Potencial Elétrico

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Potencial Elétrico 
• A força eletrostática é uma força conservativa; 
• Um sistema de partículas carregadas possui uma energia potencial elétrica; 
• A força eletrostática pode realizar trabalho produzindo variação na energia 
potencial do sistema; 
 
 WUUU if −=−=Δ 
 
• Este trabalho independe da trajetória descrita pela partícula carregada. 
 
 
i 
f 
I 
II 
 
 Podemos atribuir uma energia potencial nula para um estado inicial quando as 
partículas estão infinitamente separadas. 
 O trabalho para aproximar estas partículas desde o infinito é: 
 
 UUW =Δ=− ∞ 
 
 Se apenas forças conservativas atuam no sistema, a energia mecânica é 
conservada. 
 
Exemplo: 
Qual a variação da energia potencial elétrica de um elétron, quando deslocado 30cm 
entre duas placas paralelas que geram um campo elétrico uniforme de 5,0 x 104 N/C? 
 
 
 
Potencial Elétrico 
 A energia potencial por unidade de carga elétrica é denominado de 
potencial elétrico. 
 
 
 
 
 A diferença de potencial elétrico entre dois pontos é: 
q
UV =
 
 
q
U
q
U
q
U
VVV ifif
Δ=−=−=Δ 
 
 
 1
 Mas, a variação da energia potencial equivale ao trabalho realizado : ΔU = 
– W , então: 
 
q
WVVV if −=−=Δ 
 
“O potencial elétrico é uma propriedade de um campo elétrico, é independente da 
presença de um objeto carregado nesse campo. É expresso em joule por coulomb, 
sendo denominado de volt.” 
 
 VC
J 11
1 =
 
 
 A diferença de potencial pode ser positiva, negativa ou nula. 
 Adotando Vi no infinito como sendo zero, temos: 
 
q
WV ∞−= 
Obs: 
A unidade de campo elétrico pode ser N/C ou V/m 
 
 O trabalho para deslocar uma carga elementar entre dois pontos com uma 
diferença de potencial de 1 volt é definido como um elétron-Volt (eV), 
1eV = 1,60 x 10-19 J 
 
Exemplos: 
1) (a) Calcule a velocidade de um próton que é acelerado a partir do repouso por 
uma diferença de potencial de 120V. 
 (b) Calcule a velocidade de um elétron que é acelerado pela mesma diferença de 
potencial. 
 
mp = 1,67 x 10-27 kg 
me = 9,11 x 10-31 kg 
 
Superfícies Eqüipotenciais 
 
 
 2
 Pontos adjacentes que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma 
superfície eqüipotencial; 
 O trabalho para deslocar uma carga sobre dois pontos de uma superfície 
eqüipotencial é nulo. 
 
 
Cálculo do potencial elétrico a partir do campo elétrico 
Conhecendo o vetor campo elétrico E ao longo de uma trajetória, podemos calcular o 
potencial elétrico entre dois pontos desta trajetória. 
 
 
 
O trabalho para deslocar uma partícula com carga qo em um deslocamento ds é: 
 
 
 
→→
→→
⋅=
⋅=
sdEqdW
sdFdW
o
 
 
 
 ∫ →→⋅=
f
i
o sdEqW 
 
 
Lembrando que: 
 
oq
WV −=Δ 
 
 
 
Então: 
 ∫ →→⋅−=−
f
i
if sdEVV 
 
 
Exemplo: 
1) Uma bateria de 12V é conectada em duas placas paralelas, que estão distantes uma da 
outra 30cm, sendo o campo elétrico uniforme entre as duas placas. Determine o valor do 
campo elétrico entre as placas. 
 
 3
2) Um próton é liberado do repouso em um campo elétrico uniforme de intensidade 8,0 
x 104 V/m dirigido ao longo do eixo x positivo. O próton realiza um deslocamento de 
magnitude 0,50m na direção de E. 
(a) Encontre a variação no potencial elétrico entre os pontos A e B. 
(b) Encontre a variação na energia potencial do sistema campo-carga para esse 
deslocamento. 
 
O que significa o sinal negativo no item (a) e no item (b)? 
 
Aplicando conservação de energia, determine a velocidade do próton após percorrer 
0,50m, partindo do repouso. 
 
 
Potencial Devido a Uma Carga Pontual 
 
Para determinar o potencial elétrico em um ponto P, que se encontra a uma distância R 
de uma carga pontual, vamos mover uma carga de prova do ponto P até o infinito, 
atribuindo potencial zero no infinito. 
 
 
 
 
Vimos que a diferença de potencial entre dois pontos é dada por: 
 
 
V V E df i
i
f
− = − ⋅∫ 
 
 
A diferença de potencial entre dois pontos é independente da trajetória, vamos escolher 
uma trajetória retilínea. 
s
r
 
V V E df i
i
f
− = − ⋅∫ 
 4
Fazendo Vf = 0 e lembrando que o campo elétrico de uma carga pontual é: 
 
 
E
q
ro
= 1
4 2πε 
 
Temos: 
 
0
1
4 2
− = − ⋅
∞
∫V qr dri oR πε θcos drr
qV
Ro
∫∞ −−=− 24πε 
 
 ∞
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=−
Ro r
qV 1
4πε
∞
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∞−−=− Ro R
qV 11
4πε
 
 
 
 
 
R
qV
oπε4
1= 
 
 
Para qualquer distância radial r da carga, temos: 
 
 
r
qV
o
⋅= πε4
1
 
 
 
 
 Uma partícula carregada positivamente produz um potencial positivo. 
 Uma partícula carregada negativamente produz um potencial negativo. 
 
 
Potencial Devido a Um Grupo de Cargas Pontuais 
O potencial elétrico em um ponto devido a um grupo de cargas pontuais pode ser 
calculado através da soma algébrica dos potenciais de cada carga individual, 
considerando o sinal de cada carga. 
 
 
 
 
 5
Exemplo: 
Uma carga pontual de 2,0μC está localizada na origem e uma segunda carga pontual de 
–6,0μC está localizada no eixo y na posição (0m;3,0m). (a) encontre o potencial elétrico 
total devido a essas cargas no ponto P, cujas coordenadas são (4,0m;0m). (b) Qual seria 
o trabalho para trazer uma carga pontual de 3,0μC do infinito até o ponto P? 
 
 
 
 
Potencial devido a um Dipolo Elétrico 
 No ponto P, a carga pontual positiva gera um potencial V(+) e a carga negativa 
gera um potencial V(-), o potencial resultante é: 
 
 −+ += VVV
 
 
 ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+=
−+ r
q
r
qV
oπε4
1
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
⋅
−=
+−
+−
rr
rrqV
oπε4 
 
 
Para r>>d, onde d é a distância entre as cargas, 
podemos escrever: 
 
 
2
cos
rrr
e
drr
≈⋅
≈−
−+
+− θ
 
 
 
 
 
2
cos
4 r
dqV
o
θ
πε=
Substituindo: 
 
 
 
 
Onde θ é medido a partir do eixo do dipolo; 
Lembrando que o momento de dipolo é: p = qd; 
2
cos
4
1
r
pV
o
θ
πε
⋅=
 
 
 6
Potencial devido a uma distribuição contínua de cargas. 
 em um ponto devido a uma distribuição uniforme de cargas pode 
r calculado por: 
ensidade linear de cargas 
 
onsultando o apêndice E do Halliday, a solução da integral é: 
emente carregado tal q. O plano do anel é perpendicular ao 
 
 
O potencial elétrico
se
 
 
 ∫= dqV 1 roπε4
dqdV 1=
roπε4
dxdq
 
 
D
 
 
 
= λ
( ) 2122 dxr +=
( )∫=
L dxV
22 21
1 λ
πε +o dx04
( )∫=
L dxV
22 21πε
λ
+o dx04
C
 ( )[ ]LodxxV 22ln ++= ( )[ ]ddLLV lnln 22 −++= 
o4πε
λ
o4πε
λ
 
 
 
 
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛ ++= dLLV
22
lnλ 
⎠⎝ do4πε 
 
Exercício: Encontre o potencial elétrico em um ponto situado no eixo de um anel 
uniform de raio a e carga to
eixo x. 
∫= rdqV oπε4
1 ∫ += 224
1
ax
dqV πεo ( )∫= dqV 1 + axo 224πε
( )224 axqV o += πε
 7
1) Uma partícula fixa, eletrizada com carga 5,0μC, é responsável pelo campo elétrico 
existente numa região do espaço. Uma carga de prova de 2,0μC e 0,25g de massa é 
abandonada a 10 cm da carga fonte, recebendo desta uma força de repulsão. 
(a) Qual o trabalho que o campo elétrico realiza, para levar a carga de prova a 50 cm da 
carga fonte? 
(b) Qual a velocidade escalar da carga de prova, quando estiver a 50 cm da carga fonte? 
 
2) Considere um dipolo elétrico cuja distância entre as cargas é 2a e que ele está ao 
longo do eixo x, centrado na origem. Mostre que o potencial elétrico em qualquer ponto 
P ao longo do eixo x é dado por: 
 
( )222 axqaV o −= πε 
 
 
 
POTENCIAL DEVIDO A UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGA 
Disco carregado 
 
Vamos deduzir uma expressão para V(z), o potencial elétrico em qualquer ponto do eixo 
central. 
 
 
Considere um elemento diferencialformado por um anel plano de 
raio R' e espessura radial dR‘. 
 
 ( )( ''2 dRRdq
dAdq
πσ )
σ
=
=
 
 
A contribuição deste anel para o potencial elétrico em P é: 
 
 
( )(
( )
)
2
122
0
0
'
''2
4
1
4
1
Rz
dRRdV
r
dqdV
+=
=
πσ
πε
πε 
 
 
 
 
Para determinarmos o potencial resultante em P somando as contribuições de todas as 
fatias de R' = 0 até R' = R. 
 
( )∫∫ +==
R
Rz
dRRdVV
0 22
0
2
1
'
''
2ε
σ 
 
 
Resolvendo a integral, obtemos: 
 ( zRzV −+= 22
02ε )σ 
 
 
 
 8
Cálculo do campo elétrico a partir do potencial 
 
Consideremos uma carga teste q0 movendo-se ao longo da direção s, conforme a figura. 
As linhas tracejadas representam superfícies equipotenciais. Ao atravessar uma 
diferença de potencial dV, é realizado um trabalho. 
O trabalho que o campo realiza durante o deslocamento é 
dW = - q0 dV. Por outro lado, o trabalho também pode ser 
escrito como q0 E . ds 
 
 ( )
ds
dVE
dsEqdVq
−=
=−
θ
θ
cos
cos00
 
 
 
 
Ecosθ é a componente do vetor E na direção de ds. Podemos reescrever como: 
 
 
s
VEs ∂
∂−= 
 
A componente de E em qualquer direção é igual a menos a taxa de variação do 
potencial elétrico com a distância nessa direção. 
Considerando os eixos cartesianos x, y e z, as componentes do vetor campo elétrico E 
em qualquer ponto são: 
z
VE
y
VE
x
VE
z
y
x
∂
∂−=
∂
∂−=
∂
∂−= 
 
 
 
 
 
 
 
Se conhecemos o potencial V para todos os pontos na região ao redor de uma 
distribuição de carga, podemos determinar as componentes de E, e portanto o próprio E, 
em qualquer ponto. 
 
Exemplo1: O potencial de certa distribuição de cargas elétricas é dado por V = (2xy3 + 
3x2z + 5yz2) V. Encontre o vetor campo elétrico no ponto (1,2,-1). 
 
 
ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DE UM SISTEMA DE CARGAS 
 
A energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais fixas é igual ao trabalho 
que deve ser realizado por um agente externo para reunir o sistema, trazendo cada carga 
de uma distância infinita. 
 
Suponha o sistema de duas cargas fixas mostrada abaixo. 
 
 
 
 9
Para determinarmos a energia potencial elétrica deste sistema de duas cargas precisamos 
construir mentalmente o sistema, partindo de duas cargas infinitamente distantes, e em 
repouso. Quando trazemos q1 do infinito e fixamos não realizamos nenhum trabalho, 
pois nenhuma força eletrostática atua sobre q1. Quando trazemos a carga q2, precisamos 
realizar certo trabalho, W = q2V uma vez que q1 exerce força eletrostática sobre q2. V é 
o potencial criado por q1 no ponto onde colocamos q2
 
 
r
qqVqW 21
0
2 4
1
πε=== r
qV 1
04
1
πε= U 
 
Para um sistema de três cargas 
 
 
• Considere o sistema de três cargas pontuais 
mantidas por forças fixas não indicadas. 
• A energia potencial é igual ao trabalho 
realizado para reunir o sistema, trazendo cada 
carga de uma distância infinita. 
• Começamos a construir o sistema trazendo 
uma das cargas pontuais, q1. 
• Trazemos em seguida a carga q2,. A energia 
potencial associada ao par q1 e q2, é: 
 
 
r
qqU 21
04
1
πε= 
 
O trabalho realizado para trazer q3 do infinito é igual a soma do trabalho que devemos 
realizar para trazer q3 para perto de q2 e q1. 
 
23
32
013
31
0
23132313 4
1
4
1
r
qq
r
qqUUWW πεπε +=+=+ 
A energia potencial total do sistema de três cargas é a soma das energias potenciais 
associadas aos três pares de cargas. 
 
231312 UUUU ++= 
 
Para um sistema de n cargas, a energia potencial do sistema é a soma das energias 
potenciais associadas aos n pares de cargas. 
 
 
 
 
 
 
 
 10