SEFAZ PE XEST estatistica jeronymo Aula 07 Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses

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Aula 07
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AULA 07 ± Intervalo de Confiança e Teste de Hipóteses 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
Testes de Hipóteses e Intervalo de Confiança 1 
Teste para a variância 33 
Poder de um teste e o p-valor 37 
Teste para proporções 41 
Lista de Exercícios resolvidos em aula 58 
Gabarito 70 
 
 
 
Mais uma etapa que vocês devem enfrentar se quiserem trabalhar na Receita 
Estadual: testes de hipóteses. Última vez, força na peruca! 
 
1. Testes de Hipóteses e Intervalo de Confiança 
 
1.1 Testando a média ± distribuição normal 
 
Suponha que uma pessoa tenha visto sua pesquisa sobre a altura média das 
pessoas que vivem em um determinado território e faça a seguinte afirmação: 
 
-³$�PpGLD�GH�DOWXUD GRV�LQGLYtGXRV�TXH�YLYHP�QDTXHOD�UHJLmR�p�GH�����P´� 
 
Há como testar se a sua amostra dá suporte a essa afirmação? Sim, por meio do 
teste de hipótese! 
 
A forma de testar quais valores seriam condizentes com a nossa amostra exige 
conhecimento da distribuição de probabilidades de nossa amostra! 
 
Para que você entenda, pense em um gráfico que represente a distribuição de 
frequências de nossa variável. No caso, vamos supor que se trata de uma variável 
contínua, o que faz sentido, já que devem existir infinitas alturas de indivíduos em 
uma sociedade muito grande. 
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³Variável, professor, mas não estamos tratando da média calculada para 
QRVVD�DPRVWUD´" 
9HMD��R�SDUkPHWUR�³PpGLD�SRSXODFLRQDO´�QmR�p�XPD�YDULiYHO��
pois seu valor é o mesmo para todos os experimentos possíveis em que possamos 
calculá-lo, haja vista em todos estes o tamanho da amostra é igual à própria 
população. Isso não é verdade no caso da média amostral! A média será calculada 
para as mais diversas amostras que podem ser retiradas da população, ou seja, 
este estimador é uma variável! 
 
$VVLP��p�PXLWR�SURYiYHO�TXH�D�QRVVD�GLVWULEXLomR�GD�YDULiYHO�³PpGLD�GH�DOWXUD´�VHMD�
algo semelhante à: 
 
 
Veja, esse tipo de distribuição de frequências é o mais comum (formato de sino), 
pois muitos fenômenos são assim: 
 
x Valores extremos com menor probabilidade de ocorrência; 
x Valores mediano e médio (e/ou próximos a estes) com grande chance de 
ocorrência. 
 
No nosso exemplo, é de se esperar que alturas comuns no povo brasileiro (como o 
intervalo que vai de 1,70m a 1,80m) sejam valores em torno dos quais a maior parte 
das médias calculadas irá orbitar. Por outro lado, podem ocorrer valores extremos, 
como uma altura média de 1,95, entretanto a probabilidade (frequência em que 
ocorre) de sua ocorrência será pequena! 
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Esta distribuição com formato de sino é muito comum e é chamada de distribuição 
normal ou distribuição gaussiana, como já estudamos na aula 01. 
 
Se nós conhecermos bem essa nossa distribuição, podemos determinar valores 
limites (pouco prováveis) e assim aceitar ou refutar hipóteses que são feitas sobre 
nossa amostra! Perceba que a afirmação feita no início desta seção, provavelmente 
pode ser verdadeira, se a nossa distribuição seguir uma distribuição normal. 
 
No nosso caso, podemos dizer com toda certeza que, se a nossa amostra for 
suficientemente grande, a variável em estudo tem distribuição normal, isso é feito 
com base no Teorema do Limite Central. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entendeu o que isso quer dizer? Para qualquer variável (desde que suas 
observações sejam independentes), podemos afirmar que a distribuição de sua 
média amostral será gaussiana para amostras suficientemente grandes. Esse 
teorema é incrivelmente poderoso, pois podemos nos basear nele para garantir que 
a nossa avaliação de médias baseie-se na distribuição normal, que é fácil de ser 
analisada. 
 
-³3RU�TXH�p�IiFLO�DQDOLVDU�XPD�YDULiYHO�TXH�WHQKD�GLVWULEXLomR�QRUPDO´" 
 
Em termos bem simples, o Teorema do Limite Central (TLC) afirma que, 
para uma dada variável ܺ, com média ߤ e desvio padrão ߪ ?, sua respectiva 
média amostral ( തܺ) convergirá para uma distribuição normal, com média ߤ 
e variância 
ఙ ?௡ , conforme a amostra tende para o infinito, sendo ݊ o tamanho 
da amostra. 
 
Cuidado! Quando estivermos analisando médias, devemos dividir a 
nossa estatística de desvio padrão populacional pelo tamanho da 
amostra! 
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Pelo seguinte meu querido aluno, nós podemos padronizar qualquer variável com 
distribuição normal de forma que sua média seja sempre igual à zero e seu desvio 
padrão igual à 1 por meio da seguinte operação: 
 ݖ ൌ തܺ െ ߤߪ 
 
No caso da média amostral, sabemos que: 
 ݖ ൌ തܺ െ ߤቆටߪ ?݊ ቇ 
 
Sendo a variável (ݖ) uma padronização da nossa média amostral ( തܺ) por meio da 
diminuição da mesma de sua média e divisão pelo seu respectivo desvio padrão. 
Essa operação garante que a variável (ݖ) terá uma distribuição normal com média 
igual a zero e variância igual a 1. 
 
-³7XGR�EHP�SURIHVVRU��PDV�SRU�TXH�ID]HU�WXGR�LVVR´" 
 
Calma, você vai entender agora! A questão é que a normal padrão, que é obtida 
pela transformação de uma variável em seu respectivo valor (ࢠ), tem uma 
³WDEHOLQKD�PiJLFD´�TXH�QRV�GL]�D�probabilidade de que o valor encontrado (ࢠ 
calculado) esteja entre 0 (zero) e um determinado valor a ser especificado! 
 
Perceba que o estudo que se segue não se aplica somente a 
médias, mas também a qualquer variável que possua distribuição normal e que, 
portanto, pode ser padronizada. Só atenção ao caso das médias, pois você precisa 
dividir a estatística do desvio padrão por ?݊ na hora de padronizar a variável. 
 
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Vamos a um exercício para vocês entenderem. Não tentem resolver sozinhos, 
acompanhem a minha resolução e depois tentem sozinhos! 
 
Exercício 1 
 
(Elaborado pelo autor) Suponha que a seguinte amostra de alturas tenha sido 
retirada da população: 
Alturas 
(metros) 
1,7 
1,6 
1,7 
1,75 
1,8 
1,82 
1,9 
1,78 
1,74 
1,83 
 
Dado que a altura média da população é de 1,70me sabendo que o desvio 
padrão populacional é de 0,1, qual a probabilidade de encontrarmos um valor 
para a média amostral que se situe entre 1,70m e o valor encontrado para esta 
amostra? 
 
Resolução 
 
O que temos de fazer aqui é bem simples. Vamos calcular o valor (ݖ) para o nosso 
exemplo. Para isso precisamos encontrar os valores da média com base em nossa 
amostra. Calcule a média que você vai chegar a: തܺ ൌ ܯ±݀݅ܽ ൌ ?ǡ ? ? ? 
Agora, temos de encontrar o valor (ݖ) com vistas a definir a probabilidade de que 
esta média calculada esteja no intervalo definido pela normal padrão (pois, pelo 
TLC, sabemos que a média amostral converge em distribuição para uma 
gaussiana). Assim, fica IiFLO��SRLV�EDVWD�VXEVWLWXLU�QD�³IyUPXOD´�GH�SDGURQL]DomR� 
 
 
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ݖ ൌ തܺ െ ߤቆටߪ ?݊ ቇ 
 
Portanto: 
 ݖ ൌ ?ǡ ? ? ?െ ?ǡ ? ?൬ ?ǡ ? ? ? ?൰ ؆ ?ǡ ? ? 
 
Agora faça assim, olhe a tabela de distribuição normal: 
 
 
 
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O processo de utilizar a tabela é assim: veja qual o valor correspondente dentro da 
tabela de um ݖ ൌ ݔǡ ݔݔ. Olhe a linha correspondente aos dois primeiros dígitos de ݖ 
e o terceiro você vai encontrar na coluna lá em cima. Por exemplo, encontramos um 
valor ݖ ൌ ?ǡ ? ?, portanto: 
 
 
Este valor é a ³probabilidade monocaudal´ de o valor testado pertencer à nossa 
população. 
 
 
 
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-0RQRFDXGDO��SURIHVVRU´" 
 
Isso mesmo! O que estamos vendo é qual a probabilidade de que o valor calculado 
esteja no intervalo amarelo abaixo: 
 
 
 
Viu? Trata-se da probabilidade monocaudal, pois só estamos vendo a probabilidade 
de que ocorram valores maiores do que 1,70m, que foi normalizado em ݖ ൌ ?, mas 
menores do que 1,762, normalizado em 1,96. Isso é, a parte amarela só 
corresponde a valores à direita (ou maiores) do que 1,70m. 
 
Portanto, no gráfico acima, estamos calculando a probabilidade de que o valor 
testado (1,762m) tenha derivado de uma amostra de nossa população. Com base 
na tabela acima podemos inferir que o valor encontrado é de 0,475, ou seja, 47,5%! 
Portanto, a probabilidade de que a média amostral se situe entre os valores de 
1,70m e 1,762 é de 47,5%! Assim, no nosso exemplo: 
 ࡼሺ૚ǡ ૠ૙ ൑ ࢓±ࢊ࢏ࢇ�ࢇ࢓࢕࢙࢚࢘ࢇ࢒ ൑ ૚ǡ ૠ૟૛ሻ ൌ ࡼሺ૙ ൑ ࢠ ൑ ૚ǡ ૢ૟ሻ ൌ ૙ǡ ૝ૠ૞ ൌ ૝ૠǡ ૞ ? 
 
6LPSOHV��QmR"�2OKH�XP�³UHVXPLQKR´� 
 
 
 
 
 
 
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Mas, cuidado! Este é um caso em que estamos lidando com ³probabilidade 
monocaudal´, ou seja, olhando se o valor testado se situa dentro do intervalo 
superior (valores maiores do que a média populacional, mas compatíveis com 
nossas informações). Entretanto, nós podemos estar interessados em saber qual a 
probabilidade de que um determinado desvio com relação à média ocorra, isso é, 
um intervalo de valores maiores e menores do que a média populacional, mas 
condizentes com nossas informações. 
 
Vamos a um exemplo para simplificar! Se ao invés de calcularmos a probabilidade 
de ocorrência do valor 1,762m, podemos estar interessados na probabilidade de 
que a média populacional seja 0,062m maior ou menor do que 1,70m. Neste caso, 
estamos interessados em uma ³probabilidade bicaudal´! Vamos calcular o valor 
(ݖ) para a probabilidade de ocorrência de ( ?ǡ ? ?െ ?ǡ ? ? ?ൌ ?ǡ ? ? ?): 
 ݖ ൌ ?ǡ ? ? ?െ ?ǡ ? ?൬ ?ǡ ? ? ? ?൰ ൌ െ ?ǡ ? ? ?൬ ?ǡ ? ? ? ?൰ ؆ െ ?ǡ ? ? 
 
Assim: 
 
Para o cálculo da probabilidade de que uma variável com 
distribuição normal padronizada assuma determinado valor 
faça: 
1) Calcule o valor ݖ correspondente 
2) Olhe a tabela com o valor ݖ correspondente 
3) Multiplique o valor por 100 
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 Neste caso, o que estamos calculando é: 
 ࡼሺ૚ǡ ૟૜ૡ ൑ ࢓±ࢊ࢏ࢇ�ࢇ࢓࢕࢙࢚࢘ࢇ࢒ ൑ ૚ǡ ૠ૟૛ሻ ൌ ࡼሺെ૚ǡ ૢ૟ ൑ ࢠ ൑ ૚ǡ ૢ૟ሻ 
 
Como a distribuição normal é simétrica, uma mesma distância com relação à origem 
(ݖ ൌ ?) corresponde à mesma probabilidade de ocorrência, seja à esquerda ou 
direita. Assim, fica fácil perceber que a probabilidade de ocorrência do evento acima 
é igual a 2 (duas) vezes a chance de ocorrência de um dos dois isoladamente! 
Analiticamente: 
 ܲሺെ ?ǡ ? ?൑ ݖ ൑ ?ǡ ? ?ሻ ൌ ܲሺെ ?ǡ ? ?൑ ݖ ൑ ?ሻ ൅ ܲሺ ? ൑ ݖ ൑ ?ǡ ? ?ሻ 
 
Portanto: 
 ܲሺെ ?ǡ ? ?൑ ݖ ൑ ?ሻ ൅ ܲሺ ? ൑ ݖ ൑ ?ǡ ? ?ሻ ൌ ?ǡ ? ? ?൅ ?ǡ ? ? ?ൌ ?ǡ ? ?ൌ ? ? ? 
 
Entendeu? A probabilidade de encontrarmos um valor que varie em 0,062 da média 
populacional na nossa amostra é de 95%. 
 
Essa aula é pesada! Respire um pouquinho antes de continuar! 
 
 
 
 
 
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2.2 Testando a média ± teste de hipóteses e intervalo de confiança 
 
Com base no que sabemos já somos capazes de testar hipóteses. A primeira coisa 
TXH�WHPRV�GH�HVWLSXODU�p�³R�TXH�p�PXLWD�FRLQFLGrQFLD´. 
 
-³&RPR�DVVLP��SURIHVVRU´" 
 
Veja, no exemplo anterior encontramos que 95% das vezes em que realizarmos 
uma amostragem com base em nossa população, nosso valor de média amostral se 
encontrará dentro daquele intervalo ( ?ǡ ? ? ?൑ ݉±݀݅ܽ�ܽ݉݋ݏݐݎ݈ܽ ൑ ?ǡ ? ? ?). 
 
0DV��R�TXH�HVWHV�����TXHUHP�GL]HU"�6HUi�TXH�HVVH�LQWHUYDOR�p�³PXLWR´�RX�³SRXFR´�
provável? Ora, você já deve ter percebido onde quero chegar. Existe uma 
arbitrariedade envolvida na definição do que é provável ou não! 
 
Veja, no nosso exemplo, 95% das vezes os valores encontrados para a média 
amostral estarão dentro daquele intervalo. Aí é que entra a definição de 
significância de um teste: 
 
 
 
 
 
No caso em estudo, poderíamos estipular que 10% seria muita coincidência, ou 
seja, se a média amostral testada ocorrer em menos do que 10% das vezes, isso 
seria muita coincidência e poderíamos descartar a hipótese de que aquele intervalo 
seria possível com base em nossas informações.Significância de um teste é o valor que é 
FRQVLGHUDGR� FRPR� ³PXLWD� FRLQFLGrQFLD´� Este 
valor é definido previamente pelo pesquisador 
com base em estudos e em sua experiência 
pessoal. 
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Mas, com base nos nossos cálculos, encontramos que aquele intervalo ocorre 
em 95% das vezes, assim aceitaríamos a hipótese de que aquela amostra foi 
retirada da população em estudo! 
 
Agora que vocês entenderam o que é significância de um teste, podemos realizar o 
exercício inverso e calcularmos um intervalo de confiança para nosso estudo, de 
forma que possamos ver a adequação de nossas hipóteses com base em 
informações prévias. Vamos fazer um exercício para ficar claro! 
 
Faça a mesma coisa de novo! Resolva o exercício junto comigo e só depois 
faça sozinho. 
 
Exercício 2 
 
(Auditor da Previdência Social ± ESAF/2002/modificada) O desvio padrão para 
o peso de peças mecânicas obtidas num lote de produção é de 25kg. 
Sabendo-se que, em uma amostra de 100 peças do lote, foi encontrado um 
peso médio de 23,2kg, qual o intervalo de confiança para a média? 
a) ሾ૛૛ǡ ૛૛Ǣ ૛૝ǡ ૚ૡሿ 
b)�ሾ૛૞ǡ ૛૛Ǣ ૛૝ǡ ૚ૡሿ 
c) ሾ૛૛ǡ ૛૛Ǣ ૛ૠǡ ૙૙ሿ 
d) ሾ૛૛ǡ ૙૙Ǣ ૛૝ǡ ૙૙ሿ 
e)�ሾ૛૛ǡ ૚ૢǢ ૛ૡǡ ૚ૡሿ 
 
Resolução 
 
O que o exercício está te pedindo é: a 95% de confiança, qual o intervalo que 
corresponde a valores possíveis para a média de peso destas peças? 
 
Ora, o exercício já está te dando o valor (ݖ), haja vista a informação de que o nível 
de confiança é de 95%! Olhando a tabela você verá que o valor de ( ?ǡ ? ? ?), que é a 
metade de ( ?ǡ ? ?), corresponde ao número ?ǡ ? ?��&RORFDQGR�QD�³IyUPXOD´� 
 
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 ݖ ൌ തܺ െ ߤቆටߪ ?݊ ቇ ՜ േ ?ǡ ? ?ൌ ? ?ǡ ? െ ߤ൬ ? ? ? ? ?൰ 
 
Você entende porque estamos lidando com 1,96 em valores positivos e negativos? 
Isso porque queremos encontrar um intervalo de confiança para a média 
populacional, ou seja, o quanto ela pode variar positivamente ou negativamente, de 
forma a observarmos a parte esquerda e direita da curva! Olhem o desenho abaixo 
que vocês entenderão: 
 
 
 
$VVLP��SUHFLVDPRV�HQFRQWUDU�R�YDORU�³Pi[LPR´�H�³PtQLPR´�TXH�VmR�SRVVtYHLV�SDUD�D�
média populacional, dadas as informações que temos. 
 
Assim: ?ǡ ? ?ൌ ? ?ǡ ? െ ߤ ?ǡ ? ՜ ૛૜ǡ ૛ െ ࣆ ൌ ૙ǡ ૢૡ 
 െ ?ǡ ? ?ൌ ? ?ǡ ? െ ߤ ?ǡ ? ՜ ૛૜ǡ ૛ െ ࣆ ൌ െ૙ǡ ૢૡ 
 
Este valor (૙ǡ ૢૡ��p�FKDPDGR�GH�³PDUJHP�GH�HUUR´�� Isso mesmo! É aquele valor 
que os jornais costumam falar quando tratam de campanhas eleitorais. Em nosso 
exemplo, o que esta margem de erro está nos dizendo é que a média populacional 
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será igual a XPD�PpGLD�DPRVWUDO�PDLV�XP�YDORU�TXH�QRV�GDUi�HVWD�³IOXWXDomR´�QRV�
resultados, a saber: 
 ߤ௜௡௙௘௥௜௢௥ ൌ ? ?ǡ ? ? 
 ߤ௦௨௣௘௥௜௢௥ ൌ ? ?ǡ ? ? 
 
Este é nosso intervalo de confiança (ܫܥ): 
 ܫܥ ൌ ሾ ? ?ǡ ? ?Ǣ ? ?ǡ ? ?ሿ 
 
Alternativa (a). 
 
$WHQomR�� (� RV� YDORUHV� TXH� HVWmR� ³IRUD� GD� UHJLmR� GH� DFHLWDomR� GD� KLSyWHVH�
QXOD´"�(VVD�p�FKDPDGD�GH�³5HJLmR�&UtWLFD´��(VWD�GHILQH-se como o conjunto 
de valores para os quais a hipótese nula é rejeitada. 
 
 
Mais um? Vamos lá! 
 
Exercício 3 
 
(BACEN ± FCC\2005) A distribuição dos valores de aluguéis dos imóveis em 
certa localidade é bem representada por uma curva normal com desvio padrão 
populacional de R$ 200,00. Por meio de uma amostra aleatória de 100 imóveis 
neste local, determinou-se um intervalo de confiança para a média destes 
valores de [R$ 540,00;R$ 660,00]. 
A mesma média amostral foi obtida com um outro tamanho de amostra, com o 
mesmo nível de confiança anterior, sendo o novo intervalo [R$ 560,00;R$ 
640,00]. A população tem tamanho infinito, o tamanho da amostra no segundo 
caso é de: 
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a) 225 
b) 256 
c) 324 
d) 400 
e) 625 
 
Resolução 
 
Questão bem difícil! Tem que pensar! Veja o raciocínio que você tem de fazer: 
 
1) Encontre a média amostral; 
2) calcule o valor Z para a primeira amostra; 
3) Com base no Z anterior, encontre o tamanho da amostra. 
 
A média amostral não é difícil de ser calculada, pois já aprendemos isso em aulas 
anteriores: 
 
 ܯ±݀݅ܽ ൌ തܺ ൌ ܮ݅݉݅ݐ݁�ݏݑ݌݁ݎ݅݋ݎ�݀݁�݅݊ݐ݁ݎݒ݈ܽ݋ ൅ ݈݅݉݅ݐ݁�݂݅݊݁ݎ݅݋ݎ�݀݁�݅݊ݐ݁ݎݒ݈ܽ݋ ? ൌ ? ? ? ? ? ൌ ૟૙૙ 
 
Agora fica fácil encontrar o valor (ݖ) para a primeira amostra: 
 ݖ௦௨௣௘௥௜௢௥ ൌ ? ? ?െ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ൌ ? ݖ௜௡௙௘௥௜௢௥ ൌ ? ? ?െ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ൌ െ ? 
 
Ou seja, em valores absolutos (sem considerar sinal), ݖ ൌ ?. Com intuito de 
simplificação, vamos utilizar o limite superior, mas saiba que dá na mesma! 
 
Agora, vamos substituir (ݖ ൌ ?) na equação da segunda amostra de modo que: 
 
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ݖ௦௨௣௘௥௜௢௥ ൌ ? ൌ ? ? ?െ ? ? ? ? ? ? ?݊ 
Realizando a operação: 
 ? ? ? ?݊ ൌ ? ?՜ ࢔ ൌ ૛૛૞ 
 
Alternativa (a). 
 
Retornando à aula! 
 
Bom, vimos que é possível estabelecer um intervalo de confiança de modo a 
garantirmos que, a determinado nível de confiança, os valores possíveis estarão 
contidos em um intervalo descrito. Mas, se nós podemos construir tal intervalo, nós 
também podemos testar hipóteses que são feitas com relação a nossos dados. 
 
-³&RPR�LVVR�p�SRVVtYHO��SURIHVVRU´" 
 
Bom, a primeira coisa que você vai fazer é determinar qual hipótese você está 
testando. Por exemplo, se alguém faz afirmações sobre o valor de um determinado 
parâmetro ߠ, é feita a seguinte hipótese nula (ܪ଴): 
 ܪ଴ǣ�ߠ ൌ ߠ଴ 
 
Este é o nosso exemplo da altura dos indivíduos, a hipótese nula afirma que a 
média de altura dos mesmos é igual à 1,70m. 
 
0DV�� WRGD� KLSyWHVH� FLHQWtILFD� WHP� XPD� ³DOWHUQDWLYD´�� TXH� p� R� FDVR� TXDQGR� R� TXH�
estamos afirmando não é verdade. Esta hipótese alternativa (ܪଵ) pode assumir as 
seguintes formas: 
 ܪଵǣ�ߠ ് ߠ଴ ܪଵǣ�ߠ ൏ ߠ଴ 
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Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 17 de 70ܪଵǣ�ߠ ൐ ߠ଴ 
 
Ou seja, poderíamos concluir que o parâmetro em estudo não é igual ao valor sob 
hipótese nula por se tratar de um valor diferente do mesmo, menor, ou maior, 
respectivamente! 
 
Assim, a nossa hipótese nula seria sempre uma igualdade e teria como alternativa 
um destes casos, sendo que o primeiro necessitaria de uma análise bicaudal, 
enquanto que o segundo e terceiro seriam monocaudais. 
 
Com efeito, isso está intimamente relacionado com o que já estudamos sobre 
³probabilidades monocaudais´ e ³bicaudais´. A ideia aqui seria criar um intervalo de 
confiança para o valor testado, se o mesmo não estivesse contido neste, 
rejeitaríamos a hipótese nula. 
 
Assim, no caso do nosso exemplo de altura dos indivíduos, como nós concluímos 
que 1,70m encontra-se dentro do intervalo de confiança calculado a 95% de 
confiança, podemos afirmar que a afirmação é verdadeira. 
 
Veja que não há nada de novo com relação ao cálculo do intervalo de 
confiança, no fundo é a mesma coisa, só o jeito de olhar que é diferente! 
 
Vamos fazer uns exercícios para entender! Faça este primeiro junto comigo, 
ok? 
 
Exercício 4 
 
(TRF 1ª Região ± FCC/2001/modificada) Julgue a afirmativa. 
 
Seja uma variável aleatória X, com média ࣆ e desvio padrão igual à 5. A partir 
de uma amostra aleatória de 16 elementos, observou-se uma média amostral 
de valor 13. Uma pessoa afirmou que a média populacional dos elementos é 
igual a 15, com 5% de significância. Essa afirmação mostrou-se como 
verdadeira. 
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Resolução 
 
Vamos lá pessoal, a primeira coisa é definir nossas hipóteses nula e alternativa: 
 ܪ଴ǣ�ߤ ൌ ? ? ܪଵǣ�ߤ ് ? ? 
 
Perceba que se trata de um teste bicaudal, pois podemos encontrar valores 
superiores e inferiores a 15��$VVLP��QyV�LUHPRV�XVDU�DTXHOD�³IyUPXOD´�GD�HVWDWtVWLFD�
(ݖ), também chamada de estatística de teste: 
 ݖ ൌ തܺ െ ߤߪ ?݊ 
 
Dado que se trata de uma média! 
 
 
Assim: 
 ݖ ൌ തܺ െ ߤߪ ?݊ ൌ ? ?െ ߤ ? ? 
 
Olhando a nossa tabela, vamos construir um intervalo, supondo verdadeira a 
hipótese nula e que contenha 95% dos possíveis valores amostrais: 
 ݈݅݉݅ݐ݁�ݏݑ݌݁ݎ݅݋ݎ ൌ ?ǡ ? ? 
 ݈݅݉݅ݐ݁�݂݅݊݁ݎ݅݋ݎ ൌ െ ?ǡ ? ? 
 
Você percebeu? Como falamos 5% de significância, isso significa 2,5% de 
cada lado, o que nos leva a um valor de 1,96 na tabela! Assim, quando 
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estivermos trabalhando com testes bicaudais, devemos dividir a significância 
pedida pelo exercício por 2 (dois). 
 
Assim, substituindo o valor de z: 
 ? ?െ ߤ ? ? ൌ ?ǡ ? ?՜ ૚૜ െ ࣆ ൌ ૛ǡ ૝૞ 
 ? ?െ ߤ ? ? ൌ െ ?ǡ ? ?՜ ૚૜ െ ࣆ ൌ െ૛ǡ ૝૞ 
 
Com efeito, nosso intervalo de confiança será: 
 ܫܥ ൌ ሾ ? ?ǡ ? ?Ǣ ? ?ǡ ? ?ሿ 
 
Ou seja, o valor 15 está contido no intervalo! A afirmação é verdadeira! 
 
Outra forma de resolver o exercício é calculando a estatística 
de teste como se a hipótese fosse verdadeira e vendo se o ݖ calculado está dentro 
do intervalo previsto para a variável padronizada. 
 
Assim, calcule a estatística de teste como se a média fosse realmente 15: 
 ݖ ൌ തܺ െ ߤߪ ?݊ ൌ ? ?െ ? ? ? ? ൌ െ૚ǡ ૟૙ 
 
Como seria o intervalo de confiança para os valores padronizados? Este seria dado 
pelos valores de ݖ que fazem com que 95% da amostra esteja em seu intervalo, ou 
seja: 
 ܫܥ ൌ ሾെ ?ǡ ? ?Ǣ ?ǡ ? ?ሿ 
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O valor calculado está no intervalo, portanto aceitamos a hipótese nula! 
 
Alternativa correta. 
 
Para que vocês aprendam o uso de testes monocaudais, vamos refazer o exercício 
com uma pequena modificação! 
 
Exercício 5 
 
(TRF 1ª Região ± FCC/2001/modificada) Julgue a afirmativa. 
 
Seja uma variável aleatória X, com média ࣆ e desvio padrão igual à 5. A partir 
de uma amostra aleatória de 16 elementos, observou-se uma média amostral 
de valor 13. Uma pessoa afirmou que a média populacional dos elementos é 
de, no mínimo, 15, com 5% de significância. Essa afirmação mostrou-se como 
verdadeira. 
 
 
Resolução 
 
Agora a hipótese alternativa é que muda: 
 ܪ଴ǣ�ߤ ൌ ? ? ܪଵǣ�ߤ ൏ ? ? 
 
Lembre-se de que a hipótese nula sempre é avaliada em uma igualdade! 
 
Bom, pelas nossas hipóteses, o valor nunca será superior a 15, portanto só 
precisamos olhar o lado esquerdo da distribuição normal padronizada. Vamos testar 
se a amostra com média igual à 13 é compatível com a afirmação do indivíduo. 
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3HUFHEDP� TXH� WRGRV� RV� ³5�´� ILFDP� GR� ODGR� esquerdo! Aí é diferente na hora de 
consultar a tabela! Como a tabela te dá os valores unicaudais, procure o valor 
respectivo a 45%, que é 1,65! 
 
Esqueça o lado direito! Vamos só testar se a média é menor do que 15 (ou menor 
do que 0 (zero) na versão padronizada)! Neste caso, só faríamos o cálculo para a 
cauda superior: 
 തܺ െ ? ? ? ? ൌ െ ?ǡ ? ?՜ തܺ െ ? ?ൌ െ ?ǡ ? ? ࣆ ൌ ૚૛ǡ ૢ૝ 
 
Assim, nosso intervalo de confiança seria: 
 
 ܫܥଽହ ? ൌ ሾ ? ?ǡ ? ?Ǣ ൅ ?ሿ 
 
Ou seja, o limite superior YDL�DWp�³LQILQLWR´��FREULQGR�WRGDV�D�SRVVLELOLGDGHV��KDYHQGR��
tão somente, um limite mínimo! 
 
Com base nestas considerações podemos concluir que a hipótese nula é 
verdadeira! Pois, mesmo com uma média igual a 15, podemos obter uma média 
amostral de valor 13. 
 
Mais um exercício? 
 
 
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Exercício 6 
 
(BACEN ± FCC/2005) As empresas de um determinado setor têm uma situação 
líquida bem descrita por uma distribuição normal, com média igual a 2,5 
milhões de reais e desvio padrão de 2 milhões de reais. Selecionando uma 
empresa aleatoriamente deste setor, a probabilidade dela apresentar uma 
situação líquida negativa é de: 
 
a) 50% 
b) 39% 
c) 23% 
d) 16% 
e) 11% 
 
Resolução 
 
Outra questão que exige um pouco mais de raciocínio! Atente-se que, neste caso, 
não estamos testando uma média, mas uma variável com distribuição normal. 
Assim, na padronização basta utilizarmos o desvio padrão em nível (sem dividi-lo 
pelo tamanho da amostra, como no caso da média). 
 
Vamos encontrar o valor normalizado para o caso de umasituação líquida nula 
(ܺ ൌ ?): 
 
 ݖ ൌ ܺ െ ߤߪ ൌ ? െ ?ǡ ? ? ൌ െ૚ǡ ૛૞ 
 
Ou seja: 
 
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Agora basta olharmos na tabela a probabilidade correspondente a ݖ ൌ ?ǡ ? ?, isso é, 
qual é a probabilidade de que um valor esteja entre 0 e 1,25. Podem conferir, o valor 
encontrado é 0,39. Assim, toda aquela área amarela corresponde a uma 
probabilidade de 0,39! 
 
Agora, eu te pergunto: qual a probabilidade de ocorrência de um evento na parte 
vermelha da figura (que é o que desejamos saber, dado que o exercício pergunta a 
probabilidade da empresa ter resultado nulo ou negativo)? 
 
Ora, toda a figura tem probabilidade igual a 1, certo? Então, como a distribuição é 
VLPpWULFD��FDGD�³ODGR�GR�VLQR´�WHP�SUREDELOLGDGH�GH�RFRUUrQFLD�LJXDO�D������$VVLP��D�
probabilidade da parte vermelha é: 
 ܲሺݖ ൑ ?ǡ ? ?ሻ ൌ ?ǡ ? െ ?ǡ ? ?ൌ ૙ǡ ૚૚ 
 
Alternativa (e). 
 
1.2 Testando a média quando a variância é desconhecida 
 
Até agora tratamos do caso em que queremos testar um possível valor de média 
populacional, dadas informações sobre uma média calculada com base na amostra 
e na variância populacional. 
 
Mas, isso não é estranho? Se você não tem a média populacional, porque teria a 
variância? O que nós costumamos ter é a variância amostral. 
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Neste caso, a versão padronizada de nossa estatística de teste seria: 
 ܺ െ ߤܵ ?݊ 
 
Sendo ܵ o desvio padrão amostral, dado por: 
 
ܦ݁ݏݒ݅݋�ܲܽ݀ݎ ݋ ൌ ܵ ൌ ඨȭሺݔ௜ െ ݔҧሻଶ݊ െ ? 
 
-³2�TXH�LVVR�PXGD��SURIHVVRU´" 
 
Simples, a distribuição correspondente a esta estatística deixa de ser uma normal 
padrão e torna-se a famosa t de Student. A distribuição t de Student é muito 
parecida com a normal, não necessitando de maiores detalhes sobre a mesma, tal 
como pode ser percebido no gráfico abaixo: 
 
 
 
Assim, pode-se dizer que a expressão acima segue uma distribuição t de Student 
com (݊ െ ?) graus de liberdade. Analiticamente: 
 
 
 
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 ܺ െ ߤܵ ?݊ � ?�ݐሺ௡ିଵሻ 
 
³2�TXH�VmR�HVWHV�JUDXV�GH�OLEHUGDGH��SURIHVVRU´" 
 
Olhe pessoal, isso é um pouco mais avançado e desnecessário para seu concurso, 
portanto decore que o grau de liberdade associado a uma estatística t de Student é 
igual ao tamanho da amostra em questão menos uma unidade. Você precisará 
deste valor para consultar a tabela, como vocês podem ver abaixo: 
 
 
 
 
 
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A forma de utilização desta tabela é buscar o número de graus de liberdade na linha 
e o valor crítico na coluna. Perceba que a coluna tem 2 valores, sendo que o de 
cima corresponde ao valor bicaudal, enquanto que o de baixo é o respectivo valor 
no caso de um teste monocaudal (às vezes a tabela só dá o valor monocaudal). A 
título de exemplo, veja o valor ݐ଴ para o caso de 4 graus de liberdade e 10% de 
significância em um teste monocaudal: 
 
 
 
Pode-se provar que, conforme aumentam os graus de liberdade, a distribuição t 
converge para uma distribuição normal! Assim, a forma de avaliação das duas é 
muito semelhante. 
 
-³3URIHVVRU��FRPR�YRX�GHFRUDU�HVWH�PRQWH�GH�WDEHODV´" 
 
Não se preocupe, a banca vai disponibilizar os valores das tabelas, você só tem que 
aprender como usá-las! 
 
A forma de resolução de problemas com a distribuição t é muito semelhante ao caso 
da normal padrão, tal como vocês poderão perceber nos exercícios abaixo. 
 
 
 
 
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Exercício 7 
 
(TRT 2ª Região ± 2008/FCC) Para uma experiência realizada com referência à 
medição do comprimento de determinada peça fabricada por uma indústria, 
utilizou-se uma amostra de 16 peças, apurando-se uma média de 0,9m e um 
desvio padrão de 0,2m. Supondo que os comprimentos das peças tenham 
distribuição normal, com média ࣆ e variância desconhecida, deseja-se saber, 
ao nível de significância de 5%, se o comprimento da peça não é inferior a 1m. 
Seja H0 a hipótese nula do teste (ࣆ ൌ ૚࢓) e H1 a hipótese alternativa (ࣆ ൏ ૚࢓) 
e ࢚૙ǡ૙૞ ൌ െ૚ǡ ૠ૞ o quantil da distribuição t de Student tabelado para teste 
unicaudal, com 15 graus de liberdade. Então, pelo teste t: 
 
a) A conclusão obtida seria a mesma para qualquer nível de significância 
b) H0 não pode ser aceita, indicando que os comprimentos são menores 
que 1m 
c) O número de graus de liberdade não interferiu na definição de ࢚૙ǡ૙૞ ൌെ૚ǡ ૠ૞ 
d) Para um nível de significância superior a 5% a conclusão não poderia 
ser a mesma 
e) O valor da estatística de teste é de -0,5 
 
Resolução 
 
Bom, pode-se perceber que se trata de um teste monocaudal, ou seja, a região 
OLPLWH� �PXLWDV� YH]HV� FKDPDGD� GH� ³FUtWLFD´�� p� IRUPDGD� SRU� YDORUHV� QD� HVTXHUGD� GR�
gráfico da distribuição. O valor crítico fornecido pelo exercício é: 
 ݐ଴ ൌ െ ?ǡ ? ? 
 
Confira com o valor da tabela, assim você aprende a usá-la caso seja necessário. 
 
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O que este valor está nos mostrando é um intervalo de confiança para testarmos 
nossa estatística de teste, sendo que este é dado por: 
 ܫܥ ൌ ሾെ ?ǡ ? ?Ǣ ?ሿ 
 
O exercício só nos fornece o desvio padrão amostral, assim, temos de utilizar a 
estatística t de Student. Calculando a estatística de teste chegamos a: 
 ݐ ൌ ?ǡ ? െ ? ?ǡ ? ? ? ? ൌ െ ?ǡ ? ?ǡ ? ?ൌ െ૛ 
 
Veja que este valor não está no intervalo de confiança, superando o valor 
crítico inferior do intervalo. Portanto rejeitamos a hipótese nula! 
 
Alternativa (b). 
 
Vamos fazer mais alguns exercícios! Agora vamos dar uma generalizada! 
 
Exercício 8 
 
(ATRFB ± ESAF/2013) A variância da amostra formada pelos valores 2, 3, 1, 4, 
5 e 3 é igual a 
a) 3. 
b) 2. 
c) 1. 
d) 4. 
e) 5. 
 
 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Para calcularmos esta estatística devemos nRV�DWHQWDU�j�SDODYUD�³DPRVWUD´��Perceba 
que, neste caso, a variância deve ser calculada com base na seguinte estatística: 
 ܸܽݎ݅Ÿ݊ܿ݅ܽ ൌ ܵଶ ൌ ȭሺݔ௜ െ ݔҧሻଶ݊ െ ? 
 
Não se esqueça de modificar o denominador por (݊ െ ?). 
 
Agora é fácil: 
 ܯ±݀݅ܽ ൌ ? ൅ ? ൅ ? ൅ ? ൅ ? ൅ ? ? ൌ ૜ 
 
Então: 
 ܵଶ ൌ ሺ ? െ ?ሻଶ ൅ ሺ ? െ ?ሻଶ ൅ ሺ ? െ ?ሻଶ ൅ ሺ ? െ ?ሻଶ ൅ ሺ ? െ ?ሻଶ ൅ ሺ ? െ ?ሻ ? ? ൌ ? ? ? ൌ ૛ 
 
Alternativa (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 9 
 
(FINEP ± CESGRANRIO/2011) Uma amostra aleatória de 100 famílias foi 
selecionada com o objetivo de estimar o gasto médio mensal das famílias com 
medicamentos. Os resultados amostrais estão resumidos na distribuição de 
frequência, a seguir, segundo as classes de gastos, em 10 reais. Não existem 
observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
Gastos em 10 reais Frequência Absoluta 
de 1 a 3 10 
de 3 a 5 30 
de 5 a 7 60 
total 100 
 
 
As melhores estimativas para a média aritmética e para a variância amostral 
são, aproximada e respectivamente, 
 
a) 5 reais e 1,82 reais² 
b) 5 reais e 18,2 reais² 
c) 50 reais e 1,82 reais² 
d) 50 reais e 18,2 reais² 
e) 50 reais e 182 reais² 
 
Resolução 
 
Na aula 01 nós já realizamos parte deste exercício, calculando a média, que era de 
50 reais. Agora, com base no nosso conhecimento de variância amostral, vamos 
calcular esta estatística. A melhor forma é encontrar os pontos médios de cada 
classe: 
 
 
 
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Gastos (em 10 reais) Ponto Médio Frequência Absoluta 
de 1 a 3 2 10 
de 3 a 5 4 30 
de 5 a 7 6 60 
total 100 
 
Agora, calcule a variância: 
 ܵ ? ൌ ? ?ڄ ሺ ? െ ?ሻଶ ൅ ? ?ڄ ሺ ? െ ?ሻଶ ൅ ? ?ڄ ሺ ? െ ?ሻ ? ? ? ?െ ? ൌ ? ? ? ? ?؄ ?ǡ ? ? 
 
Entretanto, cuidado, estamos tratando com unidades de 10 reais, assim, nosso 
resultado é de 182² reais ( ?ǡ ? ?ڄ ? ? ?, pois estamos tratando de variância, assim a 
medida também fica ao quadrado). 
 
Alternativa (e). 
 
Exercício 10 
 
(FINEP ± CESGRANRIO\2011) Dois dados comuns, honestos, foram lançados 
simultaneamente. Sabe-se que a diferença entre o maior resultado e o menor é 
igual a um. Qual é a probabilidade de que a soma dos resultados seja igual a 
sete? 
a) 1/3 
b) 1/4 
c) 1/5 
d) 1/6 
e) 1/7 
 
Resolução 
 
Bom, a primeira coisa a fazer é pensar quais são os resultados cuja soma pode ser 
igual a 7, mas a diferença entre o maior e o menor resultado é igual a 1. 
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Bom, os únicos casos em que isso ocorre são: 
 ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻ 
 
Mas existem várias outras possibilidades de que a diferença entre o maior e menor 
valor seja igual a 1. Vamos listar de cabeça o espaço amostral (ȳ): 
 ȳ ൌ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻǢሺ ?Ǣ ?ሻǢ ሺ ?Ǣ ?ሻ 
 
Assim: 
 ܲሺݏ݋݉ܽ�ݏ݁ݎ� ?ሻ ൌ ܿܽݏ݋ݏ�݂ܽݒ݋ݎžݒ݁݅ݏܿܽݏ݋ݏ�݌݋ݏݏÀݒ݁݅ݏ ൌ ? ? ?ൌ ? ? 
 
Alternativa (c). 
 
 
(TCU ± CESPE/2008) Uma instituição afirma que o custo médio para realização 
de determinada obra é igual ou inferior a R$ 850,00 m². Para avaliar esta 
afirmação, foi realizado um teste estatístico cujas hipóteses nulas e 
alternativas são, respectivamente, H0: ࣆ ൑ ૡ૞૙ e H1: ࣆ ൐ ૡ૞૙. Considere que a 
distribuição de custos por metros quadrados possa ser considerada como 
normal com média ࣆ e desvio padrão de R$ 300m². A partir de uma amostra 
aleatória de tamanho 25, a estatística de teste para a média foi igual a 2,1. Com 
base nestas afirmações, julgue o item a seguir: 
 
Exercício 11 
 
A média amostral produzida pelo teste estatístico foi superior a 950 m² e 
inferior a 1000 m². 
 
 
 
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Resolução 
 
Basta calcularmos a estatística de teste: 
 ݖ ൌ തܺ െ ߤߪ ?݊ ՜ ?ǡ ? ൌ തܺ െ ? ? ? ? ? ? ? ? ? 
 
Calculando o valor de തܺ: 
 തܺ െ ? ? ?ൌ ? ? ?՜ ࢄഥ ൌ ૢૠ૟ 
 
Portanto, o item está correto, pois o valor calculado encontra-se entre 950m² e 
1000m². 
 
Retornando! 
 
2. Teste para a variância 
 
Até agora analisamos hipóteses feitas sobre médias ou variáveis com distribuição 
normal, o que podíamos fazer com base na distribuição normal padrão (ou t de 
Student, caso não conheçamos a variância). Agora vamos aprender como 
determinar intervalos de confiança para variâncias, que sejam derivadas de 
distribuições normais (isso é muito importante). 
 
-³&RPR�ID]HU�LVVR��SURIHVVRU´" 
 
A forma de fazer isso é por meio do cálculo da seguinte estatística de teste: 
 
 
 
 ሺ݊ െ ?ሻ ڄܵ ?ߪ ? 
 
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Sendo ߪ ? a variância populacional, ܵ ? a variância amostral e ݊ o tamanho da 
amostra. 
 
Sob a hipótese nula, pode-se provar que esta estatística seguirá uma distribuição 
qui-quadrado com ሺ݊ െ ?ሻ graus de liberdade. Assim: 
 ሺ݊ െ ?ሻ ڄ ܵଶߪଶ ?� ௡߯ିଵଶ 
 
A distribuição qui-quadrado, em geral, não é simétrica, tal como pode ser observado 
abaixo: 
 
 
 
Portanto, a forma de realização do teste de hipóteses para a variância é feito da 
mesma forma que para a média, mas utilizamos a estatística de teste qui-quadrado, 
além da necessidade de atentarmos para o fato de que os valores na cauda direita e 
esquerda serão diferentes! 
 
Veja a tabela de valores críticos qui-quadrado: 
 
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Calma, vou ensinar a vocês com exercícios! 
 
 
 
 
 
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Exercício 12 
 
(TRT 3ª Região ± FCC/2009) O peso de pacotes de café é uma variável aleatória 
X. Uma máquina de encher pacotes está regulada para fazê-lo com ࣆ ൌ ૞૙૙ࢍ e ࣌ ? ൌ૚૙૙ࢍ ?. Com o objetivo de manter sob controle a variabilidade do produto, 
a cada 30 minutos uma amostra aleatória de alguns pacotes é selecionada e 
testa-se se a variabilidade está controlada. Assim, desejando-se testar H0: ࣌ ? ൌ૚૙૙ contra H1:�࣌ ? ്૚૙૙, toma-se uma amostra de 16 pacotes e observa-
se uma variância amostral de 160g². O valor observado para a estatística de 
teste é de: 
a)31 
b)28 
c)24 
d)22 
e)19 
 
Resolução 
 
O cálculo da estatística de teste é feito da seguinte forma: 
 ሺ݊ െ ?ሻ ڄ ܵଶߪଶ ൌ ሺ ? ?െ ?ሻ ڄ ? ? ? ? ? ?ൌ ૛૝ 
 
Alternativa (c). 
 
Exercício 13 
 
(Elaborado pelo autor) Com base no exercício anterior, a 5% de significância, 
verifique se a hipótese nula é satisfeita. 
 
 
 
 
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Resolução 
 
A forma de olhar a tabela é um pouco diferente dos casos anteriores, pois a 
distribuição não é simétrica. Portanto, no caso em questão, devemos verificar as 
duas extremidades da distribuição, ou seja, os 2,5% da extremidade inferior e os 
97,5% da extremidade superior, de forma que tenhamos um total de 5% de 
significância testada. Olhando a tabela vocês encontrarão: 
 ݈݅݉݅ݐ݁�ݏݑ݌݁ݎ݅݋ݎ�ሺ ? ?ǡ ? ?ሻ ൌ ? ?ǡ ? ݈݅݉݅ݐ݁�݂݅݊݁ݎ݅݋ݎ�ሺ ?ǡ ? ?ሻ ൌ ?ǡ ? ? 
 
Entendeu o que fizemos? Como a distribuição não é simétrica, precisamos 
encontrar os valores para os limites superior e inferior individualmente e assim 
estabelecer o intervalo de confiança, que no nosso caso é: 
 ܫܥ ൌ ሾ ?ǡ ? ?Ǣ ? ?ǡ ?ሿ 
 
Como o valor calculado está dentro do intervalo, aceitamos a hipótese nula. 
 
3. Poder de um teste e o p-valor 
 
Suponha que estejamos tentando determinar se uma moeda é ou não viciada. 
Neste caso, podemos testar essa hipótese com base na quantidade de caras que 
ocorrem em uma determinada quantidade de lançamentos. Assim, as hipóteses 
nulas e alternativas com relação à probabilidade de ocorrer cara são: 
 ܪ଴ǣ ݌ ൌ ?ǡ ? ܪଵǣ ݌ ് ?ǡ ? 
 
Agora, vamos determinar a significância do nosso teste, ou seja, o que é muita 
coincidência! Por suposição, vamos considerar que o nosso nível de significância é 
de 10%. 
 
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A probabilidade de ocorrer uma cara no primeiro lançamento é de 0,5. Assim, qual é 
a probabilidade de ocorrerem duas caras seguidas? 
 ܲሺ ?�ܿܽݎܽݏሻ ൌ ?ǡ ? ڄ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ? 
 
Com base em nosso nível de significância, isso é possível de ocorrer, pois 10% que 
é muita coincidência. E se tirarmos outra cara em um terceiro lançamento? 
 ܲሺ ?�ܿܽݎܽݏሻ ൌ ?ǡ ? ڄ ?ǡ ? ڄ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ? ? 
 
Isso continua sendo possível! E se fosse 4 vezes? 
 ܲሺ ?�ܿܽݎܽݏሻ ൌ ?ǡ ? ڄ ?ǡ ? ڄ ?ǡ ? ڄ ?ǡ ? ൌ ?ǡ ? ? ? ? 
 
Perceba que este valor é inferior à significância do teste, portanto isso seria muita 
coincidência! Neste caso, rejeitaríamos a hipótese nula de que a moeda é honesta. 
 
Este valor (6,25%) seria o p-valor para este experimento. O p-valor seria o valor 
limite entre a aceitação e rejeição da hipótese nula. Em termos mais analíticos, 
pode-se definir o p-valor como o menor nível de significância em que a 
hipótese nula pode ser rejeitada. No exemplo, como o p-valor (6,25%) é menor do 
que o nível de significância adotado, rejeita-se a hipótese nula! 
 
Fique calmo, nós já vamos fazer uns exercícios que vão te ajudar a entender o 
conceito! 
 
-³7XGR�EHP�SURIHVVRU��PDV�H�VH�HX�UHDOL]DU�XP�WHVWH�GH�KLSyWHVH�TXH��DSHVDU�
GH�UHMHLWDU�XPD�GHWHUPLQDGD�KLSyWHVH�QXOD��HOH�HVWLYHU�LQFRUUHWR´" 
 
 
 
 
 
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Não vou mentir, esta é uma possibilidade! Na verdade, esta 
SUREDELOLGDGH� WHP� DWp� XP� QRPH�� ³HUUR� WLSR� �´. O erro tipo 1 ocorre quando 
rejeitamos uma hipótese nula, quando na verdade ela é verdadeira. No caso da 
moeda, nosso teste de hipóteses está rejeitando a hipótese nula de uma moeda 
honesta, mas isso não é certo, pois, apesar de pouco provável, aquele resultado 
pode acontecer. 
 
No nosso exemplo, o erro tipo 1 seria a probabilidade de que estivéssemos na parte 
³LPSURYiYHO´� GD� FXUYD� GH� GLVWULEXLomR�� RX� VHMD�� Qos valores definidos pela 
significância de 10%. Portanto fica fácil ver que: 
 ܲሺ݁ݎݎ݋�ݐ݅݌݋� ?ሻ ൌ ݏ݂݅݃݊݅݅ܿŸ݊ܿ݅ܽ�݀݋�ݐ݁ݏݐ݁ 
 
,VVR�ILFD�FODUR�TXDQGR�SHQVDPRV��TXDO�D�SUREDELOLGDGH�GH�R�YDORU�³YHUGDGHLUR´�QmR�
estar no intervalo de confiança a ser definido por nós? Ora, nos valores que 
FRQVLGHUDPRV�³PXLWD�FRLQFLGrQFLD´� 
 
Outro erro possível ocorre quando aceitamos a hipótese nula quando ela é falsa! 
Este é o erro tipo 2! 
 
Neste caso, temos um problemão aqui! Pense comigo, este valor nós não temos 
acesso, haja vista não conhecermos a distribuição que contem o valor verdadeiro 
que estamos procurando. Com base na figura abaixo, pode-se inferir um caso em 
que aceitaríamos a hipótese nula apesar de ela ser falsa. 
 
 
 
 
 
 
 
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Você percebe o que está ocorrendo? A primeira curva seria relativa aos dados que 
estamos testando, enquanto que a segunda seria relativa à verdadeira distribuição 
da variável. A parte escura está dentro de nossa região de aceitação, mas ela não 
contem o valor verdadeiro. 
 
-³(�VH�HX�GLPLQXLU�R�QtYHO�GH�VLJQLILFkQFLD�SDUD�VHU�PDLV�ULJRURVR´" 
 
Não tem jeito, é o problema do cobertor curto. Se você reduz a probabilidade de 
erro tipo 1, você aumenta a probabilidade do erro tipo 2! Isso porque o que você vai 
ID]HU�p�TXH�PDLV�YDORUHV�SRVVDP�VHU�FRQVLGHUDGRV�FRPR�³FRUUHWRV´��DXPHQWDQGR�D�
chance de que outras distribuições possam ter valores considerados como 
verdadeiros, quando não o são. 
 
O erro de tipo 2 é importante para definir a efetividade de um teste, fixando o poder 
do teste. Se chamarmos a probabilidade de erro tipo 2 de ߚ, o poder do teste será 
dado por: 
 ܲ݋݀݁ݎ�݀݋�ܶ݁ݏݐ݁ ൌ ? െ ሺܲ݁ݎݎ݋�ݐ݅݌݋�?ሻ ൌ ? െ ߚ 
 
Este valor nos diz qual a probabilidade de que um determinado teste rejeite a 
hipótese nula quando ela é falsa. 
 
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-³0DV��FRPR�PHOKRUDU�D�HILFLrQFLD�GH�PLQKDV�HVWLPDWLYDV��SURIHVVRU´" 
 
9RFr� SUHFLVD� GHL[DU� VXDV� GLVWULEXLo}HV� PDLV� ³ILQLQKDV´�� RX� VHMD�� FRP� PHQRU�
variância, deste modo diminuímos a probabilidade dos dois erros. Isso só é possível 
com amostras maiores. Portanto, uma amostra maior pode ser vista como uma 
TXDQWLGDGH�PDLRU�GH�³SURYDV´�SDUD�QRVVDV�FRQFOXV}HV��R�TXH�aumenta a acurácia de 
nossas previsões. 
 
Bom, estudamos vários testes de hipóteses, mas 
focamos no caso de variáveis com distribuição normal! Este não é o único 
tipo de distribuição conhecida, o que pode mudar a forma de abordagem do 
teste de hipóteses. 
 
4. Teste para proporções 
 
Vamos fazer um exercício juntos para que vocês possam entender bem como 
funciona este teste. Perceba que se trata de um caso com uma amostra grande 
(1000 elementos). Em geral, quando você vir uma amostra de mais 50 
elementos, pode usar a distribuição normal. Além disso, pelo formato do 
exercício vocês vão saber quando é um caso ou outro. Você vai ver! 
 
Exercício 14 
 
(Petrobrás ± CESGRANRIO/2010) Um fabricante deseja fazer um estudo, com 
confiança de 95%, a respeito da aceitação de seu novo produto. Esse novo 
lançamento só será comercializável se o índice de aceitação for de, pelo 
menos, 90%. Para tal, realizou uma pesquisa em uma cidade na qual o produto 
já foi comercializado. Foi perguntado aos consumidores se estes gostaram do 
produto. O resultado foi o seguinte: 850 consumidores responderam que 
gostaram e 150 que não gostaram. Qual será a estatística de teste a ser 
utilizada neste teste? 
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a) -5,27 
b) -1,96 
c) -1,65 
d) 1,96 
e) 5,27 
 
Resolução 
 
No presente caso estamos tratando com um caso de distribuição Bernoulli. Não 
percebeu? Ao escolhermos um consumidor ao acaso, temos 85% ( ? ? ?ൊ ? ? ? ?) de 
chance de encontrar alguém que gosta do produto. Ou seja, estamos comparando 
XPD� SURSRUomR� GH� ³VXFHVVR´� FRP� XPD� SURSRUomR� ³WHyULFD´� H� YHULILFDQGR� VH� D�
amostra permite concluir que a teoria está adequada. 
 
%RP��YDPRV�QRV�OHPEUDU�GDTXHOD�³IyUPXOD´�GD�HVWDWtVWLFD�GH�WHVWH� 
 ݖ ൌ ݔҧ െ ߤߪ 
 
Assim, na média, temos 85% de chance de acertar! Essa é nossa média amostral 
(ݔҧ). Por simplicidade, vamos chamar a este valor de (݌Ƹ). 
 
-³,VVR�p�XPD�SURSRUomR�PpGLD��SURIHVVRU´" 
 
Sim, pois o percentual de 85% nem sempre pode bater com o valor encontrado. Por 
exemplo, se você extrair uma amostra de 20 indivíduos deste total, isso significa que 
você encontrará, exatamente, 17 pessoas que gosta do produto? Não! Pode ser que 
você não encontre nenhuma! O que você sabe é que, na média, 85% das pessoas 
analisadas preferem o produto, ou seja, se você realizar este experimento infinitas 
vezes 85% das pessoas irão gostar. 
 
Qual o parâmetro que estamos comparando com essa média? Nós queremos saber 
se, na média e com base no que sabemos da amostra, podemos assumir como 
verdadeira a hipótese feita sobre a população, de que a média de preferências que 
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pode ser encontrada é de 90%. Esse é nosso parâmetro populacional (ߤ). Vamos 
chamar a este parâmetro de (݌). 
 
E a variância? Nós já sabemos como calcular a variância de uma binomial: 
 ܸܽݎሺݔሻ ൌ ݌ ڄ ሺ ? െ ݌ሻ 
 
Então, nós temos como saber qual a variância da população se hipótese feita for 
verdadeira: 
 ݌ ڄ ሺ ? െ ݌ሻ ൌ ?ǡ ? ڄ ?ǡ ? ൌ ૙ǡ૙ૢ 
 
Mas, devido ao fato de que estamos tratando de uma proporção média, 
devemos nos lembrar da fórmula para o estimador não viesado da variância 
da média amostral: 
 ܸܽݎሺݔሻ ൌ ߪ ?݊ 
 
Portanto, combinando tudo isso que falamos, a nossa fórmula modificada para 
testes em proporções seria: 
 
 
 
 
Viu? No fundo é a mesma coisa, o que muda mesmo é o cálculo da variância! 
Vamos aplicar ao caso concreto para entendermos. A variância do processo seria: 
 ܸܽݎሺ݌ሻ ൌ ߪ ?݊ ൌ ?ǡ ? ? ? ? ? ? 
 
 ࢠ ൌ ࢖ෝ െ ࢖ට࢖ ڄ ሺ૚ െ ࢖ሻ࢔ 
 
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Sendo que o desvio padrão respectivo seria: 
 
ܦ݌ሺ݌ሻ ൌ ඨߪ ?݊ ൌ ඨ ?ǡ ? ? ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? ? ? ? ? ? 
 
Colocando tudo na estatística de teste, chegamos a: 
 ݖ ൌ ݌Ƹ െ ݌ܦ݌ሺ݌ሻ ൌ ?ǡ ? ?െ ?ǡ ? ?ǡ ? ? ? ? ? ? ൌ െ ?ǡ ? ?ڄ ? ? ? ? ? ?ǡ ? 
 
Exercício chato de cálculo! Uma forma de resolver é pensar, mais ou menos, quanto 
seria a raiz quadrada de 1000. Pense 20² é 400, 30² é 900 e 40² é 1600, opa, pare 
aí mesmo! Deve ser um número entre 30 e 40, só que bem mais próximo de 30, 
então deve ser inferior a 35. Se você fizer 31² você chegará à 961. Este é o valor 
mais próximo! 
 
Então vamos fazer um cálculo aproximado: 
 ݖ ൌ െ ?ǡ ? ?ڄ ? ? ? ? ? ?ǡ ? ؄ െ ?ǡ ? 
 
O que chega mais próximo é a alternativa (a). Esta é a correta! Faça com a 
calculadora e confirme o raciocínio. 
 
Entenderam como se calcula a estatística de teste? 
 
Agora, podemos testar essa hipótese, fixando a hipótese nula de que ݌ ൌ ?ǡ ? e a 
hipótese alternativa de que ݌ ൏ ?ǡ ?. Assim: 
 ܪ଴ǣ ݌ ൌ ?ǡ ? ܪଵǣ ݌ ൏ ?ǡ ? 
 
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Se formos testar a hipótese a 10% de significância, basta olharmos a tabela da 
normal padronizada para encontrarmos o valor do intervalo: 
 ݖ ൌ ሾെ ?ǡ ? ?Ǣ ?ǡ ? ?ሿ 
 
Lembre-se de que este é um teste monocaudal, portanto, vocês devem procurar 
uma probabilidade de, aproximadamente 0,40 na tabela! 
 
Se você comparar a estatística de teste com o intervalo construído, você perceberá 
que a mesma não está contida neste último, portanto, rejeita-se a hipótese nula. 
 
Entendeu? Não tem segredo! Agora, vamos treinar um pouco para aprender 
de verdade. Alguns exercícios podem ter uns macetes que falta ensinar, mas 
pode deixar que eu aviso antes para que vocês acompanhem a resolução. 
 
Chega de lero lero, vamos exercitar! 
 
 
(TCU ± CESPE/2008) Uma instituição afirma que o custo médio para realização 
de determinada obra é igual ou inferior a R$850,00 m². Para avaliar esta 
afirmação, foi realizado um teste estatístico cujas hipóteses nulas e 
alternativas são, respectivamente, H0: ࣆ ൑ ૡ૞૙ e H1: ࣆ ൐ ૡ૞૙. Considere que a 
distribuição de custos por metros quadrados possa ser considerada como 
normal com média ࣆ e desvio padrão de R$ 300m². A partir de uma amostra 
aleatória de tamanho 25, a estatística de teste para a média foi igual a 2,1. Com 
base nestas afirmações, julgue o item a seguir: 
 
 
 
 
 
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Exercício 15 
 
O poder do teste que representa a probabilidade de se aceitar corretamente a 
hipótese nula é de 98,2%. 
 
Resolução 
 
Simples pessoal. Está errado! O poder de um teste é a probabilidade de se rejeitar a 
hipótese nula dada que ela é falsa. 
 
Exercício 16 
 
(DNOCS ± FCC/2010) Em um teste de hipóteses estatístico, sendo H0 a 
hipótese nula e H1 a hipótese alternativa, o nível de significância do teste 
consiste na probabilidade de: 
a) Aceitar H0 dado que H0 é verdadeira 
b) Rejeitar H0 dado que H0 é falsa 
c) Aceitar H0, independentemente de falsa ou verdadeira 
d) Aceitar H0, dado que é falsa 
e) Rejeitar H0, dado que é verdadeira 
 
Resolução 
 
O nível de significância de um teste é a probabilidade de cometer o erro tipo 1, isso 
é, a probabilidade de rejeitar H0 dado que ela é verdadeira. 
 
Alternativa (e). 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 17 
 
(Petrobras ± CESGRANRIO/2010) Em um teste de hipóteses estatístico, sendo 
H0 a hipótese nula e H1 a hipótese alternativa, cometer erro tipo 2 consiste 
em: 
a) Rejeitar H0, dado que é verdadeira 
b) Aceitar H0, dado que é falsa 
c) Aceitar H1, sendo H1 verdadeira 
d) Rejeitar H1, sendo H1 falsa 
e) Aceitar H0 e H1 
 
Resolução 
 
A probabilidade de erro tipo 2 é a de aceitar H0, dado que a mesma é falsa. 
 
Alternativa (b). 
 
Exercício 18 
 
(STN ± ESAF/2013) Em um teste de hipóteses, onde Ho é a hipótese nula e Há 
é a hipótese alternativa, pode-se afirmar que: 
a) ocorre Erro Tipo I quando aceita-se Ho e Ho é falsa. 
b) a estatística F de Snedecor tem por finalidade testar o efeito individual de 
cada variável explicativa sobre a variável explicada. 
c) a soma das probabilidades dos Erros Tipo I e Tipo II é igual a 1. 
d) se o valor-p de um teste de hipóteses for igual 0,015, então a hipótese nula 
será rejeitada ao nível de significância de 5%, mas não ao nível de 
significância de 1%. 
e) o nível de confiança é a probabilidade de se cometer Erro Tipo II. 
 
 
 
 
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Resolução 
 
Vamos analisar uma a uma: 
a) Errado, é o nível de significância do teste. 
b) Na última aula vocês vão aprender a estatística F, mas está errado! 
c) Essa propriedade não existe. 
d) Perfeito, como o p-valor é menor do que 0,05 e maior do que 0,01, rejeitamos 
a hipótese nula a 5% e aceita-se a 1%. 
e) Não, este é o erro tipo 2. 
 
Alternativa (d). 
 
Exercício 19 
 
(ISS-SP ± FCC/2006) Uma variável aleatória X tem distribuição normal com 
média ࣆ e desvio padrão 100. O tamanho da amostra para que a diferença, em 
valor absoluto, entre a média amostral e ࣆ seja menor do que 2, com 
coeficiente de confiança de 89% é: 
a)1100 
b)2200 
c)2800 
d)3600 
e)6400 
 
Resolução 
 
2OKH�� TXDQGR� R� H[HUFtFLR� WH� GL]� ³GLIHUHQoD� HQWUH� PpGLD� DPRVWUDO� H� ߤ´�� HOH� HVWi�
falando de: 
 തܺ െ ߤ ൌ ? 
 
Sabendo que um nível de confiança de 89% corresponde a um valor de 0,445 de 
cada lado. Olhe a tabela normal, você verá que o valor encontrado é de 1,6. 
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Agora basta substituirmos na estatística de teste: 
 ݖ ൌ തܺ െ ߤߪ ?݊ ՜ ?ǡ ? ൌ ? ? ? ? ?݊ 
 
Agora vamos operar: 
 ?݊ ൌ ? ? ? ? ڄ ?ǡ ? ՜ ݊ ൌ ൬ ? ? ? ? ڄ ?ǡ ?൰ଶ 
 ࢔ ൌ ૟૝૙૙ 
 
Alternativa (e). 
 
(ANPEC ± 2012) Julgue as afirmativas. 
 
Exercício 20 
 
Se o p-valor de um teste é maior do que o nível de significância adotado, 
rejeita-se a hipótese nula. 
 
Resolução 
 
É exatamente o contrário, caso o p-valor seja inferior ao nível de significância, aí sim 
rejeita-se a hipótese nula. 
 
Alternativa errada. 
 
 
 
 
 
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Exercício 21 
 
Suponha que o objetivo seja testar a hipótese nula de que a média 
populacional ࣆ é igual a 0. Se esta hipótese é rejeitada num teste monocaudal 
contra a hipótese alternativa de que ࣆ ൐ ૙, ela também será rejeitada num 
teste bicaudal contra a hipótese alternativa de que ࣆ ് ૙, adotando-se o 
mesmo nível de significância. 
 
Resolução 
 
A um mesmo nível de significância, o valor crítico será um número superior (em 
número absoluto) em um teste bicaudal do que em um monocaudal. 
 
Por exemplo, compare um nível de significância de 10% em um teste bicaudal, que 
nos dá um valor (ݖ ൌ ?ǡ ? ?), enquanto que em um monocaudal o valor passa a ser 
(ݖ ൌ ?ǡ ? ?). 
 
Assim, para uma mesma estatística de teste, nada garante que, se o valor supera o 
valor de (ݖ) monocaudal, o mesmo será superior ao valor bicaudal para um mesmo 
nível de significância. 
 
Alternativa errada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício 22 
 
(Gestor fazendário ± ESAF/2005) Lança-se uma moeda 20 vezes e observa-se a 
ocorrência de 7 caras. Seja ࣂ a probabilidade de cara. Assinale a opção que dá 
o valor da estatística de teste correspondente ao teste ࡴ૙ǣ�ࣂ ൒ ૙ǡ ૞ contra ࡴ૚ǣ�ࣂ ൏ ૙ǡ ૞. 
a) െ૙ǡ ૜ ?૛૙ 
b) െ૙ǡ ૛ ?૛૙ 
c) ૙ǡ ૜ ?૛૙ 
d) ૙ǡ ૛ ?૛૙ 
e) ૙ǡ ૞ ?૛૙ 
 
Resolução 
 
Bom, vamos testar esta moeda que mostra uma probabilidade de obter cara de: 
 ݌Ƹ ൌ ? ? ?ൌ ૙ǡ ૜૞ 
 
Agora só precisamosusar a fórmula de estatística de teste: ݖ ൌ ݌Ƹ െ ݌ට݌ ڄ ሺ ? െ ݌ሻ݊ 
Assim, substituindo os valores: ݖ ൌ ݌Ƹ െ ݌ට݌ ڄ ሺ ? െ ݌ሻ݊ ൌ ?ǡ ? ?െ ?ǡ ?ට ?ǡ ? ? ?ǡ ? ? ? ൌ െ ?ǡ ? ?ڄ ? ? ? ?ǡ ? ൌ െ ?ǡ ? ? ? ? ? 
 
Alternativa (a). 
 
A próxima vale a pena vocês acompanharem primeiro! 
 
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Exercício 23 
 
(ICMS-MG ± ESAF/2005) Um fabricante afirma que, pelo menos, 95% dos 
equipamentos que fornece à indústria encontram-se dentro de suas 
especificações. Uma amostra de 200 itens escolhidos ao acaso revelou 10 
itens fora de especificação. Assinale a opção que corresponde ao valor 
probabilístico (p-valor) do teste ࡴ૙ǣ�ࣂ ൒ ૙ǡ ૢ૞ contra ࡴࢇǣ�ࣂ ൏ ૙ǡ ૢ૞, sendo ࣂ a 
proporção populacional dos itens dentro das especificações. 
a) 0,5 
b) 0,05 
c) 0,025 
d) 0,01 
e) 0,1 
 
Resolução 
 
9DPRV�XWLOL]DU�D�PHVPD�³IyUPXOD´�SDUD�estatística de teste do exercício anterior: 
 ݖ ൌ ݌Ƹ െ ݌ට݌ ڄ ሺ ? െ ݌ሻ݊ 
 
A questão agora é que o que é pedido é o p-valor. Mas, o que é o p-valor? Vamos 
lembrar-nos da aula anterior: ³Em termos mais analíticos, pode-se definir o p-
valor como o menor nível de significância em que a hipótese nula pode ser 
UHMHLWDGD´� 
 
Então, em termos práticos, o que estamos fazendo? Nós vamos calcular, por meio 
da estatística de teste, os valores que estão dentro de um intervalo de confiança 
definido para a proporção. O p-valor será a probabilidade de obtermos valores 
extremos, além do intervalo de confiança definido para a proporção. 
 
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Vamos aplicar no nosso exemplo, sendo que, para isso, temos de calcular a 
proporção amostral: 
 ݌Ƹ ൌ ? ? ? ? ? ?ൌ ૙ǡ ૢ૞ 
 
Vamos substituir na estatística de teste: 
 ݖ ൌ ?ǡ ? ?െ ?ǡ ? ?ට݌ ڄ ሺ ? െ ݌ሻ݊ ൌ ૙ 
 
Veja que nem precisamos calcular o denominador, pois o numerador é igual à zero. 
 
O que este resultado está nos dizendo? Olhe o gráfico abaixo: 
 
 
 
Nós estamos bem no centro da distribuição, o que nos leva à conclusão de que 
estamos em um ponto que divide a distribuição em duas partes iguais de 50% de 
chance. 
 
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Qual o p-valor? É a probabilidade de estarmos à direita do ݖ calculado, ou seja, nos 
valores extremos delimitados pelo intervalo de confiança. Portanto, o p-valor será 
de: 
 ݌ െ ݒ݈ܽ݋ݎ ൌ ? െ ?ǡ ? ൌ ૙ǡ ૞ 
 
Alternativa (a). 
 
 
(ICMS-RJ ± FCC\2013) Para responder às questões de números 24 a 25, 
considere as informações a seguir: 
Se Z tem distribuição normal padrão, então: 
P(Z < 0,8) = 0,788; P(Z < 1,25) = 0,894; P(Z < 1,4) = 0,92; 
P(Z < 1,64) = 0,95; P(Z < 1,96) = 0,975; P(Z < 2) = 0,977 
 
 
Exercício 24 
 
Seja p a probabilidade de ocorrer cara quando se lança uma determinada 
moeda. Com base em 100 lançamentos da moeda, deseja-se testar a hipótese 
de que a moeda é não viciada (p = 0,5) contra a alternativa de que p = 0,8. Com 
base na variável aleatória ࢖ෝ que representa a proporção de caras em 100 
lançamentos estabeleceu-se para o teste a seguinte região crítica (RC): RC = 
{࢖ෝ •� ����`� 6HQGR� ȕ� D� SUREDELOLGDGH� GR� HUUR� GR� WLSR� ,,, e admitindo-se a 
aproximação à normal para a distribuição de࢖ෝ��R�YDORU�GH�ȕ�p 
a) 0,150 
b) 0,250 
c) 0,106 
d) 0,053 
e) 0,125 
 
 
 
 
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Resolução 
 
O erro tipo II é a probabilidade de aceitarmos a hipótese nula dado que ela é falsa. 
O exercício fala que a região crítica é dada pelos valores nos quais a proporção é 
maior ou igual a 0,75. 
 
Para fazer isso, precisamos encontrar a probabilidade de que encontremos um valor 
menor do que 0,75, sabendo-se que a média do processo é 0,8. 
 
Antes de começarmos, atente-se que se trata de um caso de teste de jipóteses com 
proporções! Assim, vamos usar nossa fórmula: 
 ݖ ൌ ݌Ƹ െ ݌ට݌ ڄ ሺ ? െ ݌ሻ݊ ൌ ?ǡ ? ?െ ?ǡ ?ට ?ǡ ? ڄ ሺ ?ǡ ?ሻ ? ? ? ൌ െ૚ǡ ૛૞ 
 
Ou seja, com base no enunciado: 
 ܲሺܼ ൏ ?ǡ ? ?ሻ ൌ ܲሺܼ ൐ െ ?ǡ ? ?ሻ ൌ ?ǡ ? ? ? 
 
Essa é a probabilidade de encontrarmos um valor maior do que 0,75, mas nós 
queremos exatamente o contrário! 
 
Portanto, a probabilidade de encontrarmos um valor menor do que 0,75 significa 
HQFRQWUDU�XP�YDORU�GH�HVWDWtVWLFD�=�³PDLV�QHJDWLYR´��RX�PDLV�³j�HVTXHUGD´�GD�FXUYD�
de distribuição normal. 
 ? െ ሺܼܲ ൐ െ ?ǡ ? ?ሻ ൌ ?ǡ ? ? ? 
 
Alternativa (c). 
 
 
 
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Exercício 25 
 
O tempo necessário para o atendimento de uma pessoa em um guichê de uma 
repartição pública tem distribuição normal com média ȝ� � ���� VHJXQGRV� H�
GHVYLR� SDGUmR� ı� � ��� VHJXQGRV�� $� SUREDELOLGDGH� GH� TXH� XP� LQGLYtGXR��
aleatoriamente selecionado, espere entre 3 e 4 minutos para ser atendido é 
a) 0,765 
b) 0,632 
c) 0,235 
d) 0,189 
e) 0,678 
 
Resolução 
 
9DPRV�WUDEDOKDU�FRP�D�XQLGDGH�³VHJXQGRV´� 
 ?�݉݅݊ݑݐ݋ݏ ൌ ? ? ?� ?�݉݅݊ݑݐ݋ݏ ൌ ? ? ? 
 
Precisamos encontrar a diferença entre a probabilidade de o indivíduo esperar 4 
minutos e 3 minutos a fim de respondermos a questão. Assim, a probabilidade de o 
indivíduo esperar até 3 minutos: 
 ݖ ൌ ? ? ?െ ? ? ? ? ? ൌ ? ? ? ?ൌ ?ǡ ? 
Com base no enunciado: 
 ܲሺܼ ൏ ?ǡ ?ሻ ൌ ?ǡ ? ? ? 
 
Já a chance de o indivíduo esperar entre 0 e 4 minutos é: 
 ݖ ൌ ? ? ?െ ? ? ? ? ? ൌ ? ? ? ? ?ൌ ? 
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Assim: 
 ܲሺܼ ൏ ?ሻ ൌ ? ? ? ? 
 
O que estamos procurando é: 
 ܲሺ ?ǡ ? ൏ ܼ ൏ ?ሻ ൌ ܲሺܼ ൏ ?ሻ െ ܲሺܼ ൏ ?ǡ ?ሻ ൌ ?ǡ ? ? ?െ ?ǡ ? ? ?ൌ ?ǡ ? ? ? 
 
Alternativa (d). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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