lista7 calculo1 2016

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082210 - Ca´lculo Diferencial e Integral 1
Se´tima lista de exerc´ıcios
Prof. Rafael F. Barostichi 9 de maio de 2016
1. Calcule
(a)
∫
x+
√
xdx (b)
∫
3√
x
− x
√
x
4
dx (c)
∫
x2√
x
dx
(d)
∫ (
x2 +
1
3
√
x
)2
dx (e)
∫
sen axdx (f)
∫
lnx
x
(g)
∫
1
sen2 3x
dx (h)
∫
dx
3x− 7 (i)
∫
tg 2xdx
(j)
∫
ex cotg exdx (k)
∫
x√
2x2 + 3
dx (l)
∫
x2√
x3 + 1
dx
(m)
∫
x3 cosx4dx (n)
∫
sen5 x cosxdx (o)
∫
tg x sec2 xdx
(p)
∫
sec2 x
3 + 2 tg x
dx (q)
∫ (
5
x− 1 +
2
x
)
dx (r)
∫
1
a2 + x2
dx
(s)
∫
1
x lnx
dx (t)
∫
1
x
cos(lnx)dx (u)
∫
senx
cos3 x
dx.
(Respostas:(a)
x2
2
+
2x
√
x
3
+ c (b) 6
√
x− 1
10
x2
√
x+ c (c)
2
5
x2
√
x+ c (d)
x5
5
+
3
4
x2
3
√
x2 + c
(e) −cos ax
a
+ c (f)
ln2 x
2
+ c (g) −cotg 3x
3
+ c (h)
1
3
ln |3x− 7|+ c (i) −1
2
ln | cos 2x|+ c
(j) ln | sen ex| + c (k) 1
2
√
2x2 + 3 + c (l)
2
3
√
x3 + 1 + c (m)
1
4
senx4 + c (n)
1
6
sen6x + c
(o)
1
2
tg2x+ c (p)
1
2
ln |3 + 2 tanx|+ c
(q) 5 ln |x − 1| + 2 ln |x| + c (r) 1
a
arctan
x
a
+ c (s) ln | lnx| + c (t) sen(lnx) + c (u)
1
2 cos2 x
+ c.)
2. (a) A equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = f(x) no ponto (1, 3) e´ y = x + 2. Se em
qualquer ponto (x, f(x)) do gra´fico de f temos f ′′(x) = 6x, encontre a expressa˜o de f .
(b) Em qualquer ponto (x, f(x)) do gra´fico de y = f(x) temos f ′′(x) = 2. Encontre a expressa˜o
da func¸a˜o f , sabendo-se que o ponto (1, 3) e´ um ponto do gra´fico no qual o coeficiente
angular da reta tangente e´ −2.
(Respostas: (a) f(x) = x3 − 2x+ 4 (b) f(x) = x2 − 4x+ 6)
1
3. Calcule
(a)
∫ 2
−2
(3s2 + 2s− 1)ds (b)
∫ 2
1
(
x3 +
1
x
+
1
x3
)
dx
(c)
∫ pi
2
−pi
6
(cos 2x+ sen 5x)dx (d)
∫ 2
0
4
1 + u2
du
(e)
∫ 1
0
xex
2
dx (f)
∫ 0
−1
x(2x+ 1)50dx
(g)
∫ 1
0
x
(x2 + 1)5
dx (h)
∫ 1
−1
x4(x5 + 3)3dx
(i)
∫ pi
2
pi
6
senx (1− cos2 x)dx (j)
∫ pi
3
0
sen3 xdx
(Respostas: ( a) 12 (b) 338 + ln 2 (c)
3
√
3
20 (d) 4 arctg 2 (e)
1
2
e − 1
2
(f) − 1
102
(g)
15
128
(h) 12 (i)
3
8
√
3 (j)
5
24
))
4. Nos itens abaixo, desenhe o conjunto A dado e calcule sua a´rea:
(a) A = {(x, y) ∈ R2; x2 − 1 6 y 6 0}.
(b) A = {(x, y) ∈ R2; 0 6 y 6 |sen x|, 0 6 x 6 2pi}.
(c) A e´ a regia˜o delimitada pelos gra´ficos de y + x2 = 6 e y + 2x− 3 = 0.
(d) A e´ a regia˜o delimitada pelos gra´ficos de y − x = 6, y − x3 = 0 e 2y + x = 0.
(e) A e´ o conjunto do plano limitado pela reta y = 0, e pelo gra´fico de y = 3 − 2x − x2, com
−1 ≤ x ≤ 2.
(f) A e´ o conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, x = pi2 , e pelos gra´ficos de y = senx e
y = cosx.
(Respostas: (a)
4
3
(b) 4 (c)
32
3
(d) 22 (e) 233 (f) 2(
√
2− 1))
5. Suponha f cont´ınua em [−1, 1]. Calcule
∫ 1
0
f(2x−1)dx sabendo que
∫ 1
−1
f(u)du = 10. (Resposta:
5)
6. Calcule:
(a)
∫
xe−x dx (b)
∫
x cos x dx (c)
∫
[x2ex
3 − x3 lnx] dx
(d)
∫
arcsen 2x dx (e)
∫
x2exdx (f)
∫
x2 lnxdx
(g)
∫
(lnx)2dx (h)
∫
ex cosxdx (i)
∫
x2 senxdx
(Respostas: (a) −e−x(x+1)+k (b) x senx+cosx+k (c) e
x3
3
− x
4 lnx
2
+k (d) x arcsen 2x+
1
2
√
1− 4x2 + k (e) ex(x2 − 2x+ 2) + k (f) 13x3(lnx− 13) + k (g) x(lnx)2 − 2x(lnx− 1) + k
(h) 12e
x(senx+ cosx) + k (i) −x2 cosx+ 2x senx+ 2 cosx+ k)
2
7. Calcule
∫
e−st sen tdt, onde s > 0 e´ constante.
(Resposta: − e
−st
1 + s2
(cos t+ s sen t) + k
8. Para todo n ≥ 1 e todo s > 0, verifique que∫
tne−stdt = −1
s
tne−st +
n
s
∫
tn−1e−stdt.
9. Sejam m e n constantes na˜o nulas. Mostre que:∫
mx+ n
1 + x2
dx =
m
2
ln(1 + x2) + n arctg x+ k.
10. Calcule
(a)
∫ 2
0
x2
(x+ 1)2
dx
(b)
∫ 2
−2
x2(x3 + 3)10dx
(c)
∫ pi
6
0
senx cos2 xdx
(d)
∫ pi
4
0
cosx sen5 xdx
(Respostas: (a)
8
3
− 2 ln 3 (b) 1168 (c) −1
8
√
3 +
1
3
(d)
1
48
)
11. (a) Mostre que se f e´ uma func¸a˜o par e cont´ınua em [−r, r], com r > 0, enta˜o
∫ 0
−r
f(x)dx =∫ r
0
f(x)dx. Conclua que
∫ r
−r
f(x)dx = 2
∫ r
0
f(x)dx. Interprete graficamente.
(b) Mostre que se g e´ uma func¸a˜o ı´mpar e cont´ınua em [−r, r], com r > 0, enta˜o
∫ r
−r
g(x)dx = 0.
Interprete graficamente.
12. Suponha f cont´ınua em [0, 4]. Calcule
∫ 2
−2
xf(x2)dx.
13. Calcule
(a)
∫ 1
0
xexdx (b)
∫ 2
1
lnxdx
(c)
∫ pi
2
0
ex cosxdx (d)
∫ x
0
t2e−stdt (s 6= 0)
(Respostas: (a) 1 (b) 2 ln 2− 1 (c) 1
2
(e
pi
2 − 1) (d) −1
s
x2e−sx − 2
s2
xe−sx − 2
s3
e−sx +
2
s3
)
14. Sejam m e n naturais na˜o nulos. Verifique que∫ 1
0
xn(1− x)mdx = m
n+ 1
∫ 1
0
xn+1(1− x)m−1dx.
BONS ESTUDOS!!!
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