Equilíbrio dos Corpos Rígidos

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CAPÍTULO 2 – EQUILÍBRIO DOS CORPOS RÍGIDOS 
Índice 
2.1 Método dos Momentos......................................................................................................1 
2.1.1 Momento de uma força ............................................................................................1 
2.1.1.1 Momento de uma força no plano............................................................................ 
2.1.2 Translação..................................................................................................................... 
2.1.3 Rotação.......................................................................................................................... 
2.2 Forças paralelas em um plano............................................................................................ 
2.2.1 Duas forças paralelas em um plano......................................................................... 
2.2.1.1 Duas forças com sentidos opostos e mesma intensidade............................... 
2.2.2 Caso geral de forças paralelas em um plano........................................................ 
2.2.3 Decomposição de uma força dada em uma força aplicada em “O” e um 
binário...................................................................................................................................... 
2.3 Corpo rígido em equilíbrio................................................................................................. 
2.3.1 Condições para o equilíbrio do corpo rígido......................................................... 
2.3.2 Tipos de Vínculo......................................................................................................... 
2.3.2.1 Apoio Simples - Roletes, balancim e superfície lisa....................................... 
2.3.2.2 Apoio Fixo - Pino liso ou articulação e superfície áspera............................. 
2.3.2.3 Engastamento.......................................................................................................... 
 
 
 
 
 
 
MMoommeennttoo ddee uummaa ffoorrççaa em relação a um ponto fixo é a medida da 
importância desta força no que se refere à tendência de fazer girar um 
corpo em relação a um ponto fixo dado. 
2.1 Método dos Momentos 
 2.1.1 Momento de uma força 
 
 Considere a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O vetor momento de uma força em relação a um ponto genérico O pode ser 
calculado através do produto vetorial entre o vetor posição e o vetor força, assim: 
 
 
 
 
Módulo: ou 
Direção: Perpendicular ao plano definido pelo ponto O e pela força 
Sentido: Regra da mão direita. 
 
 
 
 
 
 
 
OM
r
O
A
F
r
r
r
d
φ
φ
FrM O
rrr
×=
φsenFrM O ..= dFM O .=
F
r
 
A tendência de rotação do corpo 
ocorre no sentido 
 anti-horário (POSITIVO) 
A tendência de rotação do corpo 
ocorre no sentido 
 horário (NEGATIVO) 
2.1.1.1 Momento de uma força no plano 
 
 
Intensidade: 
Direção: Perpendicular ao plano formado pela força e pelo ponto O 
Sentido: Saindo do papel. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Intensidade: 
Direção: Perpendicular ao plano formado pela força e pelo ponto O 
Sentido: Entrando no papel. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OM
r
O
d
F
r
A
OM
r
O
d
F
r
A
dFM O .+=
dFM O .−=
 
2.1.2 Translação 
 
Um corpo realiza movimento de translação quando qualquer segmento de reta 
que une dois pontos quaisquer não tem sua direção alterada durante o movimento. 
Portanto, todos os pontos do corpo em movimento de translação descrevem curvas 
paralelas. Assim, no estudo do movimento de translação, basta analisar qualquer 
um de seus pontos, por exemplo, seu centro de massa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1.3 Rotação 
 
 
 
 
Translação retilínea 
Translação curvilínea 
No movimento de rotação em torno de um eixo fixo, os 
pontos materiais que formam o corpo rígido se 
deslocam em planos paralelos ao longo de 
circunferências, cujos centros estão sobre uma mesma 
reta fixa. 
 
 
? 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Forças paralelas em um plano 
2.2.1 Duas forças paralelas em um plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em um movimento de rotação de 
um corpo rígido em torno do ponto 
O qualquer outro ponto P do corpo 
localizado a uma distância d a 
contar de O, move-se de modo a 
permanecer sobre uma esfera de 
raio d, com centro em O. Neste 
caso o estudo do movimento se 
reduz ao estudo de um movimento 
circular do ponto P. 
 
TTrrêêss ccaassooss 
ddiiffeerreenntteess 
Caso 1: As duas forças 
agem no mesmo sentido 
Resultante 
QPR
rrr
+=
Caso 2: As duas forças têm 
intensidades diferentes e 
sentidos opostos 
Resultante 
QPR
rrr
−=
Caso 3: As duas forças 
têm sentidos opostos e 
mesma intensidade 
Resultante 
 
Estas duas forças formam um binário ou conjugado que causa um 
momento, o momento do binário. 
 
O momento do binário NNÃÃOO depende do ponto O. 
2.2.1.1 Duas forças com sentidos opostos e mesma intensidade 
 
 
Neste caso, a força resultante é igual a zero. Isso significa que, ao 
aplicarmos essas duas forças em um corpo rígido, ele não poderá sofrer o 
movimento de translação. Ao invés disso o corpo poderá sofrer o movimento de 
rotação e, neste caso, uma rotação pura, pois é desprovida de um movimento de 
translação concomitante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
y
1d d
2d
O
F
r
− F
r
21 FdFdM O +−=
FdM O =
( )21 ddFM O +−=
.
.
. 
.
.
. 
Onde: 
 
 = distância entre a linha de ação de 
e o ponto O 
 
 = distância entre a linha de ação de 
e o ponto O 
 
 = distância entre as linhas de ação de 
e 
2d
F
r
1d F
r
−
d
F
r
F
r
−
 
 
 
2.2.2 Caso geral de forças paralelas em um plano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja a resultante das forças segundo o eixo y positivo e a 
resultante das forças segundo o eixo y negativo, então se pode ter três resultados 
possíveis: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e são de mesma 
 intensidade, de sentidos 
 contrários e colineares 
1F
r
2F
r
4F
r
3F
r
5F
r
O
11 xd =
55 xd =
22 xd =
44 xd =
33 xd =
x
y
1R
r
2R
r
21 RR
rr
≠
∑
=
=
n
i
iFR
1
( )∑
=
=
n
i
iidFM
1
BBiinnáárriioo RReessuullttaannttee 
 
 e são paralelas, de 
intensidades iguais e 
sentidos contrários ∑
=
=
n
i
iF
1
0
1R
r
2R
r
( )∑
=
=
n
i
iidFM
1
1R
r
2R
r
SSiisstteemmaa eemm eeqquuiillííbbrriioo 
 
 
∑
=
=
n
i
iF
1
0 ( )∑
=
=
n
i
iidF
1
0
1. 
2. 
; 
; 
3. 
; 
 
2.2.3 Decomposição de uma força dada em uma força aplicada em “O” 
e um binário 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A
o
F
r
A
o
F
r
F
r
F
r
−
d
FdM O =
A
o
F
r
 
2.3 Corpo rígido em equilíbrio 
2.3.1 Condições para o equilíbrio do corpo rígido 
 
 
 
 
 
No plano XOY tem-se: 
 
 
 
 
 
Então: 
 
 
 
 
Ou: 
 
 
 Onde a reta AB possui direção diferente da direção do eixo y 
 
 
 
Ou ainda:Os pontos A, B e C NÃO devem estar alinhados 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑ = 0F
r
∑ = 0AM
r
e 
0== yX MM0=ZF AZ MM =
∑ = 0xF ∑ = 0yF ∑ = 0AM
∑ = 0BM∑ = 0AM∑ = 0xF
∑ = 0AM ∑ = 0BM ∑ = 0CM
 
2.3.2 Tipos de Vínculos 
2.3.2.1 Apoio Simples - Roletes, balancim e superfície lisa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este tipo de vínculo fornece uma força de reação com linha de ação 
conhecida gerando, portanto, uma incógnita que corresponde à intensidade da 
força de reação. A direção dessa força de reação é sempre perpendicular à 
superfície do vínculo. 
 
2.3.2.2 Apoio Fixo - Pino liso ou articulação e superfície áspera 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este tipo de vínculo fornece uma força de reação com linha de ação 
desconhecida e gerando, portanto, duas incógnitas que correspondem à 
intensidade da força de reação e à sua direção. 
 
1F
r
2F
r
1F
r
2F
r
1F
r
2F
r
1F
r
2F
r
 
2.3.2.3 Engastamento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este tipo de vínculo fornece uma força de reação com linha de ação 
desconhecida e um binário de direção conhecida gerando, portanto, três 
incógnitas que correspondem à intensidade da força de reação, à sua direção e a 
intensidade do binário. 
 
1F
r
2F
r