ATPS calculo III 3A

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FACULDADE ANHANGUERA DE ANÁPOLIS
ENGENHARIA DE PRODUÇÃO 3°/4° A
DISCIPLINA: CALCULO III
PROFESSOR: CLAUDIO
ATPS – ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS
ETAPA 1
Passo 1
A HISTÓRIA DO CÁLCULO. A INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA.
A função integral, é uma ferramenta poderosa para cálculos em diversas áreas das ciências exatas, como na Engenharia e na Física. Inicialmente a função integral foi criada para se mensurar a área sob a curva do plano cartesiano, hoje, no entanto, é aplicada para calcular juros compostos na matemática financeira, crescimento de população de bactérias na medicina e biologia e a posição de um móvel sabendo sua velocidade instantânea num dado instante, na física, etc. Desde a antiguidade os matemáticos se preocupam em determinar a área de uma figura plana. Matematicamente podemos dizer que a área pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de uma superfície. O método mais utilizado foi o da exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras com áreas já conhecidas. A partir do Teorema Fundamental do Cálculo, Leibniz e Newton perceberam a possibilidade de calcular facilmente áreas e integrais sem a necessidade de utilizar o método de limites de soma.
A integral indefinida é uma função ou também podemos entender como uma família de funções É a integral que consiste no processo inverso da derivação, onde uma função F(x) é chamada de primitiva da função f(x) que estão está sempre definido sobre algum intervalo. Quando não determinamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função f, entendemos que essas funções são primitivas de f no mesmo intervalo i. 
A integral definida teve origem com a formalização matemática dos problemas de áreas e problemas físicos. Inicialmente conhecida como soma de Riemann, a integral definida de uma função pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos, ou subintervalos, onde o produto entre a altura e a base de cada um destes retângulos resulta na sua área e que somadas em um intervalo de ‘a’ a ‘b’ resultam na área da figura plana. Uma integral definida pode ser classificada como própria ou imprópria convergente ou divergente. No caso do limite do intervalo definido não existir ou não ser finito, dizemos que a integral imprópria diverge, se o limite existe e é um numero real a integral imprópria converge. Ao contrário da integral indefinida, a integral definida é um número e não depende de uma variável x. 
Passo 2
Desafio A
Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida ?
Resolução:
Desafio B
Suponha que o processo de produção de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000,00 e um custo marginal de C’(q) =1000+50q dólares por pé, onde q é uma profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o curto total para se perfurar q pés são:
Resolução:
Se , temos:
Desafio C
No inicio dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja a taxa de consumo de petróleo no instante , onde é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para é dado por: . Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?
56,43 bilhões de barris de petróleo
48,78 bilhões de barris de petróleo
39,76 bilhões de barris de petróleo
26,54 bilhões de barris de petróleo
Nenhuma das alternativas
Resolução:
Desafio D
A área sob a curva de a é dada por:
4,99
3,22
6,88
1,11
2,22
Resolução:
Passo 4
Relatório 1
Através da realização dos cálculos desta primeira parte, feitos através das regras de integração indefinida e definida, e do método de integração por substituição, consideramos a sequência de numero: 3019, associada às alternativas corretas “B, A, C e A” respectivamente.
Etapa 2
Passo 1 
INTEGRAIS POR PARTE E SUBSTITUIÇÃO.
A integral por substituição, para as derivadas, é o fruto da regra da cadeia, sendo um método de integração fundamental para a resolução de integrais que evidentemente não possuem um elemento como primitivo. Este método é baseado em aplicar uma alteração de variáveis e tem grande utilidade quando a função integrando é representada como um produto de funções.
A integral por partes consiste em quebrar uma integral de mais fácil entendimento em um produto de funções para serem mais simples de se trabalhar. Para este método fundamental a escolha certa das funções na equação que levem à solução do problema.
A integração por parte pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto. A fórmula , onde u e v são funções de classe C no intervalo , ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são continuas entre a e b.
Passo 2
Considere as seguintes igualdades:
Podemos afirmar que:
I e II são verdadeiros
I é falsa e II é verdadeiro
I é verdadeiro e II falso
I e II são verdadeiros 
Resolução:
VERDADEIRO
VERDADEIRO
Passo 4
Relatório 2
Através da realização dos cálculos desta segunda parte, feitos através dos métodos de integração por substituição e integração por partes, consideramos o número: 4, associado à alternativa correta “C”.
As sequencia encontrada até a resolução desta etapa são: 30194
Etapa 3
Passo 1 
CÁLCULO DE ÁREA
Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão. Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o método da exaustão, a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento do Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mais conhecida, Geometria indivisibilibus continuorum nova, Cavalieri desenvolveu a ideia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Aparentemente, Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos "indivisíveis". Ele mostrou, usando os seus métodos, o que hoje em dia escrevemos: .
Passo 2
Considere as seguintes regiões S1 Fig.(1) e S2 Fig.(2). As áreas de S1 e S2 são, respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.
Figura 2
Figura 1
Podemos afirmar que:
(I) e (II) são verdadeiras
(I) é falsa e (II) é verdadeira
(I) é verdadeira e (II) é falsa
(I) e (II) são falsas
Resolução:
Para a área S1, iremos resolver duas equações:
Equação nº1
Equação nº2
Somando as duas equações, temos:
Para a área S2, também iremos resolver duas equações:
Equação nº1
Equação nº2
Somando as duas equações e multiplicando o resultado por 4, temos: 
Passo 4
Relatório 3
Na figura 1 foi subtraído e somado cada espaço desejado dentro da figura, de acordo com os intervalos em que as funções se fechavam Na figura 2, foi somado 2 funções e multiplicado por 4, uma vez que a área deseja se atribui aos quatro quadrantes. O número associado a alternativa correta “C” é o número 8.
As sequências dos números encontrados até a realização dessa etapa são: 301948.
Etapa 4
Passo 1
CONCEITOS DO CÁLCULO DO VOLUME SÓLIDO DE REVOLUÇÃO E UTILIZAÇÕES DAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO NO CÁLCULO DO VOLUME
Encontramos na natureza diversas formas de sólidos e observamos que poucas dessas formas têm formas regulares entre essas formas encontramos curvas delimitadas, curvas rotacionadas entre outras, poderíamos encontrar o volume de um corpo sólido encontrado na natureza por meio da geometriaeuclidiana, algumas curvas são determinadas por equações, mais antes que a teoria do Cálculo fosse elaborada os volumes eram calculados por valores aproximados, podemos obter muitos dos volumes de corpos sinuosos pelo Cálculo.
Hoje em dia algumas curvas podem ser determinadas matematicamente, através de formas mais complexas, O método para cálculo de volumes delimitados por curvas rotacionadas o raio é igual ao valor da função que está sendo rotacionada para cada ponto da função teremos um disco de raio determinado pela mesma, é o que nos permite fazer a somatória de discos que acompanham o contorno da curva.
Passo 2
Considere os seguintes desafios:
Desafio A
A área da superfície de revolução obtida pela equação, em torno do eixo x, da curva dada por de é: Está correta essa afirmação?
Resolução:
A fórmula para o cálculo do volume dessa figura, é 
Desafio B
Qual é o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno da reta , da região R delimitada pelos gráficos das equações de ?
3,26u.v.
4,67u.v.
5,32u.v.
6,51u.v.
6,98u.v.
Resolução:
Com a ajuda do programa sugerido nessa ATPS, encontramos 
Para , temos 
Passo 4
Relatório 4
Para realização da etapa 4, foi utilizado técnica de integração para achar volume de sólidos. No desafio A, foi necessário utilizar a fórmula da área da superfície, dando resultado POSITIVO. 
No desafio B, foi utilizado o programa sugerido nessa ATPS, porém, o valor não se igualou a nenhuma das alternativas.
As sequências dos números encontrados até a realização dessa etapa são: 3019484.
RELATÓRIO FINAL
Com base em todo conteúdo visto em sala de aula, administrados pelo professor Cláudio Ferreira, sobre integrais definidas,indefinidas, integrações por parte e substituição, integração como cálculo de área, chegamos à conclusão que, o volume total de petróleo que pode ser extraído do novo poço recém-descoberto pela Petrofuels é de 30.194.84,00 m³.
Referencias bibliográficas 
HUGHES-HALET, D; GLEASON, Andrew (orgs); MICCALLUM, William G (orgs) et AL. Calculo de uma variável. 3º ed. Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e Científicos, 2004, v.1,
HTTPS://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%B3lido_geom%C3%A9trico
HTTPS://pt.wikibooks.org/wiki/Wikilivros:P%C3%A1gina_principal
HTTP://ecalculo.if.usp.br/integrais/aplicacoes_integral/volumes_solidos/volumes_solidos.htm
ANÁPOLIS
2015
Plan1
	NOME	RA
	01
	02
	03
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	05
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	08