Revisão AV2 - Cálculo Diferencial e Integral II

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Aula de Revisão – Exercícios
Tema da Apresentação
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Exercício 1: Integração de linha de um campo vetorial
Exemplo. Considere C a fronteira de um quadrado no plano xy de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1), orientada no sentido anti-horário. Calcule a integral de linha
Solução. A curva C é decomposta em quatro segmentos de reta que podem ser parametrizados por:
α1(t) = (t, 0), 0 ≤ t ≤ 1
α2(t) = (1, t), 0 ≤ t ≤ 1
α3(t) = (−t, 1), −1 ≤ t ≤ 0
α4(t) = (0,−t), −1 ≤ t ≤ 0.
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Exercício 1. Integração de linha de um campo vetorial
Assim sendo, para 
 temos
 Logo, 
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Exercício 2. Campo Gradiente
Dada a função f(x, y, z) = 3x2y – z sen x + y2 cos z. Calcule o campo gradiente de f :
Solução:
 F(x, y, z) = f(x, y, z) = ( fx (x, y, z), fy (x, y, z), fz (x, y, z) ) =
 = (6xy -z cos x, 3x2 +2y cos z, - sen x - y2 sen z).
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Exercício 3. Divergente e rotacional
Calcule a divergência e o rotacional do campo vetorial.
Solução: Divergente de F 
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Exercício 3. Divergente e rotacional
Calcule a divergência e o rotacional do campo vetorial.
Solução: Rotacional de F 
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Exercício 4. Laplaciano
Verifique se a função f(x,y) = e2x+5y é uma função harmônica:
Solução: Temos
Logo, .(NÃO É UMA FUNÇÃO HARMÔNICA)
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Exercício 5. campo conservativo
Verifique que o campo vetorial F(x, y, z) = (4x + 5yz, 5xz, 5xy) é conservativo usando rot F(x, y, z) = (0, 0, 0) = 0.
Solução: De fato,
 Logo, F é um campo vetorial conservativo. 
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Exercício 6. Função potencial
Considere o seguinte campo vetorial
F(x, y) = (e3y – y2sen x, 3xe3y + 2y cos x), A(0, 0) e B(, 0).
Verifique se o campo vetorial F é conservativo e, em caso afirmativo, calcule a integral de linha desse campo vetorial ao longo de uma curva qualquer unindo o ponto A ao ponto B.
Solução: Temos que F é um campo conservativo pois
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Exercício 6. Função potencial
Vamos determinar sua função potencial para calcular a integral.
Existe uma função escalar f tal que f = F. Daí, 
Uma vez que 
Teremos 
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Exercício 6. Função potencial
Teremos
onde g é uma função de y, porém constante em relação a x. Derivando, em relação a y, a função f encontrada e comparando com (1) temos 
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Exercício 6. Função potencial
portanto a função potencial da F é 
 
Logo,
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Exercício 7. Teorema de Green
Utilizando o teorema de Green, calcule a seguinte integral de linha: 
 
 , onde  é a curva formada pelas retas x = 2, y = 0 e a parábola 2y – x = 0, no sentido anti-horário.
Solução: Temos que 
Logo, 
Então
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Exercício 7. Teorema de Green
Utilizando o teorema de Green, calcule a seguinte integral de linha: 
 
 , onde  é a curva formada pelas retas x = 2, y = 0 e a parábola 2y – x = 0, no sentido anti-horário.
Solução: onde D é a região de tipo I:
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Exercício 7. Teorema de Green
Utilizando o teorema de Green, calcule a seguinte integral de linha: 
 
 , onde  é a curva formada pelas retas x = 2, y = 0 e a parábola 2y – x = 0, no sentido anti-horário.
Solução: (CONTINUAÇÃO) Logo,
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