PC_2019-2_AP3_GABARITO

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AP3 – 2019-2 – GABARITO Pré-Cálculo 
CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 3 
Pré-Cálculo 
 
Questão 1 [1,4 ponto] Considere 𝑝(𝑥) = −2𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 − 2. Escreva quais são as possíveis 
raízes racionais de 𝑝(𝑥) . Fatore o polinômio 𝑝(𝑥) como produto de fatores lineares (tipo 𝑎𝑥 + 𝑏) e/ou 
fatores quadráticos irredutíveis nos reais (tipo 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, que não possui raízes reais). Para justificar 
suas respostas, deixe escritas as suas contas. 
RESOLUÇÃO: 
As possíveis raízes racionais de 𝑝(𝑥) são os possíveis divisores do termo independente −2 , que são 
± 1 , ±2 , divididos pelos divisores do coeficiente do termo de mais alto grau, −2 , que são ± 1 , ±2. 
Assim, as possíveis raízes são: ±
1
1
 , ±
1
2
 , ±
2
1
 , ±
2
2
 , ou seja, são: −1 , +1 , −2 , +2 , −
1
2
 , +
1
2
 . 
Verificando se 1 é raiz de 𝑝(𝑥) : 
𝑝(1) = −2 ∙ (1)3 + 3 ∙ (1)2 + 3 ∙ (1) − 2 = −2 + 3 + 3 − 2 = 2 . 
Logo, 𝑥 = 1 não é raiz de 𝑝(𝑥). 
Verificando se −1 é raiz de 𝑝(𝑥) : 
𝑝(−1) = −2 ∙ (−1)3 + 3 ∙ (−1)2 + 3 ∙ (−1) − 2 = 2 + 3 − 3 − 2 = 0 . 
Logo, 𝑥 = −1 é raiz de 𝑝(𝑥). 
Poderíamos continuar testando as outras possíveis raízes para verificar se dentre elas temos novas 
raízes, mas vamos usar o dispositivo de Briot-Ruffini para dividir 𝑝(𝑥) por (𝑥 − (−1)) = (𝑥 + 1), pois 
como 𝑥 = −1 é raiz do polinômio 𝑝(𝑥) , então 𝑝(𝑥) é divisível por (𝑥 − (−1)) = (𝑥 + 1). 
 −2 +3 +3 −2 
−1 −2 (−1) ∙ (−2) + 3 = 5 (−1) ∙ 5 + 3 = −2 (−1) ∙ (−2) − 2 = 0 
Logo, 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1) ∙ (−2𝑥2 + 5𝑥 − 2). 
Determinando as raízes de 𝑞(𝑥) = −2𝑥2 + 5𝑥 − 2. 
𝑥 =
−5±√52−4∙(−2)∙(−2)
2∙(−2)
=
−5±√25−16
−4
=
−5±3
−4
= {
−8
−4
= 2
 −2
−4
=
1
2
 
Logo, 𝑥 = 2 ou 𝑥 =
1
2
. 
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Assim, a fatoração de 𝑞(𝑥) é 𝑞(𝑥) = −2 (𝑥 −
1
2
) (𝑥 − 2) = Portanto, 
𝑝(𝑥) = −2(𝑥 + 1)(𝑥 − 2) (𝑥 −
1
2
) ou 𝑝(𝑥) = −(𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(2𝑥 − 1) ou 
𝑝(𝑥) = (𝑥 + 1)(𝑥 − 2)(1 − 2𝑥) 
Note que, qualquer um dos fatores dessa fatoração poderia ser multiplicado por (−1) e não apenas o 
fator (2𝑥 − 1) como exemplificamos acima. 
 
Questão 2 [1,5 ponto] Considere a função 𝑓(𝑥) =
√𝑥2−3𝑥
|𝑥|−5
. Determine o domínio da função 𝑓 e 
encontre os valores de 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), para os quais 𝑓(𝑥) > 0. Responda o domínio na forma de união 
de intervalos disjuntos. Para justificar suas respostas, deixe escritas as suas contas. 
RESOLUÇÃO 
Domínio: 
Sendo 𝑓(𝑥) =
√𝑥2−3𝑥
|𝑥|−5
 , 
As restrições são: 
• denominador não nulo, isto é, |𝑥| − 5 ≠ 0. 
|𝑥| − 5 = 0 ⟺ |𝑥| = 5 ⟺ 𝑥 = −5 ou 𝑥 = 5 
Logo, |𝑥| − 5 ≠ 0 ⟺ 𝑥 ≠ −5 e 𝑥 ≠ 5 . 
• Radicando positivo ou nulo, isto é, 𝑥2 − 3𝑥 ≥ 0 
Buscando as raízes de 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 . 
𝑥2 − 3𝑥 = 0 ⟺ 𝑥(𝑥 − 3) = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ou 𝑥 − 3 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 3 
O gráfico da função 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 é uma parábola de concavidade voltada para cima, pois o 
coeficiente do termo 𝑥2 é 1 > 0 , com raízes 𝑥 = 0 e 𝑥 = 3. 
Logo, 𝑥2 − 3𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≤ 0 ou 𝑥 ≥ 3. 
Portanto, 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ ; 𝑥 ≠ −5 e 𝑥 ≠ 5} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ; 𝑥 ≤ 0 ou 𝑥 ≥ 3 } = 
(−∞ , −5) ∪ (−5, 0] ∪ [3, 5) ∪ (5 ,∞) . 
Analisando quando𝒇(𝒙) > 𝟎 : 
Lembremos que 𝑓(𝑥) =
√𝑥2−3𝑥 
|𝑥|−5
 e 
 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ ; 𝑥 ≠ −5 e 𝑥 ≠ 5} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ; 𝑥 ≤ 0 ou 𝑥 ≥ 3 }. 
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Sabemos que, 
• √𝑥2 − 3𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 ou 𝑥 = 3 , 
• √𝑥2 − 3𝑥 > 0 ⟺ 𝑥 < 0 ou 𝑥 > 3 , 
• |𝑥| − 5 > 0 ⟺ |𝑥| > 5 ⟺ 𝑥 < −5 𝑜𝑢 𝑥 > 5 
 
 (−∞ , −5) (−5 , 0) 0 3 (3 , 5) (5,∞) 
√𝑥2 − 3𝑥 + + 0 0 + + 
|𝑥| − 5 + − − − − + 
√7 − 𝑥 
|𝑥| − 5
 + − 0 0 − + 
 
Portanto, 
𝑓(𝑥) > 0 ⟺ 𝑥 < −5 𝑜𝑢 𝑥 > 5, escrevendo de outra forma, 𝑥 ∈ (−∞ , −5) ∪ (5,∞) . 
 
Questão 3 [1,3 ponto] Sabendo que cos(𝜃) =
√5
3
 e −
𝜋
2
< 𝜃 < 0, calcule o que se pede: 
(i) sen(𝜃) (ii) cos(2𝜃) 
RESOLUÇÃO: 
(i) Substituindo cos(𝜃) =
√5
3
 na identidade trigonométrica fundamental sen2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1, 
encontramos sen2 𝜃 + (
√5
3
)
2
= 1. Resolvendo, 
sen2 𝜃 + (
√5
3
)
2
= 1 ⟺ sen2 𝜃 +
5
9
= 1 ⟺ sen2 𝜃 = 1 −
5
9
=
4
9
 ⟺ sen(𝜃) = ±√
4
9
= ±
2
3
. 
sen(𝜃) = ±
2
3
 e −
𝜋
2
< 𝜃 < 0 ⟹ sen(𝜃) = ±
2
3
 e sen(𝜃) < 0. Portanto, sen(𝜃) = −
2
3
. 
(ii) Substituindo cos(𝜃) =
√5
3
 e sen(𝜃) = −
2
3
 na identidade cos(2𝜃) = cos2 𝜃 − sen2 𝜃, 
cos(2𝜃) = (
√5
3
)
2
− (−
2
3
)
2
=
5
9
−
4
9
=
1
9
 . Portanto, cos(2𝜃) =
1
9
. 
 
 
 
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Questão 4 [1,5 ponto] Resolva a equação 2 tan2 𝑥 + sec2 𝑥 = 10, para 𝑥 ∈ [0, 𝜋 ]. 
RESOLUÇÃO: 
• Uma maneira de resolver é substituindo a identidade sec2 𝑥 = 1 + tan2 𝑥 
na equação dada. 
2 tan2 𝑥 + sec2 𝑥 = 10 ⟺ 2 tan2 𝑥 + 1 + tan2 𝑥 = 10 ⟺ 3 tan2 𝑥 = 9 
⟺ tan2 𝑥 = 3 ⟺ tan 𝑥 = ±√3 . 
Usando o outro dado, que é 𝑥 ∈ [0, 𝜋], 
tan 𝑥 = ±√3 𝑒 𝑥 ∈ [0, 𝜋 ] ⟺ 𝑥 =
𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 =
2𝜋
3
 . 
A solução acima pode ser encontrada visualizando no círculo acima. 
Portanto, a solução S é 𝑆 = {
𝜋
3
 ,
2𝜋
3
 }. 
• Outra maneira de resolver é substituindo as identidades tan 𝑥 =
sen𝑥
cos𝑥
 e sec 𝑥 =
1
cos𝑥
 na equação 
dada. 
2 tan2 𝑥 + sec2 𝑥 = 10 ⟺ 2 
sen2 𝑥
cos2 𝑥
+
1
cos2 𝑥
= 10 ⟺ 2 sen2 𝑥 + 1 = 10 cos2 𝑥 
Agora, pela identidade trigonométrica fundamental, sen2 𝑥 = 1 − cos2𝑥. Assim, 
2 sen2 𝑥 + 1 = 10 cos2 𝑥 ⟺ 2 (1 − cos2 𝑥) + 1 = 10 cos2 𝑥 ⟺ 
2 − 2 cos2 𝑥 + 1 = 10 cos2 𝑥 ⟺ 12 cos2 𝑥 = 3 ⟺ cos2 𝑥 =
1
4
 ⟺ cos 𝑥 = ±
1
2
 
Usando o outro dado, que é 𝑥 ∈ [0, 𝜋], 
cos 𝑥 = ±
1
2
 𝑒 𝑥 ∈ [0, 𝜋] ⟺ 𝑥 =
 𝜋
3
 𝑜𝑢 𝑥 =
2𝜋
3
. 
A solução acima pode ser encontrada visualizando no círculo ao lado. 
Portanto, a solução S é 𝑆 = {
𝜋
3
 ,
2𝜋
3
 }. 
 
Questão 5 [1,1 ponto] Considere 𝑓(𝑥) = 1 −
𝑥
2
 e 𝑔(𝑥) = arcsen 𝑥. 
Em cada item, calcule, se possível, ou se não for possível calcular, justifique. 
(i) (𝑓 ∘ 𝑔)(3) (ii) (𝑔 ∘ 𝑓)(3) 
RESOLUÇÃO: 
(i) (𝑓 ∘ 𝑔)(3) = 𝑓(𝑔(3)) = 𝑓(arcsen 3). 
Não é possível calcular, não existe arcsen 3 pois −1 ≤ sen 𝑥 ≤ 1. 
(ii) (𝑔 ∘ 𝑓)(3) = 𝑔(𝑓(3)) = 𝑔 (1 −
3
2
) = 𝑔 (−
1
2
) = arcsen (−
1
2
) = −
𝜋
6
. 
Justificativa de arcsen (−
1
2
) = −
𝜋
6
: sen (−
𝜋
6
) = −
1
2
 e −
𝜋
6
∈ [−
𝜋
2
.
𝜋
2
]. 
 
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Nas questões 6 a 8, considere a função: 𝑔(𝑥) = 1 − 𝑒𝑥−1. 
 
Questão 6 [0,7 ponto] Determine, se existirem, as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico 
𝑔(𝑥) = 1 − 𝑒𝑥−1 com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 e com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. 
Interseção com o eixo 𝒙 Fazendo 𝑦 = 0 : 
 𝑔(𝑥) = 1 − 𝑒𝑥−1 = 0 ⟺ 𝑒𝑥−1 = 1 ⟺ 𝑥 − 1 = 0 ⟺ 𝑥 = 1 
Portanto, o ponto de interseção do gráfico da função 𝑦 = 𝑔(𝑥) com eixo 𝑥 é 𝑃(1 , 0) . 
Interseção com o eixo 𝒚 Fazendo 𝑥 = 0 : 
𝑦 = 𝑔(0) = 1 − 𝑒0−1 = 1 − 𝑒−1 = 1 −
1
𝑒
. Portanto, o ponto de interseção do gráfico da função 𝑦 =
𝑔(𝑥) com eixo 𝑦 é o ponto 𝑃 (0 ,1 −
1
𝑒
). 
____________________________________________________________________________________ 
Questão 7 [1,5 ponto] A partir do gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 , use transformações em gráficos para 
esboçar o gráfico da função 𝑔(𝑥) = 1 − 𝑒𝑥−1. Descreva as transformações usadas ou esboce os 
gráficos transformados até obter o gráfico de 𝑔(𝑥) = 1 − 𝑒𝑥−1. Esboce em um único sistema de 
coordenadas a reta de equação 𝑦 = 1, o gráfico da função𝑔(𝑥) = 1 − 𝑒𝑥−1, e indique, se existirem, 
as coordenadas dos pontos de interseção do gráfico da função 𝑔 com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 e com o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦. 
RESOLUÇÃO: 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −𝑒𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑦 = 1 − 𝑒𝑥 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
1 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
→ 𝑦 = 1 − 𝑒𝑥−1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
____________________________________________________________________________________ 
AP3 – 2019-2 – GABARITO Pré-Cálculo 
Questão 8 [1,0 ponto] Observando o gráfico da função 𝑔 da questão 7, esboce o gráfico da função: 
ℎ(𝑥) = {
1 − 𝑒𝑥−1 , 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
 ln(𝑥) , 𝑠𝑒 𝑥 > 1
 
Observando o gráfico da função ℎ, encontre a sua imagem. 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
 
 
 
Observando o gráfico da função ℎ , concluímos que Im(ℎ) = [0 , +∞)