Apostila Mecânica dos Fluidos - Russo - UFRJ

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Aula número 1
1. Introdução
Mecânica é a parte das ciências físicas que estuda as condições de movimento e repouso dos corpos (ou sistemas) sólidos, líquidos e gasosos, bem como as causas que as determinam.
Em geral, a matéria, segundo a forma física que se encontra na natureza, pode ser classificada em três estados fundamentais: 
Quando a matéria passa de um estado fundamental para outro dizemos que a mesma sofreu uma mudança de seu estado físico. Para que ocorra esta mudança deve haver, necessariamente, uma variação do conteúdo energético do sistema, aqui agora definido como uma porção limitada de umdado um material (sólido, líquido ou gasoso). No nosso curso, que está relacionado à Mecânica dos Fluidos, vamos tratar de sistemas para os quais ocorre uma variação do conteúdo energético, mas somente tratar de sistemas isotérmicos, ou seja, sistemas para os quais a variação do conteúdo energético é nula, ou caso ocorra, ela será considerada desprezível*.
* podemos adiantar que no escoamento de qualquer fluido real ocorre sempre perda de energia, Essa energia, na verdade, não é perdida, pois ocorre uma mera conversão de energia do fluido em energia térmica. Daí resulta uma elevação na temperatura do fluido, dada à variação de seu conteúdo energético.
Mais especificamente, nosso estudo será voltado ao comportamento dinâmico dos líquidos e gases, devido à similaridade de comportamento de ambos face às forças que sobre eles atuam, genericamente denominados sistemas fluido.
Esse é, portanto, o escopo da Mecânica dos Fluidos que se baseia na aplicação das leis da Mecânica clássica (Mecânica dos Sólidos), introduzindo-se, quando necessário, expressões e conceitos característicos dos sistemas fluidos.
Fluido (= fluir = escoar)
2. Caracterização dinâmica de sólidos e fluidos
O estado sólido é geralmente caracterizado pela resistência relativamente alta que a matéria oferece, quando sob a ação de forças externas, à mudança na sua forma (forças de coesão > forças de deformação). As moléculas constituintes de um material sólido apresentam uma relativa imobilidade, ou seja, suas posições médias no arranjo espacial são fixas, porém giram e vibram em torno desta posição.
Por outro lado, os líquidos e, em maior grau, os gases não oferecem resistência à mudança de forma ou, quando a fazem, é em uma escala muito pequena comparada àquela oferecida pelos sólidos.
De uma maneira geral, o fluido é caracterizado pela relativa mobilidade de suas moléculas constituintes que, além de apresentarem movimentos de rotação e vibração, apresentam também movimento de translação e, portanto, não apresentam uma posição média fixa no espaço.
A estrutura molecular dos líquidos é tal que a distância entre suas moléculas constituintes é essencialmente constante (essa distância varia ligeiramente com a pressão e a temperatura). Desta forma, se explica que uma dada massa de líquido ocupará um volume fixo do espaço que lhe é disponível (volume da unidade de massa do líquido é constante) e assim o líquido toma a forma do recipiente que o contém.
Como a distância entre as moléculas deve permanecer constante, pois o volume da unidade de massa é constante, uma empurra a outra fazendo com que todo o volume do recipiente fique ocupado pelo líquido.
As moléculas dos sólidos também apresentam uma distância constante entre si, entretanto, apresentam um arranjo espacial rígido, com essa característica resultando em sua mobilidade limitada.
No caso dos gases, o espaçamento entre suas moléculas constituintes é variável (volume da unidade de massa é variável). Dessa forma, os gases enchem completamente o recipiente no qual for contido. Nos gases, o movimento de translação das moléculas é muito grande, sendo que estas se deslocam numa trajetória retilínea até se chocarem com as paredes do recipiente ou com outra molécula.
Do ponto de vista mecânico, sólidos e fluidos podem ser distinguidos entre si pela diferença de comportamento que apresentam face às forças externas aplicadas a uma dada porção do material.
Seja a seguinte experiência:
Considere um copo cheio de água. Se ele for virado sobre uma superfície plana horizontal (cuidado para não derramar a água!) verifica-se que a água confinada pelas paredes do copo imprime sobre estas uma força resultando, em consequência, um força de igual intensidade e sentido contrário (reação).
AÇÃO = REAÇÃO
Ação (força) que a água exerce sobre a parede = reação (força) da parede, logo resultante = zero.
Assim caso a força resultante do sistema de forças seja nula, pela 2º lei do movimento de Newton, o sistema não terá alterado o seu estado de movimento ou repouso!
Agora, se o copo for levantado, a água experimentará, sob a ação de uma força (força peso!), uma deformação contínua e irreversível, terminado por se espalhar sobre a superfície numa poça de espessura uniforme (excetuando, devido à tensão superficial da água, das bordas da poça).
Se a mesma experiência for repetida com gelo (água no estado sólido) verificar-se-á que o gelo não sofrerá deformação (força de coesão > força de deformação) e caso as mesmas condições da experiência forem mantidas, a forma inicial do gelo manter-se-á indefinidamente.
Distinguir um sólido de um líquido nos parece trivial, pois podemos fazê-lo até visualmente. No entanto, é possível nos equivocar ao tratar de um bloco de piche. Contato manual e inspeção visual indicam de imediato que o piche é um material sólido. Porém, se colocarmos esse bloco de piche sobre um plano inclinado, verificaremos que ao cabo de certo tempo (longo!), o piche escoa como também fazem o óleo lubrificante, o mel e a água.
Como seria classificado o piche neste caso? Sólido ou líquido?
Para o ensaio ser realizado, o nosso bloco de piche foi serrado de um pedaço maior assim como obteríamos um tarugometálico de um maior. Pelo nosso tato, o bloco de piche “aparenta” ser sólido. No entanto, a nossa experiência no plano inclinado indica que ele é um líquido com são o óleo lubrificante, o mel e a água. A única diferença que parece existir nesses líquidos é a resistência de magnitude variável que esses líquidos oferecemàs forças que os deformam.
Quais são essas forças?
Vejamos um diagrama das forças que atuam no bloco sobre o plano inclinado.
 = força peso;
FN = componente normal * da ;
FT = componente tangencial * da 
*Os termos normal e tangencial se referem à superfície do sólido paralela ao plano inclinado.
Sabemos que, sendo o sólido incompressível, FN é anulada pela reação do plano inclinado e que FT é a única responsável pela deformação no bloco de piche, óleo, etc.
Das experiências que acabamos de descrever (a do copo d’água e a do plano inclinado) concluímos que é sensível a distinção (caracterização) entre um material sólido e um líquido através da diferença de comportamento destes materiais face às forças sobre eles aplicadas. No diagrama de forças ilustrado na figura do plano inclinado, podemos distinguir dois tipos de força:
1. FN ̴ força normal ̴ força de compressão*;
2. FT ̴ força tangencial ̴ força de cisalhamento**.
Se uma força de compressão fosse utilizada para esta caracterização, verificaríamos que o material sólido se comportaria como material incompressível ao passo que o líquido seria inicialmente comprimido (por não ter ainda atingido seu limite de compressibilidade) e uma vez alcançado o limite de compressibilidade, o líquido se comportaria da mesma forma que o sólido.
*Força aplicadano sentido contrário ao da normal do plano de aplicação da força;
** Força aplicada na direção perpendicular a da normal ao plano de aplicação da força.
No caso de ser usada uma força cisalhante, aqui definida como uma força cuja direção é tangente à superfície na qual é aplicada, ou, o que é equivalente, cuja direção é perpendicular àquela da normal à superfície na qual é aplicada, o sólido apresentaria uma resistência finita enquanto nos fluidos, essa resistência, por menor que fosse a força cisalhante aplicada, não seria
observada. Em outras palavras, podemos afirmar que os fluidos sofreriam uma deformação contínua e irreversível.
No exemplo ilustrado a seguir, na fig. (a), o bloco de material sólido sofre uma deformação finita, caracterizada pelo ângulo de deformação, Υ, quando sujeito a forçascisalhantes (shear forces).
No caso de deformação de um sólido por meio de uma força cisalhante, nota-se, experimentalmente, que a deformação provocada é medida pelo ângulo Υ conforme ilustrado na fig. (a) acima é proporcional à força cisalhante que produziu a deformação.
 (1)
- A equação (1) é válida somente dentro do limite de elasticidade do sólido. A lei de Hooke, que reage à deformação de sólidos por ação de forças cisalhantes, pode ser assim enunciada:
“No domínio das deformações elásticas, as deformações produzidas são proporcionais às forças que as produzem.”
Todos os materiais cujo comportamento frente às forças cisalhantes descritos por esta lei são denominados sólidos Hookeanos. A expressão matemática da lei de Hooke é definida por:
 (2)
 = tensão cisalhante (shear stress).
Elasticidade: é a propriedade pela qual o material tende a adquirir suas dimensões originais, uma vez removidas as forças que o deformaram.
Limite elástico: é o menor valor de tensão (cisalhante, neste caso) que produza uma deformação permanente no material sólido.
A = área sobre a qual a força cisalhante é aplicada;
Υ = ângulo de deformação;
G = módulo de rigidez do material = módulo de cisalhamento do material.
A constante de proporcionalidade, c, definida na equação (1) é conhecida como módulo de rigidez ou módulo de cisalhamento do material. Ela é uma constante intrínseca ao material, ou seja, apresenta um valor definido e distinto para cada material. Podemos esperar que quanto mais rígido um material maior será o seu módulo de rigidez, pois pela equação (2) podemos verificar que para uma mesma tensão cisalhante aplicada, quanto maior o valor de c (material mais rígido), menor será a deformação observada. Por exemplo:
Façamos , assim:
 .
Desses resultados, concluímos que o módulo de rigidez de um dado material nos dá uma medida direta da resistência interna que o mesmo apresenta face às forças cisalhantes.
No caso em que a força cisalhante for aplicada a um fluido, ver figura (b), este se deformará continua e irreversivelmente, não se configurando um ângulo de deformação característico, porém uma taxa* de deformação.
b = constante de proporcionalidade; = taxa de deformação.
*Taxa é qualquer variação de uma dada grandeza com o t!
Ex: .·. 
Dessa observação experimental, define-se um fluido como “um material que se deforma continua e irreversivelmente sob a ação de uma força cisalhante por menor que esta seja”.
Tanto o comportamento do sólido Hookeano quanto o do fluido sob a ação de forças cisalhantes pode ser representado na forma do gráfico a seguir ilustrado.
Esse gráfico, τ versus dΥ/dt, denomina-se rheogramaou curva de escoamento do material. Como nele se observa, para qualquer valor de τ 0 haverá um valor de dΥ/dt 0 no caso do material fluido enquanto no caso de material sólido, dΥ/dt será nulo, pois Υ será constante.
Podemos ainda definir um fluido como um material que, quando em repouso, não pode sustentar tensões cisalhantes a si aplicadas.
Vamos falar agora sobre a constante b!
Consideremos o caso do mel e da água na seguinte experiência:
Imaginemos que o bloco metálico seja substituído por um de fluido tal como melou água e colocar uma placa metálica sobre a superfície superior do bloco de fluido a fim de exercer a ação cisalhante sobre o fluido.
O que se observará?
1. O fluido, água, mel, etc., se “agarra” às paredes sólidas, ou seja, apresentará ao decorrer da experiência a mesma velocidade da parede sólida;
em y = 0, vx= 0;
em y = Υ, vx= V. (V = velocidade da placa superior).
2. Considerado o mesmo intervalo de tempo, digamos Δt = t2 – t0, a distância Δx = x2 – x0 percorrida pelas partículas de mel será menor que aquela percorrida pelas de água para a mesma força cisalhante aplicada na placa superior:
Como, teremos como consequência que a velocidade das partículas de mel será menor que aquela de água. Assim:
Como τ é igual para ambos, conclui-se que:
Assim podemos concluir também que, analogamente à constante c da lei de Hooke, a constante b deve medir a resistência que o fluido oferece às forças cisalhantes, ou seja, mede o atrito que as partículas constituintes do fluido exercem entre si ao deslizarem umas sobre as outras no processo de escoamento. Essa propriedade, presente em todos os fluidos reais, é denominada viscosidade dinâmica do fluido.
Comparando o comportamento do mel e da água frente às forças cisalhantes, concluímos que o mel oferece uma resistência maior à deformação e daí dizermos que ele é mais viscoso que a água.
	
	viscosidade (Pa·s)
	álcool etílico
	0,248 × 10−3
	acetona
	0,326 × 10−3
	metanol
	0,597 × 10−3
	benzeno
	0,64 × 10−3
	água
	1,0030 × 10−3
	óleo de oliva
	81 × 10−3
	glicerol
	1,485
	piche
	107
	vidro
	1040
	Sangue
	4 × 10−3
Aula número 2
Como já observamos na aula anterior, a curva de escoamento de qualquer material real terá a forma de:
Dessa curva podemos definir um fluido como “um material que se deforma continua e irreversivelmente sob a ação de uma força cisalhante, por menor que esta seja”.
Nos casos limites de comportamento, teremos o sólido Hookeano (μ=∞) e o fluido ideal (μ=0) que, na realidade, nada mais representa, senão uma abstração que procura, no entanto, simular o comportamento de fluidos reais TEXTO Ñ ENTENDIDOsituações particulares do escoamento conforme ilustrado na figura (1).
Pela figura (1), notamos, no início, comportamento de fluido ideal, pois a superfície sólida está suficientemente distante de modo que o efeito da mesma (frenador da parede sólida sobre o fluido) no escoamento do fluido não se faz sentir.
A propriedade do fluido responsável por este tipo de comportamento é a viscosidade dinâmica que, analogamente ao módulo de rigidez do sólido, é definida como a resistência que o fluido oferece às forças cisalhantes. Tal resistência interna provém do atrito existente entre as partículas constituintes do fluido ao deslizarem umas sobre as outras.
Exemplo das ondas na praia do Leblon!
Fluido como meio continuo
Na nossa definição de fluido não foi feita qualquer menção sobre a estrutura molecular descontinua, portanto, do fluido. É sabido que toda a matéria é constituída de partículas, moléculas que se encontram dispersas na matéria.
No entanto, do ponto de vista da engenharia se está mais interessado em efeitos globais (macroscópicos) de um conjunto de moléculas.
Exemplo: a pressão de um fluido, segundo a teoria cinética dos gases, é o resultado da frequência de choques que um conjunto de partículas efetua nas paredes do recipiente. Esse conjunto contém um número de partículas suficientemente grande para que uma medida representativa da pressão seja obtida.
Nesse enfoque, portanto, tratamos o fluido do ponto de vista virtual como uma substância indefinidamente divisível, isto é, um meio contínuo no qual as propriedades de diferentes subconjuntos são iguais às propriedades do próprio conjunto inicial de partículas.
Não tratamos do comportamento de moléculas isoladas cujos efeitos não são por nós percebidos e, portanto, não são medidos.
Esse conceito de fluido contínuo é a base da Mecânica dos Fluidos, porém é somente aplicado sob certas condições, pois não mais se utiliza quando o livre percurso médio das moléculas (≈cm para o ar na CNTP) se torna da mesma ordem de grandeza da menor dimensão do sistema físico.
Em problemas de escoamento de gases rarefeitos (plasma flow = escoamento de partículas ionizadas, objeto de estudo do Magneto hidrodinâmica), a hipótese do fluido como meio continuo não mais se aplica, devendo, nesse caso, aplicarem-se conceitos da Mecânica Estatística.
Como consequência direta da Hipótese do Meio Continuo aplicada
aos fluidos, cada propriedade do fluido deve ter um valor definido em cada ponto do espaço. Assim, outras grandezas como pressão, velocidade, temperatura, densidade, etc. são consideradas como uma função contínua da posição e do tempo. No caso da densidade do fluido, ρ, temos:
Para ilustrar o conceito de uma propriedade do fluido em um dado ponto, considere o modo pelo qual a densidade é determinada:
Seja determinar a densidade de um fluido no ponto C ilustrado na figura (1) cujas coordenadas são x0, y0, z0. A densidade média do fluido, considerado todo o volume (V) ocupado pelo fluido, será dado por:
V = volume;
m = massa total do fluido contida no volume V.
Podemos esperar que, em geral, este valor médio não será igual ao da densidade do fluido no ponto C. O que devemos fazer é considerar inicialmente um pequeno volume, δV, que englobe o ponto cuja massa será expressa por δm.
Quão pequeno pode ser δV?
Pode ser de fato zero?
Do gráfico ilustrado a seguir, podemos obter a resposta. Ele representa ρ versus δV, sendo continuamente decrescente.
A densidade média de um fluido tende ase aproximar assintoticamente ao valor da densidade do fluido no ponto C e à medida que o volume de fluido considerado é cada vez mais reduzido e nesse volume é somente incluído o fluido contido nas vizinhanças do ponto C.
Quando δV se torna muito pequeno, menor que δVC, o número de partículas se reduz concomitantemente o que acentua a impossibilidade de se fixar um valor definido à relação δm/δV, pois este valor variará aleatoriamente à medida que do volume considerado, saiam ou entrem maior ou menor número de partículas que, como sabemos, estão em constante movimento.
Assim, a densidade de fluido no ponto C pode ser definida por:
Como o ponto C é arbitrário, a densidade dos demais pontos poderia ser determinada de maneira análoga, obtendo-se o campo de densidade expresso por:
 *
A variação da densidade do fluido com o tempo também é considerada devido ao trabalho realizado sobre o fluido ou pelo mesmo (efeitos de pressão no fluido).
Como se pode depreender do exposto, o conceito de fluido como meio continuo é deveras relevante, pois doravante podemos ficar tranquilos em razão do uso de equações diferenciais para descrição do escoamento do fluido, válidas para cada ponto do sistema físico no qual o escoamento ou o processo de transporte ocorre.
*Também denominado distribuição de densidade.
A fim de termos uma ideia do grau de afastamento das condições restritivas para a Hipótese do Fluido como Meio Continuo em sistemas de engenharia, considere 1 mol de fluido na CNTP.
=> número de Avogrado.
Supondo um volume de fluido na forma de um cubo de mm de aresta.
.
O volume desse cubo será:
O volume molar do fluido será:
O número de moléculas do cubo será:
·. 
Ou seja, vinte e sete milhões de moléculas que , sem dúvida, é um número suficientemente elevado para que um valor medido de suas propriedades seja estatisticamente representativo. 
Conceito de massa e força
O termo massa, de símbolo m, serve para definir a quantidade de matéria de um dado corpo (ou sistema). Ignorando os efeitos relativísticos, a massa de um dado sistema depende somente do número e da espécie de moléculas do corpo.
A 2ª lei do movimento de Newton rege o efeito que uma dada força (F) exerce sobre uma dada massa, m, do sistema. Essa lei é da forma:
 * (1)
*Vamos neste curso usar a representação de uma grandeza vetorial com a letra sublinhada. = vetor força, por exemplo.
O “princípio” da homogeneidade dimensional estabelece que as dimensões de um dado fenômeno físico sejam as mesmas. Assim, a dimensão da grandeza física no 1º membro da equação (1) deve ser equivalente ou igual às dimensões do produto da dimensão da massa pela da aceleração:
 (2)
 (3).
Das identidades anteriores, (2) e (3), verificamos que qualquer grandeza física envolvendo somente dimensões de força, massa, comprimento e tempo pode ser dimensionalmente descrita utilizando-se somente:
eq. (2) → massa, comprimento, tempo → força.
eq. (3) →força, comprimento, tempo → massa.
Pela eq. (2), massa (M), comprimento (L) e tempo (t) são as dimensões básicas e a massa (M) é a dimensão derivada.
A 2ª lei do movimento de Newton pode ser reescrita na forma:
 (4)
Newton dessa forma definiu força como taxa de quantidade de movimento. No caso em que m = constante, a eq. (4) reduz-se à eq. (1), pois:
 (1).
Aula número 3
1.Propriedades Físicas dos Fluidos (ver material da apostila).
1. massa específica (densidade).
2. volume específico.
3. peso específico.
4. densidade relativa.
5. módulo de elasticidade volumétrica.
6. viscosidade dinâmica.
7. viscosidade cinemática.
2. Fluido Newtoniano:
Como já definido, fluido é todo material que se deforma continua e irreversivelmente sob a ação de uma força cisalhante por menor que esta seja.
Definimos um fluido Newtoniano como aquele para o qual a relação entre a tensão cisalhante e a taxa de deformação é linear e da forma:
3. Fluidos não-Newtonianos:
A definição óbvia do fluido não-Newtoniano nos parece ser aquela que relaciona todos os fluidos cujo comportamento sob a ação de forças cisalhantes não pode ser representado pela lei de Newton da viscosidade.
1)Fluidos com tensão crítica de cisalhamento:
Fluido de Bingham
η→coeficiente de rigidez do material.
Para o fluido de Bingham:
* Baixas taxas de deformação correspondem a baixos valores de τ, resultando no comportamento do fluido de Bingham igual ao de sólido Hookeano!
2) Fluidos sem tensão crítica de cisalhamento:
O exemplo mais comum desta categoria é o modelo representado por:
κ ̴ índice de consistência do fluido.
n ̴ índice de comportamento do escoamento.
n < 1 → fluido pseudoplástico;
n = 1 → fluido Newtoniano;
n > 1 → fluido dilatante.
se 
se 
se 
Esses resultados são obviamente absurdos (no caso de n ≠ 1), pois fluidos reais apresentam resistência finita às forças cisalhantes. Na realidade, o comportamento de fluidos reais em regiões de taxas de deformação extremas aproxima-se do comportamento do fluido Newtoniano.
Outra séria restrição do modelo de Ostwald de Waele é que as dimensões do parâmetro κdependem do valor de n!
Os parâmetros n e κ são determinados a partir de uma gráfico log-log, pois:
Assim, os valores de τ e D lançados em um gráfico log-log alinham-se ao longo de uma reta cujo coeficiente angular nos fornece o valor de n e o coeficiente linear o valor de κ.
Exemplos de outros modelos nesta categoria:
1.Modelo de Eyring:
A e B são os parâmetros a determinar. O modelo de Eyring é um dos poucos que teve certo respaldo teórico, baseado na teoria cinética dos líquidos.
2. Modelo de Ellis:
ϕ0, ϕ1 e α são parâmetros a determinar.
3. Fluidos de características reológicas dependentes do tempo:
1. fluidos tixotrópicos: ilustrado na figura;
2. fluidos reopéticos: inverso ao ilustrado.
4. Fluidos viscoelásticos:
São os que apresentam comportamento concomitante de fluidos viscosos e de sólidos elásticos. Apresentam, no entanto, apenas uma recuperação parcial de sua forma após ter sido deformado (fluido de memória).
Borracha (ou sólido elástico) ̴ memória de 100%;
Água (fluido Newtoniano) ̴ memória 0%.
Grandezas e campos tensoriais:
O conceito do fluido como meio continuo nos permite descrever a distribuição (ou campo) continua de uma dada grandeza física que por sua vez é descrita por funções contínuas das coordenadas espaciais e do tempo.
Existem 3 tipos de grandezas físicas:
1) Grandeza escalar: é aquela para a qual é exigida apenas a especificação do seu valor numérico, expresso em termos das unidades apropriadas, para que a grandeza física seja completamente especificada.
Ex.: 
2) Grandeza vetorial: é aquela que além da especificação do seu valor numérico requer também a especificação do sua direção e do sentido.
Em geral a essas grandezas, são associados
6 valores que correspondem aos componentes escalares relativos aos eixos coordenados. Esses componentes escalares nada mais representam senão a projeção dessa grandeza sobre cada uma dos eixos coordenados.
Ex.: 
i, j, k são denominados vetores unitários de direção ou ainda versores.
vx, vy, vz são denominados componentes escalares do vetor velocidade.
3) Grandeza tensorial: é de natureza mais complexa que as anteriormente definidas, pois sua completa especificação requer pelo menos 9 componentes escalares.
Ex.: τ ̴ tensão cisalhante.
Como já mencionado, as tensões em um contínuo qualquer são originadas de forças que atuam sobre a unidade de uma dada região desse meio. Em outras palavras, o conceito de tensão nos fornece uma maneira conveniente para descrever a ação exercida pelas forças que atuam nas fronteiras desse meio. Uma vez que tanto a força cisalhante quanto a área sobre a qual ela atua são grandezas vetoriais, pode-se antecipar que o campo de tensão não poderá ser completamente descrito por um campo vetorial.
A definição da tensão requer que seja avaliada a relação entre os dois vetores, δA e δF. Daí se torna necessária a definição de mais de 3 componentes escalares para a completa especificação da grandeza tensorial. No caso da tensão cisalhante é exigida para a sua completa especificação, a definição de 9 componentes escalares (3 para cada eixo coordenado).
O número de componentes exigido para a completa especificação das grandezas tensoriais depende da ordem das mesmas e é dado por:
3 = nº de componentes escalares;
i = ordem da grandeza tensorial.
	Natureza da grandeza
	Ordem
	Nº de componentes
	escalar
	0
	1
	vetorial
	1
	3
	tensorial
	2
	9
	tensorial
	i
	3i
Tensão em um ponto:
Considere o elemento de área δA* no entrono do ponto C da figura sobre a a qual atua o δF.
Como já vimos, a definição da tensão implica que se tenha a relação entre 2 grandezas vetoriais, δF e δA, sendo:
em que , o componente i do vetor δF.
em que , componente i do vetor δA.
Sendo definida a tensão em um ponto, podemos considerar os componentes escalares da força δFx, δFy e δFz atuando, cada um por sua vez, nos 3 componentes da área, δAx, δAy e δAz. Nesse caso, a equação de definição da tensão é substituída por um conjunto de 9 equações (3x3).
É importante ter-se uma notação que nos permita determinar tanto o plano em que a força está atuando bem como a direção dessa força. Essa notação é representada por:
, onde:
i ̴ direção da normal ao plano em que a força está atuando (i = x, y, z).
j ̴ direção da força (j = x, y, z).
Para especificar completamente o estado de tensão de um fluido, precisamos conhecer os 9 componentes da tensão. Esses componentes são arranjados em uma matriz quadrada (3x3) na forma:
tensorial
 de ordem 2
escalar
vetorial
Referindo-se ao elemento de fluido ilustrado, vemos que há 6 planos (6 faces do cubo), pois em cada direção dos eixos coordenados há 2 planos nos quais as forças cisalhantes podem atuar. Esses planos são considerados positivos ou negativos de acordo com a direção da normal a cada plano, normal essa sempre dirigida para fora do plano (superfície). Assim, a face superior do cubo corresponde ao plano y positivo enquanto a face inferior é o plano y negativo, etc.
Um componente da tensão cisalhante é positivo quando a direção da força e o plano no qual ela atual são ambos positivos ou negativos.
38(A)
Deformação de um meio continuo:
Ilustração da lei de Newton da viscosidade.
A compreensão do fenômeno de deformação de um meio continuo (por definição um fluido é um meio continuo) é de interesse primordial para o entendimento da cinemática do movimento.
A taxa de variação da posição das partículas de um fluido em movimento pode ser apresentada pelo perfil de velocidade e esse, como de praxe, terá uma representação gráfica associada ao valor do módulo do vetor velocidade em cada ponto do escoamento. Para um elemento de fluido suficientemente pequeno, esse perfil pode ser representado por uma linha reta, embora não seja esse o caso geral, e sim uma leve curvatura.
A lei de Newton da viscosidade, já enunciada, relaciona a tensão cisalhante aplicada no fluido e a taxa de formação na forma:
Essa equação mostra a relação linear entre τ e dΥ/dt, sendo μ a constante de proporcionalidade.
A seguir, descreveremos uma experiência de laboratório que demonstra a validade dessa equação.
38 (B)
A figura anterior ilustra, vista de cima, um tanque contendo, por exemplo, glicerina e 2 PALAVRA Ñ ENTENDIDA sem fim que simulam a rotação de uma placa sólida em movimento com velocidade constante, V0. Os sentidos do movimento das placas são contrários de forma que os perfis são simétricos.
38 (C)
Dado um fluido situado entre a placa móvel e a fixa, podemos admitir que sob a ação da força cisalhante, F, a velocidade V da placa móvel será proporcional à distância entre as placas, Y, à força F e inversamente proporcional à área da placa móvel, A. Assim:
Em outras palavras, τ, é proporcional ao gradiente de velocidade.
Suponhamos que a placa móvel já tenha atingido sua velocidade constante. Em um instante inicial de tempo, t=0, marcamos um bloco retangular de fluido entre as placas de mesma geometria que o bloco metálico da experiência de Hooke. Após um intervalo de tempo, ∆t, o bloco terá a forma ilustrada na figura.
A distância ∆x percorrida pelas partículas em contato com a placa móvel será:
para pequenas deformações:
No limite ∆t→0:
38 (E)
④Propriedades físicas dos fluidos
No estudo da Mecânica dos Fluidos para sistemas isotérmicos, as propriedades físicas dos fluidos mais relevantes são:
4.1. Massa específica ou densidade:
A densidade, representada pela letra grega ρ (rho), expressa a massa de um fluido contida na unidade de volume de fluido. Assim,
Para a água a 40 º C e 1 atm.
Para o ar a 15,5 º C e 1 atm.
A relação entre a densidade da água e a do ar é dada por:
4.2. Volume específico:
O volume específico, representado pela letra v, expressa o volume do fluido ocupado pela unidade de massa do fluido.
Dessa definição, segue-se que:
4.3. Peso específico:
O peso específico de um fluido, representado pela letra grega 𝛾 (gama), expressa o peso da unidade de volume do fluido. Desse modo, 𝛾 representa a força que o campo gravitacional exerce sobre a unidade de volume do fluido.
Como será visto mais tarde, o peso específico é um dos termos que compõe a equação do movimento de um fluido em escoamento sob a ação da força da gravidade.
4.4. Densidade relativa:
A densidade de um fluido, representada por , expressa a relação entre a densidade (ou peso específico) de um dado fluido (A) e a densidade de outro fluido (B) qualquer tomado como referência.
A expressão acima é lida da seguinte forma: a densidade relativa do fluido A em relação a do B é igual à relação entre a densidade do fluido A e a do fluido B.
Dessa definição, segue-se que:
pois representa a relação entre grandezas de iguais dimensões. É claro que no cálculo da densidade relativa, ρA e ρB devem ser expressas na mesma unidade.
No caso de líquidos, o fluido de referência é a água e para os gases, a referência é o ar.
Ex. (4.2):
Determinar a densidade relativa do mercúrio.
Esses resultados demonstram que independentemente do sistema de unidades utilizado, a densidade relativa de um fluido é expressa por um único valor numérico.
Novamente utilizaremos o símbolo ρ para a densidade relativa. A possibilidade de haver confusão será eliminada se nos lembrarmos de que quando o valor numérico de ρ for associado a unidade correspondente, tratar-se-á da massa específica ou densidade, porém quando o valor numérico de ρ não for associado a unidade correspondente, tratar-se-á da densidade relativa, ou seja:
No caso (1), trata-se da massa específica ou densidade do mercúrio enquanto o caso (2) é a densidade relativa.
Como vimos:
Ex. (4.3):
Sendo a
densidade relativa da glicerina igual a 1,25, determinar sua densidade em:
a) g/cm3; b) lb-mass/ft3; c)slug/ft3.
4.5. Módulo de elasticidade volumétrica:
Na maioria das aplicações, um líquido pode ser considerado como um fluido incompressível, mas em situações em que existam variações bruscas de pressão ou a pressão elevada, os efeitos de compressibilidade do líquido se tornam importantes.
A compressibilidade de um fluido é expressa através do seu módulo de elasticidade volumétrico (κ). Se a pressão de um volume unitário de fluido aumenta de dP, ocorre neste uma redução de volume (-dV); o módulo de elasticidade volumétrica é expresso por:
Como 
Para a água, κ = 300,000 lb-force/in2.
Para se ter uma ideia da compressibilidade da água, é considerada a aplicação de uma pressão de 100 psi sobre um volume de 100 ft3.
Portanto, a aplicação de 100 psi sobre a água causa a redução de apenas uma parte em 3000 de seu volume.
4.5. Viscosidade
Para definir mais precisamente a viscosidade de um fluido, consideraremos o comportamento de um bloco metálico submetido à ação de uma força cisalhante*.
Como ilustrado na fig. (1A), vamos considerar que a fase inferior é fixa e que na face superior é fixada uma placa na qual atua a força cisalhante, F.
*Podemos definir força cisalhante como a força cuja direção é paralela à superfície sobre a qual atua.
Quando a força F é aplicada na placa superior, observa-se uma deformação medida pelo ângulo de deformação, Υ, que dentro do regime de deformação elástica, é diretamente proporcional à tensão cisalhante, τ*, resultante da força F aplicada. Assim, a relação entre τ e Υ é dada pela lei de Hooke que pode ser expressa por:
A constante definida na eq. (4.1) é conhecida como módulo de cisalhamento ou módulo de rigidez do sólido. A dimensão de G, como pode ser visto pela eq. (4.1), é de força por unidade de área**. Essa constante de proporcionalidade é uma propriedade intrínseca do material, ou seja, apresenta um valor característico para cada material. Podemos esperar que quanto mais rígido for um material maior será o valor do seu módulo de rigidez, pois podemos ver pela eq. (4.1) que, para uma mesma tensão cisalhante aplicada, quanto maior o valor de G menor será a deformação observada. Por exemplo:
*τ é uma letra grega denominada tau. Exprime a relação de força (cisalhante) por unidade de área.
** 
Se a mesma força cisalhante for aplicada a corpos de prova de dimensões iguais, constituídos de aço e alumínio, a relação entre as deformações resultantes para cada material estarão na razão inversa de seus respectivos módulos de rigidez, pois:
Desses resultados, podemos concluir que o módulo de rigidez de um dado material nos dá uma medida direta da resistência interna que o mesmo apresenta face às forças cisalhantes.
Imaginemos agora que o bloco metálico seja substituído por um fluido, tal como ar ou água, e repetir a experiência acima descrita. Observaremos de imediato que tanto as partículas de líquido quanto as de gás em contato com as paredes sólidas ficam a elas aderidas e desse modo adquirem a mesma velocidade das paredes sólidas, ou seja, as partículas de fluido em contato com a superfície inferior têm velocidade nula enquanto as partículas de fluido em contato com a placa superior se deslocam com a mesma velocidade da placa. Além disso, observamos que, mesmo para pequenos valores de força aplicada, a placa superior experimentará uma certa aceleração até atingir uma velocidade limite (nesse ponto sua aceleração é nula) e , portanto, o fluido deformar-se-á continua e irreversivelmente configurando uma relação entre a tensão cisalhante e a taxa de deformação (ver Fig. 2) expressa pela relação:
A constante de proporcionalidade, b, definida pela eq. (4.2) deve nos dar uma medida da resistência que o fluido oferece face às forças cisalhantes tal qual o módulo de rigidez de um sólido.
Para melhor esclarecer este ponto, vamos considerar a experiência ilustrada pela fig. (3) utilizando líquidos tais como o mel e a água.
Na fig. (3), a linha cheia representa a posição das partículas do fluido no tempo t = 0 e as linhas pontilhadas, as posições das mesmas partículas nos tempos t = t1 e t = t2, sendo t2> t1> t0. Realizando-se a experiência com o mel e com a água, notar-se-á que ao cabo do mesmo intervalo de tempo ∆t, sendo ∆t = t1 – t2, a distância ∆x, sendo ∆x = x2 – x1, percorrida pela partícula de mel será menor que a distância percorrida pela partícula de água para a mesma força cisalhante aplicada à placa superior.
Como , teremos como consequência que a velocidade das partículas de mel será menor que a das partículas de água. Assim:
E pela eq. (2), concluímos que:
A constante de proporcionalidade, b, é denominada viscosidade dinâmica dos fluidos e mede a resistência que o fluido oferece às forças cisalhantes, ou seja, mede o atrito que as partículas constituintes do fluido exercem entre si e com as paredes sólidas. No caso do mel e da água, vemos que o primeiro exibe uma resistência à deformação maior que o segundo e, desse modo, dizemos que o mel é mais viscoso que a água.
4.5.1 Lei de Newton da viscosidade
Fluidos newtonianos são definidos como os fluidos para os quais existe uma relação linear entre a tensão cisalhante a eles aplicada e a taxa de deformação resultante. A constante de proporcionalidade é definida como coeficiente de viscosidade ou ainda a viscosidade dinâmica, μ*, do fluido, ou seja:
Inspeção da eq.(4.3) resulta que:
*μ letra grega denominada mi.
As unidades mais comuns de μ são:
1. no sistema métrico absoluto: ;
2. no sistema inglês absoluto: ;
3. no sistema inglês gravitacional: .
;
.
;
.
No estudo da Mecânica dos Fluidos, aparece ainda uma outra propriedade física de um fluido denominada viscosidade cinemática, ν*, que é definida pela relação da viscosidade dinâmica, μ, e a densidade do fluido.
,pois: 
1.No sistema MLT:
2 No sistema FLT:
As unidades mais comuns de ν são:
;
*ν, letra grega denominada ni.
Vamos mostrar agora que a taxa de deformação, dΥ/dt, grandeza dificilmente mensurável pode ser expressa em termos do gradiente de velocidade, grandeza relativamente fácil de ser medida. Para tal, consideremos Fig.(4).
A deformação, Υ, é medida por:
Para pequenas deformações: .
Assim, a taxa de deformação, dΥ/dt, é dada por:
Como mostrado na Fig.(4.4), para pequenas deformações, o perfil de velocidades pode ser representado por uma linha reta cuja equação geral é dada por:
Como em 
em 
Em termos de força cisalhante, aqui representada por FV, a equação se reduz a:
A eq.(4.5) é uma equação resultante da lei de Newton da viscosidade válida, no entanto, com as seguintes restrições:
a)fluido newtoniano; 
b) distância entre as placas muito pequena, ou seja, Y→0;
c) pequenas deformações.
As condições b e c permitem admitir que o perfil de velocidade resultante é linear.
A eq.(4.5) apresenta 5 parâmetros (F, A, μ, V, Y) sendo:
F ̴ tensão cisalhante, 
A ̴ área da placa, ;
μ ̴ viscosidade dinâmica do fluido, ;
V ̴ velocidade relativa da placa superior, ;
Y ̴ distância entre as placas, L.
Desses 5 parâmetros, 4 tem que ser conhecidos a priori a fim de se obter a solução desejada.
É de ressaltar que até o momento não temos apresentado informações suficientes, ou melhor, relações independentes de modo que o número de parâmetros desconhecidos em um dado problema seja superior a um!
Ex.(4.4):
Com o auxílio da figura abaixo, calcule o valor da força que deve ser aplicada à placa superior, de área igual a 0,035 m2, para que a mesma seja deslocada com uma velocidade de 1 ft/seg no sentido positivo do eixo x. Utilizar como dados adicionais: Y = 0,0035 in e μ = 0,09 poise.
b) Aplicando-se a mesma força, calcular a viscosidade do fluido que deveria substituir o fluido considerado no item anterior para que a velocidade máxima da
placa superior seja de 0,1524 m/seg.
Soluções:
1. Considerações de ordem física:
Supondo que a distância (Y) entre as placas é muito pequena em relação à largura, podemos admitir que, após a formação do período de aceleração da placa, o perfil de velocidade é dado pela seguinte relação:
As constantes a e b são determinadas pelas seguintes condições:
1) em 
2) em 
Assim:
2.Cálculo da força (Fx):
fator:
Por exemplo:
Solução do item b:
Pelos dados do problema:
Logo a viscosidade do fluido no item b será o dobro daquela do item a).
São óbvias as formas distintas que podemos considerar em problemas deste tipo, porém todos os problemas poderão ser resolvidos de forma análoga à que desenvolvida nesse exercício.
Aulas número 4 e 5
Escoamento 1-D, 2-D e 3-D.
Já vimos que a expressão geral para o campo de velocidade indica que o mesmo pode ser função das 3 coordenadas espaciais e do tempo.
Nesse caso, o mais geral possível, o campo de velocidade é dito 3-D e também transiente devido à velocidade do fluido depende, ou é função, das 3 coordenadas espaciais necessárias para definir a localização do ponto no espaço e no tempo.
Na realidade, nem todos os escoamentos são 3-D. Considere, por exemplo, o escoamento de um fluido ao longo de uma placa plana. Será observado que o campo de velocidade do fluido escoando ao longo da placa será aproximado por um campo de velocidade 2-D, ou seja, terá somente 2 componentes da velocidade, vx e vy. Nesse caso, vz será, em relação a vx e vy, desprezível. Por isso, usamos o termo aproximado!
Um caso clássico de escoamento 1-D é aquele que resulta do escoamento de um fluido através de um duto de seção circular de grande comprimento. Em um ponto suficientemente longe da entrada do duto, a distribuição de velocidade do fluido é dada por:
Esse perfil é mostrado na figura abaixo (que representa apenas um corte do perfil ao longo do eixo axial do duto) em que usamos as coordenadas cilíndricas r, θ e z para localizarmos o ponto no duto. Como, a partir da distância LH, a velocidade do fluido depende somente de uma única coordenada, diz-se que nessa região do duto, o escoamento é 1-D, ou, equivalentemente, estabelecido.
em 
em 
LH ̴ comprimento hidrodinâmico de entrada!
Por quê?
Na região do LH. Na região após o LH. 
1-D
2-D
O campo de escoamento pode ser:
1)Transiente: 
2) Permanente:
No caso particular de escoamento 1-D permanente, diz-se que o escoamento é denominado escoamento estabelecido.
Como todos os fluidos que satisfazem a hipótese do continuo devem ter velocidade nula na parede sólida para satisfazer a condição de não-deslizamento na parede (no-slip flow), a maioria dos escoamentos deve ser 2-D ou 3-D. Entretanto, a fim de se multiplicar a análise matemática do escoamento é necessário se introduzir o conceito de escoamento uniforme em uma dada seção. Nesse caso, a velocidade é admitida como constante. O termo “campo de escoamento uniforme” descreve o escoamento no qual a magnitude do vetor velocidade é constante, ou seja, independe das coordenadas espaciais e do tempo.
		Plug-Flow: Ocorre em escoamento através colunas recheadas e reatores de leito fixo 
Escoamento compressível e incompressível:
Escoamento (ou fluido) compressível: é aquele no qual a variação de densidade do fluido () é significativa. 
 Escoamento (ou fluido) incompressível: é aquele no qual a variação de densidade no fluido é desprezível, ou seja, 
Considera-se que os líquidos são fluidos incompressíveis enquanto os gases, em geral, são compressíveis. Isto é em parte correto, pois dependendo do nível de pressão a que são submetidos, os gases podem se comportar como fluidos incompressíveis.
Define-se o parâmetro:
Ma = número de Mach;
V = velocidade do fluido;
c = velocidade do som no fluido.
, as variações de densidade do fluido são da ordem de 2%, ou seja, a densidade do gás é praticamente constante.
No caso do ar.
Escoamento interno:
São definidos como escoamentos internos aqueles limitados inteiramente por fronteiras sólidas (ou seja, escoamento em dutos de qualquer tipo de secção reta). A figura da pág. 2 ilustra o escoamento laminar de um fluido real na região de entrada e na região longe dessa de um duto de seção circular. O escoamento é definido como uniforme, com velocidade , na região anterior a entrada do tubo. Devido à condição de não deslizamento na parede, sabemos que a velocidade do fluido na parede do tubo é nula. Próxima à parede, fica a região na qual os efeitos adquiridos da natureza viscosa do fluido são predominantes, pois, como sabemos, a parede sólida exerce um efeito retardado no fluido. À medida que o fluido penetra no tubo, o efeito da parede no campo de escoamento é progressivamente sentido. No caso de escoamento (ou fluido) incompressível, a velocidade do fluido no centro do tubo deve crescer com a distância a partir da entrada de modo que o balanço de massa seja satisfeito.
A velocidade média de área é definida por:
deve ser igual a V0, pois para o caso de seção de escoamento constante, a massa de fluido que escoa ao longo do tubo em qualquer seção reta é constante.
Escoamento externo:
São definidos como tal, aqueles escoamentos para os quais ocorre uma superfície livre no campo de escoamento. Ex. escoamento ao longo da placa plana como ilustrado na figura da pág. 1.
Escoamento de um fluido real incompressível:
Efeitos decorrentes da natureza viscosa do fluido alteram significativamente as características do escoamento que dessa forma podem ser classificados em:
a) laminar;
b) turbulento.
O número de Reynolds (Re) é um parâmetro que caracteriza o escoamento.
escoamento
 em dutos
Essa classificação é relacionada ao comportamento macroscópico do escoamento.
Escoamento laminar: é aquele no qual o fluido escoa como se constituído de lâminas (daí o termo laminar) ou camadas e que essas lâminas simplesmente deslizam umas sobre as outras, ou seja, não há mistura macroscópicas entre as camadas de fluido!
Escoamento turbulento: é aquele em que se observa uma mistura macroscópica de porções de fluido que, dessa forma, atravessam o campo de escoamento e no decurso de sua trajetória se chocam com outras porções de fluidotrocando com as mesmas quantidades de movimento. Há que se notar ocaráter totalmente aleatório dessas trajetórias, configurando-se assim o aparecimento de flutuações (com o tempo) da velocidade de fluido em um dado ponto.
vz mede a velocidade do fluido em um dado ponto!
 é a velocidade média temporal;
 é a flutuação da velocidade.
Reynolds (Sir Osborne Reynolds (1886)) foi o primeiro a demonstrar as diferenças qualitativas entre esses escoamentos.
Água de um reservatório entra em um duto cuja entrada e de formaarredondadapara minimizar os efeitos da perturbação no escoamento sendo sua vazão no duto controlada por um registro (A) de um tubo de diâmetro (B), ligado a um reservatório que contém uma solução corante, é injetada no tubo de grande diâmetro de solução corante.
Reynolds determinou experimentalmente que para baixas velocidades de fluido no duto, para baixas velocidades de fluido no duto, o filamento de corante que entra no duto mantém uma trajetória paralela às paredes do duto. À medida que a velocidade do fluido aumenta, são observadas perturbações no filamento corante que são de caráter aleatório tanto relativo ao local em que essas perturbações aparecem quanto à amplitude dessas perturbações. A velocidades ainda maiores, nota-se que o filamento corado se difunde instantaneamente no fluido, indicando ocorrer uma perfeita mistura do corante com o fluido.
Reynolds procurou caracterizar essas condições quantitativamente. Para tanto, definiu:
a)um parâmetro geométrico - D – diâmetro do tubo;
b) um parâmetro cinemático – V –velocidade do fluido;
c) propriedades físicas do fluido – ρ e μ.
Atravésdo grupo:
Forças de superfície e de corpo:
̴ Surface and Body Forces ̴
No estudo da Mecânica dos Fluidos, deparamo-nos com 2 tipos principais de forças que são classificados em:
1) forças de campo (corpo ou volume);
2) forças de superfície.
1) Todas as forças que atuam no sistema sem contato físico com o mesmo são genericamente denominados forças de campo.
Ex.: força peso ̴ efeito do campo gravitacional;
Força magnética ̴ efeito do campo magnético.
A única força de campo que consideraremos será aquela devido ao campo gravitacional, ou seja, a força peso.
Essa força atua em um elemento de fluido de massa dm e volume dV.
*2ª lei do movimento de Newton: 
ρ ̴ densidade do fluido;
g ̴ aceleração da gravidade;
ρg ̴ peso específico do fluido que é a força peso por unidade de volume!
Ex.: Uma distribuição da força de campo é dada por:
B é expresso em lb-force/slug.
ρ é expresso em slug/ft3.
Qual a força que atua no volume de fluido ilustrado abaixo?
2) ̴ todas as forças que atuam no sistema através do contato físico com as fronteiras da mesma são denominadas forças de superfície.
Ex.: pressão, tensão cisalhante.
Grupos adimensionais relevantes na Mecânica dos Fluidos.
As forças que atuam no movimento de um fluido real são as seguintes:
Fonte de quantidade de movimento1.forças de pressão
2. forças de campo
3. força viscosa (=força cisalhante);
4. força de inércia (resultante).
1. Força de pressão:
2.Força de campo:
3.Força viscosa:
4.Forças de inércia:
Daí os seguintes números são definidos:
1)Nº de Euler (Eu):
∆P ̴ pressão estática;
ρV2 ̴ pressão dinâmica (associada ao movimento do fluido).
Define-se também o nº de Ruark (Ru) como o inverso do nº de Euler.
2) Nº de Froude (Fr):
3) Nº de Reynolds (Re):
Aula número 6
Equação do movimento do fluido.
A equação do movimento de um fluido nada mais representa senão um balanço de forças que atuam sobre o fluido e dessa forma alteram seu estado de movimento e/ou repouso.
Essas forças são:
a) forças de pressão ̴ Fp;
b) forças de campo ̴ FC;
c) forças viscosas ̴ FV.
A resultante dessas forças é, de acordo com a 2ª lei do movimento de Newton, a força de inércia. Assim:
Como já vimos:
FC ̴ força de campo;
Fi ̴ força de campo;
Fp ̴ força de superfície;
FV ̴força de superfície.
A eq. (1) pode ser posta na forma:
Ou então:
Qual a forma dessas forças?
Designemos por:
L ̴ comprimento característico:
Assim, a área será expressa em termos proporcionais a L2. O volume em termos proporcionais a L3.
V ̴ velocidade característica:
sendo:
T ̴ tempo característico;
Fi ̴ massa x aceleração;
Fp ̴ pressão x área;
Fp ̴ PL2.
FV ̴ tensão cisalhante x área;
FV ̴ τL2, porém:
assim:
FC ̴ massa x aceleração (gravidade);
FC ̴ ρgL3.
Assim:
1)
P ̴ pressão estática;
ρV2 ̴ pressão dinâmica associada ao movimento do fluido.
2) 
3) 
Dessas considerações, podemos concluir que os nºs de Ru, Re e Fr são:
a) adimensionais;
b) parâmetros da equação do movimento de fluidos reais.
No caso do fluido ideal (μ = 0), Re = 0, assim Re não é um parâmetro da equação do movimento, pois desaparecem as forças viscosas.
Qual a forma dessas forças?
Como já vimos:
Aula número 7
Estática dos fluidos:
1. Introdução:
A Estática dos Fluidos é o ramo da Mecânica dos Fluidos que trata das relações de forças que atuam em sistemas fluidos em repouso relativo às superfícies que os limitam. A massa de fluido pode estar em movimento, porém todas as partículas do fluido mantém sempre a mesma posição relativa. Nesse caso inexistem gradientes de velocidade no fluido e consequentemente podemos afirmar que o fluido não está submetido a tensões cisalhantes, ou melhor dizendo, as forças viscosas dos fluidos são nulas.
Da lei de Newton da viscosidade:
Para um fluido real, , porém:
Assim, a viscosidade no caso de fluido em repouso ou em movimento uniforme (velocidade uniforme de todas as partículas do fluido .˙. ) não controla o processo de transferência de quantidade de movimento pelo simples fato de não ocorrer transferência de quantidade de movimento. Nesse caso, os fluidos reais () podem ser tratados como fluidos ideais (.
Em um fluido estático, podemos considerar que sobre ele atuam dois tipos de força:
1. força de superfície: são aquelas devido ao contato direto das partículas de fluido entre si e com as paredes do recipiente (força de pressão).
2. força de campo (corpo): são aquelas que atuam independentemente do contato direto com o corpo (força peso).
Como não há movimento relativo entre as camadas constituintes do fluido, a tensão cisalhante em qualquer ponto dentro do fluido deve ser nula e desse modo a única força que atua sobre uma dada porção de fluido (ver figura) é a força de pressão.
Pelo fato de toda a massa de fluido ser passível de serem aceleradas, outras forças de corpo, além da força da gravidade, podem atuar numa dada porção do fluido.
Ex.: a força atuando em um caminhão tanque em movimento (parede traseira!).
Princípio de Pascal:
Ao grande filósofo e matemático francês, Blaise Pascal (1623-1662), deve ser dado o crédito de ter sido o primeiro a enunciar que a pressão num fluido estático é a mesma em todas as direções e é, portanto, uma grandeza escalar.
Considere o prisma de fluido ilustrado na figura abaixo. O fluido está em repouso e tem uma espessura unitária normal ao plano do quadro! A massa de fluido contida no prisma será dada por:
Este prisma de fluido pode representar uma porção do volume de um fluido em repouso. Como a massa do fluido não está sendo acelerada, a única força de campo que nele atua é a força da gravidade e no sentido contrário à direção z.
Para um corpo “livre”, a soma das forças em cada direção deve ser nula se o corpo estiver em equilíbrio estático. Assim:
Somatório de forças na direção:
Porém:
logo:
logo:
No limite quando:
Equação básica da estática dos fluidos
Nosso principal objetivo é obter uma equação que nos forneça o campo de pressão dentro do fluido.
Para tal, devemos escolher um elemento diferencial de massa, DM, de dimensões dx, dy e dz como ilustrado na figura abaixo. O elemento de fluido é estacionário em relação aos eixos coordenados:
Força de campo:
A força de campo (FC) corresponde ao peso do elemento de volume:
Força de pressão:
A pressão do fluido no centro do elemento de volume é suposta igual a P. Para determinar a pressão em cada uma das seis faces do elemento de volume, temos que desenvolver em termos da série de Taylor a pressão em torno do ponto 0 (o centro do volume). Note que .
O termo entre parênteses é definido pelo que resulta da aplicação do operador nabla ( sobre o escalar P.
O gradiente de pressão corresponde ao valor negativo da força de superfície por unidade de volume devido à pressão.
Deve-se notar que o mais importante na avaliação da força de pressão não é o nível de pressão, mas sim a variação da pressão com a distância, ou seja, o gradiente de pressão:
Como a equação acima é vetorial, os seus três componentes são:
Quando o fluido está em repouso:
Equação básica da estática dos fluidos
Relação básica pressão-altura:
No plano xy, a projeção do vetor z é nula.
Nos demais, é uma verdadeira grandeza.
Por quê <0?
Restrições:
1) Fluido em repouso!
2) Força da gravidade é a única força de campo!
3) Eixo dos z vertical!
Aula número 8
Integração da relação básica pressão-altura:
A integração da eq.(1) pode ser efetuada caso saibamos a equação de estado do fluido.
1) Caso de fluido incompressível (ρ = constante):
No caso de líquidos, é geralmente conveniente tomar-se a origem dos eixos coordenados na superfície livre (nível de referencia) é considerado positivo no sentido de cima para baixo:
A eq.(2) demonstra que “toda superfície livre de um líquido em repouso é plana e horizontal”, pois do contrário
e portanto e dessa forma o líquido não entraria em repouso.
2) Caso de um fluido barotrópico - :
3) Caso em que :
4) Caso de gás ideal* isotérmico (T = constante = T0):
Um gás ideal é aquele que obedece a equação de estado:
onde:
* Não confundir gás ideal com fluido ideal! Fluido ideal é aquele para o qual 
R ̴ constante universal dos gases;
R ̴ 
Chamando
M ̴ é expressa em (lb-mass mol) do gás que é o número de lb-mass igual à massa molecular do gás.
Ex.: Uma lb-mass mol de O2 é igual a 32 lb-mass; um g-mol de O2 é igual a 32 g.
Alguns valores de R:
	R (ft lb-force/lb-mass °R)
	Gás
	M
	53,33
	Ar
	28,97
	35,11
	CO2
	44
	55,18
	N2
	28
	386,25
	H2
	4
	96,55
	CH4
	16
	55,19
	C2H2
	28
sendo:
pois:
em 
As equações (4) e (5) demonstram que o equilíbrio estático em uma atmosfera isotérmica é aquela em que um plano z qualquer tanto P quanto ρ é constante.
Como demonstrado pela eq.(2), a diferença de pressão entre 2 pontos quaisquer de um fluido incompressível é proporcional à diferença de altura entre esses 2 pontos.
Vamos considerar o sistema ilustrado na figura da pq. (VER PÁGINA CORRETA):
As pressões em 2 pontos quaisquer depende somente de z e independem de x e y. Planos de z = são planos de pressão constante, denominados planos isobáricos (iso = igual, báricos = pressão ). Isso significa que se o líquido fosse contido em um recipiente da forma ilustrada, a pressão variaria apenas com a altura da mesma forma caso as paredes do recipiente fosse verticais.
Vamos considerar o sistema ilustrado na figura abaixo:
Em um recipiente, contendo um fluido incompressível, inseriremos tubos manométricos que, ao cabo de certo tempo, apresentarão os níveis de fluido a igual altura.
Da figura, vemos que:
1) 
2) 
1) energia por unidade de peso!
2) energia por unidade de massa!
Obedece ao 1º Princípio da Termodinâmica. Nesse caso de fluido estático isotérmico não foram considerados, por serem nulos, os termos referentes a:
1. energia cinética;
2. energia interna;
3. energia térmica cedida ao ou retirada do sistema;
4. trabalho executado sobre ou pelo sistema;
5. perdas (irreversíveis) de energia mecânica do fluido.
Da análise feita, podemos concluir que para uma dada pressão de referência e altura de referência tanto a pressão piezométrica quanto a carga piezométrica são constantes dentro do fluido.
Planos de pressão constante são planos de e não dependem da forma do recipiente!
Ex.: Um tanque fechado é cheio parcialmente com mercúrio cujo . Se a pressão do ar comprimido na superfície é equivalente à de uma coluna de CCl4 de 8 m, determinar a pressão de Hg em um plano situado a 15 ft abaixo de sua superfície livre:
Método expedito:
Ex.: A quantos atm equivale:
a) Uma coluna de 50 m com um óleo de .
b) Qual a densidade que deve ter um fluido para que a pressão na base de um reservatório com 7,5 m de altura seja igual a 17 psi?
	Substância
	
	Álcool etílico
	0,789 ̴ 0,79
	Benzeno
	0,878 ̴ 0,88
	CCl4
	1,594 ̴ 1,60
	Glicerina
	1,261 ̴ 1,26
	Mercúrio
	13,550 ̴ 13,6
	Octano Normal
	0,702 ̴ 0,70
	Óleo vegetal
	0,95 ̴ 0,95
	Água
	1,00 ̴ 1,00
	Água do Mar
	1,025 ̴ 1,03
Ex.: Calcular a pressão no fundo do tanque mostrado na figura abaixo:
No valor numérico da constante a já está incluído o fator de conversão para .
Supondo que o ar se comporta como gás ideal, sua equação de estado é:
1) Cálculo de 
2) Cálculo de T:
Aula número 9
Manometria: é a parte da estática dos fluidos que estuda os métodos e instrumentos destinados às medidas de pressão nos fluidos.
A pressão, como a temperatura, pode ser medida em escala absoluta ou relativa, dependendo somente do instrumento utilizado.
Como já definido, pressão é a força (normal) que atua na unidade de área da superfície a qual é aplicada.
A água contida em um recipiente de 1 ft de aresta exerce no fluido deste recipiente uma força devido ao seu própriopeso. Essa força peso é dada por:
*
Como já vimos, a pressão exercida pelo fluido nas paredes laterais do tanque é função do peso da coluna de fluido considerada. A pressão exercida pelo fluido no tanque é dada por:
* observe que quando a relação , o número que expressa a massa em (em lb-mass) é o mesmo que expressa a força (em lb-force).
Se estivéssemos medindo a pressão, digamos, no fundo do tanque, poderíamos obter dois valores distintos:
1 ̴ associado ao peso da coluna de água de 1 ft de altura (F);
2 ̴ associado ao peso da coluna de água do tanque acrescido de qualquer pressão externa à superfície livre da água no tanque (F + f).
Assim: ,
sendo: f = força externa ao sistema que atua na superfície livre de água no tanque.
Já vimos que:
Esse resultado implica que a diferença de pressão de um dado sistema pode ser expressa em termos da altura de uma coluna de líquido.
Como , concluímos que:
É evidente que o uso do piezômetro indicado para a medida da pressão no fluido é limitado ao caso do escoamento de líquidos a pressões muito baixas!
Manômetro: é o instrumento utilizado para a medida da pressão. Eles são de três tipos:
1. Manômetro de tubo em U:
Neste tipo de medida, a pressão é lida em termos de uma coluna de líquido, denominada líquido manométrico, cujo peso/área é equilibrado pela pressão a que está submetido.
plano AA’ ̴ isobárico;
plano BB’ ̴ isobárico.
Como visto, BB’ é um plano isobárico, logo:
Essa relação é válida desde que:
a) 
b) ambos os fluidos sejam imiscíveis e não reajam entre si.
1. mede a pressão relativa do ar contido no recipiente. A pressão relativa mede, na verdade, o excesso (ou a falta) da pressão do sistema sobre a pressão do ambiente que envolve o sistema. Como a pressão ambiente (patm) muda constantemente (é função da temperatura, umidade relativa, altitude) mudará portanto o valor da pressão relativa, porém o valor da pressão absoluta permanece, como é óbvio, constante.
2. mede a pressão absoluta do ar no recipiente, expressa por (h2 + h1). A altura h2 corresponde à pressão externa, pois quando o tubo do manômetro estava aberto, a altura da coluna era h1 apenas devido à pressão externa exercida, ação contrária à pressão do ar no recipiente. Assim, fechando o tubo do manômetro, essa ação externa foi eliminada e a pressão do ar no recipiente força a subida do fluido manométrico de uma altura, evidentemente, correspondente à pressão externa.
Como pode ser visto da fig. (2), a pressão absoluta é uma pressão “relativa” à pressão de vácuo, ou seja, uma pressão nula. Desse modo, o ponto zero de uma escala absoluta corresponde ao vácuo absoluto.
2.Barômetro:
	Água
	Mercúrio
	T (°F)
	PV (psi)
	T (°F)
	PV (psi)
	40
	0,122
	126
	1
	60
	0,256
	229
	40
	100
	0,949
	242
	100
	140
	2,89
	291
	200
	200
	11,53
	323
	400
	212
	14,70
	357
	760
Admitindo . (é claro que T é importante!).
Como a pressão atmosférica (ambiente) muda constantemente, adota-se como pressão atmosférica padrão a pressão equivalente à altura de uma coluna de Hg de de altura (válida ao nível do mar e ).
Seja, por exemplo, uma leitura barométrica de 74 cm (leia-se 74 cm de Hg!). Essa será, portanto, a pressão de referência.
Note que a pressão de referência pode variar como no exemplo abaixo ilustrado.
Em relação ao recipiente A, a pressão de referência (absoluta) é a pressão do recipiente B.
Em relação ao recipiente B, a pressão de referência (sempre absoluta) é a pressão atmosférica lida, como ilustrada, através do barômetro.
A pressão manométrica é sempre aquela lida através do manômetro de tubo aberto!
3.Manômetro de Bourdon:
A leitura do manômetro
é, em geral, sempre nula quando aberto para a atmosfera. Isso significa que a leitura do manômetro de Bourdon nos dá a pressão relativa (psig caso a escala seja calibrada em termos de lb-force/in2).
A leitura do manômetro de Bourdon, acima ilustrado, indica 15 psig e a leitura do barômetro é de 30 in Hg. Qual é a pressão absoluta do recipiente?
Por quê psia?
Um manômetro de tubo em U ( é ligado a um tanque. Se a leitura indicada na figura abaixo é de 25,4 in e a do barômetro é de 4,79 psia, qual a pressão absoluta no tanque expressa em ft de H2O?
Achar PA – PB.
Capilaridade:
O fenômeno de um líquido se elevar em um tubo capilar é denominado capilaridade. Considere um líquido, tal como água, que se eleva em um tubo capilar como ilustrado na figura. A superfície do líquido faz com as paredes laterais do tubo um ângulo θ, denominado ângulo de contato. A força de tensão superficial sobre o líquido na direção θ e, assim, o componente vertical dessa força é expresso por:
Essa força é contrabalançadapeso da coluna de líquido cujo valor aproximado é:
*
*É claro que
Propriedades das superfícies líquidas. Uma molécula situada no interior de um líquido está completamente rodeada por outras e , em consequência, é, geralmente atraída em todas as direções por suas vizinhas. No entanto, a molécula localizada na superfície livre exibe uma força de atração no sentido de fora para dentro do líquido devido ao maior número de moléculas no líquido do que no vapor por unidade de volume.
Assim, a superfície livre de um líquido tende a se contrair para que sua área seja sempre a menor possível e esta é a razão para as gotas de um líquido e as bolhas de um gás serem esféricas, uma vez que é a geometria de menor área superficial para igual volume. Essa tendência à contração da superfície livre determina um estado de tensão que é definida como tensão superficial, a responsável pelo fenômeno de capilaridade.
Aula número 10
Balanço macroscópico de quantidade de movimento:
Escoamento laminar estacionário:*
1.Balanço de taxa de quantidade de movimento.
É necessário antes de aplicarmos a equação (1) a um fluido em movimento identificarmos a grandeza “taxa de quantidade de movimento” como a força, ou seja, a equação (1) na verdade representa um balanço de forças. Vejamos:
No caso em que m é constante:
A quantidade de movimento pode entrar (ou sair) do volume de controle por dois mecanismos distintos:
1. mecanismo de ação molecular ̴ associado à viscosidade do fluido;
2. mecanismo de ação convectiva ̴ associado ao movimento do fluido.
Um procedimento feral para o desenvolvimento da equação do movimento de um fluido em escoamento é o seguinte:
*esse assunto faz parte do capítulo 2 do Bird.
1) Faz-se o balanço de taxa de quantidade de movimento ou, o que é equivalente, de forças na forças na forma da eq. (1) para um elemento de fluido de espessura finita. Tal elemento de fluido é denominado volume de controle. A geometria dele deve, obviamente, ser compatível com a geometria do sistema físico no qual há o escoamento.
Esse elemento de fluido, comumente chamado de casca (em inglês “shell”) é como se fosse uma fotografia de tamanho reduzido do volume de fluido considerado do sistema físico em questão.
2) Admite-se então a espessura da casca de fluido tender a zero (isso representa que o balanço de forças seja aplicado a um ponto material do fluido) e utilizando-se a definição matemática da derivada primeira, é obtida uma equação diferencial que, após a integração, nos fornece a distribuição do fluxo de quantidade de movimento ou, equivalentemente, a distribuição de tensão cisalhante no fluido!
3) Na expressão que fornece a distribuição de tensão cisalhante, é inserida a relação entre esta e o gradiente de velocidade (vale dizer a taxa de deformação) adequada para descrever o comportamento reológico do fluido face às forças cisalhantes.
A distribuição de velocidade no fluido é obtida após a integração.
Uma vez de posse desta distribuição de velocidade, podemos determinar as demais grandezas relevantes no escoamento. Essas grandezas são as seguintes:
1. velocidade máxima do fluido;
2. velocidade média do fluido;
3. vazão volumétrica;
4. força que o fluido exerce na parede sólida.
No processo de integração das equações diferenciais acima mencionadas, aparecem constantes de integração (arbitrárias!) que devem ser determinadas a partir das condições físicas do problema em questão. Essas condições, que relacionam o problema matemático com o físico, são denominadas:
1. condições de contorno (“boundary conditions”): assim chamadas, pois estão associadas à geometria do escoamento*.
2. condições iniciais (“initial conditions”): assim denominadas, porque estão associadas à variável independente tempo (em t = 0). Aplicam-se, obviamente, somente a problemas de escoamento transiente.
*deve-se conhecer, a priori, o valor da velocidade (variável dependente) em pontos definidos do campo de escoamento. Esses pontos são definidos pelas suas coordenadas espaciais (variáveis independentes).
Nocaso de escoamento estabelecido, não há variação de qualquer variável dependente com o tempo (variável independente) de modo que só precisamos conhecer as condições de contorno do problema. As condições de contorno mais comuns são:
1. na interface sólido/fluido, a velocidade do fluido real é sempre igual à velocidade da parede sólida;
2. na interface líquido/gás, a tensão de cisalhamento é desprezível, pois a tensão de cisalhamento na fase gasosa é muito pequena.
A figura acima ilustra o escoamento de um fluido real ao longo de uma placa plana horizontal. As condições de contorno para esse problema são:
Outras condições, se necessário, devem ser estabelecidas para que as constantes arbitrárias de integração possam ser determinadas.
Escoamento de um filme líquido ao longo de uma placa plana inclinada.
Ver 2.2 da pg 34/50 do livro do Bird.
Este problema, mesmo na forma simplificada como será resolvido, encontra bastante aplicação em problemas reais, tais como: torres de absorção, drenagem de reservatório, etc.
Se a tensão cisalhante no centro do elemento de fluido é dada por τxz, então a força cisalhante que atua na face superior é dada por:
Na face inferior, a tensão é dada por:
A força de campo que atua no elemento de volume é dada por:
Iniciamospor efetuar na lamina de fluido de espessura ∆x, comprimento L, largura W (largura da placa), um balanço de quantidade de movimento que é transferida na direção perpendicular ao escoamento.
.
Taxa de 
q.m.
 que entra no 
V.C.
 através da superfície em x = x. 
Taxa de 
q.m.
 que 
sai
 no 
V.C.
 através da superfície em x = x
 + 
∆
x
. 
.
Força de campo que atua no 
V.C.
Se o fluido é Newtoniano:
a)Velocidade máxima:
É dada no ponto x = 0:
b) Velocidade média de área:
Obs.:
c) Vazão volumétrica:
d) Espessura do filme líquido:
e) Componente z da força que o fluido exerce sobre a placa:
Devemos notar que é o componente na direção z da força peso que atua na unidade de volume de fluido, ou seja, a força que o campo gravitacional exerce sobre a massa da unidade de volume do fluido. Fz é, portanto, a força peso exercida sobre a massa total de fluido e como é exercida na direção paralela à placa inclinada, ela é de natureza cisalhante.
Notemos ainda que o problema estudado se constitui uma caso particular da equação do movimento, cuja forma geral é:
Como:
Isso é justamente o que acabamos de demonstrar.
No desenvolvimento dos resultados acima, são aplicáveis as seguintes restrições:
1.o escoamento é laminar;
2. o regime de escoamento é estabelecido *;
3. o fluido é incompressível ;
*Na realidade, essa situação não ocorre, pois mesmo que a placa fosse infinita, a espessura do filme líquido tenderia a crescer indefinidamente,
pois . O que fizemos, foi considera-la constante: tornando o escoamento estabelecido (1-D) ao invés de permanente (2-D).
4. os efeitos terminais, de entrada e saída, são desprezíveis o que equivale a dizer que o comprimento, L, da placa é muito grande em comparação à espessura do filme;
5. as equações (3) e (8) são válidas apenas para o caso de fluido Newtoniano enquanto a (2) é perfeitamente geral para fluidos cujas características reológicas sejam independentes do tempo.
Nesse escoamento, o número de Reynolds é definido por:
sendo o comprimento característico definido através do raio hidráulico ou diâmetro hidráulico, este último definido por:
A ̴ área do escoamento;
P ̴ perímetro “molhado”.
No caso em tela:
Logo:
No caso de tubo de seção circular:
resultado que não deve surpreender quem estiver acordado na aula!!
As características do escoamento, laminar ou turbulento, são definidas pelo Re nas seguintes faixas:
É importante lembrar que o valor clássico , etc. só vale para tubos de seção circular e, por extensão, em escoamentos internos em que no cálculo do valor de Re, o comprimento característico é substituído pelo diâmetro hidráulico.
Aula número 11
Escoamento Laminar Estabelecido através de um Duto de Secção Circular*:
Aplicaremos, ainda nesse caso, a equação geral de balanço de forças com a única em relação ao caso anterior no que se refere à utilização do sistema de coordenadas. Como pode ser visto na fig. (1), o sistema de coordenadas mais conveniente para descrever a geometria do sistema físico é o de coordenadas cilíndricas.
Seja então o escoamento laminar estabelecido de um fluido incompressível dentro de um duto de secção circular de raio R e comprimento L.
A restrição adicionalmente imposta, implícita no termo “escoamento estabelecido”, é que o tubo é suficientemente longo de forma que o comprimento hidrodinâmico de entrada (LH) é muito pequeno em relação ao comprimento do tubo (L).
Como já vimos, a região de comprimento LH é onde o perfil de velocidades se desenvolve e é, portanto, uma região de escoamento 2D permanente. Nela, ocorrem, concomitantemente, duas regiões distintas (ver fig. (1)).
1-D permanente
(estabelecido).
2-D permanente.
*ver ex. 2.3 da pq. 42 do Bird ou § 12.3 da pg. 336 do Sisson.
Área da coroa circular:
logo:
Área lateral da área cilíndrica interna:
Área lateral da casca cilíndrica externa:
1ª região: próxima à parede de tubo onde predominam os efeitos viscosos;
2ª região: afastada da parede do tubo onde os efeitos viscosos podem ser desprezados.
Na análise matemática do problema relativo ao balanço de forças, selecionaremos um elemento de volume de fluido cuja geometria seja compatível com a do escoamento, ou seja, uma casca cilíndrica de espessura dr e comprimento dz conforme visto na fig. (1).
Estamos admitindo que, por não existir escoamento na direção θ, ou seja, , o escoamento é axialmente simétrico.
No caso de escoamento estabelecido, podemos escrever que a equação geral do movimento se reduz a:
Como 1ª etapa, consideraremos as forças de pressão que podem ser obtidas pelo produto entre pressão e área. Tais forças de pressão atuam na área da coroa circular localizadas à esquerda e à direita do elemento de fluido.
Se P é pressão que atua no centro do elemento de fluido, então a força de pressão que atuará à esquerda será:
Na coroa circular a direita será:
Como 2[ etapa, consideraremos as forças cisalhantes as quais podem ser obtidas pelo produto da tensão cisalhante pela área sobre a qual as forças cisalhantes atuam.
Se τrz é a tensão cisalhante no centro do elemento de fluido então a força cisalhante que atua na superfície interna do elemento de fluido é dada por:
Na superfície externa do elemento de fluido, a força cisalhante é dada por:
Somando e simplificando, vem:
Dividindo a equação anterior por *, temos:
Como τrz é função somentede r (daí o porquê de ser utilizada a derivada total ao invés da parcial no componente z da força cisalhante).Por outro lado, , só pode ser função de z. Para que seja válida, a eq. (1) tem que ser igual a uma constante.
pois do contrário !
Perfil linear de tensão de cisalhante. Observe que este perfil de tensão cisalhante é válido para qualquer tipo de fluido.
a)Distribuição de velocidade:
No caso de fluido Newtoniano incompressível, a tensão cisalhante está relacionada com o gradiente de velocidade na forma:
Substituindo a eq. (3) na eq. (2), vem:
*notar que é o volume de elemento de fluido, logo passa de força para força/volume.
A eq. (4) fornece o campo de velocidade de um fluido Newtoniano incompressível escoando ao longo de um tubo de secção circular de raio R, comprimento L submetido a uma diferença de pressão constante, ∆P.
b) Velocidade máxima (vz, máx):
c) Velocidade média de área (<vz>):
d) Vazão volumétrica (Q):
A eq. (7) é conhecida como equação de Poiseuille e nos indica que, nessas condições de fluido Newtoniano, a vazão é:
1. proporcional ao gradiente de pressão;
2. inversamente proporcional à viscosidade do fluido;
3. Proporcional à 4ª potência do raio!
2) Força que o fluido exerce sobre a parede do fluido (Fz):
Esse resultado, a exemplo do problema da placa inclinada, simplesmente confirma as suposições feitas no desenvolvimento da equação que nos fornece o perfil de velocidades. Essas suposições se baseiam em que a força resultante devido à diferença de pressão aplicada no fluido é contrabalanceada pela força viscosa do fluido que, como sabemos, tende a resistir às deformações do fluido.
Esses resultados, é bom lembrar, são válidos dentro das seguintes restrições:
a) o escoamento é laminar, 
b) o fluido é incompressível;
c) o escoamento é estabelecido, isto é, 1-D;
d) o fluido é Newtoniano. Essa restrição só deve ser imposta no caso das expressões a partir da eq. (1).
Escoamento em tubo capilar (viscosímetro)
Seja .
Achar μ!
Verificaremos se o regime de escoamento é de fato laminar.
Sobre o fluido, atuam dois tipos de força:
a)força de pressão: originada pelo gradiente de pressão expresso por . Essa força, que corresponde a uma fonte de quantidade de movimento, tende a acelerar o fluido.
b) força viscosa: essa força, que corresponde a um sumidouro de quantidade de movimento, tende a retardar o movimento do fluido.
No caso em que há equilíbrio entre ambas as forças, temos:
Chamando
Aula número 12
Sistema e Volume de Controle:
Um sistema é definido como uma quantidade de massa fixa e identificada. As fronteiras físicas do sistema o separam do ambiente no qual está inserido. As fronteiras do sistema podem ser fixas ou móveis, porém, por definição, nenhuma massa pode atravessar essas fronteiras.
O ar contido no interior do cilindro é considerado como o sistema ≡ quantidade de massa fixa e identificado.
Se a parede esquerda, por exemplo, do cilindro for aquecida, o pistão se deslocará para a direita e a fronteira do sistema se deslocará também nessa direção.
Do nosso estudo termodinâmico, sabemos que calor e trabalho podem ser transferidos através das fronteiras do sistema, entretanto a massa do sistema permanecerá constante, pois não haverá transporte de massa através do sistema.
Descrição de Euler e Lagrange do Movimento das Partículas de um Fluido:
No estudo da Mecânica Clássica, uma vez que se tratava de pequeno número de partículas em movimento (por exemplo, a posição do centro de gravidade do sólido) usamos um método de descrição do movimento da partícula localizada no centro de gravidade através do qual o vetor posição da partícula é uma função do tempo:
Isso significa que em um instante arbitrário, t0, as coordenadas da partícula são identificadas, por exemplo, (x0, y0, z0) e daí por diante se segue o movimento da partícula com o tempo:
Para uma outra partícula localizada em um ponto