Lista 02 - Limites Básicos e Derivadas

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Dep. de Matemática Pura e Aplicada
MAT 01109 – Cálculo Diferencial e Integral
Lista de Exerćıcios – Limites Básicos e Derivadas
1. Considerando o gráfico da função f dado abaixo, responda o que se pede.
a) Existe lim
x→3
f(x)? Justifique.
b) Existe lim
x→−1
f(x)? Justifique.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
x
bc
bc
b b
2. Com base no gráfico abaixo, determine:
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
x
f
bc
bc
b
b
a) lim
x→3−
f(x) b) lim
x→3+
f(x) c) lim
x→3
f(x) d) lim
x→0
f(x)
e) lim
x→−1−
f(x) f) lim
x→−1+
f(x) g) lim
x→−1
f(x) h) lim
x→1
f(x)
3. Calcule cada limite.
a) lim
x→1+
1
x− 1=
b) lim
x→−∞
1 + ex=
c) lim
x→0
f(x), onde f(x) =



ln(1 + x), x ≥ 0
−x3 − 6x2 + x, x < 0
4. A equação da reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto de coordenada x = −2 é paralela
a reta de equação 3y + 4x+ 6 = 0 e passa pela origem. Determine f(−2) e f ′(−2).
5. Considere a função polinomial definida por f(x) = x3 + x2 + kx − 1. Determine o valor de k
para que f tenha um único ponto de tangência horizontal.
6. Considere a função f(x) =
−x
x2 + 1
definida nos reais.
a) Determine o valor da inclinação da reta tangente a f(x) em x = 1.
b) Dê a equação da reta tangente ao gráfico neste ponto.
7. Combine o gráfico das funções mostradas em (A), (B), (C) e (D) com os de suas derivadas em
(1), (2), (3) e (4).
(A) (B) (C) (D)
(1) (2) (3)
(4)
8. Seja f(x) = x2
√
5− x2 . Calcule f ′(1).
9. Seja f(x) = (x3 + 2)4 cosx. Calcule f ′(0).
10. a) Seja f(x) = sen x− cosx. Calcule f ′′′(x).
b) Seja f(x) = 3 sen x cosx. Calcule f ′′(x).
11. Seja f(x) =
(
x2 − 1
x2 + 5
)3
. Encontre todos os valores de x tais que f ′(x) = 0.
12. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de g(x) =
√
5x4 + 4 em x = 1.
13. Um avião, voando em linha reta a uma altitude de 8 km com velocidade constante de 340
km/h, passou diretamente acima de um observador. Qual é a taxa de variação da distância
entre o observador e o avião quando o avião está a 17 km do observador?
14. Gás escapa de um balão esférico à razão de 4m2/h. Determine a taxa de variação do raio
quando sua medida é de 1m, indicando a unidade apropriada.
15. Uma part́ıcula move-se ao longo da curva de equação y =
√
1 + x3 , no primeiro quadrante.
Quando a part́ıcula atinge o ponto (2, 3), a coordenada y está crescendo a uma taxa de 4cm/s.
A que taxa estará variando a coordenada x do ponto naquele instante?
Respostas
1. a) lim
x→3
f(x) = −1 pois os dois laterias existem e são iguais a −1;
b) lim
x→−1
f(x) = 6 ∃ pois lim
x→−1−
f(x) = 1 e lim
x→−1+
f(x) = 0 são diferentes.
2.
a) lim
x→3−
f(x) = 4 b) lim
x→3+
f(x) = 1 c) lim
x→3
f(x) não existe d) lim
x→0
f(x) = 1
e) lim
x→−1−
f(x) = 1 f) lim
x→−1+
f(x) = 4 g) lim
x→−1
f(x) não existe h) lim
x→−3
f(x) = 0
3. a) +∞ b) 1 c) É 0, pois ambos limites laterais existem e valem zero.
4. f ′(−2) = −4
3
e f(−2) = 8
3
5. k = 1/3
6. a) f ′(x) =
−1 + x2
(x2 + 1)2
e a inclinação da reta é f ′(1) = 0.
b) y = −1
2
.
7. A - 4; B - 2; C - 1; D - 3.
8. f ′(x) = 2x(5− x2)1/2 − x3(5− x2)−1/2 e f ′(1) = 7
2
.
9. f ′(x) = 12x2(x3 + 2)3 cos(x)− (x3 + 2)4sen (x) e f ′(0) = 0.
10. a) f ′′′(x) = − cos(x)− sen (x) b) f ′′(x) = −12 sen (x) cos(x)
11. f ′(x) = 0 só se x = −1, 0 ou 1
12. g′(x) = 10x3(5x4 + 4)−1/2 e a reta tangente é y =
10
3
x− 1
3
13. Usando o teorema de Pitágoras temos, x2+82 = s2 e aplicando o método para taxas
relacionadas vem que ds
dt
= 300 km/h é a taxa de variação da distância entre o avião
e o observador.
�
.
8km
s
x
14. Sendo r o raio do balão temos
dr
dt
= −1
π
m/h.
15.
dx
dt
= 2 cm/s.