cal3na 03

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Prof. Celius A. Magalha˜es
Ca´lculo III
Notas da Aula 03∗
Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis
Considere o problema de descrever o relevo de uma
determinada regia˜o, como ilustra a figura ao lado. O primeiro
passo e´ introduzir um sitema de eixos Oxyz e identificar a re-
gia˜o com um subconjunto D ⊂ R2. Com essa identificac¸a˜o, a
cada ponto (x, y) ∈ D corresponde uma u´nica altura z. Dizemos
que a altura z e´ uma func¸a˜o do ponto (x, y), e indicamos essa
dependeˆncia por z = f(x, y).
x y
z
Figura 1: Um relevo
A superf´ıcie que descreve o relevo, isto e´, a “casquinha” que separa a terra do ar, e´ dita
o gra´fico da func¸a˜o. Matematicamente, o gra´fico e´ o conjunto
Figura 2: Curva de Nı´vel
G(f) = {(x, y, z) ∈ R3; (x, y) ∈ D e z = f(x, y)}
Em Cartografia, em que os mapas sa˜o planos, e´ comum indicar o
relevo por meio das curvas de n´ıvel. Grosso modo, essas curvas corres-
pondem a projetar, sobre o plano Oxy, as linha pretas que aparecem na
Figura 1. Essas linhas pretas indicam os pontos sobre o gra´fico que esta˜o
a uma mesma altura. Logo, as curvas de n´ıvel correspondem aos pontos
do domı´nio nos quais a func¸a˜o altura assume valores constantes. A
figura ao lado representa as curvas de n´ıvel da func¸a˜o f . O interessante
e´ que, olhando apenas para essa figura, percebe-se que existe um“morro”no terceiro e quarto
quadrantes. Matematicamente, a curva de n´ıvel de f : D → R no n´ıvel k e´ o conjunto
Ck(f) = {(x, y) ∈ D; f(x, y) = k}
Em geral, uma func¸a˜o f , definida em D ⊂ R2 e com valores em R, e´ uma regra que a cada
ponto (x, y) ∈ D associa um u´nico nu´mero z = f(x, y) ∈ R. Usamos o s´ımbolo f : D → R
para indicar a func¸a˜o juntamente com o seu domı´nio D e o seu contra-domı´nio R.
Para o caso geral, tanto o gra´fico quanto as curvas de n´ıvel sa˜o definidos de maneira
ana´loga ao que se fez acima, e cada um tem uma interpretac¸a˜o pro´pria dependendo da
interpretac¸a˜o da func¸a˜o f . Por exemplo, se f e´ a temperatura de uma chapa D ⊂ R2, isto
e´, f(x, y) e´ a temperatura do ponto (x, y) ∈ D, enta˜o o gra´fico da func¸a˜o representa as
mudanc¸as da temperatura ao longo da chapa. Ainda nesse exemplo, uma curva de n´ıvel
representa os pontos da chapa que esta˜o a` uma mesma temperatura, e e´ dita uma isoterma
da chapa.
Exemplo 1. Descrever as curvas de n´ıvel e o gra´fico da func¸a˜o f : R2 → R dada por
f(x, y) = 1
2
(4− x− 3y).
Soluc¸a˜o. E´ claro que a curva de n´ıvel, no n´ıvel k ∈ R, e´ o conjunto
Ck(f) = {(x, y) ∈ R2; f(x, y) = k}
= {(x, y) ∈ R2; x+ 3y = 4− 2k}
∗Texto digitado e diagramado por Yuri Santos a partir de suas anotac¸o˜es de sala
Adre Carina
Realce
que representa um reta no plano Oxy de vetor normal n = (1, 3). Como o vetor normal e´ o
mesmo para todas as retas, segue-se que as curvas de n´ıvel sa˜o retas paralelas. Em particular,
para o n´ıvel k = 0, a reta passa por (4, 0) e (0, 4/3), como ilustra a Figura 3.
x
y
C2
C0
C
−2
Figura 3: Curvas de Nı´vel
x
y
z
Figura 4: Gra´fico
Em relac¸a˜o ao gra´fico, tem-se que
G(f) = {(x, y, z) ∈ R3; (x, y) ∈ R2 e z = f(x, y)}
= {(x, y, z) ∈ R3; x+ 3y + 2z − 4 = 0}
representa o plano em R3 que passa por (4, 0, 0), (0, 4/3, 0) e (0, 0, 2). Este plano e´ o gra´fico
da func¸a˜o, coerente com as curvas de n´ıvel como ilustra a Figura 4. �
Exemplo 2. Obter a expressa˜o da func¸a˜o f : R2 → R cujo gra´fico corresponde a` rotac¸a˜o da
para´bola z = y2 em torno do eixo Oz.
Soluc¸a˜o. A Figura 5 ilustra a para´bola juntamente com um ponto y0 > 0 e sua imagem
z0 = y
2
0. Para rotacionar a para´bola em torno de Oz deve-se ter o
seguinte: sempre que o ponto (x, y) for tal que
√
x2 + y2 = y0, enta˜o
f(x, y) = y20. Veja mais uma vez a Figura 5. Substituindo o valor de
y0, deve-se ter que f(x, y) = x
2+y2, sendo esta a expressa˜o procurada.
Dito de outra maneira, assim como a para´bola, a cada ponto (x, y)
a func¸a˜o f deve associar o quadrado de sua distaˆncia a` origem. Como
a distaˆncia a` origem e´
√
x2 + y2, obte´m-se que f(x, y) = x2 + y2.
Como verificac¸a˜o, observe que as curvas de n´ıvel da func¸a˜o
y0
y20
y
x
Figura 5: Rotac¸a˜o
f(x, y) = x2+y2 sa˜o c´ırculos centrados na origem, o que e´ uma caracter´ıstica dos gra´ficos de
rotac¸a˜o. Ale´m disso, ao longo do eixo Oy, tem-se que f(0, y) = y2 e´ exatemente a para´bola
original. �
Exemplo 3. Esboc¸ar as curvas de n´ıvel e o gra´fico da func¸a˜o f : D → R, onde
D = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 ≤ pi2} e f(x, y) = cos(√x2 + y2) + 1.
Soluc¸a˜o. Comec¸ando com as curvas de n´ıvel, tem-se que
Ck(f) = {(x, y) ∈ D; f(x, y) = k}
= {(x, y) ∈ D; cos(
√
x2 + y2) = k − 1}
= {(x, y) ∈ D;
√
x2 + y2 = arccos(k − 1)}
isto e´, Ck(f) e´ um c´ırculo de centro na origem e raio arccos(k−1). A Figura 6 ilustra alguns
desses c´ırculos. Observe que, para k = 0, tem-se arccos(−1) = pi (pois cos(pi) = −1), e
portanto o n´ıvel zero corresponde ao c´ırculo de raio pi. Ja´ para k = 2, o maior n´ıvel, tem-se
arccos(1) = 0 (pois cos(0) = 1), e portanto nesse n´ıvel esta´ apenas a origem (0, 0).
Como as curvas de n´ıvel sa˜o c´ırculos, o gra´fico da func¸a˜o e´ certamente de rotac¸a˜o, e resta
enta˜o saber como e´ o perfil do gra´fico ao longo de um dos eixos, por exemplo, o eixo Oy. Ao
longo desse eixo a func¸a˜o e´ f(0, y) = cos(|y|) + 1, cujo gra´fico esta´ ilustrado na Figura 7.
Coletando essas informac¸o˜es, o gra´fico da func¸a˜o pode ser ilustrado como na Figura 8.
Ca´lculo III Notas da Aula 03 2/6
pipi
2
C2
C1
C0
Figura 6: Curvas de Nı´vel
pipi
2
1
2
Figura 7: Perfil
x y
z
Figura 8: Gra´fico
�
Exemplo 4. Esboc¸ar as curvas de n´ıvel e o gra´fico da func¸a˜o f : R2 → R dada por
f(x, y) = y2 − x2.
Soluc¸a˜o. Este e´ um exemplo diferente, em que o gra´fico na˜o e´ de rotac¸a˜o. Comec¸ando com
as curvas de n´ıvel, tem-se que
Ck(f) = {(x, y) ∈ R2; f(x, y) = k}
= {(x, y) ∈ R2; y2 − x2 = k}
de onde segue-se que essas curvas sa˜o hipe´rboles de ass´ıntotas y = ±x. Essas hipe´rboles
cortam o eixo Oy se k > 0, e o eixo Ox se k < 0. Se k = 0, as curvas sa˜o exatamente as
retas y = ±x. As figuras abaixo ilustram esses casos.
x
y C2
C1
x
y
C0
x
y
C
−1 C−2
Para visualizar o gra´fico, pode-se ainda corta´-lo por planos verticais que conteˆm o eixo
Oz. Por exemplo, a intersec¸a˜o do gra´fico com o plano Oyz e´ a para´bola f(0, y) = y2, com
concavidade voltada para cima. Ja´ a intersec¸a˜o com o plano Oxz e´ a para´bola f(x, 0) = −x2,
com concavidade voltada para baixo. Veja a Figura 9. Juntamente com as curvas de n´ıvel,
essas informac¸o˜es fornecem um esboc¸o do gra´fico, com ilustrado na Figura 10.
x
y
z
Figura 9: Cortes
x
y
z
Figura 10: Gra´fico
�
Ca´lculo III Notas da Aula 03 3/6
Sobre Abertos e Fechados
Lembrando: O caso da Reta
A importaˆncia de um intervalo I ⊂ R ser aberto ou fechado e´ que essas caracter´ısticas
teˆm reflexos importantes no comportamento das func¸o˜es nele definidas.
Por exemplo, g : (0,∞) → R, dada por g(x) = ln(x), e´ tal que limx→0+ g(x) = −∞.
Diz-se que a func¸a˜o se torna ilimitada em vizinhanc¸a do ponto x0 = 0. Isso ocorre em raza˜o
do intervalo I = (0,∞) ser aberto, e a func¸a˜o na˜o estar definida no ponto x0 = 0.
x
y
Figura 11: A func¸a˜o g(x) = ln(x)
x
y
Figura 12: A func¸a˜o g(x) =
√
x
Situac¸a˜o diferente ocorre com a func¸a˜o g : [0,∞)→ R, dada por g(x) = √x. Nesse caso,
limx→0+ g(x) = 0. Isso ocorre porque o intervalo I = [0,∞) e´ fechado, e a func¸a˜o esta´ definida
em x0 = 0. Diz-se enta˜o que a func¸a˜o e´ limitada em vizinhanc¸a de x0 = 0. Assim, ser limitada
em vizinhanc¸a de um ponto esta´ relacionado com o domı´nio ser aberto ou fechado.
Para entender melhor essas questo˜es, o pro´ximo passo e´ introduzir a noc¸a˜o de ponto
interior: um ponto x0e´ dito interior a um intervalo I se existe δ > 0 tal que (x0−δ, x0+δ) ⊂ I.
O intervalo I(x0, δ) = (x0 − δ, x0 + δ) e´ dito uma vizinhanc¸a de x0 e, com essa notac¸a˜o, o
ponto x0 e´ interior se existe uma vizinhanc¸a de x0 toda contida no intervalo.
Com essa notac¸a˜o e´ fa´cil caracterizar os intervalos abertos: sa˜o aqueles em que todos os
pontos sa˜o interiores! Por exemplo, I = (0,∞) e´ um intervalo aberto, pois todos os seus
pontos sa˜o interiores; tembe´m sa˜o abertos os intervalos da forma I = (a, b).
x0x0−δ x0+δ
Figura 13: Vizinhanc¸a I(x0, δ)
a
Figura 14: Ponto interior
a
Figura 15: Ponto de fronteira
A fronteira do intervalo I = (a, b) e´ o conjunto ∂I = {a, b}, constituido dos pontos
extremos do intervalo. Em termos de vizinhanc¸as, os pontos de fronteira podem ser carac-
terizados da seguinte maneira: x0 ∈ ∂I se, e somente se, qualquer vizinhanc¸a I(x0, δ) de x0
inclui pontos de I e de fora de I. Observe que, sendo I um intervalo aberto, os seus pontos
sa˜o todos interiores, e portanto I ∩ ∂I = ∅.
Um intervalo I e´ fechado se ele inclui a sua fronteira, isto e´, se ∂I ⊂ I. Por exemplo,
I = [0,∞) e´ fechado, pois a sua fronteira e´ apenas o ponto ∂I = {0} que esta´ contida no
intervalo. Tambe´m sa˜o fechados os conjuntos da forma I = [a, b].
Finalmente, observe que um intervalo na˜o e´, necessariamente, aberto ou fechado. Por
exemplo, I = [a, b) na˜o e´ aberto, pois inclui o ponto a que na˜o e´ interior, e na˜o e´ fechado,
pois na˜o inclui o ponto de fronteira b.
O Caso do Plano
As mesmas observac¸o˜es feitas acima se aplicam no caso dos
aberto e fechados do plano R2. Por exemplo, considere a func¸a˜o
f(x, y) = ln(y2 − x2) definida no domı´nio
D = {(x, y) ∈ R2; 0 < y2 − x2}
= {(x, y) ∈ R2; |x| < |y|}
que na˜o inclui as retas y = ±x. Como limt→0+ ln(t) = −∞,
x
y
Figura 16: O Domı´nio D
Ca´lculo III Notas da Aula 03 4/6
segue-se que f(x, y) tende a −∞ quando o ponto (x, y) ∈ D se aproxima de uma dessas reta,
e a func¸a˜o se torna ilimitada nesse caso.
A situac¸a˜o e´ diferente com a func¸a˜o g(x, y) =
√
y2 − x2 definida no domı´nio
{(x, y) ∈ R2; |x| ≤ |y|}, que agora inclui as retas y = ±x. Nesse caso, a func¸a˜o g per-
manece limitada quando o ponto (x, y) ∈ D se aproxima de uma dessas reta.
De acordo com as definic¸o˜es a seguir, o domı´nio da func¸a˜o f e´ um conjunto aberto,
enquanto o da func¸a˜o g e´ fechado. Essa diferenc¸a no domı´nio explica em parte a diferenc¸a
de comportamento das duas func¸o˜es.
Definic¸a˜o 1. A bola de centro em P0 ∈ R2 e raio δ > 0 e´ o conjunto
B(P0, δ) = {P ∈ R2; ‖P − P0‖ < δ}
Escolhendo δ > 0 pequeno, a bola B(P0, δ) inclui os pontos pro´ximos de P0, isto e´, pontos
que esta˜o a uma distaˆncia de P0 menor do que δ. E´ comum referir-se a essas bolas como
vizinhanc¸as do ponto P0. A pro´xima definic¸a˜o usa bolas para definir ponto interior, uma
noc¸a˜o que sera´ importante ao longo de todo o curso. Observe a analogia com o caso da reta.
Definic¸a˜o 2. Um ponto P0 e´ interior a um conjunto D ⊂ R2 se existe δ > 0 tal que
B(P0, δ) ⊂ D.
x0
y0 δ
Figura 17: A bola B(P0, δ)
x0
y0
Figura 18: Ponto interior
x0
y0
Figura 19: Ponto de fronteira
Por exemplo, se P0 = (x0, y0) e´ um ponto tal que 0 < x0 < y0, enta˜o P0 e´ ponto interior
ao conjunto D = {(x, y) ∈ R2; |x| < |y|}. De fato, indicando por d > 0 a distaˆncia de P0
a` reta y = x, basta escolher δ = d/2 para se ter que B(P0, δ) ⊂ D. Em geral, conjuntos
definidos por desigualdades estritas sa˜o conjuntos abertos.
Definic¸a˜o 3. Um ponto P0 e´ de fronteira de um conjunto D ⊂ R2 se, para todo δ > 0, a
bola B(P0, δ) conte´m pontos do conjunto e de fora do conjunto.
Por exemplo, se P0 = (x0, y0) e´ um ponto tal que 0 < x0 = y0, enta˜o P0 e´ ponto de
fronteira do conjunto D = {(x, y) ∈ R2; |x| < |y|}. Com efeito, nesse caso na˜o importa qua˜o
pequeno seja δ > 0, a bola B(P0, δ) sempre tera´ pontos P = (x, y) do conjunto (com x < y)
e pontos de fora do conjunto (com x > y).
Definic¸a˜o 4. A fronteira, ou bordo, de D ⊂ R2 e´ o conjunto
∂D = {P ∈ R2;P e´ ponto de fronteira de D}
No exemplo que esta´ sendo estudado, do conjuntoD = {(x, y) ∈ R2; |x| < |y|}, e´ claro que
a fronteira e´ o conjunto das duas retas y = ±x, isto e´, ∂D = {(x, y) ∈ R2; y = x ou y = −x}.
Observe que D∩∂D = ∅, e portanto os pontos de fronteira na˜o esta˜o no conjunto. De acordo
com a pro´xima definic¸a˜o, essa propriedade caracteriza os conjuntos abertos.
Definic¸a˜o 5. Um conjunto D ⊂ R2 e´ aberto se todos os seus pontos sa˜o interiores.
E´ claro que, se todos os pontos sa˜o interiores, o conjunto na˜o conte´m ponto de fronteira,
e portanto D ∩ ∂D = ∅. A situac¸a˜o oposta, em que ∂D ⊂ D, caracteriza os conjuntos
fechados, de acordo com a definic¸a˜o a seguir.
Ca´lculo III Notas da Aula 03 5/6
Definic¸a˜o 6. Um conjunto D ⊂ R2 e´ fechado se inclui a sua fronteira.
E´ o caso do conjunto D = {(x, y) ∈ R2; |x| ≤ |y|}, cuja fronteira sa˜o as duas retas
y = ±x, isto e´, ∂D = {(x, y) ∈ R2; y = x ou y = −x}. E´ claro enta˜o que ∂D ⊂ D.
Um conjunto na˜o e´, necessariamente, aberto ou fechado. Entre ser aberto (D ∩ ∂D = ∅)
e ser fechado (∂D ⊂ D), existe a situac¸a˜o intermedia´ria em que uma parte da fronteira esta´
no conjunto e a outra parte na˜o. Nesse caso, o conjunto nem e´ aberto e nem e´ fechado.
1 2
Figura 20: Um anel
Por exemplo, considere o anel D = {P ∈ R2; 1 ≤ ‖P‖ < 2}
ilustrado na figura ao lado. E´ claro que a fronteira e´ a unia˜o dos
dois c´ırculos ∂D = C1 ∪ C2, onde C1 = {P ∈ R2; ‖P‖ = 1} e
C2 = {P ∈ R2; ‖P‖ = 2}. Assim, D na˜o e´ aberto, pois inclui os
pontos de fronteira que esta˜o em C1; e tambe´m na˜o e´ fechado,
pois na˜o inclui os pontos da fronteira que esta˜o em C2.
Ca´lculo III Notas da Aula 03 6/6