Exercicios sobre Derivadas

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Faculdade Estácio de Belém 
Cálculo Diferencial e Integral 1 
Prof.: Irazel 
Assunto: DERIVADAS 
 
EXERCÍCIOS SOBRE DERIVADAS DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL 
 
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1 
01. Calcule a derivada de cada função a seguir: 
a) 𝑦 = 𝑥! − 3𝑥! + 2𝑥 + 1 b) 𝑦 = !! c) 𝑦 = 𝑥 
d) 𝑦 = !!!!!! e) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 f) 𝑦 = 𝑥!. 𝑡𝑔𝑥 
g) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑙𝑛𝑥 h) 𝑦 = 𝑒! . 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 i) 𝑦 = !!!"# 
j) 𝑦 = 𝑥!. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥 l) 𝑦 = !"#!"# m) 𝑦 = 𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 
n) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥. 𝑙𝑜𝑔𝑥 o) 𝑦 = (𝑥! + 2𝑥 + 3)4 p) 𝑦 = 𝑥! + 𝑙𝑛𝑥 
q) 𝑦 = ln  (𝑥! + 𝑠𝑒𝑐𝑥) r) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥. 𝑒!! s) 𝑦 = 𝑒!"!! 
t) 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥! u) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥! v) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑒! 
w) 𝑦 = 𝑡𝑔(𝑙𝑛𝑥) x) 𝑦 = 𝑎!"# y) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔3𝑥 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 1 
01. 
a) 𝑦 ′ = 3𝑥! − 6𝑥 + 2 b) 𝑦 ′ = − !!! c) 𝑦 ′ = !! ! 
d) 𝑦 ′ = !!(!!!!)(!!!!)! e) 𝑦 ′ = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 f) 𝑦 ′ = 𝑥. (2. 𝑡𝑔𝑥 + 𝑥. 𝑠𝑒𝑐!𝑥) 
g) 𝑦 ′ = 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑙𝑛𝑥 + !"#$! h) 𝑦 ′ = 𝑒!(𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐!𝑥) i) 𝑦 ′ = !!(!"#.!"#!!"#!!)!"!! 
j)𝑦 ′ = 𝑥!. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥. (3−𝑥. 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥) l) 𝑦 ′ = !"#!!.!"#!!"#!!"!! m) 𝑦 ′ = !"#$! !! !.!"#$ 
n) 𝑦 ′ = !"#$%!.!"!"− 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐!𝑥. 𝑙𝑜𝑔𝑥 o) 𝑦 ′ = 4(𝑥! + 2𝑥 + 3)3.(4x3+2) p) 𝑦 ′ = !!!!!!! !!!!"# 
q) 𝑦 ′ = !!!!!"#$.!"#!!!!"#$ r) 𝑦 ′ = 2𝑒!!(𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥) s) 𝑦 ′ = 2𝑒!"!! . 𝑠𝑒𝑐!. 2𝑥 
t) 𝑦 ′ = !! u) 𝑦 ′ = 3𝑥!. 𝑐𝑜𝑠𝑥! v) 𝑦 ′ = −𝑒! . 𝑠𝑒𝑛𝑒! 
w) 𝑦 ′ = !"#!!(!"#)! x) 𝑦 ′ = !!"#.!"#! y) 𝑦 ′ = !!.!"!" 
 
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EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
01. Calcule 𝑓′(x) 
 
a) 𝑓 𝑥 = 3𝑥! + 5 
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 𝑥! + 1 
c) 𝑓 𝑥 = 3𝑥! − 2𝑥! + 4 
d) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 𝑥! + 1 
e) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + !! 
f) 𝑓 𝑥 = 2 𝑥! 
g) 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + !! 
h) 𝑓 𝑥 = !! + !!! 
i) 𝑓 𝑥 = !! 𝑥! + !! 𝑥! 
j) 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 𝑥 
 
02. Seja 𝑔 𝑥 = 𝑥! + !!. Determine a equação da reta tangente ao gráfico da g no ponto (1,g(1)). 
 
03. Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 3𝑥! + 1 
a) Estude o sinal de 𝑓 ′ 𝑥 . 
b) Calcule lim!→!∞ 𝑓(𝑥) e lim!→!∞ 𝑓(𝑥) 
c) Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de 𝑓. 
 
04. Seja 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 3𝑥. 
a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto de abscissa 0. 
b) Estude o sinal de 𝑓 ′ 𝑥 . 
c) Esboce o gráfico de 𝑓. 
 
05. Calcule 𝐹′ 𝑥 onde 𝐹(𝑥) é igual a 
a) !!!!!. 
b) !!!!!!!!! 
c) 5𝑥 + !!!! 
d) !! !!! 
06. Calcule 𝑓 ′ 𝑥  𝑜𝑛𝑑𝑒  𝑓 𝑥 é igual a: 
a) 3𝑥! + 5𝑐𝑜𝑠𝑥 
b) !"#!!!!! 
c) 𝑥  𝑠𝑒𝑛  𝑥 
d) 𝑥!  𝑡𝑔  𝑥 
e) !!!!"# 
f) !!"#$!!"#$ 
g) !"#$!!!! 
h) 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥! + 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 
3 
 
07. Calcule 𝑓 ′(𝑥): 
 
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥!𝑒!. 
b) 𝑓 𝑥 = 𝑒!𝑐𝑜𝑠𝑥 
c) 𝑓 𝑥 = !!!!!!!! 
d) 𝑓 𝑥 = 𝑥!𝐼𝑛𝑥 + 2𝑒! 
e) 𝑓 𝑥 = !!!  !"  ! 
f) 𝑓 𝑥 = !!!!!! 
 
08. Determine a derivada das seguintes funções: 
 
a) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛4𝑥 
b) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠5𝑥 
c) 𝑓 𝑥 = 𝑒!! 
d) 𝑓 𝑥 = cos 8𝑥 
e) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡! 
f) 𝑔 𝑡 = 𝐼𝑛(2𝑡 + 1) 
g) 𝑥 = 𝑒!"#$ 
h) 𝑓 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑒! 
i) 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)! 
j) 𝑦 = 3𝑥 + 1 
k) 𝑓 𝑥 = !!!!!!! 
l) 𝑦 = 𝑒!!! 
m) 𝑔 𝑡 = (𝑡! + 3)! 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO 
01) 1a)6x+5 1b)3𝑥! + 2! 1c)  9𝑥! − 4𝑥 1d) 3+ !! ! 1e)  −6𝑥!! 
1f)   !! !!! 1g) 3- !!! 1h)  − !!! − !"!! 1i)  2𝑥! + !! 𝑥 1j)   !! !!! 
02) 𝑦 = 2𝑥 03) 3a) 𝑓 ′ 𝑥 >0  𝑒𝑚   −∞,−2 𝑒  𝑒𝑚   0,+∞ ; 𝑓 ′ 𝑥< 0  𝑒𝑚   −2,0 
3b)−∞  𝑒 − 8 04)4a) 𝑦 = 3𝑥; 
4b)𝑓 ′ 𝑥 > 0𝑒𝑚  � 05) 5a) !!!
!(!!!!)! 
4 
 
5b)!"!!!!"!!!"(!!!!)! 5c)5- !(!!!)! 5d)!!! !!!! ! 06) 6a)6𝑥 −5𝑠𝑒𝑛𝑥 6b)− !!!!!"#$!!!"#$!(!!!!)! 
6c)𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 6d)2𝑡𝑔𝑥 +𝑥𝑠𝑒𝑐!𝑥) 6e)!"#! !!! !"!!!!!!! 6f)!!(!"#$!!"#$)(!"#$!!"#)! 6g)!"#$[!!!!"#!!!)(!!!!)! 
6h)𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝑥 −1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥[𝑥! + 1) 07) 7a) 𝑥  𝑒![2+𝑥) 7𝑏)𝑒! 𝑐𝑜𝑠𝑥− 𝑠𝑒𝑛𝑥 7c) !!!!!!! 7d)2𝑥𝐼𝑛𝑥 + 𝑥 + 2𝑒! 
7e)!!!!"#!!!"#! ! 7f) !!!(!!!)! 08) 8a)4𝑐𝑜𝑠4𝑥 
 
8b)-5𝑠𝑒𝑛5𝑥 8c)3𝑒!! 
8d)-8𝑠𝑒𝑛8𝑥 8e)3𝑡!𝑐𝑜𝑠𝑡! 8f) !!!!! 8g)𝑒!"#$𝑐𝑜𝑠𝑡 8h)−𝑒!𝑠𝑒𝑛𝑒! 
8i)3(𝑠𝑒𝑛𝑥 +𝑐𝑜𝑠𝑥)!(𝑐𝑜𝑠𝑥 −𝑠𝑒𝑛𝑥) 8j) !! !!!! 8k) !!(!!!)! ( !!!!!!))!! 8l)−5𝑒!!! 8m) !!!!!!!!!!! 
 
 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÕES 
 
01. Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número 
de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da 
epidemia) é dado, aproximadamente, por: 
 𝑓 𝑡 = 64𝑡 − 𝑡!3 
 
(a) Qual a taxa da expansão da epidemia após 4 dias? 
(b) Qual a taxa da expansão da epidemia após 8 dias? 
(c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia? 
 
02. A função posição de uma partícula em movimento sobre uma reta horizontal é dada por s(t) = 2t3 – t2 
+ 5, onde s é medido em metros e t em segundos. Pede-se: 
 
a) a velocidade média da partícula entre os instantes t = 1 s e t = 3 s ; 
5 
 
b) a velocidade no instante t = 2 s; 
c) a aceleração da partícula no instante t = 3 
 
03. Dividir o número 120 em duas partes, tais que o produto de uma pelo quadrado da outra parte seja 
máximo. 
04. Um reservatório, de base circular, tem capacidade de 64 dm3. Calcular suas dimensões de modo que 
a quantidade (área) do metal necessário para sua confecção seja mínima: 
a) Considerando o reservatório sem coberta; 
b) Coberto. 
 
05. Determinar as dimensões de uma lata cilíndrica, com tampa, com volume V, de forma que sua área 
total seja mínima. 
 
06. O gás de um balão escapa na razão de 2 dm3/min. Calcule a razão de diminuição da superfície do 
balão, quando o raio for igual a 2 dm. 
 
07. De um funil cônico escoa água na razão de 1cm3/s. Sabendo que o raio da base do funil é de 4 cm e a 
altura é de 8cm, determinar a razão segundo a qual o nível da água está descendo, quando estiver a 2 
cm do topo. 
 
08. Determinar o valor de x1 definido no teorema do valor médio, considerando a função 𝑓 𝑥 = 3𝑥! +4𝑥 − 3, no intervalo [1, 3]. 
 
09. Aplicando a regra de L’hospital, calcule os seguintes limites: 
 
a) lim!→! !!!!!! 
b) lim!→! !"#(!")!!! 
c) lim!→!!(𝑠𝑒𝑐𝑥 − 𝑡𝑔𝑥) 
d) lim!→!∞ 3𝑥(1− 𝑒! !)) 
 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE APLICAÇÕES 
 
 
01. a) 48pessoas/dia; 1b)0; 1c) ≅ 43 02. a) 26m/s; b)20m/s;c)34m.s-
1 
03. 40 e 80 04. a) 
r=h=4 𝜋!          ; 𝑏)  ℎ = 2𝑟 = 4 4 𝜋! 05. 𝑟 = !!! ;! ℎ = !!!! 
06. −1 3(𝑑𝑚! /𝑠) 07. −1 9𝜋(!"! ) 08.    𝑥! = 2 
09. a) ln  (!!); b) –𝜋; c) 0; d) -3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
REFERÊNCIAS 
 
[1] GUIDORIZZI, H.L.2000. Um Curso de Cálculo, vol.1. RJ-Brasil, Editora LTC. 
 
[2] LEITHOLD, L. 1981. O Cálculo com Geometria Analítica, vol.1, 2ª Edição. Editora HARBRA 
 
[3] ANTON, H. 2000. Cálculo, Um Novo Horizonte. Bookman, Porto Alegre-RS. 
 
[4] TSYPKIN, A.G.1986. Methods of Solving Problems in High-School Mathematics. Mir Publishers 
Moscow. 
 
[5] Kaplan, W.1972. Cálculo Avançado, vol. 1, Editora da Universidade de São Paulo, São Paulo-Brasil