m
�
fªI
$7�8�
.
?
�
m £
�
2�$&���
'
$
,6f
"
0
$7�8�9.
?
��f
��@�� V 
(b) Como � e´ muito maior que v , para calcular o po-
tencial de cada esfera podemos desprezar a influeˆncia
mu´tua entre as esferas. Portanto,
�
�
�
�
<�w„t
5
!
�
v
�
2�$7�8�
'
,
�$&���
.
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0
I
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Y
� I
�	��� V
’
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Y
�
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5
!
Y
v
�
2�$7�8�
'
,6fªI
$&���
.
?
0
I
$7�8�
.
Y
� f
2	�	��� V 
26.2.9 O acelerador de van de Graaff
P 26-84.
� (a)
TÚ�
"
Ñ9��� �
"
,
�	
 -�$&���9.
�
' C 0;, �	
 ��$7�8�	¶ V 0
� I
 "%$&��� .
�
Y J 
(b)
T¦�OÑ9��� � ,
�	
 -�$7�8�9.
�
' C 0;, ��
 ��$&����¶ V 0
�
��
 -�$&���/.
�
Y J 
(c) Como TÚ� VXW Y � " , temos
W
�
Z
"
T
V
�
Z
"
!B���
V
Como a partı´cula ú tem o dobro da carga de um pro´ton
e
<
vezes mais massa, a raza˜o das velocidades finais e´
W8û
�
W	ü
�¡Ç
"
. Para ����� �8� ¶ Volts, temos
W8û
�
��
 <�$&����—
m/s W	ü � 2/
 @�$&����¶ m/s 
P 26-86.Um eletrodo de alta voltagem de um acelerador ele-
trosta´tico e´ uma casca esfe´rica meta´lica, carregada, que
possui um potencial �ý� �¹2/
 � MV. (a) Descargas
ele´tricas ocorrem no ga´s desta ma´quina num campo
�
�8�	� MV/m. Que restric¸a˜o a respeito do raio v
da casca deve ser feita para evitar que tais descargas
acontec¸am? (b) Uma longa correia de borracha em mo-
vimento transporta cargas para a casca a I ����p C/s, e o
potencial da casca permanece constante devido ao es-
coamento. Qual e´ a poteˆncia mı´nima necessa´ria para
transportar a carga? (c) A correia tem largura ô � ��
 \ �
m e se movimenta com velocidade W �¯I � m/s. Deter-
mine a densidade superficial de carga sobre a correia.
� O potencial da esfera e´ dado por �`�¡!	�9, <�w„t
5
vB0 e o
campo ele´trico nas vizinhanc¸as da superfı´cie externa da
esfera e´ dado por 
 �ffi!	�9, <	w„t
5
v
Y
0 . Portanto,
�O���=v .
Para um valor
š
�8�
?
V/m, e´ necessa´rio que
v�
�
�Ü,
2�$&����¶
0;,
���9.
?
0}�
�/
 �	2
m �
2
cm
(b) O trabalho realizado pela forc¸a externa para carregar
a esfera com uma carga total ^ e´ dado por L �¾^4� .
Portanto, a poteˆncia
Æ
fornecida para o gerador ele-
trosta´tico deve ser dada por
Æ
�
�
L
��F
�O�
�3^
��F
�
"
[
��� W � "/
 [ kW 
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 13 de 43
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, a`s 16:08
(c) Sendo n a densidade superficial de cargas e ¿ o com-
primento da correia, encontramos ^™� n b»� n , ô ¿†0 
Com isto
�>^
�	F
�
n
�	¿
�	F
�
n
ôªW
Donde se conclui que
n
�
�>^4�B�	F
ôÅW
�
"%$&��� .
K C/m Y � "	�Hp C/m Y 
26.2.10 Problemas Adicionais
P 26-89.
Duas cargas iguais � ! esta˜o fixas nas extremidades de
uma linha de comprimento " Ñ . Uma carga � ^ , de mas-
sa V , e´ colocada no centro da linha e pode mover-se
livremente. (a) mostre que o movimento de ^ e´ insta´vel
para pequenos deslocamentos perpendiculares a´ linha, e
esta´vel para pequenos deslocamentos ao longo da linha.
(b) Se a carga ^ for deslocada, ao longo da linha, por
uma distaˆncia ¿Oš`Ñ , qual sera´ o potencial ele´trico no
local de ^ , devido a´s duas cargas � ! ? (c) Aplique a ex-
pansa˜o binomial a´ expressa˜o desse potencial e retenha
somente o termo de mais baixa ordem em ¿ . A seguir,
determine o mo´dulo da forc¸a eletrosta´tica que atua sobre
^ na posic¸a˜o ¿ . (d) Se a carga ^ for abandonada nesta
posic¸a˜o ¿ , qual sera´ a frequ¨eˆncia angular da oscilac¸a˜o
resultante de ^ em torno do centro da linha?
� (a)
26.2.11 Problemas da terceira edic¸a˜o do livro-texto
E 26-64.
Duas esferas condutoras, ideˆnticas, de raio vO� ��
a� \
cm, esta˜o afastadas por uma distaˆncia ш� ��� m. Qual
e´ a carga de cada esfera se o potencial de uma delas e´
���
\
�	� V e o da outra f � \ ��� V? Que suposic¸o˜es foram
feitas?
� Como vDÕÓÑ , podemos supor que as duas esferas pos-
suem uma distribuic¸a˜o uniforme de cargas, uma vez que
podemos desprezar a ac¸a˜o do campo ele´trico de uma das
esferas sobre a outra esfera. Portanto,
���
�
<�w„t
5
!
v
�¡þ
�
\
��� V 
Donde se conclui que para v� ��
a� \ m, as cargas valem
!D�¨þ
"
\ nC.
P 26-29 ß .
Uma grossa camada esfe´rica, com densidade de carga
uniforme, e´ limitada pelos raios v
�
e v
Y
, onde v
Yz¬
v
�
.
Calcule o potencial ele´trico � em func¸a˜o da distaˆncia v
ao centro da distribuic¸a˜o, considerando as regio˜es onde:
(a) v
¬
v
Y
; (b) v
Y7¬
v
¬
v
�
e (c) vQš§v
�
. (d) Estas
soluc¸o˜es concordam se vD�ffiv
Y
e se v�ffiv
�
?
� (a) Seja ^ a carga total contida na camada esfe´rica.
Para v
¬
v
Y
e´ claro que o potencial � e´ dado pelo po-
tencial de uma carga puntiforme, portanto,
���
^
<�w„t
5
v
A carga total tambe´m pode ser expressa em func¸a˜o da
densidade de cargas « de seguinte modo:
^l�M~ƒ«3�>� � «
$
, volume da camada esfe´rica 0
� «
$
<
I
w
,|v
]
Y
f&v
]
�
0
Sobre a superfı´cie da camada esfe´rica, o potencial �
calculado acima fornece
�
€
²
�
^
<	w„t
5
v
Y
�
«
I
t
5¢
v
Y
Y
f
v
]
�
v
Y
£
(b) Para determinar o potencial �
€
na regia˜o entre v
�
e
v
Y
, e´ conveniente utilizar a Eq. 26-8,
�h…fd�hò‘�lfˆ~
…
ò��
C1���
Considere um caminho retilı´neo ligado a um ponto da
superfı´cie a um ponto situado a uma distaˆncia v do cen-
tro da esfera. Logo, integrando a Eq. 26-8 entre estes
limites, encontramos:
�
€
fj�
€
²
�Rf
~
€
€6²
�
C ���
Para determinar o campo ele´trico entre v
�
e v
Y
e´ conve-
niente utilizar a Lei de Gauss. Construa uma superfı´cie
gaussiana esfe´rica de raio igual a v . De acordo com a
figura indicada na soluc¸a˜o deste problema, vemos que
existe uma carga total ^
�
no interior desta superfı´cie
gaussiana esfe´rica. Portanto, aplicando a Lei de Gauss,
podemos escrever a seguinte relac¸a˜o:
,
<	w
v
Y
0}�
^
�
t
5
�
«
t
5
$
� camada
’
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 14 de 43
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, a`s 16:08
onde � camada representa o volume da camada esfe´rica que
conte´m a carga ^
�
.
Portanto, podemos escrever a seguinte relac¸a˜o para o
mo´dulo do campo ele´trico:
�
«
I
t
5
v
Y
,fiv
]
f7v
]
�
0
Para integrar �
€
fñ�
Y
�÷f Þ
€
€ ²
�
C ��� note que o campo
ele´trico E e´ orientado para fora enquanto que o percurso
escolhido (de v
Y
ate´ v ) esta´ orientado para dentro. No-
te tambe´m que �����¾fª�	v (porque quando � aumenta a
distaˆncia ate´ o centro v diminui). Portanto, levando em
conta a relac¸a˜o tirada da Eq. 8 e a acima citada, temos:
�
€
� �
€6²
fQ~ €
€6²
¢
«
I
t
5
v
Y
,fiv
]
f7v
]
�
0
£
��v
’
� �
€6²
f
«
I
t
5¢;Ž
v
Y
"
f
v
Y
Y
"

�
v
]
�
Ž
�
v
f
�
v
Y
†£
Substituindo o resultado encontrado anteriormente para
�
Y
na relac¸a˜o acima, encontramos a seguinte resposta
para o potencial �
€
em func¸a˜o de v para a regia˜o entre
v
�
e v
Y
:
�
€
�
«
I
t
5
¢
IBv
Y
Y
"
f
v
Y
"
f
v
]
�
v
£
Caso voceˆ deseje obter �
€
em termos da carga total ^
da camada esfe´rica, basta substituir « por ^ usando a
relac¸a˜o encontrada entre estas grandezas no item (a).
(c) Em todos os pontos da cavidade, como na˜o existe ne-
nhuma carga nesta regia˜o e levando em conta a simetria
esfe´rica, concluimos que o potencial e´ constante e igual
ao potencial na superfı´cie esfe´rica de raio v
�
. Em ou-
tras palavras, concluimos que todo o volume delimitado
pela superfı´cie esfe´rica de raio v
�
e´ um volume equ¨ipo-
tencial. Este potencial comum e´ igual ao potencial na
superfı´cie esfe´rica de raio v
�
, ou seja, fazendo v�§v
�
na relac¸a˜o encontrada para �
€
encontramos a resposta:
�
€
ã
�
«
"	t
5¢
v
Y
Y
f7v
Y
�
£
Caso voceˆ deseje obter �
�
em termos da carga total ^
da camada esfe´rica, basta usar a relac¸a˜o para ela, encon-
trada no item (a).
(d) Fac¸a vs��v
Y
na expressa˜o para �
€
, item (b), e voceˆ
encontrara´ o potencial na superfı´cie esfe´rica de raio v
Y
,
ou seja, voceˆ encontrara´ o potencial na superfı´cie exter-
na da camada esfe´rica pela relac¸a˜o �
Y
[item (a)]. Fac¸a
vQ�Úv
�
na expressa˜opara �
€
e voceˆ encontrara´ o po-
tencial na superfı´cie esfe´rica de raio v
�
, ou seja, voceˆ
encontrara´ o resultado �
�
(item (c)).
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27 Capacitaˆncia
27.1 Questo˜es
Q 27-3.
Uma folha de alumı´nio de espessura desprezı´vel e´ co-
locada entre as placas de um capacitor, como mostra
a Fig. 27-18. Que efeito ela produzira´ sobre a capa-
citaˆncia se (a) a folha estiver eletricamente isolada e (b)
a folha estiver ligada a` placa superior?
� (a) Como a folha e´ meta´lica, aparecera˜o cargas in-
duzidas em ambos lados dela, transformando assim o
capacitor original em uma associac¸a˜o em se´rie de dois
capacitores cuja distaˆncia entre as placas e´ a metade da
distaˆncia original “d”:
m c/folha �
�
�
�Jff
g
¼
���
¼
Y
	
�
�
�Jff
g
¼
���
¼
Y�	
�
t
5
b
�9�
"ª�
�>�
"
�
t
5
b
�
Esta capacitaˆncia coincide com a capacitaˆncia origi-
nal. Logo, na˜o existe alterac¸a˜o da capacitaˆncia pela
introduc¸a˜o da folha meta´lica a meia distaˆncia.
(b) O efeito e´ reduzir a distaˆncia � , entre as placas, pela
metade. Ou seja, duplicar a capacitaˆncia original.
Q 27-6.
Considere um capacitor de placas paralelas, com placas
quadradas de a´rea b e separac¸a˜o � , no va´cuo. Qual e´
o efeito qualitativo sobre sua capacitaˆncia, de cada uma
das seguinte operac¸o˜es: (a) Reduzir � . (b) Introduzir
uma placa de cobre entre as placas, sem toca´-las. (c) Du-
plicar a a´rea de ambas as placas. (d) Duplicar a a´rea de
apenas uma das placas. (e) Deslizar as placas paralela-
mente uma a` outra, de modo que a a´rea de superposic¸a˜o
seja, digamos, \ �
� do seu valor original. (f) Duplicar a
diferenc¸a de potencial entre as placas. (g) Inclinar uma
das placas de modo que a separac¸a˜o permanec¸a � numa
das extremidades, mas passe a �9� " na outra.
� (a) A capacitaˆncia aumenta. Para verificar isto, use a
relac¸a˜o mR� x
5
b¹�=� .
(b) A capacitaˆncia aumenta. Para verificar esta
afirmac¸a˜o, note que a nova capacitaˆncia dada pela
relac¸a˜o mî� x
5
b¹�/,fi�4f7F³0 , onde � e´ a distaˆncia entre
as placas e F e´ a espessura da placa introduzida. O efei-
to e´ pequeno quando F for muito menor que � . Tudo
se passa como se a nova distaˆncia entre as placas fosse
,J�f&F³0 .
(c) A capacitaˆncia dobra.
(d) A carga sobre a placa maior se distribuira´ numa a´rea
maior. Portanto, a densidade de carga sobre a placa
maior e´ n � " , onde n e´ a densidade de carga sobre a pla-
ca menor. O campo ele´trico deixara´ de ser uniforme e,
como as linhas de forc¸a ficam afastadas, concluı´mos que
o campo ele´trico torna-se menor e a diferenc¸a de poten-
cial tambe´m diminui. Como mR�O!	�	� , concluı´mos que
a capacitaˆncia aumenta. Contudo este efeito e´ muito
pequeno.
(e) Como a a´rea torna-se igual b�� " , sendo b a a´rea ini-
cial, concluı´mos que a capacitaˆncia se reduz aproxima-
damente a \ ��� do valor inicial (a capacitaˆncia na˜o se
reduz exatamente a \ ��� do valor inicial devido ao efei-
to de borda).
(f) O valor de m permanece inalterado. A carga tambe´m
dobra.
(g) A capacitaˆncia aumenta. Pense numa associac¸a˜o em
paralelo de capacitores, sendo que para cada capacitor
a distaˆncia entre as placas vai diminuindo de � ate´ �>� " .
Ao diminuir a distaˆncia entre as placas, a capacitaˆncia
de cada capacitor vai aumentando. Donde se conclui
que a capacitaˆncia total e´ bastante maior do que a capa-
citaˆncia do capacitor de placas paralelas.
Q 27-14.
Um objeto diele´trico experimenta uma forc¸a lı´quida
quando e´ submetido a um campo ele´trico na˜o-uniforme.
Por que na˜o ha´ uma forc¸a lı´quida quando o campo e´ uni-
forme?
� Num campo ele´trico uniforme a polarizac¸a˜o tambe´m
e´ uniforme, de modo que o diele´trico funciona como se
fosse um corpo carregado apenas na sua superfı´cie ex-
terna. A carga total e´ nula, ou seja, as cargas superficiais
sa˜o iguais e contra´rias. Portanto, a forc¸a total que age
sobre o diele´trico e´ igual a zero.
Q 27-17.
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Um capacitor de placas paralelas e´ carregado por meio
de uma bateria que, logo a seguir, e´ retirada. Uma
laˆmina diele´trica e´, enta˜o, introduzida entre as placas
do capacitor. Descreva qualitativamente o que acontece
com a carga, a capacitaˆncia, a diferenc¸a de potencial, o
campo ele´trico, a energia armazenada e com a laˆmina.
� A carga ! nas placas permanece inalterada quando a
bateria e´ removida (Lei da Conservac¸a˜o da Carga).
Sendo m
5
o valor da capacitaˆncia antes de se introduzir
o diele´trico, o novo valor da capacitaˆncia sera´ dado por
m����hm
5
. Se �
¬
�
, enta˜o a capacitaˆncia ira´ aumentar.
Se �Ú � , enta˜o a capacitaˆncia ira´ diminuir.
Como ! permanece constante (apo´s a retirada da bateria)
e devemos sempre satisfazer a relac¸a˜o !���mD� , vemos
que uma alterac¸a˜o para ml���†m
5
da capacitaˆncia impli-
ca na necessidade da nova diferenc¸a de potencial passar
a ser �™�ƒ�
5
��� , onde �
5
representa o valor do poten-
cial antes de introduzir-se o diele´trico. Somente assim
iremos garantir que o produto mD� permanec¸a constan-
te. Note que o potencial podera´ tanto aumentar quanto
diminuir, dependendo se �Mš � ou �
¬
�
, respectiva-
mente.
O campo ele´trico resultante
�
entre as placas diminui:
�
�
�
5
f
�
½ , onde
�
½ e´ o campo oposto a
�
5
produzido
pelas cargas superficiais ! ½ induzidas no diele´trico.
O diele´trico fica polarizado. O livro-texto discute bem
isto...
Dito de outro modo: As cargas de polarizac¸a˜o na su-
perfı´cie do diele´trico sa˜o negativas para a superfı´cie
pro´xima da placa positiva. Sendo assim, concluı´mos
que o campo ele´trico entre as placas diminui. Como
a diferenc¸a de potencial e´ igual 
 � , a diferenc¸a de po-
tencial tambe´m diminui. Como m �Ó!	�B� , e a carga
! permanece constante, concluı´mos que a capacitaˆncia
m aumenta. Conforme sabemos, a energia ele´trica ar-
mazenada entre as placas de um capacitor e´ dada por:
( � !
Y
�
"
m . Portanto, concluı´mos que a energia
ele´trica armazenada entre as placas do capacitor dimi-
nui. Para entender qualitativamente esta diminuic¸a˜o de
energia, fac¸a o seguinte raciocı´nio: a placa e´ atraı´da pa-
ra o interior do capacitor de modo que o agente externo
precisa realizar um trabalho negativo sobre a placa pa-
ra introduzi-la no interior do capacitor com velocidade
constante.
Q 27-18.
Enquanto um capacitor permanece ligado a uma bate-
ria, uma laˆmina diele´trica e´ introduzida entre as placas.
Descreva qualitativamente o que acontece com a carga, a
capacitaˆncia, a diferenc¸a de potencial, o campo ele´trico,
e a energia armazenada. ´E necessa´rio a realizac¸a˜o de
trabalho para introduzir a laˆmina?
� A carga ! livre nas placas aumenta pois a bateria
esta´ ligada; a capacitaˆncia aumenta para m���†m
5
; a
diferenc¸a de potencial na˜o muda pois e´ mantida constan-
te pela bateria. O campo ele´trico
�
resultante tambe´m
permanece constante pois � �SfˆÞ
�
Cy�
�
Ö , ou seja,
�`�
� , onde � e � (que e´ a distaˆncia constante entre
as placas) sa˜o constantes. A energia (™�¾! Y �9, " mD04�
mD�
Y
�
"
�O!B�Ÿ�
"
aumenta pois � e´ constante mas m e !
aumentam.
A forc¸a externa realiza um trabalho [para introduzir o
diele´trico com velocidade constante]:
L
�¡~
�
ö
ext C��
�
ÖÏ�¡~
ö
ext �
Œ
ê1ë�ì
�8@	���
� ��� �
�
.
�
š
�
’
de modo que
� Energiatotal �O�)( capacitor
� ��� �
ff
5
�
Lflfi
ext
� ��� �
ffi
5
��
’
princı´pio da conservac¸a˜o da energia.
27.2 Problemas e Exercı´cios
27.2.1 Capacitaˆncia
E 27-1.
Um eletroˆmetro e´ um instrumento usado para medir car-
ga esta´tica: uma carga desconhecida e´ colocada sobre as
placas do capacitor do medidor e a diferenc¸a de poten-
cial e´ medida. Que carga mı´nima pode ser medida por
um eletroˆmetro com uma capacitaˆncia de \ � pF e uma
sensibilidade a` voltagem de ��
a� \ V?
�
!D�MmD���M\
��$&���
.
�
Y
$�/
o�
\ý� [
\
$&���
.
�
Y C
� [
\ pC 
Como a magnitude da carga elementar e´ *� �	
 -„$Ï��� .
�
'
C, vemos que a carga mı´nima acima corresponde a ter-
mos

�
[
\
$&�8�
.
�
Y
�	
 -%$&�8�
.
�
'
�
<�-%$&���
¶
�
<�-
milho˜es de cargas elementares
sobre as placas do capacitor. Mesmo sendo um valor
‘mı´nimo’, o nu´mero de cargas ainda e´ enorme!
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E 27-3.
O capacitor da Fig. 27-22 tem uma capacitaˆncia de " \
pF e esta´ inicialmente sem carga. A bateria fornece uma
diferenc¸a de potencial de �8"	� V. Apo´s a chave � ter fica-
do fechada por um longo tempo, quanta carga tera´ pas-
sado atrave´s da bateria?
� Da relac¸a˜o entre carga e ddp, Eq. 1, encontramos:
!�OmD���
"
\
$&��� .†¶ $7�N"B�
�ffiI
$&��� .†] C �ffiI mC 
27.2.2 Ca´lculo da capacitaˆncia
E 27-5.
Um capacitor de placas paralelas possui placas circula-
res de raio @/
#" cm e separac¸a˜o �	
 I mm. (a) Calcule a
capacitaˆncia. (b) Que carga aparecera´ sobre as placas se
a ddp aplicada for de �N"B� V?
� (a)
mR�
t
5
b
�
�
@/
 @
\
$&���/.
�
Y
w
,
@�
 "%$&���
.
Y
0
Y
�	
I
$7�8�
.y]
�
�	
 <	<�$&���/.
�65
�
�1<�< pF 
(b)
!��¨mD���
��<	<�$&���9.
�
Y
$&�8"	�
�
�	
[=I
$&���/.
?
�
�
[
I nC 
E 27-7.
A placa e o catodo de um diodo a va´cuo teˆm a forma
de dois cilindros conceˆntricos com a catodo sendo o ci-
lindro central. O diaˆmetro do catodo e´ de �	
 - mm e o
diaˆmetro da placa e´ de ��@ mm; os dois elementos teˆm
comprimento de "9
 < cm. Calcular a capacitaˆncia do dio-
do.
� Para um capacitor cilı´ndrico (com ћš! ) temos da
Eq. 27-14 ou da Tabela 1:
mR�
"=w„t
5
P
ÍoÎ
," 1�=Ñ90
� \
\
��$7�8�9.
�
] F
�
��
\�\
� pF 
P 27-12.
Calculamos, na Sec¸a˜o 27-3, a capacitaˆncia de um capa-
citor cilı´ndrico. Usando a aproximac¸a˜o
ÍoÎ
,
��
¿†0ªAR¿ ,
quando ¿ Õ � (veja o Apeˆndice G), mostre que ela se
aproxima da capacitaˆncia de um capacitor de placas pa-
ralelas quando o espac¸amento entre os dois cilindros e´
pequeno.
� A capacitaˆncia em questa˜o e´ dada por
mR�
"Bw„t
5
P
ÍaÎ
¤
#
$
¥
Chamando-se de � o espac¸amento entre os dois cilin-
dros, temos que Ï�ffiÑ � � .
m �
"=w„t
5
P
ÍaÎ
¤
#
$
¥
�
"=w„t
5
P
ÍaÎ
¤
$
ä
�
$
¥
�
"=w„t
5
P
ÍaÎ
¤
���
�
$
¥
A
"=w„t
5
P
�>�BÑ
�
t
5
"Bw
Ñ>P
�
�
t
5
b
�
’
onde b&% "Bw Ñ3P e´ a a´rea das placas e a aproximac¸a˜o foi
feita supondo-se que Ñ%� .
P 27-13.
Suponha que as duas cascas esfe´ricas de um capacitor
esfe´rico tenham aproximadamente raios iguais. Sob tais
condic¸o˜es, tal dispositivo se aproxima de um capacitor
de placas paralelas com †f)Ñ%�ffi� . Mostre que a Eq. 27-
17 se reduz, de fato a` Eq. 27-9, nesse caso.
� A capacitaˆncia do capacitor esfe´rico em questa˜o e´
m¡�
<	w„t
5
Ñ' 
 �f&Ñ
Chamando-se de v os dois raios supostos aproximada-
mente iguais, segue que Ñ
 ¯ASv Y . Por outro lado,
 �fdÑ%�O� . Portanto,
mR�
<�w„t
5
Ñ
 
 –fdÑ
A
t
5
<	w
v
Y
�
�
t
5
b
�
’
onde b&% <�w v Y e´ a a´rea das placas.
P 27-14.
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Um capacitor foi construido para operar com uma capa-
citaˆncia constante, em meio a uma temperatura varia´vel.
Como se demonstra na Fig. 27-23, o capacitor e´ do tipo
de placas paralelas com “separadores” de pla´stico para
manter as placas alinhadas. (a) Mostre que a taxa de
variac¸a˜o da capacitaˆncia m com a temperatura ( e´ dada
por
�>m
��(
�Om
Ž
�
b
�3b
��(
f
�
¿
�	¿
��(z+’
onde b e´ a a´rea de cada placa e ¿ a separac¸a˜o entre as
placas. (b) Se as placas forem de alumı´nio, qual devera´
ser o coeficiente de expansa˜o te´rmica dos separadores a
fim de que a capacitaˆncia na˜o varie com a temperatura?
(Ignore o efeito dos separadores sobre a capacitaˆncia.)
� (a) A capacitaˆncia m e´ uma func¸a˜o de duas vara´veis:
(i) da a´rea b das placas e (ii) da distaˆncia ¿ entre as
placas:
mR�
t
5
b
¿
Portanto, a disciplina de Ca´lculo nos ensina que as
variac¸o˜es da capacitaˆncia m com a temperatura ( sa˜o
determinadas pela equac¸a˜o
�3m
��(
�
Ø
m
Ø
b
�3b
��(
�
Ø
m
Ø
¿
��¿
��(
Calculando-se as derivadas parciais, encontramos
Ø
m
Ø
b
�
t
5
¿
�
m
b
’
Ø
m
Ø
¿
� f
t
5
b
¿
Y
��f
m
¿
’
que, substituidas da expressa˜o para �>m¹�B��( acima, nos
fornecem
�>m
��(
�
Ø
m
Ø
b
��b
��(
�
Ø
m
Ø
¿
��¿
��(
�
m
b
�3b
��(
f
m
¿
�	¿
��(
� m
Ž
�
b
�3b
��(
f
�
¿
�	¿
��(z‘’
que e´ o resultado pedido.
(b) Da Eq. 19-9 sabemos que a variac¸a˜o �%P de um com-
primento P qualquer quando submetido a uma variac¸a˜o
�)( de temperatura e´ dado pela equac¸a˜o
�%P �MP–ú+�)(
’
onde ú e´ o chamado ‘coeficiente de expansa˜o te´rmica’
do material em questa˜o. Esta equac¸a˜o pode tambe´m ser
re-escrita como
�
P
�%P
�*(
�Oú
ž
onde ú‘ž ja´ representa agora o valor do coeficiente de
expansa˜o te´rmica do separador.
Analogamente (veja o Exercı´cio 19-37), a variac¸a˜o ��b
de uma a´rea b em func¸a˜o de uma variac¸a˜o �)( de tem-
peratura pode ser escrita como
�
b
�%b
�)(
�
"
ú Al
’
onde ú Al �
<3-s$�
.†¶ / � C representa o coeficiente de
expansa˜o te´rmica do alumı´nio (veja a Tabela 19-3) de
que sa˜o feitas as placas, e o fator " leva em conta a bidi-
mensionalidade das a´reas.
Para que a capacitaˆncia na˜o varie com temperatura e´
preciso que �3m��=��(ffi� � , ou seja, que
�
b
��b
��(
f
�
¿
�	¿
��(
�
"
ú Al fdú‘žÏ�
�
’
onde consideramos variac¸o˜es ��b e �*( infinitesimais.
Da igualdade mais a` direita vemos que, para evitar
variac¸o˜es de m com ( , o coeficiente de expansa˜o
te´rmica dos separadores devera´ ser escolhido tal que
ú‘žq�
"
ú Al �
2�"�$7�8�
.y¶ / � C 
27.2.3 Capacitores em paralelo e em se´rie
E 27-15.
Quantos capacitores de �ªp F devem ser ligados em pa-
ralelo para acumularem uma carga de � C com um po-
tencial de �	��� V atrave´s dos capacitores?
� Para poder armazenar � C a ����� V a capacitaˆncia
equivalente do arranjo a ser construido devera´ ser:
m
õ
fl
�
!
�
�
�
�	�8�
A
2	��2/�p F 
Para uma conexa˜o em paralelo sabemos que m õ
fl
�

m
onde m e´ a capacitaˆncia individual de cada capacitor a
ser usado. Portanto, o nu´mero total de capacitores sera´:

�
m
õ
fl
m
�
2	��2/�¹p F
�Dp F
�
2��	2/��
E 27-16.
Na Fig. 27-24, determine a capacitaˆncia equivalente da
combinac¸a˜o. Suponha m
�
�
���ˆp F, m
Y
� \
p F e
m
]
�
<Åp F.
http://www.if.ufrgs.br/� jgallas Pa´gina 19 de 43
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 3 de Dezembro de 2005, a`s 16:08
� Os capacitores m
�
e m
Y
esta˜o em paralelo, formando
um capacitor equivalente m
�
Y
que, por sua vez, esta´ em
se´rie com m ] . Portanto, a capacitaˆncia equivalente total
e´ dada por
m eq �
m
�
Y
$
m
]
m
�
Y
�
m
]
�
,
����
\	0
$X<
,
����
\	0
�Q<
�
-��
�82
AMI
o�
\
p F 
E 27-17.
Na Fig. 27-25, determine a capacitaˆncia equivalente da
combinac¸a˜o. Suponha m
�
�
���·p F, m
Y
�U\
p F e
m
]
�
<Åp F.
� Os capacitores m
�
e m
Y
esta˜o em se´rie. Portanto
m
�
Y
�
�
�
�:5
�
�
K
�
���
I
p F 
O capacitor equivalente total e´ dado pela ligac¸a˜o em pa-
ralelo de m
�
Y
e m ] :
m
õ
fl
�
�8�
I
�Q<
�
�8�
I
�
�N"
I
�
"	"
I
A¡[
I	I
p F 
E 27-18.
Cada um dos capacitores descarregados na Fig. 27-26
tem uma capacitaˆncia de " \ p F. Uma diferenc¸a de po-
tencial de <3"B��� V e´ estabelecida quando a chave e´ fecha-
da. Quantos coulombs de carga passam enta˜o atrave´s do
amperı´metro b ?
� Basta usar a fo´rmula !&�Úm
õ
fl
� , onde m õ
fl
e´ o ca-
pacitor equivalente da ligac¸a˜o em paralelo, m õ
fl
�±I3m ,
onde mƒ� " \ p F, e �÷� <>"B��� Volts. Portanto, a carga
total medida e´
!D�OI
$·"
\
$&���
.†¶
$X<3"B���
�MI
�
\ mC 
P 27-19.
Uma capacitaˆncia m
�
�
-sp F e´ ligada em se´rie com
uma capacitaˆncia m
Y
�
<{p F e uma diferenc¸a de po-
tencial de "B��� V e´ aplicada atrave´s do par. (a) Calcule
a capacitaˆncia equivalente. (b) Qual e´ a carga em cada
capacitor? (c) Qual a diferenc¸a de potencial atrave´s de
cada capacitor?
� (a) A capacitaˆncia equivalente e´
m
õ
fl
�
�
�
�
-ª�ffi�
�
<
�
"=<
<� -
�
�N"
\
p F 
(b) A carga no capacitor equivalente e´
!��¨m
õ
fl
���
�8"�$&���
.y¶
\
$Ã"	�	�
�
��
 <3@%$7�8� .†] C 
Como os capacitores esta˜o em se´rie, este valor e´ o
mo´dulo da carga que esta´ sobre cada uma das placas
dos dois capacitores. Ou seja, !
�
�M!
Y
�
�/
 <�@
mC. (c)
�
�
�
!
�
m
�
�
�/
 <�@%$&���
.y]
-�$&���
.†¶
�
@	� Volts
’
e
�
Y
�
!
Y
m
Y
�
�/
 <�@%$7�8�
.y]
<)$&���
.†¶
�
�8"	� Volts 
P 27-26.
A Fig. 27-28 mostra dois capacitores em se´rie, cuja
sec¸a˜o central, de comprimento , pode ser deslocada
verticalmente. Mostre que a capacitaˆncia equivalente
dessa combinac¸a˜o em se´rie e´ independente da posic¸a˜o
da sec¸a˜o central e e´ dada por
mR�
t
5
b
Ñ4f+ 
� Chamando-se de � a distaˆncia entre as placas da par-
te superior da figura, obtemos as seguintes expresso˜es
para as capacitaˆncias individuais de cada um dos dois
capacitores:
m
�
�
t
5
b
�
’
m
Y
�
t
5
b
Ñ4f, �f&�
Ligando-os em se´rie obtemos
m
õ
fl
�
�
�
i
ã
�
�
i
²
�
�
�
�
ff
g
�
$
.
#
.
�
�
ff
g
�
t
5
b
Ñ4f+ 
Desta expressa˜o vemos que a capacitaˆncia equivalente
na˜o depende de � , ou seja, na˜o depende da posic¸a˜o da
sec¸a˜o reta central.
P 27-28.
Na Fig. 27-29, os capacitores m
�
�
�Ïp F e m
Y
�ÜI
p F
sa˜o ambos carregados a um potencial �™� �8�	� V mas
com polaridades opostas, como e´ mostrado. As chaves
�
�
e �
Y
sa˜o, enta˜o fechadas. (a) Qual e´ a diferenc¸a de
potencial entre os pontos Ñ e ? (b) Qual e´ a carga sobre
m
�
? (c) Qual e´ a carga sobre m
Y
?
� (a) Apo´s as chaves serem fechadas as diferenc¸as de
potencial sa˜o as mesmas e os dois capacitores esta˜o em
paralelo. A ddp de Ñ ate´ e´ � $ # �Ú^��Bm õ
fl
, one ^ e´
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a carga lı´quida na combinac¸a˜o e m õ
fl
e´ a capacitaˆncia
equivalente.
A capacitaˆncia equivalente e´
m
õ
fl
�Mm
�
�
m
Y
�
<)$7�8� .y¶ F 
A carga total na combinac¸a˜o e´ a carga lı´quida sobre ca-
da par de placa conectadas. A carga sobre o capacitor �
e´
!
�
� m
�
�
� ,
�D$7�8�9.†¶
0;,
���	� V 0–� �D$&���/.
�
C
e a carga sobre o capacitor " e´
!
Y
� m
Y
�
� ,fiI
$&��� .†¶
01,
�8�	� V 0}�MI $&��� .
�
C
’
de modo que a carga lı´quida sobre a combinac¸a˜o e´
,fiIf
�
0
$&���
.
�
C � "%$d��� .
�
C. Portanto, a diferenc¸a
de potencial pedida e´
�
$
#
�
"%$7�8�
.
�
C
<)$7�8�
.y¶ F
�O\
� V 
(b) A carga no capacitor � e´ agora
!
�
�Mm
�
�
$
#
��,
�$&���/.†¶
01,J\
�
0}�O\
$&���/.
K C 
(c) A carga no capacitor " e´ agora
!
Y
�Mm
Y
�
$
#
��,JI
$7�8�9.†¶
0;,J\
�
0}�
�	
\
$7�8�9.
�
C 
P 27-29.
Quando a chave � , na Fig. 27-30, e´ girada para a esquer-
da, as placas do capacitor C, adquirem uma diferenc¸a de
potencial �
5
. Os capacitores m
�
e m
Y
esta˜o inicialmente
descarregados. A chave e´, agora, girada para a direita.
Quais sa˜o as cargas finais !
�
, !
Y
e ! sobre os capacitores
correspondentes?
� As cargas nos capacitores " e I sa˜o as mesmas, de
modo que eles podem ser substituidos por um capacitor
equivalente dado por
�
m eq
�
�
m
Y
�
�
m
]
�
m
Y
�
m
]
m
Y
m
]
Portanto m eq �Om Y m ] �/,Jm Y
�
m
]
0
 A carga no capacitor
equivalente e´ a mesma que em qualquer um dos capaci-
tores da combinac¸a˜o. A diferenc¸a de potencial atrave´s
do capacitor equivalente e´ !
Y
�	m eq. A diferenc¸a de po-
tencial atrave´s do capacitor � e´ !
�
�Bm
�
, onde !
�
e´ a carga
em m
�
.
A diferenc¸a de potencia atrave´s da combinac¸a˜o dos ca-
pacitores " e I tem que ser a mesma diferenc¸a de poten-
cial atrave´s do capacitor � , de modo que
!
�
m
�
�
!
Y
m eq
,JÑ>0
Quando fechamos a chave pela segunda vez, par-
te da carga originalmente no capacitor � flui para a
combinac¸a˜o de " e I . Sendo !
5
e´ a carga original, a
lei da conservac¸a˜o da carga nos fornece
!
�
�
!
Y
�O!
5
�Mm
�
�
5
’
,- 10
onde �
5
e´ a diferenc¸a de potencial original atrave´s do
capacitor � .
Da Eqs. (b) tiramos que
!
Y
�Mm
�
�
5
fd!
�
que, quando substituida na Eq. (a), fornece
!
�
m
�
�
m
�
�
5
fd!
�
m eq ’
que, finalmente, nos fornece !
�
:
!
�
�
m
Y
�
�
5
m eq
�
m
�
�
m
�
�
�
5
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²
i/.
i
²
ä
i
.
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m
�
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m
Y
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,ðm
Y
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m
]
0Ł�
5
m
�
m
Y
�
m
�
m
]
�
m
Y
m
]
As cargas nos capacitores " e I sa˜o
!
Y
�M!
]
� m
�
�
5
f&!
�
� m
�
�
5
f
m
Y
�
,ðm
Y
�
m
]
0³�
5
m
�
m
Y
�
m
�
m
]
�
m
Y
m
]
�
m
�
m
Y
m
]
�
5
m
�
m
Y
�
m
�
m
]
�
m
Y
m
]
� Segunda soluc¸a˜o: Considere a figura abaixo:
As cargas iniciais esta˜o indicadas a` esquerda de cada ca-
pacitor. As cargas finais esta˜o indicadas a` direita de ca-
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da capacitor. Inicialmente, podemos escrever a seguinte
relac¸a˜o: