Seja f : RN → RM cont́ınua. Mostre que o gráfico de f G(f) = {(x, f(x)) ∈ RN × RM : x ∈ RN} é fechado em RN × RM .

Para mostrar que o gráfico de uma função f: RN → RM é fechado em RN × RM, podemos utilizar o critério de sequências de Cauchy. Suponha que temos uma sequência (x_n, f(x_n)) no gráfico de f que converge para um ponto (x, y) em RN × RM. Precisamos mostrar que (x, y) também pertence ao gráfico de f. Como a sequência (x_n, f(x_n)) converge para (x, y), temos que x_n converge para x em RN e f(x_n) converge para y em RM. Como f é contínua, sabemos que f(x_n) converge para f(x). Portanto, y = f(x). Assim, temos que (x, y) = (x, f(x)), o que implica que (x, y) pertence ao gráfico de f. Portanto, o gráfico de f é fechado em RN × RM.