AP2_MD2 -2019-1 a 2015-2_gabarito

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Métodos Determińısticos II AP2 1a/2019
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 – Métodos Determińısticos II
Questão 1 [1,5 pontos]: Considere a função f(x) = x(x−1)2 . Calcule: (a) o doḿınio de f(x); (b)
f ′(x) e (c) As assintotas.
Solução: (a) O doḿınio de f(x) são todos os x ∈ R − {1}.
(b) derivando
f ′(x) = 1(x − 1)
2 − x(2(x − 1))
(x − 1)4
=
(
x − 1
x − 1
)(
x − 1 − 2x
(x − 1)3
)
= − x + 1
(x − 1)3
.
(c) Para encontrar as asśıntotas considere os seguintes limites:
lim
x→±∞
x
(x − 1)2
= lim
x→±∞
x
x2
(
1
1 − 2/x + 1/x2
)
= 0,
lim
x→1+
x
(x − 1)2
= +∞,
lim
x→1−
x
(x − 1)2
= +∞.
Questão 2 [1,5 pontos]: Considere f(x) a mesma função da questão 1. Faça a análise do sinal
de f ′(x) e calcule f ′′(x) depois faça a analise do seu sinal.
Solução: Veja que o sinal de f ′ depende tanto do sinal do numerador como do denominador.
Vamos colocar o sinal de menos no numerador, isto é, −(x + 1) = −x − 1 e temos
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Métodos Determińısticos II AP2 1a/2019
Derivando mais uma vez temos
f ′′(x) = −(x − 1)
3 + (x + 1)3(x − 1)2
(x − 1)6
= 2(x + 2)
(x − 1)4
.
Com respeito ao sinal da f ′′, basta ver que depende apenas do numerador.
Se x < −2 ⇒ f ′′(x) < 0 e se x > −2 ⇒ f ′′(x) > 0.
Questão 3 [1,0 pontos]: Considere f(x) a mesma função da questão 1. Explique o comportamento
de f(x) e faça um esboço do gráfico.
Solução: Como x = 1 é asśıntota vertical e y = 0 é uma asśıntota horizontal. Além disso, a
função é decrescente entre (−∞, −1) ∪ (1, +∞) e crescente no restante dos pontos do doḿınio. A
boca tem concavidade voltada para baixo se x ∈ (−2, +∞) e concavidade voltada para cima em
(−∞, −2).
Se calcularmos f(−2) = −29 , f(−1) = −
1
4 , f(0) = 0 e f(2) = 2. Usando todos estes fatos podemos
concluir que o gráfico é próximo ao seguinte
Figura 1: Gráfico de f(x) = x(x−1)2
Questão 4 [2,4 pontos]: A receita na venda de um tipo de toalha de uma indústria têxtil é
expressa por R(q) = −0, 001q2 + 10q, onde 0 ≤ q ≤ 10000. O custo de produção destas toalhas
é dado por C(q) = 2q + 12000. Determine: a) A função lucro L(q); b) Calcule os pontos cŕıticos
de L(q) justificando se são de máximo ou ḿınimo (local e ou global). Qual o valor que maximiza o
lucro? E qual seria o lucro neste caso?
Solução: a) L(q) = R(q) − C(q) = −0, 001q2 + 10q − (2q + 12000) = −0, 001q2 + 8q − 12000,
com 0 ≤ q ≤ 10000.
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b) Derivando obtemos: L′(q) = −0, 0002q + 8. Fazendo L′(q) = 0 temos −0, 002q + 8 = 0,
q = 80,002 = 4000 que está no intervalo de definição da função Lucro. Podemos analisar o sinal da
f ′, levando em conta que é uma função linear temos que é positiva para 0 ≤ q < 4000 e negativa
para 4000 < q ≤ 10000. Assim, temos que: quando 0 ≤ q < 4000, L será crescente e quando
4000 < q ≤ 10000, L será decrescente. Assim, (4000, L(4000)) é um ponto de máximo local. Como
L(0) = −12000, L(4000) = −0, 001 · (4000)2 − 8 · 4000 − 12000 = 4000 e L(10000) < 0. Então,
q = 4000 é onde o lucro é máximo com lucro também igual a 4000.
Questão 5 [1,8 pontos]: Faça o esboço da região compreendida pelas curvas y = 2x, y =
x2 + x − 2, calcule a área compreendida entre as curvas.
Solução: Para encontrar os pontos onde as curvas se interceptam basta fazer 2x = x2 + x − 2,
dáı, resolver x2 − x − 2 = 0 e obtemos x = −1 e x = 2. Para fazer o esboço do gráfico, basta
lembrar que y = 2x é uma reta que passa por (0, 0) e (1, 2), e y = x2 + x − 2 é uma parábola com
boca voltada para cima e ráızes x = −2 e x = 1.
A partir do esboço fica claro que a área A que queremos determinar deve ser calculada por
A =
∫ 2
−1
−x2 + x + 2 dx =
[
−x
2
2
+ x
2
2
+ 2x
]2
−1
= −8
3
+ 4
2
+ 4 −
(1
3
+ 1
2
− 2
)
= −3 + 3
2
+ 6 = 9
2
.
Questão 6 [1,8 pontos]: Calcule as seguintes integrais: a)
∫
3x2 + 4x + 1
x
dx, b)
∫
3
√
x(x − 1) dx.
Solução: a) Integrando ∫
3x2 + 4x + 1
x
dx = x3 + 2x2 + ln(x) + K.
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b) Integrando ∫
x1/3(x − 1) dx =
∫
(x4/3 − x1/3) dx = 3
7
x7/3 − 3
4
x4/3 + k.
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Gabarito da AP2 de Métodos Determińısticos II – 17/11/2018
Questão 1 [1,5pts] Considere a função f(x) = x3
x2−4 . Calcule: (a) o doḿınio de f(x); (b) f
′(x) e
(c) As assintotas.
Solução: (a) Como x2 − 4 tem duas ráızes x = −2 e x = 2 segue que D(f) = R − {−2, 2}.
(b) Derivando obtemos
f ′(x) = x
2 (x2 − 12)
(x2 − 4)2
(c) Vamos calcular os limites:
lim
x→+∞
f(x) = +∞ , lim
x→−∞
f(x) = −∞,
lim
x→−2−
f(x) = −∞ , lim
x→−2+
f(x) = +∞,
lim
x→2−
f(x) = −∞ , lim
x→2+
f(x) = +∞,
Portanto, não existe asśıntota horizontal e as retas x = −2 e x = 2 são asśıntotas verticais.
Questão 2 [1,5pt] Considere f(x) a mesma função da questão 1. Faça a análise do sinal de f ′(x)
e calcule f ′′(x) depois faça a analise do seu sinal.
Solução: Para fazer a análise de f ′(x) = x
2(x2−12)
(x2−4)2 , basta observar que quem domina o sinal é o
termo x2 − 12 = (x + 2
√
3)(x − 2
√
3), que é uma parábola com coeficiente do termo de x2 positivo.
Portanto, f ′(x) < 0 se −2
√
3 < x < 2
√
3 e no restante dos pontos do doḿınio f ′(x) > 0.
Derivando mais uma vez obtemos
f ′′(x) = 8x (x
2 + 12)
(x2 − 4)3
.
é fácil de ver que x2 + 12 > 0 para todo x ∈ D(f). Logo o sinal de f ′′(x) depende se comporta
como o sinal de x(x2 − 4) = (x + 2)x(x − 2). Portanto, f ′′(x) ≥ 0 se −2 < x ≤ 0 ou x > 2, no
restante dos pontos ela é negativa.
Questão 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma função da questão 1. Explique o comportamento de
f(x) e faça um esboço do gráfico.
Solução: Iniciemos tracejando as retas x = −2 e x = 2. É preciso tomar consciência dos limites
estudados na questão 1. Observe que −2
√
3 < −2. Veja que f é crescente em (−∞, −2
√
3) e
depois ela se torna decrescente, em particular ela fica decrescente entre (−2
√
3, −2). Vamos analisar
o intervalo (−2, 2). Recorde que a função vem do +∞ e em 2 ela vai para −∞. Neste intervalo ela
sempre é decrescente, mas entre (2, 0) tem concavidade para cima e entre (0, 2) tem concavidade
para baixo. Veja ainda que f(0) = 0. Agora no intervalo (2, +∞) a função vem de mais infinito,
decrescendo de 2 até 2
√
3, quando x → +∞ temos que f(x) → +∞, sendo crescente depois de
2. Veja que em (2, +∞) a concavidade sempre é para cima. Com isso já temos os elementos para
desenhar o gráfico de f(x).
Nome da Disciplina AP1 2
Figura 1: Esboço do gráfico de f(x) = x3
x2−4
Questão 4 [2,4pts] Suponha que a equação de demanda pra uma certa mercadoria seja p = 4 −
0, 0002x, onde x é o número de unidades produzidas por semana e p é o preço em reais por unidade.
A quantidade de reais necessários (custo total) para a produção de x unidades é dado por 600 + 3x.
Com o objetivo de determinar o ńıvel de produção para que obtenhamos o maior lucro semanal,
encontre: (a) o número de unidades que deverão ser produzidas por semana; (b) o preço por cada
unidade; (c) o lucro semanal.
Solução: Se a função preço é P (x) = 4 − 0, 0002x, só deve ser válida se x ∈ [0, 20000]. Logo o
rendimento será
R(x) = 4x − 0, 0002x2 com x ∈ [0, 20000].
A função custo é C(x) = 600 + 3x, logo o lucro será
L(x) = x − 0, 0002x2 − 600 com x ∈ [0, 20000].
Veja que L′(x) = 1−0, 0004x e L′′(x) = −0, 0004. Logo resolvendo L′(x) = 0 obtemos x = 2500, e
como L′′(2500) < 0. Segue que este é um ponto de máximo local. Como L(0) < 0 e L(20000) < 0
segue que este é um máximo absoluto.
(b) P (2500) = 3, 50 e (c) L(2500) = 650.
Questão 5 [1,8pt] Faça o esboçoda região compreendida pelas curvas y = x, y = x2, com 0 ≤ x ≤ 2
e calcule a sua área.
Solução: Precisamos encontrar os pontos em que os gráficos se encontram. Para isso vamos igual
x2 = x ⇒ x = 0 ou x = 1.
Veja que para 0 ≤ x ≤ 1 temos que x ≥ x2 e para 1 ≤ x ≤ 2 temos que x ≤ x2
Logo, para obter a área precisamos dividir a integração em duas partes: precisamos calcular
∫ 1
0
x − x2 dx +
∫ 2
1
x2 − x dx =
[
x2
2
− x
3
3
]1
0
+
[
x3
3
− x
2
2
]2
1
= 1
6
+ 5
6
= 1.
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Nome da Disciplina AP1 3
Questão 6 [1,8pt] Calcule a derivada de h(t) = t+1
t ln(t2−4) .
Solução: Veja que devemos aplicar a regra do quociente, regra do produto e a regra da cadeia.
h′(t) = (t + 1)
′(t ln (t2 − 4)) − (t + 1)(t ln (t2 − 4))′
(t ln (t2 − 4))2
= 2t
2(t + 1) − (t2 − 4) ln (t2 − 4)
t2 (t2 − 4)
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Gabarito da AP2 de Métodos Determińısticos II – 27/05/2018
Questão 1 [1,5pts] Considere a função f(x) = 1
4
x4 − x3 + 4x + 2. Calcule: (a) o doḿınio de f(x);
(b) f ′(x) e (c) lim
x→±∞
f(x).
Solução: (a) Como f(x) é uma função polinomial temos D(f) = R.
(b) Derivando obtemos
f ′(x) = x3 − 3x2 + 4.
(c) Vamos calcular os limites
lim
x→+∞
f(x) = +∞ , lim
x→−∞
f(x) = +∞.
Questão 2[1,5pt] Considere f(x) a mesma função da questão 1. Faça a análise do sinal de f ′(x) e
calcule e faça a analise do sinal de f ′′(x).
Solução: Para fazer a análise da f ′(x) = x3 − 3x2 + 4, precisamos fatorar este polinômio.
Inicialmente devemos procurar entre os fatores do termo constante 4, isto é, ±1, ±2, ±4. Testando
para x = −1 encontramos uma raiz.
Dividindo x3 − 3x2 + 4 por x − (−1) obtemos
x3 − 3x2 + 4 = (x + 1)(x2 − 4x + 4) = (x + 1)(x − 2)2.
Portanto, os pontos cŕıticos da f(x) são x = −1 e x = 2. Além disso, como (x − 2)2 ≥ 0 para todo
x, segue que o sinal da f ′(x) é igual ao sinal de x + 1. E x + 1 < 0 se x < −1 e x + 1 > 0 se x > 1.
Derivando mais uma vez obtemos
f ′′(x) = 3x2 − 6x = 3x(x − 2).
Como é um polinômio de segundo grau com coeficiente que acompanha o termo de maior grau igual
positivo. Temos que f ′′(x) < 0 se 0 < x < 2 e no restante dos pontos f ′′(x) > 0.
Observe que f ′′(−1) > 0, isto nos diz que x = −1 é um ponto de ḿınimo local. Já f ′′(2) = 0 e em
ambos os lados de x = 2 f ′(x) > 0, logo x = 2 é um ponto de inflexão.
Questão 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma função da questão 1. Explique o comportamento de
f(x) e faça um esboço do gráfico.
Solução: Já sabemos o comportamento de f quando x → −∞ assim como quando x → ∞.
Veja que f(1) = −3
4
, f(0) = 2 e f(2) = 6. Observe que em x = −1 a derivada troca de sinal e
este ponto é um ḿınimo local. Em x = 2 temos um ponto de inflexão. A concavidade do gráfico
em 0 < x < 2 boca voltada para baixo e no restante a boca fica voltada para cima. Com estas
informações já é o suficiente para fazermos um esboço do gráfico.
Nome da Disciplina AP1 2
Figura 1: Esboço do gráfico de f(x) = 1
4
x4 − x3 + 4x + 2
Questão 4[2,4pts] Suponha que uma empresa tem o custo total dado por x2 − 9600x + 5000 para
a produção diária de x unidades de computadores. Suponha que cada unidade do produto é vendida
no mercado ao preço de 1 200, 00 Reais por unidade. Ache o número total de unidades que esta
empresa deve produzir para obter o maior lucro diário posśıvel.
Solução: Vamos definir a função custo por ser c(x) = x2 − 9600x + 5000 e a função receita por
ser r(x) = 1200x. Logo o lucro é dado por
L(x) = r(x) − c(x) = 1200x − (x2 − 9600x + 5000) = −x2 + 10800x − 5000
Derivando e igualando a zero, obtemos os pontos cŕıticos.
L′(x) = −2x + 10800 = 0 ⇒ x = 5400.
Como L′′(5400) = −2 < 0, segue que x = 5400 é um ponto de máximo. Portanto, a produção que
maximiza o lucro é de x = 5400 unidades diárias.
Questão 5 [1,8pt] Faça o esboço da região compreendida pelas curvas y = x2 − 4x + 5, y =
−x2 + 4x − 1, e calcule a sua área.
Solução: Precisamos encontrar os pontos em que os gráficos se encontram. Para isso vamos igual
x2 − 4x + 5 = −x2 + 4x − 1 ⇒ 2x2 − 8x + 6 = 0 ⇒ x = 1 ou x = 3.
Logo, as funções se encontram em x = 1 e x = 3. Para calcular a área precisamos calcular
∫
3
1
−x2 + 4x − 1 dx −
∫
3
1
x2 − 4x + 5 dx =
∫
3
1
−2x2 + 8x − 6 dx
=
[
−2
(
x3
3
− 2x2 + 3x
)]3
1
=
8
3
.
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Nome da Disciplina AP1 3
Questão 6 [1,8pt] Calcule a derivada de h(t) = (t + 1) ln (t3 − 4t).
Solução: Veja que devemos aplicar a regra do produto seguido da regra da cadeia.
h′(t) = [(t + 1)]′ ln
(
t3 − 4t
)
+ (t + 1)
[
ln
(
t3 − 4t
)]′
= ln
(
t3 − 4t
)
+ (t + 1)
[
4t2 − 4
t3 − 4t
]
= ln
(
t
(
t2 − 4
))
+
(t + 1) (3t2 − 4)
t3 − 4t
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Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 de Métodos Determińısticos II – 28/10/2017
Questão 1 [1,5pts] Considere a função f(x) = x−1
x2
. Calcule o doḿınio e as suas assintotas.
Solução: Para que uma função racional faça sentido, precisamos que o denominador seja diferente
de zero, logo, x2 ̸= 0 ⇒ x ̸= 0. Portanto, D(f) = {x ∈ R : x ̸= 0}. Quanto às assintotas, o ponto
x = 0 é um candidato a ser assintota vertical. Para ter certeza vamos calcular os limites abaixo:
lim
x→0−
x − 1
x2
= −∞ e lim
x→0+
x − 1
x2
= −∞.
lim
x→±∞
x − 1
x2
= lim
x→±∞
(
x
x
)(1 − 1/x
x
)
= 0
Portanto, x = 0 é uma assintota horizontal e y = 0 é a assintota vertical.
Questão 2[1,5pt] Considere f(x) a mesma função da questão 1. Calcule e faça a analise do sinal
de f ′(x) e f ′′(x).
Solução: Derivando obtemos que
f ′(x) = 2 − x
x3
e f ′′(x) = 2(x − 3)
x4
.
Veja que o sinal da f ′(x) depende de 2−x e x3, já o sinal de f ′′ depende somente de x−3. Portanto,
f ′(x) > 0 se 0 < x < 2, nos outros valores ela assume valores negativo. Já f ′′(x) < 0 se x < 3 e
nos outros valores f ′′(x) é positiva.
Questão 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma função da questão 1. Explique o comportamento de
f(x) e faça um esboço do gráfico.
Solução: Inicie marcando as assintotas x = 0 e y = 0. No intervalo (−∞, 0) a f ′(x) e f ′′(x) são
negativas. Portanto, a boca é voltada para baixo, e a função é sempre decrescente. Levando em
consideração os limites podemos fazer esta porção do gráfico.
Quando x > 0 precisamos marcar os pontos x = 2 e x = 3 sobre o eixo dos x. Veja que a função
tem boca voltada para baixo para 0 < x < 3 e é crescente quando 0 < x < 2. Portanto, levando
em consideração que f(2) = 14 e os limites também podemos fazer esta parte do gráfico.
Nome da Disciplina AP1 2
Questão 4[2,4pts] Encontre a quantidade q a qual maximiza o retorno se a receita, R(q), e o custo
total, C(q), são dadas em reais por
R(q) = 5q − 0, 003q2, C(q) = 300 + 1, 1q
onde 0 ≤ q ≤ 800 unidades. Qual o ńıvel de produção que dá o menor retorno.
Solução: É sabido que para maximizar o ńıvel de produção tem que ocorrer R′(q) = C ′(q), isto é,
a receita marginal = ao custo marginal. Resolvendo obtemos
5 − 0, 006q = 1, 1 ⇔ q = 3, 9
0, 006
= 650 unidades.
Se produzirmos e vendermos esta quantidade obtemos de lucro L(650) = R(650)−C(650) = 967, 50
reais.
Para terminarmos precisamos checar o que acontece com os extremos. Avaliando em q = 0 e
q = 800, obtemos L(0) = −300 e L(800) = 900. Portanto, o máximo só é atingido realmente ao
produzir 650 unidades. O menor retorno ocorre quando q = 0, ou seja, quando não há produção
nenhuma.
Questão 5 [1,8pt] Faça o esboço da região compreendida pelas retas y = x2, y =
√
x, e calcule a
sua área.
Solução: Observe que ao procurarmos os valores de x onde os gráficos se interceptam encontramos:
x2 =
√
x⇔ x4 − x = x(x3 − 1) = 0. O que nos leva a x = 0 e x = 1. Ao fazermos o gráfico
obtemos
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logo para calcular a área precisamos fazer
∫ 1
0
√
x − x2 dx =
[
2x3/2
3
− x
3
3
]1
0
= 1
3
.
Questão 6 [1,8pt] Calcule a derivada de h(t) = ln
(
3t +
√
1 + 9t2
)
.
Solução: Derivando
h′(t) =
3 + 18t2√9t2+1
3t +
√
9t2 + 1
=
6
√
9t2+1+18t
2
√
9t2+1
3t +
√
9t2 + 1
=
6(3t+√9t2+1)
2
√
9t2+1
3t +
√
9t2 + 1
= 3√
9t2 + 1
.
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Gabarito da AP2 – Métodos Determińısticos II – 28/05/2017
Questão 1 [1,5pts] Considere a função f(x) = x3
x2−1 . Calcule o doḿınio, verifique que f(x) =
−f(−x) para todo x no doḿınio e calcule as suas assintotas.
Solução: Como f(x) é uma função racional, ela estará bem definida desde que o denominador seja
diferente de zero, isto é,
x2 − 1 ̸= 0 ⇔ x ̸= −1 ou x ̸= 1.
Portanto o doḿınio de f(x) é {x ∈ R : x ̸= ±1}.
f(−x) = (−x)
3
(−x)2 − 1
= −x
3
x2 − 1
= − x
3
x2 − 1
= −f(x).
Para fazer o estudo das assintotas precisamos calcular os seguintes limites: x → ±∞, x → −1−,
x → −1+, x → 1−, x → 1+.
lim
x→±∞
x3
x2 − 1
= lim
x→±∞
x2
x2
x
1 − 1/x2
= lim
x→±∞
x
1 − 1/x2
= ±∞.
Para o limite quando x → −1−. Considere o valor x = −1, 1 o numerador é negativo e o denominador
é 0, 21 > 0, logo enquanto o numerador tende para -1 o denominador tende a zero com valores
positivos. Portanto, podemos concluir que limites tende a −∞.
Com o mesmo tipo de racioćınio podemos concluir que: x → −1− e x → 1− ambos os limites
tendem a −∞. E quando x → −1+ e x → −1+ o limite tende para +∞.
Questão 2[1,5pt] Considere f(x) a mesma função da questão 1. Calcule e faça a analise do sinal
de f ′(x) e f ′′(x).
Solução: Derivando
f ′(x) = 3x
2 × (x2 − 1) − x3 × 2x
(x2 − 1)2
= x
2 (x2 − 3)
(x2 − 1)2
,
observe que esta parte x
2
(x2−1)2 esta elevado ao quadrado e portanto que determina o sinal é x
2 − 3,
portanto, se −
√
3 ≤ x ≤
√
3 a f ′(x) ≤ 0 e fora deste intervalo f ′(x) > 0.
Derivando mais uma vez obtemos
f ′′(x) = (4x
3 − 6x) × (x2 − 1)2 − (x4 − 3x2) × 2 × (x2 − 1) × 2x
(x2 − 1)4
= 2x (x
2 + 3)
(x2 − 1)3
.
Observe que x2 + 3 > 0 para todo x ∈ R, e (x2 − 1)3 tem o mesmo sinal que x2 − 1. Dáı que f ′′(x)
tem o mesmo sinal que 2x
x2−1 , fazendo o estudo obtemos
Nome da Disciplina AP1 2
Questão 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma função da questão 1. Explique o comportamento de
f(x) e faça um esboço do gráfico.
Solução: Iniciemos marcando as retas x = −1 e x = 1 e os pontos (−
√
3, 0) e (
√
3, 0). Vamos
começar vendo o que deve acontecer ao gráfico da esquerda para a direita, no intervalo (−∞, −1).
A função vem de menos infinito e é crescente até −
√
3, depois disso ela se torna decrescente até −1,
em x = −1 ela vai para o −∞. f(−
√
3) = −3
√
3
2 ≈ −2, 6. Veja que neste intervalo a concavidade
é sempre para baixo. Refletindo na origem podemos desenhar o que acontece quando x ≥ 1.
No intervalo −1 < x < 1 sabemos que a função vem de +∞ e se vai para −∞. É sempre decrescente
neste intervalo. Passa por 0 = f(0), e tem concavidade para cima em (−1, 0) e para baixo (0, 1).
Figura 1: Esboço do gráfico de f(x) = x
x2−9
Questão 4[2,0pts] Suponha que C(x) é a quantidade em reais do custo total para produzir x réplicas
de uma pintura (x ≥ 10) e
C(x) = 15 + 8x + 50
x
.
Determine:
(a) a função do custo marginal;
(b) o custo marginal quando x = 50;
(c) o custo de produção para fazer o 51a quadro.
Solução:
(a) C ′(x) = 8 − 50
x2
(b) C ′(50) = 8 − 50502 = 8 − 0, 02 = 7, 98.
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Nome da Disciplina AP1 3
(c) A quantidade de reais gasto para produzir o quinquagésimo primeiro quadro é C(51) − C(50) =
423, 9804 − 416 = 7, 9804.
Questão 5 [1,6pt] Resolva as seguintes integrais:
a)
∫
(3x − 2)
√
x dx
b)
∫ 1
1+e−x dx
Solução: a)∫
(3x − 2)
√
x dx =
∫
(3x − 2) x1/2 dx =
∫
3x3/2 − 2x1/2 dx = 2
15
x3/2(9x − 10) + C.
b) Observe que 1 + e−x = 1 + 1
ex
= ex+1
ex
e então
∫ 1
1+e−x dx =
∫ ex
ex+1 dx e fazendo u = 1 + e
x ⇒
du = exdx e dáı ∫ 1
1 + e−x
dx =
∫ du
u
= ln(u) + C = ln (ex + 1) + C.
Questão 6 [1,4pt] Faça o esboço da região compreendida pelas retas x = −1, x = 2, y = 0 e pelo
gráfico de y = x2 + 2x + 5 e calcule a sua área.
Solução: Veja que y(x) = x2 + 2x + 5 é a equação de uma parábola com a boca voltada para cima
e y(−1) = 4 e y(1) = 8, Além disso, esta parábola não tem raiz real, pois ∆ = 4−4×5 = −16 < 0.
Com isso, temos como fazer o gráfico abaixo.
Logo a área é dada por
∫ 2
−1
x2 + 2x + 5 dx =
[
x3
3
+ x2 + 5x
]2
−1
= 21.
Questão 7 [1,0pt] Calcule a derivada de h(t) = t ln
(
t2−1
t2+1
)
.
Solução: Iniciemos derivando
(
t2−1
t2+1
)′
= 2t(t
2+1)−(t2−1)2t
(t2+1)2 =
4t
(t2+1)2 então,
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Nome da Disciplina AP1 4
h′(t) = 1 × ln
(
t2 − 1
t2 + 1
)
+ t ×
[
ln
(
t2 − 1
t2 + 1
)]′
= ln
(
t2 − 1
t2 + 1
)
+ t × 1(
t2−1
t2+1
) × [t2 − 1
t2 + 1
]′
= ln
(
t2 − 1
t2 + 1
)
+ t ×
(
t2 + 1
t2 − 1
)
4t
(t2 + 1)2
= ln
(
t2 − 1
t2 + 1
)
+ 1
(t2 − 1)
4t2
(t2 + 1)
=
(t4 − 1) ln
(
t2−1
t2+1
)
+ 4t2
t4 − 1
.
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Gabarito da AP2 – Métodos Determińısticos II – 12/11/2016
Questão 1 [1,5pts] Considere a função f(x) = x
x2−9 . Calcule o doḿınio, verifique que f(x) =
−f(−x) para todo x no doḿınio e calcule as suas assintotas.
Solução: [ 0,5pts pelo doḿınio da f+ 0,4pts por verificar que f é ı́mpar + 0,1pt por cada um dos
6 limites a serem considerados.]
Como a função envolve uma fração, para que x esteja no doḿınio o denominador precisa ser diferente
de zero. Mas x2 − 9 = 0 =⇒ x = 3 e x = −3. Portanto, doḿınio de f é {x ∈ R : x ̸= ±3}.
Observe que f(−x) = −x
(−x)2−9 = −
x
x2−9 = −f(x) para todo x ∈ {x ∈ R : x ̸= ±3}.
Para determinarmos as assintotas precisamos calcular os seguintes limites x → ±3± e x → ±∞.
Vamos analisar o limite quando x → −3−, neste caso é claro que o numerador tende a -3 enquanto
o denominador tende a 0 com valores positivos. Portanto, lim
x→−3−
x
x2 − 9
= −∞. Fazendo análise
semelhante podemos concluir que lim
x→−3+
f(x) = +∞, lim
x→3−
f(x) = −∞ e lim
x→3+
f(x) = +∞. Já
lim
x→+∞
x
x2 − 9
= lim
x→+∞
x
x2
1
1− 9/x2
= 0+.
lim
x→−∞
x
x2 − 9
= lim
x→−∞
x
x2
1
1− 9/x2
= 0−.
Portanto, x = ±3 são assintotas verticais e y = 0 é uma assintota horizontal.
Questão 2 [1,5pt] Considere f(x) a mesma função da questão 1. Calcule e faça a analise do sinal
de f ′(x) e f ′′(x).
Solução: [0,4pts pela f ′+ 0,3pts pelo estudo do sinal da f ′+ 0,4pts pela f ′′+ 0,4pts pelo estudo
do sinal da f ′′.]
Derivando obtemos
f ′(x) = − x
2 + 9
(x2 − 9)2
Observe que tanto o numerador x2+9 como do denominador são sempre positivos, portanto, f ′(x) <
0. Derivando novamente obtemos
−2x (x2 − 9)2 − [−x2 − 9]× 2× (x2 − 9)× 2x
(x2 − 9)4
=
2x(x2 − 9) [− (x2 − 9)− 2 (−x2 − 9)]
(x2 − 9)4
=
2x [−x2 + 9 + 2x2 + 18]
(x2 − 9)3
=
2x (x2 + 27)
(x2 − 9)3
Pela análise do sinal, vemos que f ′′(x) < 0 se x < −3 ou 0 < x < 3. Do contrário, f ′′(x) ≥ 0.
Métodos Determińısticos 2 AP2 2
Questão 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma função da questão 1. Faça um esboço do gráfico e
explique o comportamento de f(x).
Solução: Marque as retas assintotas x = ±3, e y = 0. Fixe o comportamento da função para
valores próximos as estas retas. Veja que a função é decrescente no seu doḿınio. Além disso, para
valores de x < −3 a concavidade esta voltada para baixo para −3 < x < 0 a concavidade é voltada
para cima, além disso, f(0) = 0. Agora use que f(−x) = −f(x)para todo x no seu doḿınio.
Figura 1: Esboço do gráfico de f(x) = x
x2−9
Questão 4 [2,0pts] A receita R obtida na venda de um produto é dada por R(q) = 20q−2000, sendo
q a quantidade de produtos vendidos. Uma fábrica tem capacidade de produção de q produtos, em
função do número de horas t trabalhadas, expressa por q(t) = 1000− (t− 10)2 e o número de horas
trabalhadas é função da quantidade n de máquinas dispońıveis, e é expressa por t = 2n. Determine:
a) a expressão de R(n); b) o maior valor posśıvel de q que se pode produzir, considerando que o
número de horas trabalhadas é positivo. Aproveite e determine o maior valor posśıvel de receita; c)
o número de máquinas para se obter essa receita máxima.
Solução: [0,6pts pelo item a) + 0,9pts pelo item b) + 0,5pts pelo item c)]
a) Fazendo a substituição, temos que R(n) = R(q(2n)) = 20(1000 − (2n − 10)2) − 2000 =
16000 + 800n− 80n2.
b) A expressão de q é uma função do segundo grau. R′(t) = −2(t− 10) e igualando a zero obtemos
t = 10, o que dá um valor de q = 1000 unidades. O valor máximo da receita ocorrerá para o valor
de q = 1000, que é $18 000.
c) Se os máximos ocorrem em t = 10, como t = 2n então n = 5 máquinas.
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Métodos Determińısticos 2 AP2 3
Questão 5 [1,5pt] Resolva as seguintes integrais: a)
∫
3x2 + 2x3 + x5 dx, b)
∫
x(4 + x2)8 dx e
c)
∫ 2
1
dt
(3−5t)2 .
Solução: [0,5pts por cada uma das integrais]
a) ∫
3x2 + 2x3 + x5 dx =
3x3
3
+
2x4
4
+
x6
6
+K = x3 +
x4
2
+
x6
6
+K.
b) Chame de u = 4 + x2 ⇒ du = 2x dx ⇒ du
2
= x dx dáı∫
(u)8
du
2
=
1
2
u9
9
+ k =
(4 + x2)9
18
+K.
c) Chame de 3− 5t = v ⇒ dv = −5dt, logo
∫
dv
−5v2 =
−1
5
−1
v
. Dáı∫ 2
1
dt
(3− 5t)2
=
[
1
5(3− 5t)
]2
1
=
−1
35
− −1
10
=
1
14
.
Questão 6 [1,5pt] Faça o esboço da região entre as curvas y = x2+3 e y = x quando −1 ≤ x ≤ 1
e calcule a área.
Solução: [0,5pts pelo esboço da região + 1,0pt pela integral.]
Veja que y = x é uma reta que passa pela origem e que y = x2+3 é uma equação de parábola. Dáı
temos a seguinte figura
Logo a área é
∫ 1
−1 x
2 + 3− x dx =
[
x3
3
− x2
2
+ 3x
]1
−1
= 20
3
.
Questão 7 [1,0pt] Calcule a derivada de: a) g(x) = e
x
1+ex
e b) h(x) = (x2 + 1)2
√
x2 + 2.
Solução: [Cada derivada vale 0,5pts]
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Métodos Determińısticos 2 AP2 4
a) Derivando obtemos
g′(x) =
(ex)′ (1 + ex)− ex (1 + ex)′
(1 + ex)2
=
ex (1 + ex)− ex ex
(1 + ex)2
=
ex (1 + ex − ex)
(1 + ex)2
=
ex
(ex + 1)2
b)
h′(x) =
[
(x2 + 1)2
]′ √
x2 + 2 + (x2 + 1)2 ·
[√
x2 + 2
]′
= 2 (x2 + 1) · 2x ·
√
x2 + 2 + (x2 + 1)2
(
2x
2
√
x2 + 2
)
=
x (x2 + 1) · 4 · (x2 + 2) + x (x2 + 1)2√
x2 + 2
=
x(x2 + 1) (4x2 + 8 + x2 + 1)√
x2 + 2
=
x (x2 + 1) (5x2 + 9)√
x2 + 2
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Gabarito da AP2 – Métodos Determińısticos II – 22/05/2016
Questão 1 [1,0pts] Considere a função f(x) = x
2+1
1−x2 . Calcule o doḿınio e as suas assintotas.
Solução: (0, 4 pelo doḿınio + 0, 1 por cada limite) Como é uma função racional, os pontos que
não podem fazer parte do doḿınio são os mesmos que o denominador se anula. Dáı, 1− x2 = 0 ⇔
x2 = 1 ⇔ x = ±1. Portanto,
D(f) = {x ∈ R : x ̸= 1 e x ̸= −1} .
Para determinar as assintotas precisamos calcular os seguintes limites lim
x→−1±
f(x), lim
x→1±
f(x) e
lim
x→±∞
f(x).
lim
x→−1−
x2 + 1
1− x2
= −∞ e lim
x→−1+
x2 + 1
1− x2
= +∞.
Pois, o numerador tende a 2 sempre com valores positivos e o denominador tende, no primeiro limite
tende a zero, com valores negativos, e no segundo limite, tende a zero, com valores positivos. Analise
similar se aplica aos outros dois limites e temos
lim
x→1−
x2 + 1
1− x2
= +∞ e lim
x→1+
x2 + 1
1− x2
= −∞.
Já
lim
x→−∞
x2 + 1
1− x2
= lim
x→−∞
x2
x2
(
1 + 1/x2
1/x2 − 1
)
= −1
e
lim
x→+∞
x2 + 1
1− x2
= lim
x→∞
x2
x2
(
1 + 1/x2
1/x2 − 1
)
= −1.
Portanto as assintotas verticais são x = −1 e x = 1 e a assintota horizontal é y = −1.
Questão 2 [2,0pt] Considere f(x) a mesma função da questão 1. Calcule e faça a analise do sinal
de f ′(x) e f ′′(x).
Solução: (1, 0 para cada derivada e o estudo do sinal)Vamos iniciar calculando a f ′ e f ′′. Depois
faremos a analise do sinal de cada uma delas.
f ′(x) =
2x(1− x2)− (−2x)(x2 + 1)
(1− x2)2
=
4x
(1− x2)2
.
f ′′(x) =
4 (1− x2)2 − 2(1− x2)(−2x)(4x)
(1− x2)4
=
(1− x2) [4 (1− x2)− 2(−2x)(4x)]
(1− x2)4
=
4 (3x2 + 1)
(1− x2)3
, caso não simplifique temos a seguinte expressão
=
4 (3x4 − 2x2 − 1)
(1− x2)4
.
A analisando a expressão de f ′(x) vemos que o denominador é sempre positivo. Dáı quem determina
o sinal é o numerador. Temos que se x ̸= −1, x < 0 ⇒ f ′(x) < 0 e se x ̸= 1 e x > 0 ⇒ f(x) > 0
e f ′(0) = 0.
Métodos Determińısticos 2 AP1 2
Figura 1: Esboço do gráfico de f(x) = x
2+1
1−x2
Analisando a expressão de f ′′(x) vemos que o numerador é sempre positivo. Portanto, quem domina o
sinal é o termo (1−x2)3, mas este polinômio tem o mesmo comportamento, do ponto de vista de sinal,
que o polinômio 1− x2. Dáı se x < −1 ou x > 1, então f ′′(x) < 0 e se −1 < x < 1 ⇒ f ′′(x) > 0.
Questão 3 [1,0pt] Considere f(x) a mesma função da questão 1. Faça um esboço do gráfico e
explique o comportamento de f(x).
Solução: Para fazermos o esboço do gráfico, iniciemos tracejando as retas assintotas, x = −1,
x = 1 e y = −1.
Vamos analisar como deve ser o gráfico de f(x) quando x < −1. Veja que quando x → −∞ a
função se aproxima de y = −1 com valores menores que −1 e quando x → −1− a função tende
a −∞. Além disso, neste intervalo, como f ′(x) < 0 e f ′′(x) < 0 então ela é decrescente e com a
boca voltada para baixo.
Já no intervalo x > 1 vemos que f(x) → −1 quando x → +∞, também com valores menores que
-1. E quando x → 1+ f(x) → −∞. Além disso, neste intervalo f ′(x) > 0 e f ′′(x) < 0. Portanto,
a função é crescente com concavidade voltada para baixo.
No restante, isto é, quando −1 < x < 1, podemos dividir este intervalo nos seguinte subintervalos:
−1 < x < 0 e 0 < x < 1. Em −1 < x < 0 temos que f ′(x) < 0, isto é f(x) é decrescente. Já em
0 < x < 1, f ′(x) > 0, isto é, f(x) é crescente. Em todo −1 < x < 1, f ′′(x) > 0, isto quer dizer
que a boca é voltada para cima. E em x = 0 temos um ponto cŕıtico, que como já percebemos deve
ser um ponto de ḿınimo local. Com todos estes detalhes temos condições de fazer um belo esboço.
Questão 4 [2,0pts] Suponha que o custo, em Reais, para uma companhia produzir x calças de
jeans seja
c(x) = 2000 + 3x+ 0, 01x2 + 0, 0002x3.
a) Encontre a função marginal; b) Calcule o valor de c′(100) e explique o seu significado.
Solução: (1, 0 para cada um dos itens)
a) a função custo marginal é
c′(x) = 3 + 0, 02x+ 0, 0006x2.
b) c′(100) = 3+ 2× 10−2 × 102 +6× 10−4 × 104 = 3+ 2+ 6 = 11. Isto quer dizer que produzindo
100 calças de jeans a fábrica tem um custo aproximado de 11 Reais por calça.
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Métodos Determińısticos 2 AP1 3
Questão 5 [1,5pt] Resolva as seguintes integrais: a)
∫
(1− t)(2 + t2) dt, b)
∫
x
√
1 + x2 dx e
c)
∫ 2
1
3
t4
dt.
Solução: a) ∫
(1− t)(2 + t2) dt =
∫
2− 2t+ t2 − t3 dt = 2t− t2 + t
3
3
− t
4
4
+K.
b) chamando u = 1 + x2 ⇒ du = 2xdx ⇒ du
2
= xdx dáı∫
x
√
1 + x2 dx =
∫ √
u
2
du =
1
2
∫
u1/2 du =
(
1
2
)(
2
3
)
u3/2 + k =
1
3
√
(1 + x2)3 + k.
c) ∫ 2
1
3
t4
dt =
[
− 1
t3
]2
1
= −1
8
− (−1
1
) =
7
8
Questão 6 [1,5pt] Faça o esboço da região entre as curvas y = x e y = x3 quando −1 ≤ x ≤ 1 e
calcule a área.
Solução: Iniciamos encontrando os valores em que o gráfico da reta y = x encontra o gráfico da
cúbica y = x3. Para fazer isso precisamos resolver, x = x3 ⇒ x3−x = x(x2−1) = (x+1)x(x−1).
Portanto, os pontos de encontro são x = −1, x = 0 e x = 1. Fazendo um esboço da região,Vemos do esboço que no intervalo −1 ≤ x ≤ 0 a cúbica é maior que a reta e no intervalo 0 ≤ x ≤ 1
é a reta que é maior que a cúbica. Portanto, a área é dada por
A =
∫ 0
−1
x3 − x dx+
∫ 1
0
x− x3 dx =
[
x4
4
− x
2
2
]0
−1
+
[
x2
2
− x
4
4
]1
0
=
1
4
+
1
4
=
1
2
.
Questão 7 [1,0pt] Calcule a derivada de: a) g(x) = x
2−2
√
x
x
e b) h(x) = x
√
2x− 1 + 1
x2
√
x
.
Solução: a)
g(x) = x− 2x−1/2 ⇒ g′(x) = 1 + x−3/2 = 1 + 1√
x3
.
b)
h′(x) =
3x− 1√
2x− 1
− 5
2x7/2
=
3x− 1√
2x− 1
− 5
2x3
√
x
.
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Gabarito da AP2 – Métodos Determińısticos II – 14/11/2015
Questão 1 [2,0 pts] Faça um estudo da função f(x) = x
3
3
− x2
2
− 6x+6, isto é, calcule: doḿınio,
a 1a e 2a derivada, intervalos de crescimento/decrescimento e pontos de inflexão (se houver), limites
de x → ±∞. Utilize estas informações para fazer um esboço do gráfico.
Solução: Como é uma função polinomial o doḿınio Df = R; derivando obtemos f ′(x) = x2−x−6
e, derivando novamente, f ′′(x) = 2x− 1. Calculando as ráızes de f ′(x) obtemos x = −2 e x = 3.
Então, a função é crescente em (−∞,−2)∪(3,+∞) e decrescente no complementar deste intervalo.
Por outro lado, se f ′′(1
2
) = 0 e f ′′ é uma função linear, donde x < 1
2
a concavidade é voltada para
baixo e para x > 1
2
a concavidade é voltada para cima e, x = 1
2
é um ponto de inflexão.
Como f é de terceiro grau e o coeficiente que acompanha o termo x3 é positivo temos limx→−∞ f(x) =
−∞ e limx→+∞ f(x) = +∞. Portanto, não há asśıntotas. Para esboçarmos o gráfico é importante
saber alguns valores de f(x), por isso calculando f(−2) = 52
3
e f(3) = 3
2
. Então, temos os elementos
básicos necessários para fazer um esboço do gráfico desta função. Com é uma função do 3o grau,
então vem de −∞ do −∞ e vai para +∞ para o +∞. Marcando os pontos que a função passa e
recordando das concavidades obtemos
Questão 2 [2,0 pts] Um banco oferece juros anual I(t), em %, dependendo do tempo t, em anos,
que o investidor esteja disposto a manter o investimento. I(t) é dado por:
I(t) =
180t+ 12
t2 + 3
.
Determine quantos anos deve manter o investimento para ter lucro máximo. Se o investimento é
aplicado indeterminadamente, os juros podem ser negativos?
Solução: Derivando
I ′(t) = −12 (15t
2 + 2t− 45)
(t2 + 3)2
Queremos encontrar os valores t ≥ 0 que anulam a derivada, então resolvendo, 15t2 + 2t− 45 = 0,
obtemos t = −9
5
e t = 5
3
. Portanto, o único valor que nos interessa é t = 5
3
que é aproximadamente
1, 666. Em meses corresponde aproximadamente 20 meses.
Métodos Determińısticos 2 AP3 2
Com respeito, a pergunta se os juros podem ser negativos, vamos calcular
lim
t→+∞
180t+ 12
t2 + 3
= lim
t→+∞
t
t
· 180 + 12/t
t+ 3/t
== lim
t→+∞
180 + 12/t
t+ 3/t
= 0.
Então a resposta é não, pois por mais tempo que o valor esteja investido, sempre terá uma taxa
positiva.
Questão 3 [2,0 pts] Calcule a derivada das funções abaixo:
a) f(x) = 4x+5
x2+x
+ 1
x2+1
b) g(t) =
(
e−t + et
2
)3
Solução: (Cada item vale 1,0pt)
a) Aplicando a Regra do quociente em cada um dos termos
f ′(x) =
4(x2 + x)− (4x+ 5)(2x+ 1)2
(x2 + x)
+
−1(2x)
(x2 + 1)2
= − 2x
(x2 + 1)2
− 4x
2 + 10x+ 5
(x+ 1)2x2
.
b) Aplicamos a regra da cadeia, no termo todo e nas derivadas (e−t)
′
= −e−t e
(
et
2
)′
= 2tet
2
e
obtemos
g′(t) = 3
(
e−t + et
2
)2 (
2tet
2 − e−t
)
Questão 4 [2,0 pts] Calcule as integrais abaixo:
a)
∫
x2
1+x3
dx
b)
∫ t
1
x ln(x) dx
Solução: (cada item vale 1,0pt)
a) Usamos a técnica de substituição de variável, chame y = 1+ x3 ⇒ dy = 3x2 dx e dy/3 = x2 dx,
dáı ∫
x2
1 + x3
dx =
∫
1
3y
dy =
1
3
ln(y) +K,∫
x2
1 + x3
dx =
1
3
ln
(
x3 + 1
)
+K.
b) Usamos a técnica de integração por partes, para isso considere xdx = dv ⇒ x2
4
= v e u = ln x ⇒
du = dx
x
, dáı ∫ t
1
x ln(x) dx =
[
x2
4
lnx
]t
1
−
∫ t
1
x2
2x
dx
=
[
1
2
x2 ln(x)− x
2
4
]t
1
=
1
2
t2 ln(t)− t
2
4
+
1
4
.
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Métodos Determińısticos 2 AP3 3
Questão 5 [2,0 pts] Considere a região delimitada pela parábola y = x2 e pela curva y =
√
x
quando 0 ≤ x ≤ 4. Faça um esboço da região e calcule a área dessa região.
Solução: (Encontrar os pontos de interseção 0,5pt, fazer um esboço da região 0,5pt, montar as
integrais corretamente 0,5pt e resolver corretamente 0,5pt)
Iniciemos encontrando os pontos que os dois gráficos se encontram. Para isso, faça x2 =
√
x,
elevando ao quadrado, x4 − x = x(x3 − 1) = 0, dáı que x = 0 ou x = 1. Observe que para
0 ≤ x ≤ 1 temos que x2 ≤
√
x e para 1 ≤ x ≤ 4 temos
√
x ≤ x2, veja o esboço abaixo.
Portanto a área A é dada por
A =
∫ 1
0
√
x− x2 dx+
∫ 3
1
x2 −
√
x dx =
[
2x3/2
3
− x
3
3
]1
0
+
[
x3
3
− 2x
3/2
3
]4
1
,
e aplicando os limites laterais obtemos
A =
1
3
+
49
3
=
50
3
.
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