Fórmula de Euler

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Fo´rmula de Euler
Vin´ıcius Fratin Netto
Setembro de 2016
1 Introduc¸a˜o e Definic¸a˜o
O matema´tico suic¸o Leonhard Euler (1707-1783) e´ conhecido por ter sido um dos matema´ticos
mais prol´ıficos dos tempos modernos. Foram inu´meras as suas contribuic¸o˜es para a Matema´tica
e para F´ısica. Uma delas e´ a Fo´rmula de Euler, uma das va´rias contribuic¸o˜es que levam
seu nome. A fo´rmula e´ dada por
eix = cosx+ i senx, (1)
em que i e´ a unidade imagina´ria, definida como i =
√−1.
O interessante desta fo´rmula e´ que ela relaciona uma exponencial complexa com senos e
cossenos, coisas que parecem na˜o ter uma conexa˜o aparente. Em princ´ıpio, a pro´pria ideia
de que se pode ”elevar” um nu´mero a uma poteˆncia contendo um nu´mero ima´gina´rio ja´ e´
bastante contraintuitiva. Nas pro´ximas sec¸o˜es, vamos estudar as ideias que precisamos para
chegar a esta conclusa˜o.
2 Generalizac¸a˜o da exponenciac¸a˜o
2.1 Exponentes naturais
Quando aprendemos pela primeira vez o que e´ uma operac¸a˜o de exponenciac¸a˜o, estudamos
apenas poteˆncias com nu´meros naturais no expoente. Por exemplo, 23 ou 54. Para cada
um destes casos, a operac¸a˜o an, em que a ∈ R (chamada de base) e n ∈ N (chamado de
expoente, incluindo o zero), e´ definida como a multiplicac¸a˜o de a por ele mesmo n vezes.
No caso,
23 = 2× 2× 2 = 8,
54 = 5× 5× 5× 5 = 625
e
(−pi)3 = (−pi)× (−pi)× (−pi) = −31, 00627668 . . .
1
Formalmente, a exponenciac¸a˜o e´ definida indutivamente considerando
a0 = 1,
an = a× an−1. (2)
Desta forma, para an, temos que
an = a× an−1
= a× a× an−2
= . . .
= a× a× · · · × a× a0
= a× a× · · · × a× 1
e, com isso, temos uma definic¸a˜o precisa de exponenciac¸a˜o envolvendo expoentes naturais.
Ale´m disso, e´ poss´ıvel deduzir certas propriedades da operac¸a˜o. Por exemplo, para a ∈ R
e m,n ∈ N, temos que
am = a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
m vezes
(3)
e
an = a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
n vezes
. (4)
Portanto, multiplicando (3) por (4),
am × an = a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
m vezes
× a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
n vezes
= a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
m+n vezes
= am+n.
Com isso, sabemos que a exponenciac¸a˜o de um nu´mero real por uma soma de nu´meros
naturais e´ igual a` multiplicac¸a˜o das exponenciais da mesma base pelas parcelas do expoente.
De forma mais curta, como obtemos,
am × an = am+n, (5)
tambe´m conhecida como a Lei dos Expoentes.
Da mesma forma, tomando a ∈ R e m,n ∈ N, temos que
(am)n = (a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
m vezes
)n
= (a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
m vezes
)× · · · × (a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
m vezes
)︸ ︷︷ ︸
n vezes
= a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
m × n vezes
= am×n = amn.
Portanto, a exponenciac¸a˜o de uma exponenciac¸a˜o equivale a multiplicar os expoentes, fixando
a base. De forma mais concisa,
(am)n = amn. (6)
Com as propriedades (5) e (6), podemos prosseguir com nossa discussa˜o.
2
2.2 Expoentes inteiros
Tendo em ma˜os o que ja´ sabemos sobre exponenciais ate´ agora, podemos nos perguntar: e´
poss´ıvel elevar um nu´mero a um nu´mero negativo? Por mais que, no ensino fundamental e
me´dio, tenhamos aprendido regras para lidar com esse tipo de situac¸a˜o, este e´ um momento
para refletir sobre como esta operac¸a˜o, agora, pode na˜o parecer ta˜o intuitiva quanto antes.
O que significa multiplicar um nu´mero por ele mesmo −1 vezes? E´ neste momento que no´s
tornamos as coisas um pouco mais abstratas.
Quando nos perguntamos como se calcula uma exponencial com expoente inteiro, o que
queremos e´, na verdade, estender a operac¸a˜o de exponenciac¸a˜o para um conjunto mais
abragente do que os nu´meros naturais. Poder´ıamos definir isto de infinitas maneiras difer-
entes. Pore´m, ao fazer isto arbitrariamente, podem ocorrer inconsisteˆncias. Suponha que
definamos, para a ∈ R e n ∈ N, que
a−n = −an. (7)
Esta e´ uma definic¸a˜o va´lida, afinal no´s definimos desta forma. Assim, para expoentes
inteiros, alguns exemplos seriam
2−2 = −22 = −4
ou
e−3 = −e3 = −20, 0855 . . .
Pore´m, quando pensamos em extenso˜es de alguma operac¸a˜o para um conjunto mais abrangente,
devemos garantir que todas as operac¸o˜es e propriedades que valiam para o conjunto mais
restrito continuem a valer. Seria desastroso se houvesse duas maneiras de calcular uma
mesma operac¸a˜o que produzissem resultados diferentes. Tomando as propriedades (5) e (6)
e considerando nossa poss´ıvel definic¸a˜o (7), verificamos, por exemplo, que
4 = 22 = 2−1+3 = 2−1 × 23 = −21 × 8 = −16.
Ha´ duas possibilidades: ou 4 = −16 e acabamos de quebrar toda a matema´tica, ou nossa
definic¸a˜o na˜o e´ adequada para nossa situac¸a˜o. Neste caso, a segunda opc¸a˜o e´ bem mais
plaus´ıvel, pois estendemos a exponenciac¸a˜o de forma quase aleato´ria. Vamos, agora, definir
de outra maneira.
Tomando a definic¸a˜o indutiva (2), podemos reescreveˆ-la como
a0 = 1,
an−1 =
an
a
. (8)
Note que, se n = 0,
a0−1 = a−1 =
a0
a
=
1
a
,
em que, agora, demos um significado para a exponenciac¸a˜o no conjunto {−1} ∪ N.
3
Continuando o processo,
n = −1⇒ a−1−1 = a−2 = a
−1
a
=
1
a
a
=
1
a2
,
n = −2⇒ a−2−1 = a−3 = a
−2
a
=
1
a2
a
=
1
a3
e assim sucessivamente.
Desta forma, para a ∈ R e n ≥ 0, definimos que
a0 = 1,
an = a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
n vezes
e
a−n =
1
an
.
Para checarmos se a definic¸a˜o e´ compat´ıvel com o caso natural, podemos verificar as
propriedades (5) e (6). De fato, e´! Devem ser checados todos os casos de sinais poss´ıveis, e
a demonstrac¸a˜o fica como exerc´ıcio.
Percebam que, a partir de uma definic¸a˜o natural e intuitiva de exponenciac¸a˜o, con-
seguimos estender esta operac¸a˜o para um conjunto mais abrangente, no caso, o conjunto Z,
dos nu´meros inteiros. Note que precisamos ser um pouco mais abstratos, e que os resultados
que obtemos na˜o sa˜o, de forma alguma, intuitivos.
Em geral, quando generalizamos algo, inevitavelmente acabamos entrando cada vez
mais no mundo abstrato. Mais nota´vel ainda e´ o fato de que estas generalizac¸o˜es se tor-
nam extremamente u´teis (e, a`s vezes, fundamentais) no caminho da soluc¸a˜o de problemas
pra´ticos, indicando que a Natureza guarda mecanismos que a intuic¸a˜o humana na˜o com-
preende facilmente, mas que a Matema´tica pode tornar mais claros.
2.3 Expoentes racionais
Seguindo a mesma lo´gica de anteriormente, queremos que todas as propriedades que valem em
um conjunto mais abrangente continuam valendo para os conjuntos mais restritos. Partindo
deste princ´ıpio, com a ∈ R∗+, m ∈ Z e n ∈ N, n 6= 0, definimos a exponenciac¸a˜o para
expoentes racionais como
a
m
n =
(
n
√
a
)m
.
Note que, agora, restringimos que a ∈ R∗+, ou seja, a deve ser estritamente positivo! Isto
acontece devido a` presenc¸a da operac¸a˜o de radiciac¸a˜o pois, se o grau da raiz for par e a for
negativo, na˜o ha´ sentido na operac¸a˜o nos nu´meros reais.
Agora, demos um significado para casos como
8
1
3 =
3
√
8 = 2,
4
25
−3
2 =
1
25
3
2
=
1(√
25
)3 = 153 = 1125
e
pi
e
pi =
(
pi
√
pi
)e
= 2, 69253 . . .
Com esta definic¸a˜o, valem as propriedades (5) e (6), que podem ser demonstradas uti-
lizando propriedades da radiciac¸a˜o e da exponenciac¸a˜o para expoentes inteiros, que ja´ demon-
stramos.
2.4 Expoentes reais
Para expoentes reais, a exponenciac¸a˜o e´ definida como o limite da sequeˆncia de exponenciais
com expoentes racionais cada vez mais pro´ximos do nu´mero real em questa˜o. De forma mais
precisa, com a ∈ R∗+ e x ∈ R,
ax = lim
r(∈Q)→x
ar.
A ideia por tra´s desta definic¸a˜o e´ que e´ poss´ıvel aproximar o resultado da exponenciac¸a˜o
atrave´s de nu´meros racionais arbitrariamente mais pro´ximos. Por exemplo, considerando
que pi = 3, 14159 . . . , 2pi e´ o limite da sequeˆncia
(23, 23,1, 23,14, 23,141, 23,1415, 23,14159, . . . ),
cujos termos ja´ sabemos calcular com o que foi estudado sobreexponenciac¸a˜o com expoentes
racionais.
Com tudo entendido ate´ aqui, podemos comec¸ar a estudar o que acontece quando uti-
lizamos nu´meros complexos como expoentes!
3 Exponenciac¸a˜o com nu´meros complexos
Ha´ muitas maneiras diferentes de darmos um significado para exponenciais com nu´meros
complexos. Neste texto, usaremos a noc¸a˜o proveniente do Ca´lculo. Para tal, comec¸aremos
discutindo sobre Se´ries de Taylor e como podemos expandir algumas func¸o˜es em uma se´rie
de poteˆncias.
3.1 Se´ries de Taylor
Muitas vezes, e´ u´til o conceito de aproximac¸a˜o quando estamos tratando com func¸o˜es.
Se estamos interessados nos valores de uma func¸a˜o apenas na vizinhanc¸a de algum ponto,
podemos considerar, por exemplo, uma aproximac¸a˜o linear. Esta aproximac¸a˜o considera a
reta que tem cujo valor no ponto considerado e´ ideˆntico ao valor da func¸a˜o e a declividade e´
a pro´xima poss´ıvel da func¸a˜o ao redor do ponto. Considerando uma func¸a˜o f(x) e um ponto
x0, onde estamos considerando a expansa˜o da func¸a˜o na vizinhanc¸a, exigindo que f(x) seja
diferencia´vel em x0, queremos que f(x) seja aproximada como
f(x) ≈ g(x) = ax+ b,
5
onde a e b sa˜o constantes reais.
Como queremos que o valor de f(x) e de g(x) coincidam no ponto x = x0,
f(x0) = g(x0)⇒ f(x0) = ax0 + b.
Temos duas inco´gnitas, a e b, mas apenas uma equac¸a˜o. Para obter uma outra equac¸a˜o,
tambe´m exigimos que f ′(x) e g′(x) coincidam em x = x0. Portanto,
f ′(x0) = g′(x0)⇒ f ′(x0) = a,
pois g′(x) = a. Substituindo este valor na primeira equac¸a˜o, temos que
b = f(x0)− f ′(x0)x0
e, portanto,
g(x) = ax+ b = f ′(x0)x+ f(x0)− f ′(x0)x0 = f ′(x0)(x− x0) + f(x0).
Assim, obtemos que a aproximac¸a˜o linear de uma func¸a˜o f(x) ao redor de um ponto
x0 supondo as condic¸o˜es de diferenciabilidade de anteriormente. Na figura 3.1, podemos ver
a aproximac¸a˜o linear da func¸a˜o f(x) = x2 ao redor do ponto x0 = 1, que toma a forma
f(x) ≈ f ′(x0)(x− x0) + f(x0) = 2x
∣∣∣
x=1
(x− 1) + x2
∣∣∣
x=1
= 2(x− 1) + 1.
Perceba que a aproximac¸a˜o e´ muito boa para valores pro´ximo de x0 = 1, pore´m fica cada
vez pior na medida em que nos distanciamos deste ponto.
Esta ideia pode ser generalizada: que aproximac¸a˜o pode ser melhor do que a aproximac¸a˜o
linear? Uma boa tentativa e´ tentar utilizar, ao inve´s de uma reta (polinoˆmio de grau 1),
uma para´bola (polinoˆmio de grau 2)! Desta forma, queremos que uma func¸a˜o f(x) seja
aproximada por uma func¸a˜o g(x) ao redor de um ponto x0 tal que
f(x) ≈ g(x) = ax2 + bx+ c.
Seguindo a mesma lo´gica do argumento para a aproximac¸a˜o linear, vamos exigir que o
valor das func¸o˜es, a derivada primeira e a derivada segunda coincidam. Comec¸ando pela
derivada segunda, temos que
g′′(x) = (ax2 + bx+ c)′′ = (2ax+ b)′ = 2a
e, portanto,
f ′′(x0) = g′′(x0)⇒ f ′′(x0) = 2a⇒ a = f
′′(x0)
2
.
Considerando a derivada primeira, temos que
g′(x) = 2ax+ b = 2
[
f ′′(x0)
2
]
x+ b = f ′′(x0)x+ b
6
Figure 1: Aproximac¸a˜o linear da func¸a˜o f(x) = x2 ao redor do ponto x0 = 1.
e, portanto,
f ′(x0) = g′(x0)⇒ f ′(x0) = f ′′(x0)x0 + b⇒ b = f ′(x0)− f ′′(x0)x0.
Finalmente, considerando o valor da func¸a˜o, temos que
g(x) = ax2 + bx+ c =
(
f ′′(x0)
2
)
x2 + [f ′(x0)− f ′′(x0)x0]x+ c
e, portanto,
f(x0) = g(x0)⇒ f(x0) =
[
f ′′(x0)
2
]
x20 + [f
′(x0)− f ′′(x0)x0]x0 + c
=
f ′′(x0)
2
x20 + f
′(x0)x0 − f ′′(x0)x20 + c
= f ′′(x0)x20
[
1
2
− 1
]
+ f ′(x0)x0 + c
= −f
′′(x0)x20
2
+ f ′(x0)x0 + c
⇒ c = f(x0)− f ′(x0)x0 + f
′′(x0)x20
2
7
Com tudo que obtemos, chegamos que
f(x) ≈ g(x) = f
′′(x0)
2
x2 + [f ′(x0)− f ′′(x0)x0]x+ f(x0)− f ′(x0)x0 + f
′′(x0)x20
2
=
f ′′(x0)
2
[
x2 − 2x0x+ x20
]
+ f ′(x0)(x− x0) + f(x0)
=
f ′′(x0)
2
(x− x0)2 + f ′(x0)(x− x0) + f(x0),
que e´ a expressa˜o da aproximac¸a˜o quadra´tica de uma func¸a˜o f(x) ao redor de um ponto
x = x0 em seu domı´nio. E´ importante ressaltar que, agora, assumimos que f(x) e´ duas vezes
diferencia´vel em uma vizinhanc¸a do ponto x = x0.
Em geral, se queremos aproximar uma func¸a˜o f(x) n vezes diferencia´vel ao redor de um
ponto x = x0 por um polinoˆmio de grau n, que denotaremos por Tn(x), a aproximac¸a˜o para
f(x) toma a forma
f(x) ≈ Tn(x) =
n∑
k=0
f (k)(x0)
k!
(x− x0)k
= f(x0) + f
′(x0)(x− x0) + f
′′(x0)
2
(x− x0)2+
+
f ′′′(x0)
3!
(x− x0)3! + · · ·+ f
(n)(x0)
n!
(x− x0)n,
onde f (n) denota a n-e´sima derivada de f(x).
Chamamos o polinoˆmio Tn(x) de Polinoˆmio de Taylor de grau n ao redor de x = x0.
A figura 3.1 mostra aproximac¸o˜es para a func¸a˜o f(x) = sen (x) ao redor do ponto x =
0 usando polinoˆmios de Taylor de grau 1, 3, 5 e 7. E´ poss´ıvel perceber que, conforme
aumentamos o grau do polinoˆmio na aproximac¸a˜o, mais nos aproximamos dos valores da
func¸a˜o em um maior intervalo. Vem a pergunta: e se considera´ssemos um nu´mero infinito
de termos? Intuitivamente (e apenas intuitivamente), neste caso, ao inve´s de termos uma
aproximac¸a˜o, estar´ıamos obtendo uma igualdade. Tendo essa motivac¸a˜o, definimos, enta˜o,
a Se´rie de Taylor para uma func¸a˜o f(x), que denotaremos como Tf (x), como
Tf (x) = lim
n→∞
Tn(x) =
∞∑
n=0
f (n)(x0)
n!
(x− x0)n.
No caso particular em que x0 = 0, esta se´rie e´ tambe´m chamada de Se´rie de Maclaurin.
Seria muito conveniente se qualquer func¸a˜o e sua Se´rie de Taylor coincidissem para todos
os pontos, pore´m, em geral, isto na˜o e´ verdade. Sabemos do estudo de se´ries infinitas que
nem sempre ha´ convergeˆncia: os sucessivos termos sendo somados na˜o tendem a nenhum
valor finito. Ale´m disso, mesmo que a se´rie convirja em algum intervalo, na˜o e´ garantido
que o valor da se´rie de Taylor seja o mesmo que o valor da func¸a˜o no ponto.
8
Figure 2: Polinoˆmios de Taylor ao redor de x0 = 0 para sen (x)
Na˜o entraremos em muitos detalhes sobre esta questa˜o, mas e´ interessante sabermos que
a diferenc¸a entre o valor de uma func¸a˜o f(x) e o seu respectivo polinoˆmio de Taylor de grau
k, o erro Rk, tem uma forma expl´ıcita. Se f : R→ R e´ uma func¸a˜o k+ 1 vezes diferencia´vel
em um intervalo aberto e f (k) e´ cont´ınua no intervalo fechado [a, x], temos que
Rk(x) =
f (k+1)(ξL)
(k + 1)!
(x− a)k+1,
para algum nu´mero real ξL entre a e x.
O ponto central e´ que, se o erro tende a zero conforme k tende para infinito, enta˜o a
se´rie de Taylor e a func¸a˜o que foi expandida tendem a ficar arbitrariamente mais pro´ximas.
Pore´m, se isto na˜o acontece, a se´rie de Taylor e a func¸a˜o na˜o coincidem em todos os pontos,
mesmo que a se´rie convirja.
Para a nossa discussa˜o, vamos provar que algumas expanso˜es em se´rie de Taylor con-
vergem utilizando teoremas e me´todos da teoria de Equac¸o˜es Diferenciais, sem que utilizemos
a ideia de erro vista acima.
3.1.1 Func¸o˜es seno, cosseno e exponencial
Antes de prosseguirmos, precisamos de dois teoremas importantes.
9
Teorema de Existeˆncia e Unicidade de Soluc¸o˜es para Equac¸o˜es Diferenciais
Ordina´rias Lineares. Considerando uma equac¸a˜o diferencial na forma
y(n) + pn−1(x)y(n−1) + pn−2(x)y(n−2) + · · ·+ p1(x)y′ + p0(x)y = r(x)
e condic¸o˜es iniciais
y(a) = b0, y
′(a) = b1, . . . , y(n−1)(a) = bn−1,
se os coeficientes pn−1(x), . . . , p0(x) e r(x) sa˜o cont´ınuos em um intervalo aberto contendo
x = a, enta˜o existe uma u´nica soluc¸a˜o y(x) neste intervalo que satisfaz a equac¸a˜o diferencial
e as condic¸o˜es iniciais.
Teorema da diferenciac¸a˜o para se´ries de poteˆncia. Se temos uma func¸a˜o f(x)
definida por
f(x) =
∞∑
n=0
an(x− x0)n,
enta˜o f ′(x) pode ser obtida atrave´s de derivac¸a˜o termo a termo, ou seja,
f ′(x) =
[ ∞∑
n=0
an(x− x0)n
]′
= [a0 + a1(x− x0) + a2(x− x0)2 + a3(x− x0)3 + . . . ]′
= a1 + 2a2(x− x0) + 3a3(x− x0)2 + 4a4(x− x0)3 + . . .
=
∞∑
n=1
nanx
n−1.Note que, ao derivarmos, o somato´rio comec¸a a partir de n = 1, pois o primeiro termo era
uma constante. Com isso, vemos que a derivada de um ”polinoˆmio infinito” e´ apenas a
derivada aplicada a cada termo.
Com estes teoremas e notando que todas as hipo´teses sa˜o satisfeitas, vamos primeiro
expandir a func¸a˜o f(x) = sen (x) em se´rie de Taylor ao redor de x = 0 e provar que a se´rie
coincide com a func¸a˜o em todo R. Lembrando que os coeficientes das poteˆncias de x ao
redor do ponto x = 0 sa˜o dados por
an =
f (n)(0)
n!
,
obtemos que,
a0 =
sen (0)
0!
= 0,
a1 =
cos(0)
1!
= 1,
a2 =
− sen (0)
2!
= 0,
10
a3 =
− cos(0)
3!
= − 1
3!
,
e assim sucessivamente. Como os termos com ı´ndice par sempre tera˜o ± sen (0), a2n = 0
para todo n ∈ N. Inspecionando o padra˜o, podemos concluir que os termos ı´mpares sa˜o da
forma
a2n+1 =
(−1)n
(2n+ 1)!
para todo n ∈ N. Assim, a se´rie de Taylor para a func¸a˜o sen (x) ao redor de x = 0 e´ dada
por
T sen (x)(x) =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
x2n+1.
Pore´m, vale lembrar que ainda na˜o sabemos qual e´ o raio de convergeˆncia desta se´rie e nem
se ela coincide com sen (x) nos pontos em que converge.
Vamos analisar a convergeˆncia utilizando o Teste da Raza˜o no infinito. Para a se´rie
convergir, o mo´dulo da raza˜o entre um termo e o termo imediatamente anterior tem que ser
menor do que 1 conforme o ı´ndice tende a infinito, caso contra´rio, os termos cresceriam cada
vez mais e a se´rie seria divergente. Assim,
lim
n→∞
∣∣∣∣∣bn+1bn
∣∣∣∣∣ < 1.
Avaliando o limite, temos que
lim
n→∞
∣∣∣∣∣bn+1bn
∣∣∣∣∣ = limn→∞
∣∣∣∣∣
(−1)n+1
[2(n+1)+1]!
x2(n+1)+1
(−1)n
(2n+1)!
x2n+1
∣∣∣∣∣
= lim
n→∞
∣∣∣∣∣
x2n+3
(2n+3)!
x2n+1
(2n+1)!
∣∣∣∣∣
= lim
n→∞
∣∣∣∣∣ x2n+3(2n+ 3)! (2n+ 1)!x2n+1
∣∣∣∣∣
= lim
n→∞
∣∣∣∣∣ x2(2n+ 2)(2n+ 3)
∣∣∣∣∣
= |x2| lim
n→∞
∣∣∣∣∣ 1(2n+ 2)(2n+ 3)
∣∣∣∣∣
= 0 < 1,
para todo x ∈ R, pois x e´ uma constante para o limite. Assim, provamos que a se´rie converge
em toda a reta.
11
Resta agora provarmos que a se´rie, de fato, coincide com a func¸a˜o sen (x) neste intervalo.
Para isso, observe que
y(x) = sen (x)⇒ y′(x) = cos(x)⇒ y′′(x) = − sen (x)
e, portanto,
y′′(x) = −y(x)⇔ y′′(x) + y(x) = 0.
Como a equac¸a˜o diferencial e´ de segunda ordem, precisamos de duas condic¸o˜es iniciais. Como
y(x) = sen (x), temos que y(0) = sen (0) = 0 e que y′(0) = cos(0) = 1. Portanto, chegamos
que a func¸a˜o y(x) = sen (x) satisfaz o Problema de Valor Inicial (PVI) dado por
y′′(x) + y(x) = 0,
y(0) = 0, y′(0) = 1.
O ponto fundamental e´ que, pelo Teorema de Existeˆncia e Unicidade visto no comec¸o da
sec¸a˜o, sabemos que este problema de valor inicial tem soluc¸a˜o, que esta soluc¸a˜o e´ u´nica e
e´ dada, neste caso, por y(x) = sen (x). Tomando, agora, a expansa˜o em se´rie de Taylor da
func¸a˜o, T sen (x), temos que
T sen (x)(x) =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
x2n+1 = x− x
3
3!
+
x5
5!
− x
7
7!
+ . . .
e, pelo teorema da diferenciac¸a˜o de se´ries de poteˆncia, portanto
T ′sen (x)(x) = 1− 3
x2
3!
+ 5
x4
5!
− 7x
6
7!
+ . . .
= 1− x
2
2!
+
x4
4!
− x
6
6!
+ . . . .
(9)
Exerc´ıcio para o leitor: intuitivamente, que func¸a˜o voceˆ acha que esta se´rie representa?
Derivando novamente, temos que
T ′′sen (x)(x) =
(
1− x
2
2!
+
x4
4!
− x
6
6!
+ . . .
)′
= −2 x
2!
+ 4
x3
4!
− 6x
5
6!
+ 8
x7
8!
− . . .
= −
(
x− x
3
3!
+
x5
5!
− x
7
7!
+ . . .
)
= −
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
x2n+1
= −T sen (x)(x).
(10)
12
Portanto, conclu´ımos que a expansa˜o em se´rie de Taylor de sen (x) satisfaz a equac¸a˜o difer-
encial
T ′′sen (x)(x) = −T sen (x)(x)⇔ T ′′sen (x)(x) + T sen (x)(x) = 0.
Para obtermos condic¸o˜es iniciais, observamos que
T sen (x)(0) = 0− 0
3
3!
+
05
5!
− 0
7
7!
+ · · · = 0
e que
T ′sen (x)(0) = 1− 3
02
3!
+ 5
04
5!
− 70
6
7!
+ · · · = 1.
Com tudo que foi desenvolvido ate´ agora, conclu´ımos que sen (x) e sua expansa˜o em se´rie
de Taylor satisfazem o mesmo PVI, que tem soluc¸a˜o u´nica e que vale para toda a reta. Como
a soluc¸a˜o e´ u´nica e ambas satisfazem o mesmo PVI, a u´nica conclusa˜o poss´ıvel e´ que elas
representam a mesma func¸a˜o. Portanto,
sen (x) =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
x2n+1.
Exerc´ıcio para o leitor: seguindo a mesma ideia, prove que podemos expressar as
func¸o˜es cos(x) e ex como
cos(x) =
∞∑
n=0
(−1)n
(2n)!
x2n = 1− x
2
2!
+
x4
4!
− x
6
6!
+ . . .
e
ex =
∞∑
n=0
xn
n!
= 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ . . .
para todo x ∈ R.
3.2 Generalizando a exponenciac¸a˜o
Precisamos de mais dois teoremas sobre se´ries infinitas para prosseguirmos com nossa dis-
cussa˜o.
Convergeˆncia Condicional e Absoluta. Quando estamos considerando somas infini-
tas, a propriedade de comutatividade, em geral, na˜o vale. Isto e´, a + b 6= b + a. Assim, por
mais estranho que parec¸a, podem haver se´ries cujo valor muda ao mudarmos a ordem dos ter-
mos sendo somados. Chamamos estas se´ries de se´ries condicionalmente convergentes.
Ha´ uma outra propriedade, chamada de convergeˆncia absoluta, em que a comutatividade
vale e podemos, sim, trocar a ordem dos termos. Dizemos que uma se´rie de termos bn ∈ C
∞∑
n=0
bn
13
e´ absolutamente convergente se
∞∑
n=0
|bn|
e´ convergente. Caso contra´rio, a se´rie e´ condicionalmente convergente.
Diferenciac¸a˜o de Func¸o˜es Complexas de Varia´veis reais. Atrave´s da Ana´lise Com-
plexa, podemos demonstrar que, em geral, todas as derivadas ba´sicas (func¸o˜es polinomiais,
racionais, trigonome´tricas, exponenciais, e outras) sa˜o computadas da mesma forma, apenas
tratando a unidade imagina´ria i como uma constante. Assim, se temos uma func¸a˜o complexa
f(x) = u(x) + iv(x), f ′(x) e´ dada por
f ′(x) = u′(x) + iv′(x).
Tendo em mente a discussa˜o sobre generalizac¸o˜es que tivemos na primeira sec¸a˜o, vamos
generalizar a exponenciac¸a˜o atrave´s da Se´rie de Taylor. Para isso, vamos considerar que a
se´rie
ez =
∞∑
n=0
zn
n!
substituindo a varia´vel z por z = ix, onde i =
√−1 e´ a unidade imagina´ria. Assim
eix =
∞∑
n=0
(ix)n
n!
.
Antes de seguirmos, precisamos provar que podemos mudar a ordem dos termos desta
se´rie, ou seja, provar que a se´rie e´ absolutamente convergente. De fato,
∞∑
n=0
∣∣∣∣∣(ix)nn!
∣∣∣∣∣ =
∞∑
n=0
∣∣∣∣∣inxnn!
∣∣∣∣∣ =
∞∑
n=0
|in|
∣∣∣∣∣xnn!
∣∣∣∣∣ =
∞∑
n=0
∣∣∣∣∣xnn!
∣∣∣∣∣ =
∞∑
n=0
xn
n!
,
que ja´ sabemos que e´ convergente.
Retomando a exponencial generalizada, temos que
eix =
∞∑
n=0
(ix)n
n!
=
∞∑
n=0
in
xn
n!
= i0 + i1x+ i2
x2
2!
+ i3
x3
3!
+ i4
x4
4!
+ . . .
= 1 + ix− x
2
2!
− ix
3
3!
+
x4
4!
+ . . .
Usando o fato de que a se´rie e´ absolutamente convergente, podemos mudar a ordem dos
14
termos e fatorar, chegando que
eix = 1 + ix− x
2
2!
− ix
3
3!
+
x4
4!
+ i
x5
5!
− x
6
6!
− ix
7
7!
+ . . .
=
[
1− x
2
2!
+
x4
4!
− x
6
6!
+ . . .
]
+ i
[
x− x
3
3!
+
x5
5!
− x
7
7!
+ . . .
]
=
∞∑
n=0
(−1)n
(2n)!
x2n + i
∞∑
n=0
(−1)n
(2n+ 1)!
x2n+1
= cos(x) + i sen (x),
onde utilizamos as se´ries de Taylor do seno e do cosseno no u´ltimo passo.
Finalmente chegamos em uma expressa˜o para a exponencial complexa, mas sera´ que ela
faz sentido?
Utilizando o teorema da diferenciac¸a˜o de func¸o˜es complexas, temos que
y(x) = eix ⇒ y′(x) = ieix
e, portanto,
y′(x) = iy(x).
Para obter uma condic¸a˜o inicial, calculamos y(0) = ei0 pelo nosso resultado, tal que
y(0) = ei0 = cos(0) + i sen (0) = 1 + i0 = 1.
Assim, eix satisfaz o PVIy′(x) = iy(x),
y(0) = 1,
que possui soluc¸a˜o u´nica e exatamente o mesmo PVI que uma func¸a˜o eax, com a ∈ R satisfaz.
Assim, nossa generalizac¸a˜o realmente se comporta como uma exponencial!
Tambe´m e´ interessante verificar se as propriedades que valiam antes ainda valem. Mais
precisamente, precisamos verificar as propriedades 5 e 6 da primeira sec¸a˜o. Para verificar 5,
observamos que
eiaeib = [cos a+ i sena][cos b+ i sen b],
pelo resultado em que chegamos. Expandindo os termos,
eiaeib = [cos a+ i sena][cos b+ i sen b]
= cos a cos b+ i cos a sen b+ i sena cos b− sena sen b
= [cos a cos b− sena sen b] + i[cos a sen b+ sena cos b].
Lembrando que
cos(a+ b) = cos a cos b− sena sen b
15
e
sen (a+ b) = sena cos b+ cos a sen b,
temos que
eiaeib = cos(a+ b) + i sen (a+ b) = ei(a+b),
provando a Lei dos Expoentes.
Com isso, obtemos que a exponenciac¸a˜o de qualquer nu´mero complexo (na˜o apenas ima-
gina´rio puro) e´ dada por
ex+iy = exeiy.
A propriedade 6 e´ bem definida apenas para valores inteiros no expoente, e e´ a fo´rmula
de DeMoivre, dada por
[eix]n = einx.
Na˜o discutiremos muito sobre este resultado, mas para valores na˜o inteiros pode haver mais
de um valor para a expressa˜o.
Por fim, notamos que
y(x) = eix ⇒ y′(x) = ieix ⇒ y′′(x) = i2eix = −eix
e, assim,
y′′(x) = −y(x).
Se levamos em considerac¸a˜o que, de fato,
eix = cos(x) + i sen (x),
temos que
y(x) = cos(x) + i sen (x)⇒ y′(x) = − sen (x) + i cos(x)⇒ y′′(x) = − cos(x)− i sen (x)
e, como esperado,
y′′(x) = −y(x).
Novamente, mostramos que a exponencial generalizada se comporta do jeito que era esperado,
pois a presenc¸a do seno e do cosseno na expressa˜o para eix remetem a` noc¸a˜o de periodicidade
das func¸o˜es trigonome´tricas. Do ponto de vista f´ısico, estas duas func¸o˜es descrevem um
Movimento Harmoˆnico Simples. E´ natural, portanto, que a exponencial complexa, como foi
descrita, tambe´m descreva o mesmo fenoˆmeno.
16
4 Comenta´rios Finais
Com todas as observac¸o˜es e evideˆncias obtidas a partir do estudo realizado neste texto,
podemos, finalmente, dar um significado a` exponenciac¸a˜o com nu´meros complexos. Esta e´
dada por
ex+iy = exeiy = ex[cos(y) + i sen (y)].
No caso particular em que x = 0 e y = pi, temos que
ex+iy = eipi = cos(pi)− i sen (pi) = −1− 0.
Assim, obtemos um dos mais bonitos e elegantes resultados da Matema´tica: a cla´ssica
Identidade de Euler, dada por
eipi + 1 = 0.
17