LISTA EDO LINEAR 2016.2

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UNIJORGE // CURSO DE ENGENHARIA 
DISCIPLINA: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES 
LISTA DE EXERCÍCIOS – EDO DE 1° ORDEM LINEAR 
PROFESSOR: CAIO EDUARDO P. COSTA 
ALUNO : ___________________________________________________ 
 
1) Determine a solução geral de cada equação diferencial linear de 1° ordem: 
a) 𝑥𝑦′ + 2𝑦 = 𝑒𝑥² Resp: 𝑦 =
1
𝑥²
(
𝑒𝑥² 
2
+ 𝐶) 
b) 𝑥2. 𝑦′ + 𝑥𝑦 = 2 + 𝑥² Resp: 𝑦 =
ln( 𝑥²)
𝑥
+
𝑥
2
+ 𝐶. 𝑥−1 
c) 𝑥𝑦′ = 𝑥² + 2𝑦 Resp: 𝑦 = 𝑥² ln|𝑥| + 𝐶𝑥² 
d) 𝑥𝑦′ =
𝑥
𝑥³+1
− 2𝑦 Resp: 𝑦 =
ln|𝑥³+1|
3𝑥²
+ 𝐶𝑥−2 
e) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
𝑦
2
= 2 + 𝑥 Resp: 𝑦 = 2𝑥 + 𝐶. 𝑒
−𝑥
2 
 
2) Obtenha a solução de cada equação diferencial, satisfazendo cada condição 
inicial dada: 
a) 𝑦′ + 5𝑦 = 𝑒𝑥 , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦(0) = 4 Resp: 𝑦 =
𝑒𝑥+23𝑒−5𝑥
6
 
b) 𝑥𝑦′ + 3𝑥³𝑦 = 𝑥³ , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦(1) = 𝑒 Resp: 𝑦 =
1
3
+
𝑒(3𝑒−1)
3𝑒𝑥³
 
c) 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 𝑥 , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦(0) = −3 Resp: 𝑦 =
1
2
−
7
2
𝑒−𝑥² 
d) 2
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 10𝑖 = 40 , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑖(0) = 0 Resp: 𝑖(𝑡) = 4 − 4𝑒−5𝑡 
 
Aplicação: Circuitos. A equação básica que rege a quantidade de corrente 𝐼 = 𝐼(𝑡)(em 
amperes) em um circuito simples do tipo RL, consistindo de uma resistência 𝑅 (em 
ohms), um indutor 𝐿 (em henries) e uma força eletromotriz (fem) 𝐸 (dada em volts) é: 
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+
𝑅
𝐿
𝐼 =
𝐸
𝐿
 
 
Para um circuito do tipo RC consistindo de uma resistência, um capacitor 𝐶 (em 
farads), uma força eletromotriz, e sem indutância, a equação que rege a 
quantidade de carga elétrica 𝑞 = 𝑞(𝑡) (em coulombs) no capacitor: 
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝑅𝐶
𝑞 =
𝐸
𝑅
 
 
E a relação entre 𝑞 e 𝐼 é dada por 𝐼 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
. 
 
 
 
Uma corrente 𝐼(𝑡) é chamada corrente transitória quando tende a zero (se 
desvanece) decorrido um longo período de tempo (ou seja, quando 𝑡 → ∞), e é 
chamada corrente estacionária se permanece mesmo depois de um longo 
tempo. 
 
 
3) Suponha num circuito RC que 𝑅 = 20 𝑜ℎ𝑚𝑠 , 𝐶 = 0,01 𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑𝑠 , 𝐸(𝑡) =
60𝑒−2𝑡 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑠 𝑒 𝑞(0) = 0. Determine a expressão (explícita) de 𝑞(𝑡). Resp: 
𝑞(𝑡) = 𝑒−2𝑡 − 𝑒−5𝑡 . 
 
 
4) Um circuito RL tem fem de 5,0 volts, resistência de 50,0 ohms e indutância de 
1,0 henry. A corrente inicial é zero. Determine: 
a) A corrente no circuito no instante 𝑡. Resp: 𝐼(𝑡) = 0,1(1 − 𝑒−50𝑡) 
b) A corrente transitória e a corrente estacionária. Resp: 𝐼(𝑡) = 0,1(1 −
𝑒−50𝑡) = −0,1𝑒−50𝑡 (𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑖𝑡ó𝑟𝑖𝑎) + 0,1 (𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑎) 
 
 
5) Suponha que uma força eletromotriz de 200 volts é aplicada a um circuito 𝑅𝐶 
em série no qual a resistência é de 1000 ohms e a capacitância, 5 × 10−6 farad. 
a) Encontre a carga 𝑞(𝑡) no capacitor se 𝑞(0) = 0. 
b) Usando o item (a), encontre a corrente 𝐼(𝑡). 
 
 
6) Encontre uma expressão para a corrente em um circuito onde a resistência é 12 
ohms, a indutância é de 4 henries, a pilha fornece uma voltagem constante de 
60 volts e o interruptor é ligado quando 𝑡 = 0.