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Seção 2: Bolas e Conjuntos Limitados Questão 5) Seja T : Rm → Rn uma transformação Linear. Prove que se T 6= 0 então T não e uma aplicação limitada. Se X ⊂ Rm e um conjunto limitado, prove que a restrinção Tx : X → Rn de T ao conjunto X e uma aplicação limitada. Solucao: Temos os seguintes casos: (i) Se T 6= 0 então T não é limitada. (ii) Se X ⊂ Rm é limitado então Tx : X → Rn é limitado. (i) Queremos mostrar que ∀k > 0, ∃v ∈ Rm; ‖ T (v) ‖> k . Sejam k > 0 e v ∈ Rm tal que ‖ T (v) ‖= c > 0 Dado n ∈ N temos que T (n.v) = n.T (v) =‖ T (n.v) ‖=‖ n.T (v) ‖=| n | . ‖ T (v) ‖= n.c logo, se n > k c temos ‖ n.T (v) ‖> k c .c =| n | . ‖ T (v) ‖> k portanto T não e limitado. (ii) Se X ⊂ Rm é limitado então Tx : X → Rn é limitado. Como X ⊂ Rm é limitado, ou seja, ∃k > 0; m∑ i=1 ‖ xi ‖≤ k, ∀x = (x1, ..., xm) ∈ X . Considere c = max{‖ T (e1) ‖, ..., ‖ T (em) ‖} onde e1, ..., em são os vetores da base canônica β = {e1, ..., em} ⊂ Rm e m ∈ N. Logo, ‖ x ‖=‖ (x1.e1 + ...+ xm.em) ‖, x ∈ X 1 ‖ T (x) ‖=‖ T (x1.e1+...+xm.em) ‖=‖ T (x1.e1)+...+T (xm.em) ‖=‖ x1.T (e1)+...+xm.T (em) ‖ ‖ T (x) ‖=‖ m∑ i=1 xi.T (ei) ‖≤ m∑ i=1 ‖ xi.T (ei) ‖≤ m∑ i=1 ‖ xi ‖ . ‖ T (ei) ‖≤ m∑ i=1 ‖ xi ‖ .c ≤ k.c Portanto Tx : X → Rn é limitada. Seção 3: Conjuntos abertos Questão 3) Dê exemplo de um conjunto X ⊂ Rn cuja fronteira tem in- terior não-vazio e prove que isto não seria possível se X fosse aberto. Solução: O conjunto X = {(x, y) ∈ R2;x, y ∈ Q}. Pois dado p = (a, b) ∈ Fr(X) temos que, para todo � > 0, B((a, b); �)∩X 6= ∅ pelo fato de X ser denso em R2 e B((a, b); �) ∩ (R2 −X) 6= ∅, pois R2 −X = I2 também é denso em R2. (I2 = {(x, y) ∈ R2;x, y ∈ I}). Se X é aberto então X ∩ Fr(X) = ∅. Vamos mostrar que int(Fr(X)) = ∅. Suponhamos que a ∈ int(Fr(X)) logo a é ponto interior da Fr(X) então para todo r > 0 temos que B(a; r)∩X 6= ∅. Observe que a ∈ int(Fr(X)) então existe � > 0 tal que B(a; �) ⊂ Fr(X) logo X ∩ Fr(X) 6= ∅ e portanto é contradição pois X é aberto. Seção 4: Sequências em R n Questão 3)Sejam A⊂ Rn aberta e a ∈ A. Prove que se lim k→∞ xk = a então existe k0 ∈ N tal que k > k0 ⇒ xk ∈ A. Solucao: Uma vez que a ∈ A e A é aberto, existe � > 0 tal que B(a; �) ⊂ A. Como lim k→∞ xk = a temos que existe k0 ∈ N de modo que k > k0 ⇒ xk ∈ B(a; �) ⊂ A ⇒ xk ∈ A,∀k > k0. 2
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