Unidade I - Aula 3 - Vigas Isostáticas

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UNIPÊ- CENTRO UNIVERSITÁRIO DE JOÃO PESSOA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
MECÂNICA GERAL- UNIDADE I
MECÂNICA GERAL
Msc. Alan de Oliveira Feitosa
VIGAS ISOSTÁTICAS
João Pessoa, Agosto de 2013.
VIGASVIGASVIGASVIGAS
São elementos estruturais dispostos na horizontal ou de forma inclinada que recebem as
cargas das lajes e as transmite aos pilares.
Principais esforços atuantes =
Momento fletor e esforço
cortante
VIGASVIGASVIGASVIGAS
ESFORÇOS INTERNOSESFORÇOS INTERNOSESFORÇOS INTERNOSESFORÇOS INTERNOS
Esforços Normais (tração e 
compressão) 
Momento Torsor
Esforço CortanteMomento Fletor
ESFORÇOS INTERNOS ( CONVENÇÃO DE SINAIS)ESFORÇOS INTERNOS ( CONVENÇÃO DE SINAIS)ESFORÇOS INTERNOS ( CONVENÇÃO DE SINAIS)ESFORÇOS INTERNOS ( CONVENÇÃO DE SINAIS)
Momento torsor
CÁLCULO DE ESFORÇOS INTERNOSCÁLCULO DE ESFORÇOS INTERNOSCÁLCULO DE ESFORÇOS INTERNOSCÁLCULO DE ESFORÇOS INTERNOS
�Os esforços atuantes geralmente em vigas são o momento fletor e o
esforço cortante;
� Considerando somente a parte esquerda:
� O valor de V(cortante) é igual a soma
das forças na sua direção à esquerda
da seção. O momento fletor é igual a
soma de todos os momentos à
esquerda da seção.
CÁLCULO DE ESFORÇOS INTERNOSCÁLCULO DE ESFORÇOS INTERNOSCÁLCULO DE ESFORÇOS INTERNOSCÁLCULO DE ESFORÇOS INTERNOS
� Determine o valor e o sinal do momento fletor e do esforço cortante na seção indicada.
EQUAÇÕES ANALÍTICAS PARA A OBTENÇÃO DE ESFORÇOS EQUAÇÕES ANALÍTICAS PARA A OBTENÇÃO DE ESFORÇOS EQUAÇÕES ANALÍTICAS PARA A OBTENÇÃO DE ESFORÇOS EQUAÇÕES ANALÍTICAS PARA A OBTENÇÃO DE ESFORÇOS 
INTERNOS E DIAGRAMASINTERNOS E DIAGRAMASINTERNOS E DIAGRAMASINTERNOS E DIAGRAMAS
� Os esforços solicitantes são obtidos em uma determinada seção
transversal;
� Deseja-se, porém, conhecer a sua evolução (variação) ao longo do
elemento estrutural ou da estrutura como um todo;
� Pode-se obter as expressões analíticas dos esforços em função da
coordenada x, onde são representados os valores ao longo da estrutura,
adotando-se uma seção transversal de referência em posição genérica.
� As funções obtidas são contínuas para carregamentos contínuos e
descontínuas onde houver alguma força (ou reação) concentrada ou
descontinuidade geométrica da estrutura.
EQUAÇÕES ANALÍTICAS PARA A OBTENÇÃO DE ESFORÇOS EQUAÇÕES ANALÍTICAS PARA A OBTENÇÃO DE ESFORÇOS EQUAÇÕES ANALÍTICAS PARA A OBTENÇÃO DE ESFORÇOS EQUAÇÕES ANALÍTICAS PARA A OBTENÇÃO DE ESFORÇOS 
INTERNOS E DIAGRAMASINTERNOS E DIAGRAMASINTERNOS E DIAGRAMASINTERNOS E DIAGRAMAS
EQUAÇÕES ANALÍTICAS PARA A OBTENÇÃO DE ESFORÇOS EQUAÇÕES ANALÍTICAS PARA A OBTENÇÃO DE ESFORÇOS EQUAÇÕES ANALÍTICAS PARA A OBTENÇÃO DE ESFORÇOS EQUAÇÕES ANALÍTICAS PARA A OBTENÇÃO DE ESFORÇOS 
INTERNOS E DIAGRAMASINTERNOS E DIAGRAMASINTERNOS E DIAGRAMASINTERNOS E DIAGRAMAS
� A derivada de momento fletor é igual ao esforço cortante na mesma seção.
- Em um trecho descarregado o
cortante é constante , enquanto o fletor
é uma reta.
- Num trecho com carga distribuída, o
cortante é uma reta inclinada e o fletor é
uma parábola.
- Num trecho cm carga triangular, o
cortante é uma parábola de 2º grau, e o
EQUAÇÕES ANALÍTICAS PARA A OBTENÇÃO 
DE ESFORÇOS INTERNOS E DIAGRAMAS
fletor é uma parábola de 3º grau.
- O diagrama de esforços cortantes(
transversos) apresenta uma
descontinuidade quando existe uma
força concentrada.
- O diagrama de momentos fletores tem
uma descontinuidade quando existe um
momento concentrado.
- O diagrama de momentos fletores é
máximo quando o cortante se anula. E
vice-versa.
RELAÇÃORELAÇÃORELAÇÃORELAÇÃO DIFERENCIALDIFERENCIALDIFERENCIALDIFERENCIAL ENTREENTREENTREENTRE MOMENTOMOMENTOMOMENTOMOMENTO FLETORFLETORFLETORFLETOR EEEE
ESFORÇOESFORÇOESFORÇOESFORÇO CORTANTECORTANTECORTANTECORTANTE
As expressões analíticas dos esforços solicitantes de flexão
(momento fletor e força cortante) apresentam relações diferenciais
entre si. Considere-se um elemento de comprimento infinitesimal
dx de uma barra geral em equilíbrio, sobrecarregada
uniformemente:
RELAÇÃORELAÇÃORELAÇÃORELAÇÃO DIFERENCIALDIFERENCIALDIFERENCIALDIFERENCIAL ENTREENTREENTREENTRE MOMENTOMOMENTOMOMENTOMOMENTO FLETORFLETORFLETORFLETOR EEEE
ESFORÇOESFORÇOESFORÇOESFORÇO CORTANTECORTANTECORTANTECORTANTE
qxq
dx
dV
Assim
dxxqdVdxxqdVVVFy
−=−=
=−→=−+−=∑
)(
,
)(0)()(:0
qxq
dx
Md
ouV
dx
dM
Assim
dxdVdxdxdVdxVdM
dxdVVdMMdxVMM z
−=−==
→→=++−
=+++−+=∑
)(
,
0
2
.:00
2
..
0
2
).()(
2
.:0
2
2
DIAGRAMAS DE ESFORÇOSDIAGRAMAS DE ESFORÇOSDIAGRAMAS DE ESFORÇOSDIAGRAMAS DE ESFORÇOS
É a representação geométrica das variações dos esforços internos ao
longo do eixo do elemento. Esses valores em cada seção são
representados perpendicularmente ao longo do eixo do elemento.
Definição
Os diagramas de esforços internos facilitam a visualização da
intensidade em toda a extensão do elemento estrutural.
Importância
DIAGRAMAS DE ESFORÇOSDIAGRAMAS DE ESFORÇOSDIAGRAMAS DE ESFORÇOSDIAGRAMAS DE ESFORÇOS
Cálculo 
das 
Cálculo dos 
esforços em 
pontos 
Traçar os 
diagramas 
Como traçar os diagramas?
das 
reações 
de apoio
pontos 
estratégicos 
de cada 
seção
diagramas 
seção por 
seção
OBS: O estudo é feito realizando cortes (seções) para
distâncias arbitrárias em toda a extensão da viga.
DIAGRAMAS DE ESFORÇOSDIAGRAMAS DE ESFORÇOSDIAGRAMAS DE ESFORÇOSDIAGRAMAS DE ESFORÇOS
DIAGRAMAS DE ESFORÇOSDIAGRAMAS DE ESFORÇOSDIAGRAMAS DE ESFORÇOSDIAGRAMAS DE ESFORÇOS
Viga biapoiada com uma carga concentrada
Cortante Fletor
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS (EXERCÍCIOS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS (EXERCÍCIOS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS (EXERCÍCIOS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS (EXERCÍCIOS)
Traçar o DEC e DMF
Reações de apoio
 
 6.43 
 1.43 4.833
 
 8.57 
 
DEC
 
 
 7.716 2.80
 10.29 
DMF
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( EXERCÍCIOS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( EXERCÍCIOS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( EXERCÍCIOS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( EXERCÍCIOS)
Traçar o DEC e DMF
Reações de apoio
DEC DMF
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS (EXERCÍCIOS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS (EXERCÍCIOS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS (EXERCÍCIOS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS (EXERCÍCIOS)
Traçar o DEC e DMF
Reações de apoio
DEC DMF
DIAGRAMAS DE ESFORÇOSDIAGRAMAS DE ESFORÇOSDIAGRAMAS DE ESFORÇOSDIAGRAMAS DE ESFORÇOS
Viga biapoiada com uma carga uniformemente distribuída
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( EXERCÍCIOS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( EXERCÍCIOS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( EXERCÍCIOS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( EXERCÍCIOS)
Traçar os diagramas de DEC e DMF
Reações de apoio
DMFDEC
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS (EXERCÍCIOS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS (EXERCÍCIOS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS (EXERCÍCIOS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS (EXERCÍCIOS)
Traçar o DEC e DMF
Reações de apoio
DEC DMF
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS (EXERCÍCIOS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS (EXERCÍCIOS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS (EXERCÍCIOS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS (EXERCÍCIOS)
Traçar o DEC e DMF
Cortante
Fletor
DIAGRAMAS DE ESFORÇOSDIAGRAMAS DE ESFORÇOSDIAGRAMAS DE ESFORÇOSDIAGRAMAS DE ESFORÇOS
Vigas com cargas distribuídas
MOMENTO FLETOR E ESFORÇOS MÁXIMOSMOMENTO FLETOR EESFORÇOS MÁXIMOSMOMENTO FLETOR E ESFORÇOS MÁXIMOSMOMENTO FLETOR E ESFORÇOS MÁXIMOS
MOMENTO FLETOR E ESFORÇOS MÁXIMOSMOMENTO FLETOR E ESFORÇOS MÁXIMOSMOMENTO FLETOR E ESFORÇOS MÁXIMOSMOMENTO FLETOR E ESFORÇOS MÁXIMOS
Determine analiticamente o esforço cortante máximo e o momento fletor máximo
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( VIGAS INCLINADAS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( VIGAS INCLINADAS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( VIGAS INCLINADAS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( VIGAS INCLINADAS)
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( VIGAS INCLINADAS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( VIGAS INCLINADAS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( VIGAS INCLINADAS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( VIGAS INCLINADAS)
Traçar o DEC, DEN e o DMF
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( VIGAS INCLINADAS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( VIGAS INCLINADAS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( VIGAS INCLINADAS)DIAGRAMAS DE ESFORÇOS ( VIGAS INCLINADAS)
Traçar o DEC, DEN e o DMF