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Lista 5 de Exerc´ıcios de Controle Estat´ıstico de Qualidade Isadora Cassador Coˆnsoli Silva 1 1 Lista 5 Gra´ficos de controle por varia´veis Nu´mero 1: Um provedor de energia deve ter uma tensa˜o nominal de sa´ıda de 350 V. Uma amostra de quatro unidades e´ selecionada todo dia e testada com o propo´sito de controle do processo. Os dados mostram a diferenc¸a, multiplicada por 10, entre a leitura observada em cada unidade e a tensa˜o nominal; isto e´: xi = (tensa˜o observada na unidade i – 350) x 10: Dados na planilha: BD cep listas.xls/guia : tensa˜o. a. Construa gra´ficos de controle X¯ e R para esse processo. O processo esta´ sob controle estat´ıstico? Com os dados da tabela conseguimos extrair algumas informac¸o˜es necessa´rias para calcular os limites de controle dos dois gra´ficos. Vejamos: n = 4 m = 20 d2 = 2, 059 d3 = 0, 880 ¯¯x = 10, 378 R¯ = m∑ i=1 Ri m = 125 20 = 6, 25 LSCX¯ = 10, 378 + 3 ( 6,25 2,059×√4 ) ∼= 15, 004 LMX¯ = 10, 378 LICX¯ = 10, 378− 3 ( 6,25 2,059×√4 ) ∼= 5, 825 LSCR = (2, 059 + 3× 0, 880) ( 6,25 2,059 ) ∼= 14, 263 LMR = 6, 25 LICR = (2, 059− 3× 0, 880) ( 6,25 2,059 ) ∼= −1, 763⇒ LICR = 0 2 Figure 1: De acordo com a figura 1 acima, podemos perceber que ambos os gra´ficos apresentam valores dentro dos limites de controle e na˜o parece existir alguma tendeˆncia, ciclos ou sazonalidades, o que indica um processo sob controle es- tat´ıstico de qualidade. b. Se as especificac¸o˜es sa˜o (350V ± 5V ) o que voceˆ pode dizer sobre a capacidade do processo? n = 4 σˆx = R¯ d2 = 6,252,059 = 3, 035 LSE = [(350V + 5V )− 350]× 10 = +50V LIE = [(350V − 5V )− 350]× 10 = −50V Cˆp = LSE−LIE 6σˆ = 50−(−50) 6(3,035) = 5, 49 3 Figure 2: c. Calcule Cp, Cpk, Cpkm. Interprete essas razo˜es de capacidade Cˆp = LSC−LIC 6σˆ = 50−(−50) 6(3,035) = 5, 49 Cˆpk = min { LSE−µ 3σ , µ−LIE 3σ } = min { 50−10,378 3(3,035) , 10,378−(−50) 3(3,035) } = 4, 352 Cˆpm = LSE−LIE 6 √ σ2+(d−µ)2 = 50−(−50) 6 √ (3,035)2+([10,38]−10,378)2 = 5, 49 Sabemos que os treˆs ı´ndices medem, a capacidade de o processo atender a`s especificac¸o˜es. Dessa forma, vimos que Cˆp e Cˆpm obtiveram os mesmo valores de ı´ndice, pore´m devemos lembrar, que o primeiro e´ insens´ıvel a mudanc¸as na me´dia do processo.Portanto, usaremos o Cˆpm para a classificac¸a˜o do nosso processo quanto a` capacidade. 4 d.Ha´ alguma evideˆncia que suporta a afirmac¸a˜o que a tensa˜o e´ normalmente distribu´ıda? Figure 3: Podemos notar que no gra´fico acima que na˜o rejeitamos a hipo´tese nula (os dados seguem uma distribuic¸a˜o normal). Portanto, o teste de normalidade mostra que a distribuic¸a˜o e´ pro´xima de uma normal. 2. Um processo esta´ sob controle com ¯¯x = 100, S¯ = 1, 05 e n = 5. As especi- ficac¸o˜es do processo sa˜o 95± 10. A caracter´ıstica da qualidade tem distribuic¸a˜o normal. a. Estime a capacidade potencial. ¯¯x = 100 s¯ = 1, 05 n = 5 σˆx = s¯ c4 = 1,050,94 = 1, 117 LIE = 95− 10 = 85 LSE = 95 + 10 = 105 Cˆp = LSC−LIC 6σˆ = 105−85 6(1,117) ∼= 2, 98 b. Estime a capacidade efetiva. Cˆpk = min { LSE−µ 3σ , µ−LIE 3σ } = min { 105−100 3(1,117) , 100−85 3(1,117) } = 1, 49 c. De quanto reduziria a falha do processo se ele fosse corrigido de modo a operar na especificac¸a˜o nominal? 5 pˆatual = P (x < LIE) + P (x > LSE) = P (x < LIE) + [1− P (x ≤ LSE)] pˆatual = P ( z < LIE−µˆσˆ ) + [ 1− P ( z ≤ LSE−µˆσˆ )] = P ( z < 85−1001,117 ) + [ 1− P ( z ≤ 105−1001,117 )] pˆatual = φ (−13, 429) + [1− φ (4, 476)] = 0 + (1− 0, 999996) pˆatual = 0, 000004 pˆpotencial = P ( z < 85−951,117 ) + [ 1− P ( z ≤ 105−951,117 )] = φ (−8, 953) + [1− φ (8, 953)] = 0 + (1− 1) = 0 3. Um processo normalmente distribu´ıdo tem especificac¸o˜es LIE = 75 e LSE = 85 na sa´ıda. Uma amostra aleato´ria de 25 partes indica que o processo esta´ centrado na faixa de especificac¸a˜o e o desvio padra˜o e´ S = 1,5. a. Ache uma estimativa pontual para Cp; LIE = 75 LSE = 85 n = 25 s = 1, 5 Cp = 85−75 6(1,5) = 1, 11 b. Ache um intervalo de confianc¸a de n´ıvel 95% para Cp. Comente sobre a largura desse intervalo. α = 0, 05 χ21−α2 ,n−1 = χ 2 0,975;24 = 12, 40 χ2α 2 ,n−1 = χ 2 0,0025;24 = 39, 36 Cˆp √ χ2 1−α 2 ,n−1 n−1 ≤ Cp ≤ Cˆp √ χ2α 2 ,n−1 n−1 1, 1 √ 12,40 24 ≤ Cp ≤ 1, 1 √ 39,36 24 0, 79 ≤ Cp ≤ 1, 41 Este intervalo de confianc¸a nos fornece poucas informac¸o˜es sobre a capaci- dade do processo, pois e´ um intervalo muito largo. Dessa forma, ele poderia passar por va´rios n´ıveis da capacidade do processo. Veja a tabela abaixo de classificac¸a˜o do processo quanto a` sua capacidade: 6 Figure 4: 4. Um importante cliente de uma companhia exigiu que ela demonstrasse que a raza˜o da capacidade de seu processo Cˆp excedia 1,33. A companhia tomou amostras de 50 partes e obteve uma estimativa pontual Cˆp = 1, 52. Suponha que a caracter´ıstica de qualidade siga uma distribuic¸a˜o normal. a. A companhia pode demonstrar que Cp excede 1,33 ao n´ıvel de confianc¸a de 95%? χ21−α,n−1 = χ 2 0,95;49 = 33, 9303 Cˆp √ χ21−α,n−1 n−1 ≤ Cp ⇒ 1, 52 √ 33,9303 49 ≤ Cp ⇒ 1, 26 ≤ Cp Logo, a empresa na˜o poˆde demostrar que o Cˆp dela fosse superior a 1,33 ao n´ıvel de 95% de confianc¸a. b. Qual n´ıvel de confianc¸a daria um limite de confianc¸a unilateral inferior para Cp que exceda 1,33? 1, 52 √ χ21−α,49 49 = 1, 33⇒ χ21−α,49 = 49 [ 1,33 1,52 ]2 = 37, 52 1− α = 0, 88⇒ α = 0, 12 5. Forma-se uma montagem de duas pec¸as adaptando-se um eixo em um mancal. Sabe-se que os diaˆmetros internos dos mancais sa˜o distribu´ıdos nor- malmente com me´dia 2,010 cm e desvio-padra˜o 0,002 cm, e que os diaˆmetros externos dos eixos teˆm distribuic¸a˜o normal com me´dia 2,004 cm e desvio-padra˜o 0,001 cm. a. Determine a distribuic¸a˜o da folga entre as pec¸as se a montagem e´ aleato´ria. 7 di ∼ N (2, 010; 0, 0022) de ∼ N (2, 004; 0, 0012) y = Interferencia = di− de < 0 µy = µdi − µde = 2, 010− 2, 004 = 0, 006 σ2y = σ 2 di + σ 2 de = 0, 002 2 + 0, 0012 = 0, 000005√ σ2y = σy = 0, 002236 b. Qual a probabilidade de a folga ser positiva? P (folga⊕) = [1− P (Interfereˆncia)] = 1− P (y < 0) = 1− φ ( 0−0,006 0,002236 ) = 1− 0, 00360 = 0, 99632 8
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