TeoremasB - slides

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Teoremas Booleanos
x . 0 = 0
x . 1 = x
x . x = x
x . x = 0
x + 0 = x
x + 1 = 1
x + x = x
x + x = 1
x + y = y + x
x . y = y . x
x + (y + z) = (x + y) + z =
= (x + z) + y = x + y + z
x (y z) = (x y) z = (x z) y = x y z
x (y + z) = x y + x z
(w + x) (y + z) = wy + xy + wz + xz 
x + x y = x
x + x y = x + y
x + x y = x + y
A propriedade era a seguinte:
X + (/X)Y = X + Y
X + (/X)Y
X*1 + (/X)Y
X(1+Y) + (/X)Y
X + XY + (/X)Y
X + Y[ X + (/X) ]
X + Y
Teoremas Booleanos - continuação
x  0 = x
x  1 = x (*)
x  x = 0
x  x = 1
lembrete: A  B = A B + A B
a = a 
George Boole ( 2 de Nov. de 1815 — 8 de Dez. de 1864) foi um 
matemático e filóloso britânico, criador da Álgebra Booleana, 
fundamental para o desenvolvimento da computação moderna.
Seu pai tinha uma pequena loja de sapatos. O que se esperava das crianças
desta classe era que aprendessem o mínimo de catecismo para que não
ultrapassassem o limite de obediência aos que se encontravam em boa
situação financeira. Os filhos destes aprendiam um pouco de Latim,e não
Grego, passando a ser considerados senhores. Na escola por ele freqüentada,
o latim não era ensinado. Resolveu aprender esta língua por acreditar ser
este o caminho para uma posição superior. A única orientação que pôde
obter foi a do dono de uma livraria que lhe deu algumas noções de
gramática. Continuou sozinho e, aos doze anos, traduziu os versos de
Horácio para o Inglês. Seu pai, orgulhoso, levou o trabalho para o jornal
local que o publicou, deflagrando duas correntes: uma elogiando e outra
humilhando Boole.
Um professor de línguas clássicas duvidou de que um menino de doze anos
pudesse realizar tal tradução. Desafiado, decidiu melhorar o domínio de Latim,
acrescentando o Grego. O aprendizado inicial de Matemática lhe foi dado por
seu pai. Tendo terminado a escola pública fez um curso comercial, tornando-se
mais realista relativamente ao seu futuro. Aos dezesseis anos começou a dar
aulas a fim de ajudar seus pais, embora o que ganhasse fosse muito pouco. Por
quatro anos ensinou em escolas elementares. A partir de então buscou avaliar as
profissões que lhe ofereceriam boas perspectivas: a carreira militar estava fora
do seu alcance, por sua penúria financeira; a advocacia exigiria cursos acima de
sua disponibilidade orçamentária. Restava-lhe a Igreja. Resolveu, pois, tornar-se
padre. Embora não tenha se concretizado a ideia, os quatro anos em que se
preparou para a carreira eclesiástica não foram perdidos. Aprendeu Francês,
Alemão e Italiano, que lhe seriam indispensáveis em seu futuro. Finalmente,
ele encontrou seu caminho, a partir daquelas primeiras aulas recebidas de seu
pai. Aos vinte anos abriu uma escola, onde teria que ensinar a matemática que
se esperava fosse ensinada em boas escolas. Buscou livros que o orientassem.
Os livros comuns, daquela época, deram-lhe grande interesse; a seguir foram
considerados desprezíveis. Buscou os grandes mestres da matemática. Seu
primeiro trabalho foi ignorado pela maioria dos matemáticos, exceto por alguns
raros que reconheceram ali o germe de algo de supremo interesse para a
matemática. O desenvolvimento natural do que Boole começou, transformou-se
em uma das mais importantes divisões da matemática pura. Disse Bertrand
Russell: “a matemática pura foi descoberta por Boole em seu trabalho “Leis do
Pensamento”, publicado em 1850.....
Fonte (entre outras) : http://pt.wikipedia.org/wiki/George_Boole 
Teoremas do DeMorgan
(x + y) = x . y
(x . y) = x + y
Augustus De Morgan (27 June 1806 – 18 March 1871) was a British mathematician and 
logician. He formulated De Morgan's laws and introduced the term mathematical induction, 
making its idea rigorous.[1] The crater De Morgan on the Moon is named after him.
Childhood: Augustus De Morgan was born in 1806, in Madurai, Madras Presidency, 
India.[2] His father was Col. Augustus De Morgan, who held various appointments in the 
service of the East India Company. His mother descended from James Dodson, who 
computed a table of anti-logarithms, that is, the numbers corresponding to exact logarithms. 
Augustus De Morgan became blind in one eye a month or two after he was born. The 
family moved to England when Augustus was seven months old. As his father and 
grandfather had both been born in India, De Morgan used to say that he was neither 
English, nor Scottish, nor Irish, but a Briton "unattached", using the technical term applied 
to an undergraduate of Oxford or Cambridge who is not a member of any one of the 
Colleges. 
When De Morgan was ten years old, his father died. Mrs. De Morgan resided at various 
places in the southwest of England, and her son received his elementary education at 
various schools of no great account. His mathematical talents went unnoticed until he was 
fourteen, when a family-friend discovered him making an elaborate drawing of a figure in 
Euclid with ruler and compasses. She explained the aim of Euclid to Augustus, and gave 
him an initiation into demonstration. 
He received his secondary education from Mr. Parsons, a fellow of Oriel College, Oxford, 
who appreciated classics better than mathematics. His mother was an active and ardent 
member of the Church of England, and desired that her son should become a clergyman; 
but by this time De Morgan had begun to show his non-conforming disposition
entre outros, veja: http://en.wikipedia.org/wiki/Augustus_De_Morgan
Universalidade das portas NE e NOU
Universalidade das portas NE e NOU
A + B
Not(B)
Not(B) + C
X = ( A + B ) ( Not (B) + C )
A + B
Not(B)
Not(B) + C
X = ( A + B ) ( Not (B) + C )
Desenvolvendo pelos teoremas:
X= A Not(B) + AC + B Not(B) + BC 
cancelando B Not(B) 
X = A Not(B) + AC + BC (forma canônica)
Not (C + D)
Not (A)
Z = Not (Not (C + D) * B * Not(A)) 
Not (C + D)
Not (A)
Z = Not (Not (C + D) * B * Not(A)) 
Aplicando De Morgan.....
Z = ((C + D) + Not(B) + (A)) 
Ou
Z = (C + D + Not(B) + A 
W = A ( C D + B )
W = A ( C D + B )
W = A ( C D + B )
A B C D W 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B C D W 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela-Verdade
W = A ( C D + B )
A B C D W 
 
0 0 0 0 
0 0 0 1 
0 0 1 0 
0 0 1 1 
0 1 0 0 
0 1 0 1 
0 1 1 0 
0 1 1 1 
 
A B C D W 
 
1 0 0 0 
1 0 0 1 
1 0 1 0 
1 0 1 1 
1 1 0 0 
1 1 0 1 
1 1 1 0 
1 1 1 1 
 
Tabela-Verdade
W = A ( C D + B )
A B C D W 
 
0 0 0 0 0 
0 0 0 1 0 
0 0 1 0 0 
0 0 1 1 0 
0 1 0 0 0 
0 1 0 1 0 
0 1 1 0 0 
0 1 1 1 0 
 
A B C D W 
 
1 0 0 0 0 
1 0 0 1 0 
1 0 1 0 1 
1 0 1 1 0 
1 1 0 0 1 
1 1 0 1 1 
1 1 1 0 1 
1 1 1 1 1 
 
Tabela-Verdade
W = A B ( C + D)
S = A B C + A B C + A B C
Nos exercícios a seguir, pede-se:
a) Dado o circuito na forma de equação, 
desenhe-o na forma gráfica
b) Dado o circuito na forma gráfica, escreva-o 
na forma de equação
c) Calcule a respectiva Tabela-verdade, para 
qualquer caso acima
Indique o sinal de saída na situação abaixo
Exercício 1) indicar a forma de onda do circuito abaixo
Exercício 2) Calcular a Tabela-Verdade e a equação do circuito
Exercício 3) Calcular a Tabela-Verdade e a equação do circuito
Exercício 4) Calcular a Tabela-Verdade e a equação do circuito
Exercício 5)
Indique o sinal de saídana situação abaixo
Z = A B C + B ( E F + G )
Exercício 6) Desenhe o circuito e a seguir
recalcule o circuito usando DeMorgan
Exercício 7) Simplifique, usando os teoremas
Exercício 8) Simplifique, usando os teoremas
K = A B + A B C + A
N = A B + A B C + A B C D + A B C D E 
N = ( A + B ) C D + E + F 
Exercício 9) Simplifique, usando os teoremas
Exercício 10) Simplifique, usando De Morgan
V = ( A + A ) ( A B + A B C )
N = ( A + B ) + C 
N = ( A + B ) + C D 
Simplifique e crie a Tabela-Verdade correspondente
F = A C ( B + B ( B + C ))
R = (A + B + C + D) (A B C D)