Cálculo I: Limites e Propriedades

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CÁLCULO I
LIMITES
 “Tudo vale a pena se a alma não pequena”
	Fernando Pessoa
Problematização
Consideremos a função 
�. Como encontrar a reta tangente a essa curva no ponto de coordenada ?
	
	Observe que a nossa dificuldade está em possuirmos um único ponto sobre a reta tangente para calcularmos a inclinação 
, enquanto sabemos que são necessários dois pontos. No entanto, podemos calcular as inclinações de retas secantes pelo ponto onde 
x = 1 e pontos próximos a ele para obtermos uma aproximação da inclinação da reta tangente.
Usemos os seguintes valores de x: 
; 
; 
; 
; 
.
Conclusão: 
Curiosidade:
Galileu Galilei descobriu que a distância percorrida por qualquer objeto em queda livre é proporcional ao quadrado do tempo em que ele esteve caindo (este modelo para queda livre despreza a resistência do ar). Se a distância percorrida após 
 segundos for chamada 
 e medida em metros, então a Lei de Galileu pode ser expressa pela equação
Aplicação física:
Supondo que uma bola é solta a partir do ponto de observação no alto de uma torre de 450 m acima do solo. Encontre a velocidade da bola após 5 segundos.
A dificuldade em encontrar a velocidade após 5 segundos está em tratarmos de um único instante de tempo (
), ou seja, não temos um intervalo de tempo. Porém, podemos aproximar a quantidade desejada computando a velocidade média sobre o breve intervalo de tempo de um décimo de segundo, de 
, até 
A tabela a seguir mostra os resultados de cálculos similares da velocidade média em períodos de tempo cada vez menores
	Intervalo de Tempo
	Velocidade Média (m/s)
	
	53,9
	
	49,49
	
	49, 245
	
	49, 049
	
	49, 0049
Fica evidente que, à medida que encurtamos o período de tempo, a velocidade média fica cada vez mais próxima de 49m/s. A velocidade instantânea quando 
 é definida como sendo o valor limite dessas velocidades médias em período de tempo cada vez menores, começando em 
. Assim, a velocidade (instantânea) após 5 segundos é: 
Exercício: Qual a relação da inclinação com a velocidade instantânea? 
Exercícios: 
Uma flecha é atirada para cima com uma velocidade de 58m/s e sua altura em metros após 
 segundos é dada por 
.
Encontre a velocidade média durante os intervalos de tempo dados
(i) de 1 a 1,5		 (ii) de 1 a 1,1			
(iii) de 1 a 1,01	 (iv) de 1 a 1,001
	
Encontre a velocidade instantânea no primeiro segundo.
Noção Intuitiva de Limite
Seja a função . Queremos saber para que valor (se existe), esta função se aproxima quando x se aproxima ou tende para certo valor, como por exemplo, quando x se aproxima ou tende para 2. Para tanto, vamos completar a tabela abaixo, calculando o valor da função para cada valor de x dado.
	 x
	1,8
	1,9
	1, 999
	1, 9999
	
	2
	
	2, 0001
	2, 001
	2,1
	2,2
	2,3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Concluímos que quando x se aproxima ou tende a 2, a função se aproxima ou tende a ______, tanto por valores menores do que 2 (pela esquerda de 2) quanto para valores maiores do que 2 (pela direita de 2). Podemos tornar os valores de f(x) tão próximos de 5 quanto quisermos tornando x suficientemente próximo de 2. Expressamos isso dizendo que o limite da função quando x tende a 2, é igual a 5.
Notação:
Vimos que para valores próximos a 2, pela esquerda, a função se aproxima de 5. Dizemos então que o limite lateral à esquerda é igual a 5.
Notação: 
Da mesma forma, vimos que para valores próximos a 2, pela direita, a função se aproxima de 5. Dizemos então que o limite lateral à direita é igual a 5.
Notação: 
	DEFINIÇÃO: Escrevemos 
 e dizemos “o limite de 
, quando 
 tende a 
, é igual a 
.” se pudermos tornar os valores de f(x) tão próximos de L quanto quisermos, tornando x suficientemente próximo de a (pela direita e pela esquerda) mas não igual a a.
Exercício:
Encontre valor de 
	 x
	2,8
	2,9
	2, 999
	2, 9999
	
	3
	
	3, 0001
	3, 001
	3,1
	3,2
	3,3
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
PROPRIEDADES DOS LIMITES DE FUNÇÕES:
a) O limite da soma, é a soma dos limites:
b) O limite da diferença é a diferença dos limites:
c) O limite do produto é igual ao produto dos limites
d) O limite do quociente é igual ao quociente dos limites
quando .
e) O limite de uma constante é a própria constante: 
E ainda: 
 onde n é um inteiro positivo.
.
Propriedade da substituição direta
Se f for uma função polinomial ou racional e a estiver no domínio de f, então
Calcule o limite indicado em cada uma das funções:
=	
					
=	
		 
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
 
=	
=
 GABARITO: 
a) 1		b) -10		c) 10		d) 6		e) -1		f) 14	
	g) 3		h) 0 		i) -6		j) 16/7 	k) 1		l) 15/2
	m) -1		n) 0		o) 8		p) 0	
Importante:
Note que no cálculo do limite 
 se simplesmente substituíssemos no lugar de x o valor 1, teríamos 
, que é uma divisão que não faz sentido. Porém, se fizermos a tabela veremos que o limite existe e vale 2 (tanto para valores próximos de 2 pela esquerda quanto pela direita). O que acontece é que esta é uma função que não esta determinada neste ponto (1 não pertence ao domínio da função). No entanto, quando estamos falando em limite, não estamos interessados no ponto em si, mas sim nas proximidades dele. 
Neste mesmo exemplo, para valores diferentes de x=1, podemos escrever:
Portanto, para aproximar o valor do limite, basta calcular os valores de x+1, para valores de x próximos de 1, ou seja,
 
LIMITES LATERAIS
 
DEFINIÇÃO: Escrevemos 
 e dizemos que o limite esquerdo de 
 quando 
 tende a 
 (ou o limite de 
 quando 
 tende a 
pela esquerda) é igual a 
 se pudermos tornar os valores de 
 arbitrariamente próximos de 
, tornando-o suficientemente próximos de 
 e 
 menor que 
.
DEFINIÇÃO: Escrevemos 
 e dizemos que o limite direito de 
 quando 
 tende a 
 (ou o limite de 
 quando 
 tende a 
 pela direita) é igual a 
 se pudermos tornar os valores de 
 arbitrariamente próximos de 
, tornando-o suficientemente próximos de 
 e 
 maior que 
.
DEFINIÇÃO: O limite de uma função só vai existir, quando os limites laterais existirem e forem iguais, isto é, 
 existe se, e somente se, 
 e 
.
Exercício: Dado o gráfico, abaixo encontre:
a) 	 	b) 	 c) 	
	 
d) 	 e)	 f) 	
g) 	 h)	 i) 	
j) 	 k)	 l) 	
APLICAÇÕES
Problemas que envolvem limite de funções:
1 - Um paciente recebe uma injeção de 150 mg de uma droga a cada 4 horas. O gráfico mostra a quantidade 
 da droga na corrente sangüínea após t horas.
 SHAPE \* MERGEFORMAT ���
Encontre:
a)
 = b) 
=
c) Explique o significado desses limites laterais.
DEFINIÇÃO: A notação 
 é utilizada para indicar que os valores de 
 tornam-se tão grandes quanto 
.
DEFINIÇÃO: Seja 
uma função definida em ambos os lados de 
, exceto possivelmente em 
. Então 
significa que podemos fazer os valores de 
 ficarem arbitrariamente grandes (tão grande quanto quisermos) por meio de uma escolha adequada de 
 nas proximidades de 
, mas não igual a 
.
DEFINIÇÃO: Seja 
uma função definida em ambos os lados de 
, exceto possivelmente em 
. Então 
significa que podemos fazer os valores de 
 ficarem arbitrariamente grandes, porémnegativos, por meio de uma escolha adequada de 
 nas proximidades de 
, mas não igual a 
.
DEFINIÇÃO: Seja 
uma função definida no intervalo . Então 
significa que podemos fazer os valores de 
 podem ficar arbitrariamente próximos de 
 tomando-se 
 suficientemente grande.
1- Para generalizar, vamos analisar a função 
. 
Esboce o gráfico
Analisando o gráfico, responda:
 a) 
		b) 
 		 
 c) 
	d) 
		
 e) 
2- Analisando o gráfico, responda:
	
a) 
		 b) 
		c) 
		 d) 
e) 
		 f) 
		g) 
		 h) 
i) 
	 j) 
	 k) 
		 l) 
m) 
	 n) 
		o) 
		 p) 
q) 
		 r) 
CONTINUIDADE DE FUNÇÃO
DEFINIÇÃO: Uma função é dita contínua em um número 
, se:
.
Implicitamente, nesta definição temos que analisar três coisas:
 está definida (isto é, 
 está no domínio de 
);
 existe ( se os limites laterais são iguais);
.
DEFINIÇÃO: Dizemos que uma função 
 é contínua se 
 for contínua em todos os pontos do domínio.
Exercícios:
Com base na definição acima, determine se a função dada no exercício 2 é contínua ou não, nos pontos 
, 
, 
 e 
. Justifique a resposta.
A função é contínua? Justifique.
Se fizéssemos uma restrição no domínio da função, considerando apenas 
, a função seria contínua? Justifique.
DEFINIÇÃO: A reta 
 é chamada de assíntota horizontal da curva 
 se ou 
 ou 
.
Exemplo: Na função , a assíntota horizontal é dada por 
.
DEFINIÇÃO: A reta 
 é chamada de assíntota vertical da curva 
 se acontece uma das seguintes coisas: 
 
 
Observe os gráficos a seguir, dados pelas funções 
 e 
. Analise as assíntotas horizontais e verticais, em cada caso.
	
	
5- O custo médio para a produção de livros de 300g com uma cor apenas, da editora Evdom Ltda., é dado pela função custo médio:
a) Calcule 
e interprete o resultado obtido.
Já para o custo médio de um livro de 350g, com 5 cores e com fotos coloridas é dado pela função custo médio:
b) Calcule 
e interprete o resultado obtido.
TEOREMA: Se 
 é um números qualquer positivo, então:
 e 
PROPOSIÇÃO: Dado um quociente de polinômios da forma: 
, temos sempre
Se 
Se 
Se 
Exercícios:
1- Calcule, se existirem, os limites abaixo:
a) 
			 
 b) 
		
c) 
			 
 d) 
 
2- Calcule, se existirem, os limites abaixo:
a) 
		 b) 
	 c) 
	 d) 
e) 
		 f) 
		 g) 
3-Esboce o gráfico de um exemplo de função 
 que satisfaça a todas as condições dadas:
a) 
, 
, 
, 
b) 
, 
, 
, 
,
x
y
150
300
4
8
12
16
20
� PAGE \* MERGEFORMAT �12�
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