SEFAZ PE XEST estatistica jeronymo Aula 06 Inferência e Estimação

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Aula 06
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AULA 06 ± Inferência e Estimação 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
Introdução à inferência estatística 2 
Amostragem e estimador 2 
Variância de estimadores 9 
Consistência e distribuição amostral 13 
Estimador de Máxima Verossimilhança 15 
Lista de Exercícios resolvidos em aula 38 
Gabarito 47 
 
 
Bem vindos de volta! 
 
O que vamos estudar nesta aula é saber se nossa amostra traz evidência de que 
uma determinada hipótese seja verdadeira. Complicado? Não é não! Você só vai ter 
que se lembrar de alguns conceitos de nossa aula 00 e estudar um pouquinho sobre 
inferência primeiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica de um concurseiro 
 
O que fazer alguns dias antes da prova? Essa pergunta 
aflige todo concurseiro! Minha opinião? Revisão! Não adianta 
ficar enfiando um monte de coisa nova na cabeça, é melhor 
consolidar o que você já sabe. Devido à tensão, será muito 
difícil estudar matéria nova. 
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1. Introdução à inferência estatística 
 
1.1 Amostragem e estimador 
 
Inferência é o processo através do qual uma pessoa tira conclusões sobre a 
população com base em uma amostra. Só para lembrar: 
 
 
 
 
 
 
 
O exemplo mais clássico é o da cozinheira que prova uma colher do seu preparo a 
fim de determinar se o mesmo está muito salgado. Ora, a colher que ela 
experimentou é só uma parte de seu cozido, mas, com base nesta amostra, ela irá 
inferir como está toda a panela. 
 
Entendeu? Ela não precisa provar a panela toda para tirar suas conclusões, ela irá 
se basear somente em parte dela, isso é inferência! Na estatística é a mesma coisa, 
muitas vezes não temos dados sobre toda uma população, mas precisamos tirar 
conclusões a respeito da mesma, assim necessitaremos de inferência estatística. 
Isso é comum no dia a dia de um pesquisador! 
 
A primeira pergunta que um pesquisador faria é: como obter uma determinada 
amostra? Ou seja, como realizar uma amostragem. Quando se realiza uma 
pesquisa com todos os elementos de uma população, chama-se a tal pesquisa de 
Censo. 
 
A amostragem pode ser realizada de duas formas diferentes: 
 
 
 
População = conjunto de todos os elementos que 
possuem determinada característica. 
 
Amostra = parte não nula da população, mas menor 
do que esta última. 
 
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Amostragem probabilística ou casual: é uma técnica puramente científica com 
uma seleção puramente aleatória, na qual podemos calcular a probabilidade de que 
um determinado elemento vá fazer parte da amostra. A título de exemplo, podemos 
citar a Amostragem Aleatória Simples, a Amostragem Estratificada, a 
Amostragem por Conglomerados e a Amostragem Sistemática. 
 
 
Amostragem não probabilística ou não casual: Escolha deliberada de elementos 
da amostra, dependendo de julgamento de valor. A título de exemplo, podemos citar 
a amostragem por cotas, a amostragem intencional e a amostragem por 
conveniência. 
 
Há diversas formas de obter uma amostra com base em uma extração de elementos 
de uma população. Tais métodos têm muitas particularidades e formalismos que 
vão além do escopo deste curso. Porém, precisamos saber alguns dos métodos 
mais conhecidos em amostragem. Vamos a eles! 
 
Amostragem Aleatória Simples (AAS) 
 
Este é o tipo mais famoso de amostragem e o mais utilizado na demonstração de 
Teoremas. Neste tipo de amostragem, dada uma população, todas as amostras 
possíveis de um determinado tamanho têm a mesma probabilidade de serem 
obtidas. 
 
Não entendeu? Suponha que queiramos encontrar uma amostra de 10 elementos 
GH� SHVVRDV� FRP� R� VREUHQRPH� ³6,/9$´� GD� SRSXODomR� GH� SHVVRDV� UHVLGHQWHV� QR�
Brasil. Realizar uma AAS seria semelhante a escrever o nome completo de todas 
essas pessoas em um papel e sortearmos 10 nomes deste total. Perceba que, neste 
caso, todas as amostras têm a mesma chance de ocorrência. 
 
Uma AAS pode ser realizada com e sem reposição. 
 
 
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Amostragem Aleatória Estratificada (AAE) 
 
Neste caso, a população seria dividida em estratos, seguindo-se a aplicação de uma 
AAS em cada um destes. (VWHV� ³HVWUDWRV´� VHULDP� VXEFRQMXQWRV� GD� SRSXODomR�
bastante semelhantes entre si. 
 
Quer um exemplo? Suponha que tenhamos uma população com a renda de 
diveUVRV� LQGLYtGXRV� HP� XPD� HFRQRPLD�� 3RGHPRV� GLYLGLU� D� SRSXODomR� HP� ³FODVVH�
EDL[D´��³FODVVH�PpGLD´�H�³FODVVH�DOWD´��$�SDUWLU�GDt��DSOLFDUtDPRV�XPD�$$6�HP�FDGD�
um destes estratos para obtermos nossa amostra. A ideia deste procedimento é 
diminuir a variância dentro das amostras para cada estrato. Perceba que qualquer 
estatística a ser aplicada à amostra deve ser ponderada pelo tamanho do estrato. 
 
Atenção, a amostra de cada estrato será proporcional ao tamanho de cada uma de 
suas populações no caso de uma AAE proporcional. Porém, este não é o único tipo 
de AAE, pois poderíamos ter o caso de uma AAE uniforme, na qual as amostra de 
cada estrato tenham o mesmo tamanho. 
 
Amostragem Aleatória por Conglomerado 
 
Agora, vamos tratar de um caso muito parecido com o anterior. Neste caso, a AAS 
será aplicada sobre os subgrupos e não mais sobre os indivíduos da 
população. 
 
Por exemplo, suponha que há diversos bairros em uma cidade com variabilidade 
LQWHUQD�VLJQLILFDWLYD��PDV�EDVWDQWH�VHPHOKDQWHV�HQWUH�VL��1HVWH�FDVR��³VRUWHDUtDPRV´�
DOJXQV�GHVWHV�EDLUURV�FRPR�³DPRVWUDV´�GD�SRSXODomR�WRWDO��9RFr�HVWi�UHDOL]DQGR�D�
amostragem sobre conglomerados, entende? Segue-se, então, uma análise de 
todos os indivíduos nos conglomerados escolhidos. 
 
 
 
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Amostragem Sistemática 
 
Nessa técnica supõe-se que temos uma listagem das unidades populacionais. Para 
um valor ݇ fixado, sorteamos um elemento entre os ݇ primeiros da listagem. Depois 
observamos, sistematicamente, indivíduos separados por ݇ unidades. Por exemplo, 
se ݇ ൌ ? ? e sorteamos o oitavo elemento,observamos depois o décimo oitavo, o 
vigésimo oitavo, etc. 
 
Amostragem por Conveniência 
 
Neste caso, o pesquisador só realiza amostragem com os casos que ele tem a sua 
disposição. Assim, acaba-se por realizar uma pesquisa com somente uma parcela 
da população, o que pode, inclusive, gerar vieses em sua conclusão. Não é possível 
generalizar os resultados encontrados para a população, contudo este tipo de 
amostragem pode ser útil no início de uma pesquisa, testar questionários, por 
exemplo. 
 
Amostragem por quotas 
 
A participação de uma determinada característica na população é utilizada para fins 
de geração da amostra. Por exemplo, suponha que esteja sendo feita uma pesquisa 
com os usuários de drogas e sabe-se que, na população, 60% dos indivíduos do 
que usam drogas são homens e 40% são mulheres. Assim, em uma amostra de 
1000 indivíduos, a amostra será feita de tal forma que 60% dela (600) sejam 
homens e 40% (400) sejam mulheres. 
 
Amostragem Intencional 
 
O pesquisador seleciona intencionalmente os elementos que irão compor sua 
amostra por acreditar que estes são os que melhor representam o fenômeno que se 
quer estudar. Por exemplo, qual a aprovação de um partido entre os seus afiliados, 
isso pode ser feito em bairros ou domicílios eleitorais ligados ao mesmo. 
 
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-³7XGR�EHP�SURIHVVRU��PDV�R�TXH�ID]HU�FRP�HVWD�DPRVWUD´" 
 
Um exemplo bacana seria se estivéssemos analisando a altura média de uma 
população com base em uma amostra. O que estamos fazendo é avaliar uma 
estimativa de um parâmetro populacional. 
 
Não entendeu? Veja, se nós tivéssemos toda a população de elementos e 
quiséssemos calcular a média seria fácil, pois bastaria somar todas estas 
observações e dividir pelo total: 
 ܯ±݀݅ܽ ൌ ߠ ൌ ȭݔ௜݊ 
 
Sendo (ȭݔ௜) o somatório de todos os elementos da população (݊). No caso, a média 
seria um parâmetro populacional, no nosso exemplo, chamado de ߠ. 
 
Porém, raramente isso ocorre, pois quase nunca temos toda a população, mas 
somente uma amostra. Nesse caso, a média calculada com base na amostra seria 
um estimador do parâmetro populacional. Assim: 
 ܯ±݀݅ܽ ൌ ߠ෠ ൌ ȭݔ௜ܽ 
 
Sendo (ܽ) o tamanho da amostra e o chapéu sobre ߠ (ߠ෠) um indicativo de que 
estaríamos trabalhando com um estimador do parâmetro populacional 
correspondente. 
 
-³(QWHQGL�SURIHVVRU��R�HVWLPDGRU�GR�SDUkPHWUR�SRSXODFLRQDO�VHULD�HTXLYDOHQWH�
DR�FiOFXOR�GD�HVWDWtVWLFD�SRSXODFLRQDO��PDV�DSOLFDGD�j�DPRVWUD´� 
 
 
 
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Isso está aproximadamente correto, mas nem sempre a mesma ³fórmula´ que 
utilizamos para o cálculo de uma estatística na população é a que devemos usar na 
amostra. Isso deriva do fato de que o estimador que iremos utilizar na amostra deve 
ser não viesado. 
 
Se eu digo para vocês que um estimador não é viesado, eu estou dizendo que, na 
PpGLD��HOH�³DFHUWD´, ou seja, dá o valor ³real´ do parâmetro. Ou seja: 
 ܧሺ݁ݏݐ݅݉ܽ݀݋ݎሻ ൌ ݌ܽݎŸ݉݁ݐݎ݋ 
 
Sendo ܧሺ ?ሻ o operador esperança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entendeu? A esperança do estimador de um parâmetro populacional é igual ao seu 
YDORU�³UHDO´� O que você quer é que sua estimativa esteja certa, na média! 
 
 
 
 
 
 
ܧሺܺሻ ൌ ܺଵ ڄ ଵ݂ ൅ ܺଶ ڄ ଶ݂ ǥܺ௡ ڄ ௡݂ 
Esperança matemática é um conceito intimamente relacionado com a média 
aritmética. No caso, para um dado conjunto de valores (ܺ) que vai de ܺଵ a ܺ௡, 
sua esperança é dada por: 
 
Sendo ௜݂ a frequência relativa de ܺ௜. 
 
PercebeX"� $� DSOLFDomR� GR� RSHUDGRU� ³HVSHUDQoD´� D� XPD� VpULH� GH� GDGRV� QRV�
diz, em termos bem simples, a média do que pode acontecer com esta 
variável. 83395105172
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 Vou ressaltar uma coisa que confunde muita gente. Você 
consegue perceber que se você realizar o experimento de cálculo da média 
amostral para diferentes amostras dentro de uma população, você terá estimativas 
diferentes? Olhe, os valores que estarão contidos em sua amostra provavelmente 
serão diferentes para cada vez que você realizar uma amostragem diferente, 
mesmo sabendo que estes valores pertencem à mesma população. Então, com 
certeza, sua média amostral será diferente. O que você quer é que, na média destas 
estatísticas calculadas, você acerte o valor populacional. Ou seja, a média 
amostral pode ser considerada como uma variável aleatória. Esta variável, 
como é um estimador não viesado da média populacional, significa que a 
média das médias amostrais é igual à média populacional. 
 
Pode-se provar que: 
 ࡱ൫ࣂ෡൯ ൌ ࣂ 
 
Ou seja, a esperança do estimador da média amostral é igual à média populacional. 
(vamos mostrar isso no exercício 18) 
 
Portanto, se um exercício de concurso te pedir a média de 
uma determinada amostra, basta calcular a média como sempre fizemos para a 
população (
ஊ௫೔௡ ), pois este é um estimador não viesado para a média populacional. 
 
Outra estatística que é comumente cobrada em concursos é a variância (por 
consequência, o desvio padrão também). 
 
Só que agora o buraco é mais embaixo! A estatística que aprendemos para calcular 
a variância de uma população é dada por: 
 
 
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 ܸܽݎ݅Ÿ݊ܿ݅ܽ ൌ ߪଶ ൌ ȭሺݔ௜ െ ݔҧሻଶ݊ 
 E, por consequência: 
 
ܦ݁ݏݒ݅݋�ܲܽ݀ݎ ݋ ൌ ߪ ൌ ඨȭሺݔ௜ െ ݔҧሻଶ݊ 
 
Entretanto, pode-se provar que: 
 ܧሺߪො ?ሻ ് ߪ ? 
 
E: 
 ܧሺߪොሻ ് ߪ 
 
-³,VVR�TXHU�GL]HU�TXH�DTXHOD�IyUPXOD�QmR�QRV�Gi�XPD�HVWDWtVWLFD�QmR�YLHVDGD�
TXDQGR�DSOLFDGD�j�DPRVWUD´" 
 
Precisamente! 
 
Olha pessoal, não vou ficar fazendo demonstração de cada uma destas afirmações 
porque isso não é importante para seu concurso! Se vocês quiserem saber como se 
faz, a título de curiosidade, eu indico bibliografias para vocês. 
 
Voltando ao problema em questão, a nossa estatística para cálculo da variância 
populacional (bem como no caso do desvio padrão) gera um estimador viesado 
para a variância amostral. 
 
Assim, pode-se provar que, para obtermos estimadores não viesados para a 
variância e desvio padrão amostrais, devemos nos utilizar das seguintes 
estatísticas: 
 
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 ܸܽݎ݅Ÿ݊ܿ݅ܽ ൌ ܵଶ ൌ ȭሺݔ௜ െ ݔҧሻଶ݊ െ ? 
 
ܦ݁ݏݒ݅݋�ܲܽ݀ݎ ݋ ൌ ܵ ൌ ඨȭሺݔ௜ െ ݔҧሻଶ݊ െ ? 
 
-³$�~QLFD�GLIHUHQoD�p�TXH�R�GHQRPLQDGRU�GHL[D�GH�VHU� �࢔) e passa a ser (࢔ െ૚�´" 
 
Exato! 
 
Portanto, se um exercício de concurso te pedir a variância 
ou desvio padrão de uma determinada amostra, calcule o numerador como sempre, 
mas divida este valor por (݊ െ ?)! 
 
Apesar de estas não serem as únicas estatísticas que podem ser avaliadas em 
termos da comparação parâmetro\estimador, para fins de concurso, estas são as 
mais cobradas. 
 
1.2 Variância de estimadores 
 
-³&RPR�DVVLP��YDULkQFLD�GH�XP�HVWLPDGRU´" 
 
Pense comigo, não basta que um estimador acerte na média, mas também é 
desejável que os seus resultados apresentem baixa variância ao redor do valor 
populacional que se esta tentando estimar. 
 
Veja um exemplo gráfico: 
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Os pontinhos vermelhos seriam estimativas do valor populacional, pontinho preto, 
para dois estimadores diferentes. 
 
Perceba que o segundo gráfico tem alguns valores que praticamenWH� ³DFHUWDP´�R�
valor populacional, mas o mesmo apresenta grande variabilidade. Ou seja, o 
segundo estimador tem maior variância. 
 
O ideal seria que nosso estimador não viesado tivesse a menor variância dentre 
todos os estimadores não viesados. Este é o conceito de estimador 
absolutamente eficiente. 
 
 
 
Estimador absolutamente eficiente é aquele que é não 
viesado e que apresenta a menor variância dentre 
todos os estimadores não viesados possíveis para um 
determinado parâmetro populacional. 
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Veja, não precisamos abordar necessariamente o conceito de eficiência absoluta. 
Suponha dois estimadores não viesados para um determinado parâmetro, a saber, ܺ e ܺԢ, ܺ é dito mais eficiente que ܺԢ se: 
 ܸܽݎሺܺሻ ൏ ܸܽݎሺܺᇱሻ 
 
Entendeu? Isso é muito importante na hora de decidirmos qual estimador usar. Você 
não precisa conhecer a variância de todos os tipos de estimadores possíveis (até 
porque são infinitos), mas esta é uma forma importante de avaliarmos o quanto um 
HVWLPDGRU� p� ³ERP´�� 3RGHPRV� FRPSDUDU� D� HILFLrQFLD� GH� DOJXQV� HVWLPDGRUHV� QmR�
viesados por meio de análise de suas variâncias. 
 
Um ponto importante! Como foi dito, vocês não precisam conhecer as propriedades 
de uma infinidade de estimadores, podendo compará-los no caso concreto diante de 
vocês. Entretanto, há um estimador importante em termos de prova: o estimador 
da média amostral. Com base neste estimador, vocês vão ver, podemos chegar a 
várias conclusões importantes que podem ser estendidas a qualquer distribuição 
de probabilidade. 
 
Então, vamos aprofundar nosso estudo sobre o estimador da média amostral. Pode-
se provar que: 
 ࢂࢇ࢘൫ࣂ෡൯ ൌ ࣌ ?࢔ 
 
Sendo ࢔ o tamanho da amostra. 
 
Ou seja, o a variância do estimador da média amostral é dado pela variância 
populacional dividida pelo tamanho da amostra. 
 
Se você só tiver a variância amostral, substitua ࣌ ? por este valor, essa 
estatística é chamada de erro padrão. 
 
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Então, você consegue perceber que, conforme a amostra aumenta (݊ aumenta de 
valor), o valor da variância da média amostral tende para zero! Claro, pois, neste 
caso, a média amostral irá coincidir com a média populacional. 
 
Bom, a pergunta natural seria: então o estimador ࣂ෡ é um estimador eficiente? 
 
Não é possível responder isso a não ser se comparamos a variância deste último 
com a variância de todos os estimadores não viesados possíveis da média 
populacional. Pode-se demonstrar, entretanto, que, quando a variável para a qual 
está sendo calculada a média seguir uma distribuição normal, a média amostral é 
um estimador eficiente da média populacional. 
 
Porém, se quisermos comparar este estimador com qualquer outro estimador 
possível, viesado ou não, podemos fazê-lo por meio do conceito de erro quadrático 
médio (ࡱࡽࡹ). Para o caso do estimador ߠ෠, o seu erro quadrático médio seria dado 
por: 
 ܧܳܯሺߠ෠ሻ ൌ ܸܽݎ൫ߠ෠൯ ൅ ൣܧ൫ߠ෠൯ െ ߠ൧ ? ൌ ܸܽݎ൫ߠ෠൯ ൅ ൣܸ݅±ݏሺߠ෠ሻ൧ଶ 
 
Perceba que o primeiro membro é a variância do estimador e o segundo é a 
diferença entre seu valor esperado e o seu valor populacional, que é conhecida 
como o valor do viés do estimador (o valor do viés é considerado ao quadrado, 
pois o viés pode ser negativo, assim, com este ajuste, seria possível comparar 
o viés de estimDGRUHV�FRP�WHQGrQFLD�³SDUD�FLPD´�H�³SDUD�EDL[R´). 
 
Isso é intuitivo, pois quanto menor o valor combinado da variância e do viés de um 
HVWLPDGRU��³PDLV�HILFLHQWH�HOH�VHUi´�� 
 
 
 
 
 
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1.3 Consistência e distribuição amostral 
 
Muitas vezes não conseguiremos encontrar estimadores que tenham propriedades 
desejáveis, tais como eficiência e inexistência de viés. Porém, muitos deles 
apresentam propriedades assintóticas desejáveis. 
 
-³2�TXH�p�LVVR´" 
 
Em termos bem simples, trata-se do comportamento do estimador conforme a 
amostra tende para o infinito. 
 
Um estimador assintoticamente não viesado é aquele que, conforme a amostra 
tende ao infinito, o viés tende a zero. Este tipo de estimador é dito com propriedades 
desejáveis em grandes amostras! 
 
Veja, em termos bem simples, conforme a sua amostra aproxima-se do 
tamanho da população, o estimador teria o seu viés diminuído até chegar a 
zero. 
 
É fácil perceber que o nosso estimador ߠ෠�é assintoticamente não viesado, pois ele 
não é viesado! Entretanto, a recíproca não é verdadeira, pois há vários estimadores 
que são viesados e assintoticamente não viesados. Assim: 
 ݈݅݉௡՜ஶܧ൫ߠ෠�൯ ൌ ߠ 
 
Para quem não é da área de exatas, o que esta simbologia está dizendo é que, no 
limite, quando a amostra tende ao infinito (݊ ՜ ?), a esperança da média amostral é 
igual à média populacional. 
 
O mesmo raciocínio pode ser estendido para o caso da variância do estimador. 
Podemos avaliar como seria o comportamento assintótico da variância de um 
estimador, isso é, como se dá sua variância conforme sua amostra cresce. 
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Com base neste conceito, define-se um estimador consistente como aquele em 
que: ݈݅݉௡՜ஶܧ൫ߠ෠�൯ ൌ ߠ ݈݅݉௡՜ஶܸܽݎ൫ߠ෠�൯ ൌ ? 
 
Essa é uma propriedade desejável de um estimador em grandes amostras. Veja, o 
estimador da média amostral é consistente, pois: 
 ݈݅݉௡՜ஶܧ൫ߠ෠�൯ ൌ ߠ ݈݅݉௡՜ஶܸܽݎ൫ߠ෠�൯ ൌ ݈݅݉௡՜ஶ ቆߪ ?݊ ቇ ൌ ? 
 
Isso é verdade, pois, conforme o tamanho da amostra vai aumentando, a variância 
deste estimador tende a zero (o denominador,݊, fica com valor muito grande). 
 
O que também é interessante é avaliar como é o comportamento da distribuição 
amostral do estimador conforme a amostra aumenta de tamanho. 
 
Um teorema importante que trata sobre o nosso caso concreto da média amostral 
define que, dada uma variável ܺ, é possível demonstrar que a sua média amostral, തܺ, assumirá uma distribuição normal conforme a amostra aumenta. Este é o famoso 
Teorema do Limite Central (TLC). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema do Limite Central: Para uma amostra aleatória 
simples (ܺଵǡ ܺଶǡ ǥܺ௡), retirada de uma população com média ߤ e 
variância ߪ ? finita, a distribuição da média amostral ( തܺ) 
aproxima-se, para ݊ grande, de uma distribuição normal, com 
média ߤ e variância ఙమ௡ . Se a variável ܺ tiver distribuição normal, തܺ terá distribuição exata normal! 
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O que isso está dizendo é que, conforme a amostra aumenta, a distribuição da 
média amostral converge para uma distribuição normal! Percebe a importância 
disso? A distribuição normal é uma antiga conhecida nossa e nós sabemos muita 
coisa sobre ela (já aprendemos algumas em aulas anteriores e iremos aprender 
ainda mais em aulas futuras). Isso é muito útil em várias ocasiões, pois como 
sabemos do TLC, podemos nos basear nisso para entendermos o comportamento 
assintótico da média amostral de qualquer variável! 
 
Bom, chega de um papo tão teórico, vamos estudar alguns estimadores 
importantes! O principal é o Estimador de Mínimos Quadrados Ordinários 
(MQO), mas ele é tão importante que teremos uma aula inteiramente dedicada 
a ele ± ³&RUUHODomR�H�5HJUHVVmR´� A estimação por intervalo será dada na aula 
GH� ³,QWHUYDOR� GH� &RQILDQoD� H� 7HVWHV� GH� +LSyWHVHV´� Nesta aula, vamos 
conhecer o estimador de Máxima Verossimilhança. 
 
2. Estimador de Máxima Verossimilhança 
 
Este é um assunto muito pouco cobrado em provas, exceto no caso do concurso do 
IPEA, que é mais específico. Além disso, é bem difícil! Porém, vai saber, se cair 
você estará pronto. 
 
Antes de começarmos, preciso ensinar mais uma coisinha sobre cálculo diferencial. 
 
OBS. Conceito de derivada ± ponto extremo 
 
Bom, o porquê de tudo isso é ensinar a vocês como encontrar o ponto máximo ou 
mínimo de uma função, isso é, um ponto extremo.1 
 
Como você encontra um ponto extremo de uma função? Simples! Derive a função 
(você já aprendeu) e iguale a zero. Por exemplo, suponha a função: ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ ൅ ݔ 
 
1
 Para quem entende de matemática, saiba que estamos tratando de pontos extremos locais e não 
globais. É só uma introdução mesmo. 
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Neste caso, é fácil chegar à derivada (é só derivar cada membro 
separadamente): ݂݀ሺݔሻ ൌ ?ݔ ൅ ? 
Agora, é só igualar a zero e resolver em função de ݔ: ݂݀ሺݔሻ ൌ ? ՜ ?ݔ ൅ ? ൌ ? ฺ ݔ ൌ െ ? ? 
Assim, este ponto é o extremo local da função, ou seja, um ponto de mínimo ou 
máximo. Pode-se provar que se trata de um ponto de mínimo, mas não precisam 
se preocupar, pois, na prova de Estatística, o ponto extremo sempre será o 
que o enunciado pede. Daqui a pouco vocês vão entender. 
 
Além disso, há outras formas mais complexas de derivada, mas a única 
necessária, isso se for necessária, será esta. Chega disso, vamos voltar ao 
estimador de máxima verossimilhança! 
 
Retornando. 
 
Gente, o estimador de Máxima Verossimilhança (MLE) é aquele que maximiza a 
probabilidade de que os valores obtidos de uma amostra sigam, de fato, uma 
determinada distribuição de probabilidade. 
 
Hora de lembrar-se das aulas de Estatística! Lembrem-se das funções densidade de 
probabilidade, tais como a distribuição normal, a binomial, etc. 
 
Então, como funciona? Você tem uma amostra de valores obtidos de uma 
população que, por hipótese, você conhece a distribuição de probabilidade (ou pelo 
menos supõe que seja desta forma). Com base nestas informações, o estimador 
MLE irá lhe fornecer os parâmetros desta distribuição de probabilidade que 
maximizam a chance de que esta amostra realmente siga esta distribuição! 
 
 
 
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Isso é feito pela maximização da função de verossimilhança. Suponha que uma 
amostra seja dada por: ܺ ൌ ݔଵǡ ݔଶ ǥݔ௡ 
Assim, a função de verossimilhança (FV) será dada por: ܨܸ ൌ ܮሺߠǢ ܺሻ 
Ou seja, a FV busca estimar o valor do parâmetro (ou parâmetros, já que pode ser 
mais de um) em função dos valores da amostra. E qual o formato da função ܮሺ ?ሻ? Aí 
é que entra o conhecimento que você deve ter da distribuição de probabilidade que 
a amostra segue, esta determinará a forma desta função! 
 
Fica difícil visualizar sem um exemplo. Vamos supor que uma amostra ܺ (ܺ ൌݔଵǡ ݔଶǥݔ௡) siga uma distribuição normal, com média e variância desconhecidas. 
Vamos determinar os estimadores MLE para a média e variância desta amostra. 
 
Olha, a média (ߤ) e a variância (ߪଶ) são os parâmetros que compõem a forma 
funcional desta distribuição, dada por: 
 ܮሺߤǡ ߪଶǢ ݔ௜ሻ ൌ ?ሺ ?ߨߪଶሻ௡ଶ כ ݁ି ଵଶఙమஊሺ௫೔ିఓሻమ 
Como resolver? Primeira coisa, tire o logaritmo da função: ܮ݊ሾܮሺߤǡ ߪଶǢ ݔ௜ሻሿ ൌ െ ? ?ߪଶ ȭሺݔ௜ െ ߤሻଶ݈݊ ൭ ?ሺ ?ߨߪଶሻ௡ଶ൱ 
Rearranjando a expressão: ܮ݊ሾܮሺߤǡ ߪଶǢ ݔ௜ሻሿ ൌ െ ? ?ߪଶ ȭሺݔ௜ െ ߤሻଶ െ ቀ ݊?ቁ Ž�ሺ ?ߨߪଶሻ 
 
Pronto! Agora é mais fácil resolver. 
 
-³5HVROYHU�R�TXH��SURIHVVRU"�1mR�HVWRX�HQWHQGHQGR´� 
 
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É assim, lembram-se do conceito de derivada? E de como este instrumento permite 
que você encontre um ponto máximo, ou seja, que maximize uma função? 
 
É isso aí! Você tem uma amostra e uma função de distribuição, no nosso 
exemplo a Normal. O que nós vamos fazer é, para dados valores de ࢞࢏, vamos 
encontrar os valores de média e variância que maximizam a probabilidade que 
tal amostra siga esta distribuição! Como se faz isso? Derive em função dos 
parâmetros e iguale o resultado a zero! Não se preocupe, você não precisa 
saber se o ponto é de máximo ou mínimo, a bancafará a questão de forma a 
sempre ser um ponto extremo de máximo local! 
 
Esta derivação é um pouco mais complicada, pois exige um conhecimento de 
derivada maior do que o já ensinado. Porém, isso não será cobrado, portanto, não 
mostrado! Mas, pode-se demonstrar que, ao maximizar a função nos parâmetros 
média e variância, encontraremos: ߤƸ ൌ ȭݔ௜݊ 
O conceito de média amostral Ou seja, o estimador da média de uma distribuição 
normal é a própria média amostral. 
 
E a variância? 
 ߪଶ ൌ ሺݔ௜ െ ߤƸሻ݊ 
 
Opa! Mas, este não é o estimador de variância amostral já conhecido por vocês da 
aula de Estatística. O denominador deve ser ݊ െ ?, caso contrário o mesmo será 
viesado! Portanto, o estimador MLE para a variância é viesado! 
 
Viram? O estimador MLE nem sempre é não viesado! Mas, o mesmo tem 
propriedades úteis, como: 
 
 
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1) É consistente 
2) Sua distribuição converge para a normal conforme a amostra tende ao 
infinito (assintoticamente normal) 
3) O estimador tende a ser eficiente conforme a amostra tende ao infinito 
(assintoticamente eficiente) 
 
-³3URIHVVRU��PDV�SRUTXH�YRFr�HQVLQRX�RV�FRQFHitos básicos de derivada se não é 
tão simples aplicá-los no caso do exemplo que você mostrou? 
 
Boa! Pelo seguinte, vai saber o que dá na cabeça da banca! É praticamente 
impossível que eles peçam que vocês derivem uma função normal convencional. 
Mas, de repente, eles já te dão uma versão simplificada, que permite o cálculo dos 
parâmetros maximizadores da função de forma simples. Foi só para prevenir 
mesmo. Não precisa se preocupar muito com isso! 
 
Só para finalizarmos, como seria o estimador MLE para a probabilidade de sucesso 
de um evento em uma distribuição binomial. 
 
Lembram-se da distribuição binomial? É aquela em que há dois eventos possíveis, 
XP� FRQVLGHUDGR� ³VXFHVVR´�� FRP� SUREDELOLGDGH� ݌, e outro, mutuamente exclusivo, 
FRQVLGHUDGR�³IUDFDVVR´��FRP�SUREDELOLGDGH� ? െ ݌. 
 
Então suponha que em uma amostra com ݊ elementos, ݔ apresentam o atributo 
sucesso. Você consegue adivinhar qual o estimador MLE para�݌? ݌ ൌ ݊ݔ 
Ou seja, é a própria proporção deste elemento na amostra como um todo, tal como 
no caso da média! 
 
Simples não? É claro que não! Esta aula é muito complexa. Faça um favor a 
você, releia o conteúdo mais de uma vez! Vamos aos exercícios. 
 
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Exercício 1 
 
(ATRFB ± 2013/ESAF) A variância da amostra formada pelos valores 2, 3, 1, 4, 
5 e 3 é igual a 
a) 3. 
b) 2. 
c) 1. 
d) 4. 
e) 5. 
 
Resolução 
 
Ora, veja que o exercício fala em amostra! Portanto, nosso estimador é: 
 ܸܽݎ݅Ÿ݊ܿ݅ܽ ൌ ܵଶ ൌ ȭሺݔ௜ െ ݔҧሻଶ݊ െ ? 
 
A média do processo é de: 
 ܯ±݀݅ܽ ൌ ? ൅ ? ൅ ? ൅ ? ൅ ? ൅ ? ? ൌ ? ? ? ൌ ? 
 
plicando: 
 ܵଶ ൌ ሺ ? െ ?ሻଶ ൅ ሺ ? െ ?ሻଶ ൅ ሺ ? െ ?ሻଶ ൅ ሺ ? െ ?ሻଶ ൅ ሺ ? െ ?ሻଶ ൅ ሺ ? െ ?ሻଶ ? ൌ ? ? ? ൌ ? 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 2 
 
(PETROBRÁS ± 2010/CESGRANRIO) Em um conjunto de N elementos 
extraídos de uma população, foi utilizada o seguinte estimador para avaliar a 
dispersão: 
ࡿ ൌ ඨ઱ሺ࢞࢏ െ ࢞ഥሻ૛࢔ 
 
Onde ࢞ഥ é a média aritmética dos dados. Qual o significado desta expressão? 
 
a) Desvio padrão não tendencioso da população 
b) Estimativa não tendenciosa do desvio padrão populacional 
c) Estimativa tendenciosa do desvio padrão populacional 
d) Estimativa tendenciosa da variância populacional 
e) Estimativa não tendenciosa da variância populacional 
 
Resolução 
 
Ora pessoal, esta fórmula é um estimador tendencioso do desvio padrão 
populacional, tal como vimos na aula. 
 
Alternativa (c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 3 
 
(CGU ± 2008/ESAF) Qual o estimador de máxima verossimilhança da variância 
de uma variável X normalmente distribuída obtido a partir de uma amostra 
aleatória simples X1, 2, ...,Xn��GHVWD�YDULiYHO��VHQGR�P� �Ȉi Xi / n o estimador de 
máxima verossimilhança da média? 
 
D��Ȉi (Xi - m)2 /(n-1) 
E��Ȉi (Xi - m)2 /(n-2) 
F��>�Ȉi (Xi - m)2 /(n-1)] 0,5 
G��Ȉi (Xi - m)2 ��Ȉi (Xi - m)2 
e) Ȉi (Xi - m)2 /n 
 
Resolução 
 
Nós já estudamos isso, o estimador de Máxima Verossimilhança para a variância é 
o valor viesado da variância: 
 
ࡿ ൌ ඨ઱ሺ࢞࢏ െ ࢞ഥሻ૛࢔ 
 
Alternativa (e). 
 
(SEFAZ\RJ ± FGV/2010 - alterada) Com base em uma variável (ࢄ) que segue 
uma distribuição normal de média 15 e desvio padrão (࣌) 2, com uma amostra 
de 36 elementos, julgue as afirmativas. 
 
Exercício 4 
 
Dado que ࢄ é normal, sua média aritmética também é. 
 
 
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Resolução 
 
Quando uma variável tem distribuição normal, sua média aritmética tem distribuição 
exata normal. Alternativa correta. 
 
Exercício 5 
 
A média amostral é um estimador tendencioso da média populacional. 
 
Resolução 
 
Errada. A média amostral, conforme nós vimo, é um estimador não tendencioso da 
média populacional. 
 
Exercício 6 
 
A média aritmética de ࢄ tem desvio padrão de 1/3. 
 
Resolução 
 
Nós já conhecemos o estimador não tendencioso para a variância da média 
amostral, que é dado por: 
 ܸܽݎ݅Ÿ݊ܿ݅ܽ ൌ ߪଶ݊ 
 
Portanto: 
 ܦ݁ݏݒ݅݋�ܲܽ݀ݎ ݋ ൌ ߪ ?݊ 
 
Substituindo os valores: 
 
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 ܦ݁ݏݒ݅݋�ܲܽ݀ݎ ݋ ൌ ߪ ?݊ ൌ ? ? ? ?� ൌ ? ?ൌ ? ? 
 
Alternativa verdadeira. 
 
Exercício 7 
 
(PETROBRAS ± 2010/CESGRANRIO) Quando se lança uma certa moeda, a 
probabilidade de o resultado ser cara é p. A moeda foi lançada dez vezes, 
sucessivas e independentes, e o resultado foi de 2 caras e 8 coroas. Tendo 
em vista este experimento, a estimativa de máxima verossimilhançade p é: 
a)0,2 
b0,25 
c)0,3 
d)0,35 
e) 0,4 
 
Resolução 
 
A proporção amostral é um estimador de verossimilhança da proporção 
populacional, assim: 
 ݌ ൌ ? ? ?ൌ ?ǡ ? 
 
Alternativa (a). 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 8 
 
(CGU ± 2008/ESAF) Seja ࢀ um estimador do parâmetro ࣂ de uma população. 
Se ࡱሺࢀሻ ൌ ࣂ, diz-se que ࢀ é um estimador: 
 
a) Eficiente 
b) Não viesado 
c) Consistente 
d) De Mínimos Quadrados 
e) De Máxima Verossimilhança 
 
Resolução 
 
Outra questão tranquila, se o estimador acerta na média, ele é não viesado. 
 
Alternativa (b). 
 
(ANPEC ± 2010) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 9 
 
Considere dois estimadores não tendenciosos, ࣂ૚ e ࣂ૛ de um parâmetro ࣂ, ࣂ૚ 
é dito eficiente relativamente a ࣂ૛ se ࢂࢇ࢘ሺࣂ૚ሻ ൏ ࢂࢇ࢘ሺࣂ૛ሻ 
 
Resolução 
 
Alternativa correta, pois, dado que ambos são não tendenciosos, o que tiver menor 
YDULkQFLD�VHUi�³PDLV�HILFLHQWH´� 
 
 
 
 
 
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Exercício 10 
 
Um estimador ࣂ૚ é um estimador consistente de ࣂ se ࣂ૚ converge para ࣂ 
conforme a amostra tende ao infinito. 
 
Resolução 
 
Perfeito! Esta é a própria definição de estimador consistente. 
 
Alternativa verdadeira. 
 
Exercício 11 
 
Um estimador ࣂ૚ é um estimador consistente de ࣂ se, e somente se, ࣂ૚ for não 
viesado. 
 
Resolução 
 
Como nós vimos na aula, um estimador não viesado é consistente, mas a recíproca 
não é verdadeira. 
 
Alternativa falsa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 12 
 
(CEB ± 2009/UNIVERSA) Para saber as condições dos animais de uma 
fazenda, será realizada uma pesquisa por amostragem estratificada, a partir de 
uma amostra de 15 animais. A tabela seguinte apresenta o efetivo de animais 
desta fazenda: 
 
Animal Efetivo 
Asininos 80 
Bovinos 300 
Caprinos 120 
Equinos 150 
Suínos 250 
 
 
A quantidade de bovinos e suínos a serem utilizados na pesquisa são: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
Resolução 
 
A questão não disse se trata-se de uma amostragem proporcional ou uniforme. 
Quando for assim, use proporcional! 
 
Do total de 900 animais, 550 são bovinos ou suínos, portanto: 
 ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? 
 
Assim, aplicando tal proporcionalidade aos 15 animais da pesquisa: 
 
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 ? ? ? ?ൈ ? ?ൌ ?ǡ ? 
 
Aproximadamente 9. 
 
Alternativa (e). 
 
Exercício 13 
 
(TRT 3ª região ± 2009/FCC) O objetivo de uma pesquisa era o de se obter, 
relativamente aos moradores de um bairro, informações sobre duas variáveis: 
nível educacional e renda familiar. Para cumprir tal objetivo, todos os 
moradores foram entrevistados e arguídos quanto ao nível educacional, e, 
dentre todos os domicílios do bairro, foram selecionados aleatoriamente 300 
moradores para informar a renda familiar. As abordagens utilizadas para as 
variáveis nível educacional e renda familiar foram, respectivamente, 
 
a) censo e amostragem por conglomerados. 
 
b) amostragem aleatória e amostragem sistemática. 
 
c) censo e amostragem aleatória simples. 
 
d) amostragem estratificada e amostragem sistemática. 
 
e) amostragem sistemática e amostragem em dois estágios. 
 
 
Resolução 
 
Questão puramente teórica. Na primeira foram entrevistados todos os moradores do 
bairro, portanto é um Censo. No segundo caso, foram escolhidos tais indivíduos de 
forma aleatória, portanto é uma AAS. 
 
Alternativa (c). 
 
 
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(SEDUC-AM ± 2011\CESPE) 
 
Turma Média Aritmética Variância Amostral 
A 7,2 4 
B 6,8 3,6 
 
Um estudo foi realizado em determinada escola para se avaliar o efeito, no 
desempenho dos estudantes, do uso de computadores em sala de aula. Para 
esse estudo, foram selecionados aleatoriamente 60 alunos de determinado 
ano escolar, separando-os em duas turmas A e B, cada uma com 30 alunos. 
Ao longo de um semestre letivo, um método de ensino com auxílio de 
computadores foi aplicado na turma A, enquanto, nesse mesmo período, outro 
método sem auxílio de computadores foi aplicado na turma B. Ao final desse 
semestre, o mesmo teste foi aplicado para os 60 alunos participantes desse 
estudo. O quadro acima mostra algumas estatísticas acerca das notas obtidas 
pelos alunos de ambas as turmas. 
 
Considerando essas informações, acerca de probabilidade, inferência e 
amostragem, julgue os itens a seguir. 
 
Exercício 14 
 
A variância amostral das notas da turma B utilizou um denominador igual a 29. 
 
Resolução 
 
Alternativa correta. Pois, o número de elementos de cada uma das turmas é de 30 
alunos, assim, o denominador da variância amostral (݊ െ ?) é igual à 29. 
 
 
 
 
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Exercício 15 
 
Considerando que as notas da turma A estão ordenadas da menor nota para a 
maior nota, então a mediana dessas notas ocupa a 15.ª posição nesse rol de 
dados ordenados. 
 
Resolução 
 
Alternativa errada. Como há um número par de elementos em cada uma das turmas 
(30 alunos), a mediana será uma média aritmética entre a 15ª e 16ª nota. 
 
Exercício 16 
 
Os alunos da turma B apresentaram desempenho mais homogêneo que os 
alunos da turma A, pois a variância amostral da turma B foi inferior a 4,0. 
 
Resolução 
 
Alternativa errada. Tal como vimos na aula 01, nestes casos é útil usarmos o 
conceito de coeficiente de variação, pois a variância é afetada pelos valores 
absolutos dos dados analisados. Com base no coeficiente de variação aí sim 
poderíamos usar o valor do desvio padrão para afirmarque uma turma tem notas 
mais homogêneas do que a outra. 
 
Exercício 17 
 
O erro padrão da média das notas dos alunos da turma A foi superior a 0,40. 
 
Resolução 
 
Bom pessoal, vocês conhecem o estimador do desvio padrão da média amostral (ݏ): 
 
 
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 ݏ ൌ ߪ ?݊ 
 
4XDQGR�YRFr�RXYLU�³HUUR�SDGUmR´��SHQVH�HP�GHVYLR�SDGUão. A diferença é que 
HUUR� SDGUmR´� p� R� FDVR� QR� TXDO� QmR� WHPRV� R� YDORU� GR� GHVYLR� SDGUmR�
populacional, assim, usamos o desvio padrão amostral. Assim: 
 ݏ ൌ ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ? 
 
Alternativa errada. 
 
Bom, vamos pegar mais pesado? Vamos estudar um 
pouquinho como se acha a esperança de um determinado estimador, pois aí 
poderemos provar se um determinado é ou não viesado. Isso não costuma 
cair em provas que não são mais específicas, mas vale a pena saber por cima. 
Acompanhem a questão seguinte comigo. 
 
(ANPEC ± 2003) Julgue as afirmativas 
 
Exercício 18 
 
A média aritmética é um estimador viesado da média populacional. 
 
Resolução 
 
Bom, para provarmos isso precisamos conhecer a seguinte propriedade: 
 ܧݏ݌݁ݎܽ݊­ܽ�݀ܽ�ݏ݋݉ܽ ൌ ݏ݋݉ܽ�݀ܽݏ�݁ݏ݌݁ݎܽ݊­ܽݏ 
 
Então, vamos ver a nossa fórmula de média aritmética amostral para estimarmos 
uma média populacional (ߤ): 
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 ܯ±݀݅ܽ ൌ തܺ ൌ ଵܺ ൅ ܺଶ ൅ڮ൅ ܺ௡݊ 
 
Vamos tirar a esperança desta fórmula: 
 തܺ ൌ ܧ ൬ܺଵ ൅ ܺଶ ൅ڮ൅ ܺ௡݊ ൰ 
 
O valor ݊ é constante, portanto sua esperança é igual ao seu próprio valor. Portanto, 
vamos tirá-lo do parêntese e aplicar nossa propriedade: 
 തܺ ൌ ?݊ܧሺܺଵ ൅ ܺଶ ൅ڮ൅ ܺ௡ሻ ൌ ?݊ሾܧሺ ଵܺሻ ൅ ܧሺܺଶሻ ൅ ڮ൅ ܧሺܺ௡ሻሿ 
 
Qual é a esperança de cada observação ܺ௜? Ora, é a própria média do processo! 
Assim: 
 തܺ ൌ ?݊ሾߤ ൅ ߤ ൅ڮ൅ ߤሿ ൌ ݊݊ߤ ൌ ࣆ 
 
Ou seja, a média amostral é um estimador não viesado da média populacional. 
Alternativa errada. 
 
Exercício 19 
 
Um estimador é dito não tendencioso se a sua variância é igual à variância do 
parâmetro estimado. 
 
Resolução 
 
Alternativa errada. Um estimador é dito não tendencioso, que é a mesma coisa que 
³QmR�YLHVDGR´��VH�VXD�PpGLD�IRU�LJXDO�DR�SDUkPHWro populacional. 
 
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Exercício 20 
 
Um estimador consistente pode não ser eficiente. 
 
Resolução 
 
Alternativa verdadeira. Pois, este pode não apresentar a menor variância possível 
na classe de estimadores que está sendo comparado. 
 
 
 
Exercício 21 
 
(TRT 12ª ± 2013\FCC-alterada) Julgue a afirmativa: 
 
³Na amostragem por conglomerados, a população é dividida em grupos 
distintos, mutuamente exclusivos, denominados conglomerados. Usa-se a 
amostragem aleatória simples para selecionar uma amostra de 
conglomerados e depois todos os elementos dos conglomerados 
selecionados são analisados.´ 
 
Resolução 
 
Alternativa correta. Na amostragem por conglomerados, aplicamos a AAS para 
escolher os subgrupos e depois analisamos cada elemento do subgrupo escolhido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(TRT 2ª ± 2013\FCC-alterada) Julgue a afirmativa. 
 
Exercício 22 
 
Se as unidades de estudo formam grupos naturais, a amostragem por 
conglomerados pode ser considerada, o que envolve selecionar uma amostra 
aleatória de grupos ou conglomerados e depois selecionar, de cada grupo, 
uma amostra aleatória simples. 
 
Resolução 
 
Alternativa errada. A ordem está invertida. No caso da amostragem por 
conglomerados, primeiro aplica-se a AAS para os subgrupos e depois são 
investigados todos os elementos de cada um. 
 
Exercício 23 
 
Quando a amostragem estratificada é usada, a média da população é estimada 
como a média ponderada das médias das amostras específicas dos estratos. 
 
Resolução 
 
Correto. Dado que cada estrato escolhido é uma parte da amostra total, a média da 
população deve ser calculada de forma a ser uma média ponderada, levando-se em 
conta o ³tamanho´ de cada parcela desta amostra. Porém, caso a amostragem 
seja uniforme, uma média aritmética simples funciona, dado que todas tem o 
mesmo tamanho. 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 24 
 
(MTUR ± ESAF\2014) Com relação à amostragem, pode-se afirmar que: 
a) na amostragem por quotas, tem-se uma amostra não probabilística na qual 
divide-se a população em subgrupos e determina-se uma quota (proporcional) 
a cada subgrupo. A seleção dos objetos individuais obedece o critério de uma 
amostra sistemática. 
b) na amostragem estratificada, divide-se a população em grupos (ou classes, 
ou estratos), de modo que os elementos pertencentes ao mesmo estrato 
sejam o mais heterogêneos possível com respeito à característica em estudo. 
Para cada grupo toma-se uma subamostra pelo procedimento a.a.s., e a 
amostra global é o resultado da combinação das subamostras de todos os 
estratos. 
c) na amostragem por conglomerados, seleciona-se primeiro, ao acaso, 
grupos (conglomerados) de elementos individuais da população. A seguir, 
toma-se ou todos os elementos ou uma subamostra de cada conglomerado. 
Nos conglomerados, as diferenças entre eles devem ser tão grandes quanto 
possível, enquanto as diferenças dentro devem ser tão pequenas quanto 
possível. 
d) na amostragem por quotas, tem-se uma amostra probabilística na qual 
divide-se a população em subgrupos e determina-se uma quota (proporcional) 
a cada subgrupo. A seleção dos objetos individuais é por sorteio. 
e) na amostragem sistemática, toma-se cada k-ésima unidade da população 
previamente ordenada, em que k é a razão de amostragem. O procedimento 
deve começar ao acaso, sorteando-se um número entre 1 e k. 
 
Resolução 
 
Vamos avaliar uma por uma: 
 
 
 
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a)Realmente é uma amostra não probabilística e que determina-se uma quota 
proporcional a cada subgrupo da população. Mas, a seleção não é feita com basem 
em amostragem sistemática, método que é probabilístico. 
b)Os estratos devem ser dividos de forma que sejam o mais homogêneos possível, 
isso permite inferir o que queremos saber de cada uma desta divisões. 
c)Ao escolher um conglomerado, todos os elementos dentro dele devem ser 
observados. 
d)A amostragem por quotas não é probabilística. 
e)Definição correta. 
 
Alternativa (e). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Lista de exercícios resolvidos 
 
Exercício 1 
 
(ATRFB ± 2013/ESAF) A variância da amostra formada pelos valores 2, 3, 1, 4, 
5 e 3 é igual a 
a) 3. 
b) 2. 
c) 1. 
d) 4. 
e) 5. 
 
 
Exercício 2 
 
(PETROBRÁS ± 2010/CESGRANRIO) Em um conjunto de N elementos 
extraídos de uma população, foi utilizada o seguinte estimador para avaliar a 
dispersão: 
ࡿ ൌ ඨ઱ሺ࢞࢏ െ ࢞ഥሻ૛࢔ 
 
Onde ࢞ഥ é a média aritmética dos dados. Qual o significado desta expressão? 
 
a) Desvio padrão não tendencioso da população 
b) Estimativa não tendenciosa do desvio padrão populacional 
c) Estimativa tendenciosa do desvio padrão populacional 
d) Estimativa tendenciosa da variância populacional 
e) Estimativa não tendenciosa da variância populacional 
 
 
 
 
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Exercício 3 
 
(CGU ± 2008/ESAF) Qual o estimador de máxima verossimilhança da variância 
de uma variável X normalmente distribuída obtido a partir de uma amostra 
aleatória simples X1, 2, ...,Xn��GHVWD�YDULiYHO��VHQGR�P� �Ȉi Xi / n o estimador de 
máxima verossimilhança da média? 
 
D��Ȉi (Xi - m)2 /(n-1) 
E��Ȉi (Xi - m)2 /(n-2) 
F��>�Ȉi (Xi - m)2 /(n-1)] 0,5 
G��Ȉi (Xi - m)2 ��Ȉi (Xi - m)2 
e) Ȉi (Xi - m)2 /n 
 
 
(SEFAZ\RJ ± FGV/2010 - alterada) Com base em uma variável (ࢄ) que segue 
uma distribuição normal de média 15 e desvio padrão (࣌) 2, com uma amostra 
de 36 elementos, julgue as afirmativas. 
 
Exercício 4 
 
Dado que ࢄ é normal, sua média aritmética também é. 
 
 
Exercício 5 
 
A média amostral é um estimador tendencioso da média populacional. 
 
 
Exercício 6 
 
A média aritmética de ࢄ tem desvio padrão de 1/3. 
 
 
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Exercício 7 
 
(PETROBRAS ± 2010/CESGRANRIO) Quando se lança uma certa moeda, a 
probabilidade de o resultado ser cara é p. A moeda foi lançada dez vezes, 
sucessivas e independentes, e o resultado foi de 2 caras e 8 coroas. Tendo 
em vista este experimento, a estimativa de máxima verossimilhança de p é: 
a)0,2 
b0,25 
c)0,3 
d)0,35 
e) 0,4 
 
Exercício 8 
 
(CGU ± 2008/ESAF) Seja ࢀ um estimador do parâmetro ࣂ de uma população. 
Se ࡱሺࢀሻ ൌ ࣂ, diz-se que ࢀ é um estimador: 
 
a) Eficiente 
b) Não viesado 
c) Consistente 
d) De Mínimos Quadrados 
e) De Máxima Verossimilhança 
 
 
(ANPEC ± 2010) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 9 
 
Considere dois estimadores não tendenciosos, ࣂ૚ e ࣂ૛ de um parâmetro ࣂ, ࣂ૚ 
é dito eficiente relativamente a ࣂ૛ se ࢂࢇ࢘ሺࣂ૚ሻ ൏ ࢂࢇ࢘ሺࣂ૛ሻ 
 
 
 
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Exercício 10 
 
Um estimador ࣂ૚ é um estimador consistente de ࣂ se ࣂ૚ converge para ࣂ 
conforme a amostra tende ao infinito. 
 
 
Exercício 11 
 
Um estimador ࣂ૚ é um estimador consistente de ࣂ se, e somente se, ࣂ૚ for não 
viesado. 
 
Exercício 12 
 
(CEB ± 2009/UNIVERSA) Para saber as condições dos animais de uma 
fazenda, será realizada uma pesquisa por amostragem estratificada, a partir de 
uma amostra de 15 animais. A tabela seguinte apresenta o efetivo de animais 
desta fazenda: 
 
Animal Efetivo 
Asininos 80 
Bovinos 300 
Caprinos 120 
Equinos 150 
Suínos 250 
 
 
A quantidade de bovinos e suínos a serem utilizados na pesquisa são: 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
 
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Exercício 13 
 
(TRT 3ª região ± 2009/FCC) O objetivo de uma pesquisa era o de se obter, 
relativamente aos moradores de um bairro, informações sobre duas variáveis: 
nível educacional e renda familiar. Para cumprir tal objetivo, todos os 
moradores foram entrevistados e arguídos quanto ao nível educacional, e, 
dentre todos os domicílios do bairro, foram selecionados aleatoriamente 300 
moradores para informar a renda familiar. As abordagens utilizadas para as 
variáveis nível educacional e renda familiar foram, respectivamente, 
 
a) censo e amostragem por conglomerados. 
 
b) amostragem aleatória e amostragem sistemática. 
 
c) censo e amostragem aleatória simples. 
 
d) amostragem estratificada e amostragem sistemática. 
 
e) amostragem sistemática e amostragem em dois estágios. 
 
 
(SEDUC-AM ± 2011\CESPE) 
 
Turma Média Aritmética Variância Amostral 
A 7,2 4 
B 6,8 3,6 
 
Um estudo foi realizado em determinada escola para se avaliar o efeito, no 
desempenho dos estudantes, do uso de computadores em sala de aula. Para 
esse estudo, foram selecionados aleatoriamente 60 alunos de determinado 
ano escolar, separando-os em duas turmas A e B, cada uma com 30 alunos. 
Ao longo de um semestre letivo, um método de ensino com auxílio de 
computadores foi aplicado na turma A, enquanto, nesse mesmo período, outro 
método sem auxílio de computadores foi aplicado na turma B. Ao final desse 
semestre, o mesmo teste foi aplicado para os 60 alunos participantes desse 
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estudo. O quadro acima mostra algumas estatísticas acerca das notas obtidas 
pelos alunos de ambas as turmas. 
 
Considerando essas informações,acerca de probabilidade, inferência e 
amostragem, julgue os itens a seguir. 
 
Exercício 14 
 
A variância amostral das notas da turma B utilizou um denominador igual a 29. 
 
 
Exercício 15 
 
Considerando que as notas da turma A estão ordenadas da menor nota para a 
maior nota, então a mediana dessas notas ocupa a 15.ª posição nesse rol de 
dados ordenados. 
 
 
Exercício 16 
 
Os alunos da turma B apresentaram desempenho mais homogêneo que os 
alunos da turma A, pois a variância amostral da turma B foi inferior a 4,0. 
 
 
Exercício 17 
 
O erro padrão da média das notas dos alunos da turma A foi superior a 0,40. 
 
 
 
 
 
 
 
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Bom, vamos pegar mais pesado? Vamos estudar um 
pouquinho como se acha a esperança de um determinado estimador, pois aí 
poderemos provar se um determinado é ou não viesado. Isso não costuma 
cair em provas que não são mais específicas, mas vale a pena saber por cima. 
Acompanhem a questão seguinte comigo. 
 
(ANPEC ± 2003) Julgue as afirmativas 
 
Exercício 18 
 
A média aritmética é um estimador viesado da média populacional. 
 
Exercício 19 
 
Um estimador é dito não tendencioso se a sua variância é igual à variância do 
parâmetro estimado. 
 
Exercício 20 
 
Um estimador consistente pode não ser eficiente. 
 
Exercício 21 
 
(TRT 12ª ± 2013\FCC-alterada) Julgue a afirmativa: 
 
³Na amostragem por conglomerados, a população é dividida em grupos 
distintos, mutuamente exclusivos, denominados conglomerados. Usa-se a 
amostragem aleatória simples para selecionar uma amostra de 
conglomerados e depois todos os elementos dos conglomerados 
selecionados são analisados.´ 
 
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(TRT 2ª ± 2013\FCC-alterada) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 22 
 
Se as unidades de estudo formam grupos naturais, a amostragem por 
conglomerados pode ser considerada, o que envolve selecionar uma amostra 
aleatória de grupos ou conglomerados e depois selecionar, de cada grupo, 
uma amostra aleatória simples. 
 
 
Exercício 23 
 
Quando a amostragem estratificada é usada, a média da população é estimada 
como a média ponderada das médias das amostras específicas dos estratos. 
 
 
Exercício 24 
 
(MTUR ± ESAF\2014) Com relação à amostragem, pode-se afirmar que: 
a) na amostragem por quotas, tem-se uma amostra não probabilística na qual 
divide-se a população em subgrupos e determina-se uma quota (proporcional) 
a cada subgrupo. A seleção dos objetos individuais obedece o critério de uma 
amostra sistemática. 
b) na amostragem estratificada, divide-se a população em grupos (ou classes, 
ou estratos), de modo que os elementos pertencentes ao mesmo estrato 
sejam o mais heterogêneos possível com respeito à característica em estudo. 
Para cada grupo toma-se uma subamostra pelo procedimento a.a.s., e a 
amostra global é o resultado da combinação das subamostras de todos os 
estratos. 
c) na amostragem por conglomerados, seleciona-se primeiro, ao acaso, 
grupos (conglomerados) de elementos individuais da população. A seguir, 
toma-se ou todos os elementos ou uma subamostra de cada conglomerado. 
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Nos conglomerados, as diferenças entre eles devem ser tão grandes quanto 
possível, enquanto as diferenças dentro devem ser tão pequenas quanto 
possível. 
d) na amostragem por quotas, tem-se uma amostra probabilística na qual 
divide-se a população em subgrupos e determina-se uma quota (proporcional) 
a cada subgrupo. A seleção dos objetos individuais é por sorteio. 
e) na amostragem sistemática, toma-se cada k-ésima unidade da população 
previamente ordenada, em que k é a razão de amostragem. O procedimento 
deve começar ao acaso, sorteando-se um número entre 1 e k. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1-b 
2-c 
3-e 
4-V 
5-F 
6-V 
7-a 
8-b 
9-V 
10-V 
11-F 
12-e 
13-c 
14-V 
15-F 
16-F 
17-F 
18-F 
19-F 
20-V 
21-V 
22-F 
23-V 
24-e 
 
É isso aí pessoal! Mandem dúvidas. 
 
Um abraço e bons estudos 
 
jeronymo@estrategiaconcursos.com.br 
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