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Departamento de Matema´tica - CCEN - UFPE CA´LCULO 1 – Turma PF (Matema´tica e F´ısica) – 2016.1 LISTA 3 DA PRIMEIRA UNIDADE 1. Considere a curva com equac¸a˜o x2 + xy + y2 = 3. (a) Use diferenciac¸a˜o impl´ıcita para determinar y′ = dy/dx. (b) Determine as equac¸o˜es das retas tangentes a` curva nos dois pontos de intersec¸a˜o da curva com o eixo dos x. (c) Determine os pontos da curva nos quais a reta tangente e´ horizontal. 2. Qual e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico y = 2x no ponto (0, 1)? 3. Para calcular a derivada de func¸o˜es da forma a(x)b(x), e´ u´til usar a fo´rmula ab = eb ln a. Use isto para calcular a derivada das func¸o˜es a seguir: f(x) = x2x; g(x) = 3x 3 x ; h(x) = (x2 + 1)cosx. Podemos tambe´m calcular a derivada nestes casos usando diferenciac¸a˜o logar´ıtmica: de- rive ln(f(x)) e use o fato que esta derivada e´ igual a f ′(x) f(x) para determinar f ′(x). Refac¸a o ca´lculo da derivada das func¸o˜es acima. 4. Considerando y = y(x) como uma func¸a˜o de x satisfazendo a condic¸a˜o dada, derive implicitamente para calcular y′ = dy/dx. (a) y3 + x3y + xy2 + (x2 + y2)5 + y = 3. (b) x arctg(y2) + y arcsen(x3 + 1) + ecos y = 5. 5. Derive as func¸o˜es abaixo: f(x) = arctg(5x + 1) x ; g(x) = x2arcsen (x) x + 1 ; h(x) = arcsen (arctg (2x)). 6. Quantas retas ha´ que sa˜o tangentes ao gra´fico y = arctg (x) e fazem um aˆngulo de 30 graus com a horizontal? Determine a coordenada x dos pontos de tangeˆncia destas retas. Fac¸a uma figura ilustrando o gra´fico e estas retas. 7. Calcule a equac¸a˜o da reta tangente a` curva dada no ponto P indicado. (a) y = arctg(x3) no ponto P com abscissa x = 1. (b) (y+ 1)sen y+ 2 lnx = (x−1)3, P = (1, 0). Obs: Verifique que P e´ de fato um ponto da curva. 8. E´ bombeado ar em um bala˜o esfe´rico a uma taxa constante de 100 cm3/seg. Com que rapidez o raio do bala˜o esta´ crescendo quando o raio e´ 10 cm? 9. Um cilindro circular tem suas dimenso˜es continuamente alteradas de modo que o vol- ume permanec¸a constante, igual a 1000 cm3. Quando o raio da base e´ 10 cm, o raio cresce a` taxa de 2 cm/s; neste momento, qual e´ a taxa de decrescimento da altura do cilindro? 10. Um bala˜o e´ solto do cha˜o a` distaˆncia de 30 m de um observador, e sobe a` velocidade constante de 3 m/s. A que velocidade (em radianos/s) o aˆngulo entre a linha de visa˜o do observador e o solo estara´ aumentando quando o bala˜o estiver a uma altura de 40 m? (Despreze a altura do observador.) 11. Um tanque de a´gua tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e altura 4 m. Se a a´gua esta´ sendo bombeada dentro do tanque a uma taxa de 2 m3/min, en- contre a taxa com que o n´ıvel de a´gua esta´ se elevando quando a a´gua esta´ a 3 m de altura. 12. Uma part´ıcula se move ao longo da curva y = √ x. Quando a part´ıcula passa pelo ponto (4, 2), sua coordenada x cresce a` taxa de 3 cm/s. Com que rapidez esta´ crescendo a distaˆncia da part´ıcula a` origem neste instante? 13. Determine os limites abaixo. Caso na˜o exista, investigue se o limite e´ ∞ ou −∞ (ou nenhum dos dois casos). • lim x→∞ x99 − x6 − 1 x99 − 7x10 − 4; limx→∞ x99 − x6 − 1 x98 − 7x10 − 4; limx→∞ x99 − x6 − 1 x100 − 7x10 − 4 . • lim x→∞ √ x2 + 1 x ; lim x→∞ ( √ x2 + 1− x); lim x→∞ ( √ x2 + x− x). • lim x→e− lnx x− e ; limx→e lnx− 1 x ; lim x→−∞ x arctgx x + 1 ; • lim x→∞ ex 1 + ex ; lim x→∞ ex + e−x ex − e−x ; limx→−∞ ex + e−x ex − e−x . • lim x→∞ senx x ; lim x→∞ senx;
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