lista de aplicação semana 1 limites no ponto (solução)

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸a˜o – Semana 1 – Soluc¸a˜o
Temas abordados : Limites no ponto (conceito intuitivo e formal)
Sec¸o˜es do livro: 2.1; 2.2; 2.3
1) A figura abaixo ilustra um recipiente formado por dois cilindros circulares retos justapos-
tos de altura 10m e raios respectivamente 12m e 6m. Suponha que, a partir do instante
t = 0, o recipiente comece a ser abastecido a uma vaza˜o constante de modo que o n´ıvel
da a´gua s(t) no recipiente e´ dada por
s(t) =
{
2t, para 0 ≤ t ≤ 5
8t− 30, para 5 < t ≤ 6
onde a altura e´ dada em metros e o tempo e´ dado em segundos.
(a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o s(t).
(b) Determine, caso existam, os instantes
τ ∈ [0, 6] nos quais s(τ) = 15.
(c) Determine a imagem da func¸a˜o s.
r1
1
1
r2
Soluc¸a˜o:
(a) Para 0 ≤ t ≤ 5, o gra´fico e´ um segmento de reta de inclinac¸a˜o 2 que passa pela
origem; para 5 < t ≤ 6, o gra´fico e´ um segmento de reta de inclinac¸a˜o 8 que se
conecta ao segmento de reta de inclinac¸a˜o 2. Usando essas informac¸o˜es, o gra´fico e´
como ilustrado abaixo.
Lista de Aplicac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 1 de 8
(b) Do gra´fico de s(t) vemos que s(t) e´ crescente, com s(0) = 0, s(5) = 10 e s(6) = 18.
Um vez que 15 esta´ entre 10 e 18, um instante τ em que s(τ) = 15 deve estar,
portanto, no intervalo (5, 6), no qual temos que s(t) = 8t − 30. Resolvendo para τ
a equac¸a˜o
8τ − 30 = 15,
obtemos que τ = 45/8 e´ o u´nico instante para o qual s(τ) = 15.
(c) A ana´lise do gra´fico mostra que a imagem da func¸a˜o s e´ o intervalo fechado [0, 18].
Lista de Aplicac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 2 de 8
2) Considere a func¸a˜o f : (0,∞) → R dada por f(x) = 1/√x. Pode-se mostrar que a
inclinac¸a˜o da reta La, que e´ tangente ao gra´fico de f(x) no ponto Pa = (a, f(a)), e´ dada
por
−1
2a
√
a
. A figura abaixo ilustra o gra´fico da func¸a˜o, a reta La e os pontos Qa e Ra
em que a reta intercepta os eixos coordenados. Julgue a veracidade dos itens a seguir,
justificando suas respostas.
(a) A reta La tem equac¸a˜o y =
−x
2a
√
a
+
3
2
√
a
.
(b) Tem-se que Ra = (2a, 0).
(c) A a´rea do triaˆngulo ∆OPaRa e´ igual a 1
2
2af(a).
(d) A a´rea do triaˆngulo ∆O PaQa e´ igual a 1
2
3
2
√
a
a.
(e) Para todo a > 0, a a´rea do triaˆngulo ∆OPaQa e´ o
dobro da a´rea do triaˆngulo ∆O PaRa.
 Qa
 Ra
 Pa
O
Soluc¸a˜o: Lembre que a equac¸a˜o da reta r que tem inclinac¸a˜o m e passa pelo ponto
(x0, y0) e´ dada por r(x) = ym +m(x− x0).
(a) Correto. A reta La tem inclinac¸a˜o −1/(2a
√
a) e passa pelo ponto (a, f(a). Desse
modo, se denotarmos por La(x) a sua equac¸a˜o, temos que
La(x) = − 1
2a
√
a
(x− a) + f(a) = − 1
2a
√
a
(x− a) + 1√
a
.
(b) Errado. Veja que Ra = (xa, 0). Uma vez que esse ponto pertence a` reta La temos
que
0 = La(xa) = − 1
2a
√
a
(xa − a) + 1√
a
,
de modo que −xa + a = −2a, ou ainda, xa = 3a. Assim Ra = (3a, 0).
(c) Errado. A base do triaˆngulo ∆OPaRa mede 3a e sua altura mede f(a). Como a
a´rea de um triaˆngulo e´ igual a` metade do produto entre a base e a altura, a a´rea
em questa˜o e´ igual a 1
2
3af(a) = 3
2
√
a
a.
(d) Correto. Observe que Qa = (0, y) e pertence a` reta La. Assim,
y = La(0) = − 1
2a
√
a
(0− a) + 1√
a
=
1
3
√
a
.
Como o triaˆngulo ∆O PaQa tem base medindo y e altura medindo x = a, conclu´ımos
que sua a´rea e´ dada por 1
2
3
2
√
a
a
(e) Errado. Pelos itens (c) e (d), a a´rea de ∆O PaQa vale a metade da a´rea de ∆OPaRa.
Lista de Aplicac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 3 de 8
3) Suponha que na fabricac¸a˜o de CD’s sejam usados discos pla´sticos de raio r0 cm e a´rea
igual a A(r0) = pir
2
0 cm
2. Devido a erros no processo de fabricac¸a˜o, o disco produzido
tem raio r = r0 + h cm e a´rea A(r) = pi(r0 + h)
2 cm2, em que |r − r0| = |h| e´ o erro
no raio do disco. Como a qualidade de gravac¸a˜o do CD depende da precisa˜o da a´rea do
disco, o erro |h| deve ser pequeno. Suponha que o erro |h| seja sempre menor que 1 cm,
de modo que |h2| ≤ |h|.
(a) Determine constantes a e b tais que A(r0 + h)− A(r0) = a h+ b h2.
(b) Usando que |h| e´ sempre menor do que 1, determine uma constante K > 0 tal que
|A(r0 + h)− A(r0)| ≤ K |h|.
(c) Obtenha δ > 0 com a propriedade de que o erro na a´rea seja inferior a 1 cm2 sempre
que o erro erro no raio e´ menor que δ.
(d) Dada uma margem de toleraˆncia ε > 0, determine uma margem de seguranc¸a δ > 0
tal que |A(r0 + h)− A(r0)| < ε, sempre que 0 < |h| < δ.
Soluc¸a˜o:
(a) a = 2pir0; b = pi.
(b) Veja que expandindo o quadrado, cancelando termos iguais e usando o fato de
|h|2 ≤ |h|, obtemos
|A(r0 + h)− A(r0)| = 2pir0h+ pih2 ≤ (2pir0 + pi)|h|.
Logo basta tomar K ≥ (2pir0 + pi).
(c) Usando o item (b) e argumentando de forma ana´loga ao item (c) da questa˜o 2,
conclu´ımos que δ < 1/K.
(d) Usando o item (b) e de forma ana´loga ao item (d) da questa˜o 2, obtemos que
δ < ε/K.
Lista de Aplicac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 4 de 8
4) Suponha que um comprimido tenha a forma de um cilindro circular reto de raio da base
igual a 4 mm, altura h > 0, e deva ter volume igual a 20 mm3. Como o processo de
fabricac¸a˜o esta´ sujeito a erros, a altura h deve ser razoavelmente precisa, uma vez que
dela depende a dosagem de medicamento que e´ ingerida pelo paciente.
(a) Determine, em func¸a˜o de h, o volume V (h) do com-
primido.
(b) Determine o valor h0 para que o volume do compri-
mido seja igual a V (h0) = V0 = 20 mm
3.
h
4 mm
(c) Determine, em mm, o erro ma´ximo tolerado na altura h de maneira que |V (h)− 20|
seja inferior a 1/10.
(d) Dado ε > 0, encontre δ > 0 tal que o erro |V (h) − 20| no volume do comprimido
seja menor do que ε sempre que o erro na altura |h− h0| seja menor do que δ.
Soluc¸a˜o:
(a) O volume de um cilindro reto e´ dado pela a´rea base vezes a sua altura, de modo
que V (h) = 42pih.
(b) Basta resolver a equac¸a˜o V (h0) = 20 para obter h0 = 20/(4
2pi).
(c) Para estimar o erro do volume em termos do erro na altura basta notar que
|V (h)− 20| = |V (h)− V (h0)| = |42pih− 42pih0| = 42pi|h− h0|.
Logo |V (h)− 20| < 1/10, sempre que |h− h0| < 1/(10× 42pi). Dessa forma, o erro
ma´ximo e´ dado por 1/(10× 42pi).
(d) Basta usar as ideias do item anterior, substituindo 1/10 por ε e considerando δ > 0
como o erro ma´ximo. Da fato,
|V (h)− V (h0)| = |42pih− 42pih0| = 42pi|h− h0| (1)
Logo, se
|h− h0| < ε/(42pi)
Temos por (1) que
|V (h)− V (h0)| < ε
Logo basta tomar δ < ε/(42pi).
Lista de Aplicac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 5 de 8
5) Uma companhia de turismo cobra uma taxa de servic¸o fixa de R$ 50,00 para pacotes
tur´ısticos de valor menor ou igual a R$ 1.000,00. Para pacotes de valor superior a
R$ 1.000,00 e menor ou igual a R$ 5.000,00, a companhia cobra uma taxa fixa de R$ 30,00
acrescida de 2% do valor do pacote. Para os demais pacotes, a taxa fixa e´ de R$ c, acres-
cida de 1% do valor do pacote. Indicando por T (x) o valor total da taxa de servic¸o
cobrada por um pacote tur´ıstico no valor de x reais, julgue os itens abaixo, justificando
suas respostas.
(a) O gra´fico da func¸a˜o T (x) conte´m o ponto (3000, 90).
(b) Para c = 100, na˜o e´ poss´ıvel encontrar um pacote tur´ıstico de valor R$x0 de modo
que se tenha T (x0) = 140.
(c) limx→1000+ T (x) = 50.
(d) Na˜o existe o limite limx→1000 T (x).
(e) limx→5000+ T (x) na˜o depende de c.
(f) c = 80 se, e somente se, limx→5000 T (x) = T (5000).
Soluc¸a˜o:
Note que 0, 02x e´ a maneira anal´ıtica de expressarmos 2% de um dado valor x. Logo
T (x) =

50, se x ∈ (0, 1000],
30 + 0, 02x, se x ∈ (1000, 5000],
c+ 0, 01x, se x ∈ (5000,+∞).
(a) Como T (3000) = 30 + 0, 02 × 3000 = 90 o ponto (3000, 90) pertence ao gra´fico da
func¸a˜o.
(b) Observe que se T (x0) = 140 enta˜o x0 > 5000. Da´ı considere c = 100 naexpressa˜o
acima e desenhe o gra´fico de T .
Para resolver os quatro u´ltimos itens basta lembrar que limx→a T (x) existe se, e somente
se, os limites laterais no ponto existem e sa˜o iguais. Nesse caso, esse valor comum e´ igual
ao valor do limite.
(c) No ca´lculo de limx→1000+ T (x) lembre que interessam somente os valores de T (x)
quando x esta´ a` direita e pro´ximo do ponto a = 1000. Assim,
lim
x→1000+
T (x) = lim
x→1000+
(30 + 0, 02x) = 30 + 0, 02× 1000 = 50.
(d) O mesmo racioc´ınio nos permite concluir que
lim
x→1000−
T (x) = 50,
o que em conjunto com o item (c) nos garante que
lim
x→1000
T (x) = 50.
(e) Observe que
lim
x→5000+
T (x) = 50 + c
Lista de Aplicac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 6 de 8
(f) Aqui precisamos verificar duas afirmac¸o˜es. De fato, queremos saber se e´ verdade
que:
(i) Se c = 80 enta˜o limx→5000 = T (5000).
(ii) Se limx→5000 = T (5000) enta˜o c = 80.
Para o subitem (i), veja que se c = 80
lim
x→5000+
80 + 0, 01x = lim
x→5000−
30 + 0, 02x = 130 = T (5000).
Para o subitem (ii), suponha que limx→5000 = T (5000).
Em particular,
T (5000) = lim
x→5000−
T (x) = 130,
pelo que vimos no subitem (i).
Assim, ja´ que por hipo´tese
T (5000) = lim
x→5000+
c+ 0, 01x = c+ 50,
segue-se que c = 80.
Lista de Aplicac¸a˜o da Semana 1 - Pa´gina 7 de 8
6) Um ga´s e´ mantido a uma temperatura constante em um pista˜o. A` medida que o pista˜o
e´ comprimido, o volume do ga´s decresce com a func¸a˜o V (P ) = 200/P litros, ate´ atingir
a pressa˜o cr´ıtica de 100 torr quando ele se liquidifica, havendo nesse momento uma
variac¸a˜o brusca de volume. Em seguida, o seu volume passa a ser dado pela func¸a˜o
V (P ) = −0, 01P + 2 ate´ que seja atingida a nova pressa˜o cr´ıtica de 150 torr, a partir da
qual o volume permanece constante e igual a 0,5 litros.
(a) Determine a expressa˜o de V (P ).
(b) Calcule os limites laterais lim
P→P−0
V (P ) e lim
P→P+0
V (P ) para P0 = 100. Em seguida,
decida sobre a existeˆncia do limite lim
P→P0
V (P )
(c) Repita o item acima para P0 = 150.
(d) O que acontece com o volume V (P ) para valores P pro´ximos de zero?
Soluc¸a˜o:
(a) De acordo com as informac¸o˜es do enunciado temos que
V (P ) =

200/P, se 0 < P ≤ 100,
−0, 01P + 2, se 100 < P ≤ 150,
0, 5, se 150 < P.
(b) Temos que
lim
P→100−
P (V ) = lim
P→100−
200
P
= 2
e
lim
P→100+
P (V ) = lim
P→100+
−0, 01P + 2 = −1 + 2 = 1.
Apesar dos limites laterais existirem eles na˜o sa˜o iguais. Desse modo, conclu´ımos
que na˜o existe limite quanto P tende para 100.
(c) Temos que
lim
P→150−
P (V ) = lim
P→100−
−0, 01P + 2 = −1, 5 + 2 = 0, 5
e
lim
P→150+
P (V ) = lim
P→100+
0, 5 = 0, 5.
Os limites laterais existirem e sa˜o iguais, de modo que o limite quanto P tende para
150 existe. Mais especificamente limP→150 P (V ) = 0, 5.
(d) Quando P esta´ pro´ximo de zero o quociente 200/V se torna cada vez maior.
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