DMM APOSTILA DE HIDRAULICA ZÉ ALBERTO COMPLETA

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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - CETEC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CET014 – HIDRÁULICA APLICADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA: 
 
HIDRÁULICA APLICADA 
 
 
 
 
 
 
José Alberto Sampaio Santos 
 
Março 2010 
 
 CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - CETEC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CET014 – HIDRÁULICA APLICADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA 01: 
 
INTRODUÇÃO E PROPRIEDADES DOS 
LÍQUIDOS 
 
 
 
 
 
José Alberto Sampaio Santos 
 
Março 2010 
__________________________Introdução e Propriedades dos Líquidos______________________________ 
 1 
_______________________________________________________________________________________ 
José Alberto Sampaio Santos 
 
01. INTRODUÇÃO E PROPRIEDADES DOS LÍQUIDOS: 
 
1.1. INTRODUÇÃO 
 
1.1.1. HIDRÁULICA - CONCEITO 
 
Etimologicamente a palavra hidráulica significa “condução de água” e vem do grego hydor = água e 
aulos = condução. Modernamente, entretanto, é conceituada como a ciência que estuda o 
comportamento dos líquidos em repouso e em movimento. 
 
1.1.2. HISTÓRIA 
 
São inúmeras as estruturas hidráulicas voltadas para o abastecimento humano e para a irrigação 
construídas em tempos remotos, ainda existentes. Dentre várias, se destaca o dique com centenas de 
quilômetros construídos por Ramsés III, há mais de 2.000 anos antes de cristo, ao longo da margem 
esquerda do Rio Nilo, o que permitiu a irrigação dos férteis vales do Egito, garantindo farta produção 
de alimentos e prosperidade para aquele povo. 
A água seja para abastecimento humano, dessedentação animal, irrigação, produção de energia, para 
processamento de produtos in natura ou industrializados, piscicultura, etc. apresentou um papel 
fundamental para o desenvolvimento histórico da humanidade. Neste contexto, a hidráulica teve um 
papel inarredável, contribuindo sobremaneira para a sobrevivência e fixação 
dos povos e, em alguns casos, garantindo a ascensão econômica e social dos grandes conglomerados 
humanos, na medida em que garantira o abastecimento desse precioso líquido em quantidade 
compatíveis às necessidades de consumo. 
Na medida em que a humanidade evoluía, avançavam os métodos de armazenamento e transporte da 
água, capitaneados pelos avanços tecnológicos obtidos, graças aos estudos aplicados da hidráulica 
desenvolvidos por abnegados cientistas, ainda hoje atuais, mesmo com o advento dos modernos 
computadores com os seus mais avançados softwares, entre os quais podemos citar, Aristóteles, Pascal, 
Bernoulli, Reynolds, Darcy, etc. 
A hidráulica moderna ficou muito facilitada com o uso dos programas de computador específicos. 
Porém os princípios que regem as leis da hidráulica, desenvolvidos por aqueles cientistas continuam 
prevalecendo até os dias atuais. A partir da compreensão dessas leis, desenvolveremos o nosso curso. 
 
1.1.3. DIVISÃO E IMPORTANCIA NO CONTEXTO DA AGRICULTURA 
 
A hidráulica pode ser, de maneira genérica, dividida em dois grandes ramos: 
1) HIDRÁULICA GERAL, ANALÍTICA OU TEÓRICA: 
Este ramo da hidráulica apresenta duas subdivisões: 
1.1) HIDROSTÁTICA: Que estuda o comportamento dos líquidos em repouso. 
1.2) HIDRODINÂMICA: Que estuda o comportamento dos líquidos em movimento. 
2)HIDRÁULICA APLICADA OU HIDROTECNIA: 
Este ramo da hidráulica diz respeito à utilização prática dos conhecimentos teóricos, estando muito 
associada ao exercício profissional. 
Em especial, a HIDRÁULICA AGRÍCOLA, área de estudo da nossa disciplina, está ligada à 
exploração agrícola, com destaque para a irrigação, a drenagem agrícola, abrangendo ainda o 
dimensionamento de sistemas de abastecimento de água para propriedades rurais e comunidades de 
pequeno porte. 
 
2. PREFIXOS E SÍMBOLOS GREGOS 
 
Em hidráulica é muito comum a utilização de prefixos para expressar múltiplos e submúltiplos de 
medidas (Quadro 2.1.) e letras gregas (Quadro 2.2.) para identificar, principalmente, as propriedades 
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José Alberto Sampaio Santos 
físicas dos líquidos. O seu conhecimento facilita o entendimento da simbologia universalmente 
utilizada na mecânica dos fluídos. 
QUADRO 2.1. Prefixos para múltiplos e submúltiplos de unidades de medida. 
Múltiplo Prefixo Símbolo Múltiplo Prefixo Símbolo 
 10
18
 exa E 
 10
15
 peta P 
 10
12
 tera T 
 10
9
 giga G 
 10
6
 mega M 
 10
3
 kilo k 
 10
2
 hecto h 
 10 deca d 
 10
-1
 deci d 
 10
-2
 centi c 
 10
-3
 mili m 
 10
-6
 micro 

 
 10
-9
 nano n 
 10
-12
 pico p 
 10
-15
 femto f 
 10
-18
 atto a 
 
 
QUADRO 2.2. Alfabeto grego. 
 Letra Pronúncia Letra Pronúncia 
 A ; α alfa 
 B ; β beta 
 Г ; γ gama 
 ∆ ; δ delta 
 Е ; ε épsilon 
 Z ; ζ zeta 
 H ; η eta 
 Θ ; θ teta 
 I ; ι iota 
 K ; κ capa 
 Λ ; λ lambda 
 Μ ; μ mi 
 Ν ; ν ni 
 Ξ ; ξ qsi 
 Ο ; ο ômicron 
 Π ; π pi 
 Ρ ; ρ rô 
 Σ ; σ sigma 
 Τ ; τ tau 
 Υ ; υ úpsilon 
 Φ ; φ fi 
 Χ ; χ qui 
 Ψ ; ψ psi 
 Ω ; ω ômega 
 
 
3. PROPRIEDADES DOS LÍQUIDOS 
 
3.1. MOBILIDADE 
Os líquidos apresentam volumes bem definidos, o mesmo não ocorrendo quanto a sua forma, uma vez 
que se amoldará àquela do recipiente que o contém, graças a sua mobilidade. Os líquidos apresentam a 
propriedade de se deformar continuamente sob a ação de forçasexternas, graças à grande mobilidade 
de sua massa. 
 
3.2. ISOTROPIA 
 
Segundo Pascal “a pressão em um ponto qualquer no interior de uma massa líquida em repouso é 
a mesma em todas as direções”. È este o fato que explica uma molécula de água ficar estática no 
meio de uma massa líquida em repouso, sugerindo a existência de forças antagônicas em todas as 
direções (Vide desenho 1, abaixo). A Lei de Pascal também sugere que a pressão nos líquidos pode se 
dar em qualquer sentido: vertical ascendente e descendente, horizontal ou inclinado, conforme desenho 
2, abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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José Alberto Sampaio Santos 
3.3. MASSA ESPECÍFICA (ρ) 
 
A massa específica de um líquido (ρ) é a sua massa por unidade de volume. È uma grandeza 
normalmente expressa em kg/m³ ou g/cm³. 
 
QUADRO 3.3. Massa específica (ρ) de líquidos típicos a p = 1 atm 
Líquido kg/m³ Líquido kg/m³ 
Água (4°C) 1.000,0 
Água (25°C) 997,1 
Água do mar (15°C) 1.022,0 a 1.030,0 
Acetona 790,0 
Gasolina 660,0 a 740,0 
Leite 1.020,0 a 1.050,0 
Mercúrio (15°C) 13.6 00,0 
Álcool etílico (20ºC) 788,0 
Glicerina 1.260,0 
Óleo combustível médio 865,0 
Óleo combustível pesado 918,0 
Tetra cloreto de carbono 1.590,0 
 
Em que pese ser uma propriedade física muito importante dos líquidos, apresenta pouco valor prático 
na hidráulica. 
 
 
3.4. PESO ESPECÍFICO (γ) 
 
O peso específico de um líquido (γ) é o seu peso por unidade de volume. Sua grandeza no sistema 
internacional de unidades (SI) é N/m². No entanto, a unidade kgf/m³ no sistema técnico de unidades 
(ST) é mais usual, sendo válida a equivalência: 1 kgf/m³, = 
g. N/m³, sendo g = aceleração da gravidade, igual a 9,81 m/s². 
O peso específico é uma propriedade muito importante na hidráulica, variando de acordo com o valor 
local da aceleração da gravidade. 
 
 
 
QUADRO 3.4. Peso específico (γ) de líquidos típicos a p = 1 atm e g = 9,81 m/s². 
Líquido kg/m³ Líquido kg/m³ 
Água (4°C) 1.000,0 
Água (25°C) 997,1 
Água do mar (15°C) 1.022,0 a 1.030,0 
Acetona 790,0 
Gasolina 660,0 a 740,0 
Leite 1.020,0 a 1.050,0 
Mercúrio (15°C) 13.6 00,0 
Álcool etílico (20ºC) 788,0 
Glicerina 1.260,0 
Óleo combustível médio 865,0 
Óleo combustível pesado 918,0 
Tetra cloreto de carbono 1.590,0 
 
Observar que o peso em kgf é numericamente igual à massa em kg. Esta coincidência, apesar de ser 
muito útil, tem gerado grande confusão no trato das grandezas massa e peso. 
Na prática, adota-se ρ = 1.000 kg/m³ e γ = 1.000 kgf/m³ para a água. 
 
3.5. DENSIDADE (d) 
Densidade relativa, ou simplesmente densidade, de um líquido é definida como sendo a razão entre a 
sua massa específica (ρ) de um líquido e a massa específica de um líquido padrão. Como peso e massa 
são coincidentes e, em razão de no nosso curso trabalharmos, na maioria dos casos, com peso, 
podemos, para facilidade de cálculo, admitir que a densidade é a relação entre o peso específico (γ) de 
um líquido e o peso específico de um líquido padrão. 
O líquido padrão adotado é a água a 4°C de temperatura, submetida a 1 atm de pressão e 9,81m/s² de 
aceleração da gravidade, cujo valor, nestas condições, é de 1.000 kgf/m³. Os dados relativos de pressão 
e de aceleração da gravidade devem ser adotados para obter o peso específico do líquido que se deseja 
calcular a sua densidade. Assim: 
 
dlíquido = (γlíquido na temperatura indicada, c/1 atm e 9,81m/s
2
) /(γágua 4ºC c/1 atm e 9,81m/s
2
) 
 
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José Alberto Sampaio Santos 
QUADRO 2.5.Densidade relativa (d) de líquidos típicos a p = 1 atm e g = 9,81 m/s
2
. 
Líquido d Líquido d 
Água (4°C) 1 
Água (25°C) 0,997 
Óleo lubrificante (15°C) 0,88 – 0,935 
Mercúrio (15°C) 13,6 
 
Observe que tendo-se o peso específico do líquido, ter-se-á a sua densidade e vice-versa. Assim, um 
óleo lubrificante com densidade (d) igual a 0,90, apresenta um peso específico (γ) de 900 kgf/m³. Da 
mesma forma, um óleo lubrificante com peso específico (γ) de 883 kgf/m³, apresenta uma densidade 
(d) igual a 0,883. 
Observe que a densidade é adimensional, em razão das unidades no numerador e denominador serem 
iguais (kgf/m³). 
 
3.6. COMPRESSIBILIDADE 
 
É definida como a capacidade que tem os líquidos de diminuir de volume quando submetidos aos 
esforços de compressão; conseqüentemente ocorre um aumento da sua massa específica. 
Nos líquidos, as mudanças que ocorrem na sua pressão, na maioria dos problemas hidráulicos, não são 
suficientemente grandes para produzirem alterações de seu volume ou na sua massa específica. Por 
essa razão, nos problemas práticos, os líquidos são tratados como não compressíveis. No entanto, 
quando ocorrem mudanças bruscas de velocidade de escoamento, podem ser geradas forças inerciais de 
grande magnitude, de forma que os efeitos da compressibilidade não podem ser desconsiderados, com 
acontece no golpe de aríete. 
 
3.7. ELASTICIDADE 
É definida como a capacidade que tem os líquidos de aumentar de volume quando submetidos a um 
esforço de tração. Os mesmos princípios físicos e observações apresentadas para a compressibilidade 
se aplicam à elasticidade. 
 
3.8. VISCOSIDADE 
 
Esta propriedade física determina a intensidade da resistência oposta por um líquido à ação de uma 
força cisalhante e se deve às forças de coesão entre suas moléculas. 
A viscosidade representa a resistência oposta pelas camadas do líquido ao seu escorregamento. 
Existem dois tipos de viscosidade: a dinâmica e a estática. 
 
3.8.1. VISCOSIDADE DINÂMICA (μ) 
 
A viscosidade dinâmica (μ) representa a força por unidade de área (tensão de cisalhamento) necessária 
ao arrastamento de uma camada de líquido em relação à outra camada do mesmo líquido, dela 
espaçada de uma distancia unitária e dotada de velocidade também unitária. Assim: 
 μ = τ/(∆V//(∆Z) 
 
No Si, a unidade de μ é N.s/m², que é equivalente a kg/m.s. 
A viscosidade dinâmica tem pouca aplicação no campo da hidráulica, na qual se utiliza, basicamente, a 
viscosidade cinemática, conforme descrição a seguir. 
 
 
3.8.2. VISCOSIDADE CINEMÁTICA (ν) 
 
A viscosidade cinemática (ν) é dada pela razão entre viscosidade dinâmica e a massa específica do 
líquido.ν = μ/ ρ 
 
 
 
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José Alberto Sampaio Santos 
QUADRO 3.8.2. Viscosidade cinemática (ν) de líquidos típicos a 1 atm , em m/s². 
Líquido ν Líquido ν 
Água (4°C) 1,57.10
-6 
Água (20°C) 1,01.10
-6 
Álcool etílico (20°C) 1,52.10
-6 
Óleo SAE 10 (20°C) 1,46.10
-5 
Gasolina (20°C) 4,06.10
-7 
Óleo SAE 30 (20°C) 4,95.10
-4 
A viscosidade dinâmica e cinemática dos líquidos diminui com o aumento de temperatura e vice-versa. 
A viscosidade ocupa papel destacado no processo de escoamento dos líquidos. 
 
3..9. COESÃO 
 
As forças de coesão decorrem da atração entre moléculas de mesma natureza. Dão-se na escala 
molecular e são decorrentes da ação de forças de curto alcance, como as forças de Van der Waals e as 
pontes de hidrogênio. Estes princípios físicos se aplicam também às forças de adesão, tensão 
superficial e capilaridade. 
 
 
3.10. ADESÃO 
 
É a propriedade que os líquidos possuem de se unirem a outras de natureza diferente. 
A visualização dos efeitos destas duas últimas propriedades se dá nos exemplos a seguir. É comum o 
fenômeno de a água molhar o vidro, espalhando-se sobre ele, enquanto o mesmo não acontece com o 
mercúrio. No primeiro caso, a adesão entre a água e o vidro é maior que a coesão molecular da água; 
no segundo caso, a coesão molecular do mercúrio suplanta a sua força de adesão ao vidro. 
 
3.11. TENSÃO SUPERFICIAL (σ) 
 
A ação da tensão superficial (σ) pode ser verificada na interface (superfície de separação) de dois 
fluídos não miscíveis, destacando-se aquela formada pela água e o ar atmosférico, conforme figura 
abaixo. 
 AR ↑ 
 
 _____ _____ _____ 
 ↓ 
 _____ _____ 
 ____ 
 
 
 ÁGUA ↑ 
 ← • → 
 ↓ 
 
############################################################################# 
 
A interface água-ar comporta-se como uma “película”, sendo capaz de suportar pequenas cargas, como 
pós e insetos. Esta propriedade é muito importante para explicar os fenômenos capilares e, por 
conseguinte, a retenção de água em solos úmidos. 
A explicação física da origem da tensão superficial é relativamente simples. Uma molécula de água 
dentro de certa massa é, em média, atraída igualmente em todas as direções pela coesão das moléculas 
vizinhas, ocorrendo, por conseqüência, um equilíbrio de forças. No entanto, naquelas moléculas 
situadas na superfície de separação, as forças de adesão da água com o ar são menores que as forças de 
coesão molecular da água, o que gera um desbalanceamento de forças. 
Como efeito prático deste desequilíbrio de forças, as moléculas de água situadas na interface são 
“puxadas” para dentro da massa líquida, fazendo com que ela se comporte como uma membrana 
elástica sob tensão. 
A tensão superficial é função da natureza dos fluídos e da temperatura, diminuindo com o aumento 
desta. Em termos dimensionais, ela representa uma energia por unidade de área, dada em N/m. 
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QUADRO 3.11. Tensão superficial (σ) para fluídos típicos a 1 atm , em N/m. 
Interface σ Interface σ 
Água x ar (4°C) 0,07514 
 
Água x ar (20°C) 0,07289 
 
Água x ar (4°C) 0,05880 
 
Mercúrio x ar (20°C) 0,5390 
Álcool x ar (20°C) 0,0255 
 
3.12 CAPILARIDADE 
 
Os fenômenos capilares são uma conseqüência da tensão superficial dos fluídos e das forças de adesão 
e coesão. Quando se mergulha um capilar em um líquido, observa-se que, no equilíbrio, os níveis de 
dentro e de fora do tubo capilar não são os mesmos. Duas situações podem ocorrer: 
1ª) Quando a coesão entre as moléculas do líquido é superada pelas forças de adesão ao capilar, 
observa-se que o nível interno fica acima do externo e que a superfície livre do fluído (interface 
líquido-ar) apresenta forma côncava. Isto ocorre quando se introduz um capilar através da superfície de 
água. Vide figura a seguir 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª) Quando a coesão entre as moléculas do líquido supera a de adesão ao capilar, observa-se a situação 
inversa e que a superfície livre do líquido no capilar toma forma convexa. Este fato se dá quando se 
introduz um capilar no mercúrio. Vide figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ascensão ou a depressão capilar pode ser calculada pela expressão: 
 
 
rg
h
..
cos..2



 
Onde: 
σ = tensão superficial do líquido; Ө = ângulo de contato líquido-capilar; r = raio do capilar; ρ = massa 
específica do líquido e g = aceleração da gravidade. 
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3.13. PRESSÃO DE VAPOR 
 
Representa a pressão parcial criada pelas moléculas de vapor de líquido quando confinadas em 
ambiente fechado. A pressão de vapor depende da temperatura do líquido, sendo diretamente 
proporcional a esta, isto é, aumenta ou diminui com o aumento ou diminuição da temperatura. 
Na hidráulica a determinação da pressão de vapor tem particular interesse na análise das 
condições de funcionamento das tubulações de sucção das bombas centrífugas. Um exemplo 
prosaico da pressão de vapor é o da panela de pressão, conforme vemos na figura abaixo: 
 
 Panela de pressão 
 
As unidades de pressão de vapor são as mesmas utilizadas para determinação da pressão dos 
fluídos (líquidos e gases). Usualmente é muito empregada a unidade m.c.a., exemplo: 
 
QUADRO 3.13. Valores da pressão de vapor da água (PV) 
Temperatura PV 
 (°C) (m.c.a.) 
Temperatura PV 
 (°C) 
(m.c.a.) 
Temperatura PV 
 (°C) 
(m.c.a.) 
Temperatura PV 
 (°C) 
(m.c.a.) 
0 0,0623 
 10 0,1252 
 20 
0,2385 
 25 
0,3231 
 30 
0,4327 
 50 
0,7522 
 100 
10,3300 
 200 
167,7189 
QUADRO 3.14. Propriedades físicas da água doce no sistema técnico considerando a pressão atmosférica 
Tem- 
pera- 
tura 
T (°C)Massa 
específica 
ρ (kgf.s²/m4) 
Peso 
específico 
γ (kgf/m³) 
Viscosidade 
dinâmica 
μ (kgf.s/m²) 
Viscosidade 
cinemática 
υ (m²/s) 
Tensão 
superficial 
(água com ar) 
σ (kgf/m) 
Pressão 
de vapor 
(Pv) 
(kgf/m²) 
Módulo de 
elasticidade 
ε (kgf/m² x 106) 
Coeficiente de 
compressi- 
bilidade 
α (m²/kgf x 106) 
0 
2 
4 
5 
6 
8 
10 
12 
14 
15 
16 
18 
20 
25 
30 
40 
50 
60 
70 
80 
90 
100 
102,03 
102,04 
102,04 
102,04 
102,04 
102,03 
102,01 
101,99 
101,97 
101,95 
101,94 
101,90 
101,86 
101,74 
101,60 
101,24 
100,83 
100,33 
99,78 
99,16 
98,50 
97,80 
999,87 
999,97 
 1.000,00 
999,99 
999,97 
999,88 
999,73 
999,52 
999,27 
999,13 
998,97 
998,62 
998,23 
997,0 7 
995,68 
992,20 
988,10 
983,20 
977,80 
971,80 
965,30 
958,40 
0,000181 
0,000169 
0,000159 
0,000154 
0,000150 
0,000141 
0,000133 
0,000126 
0,000119 
0,000116 
0,000113 
0,000108 
0,000103 
0,000091 
0,000082 
0,000067 
0,000056 
0,000047 
0,000041 
0,000035 
0,000031 
0,000028 
0,00000177 
0,00000166 
0,00000156 
0,00000151 
0,00000147 
0,00000138 
0,00000131 
0,00000124 
0,00000117 
0,00000114 
0,00000111 
0,00000106 
0,00000101 
0,00000090 
0,00000081 
0,00000066 
0,00000055 
0,00000047 
0,00000041 
0,00000036 
0,00000032 
0,00000028 
0,00771 
- 
0,00766 
- 
- 
- 
0,00757 
- 
- 
- 
- 
0,00745 
0,00743 
- 
0,00726 
0,00710 
0,00690 
0,00676 
0,00657 
0,00638 
0,00620 
0,00601 
62,3 
72,0 
82,9 
89,0 
95,4 
109,4 
125,2 
143,0 
163,0 
173,9 
185,4 
210,5 
238,5 
323,1 
437,2 
752,2 
 1.258,1 
 2.032,7 
 3.183,4 
 4.846,3 
 7.191,0 
 10.330,0 
206,0 
- 
- 
210,1 
- 
- 
214,1 
- 
- 
218,2 
- 
- 
222,3 
226,4 
226,9 
232,5 
233,5 
232,5 
229,4 
224,3 
218,2 
211,1 
4,85 
- 
- 
4,76 
- 
- 
4,67 
- 
- 
4,58 
- 
- 
4,50 
4,42 
4,41 
4,30 
4,28 
4,30 
4,36 
4,46 
4,58 
4,74 
 
Copiado de BACK, A. J. Hidráulica e Hidrometria Aplicada, Florianópolis: Epagri, 2006. 299p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
________________________________________________Introdução e Propriedades dos Líquidos_______________________________________________________ 
 
__________________________________________________________________________________________________________________________________ 
José Alberto Sampaio Santos 
 
QUADRO 3.15. Variação da pressão atmosférica com a altitude 
Altitude 
(m) 
Pressão atmosférica 
atm. kg/cm² m.c.a. mb mmHg 
0 
100 
200 
300 
400 
500 
600 
700 
800 
900 
1 000 
1 500 
2 000 
2 500 
3 000 
1,000 
0,990 
0,979 
0,969 
0,958 
0,948 
0 938 
0,927 
0,917 
0,906 
0,896 
0,844 
0,792 
0,740 
0,688 
1,033 
1,022 
1,012 
1,001 
0,990 
0,979 
0,969 
0,958 
0,947 
0,936 
0,926 
0,872 
0,818 
0,764 
0,710 
10,332 
10,224 
10,117 
10,009 
9,902 
9,794 
9,686 
9,579 
9,471 
9,364 
9,256 
8,718 
8,180 
7,642 
7,104 
1 013 
1 002 
992 
981 
971 
960 
950 
939 
929 
918 
908 
855 
802 
749 
697 
760 
752 
744 
736 
728 
720 
713 
705 
697 
689 
681 
641 
602 
562 
523 
Copiado de BACK, A. J. Hidráulica e Hidrometria Aplicada, Florianópolis: Epagri, 2006. 
299p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
__________________________Introdução e Propriedades dos Líquidos______________________________ 
 
___________________________________________________________________________________ 
José Alberto Sampaio Santos 
 
 
 CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - CETEC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CET014 – HIDRÁULICA APLICADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA 02: 
 
HIDROSTÁTICA - ESTUDO DAS PRESSÕES 
 
 
 
 
 
 
 
José Alberto Sampaio Santos 
 
Março 2010 
 1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA – UFRB 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS – CETEC 
CET014 – HIDRÁULICA APLICADA 
PROF: José Alberto Sampaio Santos 
 
CAPÍTULO : HIDROSTÁTICA 
 
1.CONCEITO 
 
É o capítulo da hidráulica que estuda o comportamento dos líquidos em repouso. 
 
2.PRESSÃO DOS LÍQUIDOS 
 
2.1. LEI DE STEVIN 
 
A figura abaixo mostra um cilindro de líquido de peso específico γ e de seção 
transversal A constante, totalmente imerso em um volume do mesmo líquido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No equilíbrio, teremos: 
 
 ΣFy = 0 
 P1.A + F = P2.A 
 P1.A + γ.Volcilindro = P2.A 
 P2.A – P1.A = γ.Volcilindro 
 P2.A – P1.A = γ.A.h 
 P2 – P1 = γ.h 
 
“ A diferença de pressão entre dois pontos de uma massa líquida é igual à 
diferença de profundidade entre eles, multiplicada pelo peso específico do líquido.” 
 
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 2
Quando o ponto 1 do cilindro tangenciar a superfície livre do líquido em que se 
encontra imerso, a pressão ali reinante é nula, isto é, P1 = 0. Neste caso, teremos apenas 
o ponto 2 (P2), que será então designado de P. Resumindo, teremos: 
 
 P1 = 0 e P2 = P 
Assim: 
 
 P = γ.h 
 
Onde: 
 
P = Pressão do líquido, em kgf/m². 
γ = Peso específico do líquido, em kgf/m³. 
h = Altura ou profundidade do líquido, em m. 
 
A fórmula de pressão dos líquidos nos remete à conclusão de que, diferentemente dos 
sólidos, a pressão dos líquidos independe da forma, da área e do volume; dependendo 
exclusivamente, univocamente e diretamente do peso específico e da profundidade do 
líquido. Para um mesmo líquido, no entanto, dependerá exclusivamente, univocamente, 
diretamente e linearmente da profundidade do líquido. Ou seja, quanto maior a 
profundidade, maior será a pressão exercida pelo líquido e vice-versa. Se tomarmos 
como exemplo a barragem de Pedra do Cavalo, em Cachoeira – Bahia, deduzimos 
logicamente que as dimensões transversais do corpo da barragem foram calculadas 
unicamente com base na profundidade da lâmina d’água armazenada, já que a pressão 
que a água exerce na parede de montante da barragem só depende desta variável. 
Independendo, portanto, da forma, da área do espelho d’água formado ou do volume de 
água armazenado pela barragem. Estas características inerentes à pressão dos líquidos, 
via de regra, confunde as pessoas que não dispõem de conhecimentos básicos de 
hidrostática e, tecnicamente, é designado de “PARADOXO HIDRÁULICO.” 
 
EXEMPLO 1. Um mergulhador encontra-se praticando mergulho na Baia de Todos os 
Santos, em Salvador – Bahia, a uma profundidade de 25m. Como o peso específico 
médio da água do mar é de 1.025 kgf/m³, calcule a que pressão estará submetido o 
mergulhador a esta profundidade. 
 
EXEMPLO 2. Que altura de coluna de óleo (d=0,85) proporciona a mesma pressão de 
uma coluna de 10 m de água? 
 
EXEMPLO3. Determine o peso específico de um líquido que, para uma coluna de 
20m, apresenta uma pressão de 16.000 kgf/m2. 
 
2.2.UNIDADES DE PRESSÃO 
 
As unidades de pressão ocupam grande destaque no estudo da hidráulica, não só pela 
sua importância nos processos hidráulicos em que envolvem o seu uso, mas também 
pela diversidade de unidades de medida utilizadas para sua expressão. 
 
No sistema internacional de medidas (SI), a unidade é o Pascal (Pa) que, por definição, 
é, Pa = N/m2. O Pascal apresenta dois múltiplos de uso comum: o quilopascal (KPa) e o 
megapascal (MPa). 
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 3
1 Pa = 10-3 KPa = 10-6 MPa ou 1 MPa = 103 KPa = 106 Pa 
 
No sistema técnico de unidades (ST), a unidade de pressão é o kgf/m2, sem 
denominação especial e utilizada nas fórmulas e cálculos hidráulicos. Entretanto, a 
unidade de pressão mais utilizada na prática é o kgf/cm2. 
 
1 kgf/m2 = 104 kgf/cm2 ou 1 kgf/cm2 = 104 kgf/m2 
 
Uma forma bastante usual de se expressar a pressão é tomá-la em termos de uma coluna 
de um líquido, normalmente mercúrio (Hg) ou água. Como se sabe, das experiências de 
Torricelli, a pressão atmosférica equilibra uma coluna de 0,76 m de mercúrio ao nível 
do mar. Assim: 
 
1 atm = 0,76 mHg = 76 cmHg = 760 mmHg 
 
Como a densidade do mercúrio em relação à água é 13,6 as igualdades anteriores são 
equivalentes a: 
 
1 atm = 10,333 m.c.a. 
 
Ora, a força em Newton é obtida da seguinte forma, a partir da força em kgf: N = kgf.g. 
Onde g = aceleração da gravidade = 9,81 m/s2. Como o Pascal é o N/m2, tem-se as 
seguintes equivalências: 
 
Pa = kgf/m2. g ou kgf/m2 = Pa/g 
 
QUADRO 2.2.1. Equivalência entre unidades de pressão 
Unidade atm m.c.a. cmHg kgf/cm2 psi bar Pa MPa 
1 atm = 1 10,333 76 1,033 14,701 1,014 1,014.105 0,101 
1 m.c.a. = 0,097 1 7,353 0,1 1,422 0,098 9,8.103 0,001 
1 cmHg = 0,013 0,136 1 0,014 0,193 0,013 1,334.10-3 0,001 
1 kgf/cm2= 0,967 10 73,529 1 14,223 0,981 9,81.104 0,098 
1 psi = 0,068 0,703 5,181 0,070 1 0,069 6,865.103 6,87.10-3 
1 bar = 0,986 10,194 74,951 1,019 14,514 1 105 0,1 
1 Pa = 9,862.10-6 1,019.10-4 7,501.10-4 1,019.10-5 1,457.10-4 10-5 1 10-6 
1 MPa = 9,862 101,970 7,501.102 10,194 145,666 10 106 1 
 
A pressão atmosférica de uma localidade pode ser determinada, grosso modo, pela 
expressão: 
 
 Patm = 10,33 – 0,0012.L 
 
Onde: 
Patm = Pressão atmosférica, em m.c.a. 
L = Altitude local, em m. 
 
EXEMPLO 4. Utilizando a fórmula anterior, determinar a pressão atmosférica das 
localidades abaixo discriminadas, em m.c.a., kgf/cm2, kgf/m2, cmHg, Pa e KPa. 
Salvador – Ao nível do mar. 
Cruz das Almas - 225 m. 
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 4
Vitória da Conquista – 1.220 m. 
Logan (U.S.A.) – 3.360 m 
 
EXEMPLO 5. Um tanque cilíndrico de 30,5 m de diâmetro contem 3.785.000 litros de 
óleo combustível (dóleo = 0,84). Determinar: 
a) A altura da coluna de óleo no tanque. 
b) A pressão no fundo do tanque, em m.c.o., m.c.a., kgf/m2, kgf/cm2, Pa, KPa, 
MPa, cmHg e psi. 
 
EXEMPLO 6. Um manômetro situado no fundo de um reservatório de água registra 
uma pressão de 58,86 KPa. Determinar a altura de coluna de água no reservatório. 
 
2.3.ESCALAS DE PRESSÃO: ABSOLUTA E MANOMÉTRICA OU RELATIVA 
 
 A pressão é expressa em relação a dois referenciais: o vácuo absoluto e a pressão 
atmosférica local, e, por isto, tem-se duas situações: 
 
 •Pressão absoluta: quando a pressão é expressa como sendo a diferença 
 entre o seu valor medido e o vácuo absoluto. 
 
 •Pressão manométrica, efetiva ou relativa: quando é expressa como 
 sendo a diferença entre seu valor medido e a pressão atmosférica local. 
 
As pressões absolutas são sempre positivas, enquanto que as pressões manométricas, 
efetivas ou relativas podem ser positivas e negativas; neste último caso, quando são 
menores do que a pressão atmosférica local. As pressões manométricas variam de um 
mínimo de -1 atm, vácuo absoluto, até qualquer valor positivo. A figura a seguir ilustra 
este assunto e facilita o entendimento destes conceitos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 5
No ponto 1, as pressões absoluta e efetiva são positivas.No ponto 2, a pressão absoluta é 
igual à pressão atmosférica local e a pressão efetiva é nula. No ponto 3, a pressão 
absoluta é positiva e a efetiva é negativa. No ponto 4, teoricamente, a pressão absoluta é 
nula e a efetiva é negativa e igual a -1 atm. 
 
Matematicamente, as pressões absoluta e efetiva estão relacionadas pela expressão: 
 
 Pabsoluta = Pefetiva + Patmosférica local 
 
Sob o ponto de vista prático pode ser assim representada: 
 
 Pa = P + Patm 
 
Onde: 
Pa = Pressão absoluta, em kgf/m2. 
P = Pressão manométrica, efetiva ou relativa, em kgf/m2. 
Patm = Pressão atmosférica local, em kgf/m2. 
 
Como a pressão manométrica, efetiva ou relativa mede a pressão exercida apenas pelo 
líquido (P), e, como a pressão do líquido é dada pela expressão: P = γ.h. A expressão 
acima pode ser apresentada da seguinte forma: 
 
 Pa = γ.h + Patm 
 
EXEMPLO 7. Determinar as pressões absoluta e efetiva (em kgf/m2, kgf/cm2, atm, Pa 
e kPa) a 15 m de profundidade em em lago de água doce, quando a leitura do barômetro 
indicar uma pressão atmosférica local de 748 mmHg. 
 
EXEMPLO 8. Um mergulhador encontra-se praticando mergulho em um lago de água 
doce no município de Morro do Chapéu, na Bahia, onde a altitude é de 1.100 m. Se o 
barômetro de pulso do mergulhador indicar uma pressão total (pressão absoluta) de 
1,501 kgf/cm2, qual deverá ser a profundidade de mergulho? 
 
Na hidráulica, praticamente só se utiliza as pressões manométricas, efetivas ou relativas. 
Esta observação se explica porque a pressão atmosférica atua em todos os pontos a ela 
expostos, dando, por conseqüência, uma resultante nula. Vide figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 6
Observando atentamente a figura anterior, notamos que a pressão atmosférica age na 
superfície da água do reservatório, pressionando o líquido à favor do fluxo. Entretanto, a 
pressão atmosférica também atua na saída da torneira, de baixo para cima, contra o 
fluxo, gerando, como conseqüência, uma resultante de forças nula. Assim, o que faz a 
torneira funcionar é a pressão manométrica, efetiva ou relativa (P = γ.h) e não a pressão 
absoluta. 
Os condutos forçados funcionam quase sempre nestas condições, daí o fato de aplicar-se 
a eles os princípios físicos anteriormente demonstrados. 
 
2.4. MEDIDORES DE PRESSÃO 
 
As pressões dos líquidos são medidas através de equipamentos denominados de 
manômetros ou piezômetros, responsáveis pela medição das pressões manométricas, 
efetivas ou relativas. Isto é, os manômetros ou piezômetros medem as pressões devidas 
aos líquidos (P = γ.h). Os manômetros ou piezômetros utilizados para medir pressões 
negativas são denominados de vacuômetros. 
Existem vários tipos de medidores de pressão, sendo que os principaissão: 
 
1. Manômetro ou piezômetro normal: 
É o mais simples dos medidores. È constituído por um tubo transparente (plástico ou 
vidro) que é conectado no ponto onde se deseja medir ou conhecer a pressão. Se for 
um conduto forçado (tubo, por exemplo), é conectado na sua geratriz e instalado 
verticalmente, conforme se observa na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PA = γ.h 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Desta forma, haverá uma fuga do líquido do tubo para o medidor, formando uma 
coluna de líquido proporcional à pressão exercida no interior do tubo. Este medidor 
apresenta um alto grau de precisão de medida e uma grande sensibilidade de 
medição, acusando pequenas variações de pressão no tubo. Entretanto, também 
apresenta sérias limitações ao seu uso prático, como, por exemplo, só serve para 
medir pressão positiva, na medida em que, com pressão negativa, haveria fluxo de ar 
para o recipiente ou conduto (tubo) e a pressão seria atmosférica. Outra séria 
limitação, é o fato de só poder medir pequenas pressões, pois, para pressões iguais 
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 7
ou superiores a 0,2 atm numa tubulação transportando água, necessitaria de tubo 
com 2 m ou mais de altura. Para se ter uma idéia desta limitação, para medir uma 
pressão de 1 atm neste mesmo tubo, pressão ainda considerada baixa, uma vez que é 
a pressão a que estamos submetidos ao nível do mar, necessitaria de um tubo com 
mais de 10,0 m de altura. 
 
EXEMPLO 9. Qual a pressão máxima que pode ser medida com um piezômetro 
normal constando de um tubo vertical de 2,0 m, instalado em um tubo conduzindo: 
a) água e b) óleo (d = 0,85). 
 
2. Manômetro ou piezômetro em “U”: 
 
Este manômetro foi desenvolvido para contornar, em parte, os problemas inerentes 
aos piezômetros normais. Neste tipo de medidor, se o objetivo é medir grandes 
pressões, utiliza-se um líquido indicador ou manométrico de grande peso específico, 
normalmente o mercúrio (γ = 13.600 kgf/m3). Entretanto, se o objetivo é medir 
pequenas pressões, utilizam-se a água (ótimo líquido indicador quando se trabalha 
com o ar), tetra cloreto de carbono, tetra cloreto de acetileno e benzina. Estes 
líquidos devem apresentar densidade bem definida, formar menisco bem definido 
com o líquido de contato, ser imiscíveis com este líquido, e, preferencialmente, 
apresentar coloração diferente do líquido de contato. O líquido indicador tem a 
finalidade de aumentar ou diminuir a altura da coluna do manômetro. Exemplo: se o 
líquido transportado for a água e o líquido indicador for o mercúrio, para uma 
mesma pressão, necessitará de uma altura (coluna) 13,6 vezes menor do que a do 
piezômetro normal. Vide figura abaixo. 
 
 
 
 
 γ2 
 γ1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por outro lado, a forma em “U” do piezômetro evita a fuga do líquido indicador ou 
manométrico do piezômetro para o reservatório ou conduto, mesmo com este vazio. 
Observe que, em razão da sua conformação, permite medir também pressões 
negativas. 
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 8
Observando a figura, temos: 
 
γ1 = Peso específico do líquido transportado, em kgf/m3. 
γ2 = Peso específico do líquido indicador ou manométrico, em kgf/m3. 
h1 = Altura da coluna do líquido transportado, no manômetro, em m. 
h2 = Altura da coluna do líquido indicador, no manômetro, em m. 
 
Antes de desenvolvermos a fórmula para determinação da pressão dos líquidos com o 
uso do manômetro em “U”, apresentaremos uma propriedade importante da pressão 
dos líquidos: “Para líquidos em repouso, a pressão é a mesma em pontos situados 
na mesma cota”. Para a sua compreensão, é importante visualizar asr as figuras a 
seguir: 
 
 
Observe que os pontos 1, 2 e 3 encontram-se no mesmo plano horizontal. Neste 
caso, este plano se encontra paralelo à superfície livre de água (S.L.A.), tendo os 
três pontos a mesma profundidade (h). Como o líquido é o mesmo (γ), ter-se-á a 
mesma pressão nos três pontos, ou seja: P1 = P2 = P3. 
 
Quando se tem líquidos de natureza diferente, em equilíbrio (vide figura abaixo), 
ter-se-á pressões iguais no plano que passa por sua interface (Plano AB): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 9
No equilíbrio, teremos em relação ao plano AB: 
 
ΣPA = ΣPB 
ΣPA = γ1.h1 e ΣPB = γ2.h2 
 
Assim: 
 
γ1.h1 = γ2.h2 
 
Note que ambos os líquidos apresentam, no equilíbrio, exatamente as mesmas 
pressões, mesmo que tenham pesos específicos diferentes, os quais são 
compensados pelas alturas. Isto é, o líquido que tiver menor peso específico, 
compensa com uma maior altura e vice-versa, de forma que apresentem a mesma 
pressão no plano AB. 
 
Estes princípios são aplicados na dedução da fórmula para se obter a pressão em A 
no manômetro em “U”. 
 
No plano BC, em equilíbrio, teremos: 
 
ΣPB = ΣPC 
 
Como: ΣPB = PA + γ1.h1 e ΣPC = γ2.h2 
 
Então: PA + γ1.h1 = γ2.h2 
 
Assim: 
 
 PA = γ2.h2 - γ1.h1 
 
Se observarmos atentamente a fórmula, veremos que a pressão em A é determinada 
pela diferença de pressão entre a coluna do líquido indicador ou manométrico 
(γ2.h2) e a coluna do líquido transportado, no manômetro (γ1.h1). 
 
EXEMPLO 10. O manômetro em “U”, esquematizado a seguir, está sendo utilizado 
para medir a pressão exercida por um líquido de peso específico γ = 800 kgf/m3. 
 
 
 
 γ2 
 
 
 γ1 
 
 
 
 
 
 
 
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 10
 
Considerando que o líquido manométrico é o mercúrio (γ2 = 13.600 kgf/m3), 
determinar a pressão em A, considerando as seguintes situações: 
a) h1 = 50 cm e D está 90 cm acima de BC. 
b) h1 = 10 cm e D está 20 cm abaixo de BC. 
 
3. Manômetro ou piezômetro diferencial: 
 
 Como o próprio nome sugere, é um equipamento utilizado para medir a diferença de 
pressão entre dois pontos (vide figura a seguir), quando não se tem interesse em 
conhecer as pressões pontuais reinantes. 
 
 
 
 
 γ1 
 γ3 
 
 
 
 γ2 
 
 
 
 
 
 
A equação do manômetro diferencial pode ser deduzida da seguinte forma. Escolhe-se 
um plano horizontal passando por uma das superfícies de separação (interface) do 
líquido indicador com os líquidos transportados em A e em B. Preferencialmente adota-
se a interface mais baixa, quando os tramos (ramais) do manômetro estiverem voltados 
para cima, e o mais alto, quando estiverem voltados para baixo. Desta forma se 
garantirá a adoção de um único sinal para as alturas das colunas. Isto é, positivo (+) no 
primeiro caso ou negativo (-) no segundo caso. Isto evitará confusão nas operações 
matemáticas envolvendo o uso dos dois sinais na operação matemática, o que pode 
induzir ao erro de cálculo nesta operação. 
Após escolhido e determinado o plano horizontal de referencia, igualam-se as pressões 
nos dois ramos do manômetro (no equilíbrio). No presente caso, toma-se o plano 1-2, 
onde as pressões são as mesmas. Desta forma, teremos. 
 
No equilíbrio: 
 
 ΣP1 = ΣP2 
 
Como:ΣP1 = PA + γ1.h1 e ΣP2 = PB + γ2.h2 + γ3.h3 
 
Então: 
 
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 11
 PA + γ1.h1 = PB + γ2.h2 + γ3.h3 
 
Assim: 
 
 PA – PB = γ2.h2 + γ3.h3 – γ1.h1 
 
Onde: 
 
PA – PB = Diferença de pressão entre os pontos A e B, em kgf/m2. 
γ1 = Peso específico do líquido transportado em A, em kgf/m3. 
γ2 = “ “ “ “ indicador ou manométrico, em kgf/m3. 
γ3 = “ “ “ “ transportado em B, em kgf/m3. 
h1 = Altura da coluna do líquido transportado em A, no manômetro, em m. 
h2 = “ “ “ “ “ indicador ou manométrico, no manômetro, em m. 
h3 = “ “ “ “ “ transportado em B, no manômetro, em m. 
 
A diferença de pressão entre A e B pode ser positiva ou negativa. Quando positiva, 
indica que a pressão em A é maior que em B e, quando negativa, indica simplesmente 
que a pressão em B é maior que em A. 
 
Se o manômetro diferencial estiver instalado, conforme mostra a figura abaixo, e for 
utilizado para medir a perda de carga entre dois pontos de uma mesma tubulação, são 
válidas as relações: 
 
 
 
 
 γ1 
 
 
 
 γ2 
 
 
 
 
 
 h3 = h1 – h2 e γ3 = γ1 
 
Substituindo estas relações na fórmula anterior, teremos: 
 
 PA – PB = γ2.h2 + γ1.(h1 – h2) – γ1.h1 
 PA – PB = γ2.h2 + γ1.h1 – γ1.h2 - γ1.h1 
 
 PA – PB = γ2.h2 - γ1.h2 
 
EXCEMPLO 11. Um manômetro diferencial de mercúrio é utilizado para medir a 
perda de carga localizada, decorrente da instalação de um acessório no conduto, 
localizado entre os pontos A e B, conforme figura abaixo. Sabendo-se que o conduto 
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 12
transporta água e que o manômetro diferencial indica uma deflexão (h2) de 12,0 cm, 
calcule a perda de carga que o acessório produz, em m.c.a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Manômetro de tubo inclinado ou micromanômetro: 
 
Usado na medição de pequenas pressões ou de pequenas diferenças de pressão. Com 
este artifício garante-se um aumento da precisão e da sensibilidade da medida de 
pressão, cujo grau de aumento dependerá do ângulo de inclinação proporcionado no 
tubo. Isto é, quanto menor for a inclinação θ, maior será a precisão e sensibilidade 
das medidas de pressão. Vide figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como: 
 
 PA = γ.h e h = L.senθ 
 
Então: 
 
 PA = γ.L.senθ 
 
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 13
 
EXEMPLO 12. Um manômetro de tubo inclinado é utilizado para medir as 
pequenas pressões pontuais em um conduto que transporta óleo combustível de peso 
específico igual a 0,80 gf/cm3, conforme figura abaixo. Escolher o ângulo θ que 
deve se dar ao tubo do manômetro, de forma a se ter um deslocamento L = 5 cm, 
quando a diferença de pressão PA – PB = 0,001 atm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Manômetro metálico tipo Bourdon: 
 
É o mais utilizado na agricultura, especialmente no monitoramento e controle da 
irrigação e nas máquinas e equipamentos agrícolas (tratores, pulverizadores, bombas 
centrífugas, etc.) Medem as pressões efetivas ou manométricas e, por isso, quando 
utilizados para medir pressões efetivas ou manométricas negativas são denominados 
de vacuômetros, vide figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 14
 O elemento medidor da pressão consiste de um tubo metálico, de seção transversal 
elíptica ou achatada, recurvado, fechado em uma das extremidades e ligado na outra 
com a tomada de pressão, aberta. Quando a pressão interna neste tubo metálico 
aumenta, decorrente do aumento da pressão no tubo responsável pelo transporte do 
líquido, cuja pressão está sendo medida, ele tende para uma seção transversal 
circular que, por sua vez, acarreta um aumento no raio de curvatura do tubo metálico 
que, com este movimento, acarreta um deslocamento de uma alavanca sobre uma 
cremalheira que, por sua vez, movimenta uma pequena engrenagem metálica que 
tem um ponteiro a ele solidário, que se desloca sobre uma escala circular graduada, 
medindo diretamente a pressão, conforme podemos observar na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podem ser utilizados para medir grandes pressões (até 6.000 atm, segundo citação 
de Carlito Flávio Pimenta). Entretanto, por ter os seus mecanismos submetidos à 
fadiga (comum nos equipamentos metálicos), estão sujeitos a deformações 
permanentes e, por essa razão, apresentam baixa precisão de medida; sendo 
recomendado o seu uso em pesquisa somente com a finalidade de se ter uma idéia 
da ordem de grandeza da pressão. 
Atualmente a indústria tem desenvolvido equipamentos com melhor grau de 
precisão e com maior vida útil, principalmente quando banhados em glicerina, o que 
tem proporcionado o uso generalizado deste equipamento para medição de pressão, 
notadamente pela sua facilidade de uso, característica inerente a este medidor de 
pressão. 
Os manômetros metálicos normalmente são instalados diretamente no ponto onde se 
quer medir a pressão. Ocasionalmente, para facilitar as leituras ou para evitar a 
interferência das vibrações nos tubos, principalmente quando instalados próximos às 
bombas centrífugas, o manômetro pode ser instalado a alguma distancia, acima ou 
abaixo do ponto cuja pressão se quer conhecer. Vide figuras a seguir. 
No geral, este tipo de manômetro apresenta escala dupla, bar e psi ou kgf/cm2 e psi. 
Já os vacuômetros apresentam escalas em mmHg e polegadaHg. 
 
EXEMPLO 13. Um manômetro metálico está posicionado 2,20 m acima de uma 
tubulação de água e lê uma pressão de 12 kgf/cm2. Qual a pressão na tubulação, em 
kgf/cm2? 
 
 
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 15
 
 2,20m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
 PA = Leitura do manômetro + elevação 
 
 Leitura do manômetro = PA – elevação 
 
EXEMPLO 14. A pressão reinante em uma tubulação é de 1,5 bar, que é 
transmitida através de um tubo até um manômetro metálico, instalado 3,8 m abaixo 
da tubulação. Qual a pressão indicada pelo manômetro, em bar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
 PA = Leitura do manômetro - elevação 
 
 Leitura do manômetro = PA + elevação 
 12 kgf/cm2 
 3,8 m 
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 CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - CETEC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 CET014 – HIDRÁULICA APLICADA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA 03: 
 
HIDROSTÁTICA - EMPUXO SOBRE 
SUPERFÍCIES PLANAS SUBMERSAS 
 
 
 
 
José Alberto Sampaio Santos 
 
Março 2010 
 
____________________Hidrostática – Empuxo sobre Superfícies Planas Submersas___________________ 
________________________________________________________________________José Alberto Sampaio Santos 
2 
CAPÍTULO: HIDROSTÁTICA 
 
ASSUNTO: EMPUXO SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS SUBMERSAS 
 
1.EMPUXO OU FORÇA TOTAL DOS LÍQUIDOS: 
 
O empuxo ou força total que o líquido exerce sobre uma superfície plana submersa (E), vide 
figura abaixo, é determinado originalmente através da equação de pressão, conforme 
demonstração que se segue: 
 
 
 
Originalmente, a equação de pressão é dada pela expressão: 
 
 P = F/A 
 
 F = P.A 
 
Para os líquidos, tem-se: 
 
 P = γ.h 
 
Substituindo na expressão acima, tem-se: 
 
 P = γ.h.A 
 
Como se trata de pressão dos líquidos, onde P = E, tem-se: 
 
 E = γ.h.A 
 
Pela figura, tem-se que a altura ou profundidade do líquido que exerce o empuxo sobre a 
superfície plana submersa é representada pela medida efetuada na vertical entre a S.L.L. 
(superfície livre do líquido) e o centro de gravidade desta mesma superfície, designada de 
h
. 
Assim: 
 
 E = γ.
h
.A 
 
Onde: 
E = Empuxo ou força total do líquido sobre a superfície plana submersa, em kgf. 
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José Alberto Sampaio Santos 
3 
γ = Peso específico do líquido, em kgf/m3. 
h
 = Altura ou profundidade entre a superfície livre do líquido (S.L.L.) e o centro 
 de gravidade (CG) da superfície submersa, submetida ao empuxo, em m. 
A = Área da superfície submersa, submetida ao empuxo, em m
2
. 
 
EXEMPLO 01. Calcule a força que a água exerce sobre uma comporta quadrada (1 m x 1 m) 
instalada no fundo de um reservatório de água de 2 m de profundidade. 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 02. Se esta comporta estivesse instalada em uma das paredes verticais deste 
reservatório, como mostra a figura abaixo, qual deveria ser o empuxo exercido pelo líquido? 
 
 
 
 
 
 EXEMPLO 03. Um tanque cheio de água mede 2 m de comprimento x 1 m de largura e 0,9 
m de profundidade. Pede-se o empuxo: 
a) Na parede de fundo. 
b) Nas paredes verticais menores. 
c) Nas paredes verticais maiores. 
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José Alberto Sampaio Santos 
4 
 
 
 
 
 
2.CENTRO DE PRESSÃO E PONTO DE APLICAÇÃO DO EMPUXO EM 
SUPERFÍCIES PLANAS SUBMERSAS: 
 
Centro de pressão ou simplesmente CP é o ponto de aplicação do empuxo que atua sobre uma 
superfície plana submersa. 
No seu estudo devemos considerar as seguintes situações: 
a) Superfície horizontal: 
 
 
 
 
 
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________________________________________________________________________ 
José Alberto Sampaio Santos 
5 
Nas figuras “a”, “b” e “c”, acima, encontram-se apresentadas as distribuições das pressões 
hidrostáticas em superfícies planas horizontais, verticais e inclinadas. Observe que aumentam 
com a profundidade e apresentam-se perpendiculares às paredes ( superfícies planas 
submersas). 
Note que apenas nas superfícies horizontais o CG = CP, enquanto que nas demais ( verticais e 
inclinadas) “ o ponto de aplicação do empuxo (CP) encontra-se abaixo do 
centro de gravidade (CG) da figura submersa, submetida ao empuxo”. 
È preciso então definir-se a localização do ponto de aplicação do empuxo para superfícies 
planas submersas verticais e inclinadas. 
Para a sua determinação aplica-se a teoria dos momentos, a qual estabelece que o momento da 
força resultante F em relação ao ponto O deve ser igual à soma dos momentos das forças 
elementares dF em relação ao mesmo ponto (vide figura abaixo). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 
 
.ycp = ∫Ay.dF (01) 
 
Aplicando-se as relações trigonométricas, teremos: 
 
 
h
 =
y
.senθ (02) 
 
Para os líquidos, temos que a força será: 
 
 F = E = γ.
h
.A (03) 
 
Substituindo 02 em 03, teremos: 
 
 F = γ. 
y
.senθ.A (04) 
 
Aplicando-se o mesmo princípio da equação anterior, tem-se que a força elementar aplicada 
em uma superfície também elementar, será: 
 
 dF = γ.y.senθ.dA (05) 
 
Substituindo as equações representativas das forças 04 e 05, na equação da teoria dos 
momentos 01, teremos: 
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6 
 
 γ. 
y
.senθ.A.ycp = ∫A.y.γ.y.senθ.dA (06) 
 
Desenvolvendo a equação, teremos: 
 
 
y
.A.ycp = ∫A.y
2
.dA (07) 
 
A integral ∫A.y
2
.dA representa o segundo momento da área em relação à superfície livre do 
líquido, sendo designada normalmente de I. No entanto, é mais comum se trabalhar com o 
momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de gravidade da superfície 
submersa, designada de Io. A relação entre I e Io é dada pela expressão: 
 
 I = A.y
2
 + Io (08) 
 
Combinando-se as equações 07 e 08, teremos: 
 
 
y
.A.ycp = A.y
2
 + Io (09) 
 
Desenvolvendo a expressão 09, acima, teremos: 
 
 ycp = A.y
2
/A.
y
 + Io/A.
y
 
 
 ycp = 
y
 + Io/A. 
y
 (10) A 
equação acima representa a fórmula largamente utilizada para a determinação do ponto de 
aplicação do empuxo (CP) em superfícies planas submersas. 
 
Onde: 
ycp = Distancia, medida no sentido da inclinação da parede, entre a superfície livre do 
 líquido (S.L.L.) e o centro de pressão (CP) da superfície submersa, em m. 
y
= Distancia, medida no sentido da inclinação da parede, entre a superfície livre do 
 líquido (S.L.L.) e o centro de gravidade (CG) da superfície submersa, em m. 
A = Área da superfície submersa, em m
2
. 
Io = Momento de inércia da superfície submersa, em m
4
. 
Visualizando a figura anterior e aplicando-se as relações trigonométricas, obtemos as 
seguintes relações entre as medidas: 
 
h
 = 
y
.senθ e 
y
 = 
h
/senθ 
 hcp = ycp.senθ e ycp= hcp/senθ 
Desta forma, quando a superfície submersa estiver na vertical, isto é, quando fizer um ângulo 
reto (θ = 90°) com a superfície livre do líquido, ter-se-á: ycp = hcp e y = h, pois o sen90° = 1. 
Assim, para paredes verticais, o centro de pressão (CP) é calculado pela fórmula: 
 hcp = h + Io/A. h (11) 
 
As propriedades geométricas das principais figuras planas mais utilizadas no curso de 
hidráulica são apresentadas no Quadro 1, a seguir. 
 
 
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7 
 
Resumidamente, podemos afirmar que: 
“Em paredes verticais ou inclinadas, a resultante do empuxo aplica-se em um ponto 
localizado abaixo do CG, denominado de centro de pressão (CP)”. 
 
Da expressão acima, depreende-se que: 
 
 Para paredes verticais: hcp – h = Io/A. h ou CP – CG = Io/A. h 
 
 Para paredes inclinadas: ycp – 
y
 = Io/A. 
y
 ou CP – CG = Io/A. 
y
 
 
EXEMPLO 04. Encontrar o ponto de aplicação do empuxo dos três exercícios anteriores. 
 
EXEMPLO 05. Encontrar o empuxo e o seu ponto de aplicação em uma comporta circular 
com 20 cm de diâmetro, instalada verticalmente na parede de um reservatório de água, 
sabendo-se que o seu topo encontra-se a 90 cm de profundidade 
 
 
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8 
EXEMPLO 06. Uma barragem com 20 metros de comprimento retém uma lâmina de água de 
7 m de altura. Determinar a força resultante sobre a barragem e o seu centro de aplicação. 
 
 
 
EXEMPLO 07. Uma comporta metálica, de forma circular, instalada na parede vertical de 
um reservatório de água, possui 1 m de raio. O nível de água no reservatório está na cota 
130,0 m, enquanto o CG da comporta situa-se na cota 125,0 m. Pede-se: 
a) a força vertical que deve ser aplicada em uma haste para abrir a comporta, sabendo-se 
que o coeficiente de atrito (ka) é igual a 0,60. 
b) A que distância do CG da comporta deve ser soldada uma haste para que a comporta 
seja suspensa por igual? 
c) 
 
 
 
EXEMPLO 08. Instalou-se uma comporta retangular com 1,50 m de comprimento e 1,20 m 
de largura em um reservatório de água. A extremidade superior da comporta dista 2,50 m do 
nível de água no reservatório. Pede-se: 
a) a força atuante na comporta. 
b) O ponto de aplicação da força. 
 
 
 
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9 
2.1. EXPRESSÃO ANALÍTICA SIMPLIFICADA PARA DETERMINAÇÃO DO 
PONTO DE APLICAÇÃO DO EMPUXO QUANDO A S.L.L. TANGENCIA O TÔPO 
DA SUPERFÍCIE SUBMERSA OU QUANDO LIMITA SUPERIORMENTE ESTA 
SUPERFÍCIE: 
 
a) Para superfícies retangulares: 
 
 
 
 
hcp = h + 

hA
Io
.
 
 
h
 = 
2
h
; A = c.h; Io = 
12
. 3hc
 
 
Substituindo na equação acima, teremos: 
 
hcp = 
2
..
12
.
2
3
h
hc
hc
h
 
 
Desenvolvendo a equação, teremos: 
 
hcp = 
2
.
12
.
2 2
3
hc
hc
h
 
 
hcp = 
2
3
.
2
.
12
.
2 hc
hch

 
 
Procedendo as devidas simplificações, teremos: 
 
hcp = 
62
hh

 
 
Somando os dois termos, teremos: 
 
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10 
hcp = 3.
66
hh

 
 
hcp = 
h.
6
4
 
 
Resultando em: 
 
hcp = 
h.
3
2
 
 
Assim, nestas condições, o ponto de aplicação do empuxo encontra-se a 2/3 da altura da 
superfície submetida ao empuxo. 
Exemplo típico desta situação são as paredes laterais de reservatórios, tanques, barragens, etc. 
ou de superfícies nelas instaladas ( adufas, etc.), quando o nível de água tangenciar o seu topo. 
Quando desenvolvemos a equação para as demais superfícies, encontramos as seguintes 
expressões analíticas simplificadas para determinação do ponto de aplicação do empuxo: 
 
b)Para superfícies triangulares: 
 
b.1) Com vértice para cima: 
 
 
 
 hcp = 
h.
4
3
 
 
b.2)Com vértice para baixo: 
 
 
 
 hcp = 
2
h
 
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11 
c)Para superfícies circulares: 
 
 
 
 
 hcp = 
d.
8
5
 
 
EXEMPLO 09. Desenvolver as equações anteriores para as superfícies triangulares e circular, 
culminando com a obtenção das expressões analíticas simplificadas anteriormente fornecidas. 
 
EXEMPLO 10. Determinar a altura de lâmina d’água (h) para que a comporta automática se 
abra, sabendo-se que a altura da articulação em relação ao solo é de 30 cm. 
 
 
 
EXEMPLO 11. Calcular o ponto de aplicação do empuxo nas superfícies indicadas na figura 
abaixo, sabendo-se que em todas elas tem-se uma altura de 6 m 
 
 
 
 
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12 
EXEMPLO 12. Um reservatório cúbico de 5 m de aresta possui, em uma de suas paredes, 
uma comporta quadrada de 1 m de lado, cuja articulação encontra-se 3,5 cm abaixo do seu 
CG, como mostra a figura a seguir. Calcule o tempo necessário para que a comporta se abra, 
sabendo-se que o reservatório será enchido com uma vazão de 5 l/s. 
 
Vazão (Q) = Volume (Vol)/Tempo (T) ou Q = Vol/T → T = Vol/Q 
 
 
 
EXEMPLO 13. Calcular a altura H de água que faz bascular automaticamente as pranchas 
retangulares de 1 m de base por 3 m de comprimento de uma barragem móvel, sabendo-se que 
o eixo fica a 0,20 m abaixo do CG. A inclinação é de 60°. 
 
 
 
3. APLICAÇÕES PRÁTICAS DO ESTUDO DA PRESSÃO E DO EMPUXO 
 
3.1. DIMENSIONAMENTO DE BARRAGENS DE GRAVIDADE 
 
Na barragem de gravidade, como sugere o próprio nome, é o peso da estrutura que deve 
resistir às forças de tombamento. Neste caso, em particular, dispomos de duas forças atuantes: 
1) a força da água que atua perpendicularmente sobre o paramento de montante da barragem, 
aplicada no centro de pressão, designada de “empuxo” (E), que tende a derrubar a barragem, 
tendo como contraponto 2) a força representada pelo peso do corpo da barragem, aplicada no 
seu centro de gravidade, atuando verticalmente, no sentido descendente, designada de “peso” 
(P). Essa duas forças componentes (empuxo e peso), a primeira horizontal e a última vertical 
geram uma força resultante (R). A barragem será estável, se a força resultante das duas forças 
componentes perpendiculares entre si “cair” dentro da base (b) da barragem e, caso “caia” fora 
da base, diz-se que a barragem é instável, resultando no seu tombamento. Sob o ponto de vista 
da engenharia, que trabalha com coeficientes de segurança das estruturas físicas projetadas, 
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13 
sugere-se o dimensionamento dessas barragens, de forma que a força resultante (R) “caia” a 
2/3 da base (b), de montante para jusante. 
Na dedução da fórmula para o cálculo da base “b” da barragem, de forma a atender às 
premissas citadas anteriormente, temos dois casos a estudar: 
 
A) Barragens de perfil retangular: 
 
 
Para fins de simplificação dos cálculos, admitiremos o comprimento da crista (L) igual à 
unidade, ou seja, L = 1,0. 
 
Aplicando-se a teoria dos momentos, tem-se que o momento da resultante é igual à soma 
dos momentos das componentes, assim: 
 
MR = ME + MP (01) 
 
O momento de uma força corresponde ao produto da força “X” pelo braço da força YX em 
relação ao ponto de aplicação “O”. Assim: 
 
-Cálculo do momento do empuxo: 
 
ME = E.YE (02) 
 
-Empuxo: 
 
E = γ.
h
 .A 

 E = γ.
)1..(
2
h
h
 

 E = γ.
2
2h
 (03) 
 
-Braço do empuxo: 
 
YE = 
3
h
 (04) 
 
Substituindo as expressões 03 e 04 em 02, teremos: 
 
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14 
ME = γ.
2
2h
. 
3
h
 

 ME = 
6
³.h
 (05) 
 
-Cálculo do momento do peso: 
 
MP = P.YP (06) 
 
-Peso: 
 
P = γ’.b.h.1 

 P = γ’.b.h (07) 
 
-Braço do peso: 
 
YP = 
2
b
 (08) 
 
Substituindo as expressões 07 e 08 em 06, teremos: 
 
MP = γ’.b.h. 
2
b
 

 MP = 
2
.. 2' hb (09) 
 
 
-Cálculo do momento da resultante: 
 
MR = R.YR (10) 
 
-Resultante: 
 
Observação: Observe que a força representada pelo peso (P) apresenta magnitude 
relativa muito grande em relação à força representada pelo empuxo. Com esta 
configuração ter-se-á um valor de R

P. Sob o ponto de vista prático, podemos 
considerar R = P sem comprometimentos significativos nos cálculos. Assim: 
 
R = P = γ’.b.h.1 

 R = γ’.b.h (11) 
 
-Braço da resultante: 
 
YR = 
b.
3
2
 (12) 
 
Substituindo as expressões 11 e 12 em 10, teremos: 
 
MR = γ’.b.h.
b.
3
2
 

 MR = 
3
...2 2' hb (13) 
 
Substituindo as expressões 05, 09 e 13 na equação 01, teremos: 
 
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15 
3
...2 2' hb = 
6
³.h
 + 
2
.. 2' hb 
 
3
...2 2' hb - 
2
.. 2' hb = 
6
³.h
 
 
Desenvolvendo a equação, teremos: 
 
4.γ’.b².h – 3. γ’.b².h = γ.h³ 
 
γ’.b² = γ.h² 
 
b = h.
'

 (14) 
 
Onde: 
 
b = Largura da base da barragem, em m. 
γ = Peso específico da água, em kg/m³ (1.000 kg/m³). 
γ’ = Peso específico do material do corpo da barragem, em kg/m³. Para alvenaria de pedras 
com argamassa de cimento utiliza-se o valor médio de 2.600 kg/m³. 
 
 
B) Barragens de perfil triangular: 
 
 
Para fins de simplificação dos cálculos, admitiremos o comprimento da crista (L) igual à 
unidade, ou seja, L = 1,0. 
 
Aplicando-se a teoria dos momentos, tem-se que o momento da resultante é igual à soma dos 
momentos das componentes, assim: 
 
MR = ME + MP (15) 
 
O momento de uma força corresponde ao produto da força “X” pelo braço da força YX em 
relação ao ponto de aplicação “O”. Assim: 
 
 
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16 
-Cálculo do momento do empuxo: 
 
ME = E.YE (16) 
 
-Empuxo: 
 
E = γ.
h
 .A 

 E = γ.
)1..(
2
h
h
 

 E = γ.
2
2h
 (17) 
 
-Braço do empuxo: 
 
YE = 
3
h
 (18) 
 
Substituindo as expressões 17 e 18 em 16, teremos: 
 
ME = γ.
2
2h
. 
3
h
 

 ME = 
6
³.h
 (19) 
 
-Cálculo do momento do peso: 
 
MP = P.YP (20) 
 
-Peso: 
 
P = γ’.
2
.hb
.1 

 P = 
2
..' hb (21) 
 
-Braço do peso: 
 
YP = 
3
b
 (22) 
 
Substituindo as expressões 21 e 22 em 20, teremos: 
 
MP = 
2
..' hb .
3
b
 

 MP = 
6
.. 2' hb (23) 
 
 
-Cálculo do momento da resultante: 
 
MR = R.YR (24) 
 
-Resultante: 
 
Observação: Observe que a força representada pelo peso (P) apresenta magnitude relativa 
muito grande em relação à força representada pelo empuxo. Com esta configuração ter-se-á 
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