Apostila Cálculo III 2015 (1)

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UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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A 
TRANSFORMADA 
DE LAPLACE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
 
 CONTEÚDOS PÁGINA 
CADERNO 12 CONCEITOS BÁSICOA 7 
§ 1 Linearidade 8 
§ 2 Transformada das Principais Funções Elementares ( 1 ) 9 
§ 3 Transformada das Principais Funções Elementares ( 2 ) 10 
§ 4 Transformada das Principais Funções Elementares ( 3 ) 11 
§ 5 Transformada das Principais Funções Elementares ( 5 ) 12 
§ 6 Existência da Transformada de Laplace – Parte I 14 
§ 7 Existência da Transformada de Laplace – Parte II 15 
§ 8 Atividades de Estudos: Atividade 22 17 
 Atividades de Estudos: Atividade 23 18 
§ 9 Transformada Inversa 19 
§10 Atividades de Estudos: Atividade 24 23 
CADERNO 13 TRANSFORMADA DE DERIVADAS E INTEGRAIS 24 
§1 Atividades de Estudos: Atividade 25 30 
 Atividades de Estudos: Atividade 26 31 
CADERNO 14 O 1º TEOREMA DO DESLOCAMENTO 32 
§ 1 Atividades de Estudos: Atividade 27 39 
 Atividades de Estudos: Atividade 28 40 
CADERNO 15 O 2º TEOREMA DO DESLOCAMENTO 41 
§ 1 Transformada da Função Degrau Unitário 43 
§ 2 O 2º Teorema do Deslocamento 44 
§ 3 Atividades de Estudos: Atividade 29 51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 4 
 
 
 
 
No início do século XVII a invenção dos Logaritmos realizou uma inovação nos 
procedimentos computacionais e nas técnicas de resolução de equações, pois 
logaritmos transformam multiplicações em somas e divisões em subtrações. 
No estudo dos Logaritmos foram fundamentais os trabalhos de John Napier, 
inventor da técnica, e do professor de Geometria Henry Briggs. 
Semelhante revolução ocorre no final do século XIX pelo matemático inglês 
Oliver Heaviside com a invenção de uma técnica que transformava derivações em 
multiplicações e integrações em divisões que ele denominou Cálculo Operacional. 
A técnica de Heaviside, cujo objetivo original era resolver as EDO´s e EDP´s da 
análise de Circuitos Elétricos, combina 2 importantes ideias: um tipo de Transformada 
Integral que ficou conhecida como Integral de Laplace, e a ideia preconizada por Leibniz 
e desenvolvida por Lagrange dos Operadores Diferenciais. 
Heaviside publicou suas ideias no artigo On Operational Methods in Physical 
Mathematics nos anos de 1892 e 1893 e no livro Eletromanetic Theory de 1899. 
 A técnica desenvolvida por Heaviside, de uso corrente na Engenharia, 
transforma ED´s em Equações Polinomiais, bem mais simples de resolver. 
Esta nova abordagem significou um decisivo passo no desenvolvimento da 
Engenharia e Tecnologia, pois possibilitou resolver problemas em que a solução no 
domínio original é muito difícil. 
Apesar das críticas por falta do rigor matemático que justificassem alguns 
procedimentos heurísticos, Heaviside alegava que não tinha tempo a perder em 
demonstrações sobre algo que considerava estar intuitivamente correto. 
O esforço exigido pelas demonstrações solicitadas pelo Cálculo Operacional se 
consolidou denominado Transformada de Laplace em homenagem ao matemático 
francês do século XVIII Pierre Simon Laplace, percussor do formalismo da técnica. 
Laplace é autor de importantes obras no Cálculo, Probabilidade, Astronomia, 
Cosmologia, Teoria dos Jogos, Física Matemática e Teoria dos Erros. 
Entretanto, os primórdios da Transformada de Laplace podem ser vistos em 
1844 quando as pesquisas de Euler de certas ED´s foram usadas por Lagrange no 
estudo das Probabilidades. 
As Integrais de Euler adaptadas por Lagrange foram estudadas por Laplace que 
desenvolveu uma nova Integral, chamada Integral de Laplace, cujas propriedades 
permitiram justificar a procura da solução de uma ED na pesquisa de soluções para 
uma nova equação chamada Equação Transformada da ED. 
E tudo isto graças a decisiva contribuição do engenheiro americano John Carson 
da Bel Telephone and Telegraph Company que fez a conexão entre o Cálculo 
Operacional de Heaviside e a Integral de Laplace, aproximando o que hoje se denomina 
Transformada de Laplace. 
No livro Eletric Circuit Theory And The Operational Calculus de 1926 e reeditado 
em 1953, Carson deduz as fórmulas do trabalho de Heaviside e dá início às necessárias 
demonstrações justificando a aplicabilidade do método. 
 𝓛  
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UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 5 
 
 
 
Oliver Heaviside foi uma pessoa simples, sem instrução formal, que utilizava 
a Matemática com rara intuição. 
Sem se prender a formalismos, desenvolveu processos que ele denominava 
Matemática Experimental. 
Entretanto, se o preconceito quanto sua formação acadêmica fez muitas de suas 
contribuições ou descobertas creditadas a outros ou seus métodos desacreditados, 
suas contribuições à Ciência e a Engenharia falaram mais alto 
A fim de ilustrar alguns procedimentos de Heaviside nos primórdios da 
Transformada de Laplace, veja como obter a Solução Complementar de uma EDO de 
2ª ordem de uma maneira bem original. Não se incomode se alguma passagem na 
resolução parecer estranha ou inusitada, pois ela incomodou muito mais pessoas e a 
explicação atual é simples. 
Começamos observando que a expressão 
𝑑
𝑑𝑥
 𝐹( 𝑥 ) = 𝑓( 𝑥 ) nos diz que a 
operação de derivação 𝑑 𝑑𝑥⁄ é efetuada sobre 𝐹 = 𝐹( 𝑥 ), cujo resultado é uma outra 
função 𝑦 = 𝑓( 𝑥 ). 
Ou seja, o símbolo 𝑑 𝑑𝑥⁄ atua como um Operador. 
Representando 𝑑 𝑑𝑥⁄ pela letra 𝐷, as regras familiares para o cálculo de 
derivadas são descritas mais simplesmente, como por exemplo, 
 𝐷 𝑥𝑛 = 𝑛 𝒙𝒏 − 𝟏 , ou 
D ( a 𝑥𝑛 + b 𝑥𝑚 ) = 𝑎 𝐷 ( 𝑥𝑛 ) + 𝑏 𝐷 ( 𝑥𝑚 ) = 𝑎 𝑛 𝒙𝒏 − 𝟏 + 𝑏 𝑚 𝒙 𝒎 − 𝟏. 
Em geral, 𝑦´ = 𝐷𝑦, 𝑦´´ = 𝐷²𝑦, 𝑦´´´ = 𝐷³𝑦, . . . , 𝑦( 𝑛 ) = 𝐷𝑛𝑦. 
 Heaviside sugeriu tratar o operador 𝐷 como um número comum. 
 Por exemplo, a Solução Complementar de 𝑦´´ − 3𝑦´ + 2𝑦 = 𝑥³ , digamos pelo 
atual Método dos Coeficientes a Determinar, é 𝑦𝐶 = 
1
2
 𝑥³ + 
9
4
 𝑥² + 
21
4
 𝑥 +
45
8
 . 
 De acordo com Heaviside, podemos proceder do seguinte modo: 
( 1 ) 𝑦´´ − 3𝑦´ + 2𝑦 = 𝑥³  𝐷²𝑦 − 3𝐷𝑦 + 2𝑦 = 𝑥³  (𝐷² − 3𝐷 + 2 ) 𝑦 = 𝑥³; 
( 2 ) (𝐷² − 3𝐷 + 2 ) 𝑦 = 𝑥³  ( 𝐷 – 1)( 𝐷 – 2 ) 𝑦 = 𝑥³; 
( 3 ) ( 𝐷 – 1)( 𝐷 – 2 ) 𝑦 = 𝑥³  𝑦 = 
𝑥³
( 𝐷 − 1 )( 𝐷 − 2 )
 
( 4 ) Utilizando a decomposição em Frações Parciais: 
 a ) 
𝑥³
( 𝐷 − 1 )( 𝐷 − 2 )
 = 
𝐴
𝐷 − 2 
+ 
𝐵
𝐷 − 1 
  
𝑥³
( 𝐷 − 1 )( 𝐷 − 2 )
 = 
𝐴 ( 𝐷 − 1 ) + 𝐵 ( 𝐷 − 2 )
( 𝐷 − 1 )( 𝐷 − 2 )
 . 
INTRODUÇÃO 
 
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 b ) Obtemos 𝐴 ( 𝐷 − 1 ) + 𝐵 ( 𝐷 − 2 ) = 𝑥³ 
 c ) Fazendo D = 1  B = − 𝑥³ e D = 2  A = 𝑥³; 
 d ) Portanto, 
𝑥³
( 𝐷 − 1 )( 𝐷 − 2 )
 = 
𝑥³
𝐷 − 2 
− 
𝑥³
𝐷 − 1 
 
( 5 ) O próximo passo é decompor as funções racionais 
𝑥³
𝐷 − 2 
 e 
𝑥³
𝐷 − 1 
 em Séries de 
Potências. 
Demonstra-se que a Série de Potências 
 ∑ 𝑎 𝑟𝑛∞ 𝑛 = 0 = a + ar + ar² + ar³ + . . . = 
𝑎
1 − 𝑟
, se | 𝑟 | < 1 ; 
( 6 ) Assim, 
 a ) 
𝑥³
𝐷 − 2 
 = 𝑥³ 
1
𝐷 − 2 
 = 𝑥³ 
1
− 2 + 𝐷 
 = 𝑥³ 
1
− 2( 1 − 
𝐷 
2
 ) 
 = − 
𝑥³
2
 . 
1
1 − 
𝐷 
2
 
. 
Portanto, 
𝑥³
𝐷 − 2 
 = − 
𝑥³
2
 ∑ ( 
𝐷 
2
 ) 𝑛∞ 𝑛 = 0 = − 𝑥³ ∑ 
𝐷𝑛 
2𝑛 + 1
∞ 
𝑛 = 0 se | 
𝐷 
2
 | < 1 ou | 𝐷 | < 2; 
 b ) 
𝑥³
𝐷 − 1 
 = 𝑥³ 
1
− 1 + 𝐷 
 = 𝑥³ 
1
− ( 1 − 𝐷 ) 
 = − 𝑥³. 
1
1 − 𝐷 
 = − 𝑥3 ∑ 𝐷 
𝑛∞ 
𝑛 = 0 , | 𝐷 | < 1; 
( 7 ) Decorre de ( 6 ) que 
 a ) 
𝑥³
𝐷 − 2 
 = − 𝑥³ ∑ 
𝐷𝑛 
2𝑛 + 1
∞ 
𝑛 = 0 = − ( 
1
2
 + 
𝐷
2²
 + 
𝐷²
2³
 + . . . ) 𝑥³ = − 
𝑥³
2
 − 
𝐷𝑥³
4
 −
𝐷²𝑥³
8
 –, ... 
Portanto 
𝑥³
𝐷 − 2 
 = − 
𝑥³
2
 − 
3 𝑥²
4
− 
6 𝑥
8
 − 
6
16
 ; 
 b ) 
𝑥³
𝐷 − 1 
 = − 𝑥³ ∑ 𝐷 𝑛∞ 𝑛 = 0 = − ( 1 + 𝐷 + 𝐷² + 𝐷³ + . . . ) 𝑥³. 
Portanto 
𝑥³
𝐷 − 1 
 = − 𝑥³ − 𝐷𝑥³ − 𝐷²𝑥³ − 𝐷³𝑥³ − . . . = − 𝑥³ − 3𝑥² − 6𝑥 − 6 ; 
( 8 ) Como  𝑦 = 
𝑥³
𝐷 − 2 
− 
𝑥³
𝐷 − 1 
 temos a solução 
y = − 
𝑥³
2
 − 
3 𝑥²
4
− 
6 𝑥
8
 − 
6
16
 – (− 𝑥³ − 3𝑥² − 6𝑥 − 6 ) = − 
𝑥³
2
 − 
3 𝑥²
4
− 
6 𝑥
8
 − 
6
16
 + 𝑥³ + 3𝑥² + 6𝑥 
+ 6 = 𝑥³ − 
𝑥³
2
 + 3𝑥² − 
3 𝑥²
4
 + 6𝑥 − 
6 𝑥
8
 + 6 − 
6
16
  y = 
𝒙³
𝟐
 + 
𝟗 𝒙²
𝟒
 + 
𝟐𝟏 𝒙
𝟒
 + 
𝟒𝟓
𝟖
 . 
( 9 ) A função y = 
𝒙³
𝟐
 + 
𝟗 𝒙²
𝟒
 + 
𝟐𝟏 𝒙
𝟒
 + 
𝟒𝟓
𝟖
 é realmente a Solução Complementar da EDO 
dada e o aspecto notável é que a extensão deste procedimento resolve problemas que 
os métodos tradicionais resolvem com dificuldades; 
( 10 ) Principalmente as EDO`s com segundo membro descontínuo, recorrentes em 
muitos problemas da Engenharia; 
( 11 ) As bases de compreensão do Cálculo Operacional são dadas pela Integral de 
Laplace através da fórmula 
 ∫ 𝑒− 𝑠 𝑥 
∞
0
𝑓( 𝑥 ) 𝑑𝑥. 
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UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 7 
 
 CONCEITOS BÁSICOS 
 
As Equações Diferenciais frequentes nos modelos matemáticos aplicados a 
Engenharia são Lineares. 
Entretanto, se a função 𝑟 = 𝑟 ( 𝑡 ) de uma equação linear tal como 
 ① 𝑚 
𝑑2 𝑦
𝑑 𝑡2
 + a 
𝑑 𝑦
𝑑 𝑡
 + 𝑏 𝑦 = 𝑟 ( 𝑡 ) ou ② 𝐿 
𝑑2 𝑖
𝑑 𝑡2
 + 𝑅 
𝑑 𝑖
𝑑 𝑡
 + 
1
𝐶
 𝑦 = 𝑟 ( 𝑡 ), 
é uma função descontínua, as dificuldades para obter soluções podem ser removidas 
através da Transformada de Laplace, que se revela extremamente eficiente. 
Nas EDO´s acima ① é uma equação Massa  Mola onde 𝑟 = 𝑟( 𝑡 ) representa 
uma Força Externa, e ② é a equação de um Circuito Elétrico, onde 𝑟 = 𝑟( 𝑡 ) é a 
Tensão aplicada ao circuito. 
A fim de nos habituarmos a uma nova e interessante abordagem das EDO´s, 
seguem-se as definições que fundamentam a teoria do Cálculo Operacional. 
 
 
 
 
 
 A função 𝑦 = 𝑓( 𝑡 ), definida no domínio do tempo 𝑡  0, é chamada Função de 
Entrada e o resultado 𝐹 = 𝐹( 𝑠, 𝑡 ) é a Função de Saída. A variável 𝑠 é o número 
complexo 𝑠 = 𝜎 + 𝑗 𝑤, com 𝑗, 𝑤 ∈ ℝ e 𝑗 = √−1 . 
 A função 𝐾 = 𝐾( 𝑠, 𝑡 ) é chamada Kernel ou Núcleo da Transformada. 
Cada Transformada Integral tem um Núcleo 𝐾( 𝑠, 𝑡 ) e limites de integração 
escolhidos. A Transformada de Laplace é um tipo de Transformada Integral cujo Núcleo 
é a função 𝐾( 𝑠, 𝑡 ) = 𝑒− 𝑠𝑡 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Transformada de Laplace é indicada aos problemas com dependência 
temporal. Problemas envolvendo dependência espacial devem ser estudados através 
da Transformada de Fourier. 
 Observe que 𝐹( 𝑠 ) = ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 𝑓( 𝑡 ) 𝑑𝑡

0
 = lim
𝑏 → ∞
 ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 𝑓( 𝑡 ) 𝑑𝑡
𝑏
0
. 
DEF 2. A TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 Seja 𝑓 uma função definida para t  0 e s um número complexo. 
 A Transformada de Laplace, denotada por 𝑭( 𝒔 ) ou 𝓛 { 𝒇 ( 𝒕 )}, é 
dada pela fórmula 
 𝐹( 𝑠 ) = ℒ{𝑓 ( 𝑡 )} = ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 𝑓( 𝑡 ) 𝑑𝑡

0
. 
DEF 1 – TRANSFORMADA INTEGRAL 
Uma Transformada Integral é uma função 𝐹 = 𝐹( 𝑠, 𝑡 ) tal que 
 𝐹( 𝑠, 𝑡 ) = ∫ 𝑓( 𝑡 ) 𝐾( 𝑠, 𝑡 ) 𝑑𝑡
𝑡2
𝑡1
. 
 
12 CADERNO 12 
 
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 INEARIDADE 
 
O símbolo 𝐹( 𝑠 ) = ℒ { 𝑓 ( 𝑡 )} enfatiza que a função 𝐹 é resultado da 
operação ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 𝑓( 𝑡 ) 𝑑𝑡

0
 efetuada sobre uma dada função 𝑦 = 𝑓( 𝑡 ). 
 
 
 
 
 
 
Segue-se que as funções definidas no domínio do tempo 𝑡  0 são representadas 
por letras minúsculas e a transformada de tais funções é representada pelas letras 
maiúsculas correspondentes. 
Assim ℒ { 𝑓( 𝑡 )} = 𝐹( 𝑠); ℒ { 𝑔( 𝑡 )} = 𝐺( 𝑠) ou ℒ { 𝑦( 𝑡 )} = 𝑌( 𝑠). 
Em muitas aplicações a variável 𝑠 pode ser restrita a valores reais. 
A primeira e fundamental propriedade trata da Linearidade. 
 
 
 
 
 
 
 
De fato. 
( 1 ) 𝓛 { 𝒂 𝒇( 𝒕 ) + 𝒃 𝒈( 𝒕 )} = ∫ 𝒆− 𝒔𝒕 [𝒂 𝒇( 𝒕 ) + 𝒃 𝒈( 𝒕 ) ]

𝟎
 𝒅𝒕 
( 2 )∫ 𝒆− 𝒔𝒕 [𝒂 𝒇( 𝒕 ) + 𝒃 𝒈( 𝒕 ) ]

𝟎
𝒅𝒕 = ∫ 𝒆− 𝒔𝒕 
∞
𝟎
𝒂 𝒇( 𝒕 ) 𝒅𝒕 + ∫ 𝒆− 𝒔𝒕 
∞
𝟎
𝒃 𝒈( 𝒕 ) 𝒅𝒕 = 
𝑎 ∫ 𝒆− 𝒔𝒕 
∞
𝟎
 𝒇( 𝒕 ) 𝒅𝒕 + 𝑏 ∫ 𝒆− 𝒔𝒕 
∞
𝟎
 𝒈( 𝒕 ) 𝒅𝒕 
( 3 ) Portanto, 𝓛 { 𝒂 𝒇( 𝒕 ) + 𝒃 𝒈( 𝒕 ) } = 𝒂 𝓛 { 𝒇( 𝒕 ) } + 𝒃 𝓛 { 𝒈( 𝒕 ) }. 
( 4 ) A Propriedade da Linearidade estende-se naturalmente para um número de 
funções 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, . . . , 𝑓𝑛 definidas para t  0. 
 
ESPAÇO 𝑡 ESPAÇO 𝑠 
 
ℒ
→ 
 
Função de Entrada Operação ou Transformação Função de Saída 
§ 1 
 
 
 
𝒚 = 𝒇( 𝒕 ) 𝒀 = 𝑭( 𝒔 ) 
TEOREMA DA LINEARIDADE 
 
 A TRANSFORMADA DE LAPLACE É UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR: 
Se f e g são funções definidas para t  0 e a e b números reais, então 
 𝓛 { 𝒂 𝒇( 𝒕 ) + 𝒃 𝒈( 𝒕 ) } = 𝒂 𝓛 { 𝒇( 𝒕 ) } + 𝒃 𝓛 { 𝒈( 𝒕 ) } 
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 TRANSFORMADA DAS PRINCIPAIS FUNÇÔES ELEMENTARES ( 1 ) 
 
 
( 1 ) Então ℒ { 𝑘 } = ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 𝑘 𝑑𝑡

0 = 𝑘 lim𝑏 → ∞
∫ 𝑒− 𝑠𝑡 𝑑𝑡
𝑏
0
 
( 2 ) Como ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = 
1

 𝑒 𝑡 + 𝐶, segue-se ℒ { 𝑘 } = 
−𝑘
𝑠
 lim
𝑏 → ∞
𝑒− 𝑠𝑡 |𝑏
0
  
( 3 ) ℒ { 𝑘 } = 
−𝑘
𝑠
 lim
𝑏 → ∞
( 𝑒− 𝑠𝑏 − 𝑒− 𝑠.0 ) = 
−𝑘
𝑠
 lim
𝑏 → ∞
( 𝑒− 𝑠𝑏− 1)  
( 4 ) ℒ { 𝑘 } = 
−𝑘
𝑠
 [ lim
𝑏 → ∞
 
1
𝑒𝑠 𝑏
 
− 1 ] = 
−𝑘
𝑠
 ( 0 – 1 )  
 
 
 
 
 t 
 
Assim, ℒ { 0 } = 
0
𝑠
 = 0, ℒ { 1 } = 
1
𝑠
 , ℒ { 3 } = 
3
𝑠
 , ℒ {  } = 

𝑠
 . 
 
 
 Seja 𝑓( 𝑡 ) = 𝒆𝒂𝒕 e 𝑔( 𝑡 ) = 𝒆−𝒂𝒕 , 𝑎 > 0; 
( 1 ) Então ℒ { 𝑒𝑎𝑡 } = ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 𝑒𝑎𝑡 𝑑𝑡

0 = lim𝑏 → ∞
∫ 𝑒− 𝑡 ( 𝑠 − 𝑎 ) 𝑑𝑡
𝑏
0
 
( 2 ) ℒ { 𝑒𝑎𝑡 } = − 1
𝑠 − 𝑎
 lim
𝑏 → ∞
𝑒− 𝑡 ( 𝑠 − 𝑎 ) |𝑏
0
 =−
1
 𝑠 − 𝑎 
 lim
𝑏 → ∞
[ 𝑒− 𝑏 ( 𝑠 − 𝑎 ) −
 𝑒− 0 ( 𝑠 − 𝑎 ) ] = − 1
 𝑠 − 𝑎 
[ lim
𝑏 → ∞
 𝑒− 𝑏 ( 𝑠 − 𝑎 ) − 1] = − 1
 𝑠 − 𝑎 
( 0 − 1 ) 
( 3 ) ( 5 ) De modo análogo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ℒ { 𝑘 } =
𝑘
𝑠
 
f( t ) F( s ) 
 
 y = k 𝓛 Y = 
𝒌
𝒔
 
 
 t s 
2. 2  TRANSFORMADA DA FUNÇÃO EXPONECIAL y = 𝒆𝒂𝒕 OU 𝒚 = 𝒆−𝒂𝒕 
ℒ { 𝑒𝑎𝑡 } =
1
𝑠 − 𝑎
 
§ 2 
 
 
 
ℒ { 𝑒−𝑎𝑡 } =
1
𝑠 + 𝑎
 
 
2. 1  TRANSFORMADA DA FUNÇÃO CONSTANTE 𝒇( 𝒕 ) = 𝒌, 𝑘  ℝ; 
 f( t ) F( s ) 
 y = 𝑒𝑎𝑡 
 𝓛 Y = 
𝟏
𝒔 − 𝒂
 
 
 
 
 t a s 
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 TRANSFORMADA DAS PRINCIPAIS FUNÇÔES ELEMENTARES ( 2 ) 
 
 
 
I ) Seja 𝒇( 𝒕 ) = 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒘𝒕, 𝑤 > 0; 
( 1 ) Então ℒ {𝑐𝑜𝑠 ℎ 𝑤𝑡 } = ℒ { 
𝒆𝒘𝒕 + 𝒆− 𝒘𝒕 
𝟐
 } = 
1
2
 [ℒ { 𝒆𝒘𝒕 + 𝒆−𝒘𝒕 } ]  
( 2 ) ℒ {𝑐𝑜𝑠 ℎ 𝑤𝑡 } = 
1
2
 [ℒ { 𝒆𝒘𝒕 } + 𝓛 {𝒆−𝒘𝒕 } ] = 
1
2
 [
1
𝑠 − 𝑤
+ 
1
𝑠 + 𝑤
]  
( 3 ) ℒ {𝑐𝑜𝑠 ℎ 𝑤𝑡 } = 
1
2
 [
𝑠 + 𝑤 + 𝑠 − 𝑤 
( 𝑠 + 𝑤 )( 𝑠 − 𝑤 )
] = 
1
2
 [
2𝑠 
𝑠² − 𝑤²
] 
( 4 ) 
 
 
II ) Seja 𝒇( 𝒕 ) = 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒘𝒕, 𝑤 > 0; 
( 1 ) De modo análogo, mostra-se que 
 
 
 
 
( 1 ) Sabemos que 𝑒𝑖 𝑤 = cos 𝑤𝑡 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 ; 
( 2 ) Portanto, ℒ { 𝑒𝑖 𝑤 } = ℒ { 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 } + 𝑖 ℒ { 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 } 
( 3 ) Agora ℒ { 𝑒𝑖 𝑤 } = 
1 
𝑠 − 𝑖𝑤
 = 
1 
𝑠 − 𝑖𝑤
. 
𝑠 + 𝑖 𝑤 
𝑠 − 𝑖𝑤
 = 
𝑠 + 𝑖 𝑤 
𝑠² − ( 𝑖𝑤 )²
= 
𝑠 + 𝑖 𝑤 
𝑠² − 𝑖2𝑤 ²
 ; 
( 4 ) Assim ℒ { 𝑒𝑖 𝑤 } = 
𝑠 
𝑠² + 𝑤 ²
 + 𝑖 
 𝑤 
𝑠² + 𝑤 ²
 ; 
( 4 ) De ( 2 ) e ( 3 ), ℒ { 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 } + 𝑖 ℒ { 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 } = 
𝑠 
𝑠² + 𝑤 ²
 + 𝑖 
 𝑤 
𝑠² + 𝑤 ²
 ; 
( 5 ) Igualando os coeficientes dos termos semelhantes de ( 4 ), concluímos: 
 
 
 
Por exemplo, 
 ℒ { 𝑠𝑒𝑛 ℎ 3𝑡 } = 
 3 
𝑠² − 9
 ; ℒ { 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 } = 
 3 
𝑠² + 9
 
 ℒ { 𝑐𝑜𝑠 ℎ 3𝑡 } = 
 𝑠 
𝑠² − 9
 ; ℒ { 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 } = 
 𝑠 
𝑠² + 9
. 
 
ℒ {𝑐𝑜𝑠 ℎ 𝑤𝑡 } = 
𝑠 
𝑠² − 𝑤²
 
ℒ {𝑠𝑒𝑛 ℎ 𝑤𝑡 } = 
𝑤 
𝑠² − 𝑤²
 
ℒ { 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 } = 
 𝑤 
𝑠² + 𝑤 ²
 ℒ { 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 } = 
 𝑠 
𝑠² + 𝑤 ²
 
 
3. 1  AS FUNÇÕES HIPERBÓLI CAS 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒘𝒕 E 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒘𝒕 
3. 2  AS FUNÇÕES 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏 𝒘𝒕 E 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔 𝒘𝒕, w > 0 
§ 3 
 
 
 
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UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 11 
 
 TRANSFORMADA DAS PRINCIPAIS FUNÇÔES ELEMENTARES ( 3 ) 
 
 
Na classe das Funções Especiais da Matemática Aplicada, da qual faz parte 
a Transformada de Laplace, a Função Gama é uma Transformada Integral que reserva 
interessantes propriedades. 
 Se a > 0, a Função Gama é definida: 
 
1ª PROPRIEDADE NOTÁVEL – 
 ( 1 ) 𝜞 ( 𝟏 ) = ∫ 𝒆− 𝒕 𝒕𝟏 − 𝟏 𝒅𝒕
∞
𝟎
 = 𝛤 ( 1 ) = ∫ 𝑒− 𝑡 𝑑𝑡
∞
0
 = lim
𝑏 → ∞
∫ 𝑒− 𝑡 𝑑𝑡
𝑏
0
; 
( 2 ) 𝜞 ( 𝟏 ) = − lim
𝑏 → ∞
𝑒− 𝑡 |𝑏
0
 = − lim
𝑏 → ∞
(𝑒− 𝑏 − 𝑒0)
 
= − ( 0 – 1 ) = 1. 
2ª PROPRIEDADE NOTÁVEL  Recorrência: 
( 1 ) 𝜞 ( 𝒂 + 𝟏 ) = ∫ 𝒆− 𝒕 𝒕𝒂 + 𝟏 − 𝟏 𝒅𝒕
∞
𝟎
 = lim
𝑏 → ∞
∫ 𝑒− 𝑡 𝑡𝑎 𝑑𝑡
𝑏
0
; 
( 2 ) Integrando I = ∫ 𝑒− 𝑡 𝑡𝑎 𝑑𝑡 por Partes fazemos { 𝑢 = 𝑡
𝑎  𝑑𝑢 = 𝑎 𝑡𝑎 − 1 𝑑𝑡
 𝑑𝑣 = 𝑒− 𝑡 𝑑𝑡  𝑣 = − 𝒆− 𝒕 
 
( 3 ) I =− 𝑡𝑎 𝒆− 𝒕 + ∫ 𝑒− 𝑡𝑎 𝑡𝑎 − 1𝑑𝑡 =− 𝑡𝑎𝒆− 𝒕 + 𝒂 ∫ 𝑒− 𝑡 𝑡𝑎 − 1 𝑑𝑡 = − 𝑡𝑎𝒆− 𝒕 + 𝑎 𝛤 ( 1 ) 
( 4 ) Portanto, 𝜞 ( 𝒂 + 𝟏 ) = − lim
𝑏 → ∞
𝑡𝑎𝑒
− 𝑡 
 |𝑏
0
 + 𝑎 lim
𝑏 → ∞
∫ 𝑒− 𝑡 𝑡𝑎 − 1 𝑑𝑡
𝑏
0
 = 
= − 𝑙𝑖𝑚𝑏 → ∞ (
1
𝑒𝑏
 𝑏𝑎 − 
1
𝑒0
 𝑏𝑎 ) |𝑏
0
 + 𝒂 𝜞 ( 𝒂 ) = 𝒂 𝜞 ( 𝒂 ). 
( 5 )  ( 1/ 2 ) = √𝜋 é um resultado notável que pode ser obtido pela integração de 
 (𝟏/𝟐 ) = ∫ 𝒆− 𝒕 𝒕 − 𝟏/𝟐 𝒅𝒕
∞
𝟎
 em Coordenadas Polares. 
3ª PROPRIEDADE NOTÁVEL - O Fatorial: 
 ( 1 ) Em razão das Propriedades 1 e 2: 
Γ ( 2 ) = Γ ( 1 + 1 ) 𝑃 2
=
 1  ( 1 ) = 1. 1 = 1; Γ ( 3 ) = Γ ( 2 + 1 ) = 2  ( 2 ) = 2. 1 = 2; 
Γ ( 4 ) = Γ ( 3 + 1 ) 𝑃 2
=
 3  ( 3 ) = 3. 2 = 6; Γ ( 5 ) = Γ ( 4 + 1 ) 𝑃 2
=
 4  ( 4 ) = 24; 
Γ ( 6 ) = Γ ( 5 + 1 ) 𝑃 2
=
 5  ( 5 ) = 120 ; Γ ( 7 ) = Γ ( 6 + 1 ) 𝑃 2
=
 6  ( 6 ) = 720; 
( 2 ) Podemos escrever: 
 ( 2 ) = 1 ,  ( 3 ) = 2;  ( 4 ) = 3;  ( 5 ) = 4;  ( 6 ) = 5;  ( 7 ) = 7, . . . 
( 3 ) Demonstra-se por Indução que 𝜞 ( 𝒏 + 𝟏 ) = 𝒏  
( 4 ) A Função Gama é considerada a generalização do conceito do Fatorial. 
 A FUNÇÂO GAMA 
𝜞 ( 𝟏 ) = 𝟏: gama de 1 é igual a 1 
𝒏  = 𝜞 ( 𝒏 + 𝟏 ), 𝑛  ℕ∗ 
𝜞 ( 𝒂 + 𝟏 ) = 𝒂 𝜞 ( 𝒂 ) 
§ 4 
 
 
 
 𝜞 ( 𝒂 ) = ∫ 𝒆− 𝒕 𝒕𝒂 − 𝟏 𝒅𝒕
∞
𝟎
 
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 TRANSFORMADA DAS PRINCIPAIS FUNÇÔES ELEMENTARES ( 4 ) 
 
 
( 1 ) ℒ { 𝑡𝑎 } = ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 𝑡𝑎 𝑑𝑡

0 
( 2 ) Seja I = ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 𝑡𝑎 𝑑𝑡: 
a) Faça 𝑢 = 𝑠𝑡. 
 Então, 𝑑𝑢 = 𝑠 𝑑𝑡. 
b) Agora, 𝑡 = 
𝑢
𝑠
 e 𝑑𝑡 = 
𝑑𝑢
𝑠
. Assim, 
c) I = ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 𝑡𝑎 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒− 𝑢 ( 
𝑢
𝑠
 )
𝑎
 𝑑𝑢
𝑠
 = ∫ 𝑒− 𝑢 
𝑢𝑎
𝑠𝑎
 𝑑𝑢
𝑠
 = ∫ 𝑒− 𝑢 
𝑢𝑎
𝑠𝑎 + 1
 𝑑𝑢  
d) I = 
1
𝑠𝑎 + 1
 ∫ 𝑒− 𝑢 𝑢𝑎 𝑑𝑢 
( 3 ) Portanto, ℒ { 𝑡𝑎 } = ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 𝑡𝑎 𝑑𝑡

0 = 
1
𝑠𝑎 + 1
 𝑙𝑖𝑚𝑏 → ∞ ∫ 𝑒
− 𝑢 𝑢𝑎 𝑑𝑡
𝑏
0
 
( 4 ) Observe que 𝛤 ( 𝑎 + 1 ) =lim
𝑏 → ∞
∫ 𝑒− 𝒕 𝒕𝑎 𝑑𝑡
𝑏
0
 = 𝑙𝑖𝑚𝑏 → ∞ ∫ 𝑒− 𝒖 𝑢𝑎 𝑑𝑡
𝑏
0
; 
( 5 ) Consequentemente, 
 
 e 
 
 
Resumimos no quadro abaixo a 
TABELA DA TRANSFORMADA DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒚 = 𝒇( 𝒕 ) 𝓛{ 𝒇(𝒕 ) = 𝑭( 𝒔 ) 
𝑐𝑜𝑠 𝑤 𝑡 
𝑠
𝑠2 + 𝑎²
 
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑤𝑡 𝑤
𝑠² − 𝑤²
 
𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑤𝑡 𝑠
𝑠² − 𝑤²
 
𝑡𝑛 , 𝑛 ℕ∗ 𝑛 !
𝑠𝑛 + 1
 
𝑡𝑎 , 𝑎 > −1 Γ ( 𝑎 + 1 )
𝑠𝑎 + 1
 
𝒚 = 𝒇( 𝒕 ) 𝓛{ 𝒇(𝒕 ) = 𝑭( 𝒔 ) 
 𝑘, 𝑘  ℝ 𝑘
𝑠
 
𝑒𝑎𝑡 1
𝑠 − 𝑎
 
𝑒−𝑎𝑡 1
𝑠 + 𝑎
 
𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑤
𝑠² + 𝑎²
 
§ 5 
 
 
 A TRANSFORMADA DE 𝒇( 𝒕 ) = 𝒕𝒂, 𝑎 > −1 
ℒ { 𝑡𝑎 } = 
1
𝑠𝑎 + 1
 𝛤 ( 𝑎 + 1 ) 
 
ℒ { 𝑡𝑛 } = 
𝑛
𝑠𝑛 + 1
 , se 𝑎 = 𝑛  ℕ 
 
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 CÁLCULO DE TRANSFORMADAS 
 ℒ { 5 𝑒3𝑡 − 4 𝑒−8𝑡 } = ℒ {5 𝑒3𝑡 } − ℒ { 4 𝑒−8𝑡 } = 
5
𝑠 − 3
 − 
4
𝑠 + 8
 
 
 ℒ { 𝑡² − 3𝑡 + 2 } = ℒ { 𝑡² } − ℒ { 3 𝑡 } + ℒ { 2 } = 
2 
𝑠3
 − 3 
1 
𝑠²
 + 
2
𝑠
 
 ℒ { 3 cosh 2𝑡 − 2 𝑠𝑒𝑛ℎ 4𝑡 + 2 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 } = 
 = 3 
𝑠
𝑠² − 4
 − 2 
4
𝑠² − 4
 + 2 
3
𝑠² + 9
 = 
3𝑠
𝑠² − 4
 − 
8
𝑠² − 4
 + 
6
𝑠² + 9
. 
 ℒ { √𝑡 } = ℒ { 𝑡1 2⁄ } = 
Γ ( 1 2 + 1)⁄
𝑠( 1 2 ) + 1⁄
 = 
1 2 ⁄ Γ ( 1 2 )⁄
𝑠 3 2 ⁄
 = 
1 2 ⁄ √𝜋
√𝑠3
 = 
√𝜋
2 √𝑠3
 
 
 CÁLCULO DE TRANSFORMADAS 
 ℒ {√𝑡3 } = ℒ { 𝑡3 2⁄ } = 
Γ ( 3 2 + 1)⁄
𝑠( 3 2 ) + 1⁄
 = 
3 2 ⁄ Γ ( 3 2 )⁄
𝑠 5 2 ⁄
 
( 1 ) Agora, Γ ( 3 2 )⁄ = Γ ( 1 2 + 1 )⁄ = 1 2⁄ Γ ( 1 2 )⁄ = 1 2⁄ √𝜋; 
( 2 ) Daí, ℒ {√𝑡3 } =
3 2 ⁄ Γ ( 3 2 )⁄
𝑠 5 2 ⁄
 = 
3 2 .1 2⁄ √𝜋 ⁄
𝑠 5 2 ⁄
 = 
3 √𝜋
4 √𝑠5
 
 ℒ { 
1
√ 𝑡
 } = ℒ { 𝑡−1 2⁄ } = 
Γ ( − 1 2⁄ + 1 )
𝑠− 1 2 + 1⁄
 = 
Γ ( 1 2⁄ )
𝑠1 2⁄
 = 
√𝜋
√𝑠
 
 ℒ { 𝑐𝑜𝑠ℎ23𝑡 } = ℒ { ( 𝑐𝑜ℎ 3𝑡 )² } = ℒ { ( 
𝑒3𝑡 + 𝑒−3𝑡
2
 ) ² } = 
 ℒ { 
( 𝑒3𝑡 )² + 2 𝑒3𝑡 𝑒−3𝑡 + ( 𝑒−3𝑡 )² 
2
} = 
1
2
 ℒ {𝑒6𝑡 + 2 + 𝑒−6𝑡 } = 
= 
1
2
 [ ℒ { 𝑒6𝑡 } + + ℒ { 2 } + ℒ { 𝑒−6𝑡 } ] = 
1
2
 [ 
1
𝑠 − 6
+ 
2
𝑠 
+
1
𝑠 + 6
]. 
 ℒ { 𝑡 𝑒𝑡 } = ∫ 𝑒− 𝑠𝑡
∞
0
 𝑡 𝑒𝑡 𝑑𝑡 = lim 𝑏 → ∞ ∫ 𝑒
− 𝑡 ( 𝑠−1 )𝑏
0
 𝑡 𝑑𝑡 
 ( 1 ) Resolvendo I = ∫ 𝑒− 𝑡 ( 𝑠−1 ) 𝑑𝑡 pelo esquema Derive – Integre: 
 DERIVE INTEGRE 
 𝑡 𝑒− 𝑡 ( 𝑠−1 ) 
 1 −
1
𝑠 − 1
 𝑒− 𝑡 ( 𝑠−1 ) 
 0 ( 
1
𝑠 − 1
 )² 𝑒− 𝑡 ( 𝑠−1 ) + 
( 2 ) I = −
𝑡
𝑠 − 1
 𝑒− 𝑡 ( 𝑠−1 )  ( 1
𝑠 − 1
 )² 𝑒− 𝑡 ( 𝑠−1 ) + C  
( 3 ) Logo, ℒ { 𝑡 𝑒𝑡 } = 𝑙𝑖𝑚𝑏 → ∞ [−
𝑡
𝑠 − 1
 𝑒− 𝑡 ( 𝑠−1 )  ( 1
𝑠 − 1
 )² 𝑒− 𝑡 ( 𝑠−1 ) ] 𝑏
0
 = (
1
𝑠 − 1
) ² 
E 44 A 
E 45 C 
EXEMPLO 44 
EXEMPLO 45 
E 45 B 
E 44 B 
 
E 44 C 
 
E 44 D 
 
E 45 D 
 
E 45 A 
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 EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARTE I 
É de interesse conhecer as condições que garantem a existência da 
Transformada de Laplace e o seu domínio. 
Para tanto, devemos rever os conceitos de Continuidade por Partes e Funções 
Limitadas de Ordem Exponencial que garantem a existência da Integral de Riemann. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por exemplo, nos gráficos ( a ) e ( b ), 𝑓 tem descontinuidades em 𝑡1, 𝑡2, 𝑡3 e 
𝑡4, mas em cada subintervalo [ 𝑎, 𝑡1 ), [𝑡1, 𝑡2 ), [𝑡2, 𝑡3 ), [𝑡3, 𝑡4 ) e [𝑡4, b ] 𝑓 é contínua. 
Em ( c ) 𝑓 náo é contínua por partes, pois o limite para 𝑡  𝑡1 é : 
 
 
 𝑎 𝑡1 𝑡2 𝑡3 𝑡4 𝑏 
 𝑎 𝑡1 𝑡2 𝑡3 𝑡4 𝑏 𝑎 𝑡1 b 
 ( a ) ( b ) ( c ) 
 
 
 
 
 
 
 
 A definição refere-se a uma classe de funções que são Limitadas por uma função 
exponencial tal que – M 𝑒𝛼 𝑡  𝑓 ( 𝑡 )  M 𝑒𝛼 𝑡. 
Ou seja, 𝑓 não pode crescer mais rapidamente do que 𝒆𝜶 𝒕 quando 𝑡  . 
 Por exemplo, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 e 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 são de Ordem Exponencial, pois 
| 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 |  1 e | 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 |  1, onde M 𝑒𝛼 𝑡= 1. 𝑒0.𝑡. 
A função y = 1 √ 𝑡⁄ , cujo gráfico é mostrado 
ao lado, não é de Ordem Exponencial, 
pois quando 𝑡  0, 1 √ 𝑡⁄  . 
§ 6 
 
 
 
DEF 3. FUNÇÕES CONTÍNUAS POR PARTES 
 Uma função 𝑓 é denominada CONTÍNUA POR PARTES se o seu domínio 
pode ser subdividido em um número finito de subintervalos tal que, em cada 
subintervalo 𝑓 é contínua e tem limites à esquerda e à direita finitos. 
Funções Contínuas por Partes são chamadas Seccionalmente Contínuas. 
 
DEF 4. FUNÇÕES DE ORDEM EXPONENCIAL 
 Uma função 𝑓 definida para t > 𝑡0 é de ORDEM EXPONENCIAL 𝛼 se 
 | 𝑓 ( 𝑡 )|  M 𝑒𝛼 𝑡, M > 0. 
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UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 15 
 
 EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE PARTE II 
 
 
 
 
 
De fato. 
( 1 ) Seja f contínua por partes para 𝑡 ≥ 0 tal que | 𝑓 ( 𝑡 )|  M 𝑒𝛼 𝑡; 
( 2 ) Então ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 | 𝑓 ( 𝑡 )|𝑑𝑡

0
  ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 𝑀 𝑒𝛼 𝑡 𝑑𝑡

0
 = M 𝑙𝑖𝑚𝑏 → ∞ ∫ 𝑒
− 𝑠𝑡 𝑒𝛼 𝑡𝑑𝑡
𝑏
0
 = 
= M 𝑙𝑖𝑚𝑏 → ∞ ∫ 𝑒
− 𝑡 ( 𝑠 −  ) 𝑑𝑡
𝑏
0
 =  
𝑀
𝑠 − 
 𝑙𝑖𝑚𝑏 → ∞ 𝑒
− 𝑡 ( 𝑠 −  ) |
𝑏
0
 = 
𝑀
𝑠 − 
 se 𝑠 > ; 
Observamos: 
( 1 ) 𝑠 > , pois se 𝑠  , 𝑙𝑖𝑚𝑏 → ∞ ∫ 𝑒
− 𝑡 ( 𝑠 −  ) 𝑑𝑡
𝑏
0
 → ∞; 
( 2 ) Se 𝑠 → ∞, decorre 
𝑀
𝑠 − 
  0 
( 3 ) O Teorema assegura que o domínio de 𝐹( 𝑠 ) = ℒ { 𝑓( 𝑡 ) } é 𝑠 > ; 
( 4 ) Em muitas aplicações 𝑠 está restrita ao conjunto ℝ dos números reais; 
( 5 ) A variável 𝑠 = 𝜎 + 𝑗 𝑤 é tal que 𝜎 e 𝑗 são números reais; 
 ( a ) 𝑗, a parte real se 𝑠, é positiva e pode ser indicada: 𝑅𝑒( 𝑠 ) = 𝜎 > 0. 
 ( b ) 𝑗𝑤 é a parte imaginária de 𝑠 e pode ser indicada 𝐼𝑚( 𝑠 ) = 𝑤; 
( 5 ) A Integral de Laplace converge na região 𝑠 >  do plano complexo 𝑠 à direita da 
 𝐼𝑚 reta vertical 𝑠 = . 
 Região de 
 Divergência𝑅𝑒 . 
  
 
 
( 6 ) As condições do Teorema da Existência são suficientes, mas não necessárias. 
Por exemplo, 𝑓( 𝑡 ) = 
1
√𝑡
 não é contínua por partes em [ 0,  ) e nem é de ordem 
exponencial, mas sua transformada existe. Veja Exemplo 45 B. 
§ 7 
 
 
 
TEOREMA DAS CONDIÇÕES SUFICIENTES DE EXISTÊNCIA DE : 
 
 Se 𝑦 = 𝑓( 𝑡 ) é Contínua Por Partes para 𝑡  0 e de Ordem Exponencial  
a ℒ { 𝑓( 𝑡 ) } existe para todo 𝑠 > , 𝑠 = 𝜎 + 𝑗 𝑤  ℂ . 
 
Região de 
Convergência 
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 FUNÇÕES DEFINIDAS POR SENTENÇAS ABERTAS 
 𝑓( 𝑡 ) 
 Seja 𝑓( 𝑡 ) = {
 3, 0 < 𝑡 < 2
0, 𝑡 > 2
 cujo gráfico é 3 
 0 2 
( 1 ) A transformada da função 𝑓( 𝑡 ) = { 
3, 0 < 𝑡 < 2
0, 𝑡 > 2
 não pode ser determinada 
aplicando a TABELA DE TRANSFORMADAS ELEMENTARES, pois: 
 ( a ) A TABELA só se aplica às funções 𝑓 contínuas para t  0 e a função dada 
tem uma descontinuidade em t = 2; 
 ( b ) Assim devemos calcular a transformada diretamente da DEFINIÇÃO 2; 
 ( c ) Até porque, desde que uma função seja Contínua por Partes num dado 
intervalo [ a,  ), sua Integral Imprópria é Riemann- Integrável neste intervalo; 
( 2 ) Portanto, ℒ { 𝑓( 𝑡 ) } = ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 𝑓( 𝑡 ) 𝑑𝑡

0
 = ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 3 𝑑𝑡
2
0
 + ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 0 𝑑𝑡

0
; 
( 3 ) ℒ { 𝑓( 𝑡 ) } = 3 ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 𝑑𝑡
2
0
 = −
3
𝑠
 𝑒− 𝑠𝑡 |
2
0
 = −
3
𝑠
 ( 𝑒− 2𝑡 – 1 ) 
( 5 ) Logo, ℒ { 𝑓( 𝑡 ) } = 
3
𝑠
− 
3
𝑠
 𝑒− 2𝑡 . 
 
 FUNÇÕES DEFINIDAS POR SENTENÇAS ABERTAS 
 Seja 𝑓( 𝑡 ) = { 𝑡², 0 < 𝑡 < 3
0, 𝑡 > 3
 9 
 
 0 3 t 
( 1 ) ℒ { 𝑓( 𝑡 ) } = ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 𝑓( 𝑡 ) 𝑑𝑡

0
 = ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 𝑡² 𝑑𝑡
3
0
 + ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 0 𝑑𝑡

0
; 
( 2 ) Resolvendo I = ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 𝑡² 𝑑𝑡 pelo esquema Derive – Integre: 
 DERIVE INTEGRE 
 𝑡² 𝑒− 𝑠𝑡 
 2t −
1
𝑠 
 𝑒− 𝑠𝑡 
 2 
1
𝑠 ²
 𝑒− 𝑠𝑡 + 
 0 −
1
𝑠³ 
 𝑒− 𝑠𝑡  
 + 
( 2 ) I = −
𝑡²
𝑠 
 𝑒− 𝑠𝑡  
2𝑡
𝑠 ²
 𝑒− 𝑠𝑡  
1
𝑠 ³
 𝑒− 𝑠𝑡 + C 
( 3 ) Logo, ℒ {𝑓( 𝑡 )} = [ −
𝑡²
𝑠 
 𝑒− 𝑠𝑡  
2𝑡
𝑠 ²
 𝑒− 𝑠𝑡  
1
𝑠 ³
 𝑒− 𝑠𝑡 ] 3
0
 = (
1
𝑠 − 1
) ² . 
EXEMPLO 46 
EXEMPLO 47 
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 ATIVIDADES DE ESTUDOS 
 
 
 
 
TABELA DAS TRANSFORMADAS DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES 
𝒇( 𝒕 ) 𝑭( 𝒔 ) 𝒇( 𝒕 ) 𝑭( 𝒔 ) 
 k 𝑘 𝑠⁄ 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑤𝑡 𝑤 ( 𝑠2 − 𝑤² )⁄ 
𝑒𝑎𝑡 1 ( 𝑠⁄ − 𝑎 ) 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑤𝑡 𝑠 ( 𝑠2 − 𝑤² )⁄ 
𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑤 ( 𝑠² + 𝑎² )⁄ 𝑡𝑎, a >  1 Γ( a + 1 ) 𝑠𝑎+1⁄ 
𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 𝑠 ( 𝑠² + 𝑎² )⁄ 𝑡𝑛, n = 1, 2, 3, . . . n ! 𝑠𝑛+1⁄ 
 
 
 
 
484 y = 𝑡7 + 𝑡1 2⁄  
4
5
 𝑡3 5040
𝑠8
 + 
√𝜋
2√𝑠3
  
24
5 𝑠4
 
485 𝑦 = 3 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 + 7 𝑠𝑒𝑛 5𝑡 
3𝑠
𝑠2 + 4
 + 
35
𝑠2 + 25
 
486 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 3𝑡 + 𝑐𝑜𝑠ℎ 3𝑡 
3
𝑠2 − 9
+ 
𝑠
𝑠2 − 9
=
𝑠 + 3
( 𝑠 − 3 ) ( 𝑠 − 3 )
 = 𝑠 + 3 
487 y = 12 𝑒5𝑡 + 3 𝑒− 5𝑡 12
𝑠 − 5
+ 
3
𝑠 + 5
 = 12 
( 𝑠 + 5 ) + 3 ( 𝑠 − 5 )
( 𝑠 − 5 ) ( 𝑠 − 5 )
 = 15 𝑠 + 45
𝑠² − 25
 
488 y = 𝑒− 𝑡 + 𝑒𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 1
𝑠 + 1
+ 
1
𝑠 − 1
 + 1
𝑠² + 1
 = 2
𝑠² − 1
 + 1
𝑠² + 1
 = 2𝑠
3 + 𝑠2 + 2𝑠 − 1
( 𝑠2 − 1 ) ( 𝑠² + 1 )
 
489 y = 5  3 𝑒− 2 𝑡 + 4 𝑒2 𝑡 6 𝑠
2 + 14 𝑠 − 20
𝑠3 − 4𝑠
 
490 y = 3 + 2t + 0,5 𝑒3 𝑡  2 𝑒2 𝑡  0,5 𝑒 𝑡 𝑠
4  7𝑠3 + 13 𝑠2 + 4 𝑠 − 12
𝑠2 ( 𝑠  3 ) ( 𝑠2 − 3𝑠 + 2)
 
491 
y = 
6 √ 𝑡
√ 𝜋
 + 
8 √ 𝑡³
√ 𝜋
 3
√𝑠3
 + 3
√𝑠5
 
492 
y = cos √2 t  
1
√3
 senh √3 t 
𝑠
𝑠2 + 2
  
1
𝑠2  3
 
493 
y = 3 + 2t  cos t + sen 3t  
16 √ 𝑡5
√ 𝜋
 
3𝑠 + 2
𝑠2
 + 
3 − 𝑠 
𝑠2 + 9
  
30
𝑠7 2⁄
 
 
 ATIVIDADE 22: CALCULE UTILIZANDO A TABELA DE TRANSFORMADAS 
 
 
 
 § 8 
 
Se t ≥ 0, ℒ { 𝑓( 𝑡 ) } = ∫ 𝑒− 𝑠𝑡 𝑓( 𝑡 ) 𝑑𝑡

0
 
 𝓛 { 𝒂 𝒇( 𝒕 ) + 𝒃 𝒈( 𝒕 ) } = 𝒂 𝓛 { 𝒇( 𝒕 ) } + 𝒃 𝓛 { 𝒈( 𝒕 ) } 
 
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UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 18 
 
 
 
 
494 𝑓( 𝑡 ) = {
2𝑡 + 1, 0 ≤ 𝑡 ≤ 3
 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑜𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 4
𝑠 
  4 𝑒
− 3𝑠
𝑠
 + 3
𝑠² 
  3 𝑒
− 3𝑠
𝑠²
 
495 
𝑓( 𝑡 ) = {
2𝑡² + 𝑡, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2
 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑜𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 2𝑒
−2𝑠
𝑠³ 
  2
𝑠³ 
 + 𝑒
−2𝑠
𝑠² 
  6 𝑒
− 2𝑠
𝑠
  1
𝑠
 
 
496. 497 
 K 2 
 
 0 1 2 0 2 
𝒌
𝒔
 ( 𝒆−𝒔 − 𝒆−𝟐𝒔 ) 
𝟏
𝒔²
−
𝒆−𝟐𝒔
𝒔𝟐
− 
𝟐𝒆−𝟐𝒔
𝒔
 
 
498. 499. 
 2 1 
 1 
 0 1 2 0 1 2 3 
𝟐𝒔
− 
𝟐𝒆−𝒔
𝒔
 
𝟏
𝒔𝟐
( 𝒆−𝟐𝒔 − 𝒆−𝒔 − 𝒆−𝟑𝒔 + 1 ) + 𝟏
𝒔
( 𝟒𝒆−𝟐𝒔 − 𝟔 𝒆−𝟑𝒔 ) 
 
500. 501. 
 4 4 
 3 3 
 2 2 
 1 1 
 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 
𝟏
𝒔
( 𝒆−𝒔 + 𝒆−𝟐𝒔 + 𝒆−𝟑𝒔  4𝒆−𝟒𝒔 + 1 ) − 𝟏
𝒔
( 𝒆−𝒔 + 𝒆−𝟐𝒔 + 𝒆−𝟑𝒔  4𝒆−𝟒𝒔 + 4 ) 
502 y = 5 senh² 3t 
𝟓
𝟒
( 
𝟏
𝒔 − 𝟔
  
𝟐
𝒔
+ 
𝟏
𝒔 + 𝟔
 ) 
503 𝑦 = 𝑡 𝑒𝑡 1 ( 𝑠 − 1 )²⁄ 
504 𝑦 = 𝑡 𝑒𝑎𝑡 1 ( 𝑠 − 𝑎 )²⁄ 
505 𝑦 = 𝑒− 𝑡 cosh 3t 𝟏
𝟐
( 
𝟏
𝒔 − 𝟏
+ 
𝟏
𝒔 + 𝟑
 ) 
506 
𝑓( 𝑡 ) = {
cos 𝑡, 0 ≤ 𝑡 < 𝜋 2⁄
0, 𝑡 ≥ 𝜋 2⁄
 𝑒
−( 𝜋 2 ) ⁄ 𝑠 ( 𝑠 + 1 )
𝑠2 + 1
 
 ATIVIDADE 23: CALCULE PELA DEFINIÇÃO A TRANSFORMADA DE: 
 
CADERNOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS | PROF MARCO A BRASIL 
 
UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 19 
 
 
 TRANSFORMADA INVERSA 
Seja 𝑦 = 𝑓( 𝑡 ) tal que ℒ { 𝑓( 𝑡 ) } = 𝐹( 𝑠 ). 
Então, ℒ− 1 [ ℒ { 𝑓 ( 𝑡 )} = ℒ− 1 { 𝐹( 𝑠 ) } e daí 𝑓( 𝑡 ) = ℒ− 1{ 𝐹( 𝑠 ) }. 
Ou seja, 𝑓( 𝑡 ) é a TRANSFORMADA INVERSA de 𝐹( 𝑠 ). 
Assim, fazemos agora uma nova leitura da 
TABELA DA TRANSFORMADA DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A Transformada Inversa de Laplace ℒ− 1 é uma Transformação Linear: 
 
 
 
Calcular transformadas inversas equivale a responder à pergunta qual é a função 
cuja transformada é . . . ? 
Ou seja, dado 𝑌 = 𝐹( 𝑠 ), encontre 𝑦 = 𝑓( 𝑡 ). 
Para tanto devemos procurar reduzir uma dada função 𝐹 na variável 𝑠 a uma 
função ou combinação das funções listadas na tabela das transformadas inversas. 
É frequente recorrer a ajustes algébricos ou técnicas algébricas 
Entretanto, novos teoremas serão desenvolvidos que facilitarão o cálculo de 
transformadas inversas. 
𝒀 = 𝑭( 𝒔 ) 𝒚 = 𝒇( 𝒕 ) 
𝑠
𝑠² + 𝑎²
 
𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 
𝑤
𝑠² − 𝑤²
 
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑤𝑡 
𝑠
𝑠² − 𝑤²
 
𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑤𝑡 
𝑛 !
𝑠𝑎 + 1
 
𝑡𝑛 , 𝑛 ℕ∗ 
Γ ( 𝑎 + 1 )
𝑠𝑎 + 1
 
𝑡𝑎 , 𝑎 > − 1 
𝒀 = 𝑭( 𝒔 ) 𝒚 = 𝒇( 𝒕 ) 
 𝑘
𝑠
 , 𝑘  ℝ 
 
1 
1
𝑠 − 𝑎
 
𝑒𝑎𝑡 
1
𝑠 + 𝑎
 
𝑒− 𝑎𝑡 
𝑤
𝑠² + 𝑎²
 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 
§ 9 
 
 
 
 𝓛− 𝟏 { a F( s ) + b G( s ) } = a 𝓛− 𝟏 { F( s ) } + b 𝓛− 𝟏 { G( s ) } 
CADERNOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS | PROF MARCO A BRASIL 
 
UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 20 
 
 
 CÁLCULO DIRETO DE TRANSFORMADAS INVERSAS 
 ℒ− 1 { 10
𝑠 + 7
 } 
( 1 ) AJUSTE: ℒ− 1 { 10
𝑠 + 7
 } = 10 ℒ− 1 { 1
𝑠 + 7
 }; 
( 2 ) LOCALIZE: Da Tabela de Transformadas, temos 
( a ) ℒ { 𝑒−𝑎𝑡 } = 
1
𝑠 + 𝑎
; 
( b ) Fazendo a = 7, segue-se que ℒ { 𝑒−7𝑡 } = 
1
𝑠 + 7
; 
(c ) Assim, ℒ− 1 { 1
𝑠 + 7
 } = 𝑒−7𝑡; 
( 3 ) CONCLUSÃO: ℒ− 1 { 10
𝑠 + 7
 } = 10 ℒ− 1 { 1
𝑠 + 7
 } = 10 𝑒−7𝑡 . 
 ℒ− 1 { 3
2𝑠 + 5
 } 
( 1 ) AJUSTE: ℒ− 1 { 3
2𝑠 + 5
 } = 3 ℒ− 1 { 1
2𝑠 + 5
 }; 
( a ) Na tabela, na coluna das transformadas, a variável s é multiplicada pela unidade; 
( b ) Assim ℒ− 1 { 
3
2𝑠 + 5
 } = 3 ℒ− 1 { 
1
2𝑠 + 5
 } = 3 ℒ− 1 { 
1
2 ( 𝑠 + 
5
2
 )
 } = 
3
2
 ℒ− 1 { 
1
 𝑠 + 
5
2
 
 } 
( 2 ) LOCALIZE: Da Tabela de Transformadas, temos 
( a ) ℒ { 𝑒−𝑎𝑡 } = 
1
𝑠 + 𝑎
; 
( b ) Fazendo a = 5 2⁄ , segue-se que ℒ { 𝑒( −5 2 ) ⁄ 𝑡 } = 
1
𝑠 + 
5
2
 
; 
(c ) Assim, ℒ− 1 { 1
𝑠 + 52 
 } = 𝑒( −5 2 ) ⁄ 𝑡; 
( 3 ) CONCLUSÃO: ℒ− 1 { 3
2𝑠 + 5
 } = 3
2
 ℒ− 1 { 
1
 𝑠 + 
5
2
 
 } = 
3
2
 𝑒( −5 2 ) ⁄ 𝑡 . 
 ℒ− 1 { 𝑠
𝑠² + 49
 } 
 
 ( 1 ) LOCALIZE: Da Tabela de Transformadas, temos 
( a ) ℒ { cos 𝑤𝑡 } = 
𝑠
𝑠² + 𝑤²
; 
( b ) Fazendo w = 7, segue-se que ℒ { cos 7𝑡 } = 
1
𝑠² + 49
; 
( 2 ) CONCLUSÃO: ℒ− 1 { 1
𝑠² + 49
 } = cos 7𝑡 ; 
EXEMPLO 48 
E 48 A 
E 48 B 
E 48 C 
CADERNOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS | PROF MARCO A BRASIL 
 
UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 21 
 
 
 CÁLCULO DE TRANSFORMADAS INVERSAS 
 ℒ− 1 { 3
𝑠² + 25
 } 
( 1 ) AJUSTE: ℒ− 1 { 3
𝑠² + 25
 } = 3 ℒ− 1 { 1
𝑠² + 25
 }; 
( 2 ) LOCALIZE: Da Tabela de Transformadas, ℒ { 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 } = 
𝑤
𝑠² + 𝑤²
; 
( a ) Fazendo w² = 25  w = 5: ℒ { 𝑠𝑒𝑛 5𝑡 } = 
5
𝑠² + 25
 e ℒ− 1 { 5
𝑠² + 25
 } = 𝑠𝑒𝑛 5𝑡; 
( b ) Entretanto, como queremos obter ℒ− 1 { 1
𝑠² + 25
 }, procedemos assim: 
 ℒ− 1 { 1
5 
 5
𝑠² + 25
 } = 
1
5 
 𝑠𝑒𝑛 5𝑡  ℒ− 1 { 1
𝑠² + 25
 } = 
1
5 
 𝑠𝑒𝑛 5𝑡; 
( 3 ) CONCLUSÃO: ℒ− 1 { 3
𝑠² + 25
 } = 3 ℒ− 1 { 1
𝑠² + 25
 } = 
3
5 
 𝑠𝑒𝑛 5𝑡. 
 ℒ− 1 { 5
𝑠4
 } 
( 1 ) AJUSTE: ℒ− 1 { 5
𝑠4
 } = 5 ℒ− 1 { 1
𝑠4
 }; 
( 2 ) LOCALIZE: Da Tabela de Transformadas, temos ℒ { 𝑡𝑛 } = 
𝑛 !
𝑠𝑛 + 1
; 
( a ) Fazendo n + 1 = 4, temos n = 3, ℒ { 𝑡3 } = 
3 !
𝑠4
 = 
6
𝑠4
 e ℒ− 1 { 6
𝑠4
 } = 𝑡3 
( b ) ℒ− 1 { 1
5 
 5
𝑠4
 } = 
1
5 
 𝑡3  ℒ− 1 { 1
𝑠4
 }= 
1
5 
 𝑡3; 
( 3 ) CONCLUSÃO: ℒ− 1 { 1
𝑠4
 } = 
1
5 
 𝑡3. 
 ℒ− 1 { 4
𝑠5 2⁄
 } 
( 1 ) AJUSTE: ℒ− 1 { 4
𝑠5 2⁄
 } = 4 ℒ− 1 { 1
𝑠5 2⁄
 }; 
( 2 ) LOCALIZE: Da Tabela de Transformadas, temos ℒ { 𝑡𝑎 } = 
Γ ( 𝑎 + 1 )
𝑠𝑎 + 1
; 
( a ) Fazendo a + 1 = 
5
2
, temos a = 
3
2
 e ℒ { 𝑡3 2⁄ } = 
Γ ( 3 2⁄ + 1 )
𝑠3 2⁄ + 1
 = 
3 2 ⁄ Γ ( 3 2⁄ )
𝑠5 2⁄ 
 = 
3 2 ⁄ Γ ( 1 2⁄ + 1 )
𝑠5 2⁄ 
 = 
( 3 2 ) ( 1 2⁄ ) ⁄ Γ ( 1 2⁄ )
 𝑠5 2⁄ 
 = 
( 3 4 ) √𝜋 ⁄
 𝑠5 2⁄ 
 
( b ) Segue-se que, ℒ− 1 { ( 3 4 ) √𝜋 ⁄
 𝑠5 2⁄ 
 } = 𝑡3 2⁄ e dai 
( c ) ℒ− 1 { 1
( 3 4 ) √𝜋⁄ 
 ( 3 4 ) √𝜋 ⁄
 𝑠5 2⁄ 
 } = 
1
( 3 4 ) √𝜋⁄ 
 𝑡3 2⁄  ℒ− 1 { 1
𝑠5 2⁄
 }= 
𝑡3 2⁄
( 3 4 ) √𝜋⁄ 
 
( 3 ) CONCLUSÃO: ℒ− 1 { 
4
𝑠5 2⁄
 } = 
4
( 3 4 ) √𝜋⁄ 
 𝑡3 2⁄ = 
16
 3 √𝜋
 𝑡3 2⁄ . 
EXEMPLO 49 
E 49 A 
E 49 B 
E 49 C 
CADERNOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS | PROF MARCO A BRASIL 
 
UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 22 
 
 
 CÁLCULO DE TRANSFORMADAS INVERSAS 
 ℒ− 1 { 10 𝑠+ 2
𝑠² + 36
 } = ℒ− 1 { 
10 𝑠
𝑠² + 36
+ 
2
𝑠² + 36
 } 
( 1 ) AJUSTE: ℒ− 1 { 
10 𝑠 + 2
𝑠² + 36
 } = 10 ℒ− 1 { 𝑠
𝑠² + 36
 } + 2 ℒ− 1 { 1
𝑠² + 36
 } 
( 2 ) LOCALIZE: ℒ { 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 } = 
𝑠
𝑠² + 𝑤²
 e ℒ { 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 } = 
𝑤
𝑠² + 𝑤²
 
( a ) w² = 36  w = 6 e daí ℒ { 𝑐𝑜𝑠 6𝑡 } = 
𝑠
𝑠² + 36
 e ℒ { 𝑠𝑒𝑛 6𝑡 } = 
6
𝑠² + 36
 ; 
( b ) ℒ− 1 { 𝑠
𝑠² + 36
 } = 𝑐𝑜𝑠 6𝑡 e ℒ− 1 { 1
6
 6
𝑠² + 36
 } = ℒ− 1 { 1
𝑠² + 36
 } = 
1
6
 𝑠𝑒𝑛 6𝑡 
 ( 3 ) CONCLUSÃO: 
ℒ− 1 { 10 𝑠 + 2
𝑠² + 36
 } = 10 ℒ− 1 { 
 𝑠
𝑠² + 36
 } + 2 ℒ− 1{ 
1
𝑠² + 36
 } = 10 𝑐𝑜𝑠 6𝑡 + 
2
6
 𝑠𝑒𝑛 6𝑡 
 ℒ− 1 { 
 2𝑠² + 2
( 𝑠 − 1 )( 𝑠 + 2 ) ( 𝑠 − 3 )
 } 
( 1 ) AJUSTE: 
( a ) 
2 𝑠² + 2
( 𝑠 − 1 )( 𝑠 + 2 ) ( 𝑠 − 3 )
 = 
𝐴
𝑠 − 1
 + 
𝐵
𝑠 + 2
 + 
𝐶
𝑠 − 3
  
 A ( s + 2 ) ( s  3 ) + B ( s  1 ) ( s  3 ) + C ( s  1 ) ( s + 2 ) = 2 s² + 2 
( b ) s = 3  10 C = 32  C = 16 5⁄ , s =  2  B = 2 3⁄ e s = 1  A = −2 3⁄ 
( c ) Portanto, 
10 𝑠 + 2
( 𝑠 − 1 )( 𝑠 + 2 ) ( 𝑠 − 3 )
 = − 
2
3
 
𝐴
𝑠 − 1
 + 
2
3
 
𝐵
𝑠 + 2
 + 
16
5
 
𝐶
 𝑠 − 3
 
( 2 ) LOCALIZE: 
 ℒ− 1 { 
1
𝑠 − 1
 } = 𝑒𝑡, ℒ− 1 { 
1
𝑠 + 2
 } = 𝑒−2𝑡 e ℒ− 1 { 
1
𝑠  2
 } = 𝑒3𝑡; 
( 3 ) CONCLUSÃO: ℒ− 1 { 
 2𝑠² + 2
( 𝑠 − 1 )( 𝑠 + 2 ) ( 𝑠 − 3 )
 } = − 
2
3
 𝑒𝑡 + 
2
3
 𝑒−2𝑡 + 
16
5
 𝑒3𝑡. 
 ℒ− 1 { 
 5𝑠 + 1
( 𝑠 − 1 )( 𝑠² + 4 ) 
 } 
( 1 ) AJUSTE: 
 5𝑠 + 1
( 𝑠 − 1 )( 𝑠² + 4 ) 
 = 
𝐴
𝑠 − 1
 + 
𝐵𝑠 + 𝐶
𝑠² + 4
  
( a ) A ( s² + 4 ) + ( B s + C ) ( s – 1 ) = 5s + 1 
( b ) s = 1  A = 6 5⁄  6 5⁄ ( s² + 4 ) + ( B s + C ) ( s – 1 ) = 5s + 1 
( c ) Temos s² (6 5⁄ + B ) + s ( C – B ) + 24 5⁄  C = 0 s² + 5s + 1; 
( d ) 6 5⁄ + B = 0  B = −6 5⁄ , C – B = 5  C = 19 5⁄ e 24 5⁄  C = 1  C = 19 5⁄ ; 
( e ) 
 5𝑠 + 1
( 𝑠 − 1 )( 𝑠² + 4 ) 
 = 
6
5
 
1
𝑠 − 1
  
6
5
 
𝑠 
𝑠² + 4
 + 
19
5
 
1 
𝑠² + 4
 
( 2 ) CONCLUSÃO: ℒ− 1 { 
 5 𝑠 + 1
( 𝑠 − 1 )( 𝑠² + 4 ) 
 } = 
6
5
 𝑒𝑡  
6
5
 𝑐𝑜𝑠 2𝑡. 
EXEMPLO 50 
E 50 A 
E 50 B 
E 50 C 
CADERNOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS | PROF MARCO A BRASIL 
 
UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 23 
 
 ATIVIDADES DE ESTUDOS 
 
TABELA DAS TRANSFORMADAS DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES 
𝒇( 𝒕 ) 𝑭( 𝒔 ) 𝒇( 𝒕 ) 𝑭( 𝒔 ) 
 k 𝑘 𝑠⁄ 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑤𝑡 𝑤 ( 𝑠2 − 𝑤² )⁄ 
𝑒𝑎𝑡 1 ( 𝑠⁄ − 𝑎 ) 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑤𝑡 𝑠 ( 𝑠2 − 𝑤² )⁄ 
𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑤 ( 𝑠² + 𝑎² )⁄ 𝑡𝑎, a >  1 Γ( a + 1 ) 𝑠𝑎+1⁄ 
𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 𝑠 ( 𝑠² + 𝑎² )⁄ 𝑡𝑛, n = 1, 2, 3, . . . n ! 𝑠𝑛+1⁄ 
 
 
 
 
507 
5
𝑠 + 2
 + 
3
𝑠 − 4
 𝑒− 2𝑡 + 𝑒 4𝑡 
508 5𝑠
𝑠2 + 36
 + 
4
𝑠2 + 9
 5𝑐𝑜𝑠 6𝑡 + 4
3
 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 
509 7
𝑠2 − 25
 + 
8𝑠
𝑠2 − 25
 7
5
 𝑠𝑒𝑛 5𝑡 + 8 cosh 5𝑡 
510 3
𝑠3 2⁄
 + 
6
𝑠5 2⁄
 6
√
 √𝑡 + 
8
√
 √𝑡³ 
511 3𝑠 +2
𝑠2 
  
𝑠 − 9
𝑠2 + 9
 + 
36 − 30 √𝑠 
𝑠4
 3 + 2𝑡 – 3𝑐𝑜𝑠𝑡 3𝑡 + 3𝑠𝑒𝑛 3𝑡 + 3𝑡³  16
√
 √𝑡5 2⁄ 
512 3 
2𝑠 − 3 
  
𝑠 + 4𝑠
9𝑠2 − 16
 + 
4 − 3 𝑠 
16 𝑠2+ 9
 3
2
𝑒1,5𝑡–
1
4
 𝑠𝑒𝑛ℎ 
4
3
𝑡 − 4𝑐𝑜𝑠ℎ 
4
3
𝑡 +
1
3
 𝑠𝑒𝑛 
3
4
𝑡 − 3𝑐𝑜𝑠 
3
4
 𝑡 
 
513 1 
𝑠² − 9𝑠 
 + 
 4𝑠 + 4
𝑠2+ 16
 + 
5𝑠 + 7 
 𝑠2+2𝑠−3
 1
9
𝑒9𝑡 − 
1
9
+ 4 cos 4𝑡 + 𝑠𝑒𝑛4𝑡 + 𝑒3𝑡 + 2𝑒−3𝑡 
514 6𝑠2+14𝑠 − 20 
𝑠³ − 4𝑠 
 5 − 3 𝑒−2𝑡 + 4𝑒2𝑡 
515 2 𝑠3 + 𝑠2 + 2𝑠 − 1 
𝑠4 − 1 
 𝑒−𝑡 + 𝑒𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 
516 𝑠4−7𝑠3+13𝑠2+4𝑠−12 
𝑠2( 𝑠 − 3 )( 𝑠² − 3𝑠 + 2 ) 
 3 + 2𝑡 + 0,5 𝑒3𝑡 − 2 𝑒2𝑡  0,5 4𝑒𝑡 
 ATIVIDADE 24: CALCULE A TRANSFORMADA INVERSA: 
 
 
 
 § 10 
 
CADERNOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS | PROF MARCO A BRASIL 
 
UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 24 
 
 TRANSFORMADA DE DERIVADAS E INTEGRAIS 
 
Uma boa razão para resolver EDO´s através da Transformada de Laplace é 
que ela transforma EDO´s em equações polinomiais e permite um estudo eficiente das 
equações com segundo membro descontínuo. 
 Os teoremas que abrem essas portas são dados a seguir. 
TEOREMA 1 : 𝓛 { 𝒇´( t ) } = 𝒔 𝓛 { 𝒇( t ) }  𝒇( 𝟎 ) 
De fato. 
( 1 ) ℒ { 𝑓´( t ) } = ∫ 𝑒− 𝑠𝑡
∞
0
 𝑓´( t ) 𝑑𝑡 
( 2 ) Integrando por Partes: { 
𝑢 = 𝑒− 𝑠𝑡  𝑑𝑢 =  𝑠 𝑒− 𝑠𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑣 = 𝑓´( 𝑡 ) 𝑑𝑡  𝑣 = 𝑓( 𝑡 )
, temos 
ℒ { 𝑓´( t ) } = 𝑙𝑖𝑚 𝑏  ∞ [ 𝑒
− 𝑠𝑡. 𝑓( 𝑡 ) ] 𝑏
0
 + 𝑠 ∫ 𝑒− 𝑠𝑡
∞
0
 𝑓( t ) 𝑑𝑡; 
( 3 ) ℒ { 𝑓´( t ) } = 𝑙𝑖𝑚 𝑏  ∞ [ 𝑒
− 𝑠𝑡. 𝑓( 𝑡 ) ] − 𝑒− 𝑠.0. 𝑓( 0 ) + 𝑠 ℒ { 𝑓( t ) } 
( 4 ) Considerando 𝑒− 𝑠𝑡. 𝑓( 𝑡 )  0 quando t  , segue o resultado. 
TEOREMA 2 : 𝓛 { 𝒇´´( t ) } = 𝒔² 𝓛 { 𝒇( t ) }  𝒔 𝒇( 𝟎 )  𝒇´( 𝟎 ). 
De fato. 
( 1 ) ℒ { 𝑓´´ } = ℒ { ( 𝒇´ )´ } = 𝒔 𝓛 { 𝒇´ }  𝒇´( 𝟎 ) = 𝒔 [ 𝒔 𝓛 { 𝒇 }  𝒇( 𝟎 ) ]  𝒇´( 𝟎 ) 
( 2 ) ℒ { 𝑓´´ } = 𝒔² 𝓛 { 𝒇 }  𝒔 𝒇( 𝟎 )  𝒇´( 𝟎 ) 
TEOREMA 3 : 𝓛 { 𝒇´´´( t ) } = 𝒔³ 𝓛 { 𝒇( t ) }  𝒔² 𝒇( 𝟎 )  s 𝒇´( 𝟎 ) − 𝒇´´ ( 𝟎 ) 
De fato. 
( 1 ) Seja 𝑔( 𝑡 ) = ∫ 𝑓( 𝑢 ) 𝑑𝑢 
𝑡
0
. Então 𝑔´( 𝑡 ) = 𝑓( 𝑡 ) e 𝑔( 0 ) = 0; 
( 2 ) ℒ { 𝑔´ } = 𝑠 ℒ { 𝑔 }  𝑔( 0 )  ℒ { 𝑓 } = 𝑠 ℒ { ∫ 𝑓( 𝑢 ) 𝑑𝑢 
𝑡
0
 }  
( 3 ) ℒ {∫ 𝑓( 𝑢 ) 𝑑𝑢 
𝑡
0
} = 
1
𝑠
 ℒ { 𝑓( 𝑡 ) } 
13 CADERNO 13 
 
TEOREMA DA TRANSFORMADA DA DERIVADA 
 Sejam 𝑓, 𝑓´, 𝑓´´, . . . , 𝑓( 𝑛 − 1 ) funções contínuas em [ 0,  ), 𝑓( 𝑛 ) Contínua por 
Partes e ℒ { f ( t ) } = F( s ). Então: 
 
ℒ { 𝑓( 𝑛 )( t ) } = 𝑠 𝑛 ℒ { f( t ) }  𝑠 𝑛 − 1 𝑓( 0 ) − 𝑠 𝑛 − 2 𝑓´( 0 ) − . . .  𝑓( 𝑛 − 1 ) ( 0 ) 
 
TEOREMA DA TRANSFORMADA DA INTEGRAL 
Se 𝒇 satisfaz as condições de existência, 𝓛 {∫ 𝒇( 𝒖 ) 𝒅𝒖 
𝒕
𝟎
} = 
1
𝑠
 𝓛 { 𝒇( 𝒕 ) } 
 
CADERNOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS | PROF MARCO A BRASIL 
 
UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 25 
 
 
 CÁLCULO DE TRANSFORMADAS 
 
 ℒ { 𝑡 𝑒𝑎𝑡 } 
( 1 ) ARGUMENTO: 𝓛 { 𝒇´´ } = 𝒔² 𝓛 { 𝒇 }  𝒔 𝒇( 𝟎 )  𝒇´( 𝟎 ). 
( 2 ) Seja 𝑓( 𝑡 ) = 𝑡 𝑒𝑎𝑡. Então, 
a ) f( 0 ) = 0 
b ) 𝑓`( 𝑡 ) = 𝑒𝑎𝑡 + 𝑎𝑡 𝑒𝑎𝑡 e 𝑓´( 0 ) = 1; 
c ) 𝑓´´( 𝑡 ) = 𝑎 𝑒𝑎𝑡 + 𝑎 𝑒𝑎𝑡 + 𝑎²𝑡 𝑒𝑎𝑡 = 2 𝑎 𝑒𝑎𝑡 + 𝑎²𝑡 𝑒𝑎𝑡 
( 3 ) ℒ { 𝑓´´ } = 𝑠² ℒ { 𝑓 }  𝑠 𝑓( 0 )  𝑓´( 0 )  
ℒ { 2 𝑎 𝑒𝑎𝑡 + 𝑎²𝑡 𝑒𝑎𝑡 } = 𝑠² ℒ { t 𝑒𝑎𝑡 }  1  
 2 a ℒ { 𝑒𝑎𝑡 } + 𝑎2ℒ{𝑡 𝑒𝑎𝑡 } = 𝑠² ℒ { t 𝑒𝑎𝑡 }  1  
2 a ℒ { 𝑒𝑎𝑡 } + 1 = ℒ { t 𝑒𝑎𝑡 } ( s²  a² )  
2𝑎
𝑠 − 𝑎
 + 1 = ℒ { t 𝑒𝑎𝑡 } ( s²  a² ) 
 ℒ { t 𝑒𝑎𝑡 } ( s  a )( s + a ) = 
2𝑎 + 𝑠 − 𝑎
𝑠 − 𝑎
  ℒ { t 𝑒𝑎𝑡 } = 
𝑠 + 𝑎
( 𝑠  𝑎 )( 𝑠 + 𝑎 ) ( 𝑠 − 𝑎 )
 
( 3 ) ℒ { 𝑡 𝑒𝑎𝑡 } = 
1
( 𝑠 − 𝑎 )²
 
 
 ℒ { 𝑡 cos 𝑤𝑡 } 
 
( 1 ) ARGUMENTO: 𝓛 { 𝒇´´ } = 𝒔² 𝓛 { 𝒇 }  𝒔 𝒇( 𝟎 )  𝒇´( 𝟎 ). 
( 2 ) Seja 𝑓( 𝑡 ) = 𝑡 cos 𝑤𝑡. Então, 
a ) f( 0 ) = 0 
b ) 𝑓`( 𝑡 ) = cos wt  𝑤𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 e 𝑓´( 0 ) = 1; 
c ) 𝑓´´( 𝑡 ) = - w sen wt  𝑤 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 – w² t cos wt =  2 𝑤 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 – w² t cos wt 
( 3 ) ℒ { 𝑓´´ } = 𝑠² ℒ { 𝑓 }  𝑠 𝑓( 0 )  𝑓´( 0 )  
ℒ {  2 𝑤 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 – w² t cos wt } = 𝑠² ℒ { t cos wt }  1  
 2 w ℒ { 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 }  w² ℒ { t 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 } = 𝑠² ℒ { t cos wt }  1  
 2 w ℒ { 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 } + 1 = 𝑠² ℒ { t cos wt } + w² ℒ { t 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 }  
  2 w 
𝑤
𝑠2 + 𝑤²
 + 1 = ℒ { t cos wt } ( s² + w² )  
 
−2 𝑤2 + 𝑠2 + 𝑤² 
𝑠2 + 𝑤²
 = ℒ { t cos wt } ( s² + w² )  ℒ { t cos wt } ( s² + w² )= 
 𝑠2  𝑤² 
𝑠2 + 𝑤²
 
( 4 ) ℒ { t cos wt } = 
 𝑠2  𝑤² 
( 𝑠2 + 𝑤2 )² 
 
EXEMPLO 51 
E 51 A 
E 51 B 
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UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 26 
 
 
 
 CÁLCULO DE TRANSFORMADAS INVERSAS 
 
 O Teorema da Transformada da Integral pode ser utilizado para o cálculo de 
transformadas inversas. Basta observarmos que: 
 Como 𝓛 {∫ 𝒇( 𝒖 ) 𝒅𝒖 
𝒕
𝟎
} = 
1
𝑠
 𝓛 { 𝒇( 𝒕 ) } ou 𝓛 {∫ 𝒇( 𝒖 ) 𝒅𝒖 
𝒕
𝟎
} = 𝐶, então 
 
 
 
Ou seja, determinar a transformada inversa de uma função 𝐹 multiplicada pelo 
fator 1 𝑠⁄ equivale a integrar a transformada inversa de 𝐹. E assim sucessivamente. 
 ℒ− 1 { 
3
𝑠 ( 𝑠 − 2 )
 } 
( 1 ) ARGUMENTO: ℒ− 1 { 
1
𝑠
 𝑭( 𝒔 )} = ∫ 𝒇( 𝒖 ) 𝒅𝒖 
𝒕
𝟎
 
( 2 ) ℒ− 1 { 
3
𝑠 ( 𝑠 − 2 )
 } = ℒ− 1 { 
1
𝑠
 
3
 𝑠 − 2 
 } 
( 3 ) ℒ− 1 { 
3
 𝑠 − 2 
 } = 3 𝑒2𝑡 
( 4 ) ℒ− 1 { 
1
𝑠
 
3
 𝑠 − 2 
 } = ∫ 3 𝑒2𝑢 𝑑𝑢 𝑡0 = 
3
2
 𝑒2𝑢 |𝑡
0
 = 
3
2
 𝑒2𝑡 − 
3
2
 
 
 ℒ− 1 { 
3
𝑠2 ( 𝑠 − 2 )
 } 
( 1 ) ARGUMENTO: ℒ− 1 { 
1
𝑠
 𝑭( 𝒔 )} = ∫ 𝒇( 𝒖 ) 𝒅𝒖 
𝒕
𝟎
 
( 2 ) ℒ− 1 { 
3
𝑠² ( 𝑠 − 2 )
 } = ℒ− 1 { 
1
𝑠
. ( 
1
𝑠
 
3
 𝑠 − 2 
 ) } 
( 3 ) ℒ− 1 { 
1
𝑠
 
3
 𝑠 − 2 
 } = 
3
2
 𝑒2𝑡 − 
3
2
 
( 4 ) ℒ− 1 { 
1
𝑠²
 
3
 𝑠 − 2 
 } = ∫ ( 3
2
 𝑒2𝑡 − 3
2
 ) 𝑑𝑢 𝑡
0
= 
3
4
 𝑒2𝑢 |𝑡
0
 − 
3
2
 u |𝑡
0
 
( 5 ) ℒ− 1 { 
1
𝑠²
 
3
 𝑠 − 2 
 } = 
3
4
 𝑒2𝑡  
3
4
 −
3
2
 𝑡 + 
3
2
 = 
3
4
 𝑒2𝑡 − 3
2
 𝑡  
3
4
 
 
 ℒ− 1 { 
3
𝑠³ ( 𝑠 − 2 )
 } 
( 1 ) ℒ− 1 { 
3
𝑠³ ( 𝑠 − 2 )
 } = ℒ− 1 { 
1
𝑠
. ( 
1
𝑠²
 
3
 𝑠 − 2 
 ) } = ∫ ( 3
4
 𝑒2𝑢 − 3
2
 𝑢  3
4 
 )𝑡
0
 𝑑𝑢 
( 2 ) ℒ− 1 { 
3
𝑠³ ( 𝑠 − 2 )
 } = 
3
8
 𝑒2𝑢|𝑡0 −
3
4
 𝑢2|𝑡0 
3
4 
𝑢 |𝑡0 = 
3
8
 𝑒2𝑡 −
3
4
 𝑡2 
3
4 
𝑡  
3
8
 
EXEMPLO 52 
E 52 A 
ℒ− 1 { 
1
𝑠
 𝑭( 𝒔 )} = ∫ 𝒇( 𝒖 ) 𝒅𝒖 
𝒕
𝟎
 
E 52 B 
E 52 C 
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UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 27 
 
 
 TRANSFORMADAS DE EDO`s 
 SEJA RESOLVER O PVI: {
 𝑦´´ − 3𝑦´ + 2𝑦 = 0
𝑦( 0 ) = 1
𝑦´( 0 ) = 2
 
( 1 ) ARGUMENTOS: { 
ℒ { 𝑦´ } = 𝑠 ℒ { 𝑦 } − 𝑦( 0 )
ℒ { 𝑦´´ } = 𝑠2ℒ { 𝑦 } − 𝑠 𝑦( 0 ) − 𝑦´( 0 )
 
 
( 2 ) APLIQUE TRANSFORMADA A AMBOS OS MEMBROS DA EDO: 
 ℒ { 𝑦´´ − 3𝑦´ + 2𝑦 } = ℒ { 0 }  ℒ { 𝑦´´ } − 3 ℒ { 𝑦´ } + 2 ℒ { 𝑦 } = ℒ { 0 } 
( 3 ) DESENVOLVA: 
( a ) 𝑠2ℒ { 𝑦 } − 𝑠 𝑦( 0 ) − 𝑦´( 0 )  3 [ 𝑠 ℒ { 𝑦 } − 𝑦( 0 ) ] + 2 ℒ { 𝑦 } = 0 
( b ) Faça ℒ { 𝑦 ( 𝑡 ) } = Y ( s ) ou, ℒ { 𝑦 } = Y e substitua os valores iniciais: 
( c ) 𝑠2 𝑌 − 𝑠 . 1 − 2  3 [ 𝑠 𝑌 − 1 ] + 2 Y = 0 
 𝑠2 𝑌 − 𝑠 − 2  3 𝑠 𝑌 + 3 + 2 Y = 0  Y ( s²  3s + 2 ) = s  1  Y = 
𝑠 − 1
𝑠2 − 3𝑠 + 2
 
( d ) A equação Y ( s²  3s + 2 ) = s  1 é denominada EQUAÇÃO SUBSIDIÁRIA 
( e ) Como s²  3s + 2 = ( s – 1 ) ( s – 2 ), temos Y = 
𝑠 − 1
( 𝑠−1 )( 𝑠−2 )
  Y = 
𝟏
 𝒔 − 𝟐 
 
( 4 ) APLIQUE TRANSFORMADA INVERSA 
Como ℒ− 1 { Y } = y , segue-se que ℒ− 1 { Y } = ℒ− 1 { 
1
 𝑠 − 2 
 }  𝒚( 𝒕 ) = 𝒆𝟐𝒕. 
( 5 ) AGORA OBSERVE: 
 
 A EDO dada no domínio do tempo foi transformada numa equação algébrica, 
chamada Equação Subsidiária no domínio s; 
 Abaixo ilustramos a sequência do raciocínio: 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 53 
ESPAÇO 𝑡 ESPAÇO 𝑠 
 ℒ 
 
 
 
 
 
ℒ− 1 SOLUÇÃO DO PVI 
 
𝒚( 𝒕 ) = 𝒆𝟐𝒕 
RESOLUÇÂO DA E.S. 
 Y = 
𝟏
 𝒔 − 𝟐 
 
𝑷𝑹𝑶𝑩𝑳𝑬𝑴𝑨 𝑫𝑨𝑫𝑶: 
 𝑦´´  3𝑦´ + 2𝑦 = 0 
𝑦( 0 ) = 1, 𝑦´( 0 ) = 2 
𝑬𝑸𝑼𝑨ÇÃ𝑶 𝑺𝑼𝑩𝑺𝑰𝑫𝑰Á𝑹𝑰𝑨 𝑬𝑺 
Y ( s²  3s + 2 ) = s  1 
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 TRANSFORMADAS DE EDO`s 
 SEJA RESOLVER O PVI: {
 𝑦´´ + 𝑦´ = 𝑒𝑡
𝑦( 0 ) = 1
𝑦´( 0 ) = − 2
 
( 1 ) ARGUMENTOS: { 
ℒ { 𝑦´ } = 𝑠 ℒ { 𝑦 } − 𝑦( 0 )
ℒ { 𝑦´´ } = 𝑠2ℒ { 𝑦 } − 𝑠 𝑦( 0 ) − 𝑦´( 0 )
 
 
( 2 ) APLIQUE TRANSFORMADA A AMBOS OS MEMBROS DA EDO: 
 ℒ { 𝑦´´ + 𝑦´ } = ℒ { 𝑒𝑡 }  ℒ { 𝑦´´ } + ℒ { 𝑦´ } = 
1
𝑠 − 1
 
( 3 ) DESENVOLVA: 
( a ) 𝑠2ℒ { 𝑦 } − 𝑠 𝑦( 0 ) − 𝑦´( 0 ) + 𝑠 ℒ { 𝑦 } − 𝑦( 0 ) = 
1
𝑠 − 1
 
( b ) Faça ℒ { 𝑦 ( 𝑡 ) } = Y ( s ) ou, ℒ { 𝑦 } = Y e substitua os valores iniciais: 
( c ) 𝑠2 𝑌 − 𝑠 . 1 + 2 + 𝑠 𝑌 − 1 = 
1
𝑠 − 1
  𝑠2 𝑌 + 𝑠 𝑌 = 
1
𝑠 − 1
 + 𝑠 − 1  
 Y ( s² + s ) = 
 𝒔𝟐 − 𝟐𝒔 + 𝟐
𝒔 − 𝟏
  Y = 
𝑠2 − 2𝑠 + 2
𝑠 ( 𝑠 + 1 ) ( 𝑠 − 1 )
 = 
𝐴
𝑠
 + 
𝐵
𝑠 + 1
 + 
𝐶
𝑠 − 1
 
 ( e ) Temos Y =  
2
𝑠
 + 
5
2
 
1
𝑠 + 1
 + 
1
2
 
1
𝑠 − 1
 
( 4 ) APLIQUE TRANSFORMADA INVERSA 
Como ℒ− 1 { Y } = y , segue-se que ℒ− 1 { Y } = ℒ− 1 {  
2
𝑠
 + 
5
2
 
1
𝑠 + 1
 + 
1
2
 
1
𝑠 − 1
 }  
𝑦( 𝑡 ) = −2 +
5
2
 𝑒−𝑡 +
1
2
 𝑒𝑡 ou 𝒚( 𝒕 ) =
𝟓
𝟐
 𝒆−𝒕 +
𝟏
𝟐
 𝒆𝒕 − 𝟐 
( 5 ) Abaixo ilustramos a sequência do raciocínio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 54 
ESPAÇO 𝒕 ESPAÇO 𝒔 
 ℒ 
 
 
 
 
 
ℒ− 1 SOLUÇÃO DO PVI 
𝒚( 𝒕 ) =
𝟓
𝟐
 𝒆−𝒕 +
𝟏
𝟐
 𝒆𝒕− 𝟐 
RESOLUÇÂO DA E.S. 
 Y =  
2
𝑠
 + 
5
2
 
1
𝑠 + 1
 + 
1
2
 
1
𝑠 − 1
 
𝑷𝑹𝑶𝑩𝑳𝑬𝑴𝑨 𝑫𝑨𝑫𝑶: 
 𝑦´´ + 𝑦´ = 𝑒𝑡 
𝑦( 0 ) = 1, 𝑦´( 0 ) = −2 
= 2 
𝑬𝑸𝑼𝑨ÇÃ𝑶 𝑺𝑼𝑩𝑺𝑰𝑫𝑰Á𝑹𝑰𝑨 𝑬𝑺 
Y ( s² + s ) = 
 𝒔𝟐 − 𝟐𝒔 + 𝟐
𝒔 − 𝟏
 
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 SISTEMA DE EDO`s 
 SEJA RESOLVER O SISTEMA : {
 𝑦´1 + 2 𝑦2 + 3 𝑦1 = 0
𝑦´2 + 𝑦1 + 2 𝑦2 = 0
𝑦1( 0 ) = 2, 𝑦2( 0 ) = 3 
 
 
( 1 ) APLIQUE TRANSFORMADA A AMBOS OS MEMBROS DAS EDO´s: 
{ 
ℒ { 𝑦´1 } + 2 ℒ { 𝑦2 } + 3 ℒ { 𝑦1 } = 0
ℒ { 𝑦´2 } + ℒ { 𝑦1 } + 2 ℒ { 𝑦2 } = 0
  { 
𝑠 𝑌1 − 𝑦1( 0 ) + 2 𝑌2 + 3 𝑌1 = 0
𝑠 𝑌2 − 𝑦2( 0 ) + 𝑌1 + 2 𝑌2 = 0
  
{ 
𝑠 𝑌1 − 2 + 2 𝑌2 + 3 𝑌1 = 0
𝑠 𝑌2 − 3 + 𝑌1 + 2 𝑌2 = 0
  { 
 𝑌1( 𝑠 + 3 ) + 2 𝑌2 = 2
𝑌1 + 𝑌2 ( 𝑠 + 2 ) = 3
 
 ( 3 ) DESENVOLVA: 
( a ) Temos um SISTEMA DE CRAMER : número de equações ( 2 ) igual ao número 
de incógnitas ( 2 ), formando equações matriciais da forma A X = B onde 
 A = ( 
𝑠 + 3 2
1 𝑠 + 2 
) . X = ( 
𝑌1
𝑌2
 ) e B = ( 
2
3
 ) 
( b ) O valor das incógnitas pode ser determinado pela REGRA DE CRAMER: 
 Se det A  0 ( determinante de A  0 ), o sistema admite solução única dadas por 
𝑋𝑖 = 
det 𝐴𝑖
det 𝐴
, onde det 𝐴𝑖 é obtido pela substituição da coluna da incógnita de ordem 
𝑖 pela coluna dos termos independentes ( termos da matriz B ); 
( 4 ) Assim 
 det A = | 
𝑠 + 3 2 
1 𝑠 + 2 
| = ( s + 3 ) ( s + 2 ) – 1. 2 = s² + 5s + 4 
 det 𝐴1 = | 
2 2 
3 𝑠 + 2 
| = 2 ( s + 2 ) – 6 = 2 s – 2 
 det 𝐴2 = | 
𝑠 + 3 2 
1 3 
| = 3 ( s + 3 ) – 2 = 3 s + 7 
 
( 5 ) DETERMINAÇÃO DA SOLUÇÃO 𝑦1 = 𝑦1 ( t ) 
( a ) 𝑌1 = 
det 𝐴1
det 𝐴
 = 
2 𝑠 − 2
 𝑠2 + 5𝑠 + 4
 = 
2 𝑠 − 2
 ( 𝑠 + 1 )( 𝑠 + 4 ) 
 = 
𝐴
𝑠 + 1
 + 
𝐵
𝑠 + 4
  
 A ( s + 4 ) + B ( s + 1 ) = 2s – 2  A = 10 3⁄ e B = − 4 3⁄ 
( b ) 𝑌1 = 
10
3
 
1
𝑠 + 1
  
4
3
 
1
𝑠 + 4
  𝑦1( t ) = 
10
3
 𝑒− 𝑡  
4
3
 𝑒− 4𝑡 
( 6 ) DETERMINAÇÃO DA SOLUÇÃO 𝑦2 = 𝑦2 ( t ) 
( a ) 𝑌2 = 
det 𝐴2
det 𝐴
 = 
3𝑠 + 7
 𝑠2 + 5𝑠 + 4
 = 
3 𝑠 + 7
 ( 𝑠 + 1 )( 𝑠 + 4 ) 
 = 
𝐴
𝑠 + 1
 + 
𝐵
𝑠 + 4
  
 A ( s + 4 ) + B ( s + 1 ) = 3s + 7  A = 4 3⁄ e B = 5 3⁄ 
( b ) 𝑌1 = 
4
3
 
1
𝑠 + 1
 + 
5
3
 
1
𝑠 + 4
  𝑦1( t ) = 
4
3
 𝑒− 𝑡 + 
5
3
 𝑒− 4𝑡 
EXEMPLO 55 
CADERNOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS | PROF MARCO A BRASIL 
 
UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 30 
 
 ATIVIDADES DE ESTUDOS 
 
TABELA DAS TRANSFORMADAS DAS PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES 
𝒇( 𝒕 ) 𝑭( 𝒔 ) 𝒇( 𝒕 ) 𝑭( 𝒔 ) 
 k 𝑘 𝑠⁄ 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑤𝑡 𝑤 ( 𝑠2 − 𝑤² )⁄ 
𝑒𝑎𝑡 1 ( 𝑠⁄ − 𝑎 ) 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑤𝑡 𝑠 ( 𝑠2 − 𝑤² )⁄ 
𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑤 ( 𝑠² + 𝑎² )⁄ 𝑡𝑎, a >  1 Γ( a + 1 ) 𝑠𝑎+1⁄ 
𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 𝑠 ( 𝑠² + 𝑎² )⁄ 𝑡𝑛, n = 1, 2, 3, . . . n ! 𝑠𝑛+1⁄ 
 
 
 
 
 
 
 
 
517 3
𝑠 ( 𝑠 + 2 )
 
3
2 
− 
3
2 
 𝑒− 2𝑡 
518 
3
𝑠² ( 𝑠 + 2 )
 9
2 
𝑡 + 
9
4 
 𝑒− 2𝑡 − 
9
4 
 
519 3
𝑠³ ( 𝑠 + 2 )
 27
4 
𝑡2 − 
9
4 
 𝑡 + 9
8 
− 9
8 
𝑒− 2𝑡 
520 1
𝑠² ( 𝑠 + 9 )
 1
9
 𝑡 − 
1
27 
𝑠𝑒𝑛 3𝑡 
521 2𝑠 − 5
𝑠² ( 𝑠 − 5 )
 1
5 
𝑒5𝑡 + 𝑡 − 
1
5 
 
521 1
𝑠² ( 𝑠² + 𝑤² )
 1
𝑤² 
 𝑡 − 
1
𝑤3
 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 
522 1
𝑠² ( 𝑠2 − 𝑎² )
 1
𝑎² 
𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑎𝑡 − 
1
𝑎
 𝑡 
523 1
𝑠² 
 ( 
𝑠 − 1
𝑠 + 1
 ) 2 − 2𝑒− 𝑡 − 𝑡 
524 1
𝑠² 
 ( 
𝑠 − 2
𝑠² + 4
 ) 1
4
 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 − 
1
4
 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 − 
1
2
 𝑡 + 
1
4
 
 
 ATIVIDADE 25: 
 CALCULE A TRANSFORMADA INVERSA UTILIZANDO O TEOREMA DA 
INTEGRAL DE f( t ) : 
 ℒ− 1 { 
1
𝑠
 𝑭( 𝒔 )} = ∫ 𝒇( 𝒖 ) 𝒅𝒖 
𝒕
𝟎
 
 
 
 
 § 1 
 
CADERNOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS | PROF MARCO A BRASIL 
 
UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 31 
 
 
 
 
525 ℒ{ 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 } 
2𝑤𝑠
( 𝑠2+ 𝑤2)² 
 
526 ℒ{ 3𝑡 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 − 2𝑡 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 } 
527 𝑦´´ + 16𝑦 = 0, 𝑦( 0 ) = 0, 𝑦´( 0 ) = 2 0,5 𝑠𝑒𝑛 4𝑡 
528 𝑦´´ + 2𝑦´ − 3𝑦 = 0, 𝑦( 0 ) = 1, 𝑦´( 0 ) = 2 1,25 𝑒3𝑡 − 0,25 𝑒𝑡 
529 𝑦´´ + 2𝑦´ − 3𝑦 = 0, 𝑦( 0 ) = 1, 𝑦´( 0 ) = 3 0,75 𝑒3𝑡 − 0,75 𝑒𝑡 
530 𝑦´´ − 4𝑦´ − 5𝑦 = 0, 𝑦( 0 ) = 1, 𝑦´( 0 ) = 8 2 𝑒5𝑡 − 𝑒− 𝑡 
531 𝑦´´ − 2𝑦´ − 15𝑦 = 0, 𝑦( 0 ) = 𝑎, 𝑦´( 0 ) = 𝑏 
3𝑎 + 𝑏
8
𝑒−3𝑡 + 
5𝑎 − 𝑏
8
𝑒5𝑡 
532 𝑦´´ − 2𝑦´ − 3𝑦 = 0, 𝑦( 0 ) = 1, 𝑦´( 0 ) = 0 0,75𝑒𝑡 + 0,25𝑒3𝑡 
533 𝑦´´ = 0, 𝑦( 0 ) = 4, 𝑦´( 0 ) = −3 4  3𝑡 
534 𝑦´´ + 𝑦´ = 𝑡, 𝑦( 0 ) = 1, 𝑦´( 0 ) = 2 1,5 𝑡² − 5𝑒− 𝑡 + 6 
535 𝑦´´ + 𝑦´ = 𝑡², 𝑦( 0 ) = 1, 𝑦´( 0 ) = 2 
536 𝑦´´ − 2𝑦´ − 3𝑦 = cosh 2𝑡 , 𝑦( 0 ) = 1, 𝑦´( 0 ) = 0, −0,5𝑒−𝑡 + 3
20
𝑒3𝑡 −
1
6
𝑒2𝑡 + 11/10𝑒−2𝑡 
537 𝑦´´ + 4𝑦´ − 5𝑦 =4cos 𝑡 , 𝑦( 0 ) = 1, 𝑦´( 0 ) = −1, 
538 
{
𝑦´1 + 2 𝑦2 = 0, 𝑦1( 0 ) = 0 
𝑦´2 + 𝑦´ = 3, 𝑦2( 0 ) = 1
 
539 
{
3𝑦´1 + 𝑦2 = 7, 𝑦1( 0 ) = 1 
2𝑦1 − 6𝑦´2 = 3, 𝑦2( 0 ) = 1
 
540 
{
𝑦´´1 − 𝑦1 = 0, 𝑦1( 0 ) = 1 
𝑦´´2 + 𝑦2 − 𝑦1 = 0, 𝑦´1( 0 ) = 𝑦´2( 0 ) = 𝑦2( 0 ) = 0
 {
0,5𝑒𝑡 + 0,5𝑒−𝑡
0,25𝑒𝑡 + 0,25𝑒−𝑡 − 𝑠𝑒𝑛𝑡
 
541 Ache a corrente e a carga num circuito em série onde E = 100 V, C = 0,02 F, 
R = 15 Ω, L = 1 H, supondo a carga no capacitor e a corrente nulas em t = 0. 
 
 ATIVIDADE 26: 
 NOS EXERCÍCIOS ABAIXO UTILIZE O TEOREMA DA DERIVADA DE f( t ) : 
 
CADERNOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS | PROF MARCO A BRASIL 
 
UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 32 
 
 O 1º TEOREMA DO DESLOCAMENTO 
 
O Primeiro Teorema do Deslocamento ou Primeiro Teorema da Translação estuda 
o comportamento do deslocamento da Transformada F( s ) de uma função y = f( t ). 
 Considerando s uma variável real, a equação Y = F( s – a ) representa o 
gráfico de Y = F( s ) deslocado sobre o eixo s de | 𝑎 | unidades. 
 Se a > 0, o gráfico é deslocado de a unidades para a direita. 
 Se a < 0, o gráfico é deslocado de a unidades para a esquerda. 
 O gráfico abaixo ilustra um deslocamento Y = F( s – a ): 
 
 𝐹( 𝑠 ) 𝐹( 𝑠 – 𝑎 ) 
 
 
 
 𝑎 
 
 𝑠 = 𝑎, 𝑎 > 0 𝑠 
 
 De fato. 
 ( 1 ) Como 𝐹( 𝑠 ) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑓( 𝑡 ) 𝑑𝑡
∞
0
, então 𝐹( 𝑠 − 𝑎 ) = ∫ 𝑒−( 𝑠 − 𝑎 )𝑡 𝑓( 𝑡 ) 𝑑𝑡
∞
0
; 
( 2 ) 𝐹( 𝑠 − 𝑎 ) = ∫ 𝑒−𝑠𝑡 𝑒𝑎𝑡 𝑓( 𝑡 ) 𝑑𝑡
∞
0
 = ∫ 𝑒−𝑠𝑡 [ 𝑒𝑎𝑡 𝑓( 𝑡 ) ] 𝑑𝑡
∞
0
 
( 3 ) Portanto, 𝐹( 𝑠 − 𝑎 ) = 𝓛 { 𝒆𝒂𝒕 𝒇 ( 𝒕 ) }. 
 
 O Primeiro Teorema do Deslocamento afirma que a substituição de s por s – a 
na transformada equivale a multiplicar a função original y = f( t ) pelo múltiplo 
exponencial 𝒆𝒂𝒕. 
 Observe-se que 𝓛 { 𝒆−𝒂𝒕 𝒇 ( 𝒕 ) } = 𝑭( 𝒔 + 𝒂 ). 
 Na forma Inversa temos: 
 ℒ− 1 { 𝐹( 𝑠 − 𝑎 ) } = 𝑒𝑎𝑡 𝑓 ( 𝑡 ) 
 ℒ− 1 { 𝐹( 𝑠 + 𝑎 ) } = 𝑒−𝑎𝑡 𝑓 ( 𝑡 ). 
14 CADERNO 14 
1º TEOREMA DO DESLOCAMENTO 
 
Seja 𝒂 > 𝟎 e 𝑭( 𝒔 ) = 𝓛 { 𝒇 ( 𝒕 ) }. Então, 𝓛 { 𝒆𝒂𝒕 𝒇 ( 𝒕 ) } = 𝑭( 𝒔 – 𝒂 ) 
CADERNOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS | PROF MARCO A BRASIL 
 
UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 33 
 
 
 UMA NOVA TABELA DE TRANSFORMADAS 
 
𝒇( 𝒕 ) 𝓛 { f( t ) } 𝒇( 𝒕 ) 𝓛 { f( t ) } 
𝑒𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑤
( 𝑠 − 𝑎 )2 + 𝑤²
 𝑒
−𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 𝑤
( 𝑠 + 𝑎 )2 + 𝑤²
 
𝑒𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 𝑠 − 𝑎
( 𝑠 − 𝑎 )2 + 𝑤²
 𝑒
−𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 𝑠 + 𝑎
( 𝑠 + 𝑎 )2 + 𝑤²
 
𝑒𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑤𝑡 𝑤
( 𝑠 − 𝑎 )2 − 𝑤²
 𝑒
−𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑤𝑡 𝑤
( 𝑠 + 𝑎 )2 − 𝑤²
 
𝑒𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑤𝑡 𝑠 − 𝑎
( 𝑠 − 𝑎 )2 − 𝑤²
 𝑒
−𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑎𝑡 𝑠 + 𝑎
( 𝑠 + 𝑎 )2 − 𝑤²
 
𝑒𝑎𝑡 𝑡𝑛 𝑛 !
( 𝑠 − 𝑎 )𝑛 + 1 
 𝑒
−𝑎𝑡 𝑡𝑛 𝑛 !
( 𝑠 + 𝑎 )𝑛 + 1 
 
𝑒𝑏𝑡 𝑡𝑎 Γ ( 𝑎 + 1 )
( 𝑠 − 𝑏 )𝑛 + 1 
 𝑒
−𝑏𝑡 𝑡𝑎 Γ ( 𝑎 + 1 )
( 𝑠 + 𝑏 )𝑛 + 1 
 
 
 ℒ { 𝑒𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 } = 
𝑤
( 𝑠 − 𝑎 )2 + 𝑤²
 e ℒ− 1 { 
𝑤
( 𝑠 − 𝑎 )2 + 𝑤²
 } = 𝑒𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 
( 1 ) ARGUMENTO: ℒ { 𝑒𝑎𝑡 𝑓( 𝑡 ) } = 𝐹( 𝑠 – 𝑎 ), onde 𝐹( 𝑠 ) = ℒ { 𝑓( 𝑡 ) } 
( 2 ) ℒ { 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 } = 
𝑤
𝑠2 + 𝑤²
 = 𝐹( 𝑠 ) 
( 3 ) Então 𝐹( 𝑠 − 𝑎 ) = 
𝑤
( 𝑠 − 𝑎 )2 + 𝑤²
 
( 4 ) Como ℒ { 𝑒𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 } = 𝐹( 𝑠 − 𝑎 ) 
( 4 ) Segue-se ℒ { 𝑒𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 } = 
𝑤
( 𝑠 − 𝑎 )2 + 𝑤²
 
 
 ℒ { 𝑒−𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 } = 
𝑠 + 𝑎
( 𝑠 + 𝑎 )2 + 𝑤²
 e ℒ− 1 { 
𝑠 + 𝑎
( 𝑠 + 𝑎 )2 + 𝑤²
 } = 𝑒−𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 
( 1 ) ARGUMENTO: ℒ { 𝑒−𝑎𝑡 𝑓( 𝑡 ) } = 𝐹( 𝑠 + 𝑎 ), onde 𝐹( 𝑠 ) = ℒ { 𝑓( 𝑡 ) } 
( 2 ) ℒ { 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 } = 
𝑠
𝑠2 + 𝑤²
 = 𝐹( 𝑠 ) 
( 3 ) Então 𝐹( 𝑠 + 𝑎 ) = 
𝑠 + 𝑎
( 𝑠 + 𝑎 )2 + 𝑤²
 
( 4 ) Como ℒ { 𝑒−𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 } = 𝐹( 𝑠 + 𝑎 ) 
( 4 ) Segue-se ℒ { 𝑒−𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 } = 
𝑠 + 𝑎
( 𝑠 + 𝑎 )2 + 𝑤²
 
3
8
 
EXEMPLO 56 
E 56 A 
E 56 B 
CADERNOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS | PROF MARCO A BRASIL 
 
UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 34 
 
 
 CÁLCULO DE TRANSFORMADAS 
 ℒ { 𝑒3𝑡 𝑠𝑒𝑛 5𝑡 } 
 ( 1 ) ARGUMENTO: ℒ { 𝑒𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 } = 
𝑤
( 𝑠 − 𝑎 )2 + 𝑤²
 
( 2 ) ℒ { 𝑠𝑒𝑛 5𝑡 } = F( s )  F( s ) = 
5
𝑠2 + 25
 
( 3 ) ℒ { 𝑒3𝑡 𝑠𝑒𝑛 5𝑡 } = F( s – 3 ) 
( 3 ) ℒ { 𝑒3𝑡 𝑠𝑒𝑛 5𝑡 } = 
5
( 𝑠 − 3 )2 + 25
 
 ℒ { 𝑒−3𝑡 𝑐𝑜𝑠 5𝑡 } 
 ( 1 ) ARGUMENTO: ℒ { 𝑒−𝑎𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 } = 
𝑠 + 𝑎
( 𝑠 + 𝑎 )2 + 𝑤²
 
( 2 ) ℒ { 𝑐𝑜𝑠 5𝑡 } = F( s )  F( s ) = 
𝑠
𝑠2 + 25
 
( 3 ) ℒ { 𝑒−3𝑡 𝑐𝑜𝑠 5𝑡 } = F( s + 3 ) 
( 3 ) ℒ {𝑒−3𝑡 𝑐𝑜𝑠 5𝑡 } = 
𝑠 + 3
( 𝑠 + 3 )2 + 25
 
 ℒ {𝑒−3𝑡 𝑠𝑒𝑛ℎ 5𝑡 } 
 ( 1 ) ARGUMENTO: ℒ { 𝑒−𝑎𝑡 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑤𝑡 } = 
𝑤
( 𝑠 − 𝑎 )2 − 𝑤²
 
( 2 ) ℒ { 𝑠𝑒𝑛 5𝑡 } = F( s )  F( s ) = 
5
𝑠2 − 25
 
( 3 ) ℒ { 𝑒−3𝑡 𝑠𝑒𝑛 5𝑡 } = F( s + 3 ) 
( 3 ) ℒ { 𝑒−3𝑡 𝑠𝑒𝑛 5𝑡 } = 
5
( 𝑠 + 3 )2 − 25
 
 
 ℒ {𝑒−2𝑡 𝑡3 } 
( 1 ) ARGUMENTO: ℒ { 𝑒−𝑎𝑡 𝑡𝑛 } = 
𝑛 !
( 𝑠 + 𝑎 )𝑛 + 1 
 
( 2 ) ℒ { 𝑡3 } = F( s )  F( s ) = 
3 !
𝑠3 + 1 
 = 
6
𝑠4 
 
( 3 ) ℒ {𝑒−2𝑡 𝑡3 } = F( s + 2 ) 
( 4 ) ℒ {𝑒−2𝑡 𝑡3 } = 
6
( 𝑠 + 2 )4 
 
 ℒ {𝑒2𝑡 𝑡1 2⁄ } 
( 1 ) ARGUMENTO: ℒ { 𝑒𝑏𝑡 𝑡𝑎 } = 
Γ ( 𝑎 + 1 )
( 𝑠 + 𝑏 )𝑎 + 1 
 
( 2 ) ℒ { 𝑡3 } = F( s )  F( s ) = 
Γ ( 1 2⁄ + 1 )
𝑠1 2⁄ + 1 
 = 
0,5 Γ ( 1 2⁄ )
𝑠3 2⁄ 
 = 
0,5 √𝜋
𝑠3 2⁄ 
 
( 3 ) ℒ {𝑒2𝑡 𝑡1 2⁄ } = F( s  2 ) = 
0,5 √𝜋
( 𝑠 −2 )3 2⁄ 
 
EXEMPLO 57 
E 57 A 
E 57 B 
E 57 C 
E 57 D 
E 57 E 
CADERNOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS | PROF MARCO A BRASIL 
 
UNIDADE C: TRANSFORMADA DE LAPLACE PÁGINA 35 
 
 
 CÁLCULO DE TRANSFORMADAS INVERSAS 
 ℒ−1 { 
𝑠 − 8
( 𝑠 − 8 )2 + 9
 } 
 ( 1 ) ARGUMENTO: ℒ { 𝑒𝑎𝑡 𝑓( 𝑡 ) } = 𝐹( 𝑠 – 𝑎 )  
 ℒ−1{ 𝐹( 𝑠 – 𝑎 ) } = 𝑒𝑎𝑡 𝑓( 𝑡 ) = 𝑒𝑎𝑡 ℒ−1{ 𝐹( 𝑠 )} 
 
( 2 ) ℒ−1 { 
𝑠 − 8
( 𝑠 − 8 )2 + 9
 } = 𝑒𝑎𝑡 ℒ−1{ 𝐹( 𝑠 )} = 𝑒8𝑡 ℒ−1{ 
𝑠 
𝑠2 + 9
 } = 𝑒8𝑡 𝑐𝑜𝑠 3𝑡 
( 3 ) Agora vejamos, a = 8, F( s ) = 
𝑠 
𝑠2 + 9
, pois F( s – a ) = 
𝑠 − 8
( 𝑠 − 8 )2 + 9
. 
 ℒ−1 { 
5
( 𝑠 + 8 )2 + 9
 } 
( 1 ) ARGUMENTO: ℒ−1{ 𝐹( 𝑠 – 𝑎 ) } = 𝑒𝑎𝑡 𝑓( 𝑡 ) = 𝑒𝑎𝑡 ℒ−1{ 𝐹( 𝑠 )} 
( 2 ) ℒ−1 { 
5
( 𝑠 + 8 )2 + 9
 } = 𝑒−8𝑡 ℒ−1{ 
5
𝑠2 + 9
 } = 𝑒−8𝑡 
5
3
 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 = 
5
3
 𝑒−8𝑡 𝑠𝑒𝑛 3𝑡 
 
n ℒ−1 { 
3
( 𝑠 + 8 )5 
 } 
( 1 ) ARGUMENTO: ℒ−1{ 𝐹( 𝑠 – 𝑎 ) } = 𝑒𝑎𝑡 𝑓( 𝑡 ) = 𝑒𝑎𝑡 ℒ−1{ 𝐹( 𝑠 )} 
( 2 ) ℒ−1 { 
3
( 𝑠 + 8 )5 
 } = 𝑒−8𝑡