cal3na 05

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Prof. Celius A. Magalha˜es
Ca´lculo III
Notas da Aula 05∗
Limite & Continuidade
Intuitivamente, o limite limP→P0 f(P ) = L significa que f(P ) pode ser tornado ta˜o
pro´ximo de L quanto se queira, desde que P esteja suficientemente pro´ximo de P0. No
entanto, apesar de importante, em muitos casos a noc¸a˜o intuitiva na˜o e´ suficiente para
decidir quanto a` existeˆncia do limite. Em outros, e´ preciso tornar mais clara a noc¸a˜o de
proximidade, como no exemplo do comprimido dado anteriormente. Da´ı a necessidade de
uma definic¸a˜o precisa do limite, dada a seguir.
Definic¸a˜o 1. Sejam f : D → R uma func¸a˜o definida no do-
mı´nio D ⊂ R2 e P0 ∈ R
2 um ponto dado. Dizemos que
limP→P0 f(P ) = L se, dado ǫ > 0 qualquer, existe δ > 0 tal
que
P ∈ D e 0 < ‖P − P0‖ < δ =⇒ |f(P )− L| < ǫ
A figura ao lado ilustra a definic¸a˜o. Em palavras, dada
a margem de toleraˆncia ǫ > 0, deve existir uma margem
de seguranc¸a δ > 0 com a propriedade de que, se o ponto
P ∈ B(P0, δ), com P 6= P0, enta˜o a imagem f(P ) esta´ dento
da margem de toleraˆncia, isto e´, L− ǫ < f(P ) < L + ǫ. Nesse
caso, considerando o domı´nio como sendo a bola B(P0, δ) me-
nos o ponto P0, o gra´fico da func¸a˜o resultante deve estar todo
contido no cilindro ilustrado ao lado.
x0
y0
δP
L − ǫ
f(P )
L
L+ ǫ
Figura 1
Usando a definic¸a˜o, pode-se mostrar que o limite tem as propriedades indicadas abaixo.
Essas propriedades sa˜o bastante naturais, e podem ser entendidas a` luz da noc¸a˜o intuitiva.
Por exemplo, a primeira delas significa que, se f(P ) pode ser tornado pro´ximo de L e g(P )
pro´ximo de M , enta˜o a soma f(P )+g(P ) pode ser tornada pro´ximo de L+M . Interpretac¸a˜o
ana´loga vale para as outras propriedades.
Propriedades do Limite: Suponha que limP→P0 f(P ) = L e limP→P0 g(P ) = M . Enta˜o
i) limP→P0(f(P ) + g(P )) = L+M ;
ii) limP→P0 f(P )g(P ) = LM ;
iii) limP→P0
1
f(P )
=
1
L
se L 6= 0.
Essas propriedades podem ser usadas no caso de um limite complicado poder ser decom-
posto na soma, produto ou quocientes de limites mais simples, como no pro´ximo exemplo.
Exemplo 1. Considere a func¸a˜o h(x, y) =
3x3
x2 + 2y2
definida nos pontos P = (x, y) 6= (0, 0).
Decidir quanto a existeˆncia do limite limP→P0 h(P ) no caso em que P0 = (2, 1).
∗Texto digitado e diagramado por Yuri Santos a partir de suas anotac¸o˜es de sala
Soluc¸a˜o. Observe que a func¸a˜o h e´ um quociente entre dois polinoˆmios, cada um deles sendo
a soma e o produto de func¸a˜o ainda mais simples.
Por exemplo, a func¸a˜o g(x, y) = 3x3 pode ser decomposta no produdo g(x, y) = (3x)(x)(x),
onde cada fator e´ fa´cil de se estudar. Assim, pode-se usar a definic¸a˜o para mostrar que, se
k(x, y) = 3x, enta˜o lim
P→P0
k(P ) = 6. De fato, para P = (x, y) tem-se que
|k(P )− 6| = |3x− 6| = 3|x− 2| = 3
√
(x− 2)2 ≤ 3
√
(x− 2)2 + (y − 1)2 = 3‖P − P0‖ .
Logo, dado ǫ > 0, basta escolher δ = ǫ/3 para se ter que
P 6= O e 0 < ‖P − P0‖ < δ =⇒ |k(P )− 6| ≤ 3‖P − P0‖ < ǫ.
Isso mostra que lim
P→P0
k(P ) = 6, como afirmado acima.
De forma inteiramente ana´loga mostra-se que, se kˆ(x, y) = x, enta˜o lim
P→P0
kˆ(P ) = 2.
Desses limites e da propriedade ii) acima segue-se que, se g(x, y) = 3x3, enta˜o
lim
P→P0
g(P ) = lim
P→P0
(3x)(x)(x) = (6)(2)(2) = 24.
Desses mesmos argumentos e das propriedades i) e ii), e´ claro que, se f(x, y) = x2 + 2y2,
enta˜o
lim
P→P0
f(P ) = lim
P→P0
x2 + lim
P→P0
2y2 = (2)(2) + 2(1)(1) = 6.
Finalmente, usando as propriedades ii) e iii) segue-se que
lim
P→P0
h(P ) = lim
P→P0
g(P )
f(P )
=
24
6
= 4.
�
O valor do limite acima coincide com o valor da func¸a˜o no ponto P0, uma vez que
h(P0) = h(2, 1) =
3·23
22+2·12
= 24
6
= 4. Essa propriedade, de que o limite coincide com o valor
da func¸a˜o no ponto, e´ dita de continuidade da func¸a˜o, de acordo com a definic¸a˜o a seguir.
Definic¸a˜o 2. Uma func¸a˜o f : D → R e´ cont´ınua em P0 ∈ D se limP→P0 f(P ) = f(P0). Se
a func¸a˜o for cont´ınua em todos os pontos de D ela e´ dita cont´ınua em D.
A continuidade e´ um dos conceitos fundamentais do Ca´lculo, e esta´ intimamente ligada
aos problemas de otimizac¸a˜o, como se vera´ logo a seguir.
Da definic¸a˜o de continuidade e das propriedades do limite segue-se que a soma e o produto
de func¸o˜es cont´ınuas e´ cont´ınuo. Tambe´m o quociente de func¸o˜es cont´ınuas e´ cont´ınuo nos
pontos em que o denominador na˜o se anula. Nos pontos em que o denominador se anula o
quociente pode ou na˜o ser cont´ınuo, como ilustra o pro´ximo exemplo.
Exemplo 2. Determinar os pontos de continuidade da func¸a˜o h : R2 → R dada por
h(x, y) =


3x3
x2 + 2y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0).
Soluc¸a˜o. A menos da origem O = (0, 0), essa e´ a mesma func¸a˜o estudada no exemplo acima.
Assim, de maneira ana´loga ao que ja´ foi feito, mostra-se que, se P0 = (x0, y0) 6= O, enta˜o
lim
P→P0
h(P ) =
3x30
x20 + 2y
2
0
= h(P0)
e portanto a func¸a˜o e´ cont´ınua nesses pontos.
Ca´lculo III Notas da Aula 05 2/4
Na origem, ja´ foi visto no Exemplo 1 da aula passada que limP→O h(P ) = 0. Como
h(O) = 0, segue-se que a func¸a˜o e´ tambe´m cont´ınua nesse ponto. Assim, a func¸a˜o e´ cont´ınua
em todos os pontos do seu domı´nio. �
Nesse exemplo, se fosse escolhido um valor h(O) 6= 0, enta˜o existiria o limite limP→O h(P ),
mas a func¸a˜o na˜o seria cont´ınua nesse ponto. Pode aconter tambe´m do limite na˜o existir,
como no caso da func¸a˜o
h(x, y) =


2x2y
x4 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0).
Nesse caso, como foi visto no Exemplo 3 da aula passada, na˜o existe o limite limP→O h(P ),
e portanto a func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua nesse ponto. Aqui, o valor de h(O) = 0 na˜o e´ importante:
a func¸a˜o continuaria a ser descont´ınua nesse ponto qualquer que fosse a escolha de h(O).
Continuidade e Otimizac¸a˜o
Um problema interessante de otimizac¸a˜o consiste em
determinar o maior valor assumido por uma dada func¸a˜o
f : D → R. Dito de outra forma, deve-se obter um ponto
P0 ∈ D com a propriedade de que f(P ) ≤ f(P0) para todo
P ∈ D. Um ponto com essa propriedade e´ dito ponto de
ma´ximo absoluto da func¸a˜o.
Outros pontos de interesse sa˜o os de ma´ximo local, que
sa˜o aqueles pontos P0 em que a func¸a˜o assume o maior valor
entre todos os pontos P pro´ximos a P0. Assim, P0 e´ ponto
de ma´ximo local se existe δ > 0 com a propriedade de que
f(P ) ≤ f(P0) para todo P ∈ D ∩B(P0, δ).
Analogamente se define ponto de mı´nimo absoluto e
ponto de mı´nimo local. Esses pontos especiais, ilustrados
na figura ao lado, podem ou na˜o existir, dependendo tanto
da func¸a˜o quanto de seu domı´nio.
max abs
max local
min local
min abs
Figura 2
Por exemplo, e´ claro que f : R2 → R, f(x, y) = x2 + y2 (ver Figura 3 abaixo), na˜o possui
ponto de ma´ximo absoluto. Isso porque podem ser escolhidos pontos P ∈ R2 ta˜o afastados
da origem quanto se queira, e portanto f(P ) = ‖P‖2 pode ser tornado ta˜o grande quanto se
queira. Isso mostra que, se o domı´nio for ilimitado, a func¸a˜o pode na˜o ter ponto de ma´ximo
absoluto.
Mesmo se limitado, o ponto de ma´ximo pode na˜o existir se o domı´nio na˜o for fechado. E´
o caso da func¸a˜o g(P ) = 1
1−‖P‖2
definida em D = {P ∈ R2; ‖P‖ < 1} (ver Figura 4 abaixo).
E´ claro que o domı´nio e´ limitado, mas podem ser tomados pontos P ∈ D com 1− ‖P‖2 ta˜o
pro´ximo de zero quanto se queira, e portanto g(P ) = 1
1−‖P‖2
pode ser tornado ta˜o grande
quanto se queira.
Outra questa˜o importante para a otimizac¸a˜o e´ a continuidade. Mesmo que o domı´nio
seja fechado e limitado, o ponto de ma´ximo pode na˜o existir se a func¸a˜o na˜o for cont´ınua.
Por exemplo, no domı´nio D = {P ∈ R2; ‖P‖ ≤ 2}, que e´ fechado e limitado, a func¸a˜o
h(P ) =

0 se ‖P‖ ≤ 1
2
‖P‖2
se 1 < ‖P‖ ≤ 2.
Ca´lculo III Notas da Aula 05 3/4
na˜o possui ponto de ma´ximo absoluto (ver Figura 5 abaixo). De fato, tem-se que h(P ) ≤ 2,
e a func¸a˜o assume valores ta˜o pro´ximos de 2 quanto se queira, mas na˜o existe P0 ∈ D com a
propriedade de que h(P0) = 2, e portanto a func¸a˜o na˜o possui ponto de ma´ximo absoluto. E´
claro aqui que o problema e´ que a func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua em todos os pontos de seu domı´nio.
Figura 3: gra´fico de f Figura 4: gra´fico de g Figura 5: gra´fico de h
Pode-se mostrar, entretanto, que se uma func¸a˜o na˜o possui ponto de ma´ximo absoluto,
enta˜o ocorre um dos motivos mencionados acima, isto e´, o domı´nio na˜o e´ limitado ou na˜o e´ fe-
chado, ou enta˜o a func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua em seu domı´nio. Esse e´ o conteu´do do surpreendente
resultado enunciado a seguir.
Teorema 1. Suponha D ⊂ R2 fechado e limitado e f : D → R uma func¸a˜o cont´ınua em D.
Enta˜o existem P0 e P1 em D tais que
f(P0) ≤ f(P ) ≤ f(P1) para todo P ∈ D.
E´ dif´ıcil imaginar toda a variedade de situac¸o˜es poss´ıveis para as func¸o˜es de duas varia´veis.
Ale´m da diversidade de relac¸o˜es entre o ponto e sua imagem, deve-se considerar a diversidade
dos domı´nios, que podem assumir as mais variadas formas. No entanto, qualquer que sejam
os casos, apenas as treˆs condic¸o˜es acima (domı´nio fechado e limitado e func¸a˜o cont´ınua) sa˜o
suficientes para assegurar a existeˆncia tanto de ma´ximo como de mı´nimo absolutos. Esse e´
mesmo um resultado surpreendente, e ponto de partida de uma grande a´rea da Matema´tica
conhecida como Ca´lculo das Variac¸o˜es.
O´timo! Esse e´ um crite´rio eficiente para decidir sobre a existeˆncia de ma´ximos e mı´nimos
absolutos. Mas como localizar esses pontos? O teorema acima na˜o fornece pistas de como
encontra´-los. De fato, esse e´ um outro problema, que sera´ resolvido por meio das derivadas
parciais. E este e´ o assunto da pro´xima aula.
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