7. Circuito RC em Série Sob Corrente Contínua Relatório de Laboratório de Física Geral III

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Experimento VII
Circuito RC em série sob corrente contínua
Acadêmicos:Mariana Ferrareze Casaroto(93352),Mariana Sversut Gibin (93098),
Milena Camila Fernandes (94821), Rodrigo De Melo Monteiro(85750)
Dicussão Dos Resultados Obtidos
(01) Considerando um capacitor, inicialmente descarregado e ligado em
uma bateria de fem ε, e R a resistência no circuito (figura1), temos que,
quando liga-se a chave, se estabelece uma corrente que inicialmente, tem va-
lor i = i0 +
ε
R
, a medida que o capacitor começa a se carregar, a corrente no
resistor vai diminuindo até atingir o valor zero. Neste instante o capacitor
está completamente carregado.
Figura 1: Desenho esquemático do circuito RC ligado a uma fonte de fem ε.
Pela 1
a
Lei de Kirchhoff temos
ε− Vc(t)− VR(t) = 0 (1)
Se C é a capacitância do capacitor e q(t) a carga armazenada no capacitor
no instante t,
Vc(t) =
q(t)
C
(2)
e se i é a corrente no instante t
VR(t) = Ri(t) (3)
1
então substituindo (2) e (3) na equação (1) temos,
Ri(t)− ε+ q(t)
C
= 0
ou
ε− q(t)
C
−Ri(t) = 0 (4)
Derivando a equação (4) em relação a t, temos,
R
di
dt
+
i(t)
C
= 0 (5)
R
di
i(t)
= −dt
τ
(6)
onde τ = RC. A corrente depende da carga, então temos que,
i(t) =
dq
dt
(7)
Substituindo (7) em (4)
ε− q
C
−Rdq
dt
= 0
sendo assim,
ε− q
C
= R
dq
dt
⇒ εC − q
C
= R
dq
dt
⇒ (εC − q)dt = RCdq
⇒ dt
RC
=
dq
(εC − q)
Integrando ambos os lados da equação temos,∫ t
0
dt
RC
=
∫ Q
0
dq
(εC − q) (8)
Para resolver a integral, chamamos u = (εC − q), então du = −dQ, substi-
tuindo em (8), temos,
1
RC
∫ t
0
dt =
∫ Q
0
−du
u
1
RC
t = −
∫ Q
0
du
u
2
−t
RC
= ln(u)− ln(u0)
−t
RC
= ln(
u
u0
)
Aplicando exponencial dos dois lados, temos,
e
−t
RC = e
ln( u
u0
)
⇒ e −tRC = u
u0
como u = (εC −Q) e u0 = (εC)
⇒ e −tRC = (εC −Q)
(εC)
⇒ (εC)e −tRC = εC −Q
⇒ Q = εC − (εC)e −tRC
⇒ Q = εC(1− e −tRC ) (9)
Como τ = RC,
∴ Q(t) = Qmax(1− e−tτ ) (10)
(02)Agora, com o capacitor inicialmente carregado, se for fechado circuito
sem a fonte (figura 2), o capacitor se descarrega com a mesma lei exponencial
e o mesmo tempo,
Figura 2: Desenho esquemático do circuito RC carregado.
Novamente pela 1
a
Lei de Kirchhoff, temos,
Ri(t)− ε+ q(t)
ε
= 0
3
ou seja,
ε− VC(t)− VR(t) = 0
Como a fonte foi retirada, ε = 0, a equação pode ser reescrita como:
−VC(t)− VR(t) = 0 (11)
Se C é a capacitância do capacitor e q(t) a carga armazenada no capacitor
no instante t,
Vc(t) =
q(t)
C
(12)
e se i é a corrente no instante t
VR(t) = Ri(t) (13)
então substituindo (12) e (13) na equação (11) temos,
−q(t)
C
−Ri(t) = 0 (14)
Como a corrente depende da carga descarregada no tempo do capacitor,então
i(t) =
dq
dt
(15)
Substituindo (15) em (14)
− q
C
−Rdq
dt
= 0
então,
− q
C
= R
dq
dt
⇒ qdt = −RCdq
− dt
RC
=
dq
q
Integrando ambos os lados da equação temos,∫ t
0
−dt
RC
=
∫ Q
Q0
dq
q
−1
RC
∫ t
0
dt =
∫ Q
Q0
dq
q
−t
RC
= ln(Q)− ln(Q0)
4
−t
RC
= ln(
Q
Q0
)
Aplicando exponencial dos dois lados, temos,
e
−t
RC = e
ln( Q
Q0
)
⇒ e −tRC = Q
Q0
Q = Q0e
−t
RC
Como em t = 0, Q é máxima,e como τ = RC,então
∴ Q(t) = Qmaxe
−t
τ
(16)
(03)A partir dos valores de C e R teóricos podemos calcular o τ , então,
τ = RC = 10kΩ · 4700µF = 1 · 103Ω · 4700 · 10−6F = 47s
∴ τ = 47s (17)
Análise dimensional de τ :
Sendo, A: Ampère; V:Volts; C:Coulomb e s:segundos,temos
[τ ] = [RC] =
V
A
· C
V
=
C
A
=
C
C
s
=
Cs
C
= s
∴ [τ ] = segundos
(07)Pela equação (2) podemos substituir a carga encontrada em (10),
assim:
Vc(t) =
q(t)
C
=
Qmax
C
(1− e−tτ )
Vc(t) = Vmax(1− e−tτ ) (18)
Se tomarmos t = τ = RC, obtemos:
Vc(t) = Vmax(1− e−1)
Vc(t) = 63, 2%Vmax
5
representando, o tempo necessário para que a tensão atinja um valor de
63, 2% do valor máximo e, da mesma forma, por meio de (16), encontramos
37, 8% para o processo de descarga. Analisando o gráfico da tensão pelo
tempo, obtemos τ = 53, 07s para para o processo de carga do capacitor
e τ = 54, 61s para a descarga do capacitor. Fazendo a média, obtemos
τ = 53, 84s.
Como o comportamento entre a tensão e a corrente se invertem, pela
mesma ideia, temos que i = 37, 8%imax, desta vez, tanto para o processo de
carga como de descarga. Para o gráfico de corrente pelo tempo, obtemos um
valor de τ = 54, 9s. Comparando a média experimental com o valor teórico,
temos:
Desvio =
|V alor Experimental − V alor Teórico|
V alor Experimental
.100
Desvio =
|47− 54, 37|
47
.100 = 15, 68%
(08) Um circuito de carga de um capacitor com capacitância C utilizando
uma fonte de tensão a uma tensão constante Vo caracteriza um processo de
carga, onde tal processo se inicia quando abrirmos a chave S1 e S2, onde o
resistor é carregado. No instante imediato (t = 0), o circuito comporta-se
como se o capacitor não existisse. Portanto a corrente i no instante t = 0 é
igual a V0/R. A medida que o capacitor é carregado, posicionando as chaves
S1 em 2 e S2 em 0, esta corrente diminui. No processo de carga de um circuito
RC os comportamentos da tensão e corrente se invertem. Ao ligarmos um
circuito RC a tensão demora algum tempo para atingir o seu valor máximo.
No processo de descarga do capacitor, iniciamos com um capacitor car-
regado a uma tensão Vd e a descarga ocorre através de um resistor R como
mostra a tabela 3. O processo inicia ao fecharmos a chave S2 (t = 0). No
instante imediato a este fechamento o capacitor carregado atua como uma
fonte de força eletromotriz com tensão Vd. Portanto em t = 0 a corrente no
circuito é igual a Vd/R.Quando descarregamos um capacitor sua carga não
cai à zero instantaneamente, mas decai exponencialmente.
6
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Nome RA Curso Turma
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3-1
,
Experimento VII - Circuito RC em série sob corrente contínua
. f
A•
R
s B c
Figura 1. Circui~ ,C-série sob corrente contínua: (s) f.e.m. da fonte contínua; (io) corrente inicial; (S) chave; (A e B)
~osições no circuito para conexão da chave S; (R) resistor ôhmico e (C) capacitor.
Processo de carga do c paCitor
Considerando o cire itq RC em série mostrado na Fig. 1, com a chave S na posição A, aplicando a lei das malhas
.obtemos a equação diferencia que descreve o circuito:
dQ QR-+-=c
dt C '
(1)
sendo. Q a carga no capacitôr C (= QIV) a capacitância do capacitor, R a resistência do resistor e E a f.e.m. da fonte
contínua.
Resolvendo a eq.(1) para a cargatemos:
t
Q(t) ;i: Qmáx(l - e -:r), (2)
na qual, Qmáx(= Ce) é a carga máxima no capacitõr'e'r (= RC) é a eons~nt~ de tempo para o pr~sso de carga do
I •.•• .. ~~
capacitor. /
Com a solução para o processo df'~arga1ilú capacitor-teq. (2), pod~mos obter aS'{i~rhais~quações que descrevem?- . .
o processo: '
• 'tI( ) e ..•.-l t =.....e T
R
(corrente elétrica do circuito) (3)
(d.d.p no resistor) (4)
Q(t) .Vc(t) ==C (d.d.p no capacitor) (5)
\,
2
Processo de descarga do capacito r
Considerando o circuito RC em série mostrado na Fig. I, com a chave S na posição B, aplicando a lei das malhas
obtemos a equação diferencial que descreve o circuito:
(6)
sendo, Q a carga no capacitor, C (= QIV) a capacitância do capacitor e R a resistência do resistor.
Resolvendo a eq.(6) para a carga, te~
. /... t . .
> " f, ~ = Q!fLáxe~, . . . (7)
., ~ -
na qual, Qmáx(= CE) é a carga máxima no capacitor e T (= RC) é a constante de tempo para o processo de carga do
tapacitor.
Com a solução para o processo de carga do capacitor(eq. (2», podemos obter as demais equações que descrevem
o processo:
. e ~
l (t) = - - e r (corrente elétrica do circuito)
R
(8)
VR(t) = i(t)R (d.d.pno resistor)
~. Q(t)
{'c(t) = - (d.d.p no capacitor)
. C .
(9)
(10)
Procedimento
2
1 2~----~ .------4
1
R
SI o--..•---io.(
+--Of:
Figura 2. Esquema para ~.montagem do circuito RC-série sob corrente contínua.
I ~f I • • --" ' ,
1. Anote os valores da capacitância (C) e da resistência (R) do capacitor e do resistor, respectivamente;
. C = .({100 t:l'f' ..> R= 10 1{LL '
Monte o esquema da Fig. 2, observando com cuidado as polaridades do capacitar, amperímetro e da fonte.
Posicione as chaves SI e S2 na posição "O" (posição central);
Ligue a fonte e ajuste-a para 20 V;
Observação: Antes de posicionar as chaves SI e S2, leiam a Tabela 3 e observem quais os circuitos
deverão obter para as conibinações4hls chaves,
2.
3
I" Parte - Análise da corrente
I.
4.
5.
6.
~.~.
7.
Processo de carga do capacitor
Conecte o voltímetro no capacitor e verifique se a d.d.p é nula, caso não seja descarregue o capacitor
instantaneamente (ver Tabela 3);
Conecte o voltímetro no resistor. Você pode optar por conectar simultaneamente um voltímetro no capacitor
e um no resistor;
Posicione, sucessivamente, SI e S2 na posição "2", e anote os valores iniciais da corrente elétrica (io), da d.d.p
no capacitor (V co) e da d.d.p no resistor (VRO)na Tabela I. Caso esteja com o voltímetro conectado apenas no
resi . or, você deve conectar, posterior a medida de VRO,o voltímetro no capacitor e proceder com a medida;
Registre o tempo para os valores uâ corrente no circuito, em intervalos de 0,2 mA, após ligar simultaneamente,
O cronômetro e a chave 82 na posição "O". Mantenha o cronômetro ligado até o capacitor se carregar
totalmente; \
8. Posicione a chave SI para a posição "O". Assim, você terá, as duaschaves na posição "O". Mantenha o(s)
voltímetro(s) conectado(s);
11. Processo de descarga no capacítor
9. Posicione, sucessivamente, SI e S2 na posição "1", e anote os valores iniciais da corrente elétrica (io), da d.d.p
no capacitor (V co) e da d.d.p no resistor (VRO)na Tabela 2. Caso esteja com o voltímetro conectado apenas no
resistor, você deve conectar, posterior a medida de VRO,o voltímetro no capacitor e proceder com a medida;
10. Da mesma maneira que foi realizado para o processo de carga, registre o tempo para os valores da corrente no
circuito, em intervalos de 0,2 mA, após ligar simultaneamente, o cronômetro e a chave S2 na posição "O".
Mantenha o cronômetro ligado até o capacitor se descarregar totalmente;
2aparte - Análise da d.d.p nos terminais do resistor (VRJ e do capacitor (Vc)
1. Certifique-se de que o capacítor está descarregado, caso não esteja descarregue o capacitor instantaneamente
(ver Tabela 3);
2. Posicione as chaves SI e S2 na posição "O";
3. Com o voltímetro conectado ao resistor, posicione a chave SI na posição "2" e registre para os mesmos valores
das correntes elétricas medidas no processo de carga, a d.d.p no resistor (VR) até que a corrente atinja o valor
mínimo medido anteriormente, e anote os valores medidos na Tabela 1;
4; Posicione as chaves SI e 82 na posição "O";
5. Com o voltímetro conectado ao resistor, posicione a chave SI na posição "O"-e registre para os mesmos valores
das correntes elétricas medidas no processo de descarga, a d.d.p no resistor (VR) até que a corrente atinja o
valor mínimo, em módulo, medido anteriormente, e anote os valores medidos na Tabela 2;
6. Posicíone as chaves S) e S2 na posição "O";
7. Certifique-se de que o capacitor está descarregado, caso não esteja descarregue o capacitor instantaneamente
(ver Tabela 3);
8. Com o voltímetro conectado ao capacitor, posicione a chave SI na posição "2" e registre para os mesmos
valores das correntes elétricas medidas no processo de carga, a d.d.p no capacitor (Vc) até que a corrente atinja
o valor mínimo medido anteriormente, e anote os valores medidos na Tabela I;
9. Posicione as chaves SI e S2 na posição "O";
10. Com o vo!tímetro conectado ao capacitor, posicione a chave S I na posição "O" e registre para os mesmos
valores das correntes elétricas medidas no processo de descarga, a d.d.p no capacitor (VC) até que a corrente
atinja o valor mínimo, em rriódu!o, medido anteriormente, e anote os valores medidos na Tabela 2;
4
Tabela 1. Dados experimentais para o processo de carga do capacitor.
t (s) i±Ai (mA) VR±AV(V) Vc+!1V (V)
O io= 11 q~ ri Orq) VRO= J.O, o (10.1) Vco= 0,00 (tqot)
~t1 y 1BO (4..0(C1) 1~/'J (fro/{~ 1/1-'1; (-tqC1)
11:7-() "1, b{; (f ()01) . {fo/l . f flJ.1\ ,,1- q . ('é(;,0/)
(lO(!<Dt? 1/ Li Ú (.f: ~ (o 1) 1Ü/1 (-tcrf\ lJ, ~1 tt:nC1)
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"
,
(
" , '
..
Tabela 2. Dados experimentais para o processo de descarga do capacitor.
t (s) i±8.i (mA) VR±!1V (V) Vc±8.V (V)
O io = - ·ílq t5 (±O/O1) VRO= ~19/( Vco= 19 q'f (-tq.o/J
ti: 'JjO ~ 1.11 r± Q). Oft r- 1~/) (-f.Q 1) 1$/~f) (tqOl) ,
11.' b ').. -11 h f -(::O;o1' - 10,1 (~f) . t6 i-,'1 11:.0011
1q:1). .r1.l11±oo1) -- 1~C1 (f,Q1 ) 1L(, J-6 {-toOl ,
11~nq -/l, '1 (fO (01) (·1.-0,1) . 1llJ-(,
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- lJ..\) l-loOll .',.
'~~:P1 .; 1 O (~o,01, -- 1°,1 . ( t61) rOr Jb ( ~cOJJ{\
';]021 \f -O, ~ [toIO'l) -~1 (tO{) ~,dif ('{,Q01I .
,
, 1;o(P -l9 f1? (~o 01) - G(1 (±O1) 0/·1'0 . f ..fO,01)
f'Jj -.~ : L( f J.O~01\ - l{ D ( d::.n1l 4.11:{ l~oO()
)..:01- - (9 ( J.. f-tO,o1) ~1-\ O l'iOA) l,45 d:Ob1)~ •
5
Discussão dos resultados obtidos:
.J1 Demonstre as equações de (1) a (5) para o processo de carga no capacitor.+, Demonstre as equações de (6) a (10) para o processo de descarga no capacitor.
..3} Calcule o valor da constante r, e mostre que a mesma tem unidade de tempo.
1',41 Construa o gráfico, para os processos carga e descarga, da corrente elétrica em função do tempo. /
;J Construa o gráfico, para os processos carga e descarga, da d.d.p no resistor em função do tempo. /
li) Construa o gráfico, para os processos carga e descarga, da d.d.p no capacitor em função do tempo.>'
1): O tenha o valor da constante 't por meio dos gráficos construídos nos itens 4 a 6, e compare com o
vdlor calculado no item 3. • •
8) Descreva as características dos circuitos resultantes (Tabela 3), nos processos de carga e descarga,
para cada uma das combinações entre as chaves S I e 82, exceto os processos instantâneos.
\
\
r
6
Tabela 3. Posições das chaves 81 e 82 e seus circuitos resultantes.
SI , 82 Circuito
" ,
O O
r-
"
I ' , 2 , 2 + A -, .
,,' '. , ' .Ó, "
,io ' "
.. -_o-
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III O 1 ~ ll+
I I
•I +~ .-
. I
IV O 2 -11+
II
I: Processo de carga; fi: processo de descarga; fiI: carga instantânea; IV: descarga instantânea.- /
/