Análise Real Exercícios

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Instituto de Matemática - UFRJ
Análise 1 - MAA 240 - Paulo Amorim - 2018-2
Lista 1
1. Seja A um conjunto infinito enumerável. Prove que o conjunto das partes finitas de A
é enumerável.
2. Seja X um conjunto finito. Quantos elementos tem o conjunto de todas as bijeções de
X em X?
3. Seja X um conjunto infinito e Y um conjunto enumerável. Prove que card(X) =
card(X ∪Y ). (sugestão: usar o fato que todo o conjunto infinito possui um subconjunto
enumerável).
4. Seja X um conjunto infinito e Y um conjunto finito. Prove que card(X) = card(X−Y ).
5. Ache uma bijeção entre (0, 1] e (0, 1).
6. Sabemos que
√
2 6∈ Q. Prove que se a, b, c, d ∈ Q são tais que a+ b√2 = c+ d√2, então
a = c e b = d.
7. Suponha conhecido que
√
5,
√
8 6∈ Q. Prove que √5 +√8 6∈ Q. (não é muito fácil).
8. Mostre que ab ≤ a
2 + b2
2
, para todo a, b ∈ R.
9. Mostre que ∀x, y, α ∈ R, com α > 0, se tem xy ≤ x
2
α
+
αy2
4
. (sugestão: use o exercício
anterior com a e b convenientes).
10. Sejam A,B ⊂ R, com A ⊂ B. Mostre que supA ≤ supB.
11. Sejam A,B ⊂ R e suponha que existem supA e supB. Mostre que
sup(A ∪B) = max{supA, supB}.
12. Considere o conjunto B = {1/n}n∈N = {1, 1/2, 1/3, . . . }. Determine o conjunto dos mi-
norantes de B e o conjunto dos majorantes de B. Determine inf B e supB (justificando).
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