APOSTILA-COMPLETA-CÁLCULO-DIFERENCIAL-E-INTEGRAL-I-PDF-1

Prévia do material em texto

CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUARULHOS - SP 
 
SUMÁRIO 
 INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES .................................................................................. 3 
 A FUNÇÃO AFIM ....................................................................................................... 8 
 A FUNÇÃO QUADRÁTICA ...................................................................................... 15 
 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 01 ATÉ 03 .................................. 21 
 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................................... 38 
 FUNÇÕES EXPONENCIAIS ................................................................................... 46 
 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS ................................................................................. 49 
 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 05 ATÉ 07 .................................... 53 
 DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI ........................................................ 67 
 LIMITES ............................................................................................................... 71 
 LIMITES LATERAIS E CONTINUIDADE .............................................................. 78 
 LIMITES INFINITOS E NO INFINITO ................................................................... 83 
 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA AULA 09 ATÉ 12 ..................................... 89 
 UM LIMITE FUNDAMENTAL ................................................................................ 96 
 DOIS LIMITES FUNDAMENTAIS ......................................................................... 99 
 ASSÍNTOTAS ..................................................................................................... 103 
 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 14 ATÉ 16 .............................. 106 
 DERIVADAS ....................................................................................................... 110 
 REGRAS DE DERIVAÇÃO ................................................................................ 115 
 REGRA DA CADEIA .......................................................................................... 120 
 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 18 ATÉ 20 .............................. 123 
 REGRA DE L’HOSPITAL ................................................................................... 130 
 DERIVADAS SUCESSIVAS E INTERVALOS DE CRESCIMENTO ................... 135 
 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS ....................................................................... 139 
 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO ........................................................................ 144 
 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 22 ATÉ 25 .............................. 148 
 INTEGRAL INDEFINIDA .................................................................................... 159 
 MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO .......................................................................... 163 
 INTEGRAL DEFINIDA ........................................................................................ 165 
 ÁREAS ............................................................................................................... 169 
 
 ÁREAS ENTRE CURVAS .................................................................................. 174 
 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 27 ATÉ 31 .............................. 176 
 BIBLIOGRAFIA BÁSICA .................................................................................... 182 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 INTRODUÇÃO ÀS FUNÇÕES 
O Cálculo Diferencial e Integral, que passamos a estudar agora, pode ser 
entendido como o estudo do comportamento das funções, permeando os conceitos, que 
estudaremos a seguir, de derivada e de integral. 
As funções que serão objeto de nosso estudo, neste primeiro momento, são 
funções reais de uma variável real. O que seria isso? 
No ensino fundamental e no médio (ou antigos ginasial e colegial), tivemos contato 
com expressões como: 
 
(1) 𝑦 = 5𝑥 − 3 
(2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 
(3) 𝑠 = 23 + 5𝑡 
(4) 𝑀(𝑡) = 300. (1 + 0,04𝑡) 
 
Em todas elas, temos uma variável que depende de outra. Por exemplo, na 
expressão (1) o valor de 𝑦 depende do valor de 𝑥; em (2) temos que 𝑓(𝑥) depende do 
valor de 𝑥; em (3), 𝑠 depende de 𝑡 e, finalmente, em (4), 𝑀(𝑡) depende de 𝑡. Podemos 
também dizer que: 
 
Em (1), 𝑥 é a variável independente e 𝑦 é a variável dependente; 
Em (2), 𝑥 é a variável independente e 𝑓(𝑥) é a variável dependente; 
Em (3), 𝑡 é a variável independente e 𝑠 é a variável dependente; 
Em (4), 𝑡 é a variável independente e 𝑀(𝑡) é a variável dependente. 
 
Exemplo 1: Se 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥, determine 𝑔(5) e 𝑔(𝑎 + 1). 
Para calcular 𝑔(5) basta substituir 𝑥 por 5 em 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥. Assim, temos que 
𝑔(5) = 52 − 3.5 = 10. Da mesma maneira, para obter 𝑔(𝑎 + 1), substituímos 𝑥 por 𝑎 + 1. 
Portanto, 𝑔(𝑎 + 1) = (𝑎 + 1)2 − 3. (𝑎 + 1) = 𝑎2 + 2𝑎 + 1 − 3𝑎 − 3 = 𝑎2 − 𝑎 − 2. 
 
4 
 
Exemplo 2: A receita com a venda de 𝑥 unidades de determinado produto é dada por 
𝑅(𝑥) = 115,95𝑥 e o custo para produzir 𝑥 unidades é 𝐶(𝑥) = 95𝑥 + 750. Para que haja 
lucro, é preciso que a receita seja maior que o custo. Para que valores de 𝑥 esse produto 
dará lucro? 
Para obter lucro, devemos ter 𝑅(𝑥) > 𝐶(𝑥). Assim, 115,95𝑥 > 95𝑥 + 750. 
Resolvendo a inequação temos: 
 
115,95𝑥 − 95𝑥 > 750  20,95𝑥 > 750  𝑥 >
750
20,95
  𝑥 > 35,8 
 
Portanto, para obter lucro devemos vender, pelo menos, 36 unidades. 
 
Exemplo 3: Um automóvel novo custa 𝑅$ 22.000,00. Suponhamos que nos 8 primeiros 
anos ele sofra uma desvalorização linear de 𝑅$ 2.000,00 ao ano. 
a) Escreva a expressão que relaciona o valor do automóvel (em reais) com o tempo 
decorrido (em anos). 
b) Qual será o valor do automóvel após 4 anos de uso? 
c) Quanto tempo leva para que seu valor seja 𝑅$ 10.000,00? 
 
a) Neste problema temos duas variáveis que são o valor do automóvel e o tempo 
decorrido. Chamando o valor do automóvel de 𝑉 e o tempo de 𝑡, podemos dizer que 
𝑉 = 22000 − 2000. 𝑡, ou seja, após 𝑡 anos o carro valerá 22.000 reais subtraído de 
2.000 vezes a quantidade de anos que se passaram, que é a desvalorização. 
b) Duas maneiras alternativas de escrever esta expressão seriam 𝑉(𝑡) = 22000 −
2000. 𝑡 e 𝑉(𝑡) = 22 − 2𝑡 com 𝑉(𝑡) em milhares de reais. 
 
c) O valor do automóvel após 4 anos será 𝑉(4) = 22000 − 2000.4 = 14.000 reais. 
 
d) Para saber após quantos anos o automóvel valerá 10.000 reais, fazemos 
e) 10000 = 22000 − 2000. 𝑡  2000𝑡 = 22000 − 10000  2000𝑡 = 12000 
 
5 
 
f)  𝑡 =
12000
2000
  𝑡 = 6 anos 
 Exemplo 4: Na expressão 𝑡𝑐 =
5(𝑡𝑓−32)
9
 (fórmula para converter graus Celsius em graus 
Fahrenheit e vice-versa) temos 𝑡𝑐 (variável dependente) em função de 𝑡𝑓 (variável 
independente). De forma análoga poderíamos escrever 
9.𝑡𝑐
5
+ 32 = 𝑡𝑓 onde 𝑡𝑓 (agora 
variável dependente) está em função de 𝑡𝑐 (agora variável independente). 
Em termos mais formais, podemos definir uma função de um conjunto A em um conjunto 
B como sendo uma relação 𝑓 entre os elementos de A e B que faz corresponder a cada 
elemento do conjunto A um único elemento de B. 
 
 Domínio e imagem de uma função 
O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores da variável 
independente e o conjunto imagem é composto por todos os valores da variável 
dependente. As definições de domínio e imagem ficarão mais claras nas próximas aulas, 
quando tratarmos de cada um dos tipos de função. 
 
 Gráfico de uma função 
Como temos dois conjuntos de valores (o domínio e a imagem) podemos 
representar cada par ordenado (variável independente, variável dependente) no plano 
cartesiano, que é um sistema de coordenadas no qual temos uma reta real horizontal 
denominada eixo 𝑥 e umareta real vertical denominada eixo 𝑦. 
Assim, por exemplo, para a função 𝑦 = 3𝑥2 − 5 podemos determinar quantos 
pontos do seu gráfico desejarmos determinando, para isso, pares ordenados (𝑥, 𝑦). 
Podemos fazer isso atribuindo valores a 𝑥 obtendo os respectivos valores de 𝑦. Se 
escolhemos 𝑥 = −1, então 𝑦 = 3. (−1)2 − 5 = −2. Logo, temos o par ordenado (−1, −2) 
e sabemos que o gráfico da função dada passa pelo ponto (−1, −2) conforme a figura a 
seguir. 
 
 
6 
 
 
Escolhendo outros valores para 𝑥, podemos determinar outros valores de 𝑦 e 
esboçar o gráfico da função. Evidentemente, este não é um método prático para esboçar 
gráficos de funções. Conforme veremos na próxima aula, conhecendo o tipo de função, 
podemos abreviar este trabalho e esboçar gráficos de funções a partir de pontos 
escolhidos estrategicamente. 
 
Exercícios propostos: 
 
01) Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3, calcule: 
a) 𝑓(0) b) 𝑓(−3) c) 𝑓(𝑥 − 1) d) 𝑓(1 + ℎ) 
 
02) Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 2, calcule: 
a) 𝑓(0) b) 𝑓(−3) c) 𝑓(𝑥 − 1) d) 𝑓(1 + ℎ) 
 
03) Uma empresa reembolsa seus empregados em R$ 150,00 ao dia por despesas de 
hotel e alimentação, mais R$ 0,34 por quilômetro percorrido. 
 
7 
 
a) Escreva uma equação linear para o reembolso R em termos de x, o número de 
quilômetros percorridos. 
b) Qual o valor do reembolso se 𝑥 = 550 𝐾𝑚? 
c) Um funcionário foi reembolsado em R$ 218,00. De quantos quilômetros foi sua 
viagem? 
 
04) Uma empresa comprou por R$ 12.000,00 uma máquina que tem uma vida útil de 8 
anos. O valor da máquina como sucata ao final dos 8 anos é de R$ 2.000,00. Escreva 
uma equação linear que descreva o valor depreciado da máquina a cada ano que passa. 
 
05) Um microempresário compra um computador por R$ 1.025,00. Depois de 5 anos, o 
computador está ultrapassado e não tem mais valor comercial. Escreva uma equação 
linear para o valor V do computador em termos do tempo t em anos. 
 
06) Uma universidade tem 2546 alunos em 1998 e 2702 alunos em 2000. Se o número 
de alunos matriculados variar de forma linear, quantos alunos terá a universidade em 
2004? 
 
07) Um homem apara seu gramado toda quarta-feira. Esboce o gráfico da altura da grama 
como uma função do tempo no decorrer do período de 4 semanas. 
 
08) Dada a função 𝑦 = 3𝑥 + 1 determine o valor de 𝑦 para: 
a) 𝑥 = 0 b) 𝑥 = 2 c) 𝑥 = −4 d) 𝑥 =
1
2
 
 
09) Considerando a função dada por 𝑦 = 1 − 2𝑥, responda: 
a) Para 𝑥 = 5 quanto vale 𝑦? 
b) Para 𝑥 = −6 quanto vale 𝑦? 
c) Para 𝑥 = −
1
2
 quanto vale 𝑦? 
 
8 
 
d) Para que valor de 𝑥 se tem 𝑦 = −15? 
 
10) Considerando a função dada por 𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 6, responda: 
a) Para x = 5 quanto vale y? 
b) Para x=-6 quanto vale y? 
c) Existe x tal que y = 0? 
d) Para que valores de x se tem y = 6? 
e) Para que valor real de x se tem y = - 8? 
 
11) Duas variáveis, x e y, estão relacionadas pela fórmula 3𝑥 + 5𝑦 = 10. 
a) Expresse 𝑦 em função de 𝑥 (Isole 𝑦). 
b) Expresse 𝑥 em função de 𝑦 (Isole 𝑥). 
 
12) Duas variáveis, x e y, estão relacionadas pela fórmula 𝑥 − 7𝑦 = 11. 
a) Expresse 𝑦 em função de 𝑥 (Isole 𝑦). 
b) Expresse 𝑥 em função de 𝑦. (Isole 𝑥). 
 A FUNÇÃO AFIM 
Uma função afim se caracteriza por uma expressão do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (ou 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥 + 𝑏) onde 𝑎 e 𝑏 são números reais. 
 
Exemplo 1: As expressões a seguir representam funções afins. 
(1) 𝑦 = 3𝑥 − 5, onde 𝑎 = 3 e 𝑏 = −5 
(2) 𝑓(𝑥) = −𝑥, onde 𝑎 = −1 e 𝑏 = 0 
(3) 𝑣(𝑡) = 10 + 7𝑡, onde 𝑎 = 7 e 𝑏 = 10 
 
 
9 
 
Em uma função dada por 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, se tivermos 𝑎 ≠ 0, a raiz (ou zero) da função 
é o valor de 𝑥 que faz com que o valor da função (𝑦) seja nulo. 
 
Exemplo 2: Seja função dada por 𝑦 = 2𝑥 + 10, temos que −5 é a raiz da função, já que 
2. (−5) + 10 = 0. 
Para determinar a raiz, basta que façamos 𝑦 = 0. No caso do exemplo anterior, 
teríamos 2𝑥 + 10 = 0 → 2𝑥 = −10 → 𝑥 = −5. De maneira geral, temos que se 𝑦 = 𝑎𝑥 +
𝑏 e 𝑎 ≠ 0 então a raiz será 𝑥 = −
𝑏
𝑎
, pois 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0 → 𝑎𝑥 = −𝑏 → 𝑥 = −
𝑏
𝑎
. 
 
Exemplo 3: A raiz da função afim dada por 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 2 é 
2
5
 pois 5𝑥 − 2 = 0 implica que 
5𝑥 = 2 e, portanto, 𝑥 =
2
5
. 
A representação gráfica de uma função afim é uma reta e podemos obter a reta a 
partir de dois de seus pontos. Para isso, atribuímos dois valores distintos para 𝑥 obtendo 
dois valores para 𝑦 ou vice-versa. O fato de que por dois pontos distintos passa uma 
única reta nos garante que, desta maneira, a representação gráfica da função afim estará 
determinada. 
 
Exemplo 4: Representar no plano cartesiano as funções seguintes: 
a) 𝑦 = 3𝑥 − 4 
b) 𝑦 = −5𝑥 + 1 
c) 𝑦 = −3 
 
a) Tomando valores arbitrários para 𝑥 determinamos os respectivos valores de 𝑦 e, 
consequentemente, os pares ordenados desejados. Fazendo 𝑥 = 0, obtemos 𝑦 =
3.0 − 4 e, portanto, 𝑦 = 3.0 − 4. Temos, então, o par ordenado (0, −4). Para 
organizar melhor os resultados, façamos uma tabela com os valores de entrada 
 
10 
 
(𝑥) e os valores de saída (𝑦). Agora, fazendo 𝑥 = 1 e efetuando os cálculos 
necessários, teremos 𝑦 = −1. 
 
 
 
 
 
 
 
Finalmente, vamos localizar no plano cartesiano os pontos (0, −4) e (1, −1) e 
traçar a reta que passa por estes pontos. 
 
 
 
X Y 
0 -4 
1 -1 
 
11 
 
b) Fazendo 𝑥 = 0, obtemos 𝑦 = −5.0 + 1 e, portanto, 𝑦 = 1. Temos, então, o par 
ordenado (0,1). Agora, fazendo 𝑥 = 1 e efetuando os cálculos necessários, teremos 𝑦 =
−4. 
 
 
 
 
 
 
Localizando no plano cartesiano os pontos (0,1) e (1, −4) e traçando a reta que 
passa por estes pontos, obtemos a seguinte representação gráfica. 
 
 
c) Neste caso, 𝑦 = −3 para qualquer valor de 𝑥. Portanto, temos a seguinte 
representação. 
X Y 
0 1 
1 -4 
 
12 
 
 
 
Notemos que, com relação ao domínio da função afim, será sempre o conjunto 
dos números reais. Já a imagem é também o conjunto ℝ, exceto quando temos uma 
função constante, como a do exemplo anterior. Neste caso, a imagem é composta apenas 
por essa constante. Então se 𝑦 = 𝑐, a imagem da função é o conjunto unitário {𝑐}. 
 
Exemplo 5: O inventor de um jogo de computador estima que o custo variável para 
produzir o jogo é de 𝑅$ 0,95 por unidade e que o custo fixo é de 𝑅$ 6.000,00. 
a) Expresse o custo total em função de 𝑥, a quantidade de jogos vendidos. 
b) Escreva uma expressão para o custo médio unitário, ou seja, 
𝐶(𝑥)
𝑥
. 
c) O preço de venda de cada jogo é 𝑅$ 1,69. Quantos jogos devem ser vendidos para que 
o custo médio unitário seja menor que o preço de venda? 
 
a) O custo total será a soma dos 𝑅$ 6.000,00 fixos com a quantidade de unidades 
produzidas, multiplicada por 𝑅$ 0,95, que é o custo variável. 
Assim, 𝐶(𝑥) = 0,95𝑥 + 6000. 
 
13 
 
b) O custo médio é igual ao custo total dividido pela quantidade de unidades produzidas. 
Portanto, 𝐶𝑚é𝑑𝑖𝑜(𝑥) =
0,95𝑥+6000
𝑥
= 0,95 +
6000
𝑥
. 
c) A condição é que o custo médio 0,95 +
6000
𝑥
 seja menor que o preço de venda que é de 
𝑅$ 1,69. Temos então e inequação 0,95 +
6000
𝑥
< 1,69  
6000
𝑥
< 1,69 − 0,95  
6000
𝑥
<
0,74  6000 < 0,74𝑥  
6000
0,74
< 𝑥  8108,1 < 𝑥. Logo, é necessário que a quantidade 
produzida seja de, no mínimo, 8109 unidades. 
 
Exercícios propostos 
 
01) Uma indústria fabrica peças e semanalmente possui um custo fixo de R$3500. Se o 
custo para o material é de R$ 47,00 por peça e seu custo total da semana foi de 
R$13.370, quantas peças foram produzidas nesta semana? 
 
02) O preço p por unidade de um produto quando x unidades (em milhares) são 
produzidas é modelado pela função 𝑝 = 12 − 0,025. 𝑥 
a) Qual o preço do produto, caso sejam produzidas 40 000 unidades? 
b) Para que o preço seja R$ 8,90 quantas peças devem ser produzidas? 
 
03) Uma máquina industrial custa R$ 240.000 e sofre a cada ano uma depreciação linear 
de R$ 25.000. Obtenha:a) A expressão que relaciona o valor da máquina (V) em relação à sua idade (t). 
b) O valor da máquina após 6 anos. 
c) Quanto tempo leva para a máquina ter um valor de R$ 165 000? 
 
04) Uma empresa investe 𝑅$ 98.000,00 em máquinas para fabricar um novo produto. 
Cada unidade do produto custa 𝑅$ 12,30 para ser fabricada e é vendida por 𝑅$ 17,98. 
Seja 𝑥 a quantidade de unidades produzidas e vendidas. 
 
14 
 
a) Escreva uma expressão para o custo total em função de 𝑥. 
b) Escreva uma expressão para a receita 𝑅 em função de 𝑥. 
c) Escreva uma expressão para o lucro 𝐿 em função de 𝑥. 
 
05) Uma fábrica produz placas de aço na forma de retângulos. As medidas variam. No 
entanto, a medida do comprimento tem sempre 5cm a mais do que a medida da largura. 
a) Expresse a área do retângulo em função da medida da largura. 
b) Qual deve ser a medida da largura para que a área da peça seja de 104cm2? 
 
06) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um canil retangular com 
40m2 de área. Para cercar os outros três lados, uma tela de arame de 18m de 
comprimento será dividida em três pedaços, conforme o esquema abaixo. 
 
 
 
 
a) Chamando de 𝑥 a medida da lateral do canil, qual será o comprimento em função de 
𝑥? 
b) Expresse a área em função de 𝑥. 
c) Quanto deverá medir cada um dos três pedaços da tela? 
 
07) Um móvel se desloca em movimento retilíneo uniforme. Quando 𝑡 = 0𝑠 ele está na 
posição 𝑠 = 60𝑚 e em 𝑡 = 2𝑠 sua posição é 𝑠 = 90𝑚. 
a) Qual a velocidade do móvel em 𝑚/𝑠? 
b) Escreva a equação do movimento 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣. 𝑡. 
x 
 
15 
 
c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 
 
08) Um carro trafega em uma estrada retilínea com uma velocidade constante de 
75 𝐾𝑚/ℎ. Quando 𝑡 = 0ℎ ele está no 𝐾𝑚 12 indo no sentido crescente da via. 
a) Em que Km ele estará após 2 horas? 
b) Escreva a equação do movimento 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣. 𝑡. 
c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 
 
09) Um móvel se desloca em movimento retilíneo com velocidade constante de 22𝑚/𝑠 e 
posição inicial 𝑠 = 125𝑚. 
a) Em que posição ele estará após 5 segundos? 
b) Escreva a equação do movimento 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣. 𝑡. 
c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 
 A FUNÇÃO QUADRÁTICA 
A função quadrática (ou função polinomial do 2º grau) se caracteriza por uma 
expressão do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (ou 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) onde 𝑎, 𝑏 e 𝑐 são números 
reais e 𝑎 ≠ 0. 
 
Exemplo 1: As expressões a seguir representam funções quadráticas. 
(1) 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑥 − 5, onde 𝑎 = 1, 𝑏 = 3 e 𝑐 = −5. 
(2) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 7, onde 𝑎 = −1, 𝑏 = 0 e 𝑐 = 7. 
(3) 𝑠 = 12 + 𝑡 + 3𝑡2, onde 𝑎 = 3 e 𝑏 = 1 e 𝑐 = 12. 
 
Assim como na função afim, os valores de 𝑥 que fazem com que o valor da função 
(𝑦) seja nulo são chamados de raízes da função quadrática. Aqui, falamos em raízes e 
não apenas em raiz, porque no caso da função quadrática, resolveremos uma equação 
 
16 
 
do 2º grau para encontrar as raízes e, como já sabemos, uma equação deste tipo pode 
ter até duas soluções reais. 
Exemplo 2: Seja função dada por 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 15, temos que −3 e 5 são raízes da 
função, já que: 
(I) (−3)2 − 2. (−3) − 15 = 0 e (II) 52 − 2.5 − 15 = 0 
 
Novamente, para determinar as raízes, basta que façamos 𝑦 = 0. No caso do 
exemplo anterior, teríamos 𝑥2 − 2𝑥 − 15 = 0. Resolvendo esta equação obtemos o 
conjunto solução 𝑆 = {−3,5}. 
A representação gráfica de uma função quadrática é uma parábola e podemos 
obter a parábola a partir de alguns de seus pontos: as raízes, a intersecção com o eixo 𝑦 
e o vértice da parábola. 
 A intersecção com o eixo y e o vértice 
Para obter a intersecção do gráfico com o eixo 𝑦, basta fazermos 𝑥 = 0. Assim, 
em uma função dada por 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 a intersecção com o eixo 𝑦 será em 𝑦 = 𝑎. 02 +
𝑏. 0 + 𝑐, ou seja, 𝑦 = 𝑐. 
Exemplo 3: Determine a intersecção com o eixo y em cada caso. 
(1) 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 − 12. A intersecção é o ponto (0, −12). 
(2) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 𝑥 − 6. A intersecção é o ponto (0, −6). 
(3) 𝑠 = 20 + 𝑡 + 6𝑡2. A intersecção é o ponto (0,20). 
(4) 𝑦 = 𝑥2 − 10𝑥. A intersecção é o ponto (0,0). 
 
 O vértice da parábola 
Este importante ponto da parábola será estudado com mais detalhe nas aulas de 
máximos e mínimos. Neste ponto, a função atinge seu valor máximo ou mínimo. Para 
 
17 
 
determinar o vértice de uma parábola que representa uma função quadrática, utilizamos 
a fórmula 𝑉 = (−
𝑏
2𝑎
, −
∆
4𝑎
), onde ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐. 
 
Exemplo 4: Determine as raízes, a intersecção com o eixo 𝑦 e o vértice da parábola dada 
por 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 8. A seguir, esboce o gráfico. 
As raízes são dadas pelas soluções da equação 𝑥2 − 6𝑥 + 8 = 0 que são 2 e 4. 
A intersecção com o eixo 𝑦 é o ponto (0,8) pois 𝑐 = 8. 
O vértice da parábola pode ser calculado obtendo 𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
= −
(−6)
2.1
= 3. Para 
obter o valor de 𝑦𝑣 = podemos usar a fórmula 𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
 ou, simplesmente, substituir 𝑥 por 
3 em 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 8 obtendo 𝑦 = 32 − 6.3 + 8 = −1. Logo, o vértice da parábola é o 
ponto 𝑉 = (3, −1). 
 
Portanto, a representação gráfica é: 
 
Note que a concavidade está voltada para cima. Isso ocorre porque o valor do 
coeficiente 𝑎 é positivo. Caso fosse negativo, teríamos a concavidade para baixo. 
 
 
18 
 
Exemplo 5: Determine as raízes, a intersecção com o eixo 𝑦 e o vértice da parábola dada 
por 𝑦 = −𝑥2 + 6𝑥 − 9. A seguir, esboce o gráfico. 
As raízes são dadas pelas soluções da equação −𝑥2 + 6𝑥 − 9 = 0 que é 3. Aqui 
só temos uma raiz. Assim, a parábola terá apenas uma intersecção com o eixo 𝑥. A 
intersecção com o eixo 𝑦 é o ponto (0, −9). A abscissa do vértice da parábola é dada 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
= −
6
2.(−1)
= 3. Para obter o valor de 𝑦𝑣 vamos substituir 𝑥 por 3 em 𝑦 = −𝑥
2 +
6𝑥 − 9 obtendo 𝑦 = −32 + 6.3 − 9 = 0. Logo, o vértice da parábola é o ponto 𝑉 = (3,0). É 
importante observar aqui que o fato de a função ter apenas uma raiz faz com que não 
necessitemos calcular o vértice da parábola, já que a intersecção com o eixo 𝑥 coincidirá 
com o vértice da parábola, ou seja, o ponto (3,0). Portanto, a representação gráfica é: 
 
 
Agora a concavidade está voltada para baixo, pois 𝑎 = −1 < 0. 
 
Exemplo 6: Determine as raízes, a intersecção com o eixo 𝑦 e o vértice da parábola dada 
por 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5. A seguir, esboce o gráfico. 
 
19 
 
As raízes são dadas pelas soluções da equação 𝑥2 − 4𝑥 + 5 = 0. Como esta 
equação não possui soluções reais, não temos raízes. Assim, a parábola não terá 
intersecções com o eixo 𝑥. A intersecção com o eixo 𝑦 é o ponto (0,5). A abscissa do 
vértice da parábola é dada 𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
= −
(−4)
2..1
= 2. Para obter o valor de 𝑦𝑣 vamos 
substituir 𝑥 por 2 em 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 5 obtendo 𝑦 = 22 − 4.2 + 5 = 1. Logo, o vértice da 
parábola é o ponto 𝑉 = (2,1). Portanto, a representação gráfica é: 
 
 
Assim como na função afim, o domínio é o próprio conjunto ℝ e a imagem é 
determinada pelo vértice da parábola. Assim, se a parábola tem a concavidade para cima, 
a imagem é o intervalo [𝑦𝑣 , +∞] e se tem a concavidade voltada para baixo, a imagem é 
[−∞, 𝑦𝑣]. 
 
Exercícios propostos: 
 
01) Seja 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 𝑥 + 11, calcule: 
a) 𝑓(0) b) 𝑓(1) c) 𝑓(3) − 𝑓(2) d) 𝑓(−3) + 𝑓(−1) 
 
02) Para a função 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 6𝑥 − 5, determine: 
 
20 
 
a) As raízes, se existirem. 
b) O vértice. 
c) O esboço do gráfico. 
 
03) Esboce o gráfico das funções. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 8 
b) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 6𝑥 − 8 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 9 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 9𝑥 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 10 
 
04) Dada a função 𝑔(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥−1
 determine: 
a) 𝑔(2) 
b) 𝑔(−2) 
 
05) Qual o vértice da parábola definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 5? 
 
06) Se o vértice da parábola dada por 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 𝑚 é o ponto (2,5), então qual o valorde m? 
 
07) Para que valor de 𝑥 a função dada por 𝑓(𝑥) = −x2 + 12x + 20, tem um valor máximo? 
 
08) Qual o valor máximo que a função dada por 𝑓(𝑥) = −x2 + 8x + 1 assume? 
 
09) Para que valor de 𝑥 a função dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 3, tem um valor mínimo? 
 
10) Qual o valor mínimo que a função dada por 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 16𝑥 + 1 assume? 
 
21 
 
 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 01 ATÉ 03 
01) Seja 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3, calcule: 
a) 𝑓(0) = 2.0 − 3 = −3 
b) 𝑓(−3) = 2. (−3) − 3 = −6 − 3 = −9 
c) 𝑓(𝑥 − 1) = 2. (𝑥 − 1) − 3 = 2𝑥 − 2 − 3 = 2𝑥 − 5 
d) 𝑓(1 + ℎ) = 2. (1 + ℎ) − 3 = 2 + 2ℎ − 3 = 2ℎ − 1 
 
02) Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 2, calcule: 
a) f(0) = 02 − 2.0 + 2 = 2 
b) f(−3) = (−3)2 − 2. (−3) + 2 = 9 + 6 + 2 = 17 
c) f(x − 1) = (x − 1)2 − 2. (x − 1) + 2 = x2 − 2x + 1 − 2x + 2 + 2 = x2 − 4x + 5 
d) f(1 + h) = (1 + h)2 − 2. (1 + h) + 2 = 1 + 2h + h2 − 2 − 2h + 2 = 1 + h2 
 
03) Uma empresa reembolsa seus empregados em R$ 150,00 ao dia por despesas de 
hotel e alimentação, mais R$ 0,34 por quilômetro percorrido. 
a) Escreva uma equação linear para o reembolso R em termos de x, o número de 
quilômetros percorridos. 
Para calcular o reembolso multiplicamos a quantidade de quilômetros por 0,34 e 
somamos 150 reais. Assim, podemos escrever 𝑅(𝑥) = 0,34. 𝑥 + 150 𝑜𝑢 𝑅(𝑥) = 150 +
0,34. 𝑥 
 
b) Qual o valor do reembolso se 𝑥 = 550 𝐾𝑚? 
Basta substituir x por 550 em 𝑅(𝑥) = 150 + 0,34. 𝑥. Assim, 
𝑅(𝑥) = 150 + 0,34.550 = 150 + 187 = 337 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 
 
c) Um funcionário foi reembolsado em R$ 218,00. De quantos quilômetros foi sua 
viagem? 
 
22 
 
Uma forma é substituir R(x) por 218 em 𝑅(𝑥) = 150 + 0,34. 𝑥. Assim, temos 
218 = 150 + 0,34. 𝑥 
218 − 150 = 0,34. 𝑥 
68 = 0,34. 𝑥 
68
0,34
= 𝑥 → 𝑥 = 200 𝑘𝑚 
 
Outra forma é subtrair os 150 reais fixos de 218 reais, obtendo 68 reais. Esses 68 
reais correspondem aos quilômetros percorridos multiplicados por 0,34. Assim, podemos 
obter a quantidade de quilômetros dividindo 68 por 0,34. 
 
𝑥 =
68
0,34
→ 𝑥 = 200 𝐾𝑚 
 
04) Uma empresa comprou por R$ 12.000,00 uma máquina que tem uma vida útil de 8 
anos. O valor da máquina como sucata ao final dos 8 anos é de R$ 2.000,00. Escreva 
uma equação linear que descreva o valor depreciado da máquina a cada ano que passa. 
A desvalorização da máquina foi de 10.000 reais (12.000 − 2.000) em um período de 8 
anos, ou seja, de 1.250 reais por ano. 
Logo, o valor da máquina após certo tempo é de 12.000, menos 1.250 vezes a quantidade 
de anos que se passaram. 
Então, 𝑉(𝑡) = 12000 − 1250. 𝑡 
 
05) Um microempresário compra um computador por R$ 1.025,00. Depois de 5 anos, o 
computador está ultrapassado e não tem mais valor comercial. Escreva uma equação 
linear para o valor V do computador em termos do tempo t em anos. 
A desvalorização do computador foi de 1.025 reais em um período de 5 anos, ou seja, de 
205 reais por ano. 
Logo, o valor do computador após certo tempo é de 1.025, menos 205 vezes a quantidade 
de anos que se passaram. 
Então, 𝑉(𝑡) = 1025 − 205. 𝑡 
 
23 
 
06) Uma universidade tem 2546 alunos em 1998 e 2702 alunos em 2000. Se o número 
de alunos matriculados variar de forma linear, quantos alunos terá a universidade em 
2004? 
A diferença na quantidade de alunos de 1998 a 2000 foi de 156, ou seja, de 78. Como foi 
suposto que o crescimento é linear, temos um aumento estimado de 78 alunos por ano. 
Assim, em 2004 teremos 2702 + 78.4 = 2702 + 312 = 3014 alunos. 
 
07) Um homem apara seu gramado toda quarta-feira. Esboce o gráfico da altura da grama 
como uma função do tempo no decorrer do período de 4 semanas. 
 
Suponhamos que a grama 
aparada tenha certa altura (não importa quanto). Ao longo da semana a altura da grama 
vai aumentando e podemos inferir que o gráfico tenha a seguinte forma: 
 
Na quarta-feira seguinte a grama volta a ter a altura inicial (grama aparada) e 
continua crescendo nas mesmas condições do período anterior. 
 
24 
 
 
Logo, temos: 
08) Dada a função 𝑦 = 3𝑥 + 1 determine o valor de 𝑦 para: 
a) 𝑥 = 0 
𝑦 = 3.0 + 1 = 1 
 
b) 𝑥 = 2 
𝑦 = 3.2 + 1 = 7 
 
c) 𝑥 = −4 
𝑦 = 3. (−4) + 1 = −12 + 1 = −11 
 
d)𝑥 =
1
2
 
𝑦 = 3.
1
2
+ 1 =
3
2
+ 1 =
3 + 2
2
=
5
2
 
 
09) Considerando a função dada por 𝑦 = 1 − 2𝑥, responda: 
a) Para 𝑥 = 5 quanto vale 𝑦? 
𝑦 = 1 − 2.5 = 1 − 10 = −9 
 
25 
 
b) Para 𝑥 = −6 quanto vale 𝑦? 
𝑦 = 1 − 2. (−6) = 1 + 12 = 13 
 
c)Para 𝑥 = −
1
2
 quanto vale 𝑦? 
𝑦 = 1 − 2. (−
1
2
) = 1 +
2
2
= 1 + 1 = 2 
 
d)Para que valor de 𝑥 se tem 𝑦 = −15? 
−15 = 1 − 2𝑥 
2𝑥 = 1 + 15 
2𝑥 = 16 
𝑥 = 8 
 
10) Considerando a função dada por 𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 6, responda: 
 
a) Para 𝑥 = 4 quanto vale 𝑦? 
𝑦 = 42 − 7.4 + 6 = 16 − 28 + 6 = −6 
 
b) Para 𝑥 = −1 quanto vale 𝑦? 
𝑦 = (−1)2 − 7. (−1) + 6 = 1 + 7 + 6 = 14 
 
c) Existe 𝑥 tal que 𝑦 = 0? 
Substituindo y por 0, temos: 
 
0 = 𝑥2 − 7𝑥 + 6 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
, onde ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
 
Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, – 7 e 6, respectivamente. 
Assim, ∆= (−7)2 − 4.1.6 = 49 − 24 = 25 
 
26 
 
 
 
d) Para que valores de 𝑥 se tem 𝑦 = 6? 
Substituindo y por 6, temos: 
 
6 = 𝑥2 − 7𝑥 + 6  𝑥2 − 7𝑥 = 0 
 
Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, – 7 e 0, respectivamente. 
 
Assim, ∆= (−7)2 − 4.1.0 = 49 
 
 
Observação: Há outros métodos de resolução de equações do 2º grau. 
 
e) Para que valor real de 𝑥 se tem 𝑦 = −8? 
 
Substituindo y por –8, temos −8 = 𝑥2 − 7𝑥 + 6  𝑥2 − 7𝑥 + 14 = 0. 
 
Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, – 7 e 14, respectivamente. 
 
Assim, ∆= (−7)2 − 4.1.14 = 49 − 56 = −7 
 
Como não existe um número real que seja a raiz quadrada de –7, a equação 𝑥2 − 7𝑥 +
14 = 0 não tem solução real e, logo, não existe valor de x que satisfaça a condição dada. 
 
27 
 
11) Duas variáveis, x e y, estão relacionadas pela fórmula 3𝑥 + 5𝑦 = 10. 
a) Expresse 𝑦 em função de 𝑥. 
Para expressar y em função de x devemos isolar a variável y. 
3𝑥 + 5𝑦 = 10  5𝑦 = 10 − 3𝑥  𝑦 =
10−3𝑥
5
 
 
b) Expresse 𝑥 em função de 𝑦. 
Para expressar x em função de y devemos isolar a variável x. 
3𝑥 + 5𝑦 = 10  3𝑥 = 10 − 5𝑦  𝑥 =
10−5𝑦
3
 
 
12) Duas variáveis, x e y, estão relacionadas pela fórmula 𝑥 − 7𝑦 = 11. 
a) Expresse 𝑦 em função de 𝑥. 
𝑥 − 7𝑦 = 11  −7𝑦 = 11 − 𝑥  𝑦 =
11−𝑥
−7
=
𝑥−11
7
 
 
b) Expresse 𝑥 em função de 𝑦. 
𝑥 − 7𝑦 = 11  𝑥 = 11 + 7𝑦 
 
Exercícios da Aula 2: 
 
1) Uma indústria fabrica peças e semanalmente possui um custo fixo de R$3500. Se o 
custo para o material é de R$ 47,00 por peça e seu custo total da semana foi de R$ 13 
370, quantas peças foram produzidas nesta semana? Se subtrairmos 3500 reais (custo 
fixo) dos 13370 reais (custo total) ficamos com 9 870 reais, que corresponde ao custo 
variável. Como cada peça produz um custo de 47 reais, a quantidade de peças é o 
resultado da divisão de 9870 por 47. Logo, foram produzidas 210 peças. 
2) O preço p por unidade de um produto quando x unidades (em milhares) são produzidas 
é modelado pela função 𝑝 = 12 − 0,025. 𝑥 
a) Qual o preço do produto, caso sejam produzidas 40000 unidades? 
 
28 
 
Como x está em milhares, para calcular o preço do produto quando são produzidas 40000 
unidades, devemos substituir x por 40. Assim, 𝑝 = 12 − 0,025.40 → 𝑝 = 12 − 1 =
11 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠. 
 
b) Para que o preço seja R$ 8,90 quantas peças devem ser produzidas? 
Agora, basta substituir p por 8,90 e resolver a equação. 
8,9 = 12 − 0,025. 𝑥 → 0,025𝑥 = 12 − 8,9 → 0,025𝑥 = 3,1 → 𝑥 =
3,1
0,025
 
Assim, 𝑥 = 124. Logo deverão ser produzidas 124000 unidades. 
 
3) Uma máquina industrial custa R$ 240000 e sofre a cada ano uma depreciação linear 
de R$ 25 000. Obtenha: 
a) A expressão que relaciona o valor da máquina (V) em relação à sua idade (t). 
O valor da máquina após t anos será a diferença entre 240000e t vezes 25000. 
Assim, V(t) = 240000 − 25000. t 
 
b) O valor da máquina após 6 anos. 
V(6) = 240000 − 25000.6 = 240000 − 150000 = 90000 reais 
 
c) Quanto tempo leva para a máquina ter um valor de R$ 165000? 
Substituindo V(t) por 165000 ficamos com a equação 
 
165000 = 240000 − 25000. t 
25000. t = 240000 − 165000 
25000. t = 75000 
t = 3 anos 
04) Uma empresa investe R$ 98.000,00 em máquinas para fabricar um novo produto. 
Cada unidade do produto custa 𝑅$ 12,30 para ser fabricada e é vendida por 𝑅$ 17,98. 
Seja 𝑥 a quantidade de unidades produzidas e vendidas. 
 
29 
 
a) Escreva uma expressão para o custo total em função de 𝑥. 
O custo total é a soma do custo fixo com o custo variável. O custo fixo, neste caso é de 
𝑅$ 98.000,00 e o custo variável é de 12,30. 𝑥 sendo 𝑥 a quantidade de unidades 
produzidas. Portanto, o custo total é dado por 𝐶(𝑥) = 98000 + 12,30𝑥. 
 
b) Escreva uma expressão para a receita 𝑅 em função de 𝑥. 
A receita é o valor recebido, ou seja, o preço de venda multiplicado pela quantidade de 
produtos. Logo, 𝑅(𝑥) = 17,98𝑥. 
 
c) Escreva uma expressão para o lucro 𝐿 em função de 𝑥. 
O lucro é a diferença entre a receita e o custo. 
Assim, 𝐿(𝑥) = 17,98𝑥 − (98000 + 12,30𝑥) = 5,68𝑥 − 98000. 
 
05) Uma fábrica produz placas de aço na forma de retângulos. As medidas variam. No 
entanto, a medida do comprimento tem sempre 5cm a mais do que a medida da largura. 
 
a) Expresse a área do retângulo em função da medida da largura. 
Chamando a largura de l e sabendo que o comprimento tem 5cm a mais que a 
largura, temos: 
 
Assim, a área do retângulo (comprimento vezes largura) será dada por 
𝐴(𝑙) = (𝑙 + 5). 𝑙 = 𝑙2 + 5𝑙 
 
b) Qual deve ser a medida da largura para que a área da peça retangular seja de 104cm2? 
Para que a área seja 104 cm2 teremos, substituindo A(l) por 104: 
 
30 
 
104 = l2 + 5l 
l2 + 5l − 104 = 0 
 
Os coeficientes a, b e c neste caso são 1, 5 e – 104, respectivamente. 
Assim, ∆= 52 − 4.1. (−104) = 25 + 416 = 441 
 
 
 
Evidentemente a solução – 13 não faz sentido no contexto geométrico. Assim, o 
valor da largura é 8cm. Realmente, fazendo a largura valer 8cm o comprimento vale 13cm 
(5cm a mais) e a área vale 8.13=104cm2, conforme a condição dada no enunciado. 
 
06) Uma parede de tijolos será usada como um dos lados de um canil retangular com 
40m2 de área. Para cercar os outros três lados, uma tela de arame de 18m de 
comprimento será dividida em três pedaços, conforme o esquema abaixo. 
a) Chamando de a lateral do canil, qual será o comprimento em função de 𝑥? 
 
 
Como a largura é x temos que o comprimento é o que resta de 18 quando tiramos ambas 
as laterais (2x). Assim, o comprimento vale 18 − 2𝑥. 
b) Expresse a área em função de 𝑥. 
A área é dada por comprimento vezes a largura. Logo 𝐴(𝑥) = 𝑥. (18 − 2𝑥) 
 
c) Quanto deverá medir cada um dos três pedaços da tela? 
Como a área do canil deve ser de 40m2 podemos escrever 40 = 𝑥. (18 − 2𝑥) 
x 
 
31 
 
40 = 18𝑥 − 2𝑥2 
2𝑥2 − 18𝑥 + 40 = 0 
Os coeficientes a b e c neste caso são 2, –18 e 40, respectivamente. 
Assim, ∆= (−18)2 − 4.2.40 = 324 − 324 = 4 
 
 
 
Assim, a largura da cerca pode valer 4m ou 5m. 
Se a largura valer 4m, teremos um comprimento de 10m. Logo, as dimensões 
seriam 4, 4 e 10m. 
Se a largura valer 5m, teremos um comprimento de 8m. Logo, as dimensões 
seriam 5, 5 e 8m. 
Verifique que, em ambos os casos, o comprimento da cerca é de 18m e a área do 
canil é de 40m2. 
 
07) Um móvel se desloca em movimento retilíneo uniforme. Quando 𝑡 = 0𝑠 ele está na 
posição 𝑠 = 60𝑚 e em 𝑡 = 2𝑠 sua posição é 𝑠 = 90𝑚. 
 
a) Qual a velocidade do móvel em 𝑚/𝑠? 
𝑣 =
∆𝑠
∆𝑡
=
90 − 60
2 − 0
=
30
2
= 15 𝑚/𝑠 
b) Escreva a equação do movimento 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣. 𝑡. 
Como 𝑠0 = 60𝑚 e 𝑣 = 15 𝑚/𝑠, a equação é 𝑠 = 60 + 15𝑡. 
 
c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 
 
32 
 
 
08) Um carro trafega em uma estrada retilínea com uma velocidade constante de 
75 𝐾𝑚/ℎ. Quando 𝑡 = 0ℎ ele está no 𝐾𝑚 12 indo no sentido crescente da via. 
a) Em que Km ele estará após 2 horas? 
Após 1 hora ele estará no Km (12 + 75) = Km 87. 
Após 2 horas ele estará no Km (87 + 75) = Km 162. 
 
b) Escreva a equação do movimento 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣. 𝑡. 
Como 𝑠0 = 12 𝑘𝑚 e 𝑣 = 75 𝑘𝑚/ℎ, a equação é 𝑠 = 12 + 75𝑡. 
 
c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 
 
09) Um móvel se desloca em movimento retilíneo com velocidade constante de 22𝑚/𝑠 e 
posição inicial 𝑠 = 125𝑚. 
a) Em que posição ele estará após 5 segundos? 
 
33 
 
Após 5 segundos ele estará em 125 + 5.22 = 235m. 
 
b) Escreva a equação do movimento 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣. 𝑡. 
 
Como 𝑠0 = 125 𝑚 e 𝑣 = 22 𝑚/𝑠, a equação é 𝑠 = 125 + 22𝑡. 
 
c) Esboce o gráfico para 𝑡 ≥ 0. 
 
Exercícios da Aula 3: 
 
01) Seja f(x)=3x2 – x + 11, calcule: 
a) f (0) = 3.02 – 0 + 11 = 11 
 
b) f (1) = 3.12 - 1+ 11 = 3-1+11=13 
 
c) f (3) - f (2) = (3.32 - 3+ 11) -(3.22 – 2 + 11) = 35 – 21 = 14 
d) f (-3) + f (-1) = (3. (-3)2 - (-3) +11) +(3. (-1)2 - (-1) +11) = 
= (3.9+3+11) +(3.1+1+11) =41+15=56 
 
 
 
 
34 
 
02) Para a função f(x)= - x2 + 6x - 5, determine: 
a) As raízes, se existirem. 
a=-1; b=6; c=-5 
∆=b2 - 4ac → ∆ = 62 - 4. (-1). (-5) = 36 – 20 = 16 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 → 𝑥 =
−6±√16
2.(−1)
 → 𝑥 =
−6±4
−2
 . Assim, 𝑥 = 1 ou 𝑥 = 5 
 
b) Vértice. 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
= −
6
2.(−1)
= 3 
𝑦𝑣 = −3
2 + 6.3 − 5 = −9 + 18 − 5 = 4. Assim, 𝑉 = (3,4). 
 
c) O esboço do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
35 
 
03) Esboce o gráfico das funções. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 8 
 
 
 
b) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 6𝑥 − 8 
 
 
 
36 
 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 9 
 
 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 9𝑥 
 
 
 
 
37 
 
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 10 
 
 
04) Dada a função 𝑔(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥−1
 determine: 
a) 𝑔(2) =
22−1
2−1
=
3
1
= 3 
 
b) 𝑔(−2) =
(−2)2−1
−2−1
=
3
−3
= −1 
 
05) Qual o vértice da parábola definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 4𝑥 + 5? 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
= −
−4
2.2
= 1 
𝑦𝑣 = 2. 1
2 − 4.1 + 5 = 2 − 4 + 5 = 3. Assim, 𝑉 = (1,3). 
 
06) Se o vértice da parábola dada por 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 𝑚 é o ponto (2,5), então qual o valor 
de m? 
Substituindo x por 2 e y por 5, temos: 
5 = 22 - 4.2 + m 
5 – 4 + 8 = m 
m = 9 
 
38 
 
07) Para que valor de x a função dada por 𝑓(𝑥) = −x2 + 12x + 20, tem um valor máximo? 
A função atinge seu valor máximo (ou mínimo) quando x é igual a xv. 
Logo 𝑥 = −
𝑏
2𝑎
= −
12
2.(−1)
= 6 
 
08) Qual o valor máximo que a função dada por f(x)=-x2 + 8x + 1 assume? 
O valor máximo (ou mínimo) de uma função quadrática é dado por yv. 
Calculando primeiro xv, obtemos xv. = −
𝑏
2𝑎
= −
8
2.(−1)
= 4 
 𝑦𝑣 = −4
2 + 8.4 + 1 = −16 + 32 + 1 = 17. Assim, 17 é o valor máximo da função. 
 
09) Para que valor de x a função dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 5𝑥 + 3, tem um valor mínimo? 
A função atinge seu valor mínimo quando x é igual a xv. Logo 𝑥 = −
𝑏
2𝑎
= −
5
2.1
= −
5
2
 
 
10) Qual o valor mínimo que a função dada por 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 16𝑥 + 1 assume? 
O valor mínimo de uma função quadrática é dado por yv. 
Calculando primeiro xv, obtemos 𝑥𝑣 . = −
𝑏
2𝑎
= −
16
2.2
= −4 
𝑦𝑣 = 2. (−4)
2 + 16. (−4) + 1 = 32 − 64 + 1 = −31. Assim, – 31 é o valor mínimo da 
função. 
 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
Trataremos nesta aula das funções seno e cosseno, abordando seus aspectos 
essenciais, em particular, suas representações gráficas, o domínio e a imagem de cada 
uma delas. 
 A função seno 
A função seno se caracteriza por associar a cada número real o valor do seu seno 
e pode ser denotada por 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). Utilizando o ciclo trigonométrico ou uma calculadora 
científica podemos obter alguns pares ordenados para essa função. Lembremos que: 
 
39 
 
𝑠𝑒𝑛 0 = 0 pois a projeção do ponto corresponde ao arco de 0 radianosno eixo dos senos 
tem ordenada zero. Em outras palavras, a “altura” deste ponto é zero. 
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
= 1 pois a “altura” deste ponto, em relação ao eixo vertical é 1. 
De maneira análoga, concluímos que 𝑠𝑒𝑛𝜋 = 0 e que 𝑠𝑒𝑛
3𝜋
2
= −1. 
 
Assim, temos os pares da tabela a seguir. 
 
 
Poderíamos também considerar arcos negativos, ou seja, no sentido horário a 
partir de 0. 
 
40 
 
 
 
Dessa maneira, teríamos: 
 
 
 
 
41 
 
Representando estes pontos no plano cartesiano, temos o seguinte gráfico. 
 
 
 
Notemos que qualquer número real possui seno. Assim, o domínio da função seno 
é ℝ. As retas 𝑦 = −1 e 𝑦 = 1 limitam a função seno no intervalo [−1,1] que é a imagem 
da função. Isso decorre do fato de que o raio do ciclo trigonométrico é 1. 
 
 A função cosseno 
A função cosseno se caracteriza por associar a cada número real o valor do seu 
cosseno e pode ser denotada por 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
Assim como fizemos com a função seno, utilizaremos o ciclo trigonométrico para 
obter alguns pares ordenados para essa função. Lembremos que: 
 
 𝑐𝑜𝑠 0 = 1 pois a projeção do ponto corresponde ao arco de 0 radianos no eixo dos 
cossenos (horizontal) tem abscissa 1. 
 
 
42 
 
 𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
= 0 pois a projeção do ponto corresponde ao arco de 
𝜋
2
 radianos no eixo dos 
cossenos (horizontal) tem abscissa 0. De maneira análoga, concluímos que 
cos 𝜋 = −1 e que 𝑐𝑜𝑠
3𝜋
2
= 0. 
 
 
 
Assim, temos os pares da tabela a seguir. 
 
 
 
43 
 
Considerando arcos no sentido horário. 
 
 
 
Dessa maneira, teríamos: 
 
 
 
44 
 
Representando estes pontos no plano cartesiano, temos o seguinte gráfico. 
 
 
 
Como qualquer número real também possui cosseno, o domínio da função 
cosseno também é ℝ. Analogamente à função seno as retas 𝑦 = −1 e 𝑦 = 1 limitam a 
função no intervalo [−1,1] que é a sua imagem. 
 
Exercícios propostos: 
 
1) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1. 
 
2) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2. 
 
3) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 1. 
 
4) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = cos(𝑥) − 1. 
 
5) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
 
45 
 
6) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
 
7) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
 
8) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = −2𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
 
9) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 2. 𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
 
10) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
 
11) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
 
12) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = −2𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
 
13) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥). 
 
14) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥). 
 
15) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (3𝑥). 
 
16) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑥). 
 
 
 
 
O Winplot é um programa gratuito para Windows, 
disponível na Web, que gera gráficos em 2D e 3D a partir 
de funções ou equações matemáticas. 
 
 
46 
 
 FUNÇÕES EXPONENCIAIS 
Agora daremos ênfase a alguns problemas relacionados aos expoentes e os 
logaritmos. Situações nas quais temos multiplicações de fatores repetidos, como no caso 
dos juros compostos, por exemplo, nos levam a manipular expressões com variáveis no 
expoente e, consequentemente, a resolver equações exponenciais e logarítmicas. Nosso 
apelo aos logaritmos, nesta aula, se restringirá ao uso que faremos para resolver alguns 
desses problemas. 
Imaginemos que vamos aplicar certa quantia em dinheiro e que temos uma 
previsão da taxa mensal de juros a que estará sujeito este capital aplicado, digamos 1% 
ao mês. Se aplicarmos 4 000 reais teremos, ao final de um mês 4000.1,01 = 4040 reais. 
Após dois meses teremos esse valor multiplicado por 1,01, ou seja, 4000.1,01.1,01 =
4080,40.Como podemos representar 4000.1,01.1,01 por 4000.1,012, então para t meses 
de aplicação, teremos um montante 𝑀(𝑡) = 4000.1,01𝑡. Nesta expressão a variável 𝑡 
aparece no expoente, o que nos leva a resolver equações exponenciais caso tenhamos 
que determinar, por exemplo, quanto tempo levaria para que o montante seja de 4500 
reais. 
De maneira mais formal, dizemos que uma função exponencial é dada por uma 
expressão do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, ou seja, ela associa a cada número real 𝑥 o número real 
positivo 𝑎𝑥 onde 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1. 
 
Exemplo 1: Dada a função exponencial 𝑓(𝑥) = (
1
3
)
𝑥
, calcule 𝑓(−2), 𝑓(0) e 𝑓(1). 
𝑓(−2) = (
1
3
)
−2
= 32 = 9 
𝑓(0) = (
1
3
)
0
= 1 
𝑓(1) = (
1
3
)
1
=
1
3
 
 
47 
 
 Gráfico da função exponencial 
Tomemos como exemplo a função dada por 𝑓(𝑥) = 2𝑥. Vamos atribuir valores a 𝑥 
e determinar suas respectivas imagens tabelando os valores. 
 
 
 
Assim, temos a seguinte representação gráfica: 
 
 
 
48 
 
Pela representação gráfica e pela expressão algébrica da função podemos 
concluir que o domínio da função exponencial é ℝ e a imagem é ℝ+
∗ . 
Tomemos agora o exemplo 𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
. Vamos atribuir valores a 𝑥 e determinar 
suas respectivas imagens tabelando os valores. 
 
 
 
Assim, temos a seguinte representação gráfica: 
 
Pela representação gráfica e pela expressão algébrica da função podemos 
 
49 
 
concluir que o domínio da função exponencial é ℝ e a imagem é ℝ+
∗ . 
Vimos, pelos gráficos, que 2𝑥 é crescente, enquanto que (
1
2
)
𝑥
 é decrescente. O 
que acontece é que a base 2, que é maior que 1, faz com que a potência cresça quando 
aumentamos o valor do expoente, o que acontece de maneira inversa quando a base é 
um número compreendido entre zero e 1, que é o caso de 
1
2
. 
 
Exercício proposto: Esboce os gráficos das funções. 
 
1) 𝑦 = (
1
3
)
𝑥
 
 
2) 𝑦 = 3𝑥 
 
3) 𝑦 = 0,8𝑥 
 
4) 𝑦 = 1,8𝑥 
 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS 
Você se lembra do problema que foi lançado no início desta aula? Pois bem, 
vamos relembrar: você aplicou 4000 reais a juros estimados de 1% ao mês e quer saber 
quanto tempo levaria, caso a taxa de juros se mantenha, para que seu montante atinja 
os 4500 reais. Já temos a expressão que relaciona montante com tempo, que é 𝑀(𝑡) =
4000. (1,01)𝑡. 
Para resolver nosso problema, substituamos 𝑀(𝑡) por 4500. Assim, obtemos a 
equação exponencial: 
 
4500 = 4000. (1,01)𝑡 
 
 
50 
 
Se tentarmos isolar a incógnita 𝑡, dividindo ambos os membros da equação por 
4000, ficamos com: 
4500
4000
= (1,01)𝑡 → 
45
40
= (1,01)𝑡 → 1,125 = (1,01)𝑡 
 
Aí está o nosso problema, determinar 𝑡 para que o resultado de (1,01)𝑡 seja 1,125. 
Para isso, faremos uso dos logaritmos. Vamos a eles e, logo em seguida, voltamos. À 
resolução deste problema. 
 
 Logaritmos 
Se 𝑎 e 𝑏 são números reais positivos com 𝑎 ≠ 1 e 𝑎𝑥 = 𝑏, então 𝑥 é o logaritmo de 
𝑏 na base 𝑎. Denotamos por 𝑥 = log𝑎 𝑏, onde b se chama logaritmando. 
No nosso problema ainda não resolvido devemos determinar 𝑡 para que (1,01)𝑡 
seja igual a 1,125, ou seja, encontrar o log de 1,125 na base 1,01. 
Simbolicamente temos que 𝑡 = log1,01 1,125. 
Uma das propriedades dos logaritmos nos permite resolver facilmente o problema. 
É a propriedade da Mudança de Base, que nos diz que: 
 
log𝑎 𝑏 =
log𝑐 𝑏
log𝑐 𝑎
 
É convencional não escrevermos o 10 na base do log, portanto, o mais correto 
seria log1,01 1,125 =
𝑙𝑜𝑔 1,125
𝑙𝑜𝑔 1,01
. 
Por que escolhemos a base 10? Na verdade, poderíamos escolher qualquer base, 
mas a base 10 nos permite fazer o uso de uma calculadora científica de maneira prática 
e obter o valor desejado rapidamente. Temos então que 𝑙𝑜𝑔 1,125 ≅ 0,0511525224 e 
log𝑐 1,01 ≅ 0,0043213738 e, portanto, 
𝑙𝑜𝑔 1,125
𝑙𝑜𝑔 1,01
≅ 11,837 meses. Levaria, então, mais de 
11 meses e menos de 1 ano para chegar ao montante de 4500 reais. 
 
51 
 
Outra base encontrada nas calculadorascientíficas é a base 𝑒. Logaritmos de base 
𝑒 são chamados de logaritmos neperianos e representados por 𝑙𝑛. 
A resolução ficaria muito parecida com a que fizemos: 
𝑡 = log1,01 1,125 =
𝑙𝑛 1,125
𝑙𝑛 1,01
≅
0,117783
0,00995
≅ 11,837 meses. 
 
Exercícios propostos: 
01) Devido a extração indiscriminada de açaizeiros em certas regiões do Estado, a 
produção de açaí decresce anualmente, segundo a função 𝑦 = 32. 0,5𝑥 , onde x é o tempo 
em anos e y representa as toneladas de açaí produzidas anualmente. Nestas condições, 
daqui a 4 anos, qual será a produção de açaí, em toneladas? 
 
02) O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é 
dado pela expressão 𝑁(𝑡) = 1200. 20,4𝑡. Nessas condições, quanto tempo após o início 
do experimento a cultura terá 38.400 bactérias? 
 
03) A massa (em gramas) de uma certa substância radioativa em uma amostra é dada 
pela expressão 𝐴(𝑡) = 500. 2−0,1𝑡 com t em anos. Quantos gramas havia no início da 
contagem do tempo? E 10 anos depois? 
 
 04) A função 𝑃(𝑥) = 25000. (
3
4
)
𝑥
 é usada para determinar o valor, em euros, de um carro 
x anos depois da sua compra. Qual é o custo inicial do carro? Qual o valor do carro após 
3 anos? 
 
05) A população de uma colônia de fungos cresce exponencialmente de acordo com a 
fórmula 𝑁(𝑡) = 10000. 20,1𝑡, em que t representa o número de dias decorridos desde o 
instante inicial. Após quantos dias essa população dobra? 
 
 
 
52 
 
Texto para as questões 6 a 9: 
O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, 
é dado pela expressão 𝑁(𝑡) = 1200. 20,4𝑡. Nessas condições: 
 
06) Qual o número de bactérias após 5 horas? 
 
07) Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá10300 bactérias? 
 
08) Qual o número de bactérias após 10 horas? 
 
09) Quanto tempo após o início do experimento o número de bactérias dobra? 
 
Texto para as questões 10 a 13: 
A massa (em gramas) de uma certa substância radioativa em uma amostra é dada 
pela expressão 𝐴(𝑡) = 500. 2−0,1𝑡 com t em anos. 
 
10) Qual a massa da substância após 3 anos? 
 
11) Quanto tempo leva para a massa ser de 400g? 
 
12) Qual a massa da substância após 20 anos? 
 
13) Quanto tempo leva para a massa ser de 300g? 
 
Texto para as questões 14 a 16: 
A função 𝑃(𝑡) = 30000. (0,87)𝑡 é usada para determinar o valor, em reais, de um 
carro t anos depois da sua compra. 
 
 
53 
 
14) Qual o valor do carro após 5 anos? 
 
15) Depois de quantos anos o carro valerá 22000? 
 
16) Qual o valor do carro após 10 anos? 
 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DAS AULAS 05 ATÉ 07 
Exercícios da Aula 05 
1) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1. 
 
 
 
Observe que o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) foi deslocado uma unidade para cima para 
obter 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1. 
 
 
 
 
 
 
54 
 
2) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2. 
Do que foi visto no exercício anterior, concluímos que o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) deve ser 
deslocado 2 unidades para cima para obter o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2. 
 
 
 
3) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 1. 
 
 
 
 
 
 
55 
 
4) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = cos(𝑥) − 1. 
 
 
 
5) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 2. 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
 
 
 
Observe que o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) foi alongado verticalmente dobrando sua 
amplitude vertical. 
 
56 
 
6) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
Neste caso teremos um alongamento que triplica a amplitude vertical do gráfico de 𝑦 =
𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
 
 
 
7) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
 
 
 
Observe que este gráfico é simétrico ao gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) em relação ao eixo 
horizontal. 
 
 
 
57 
 
8) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = −2𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
 
Neste caso, então, teremos a simetria e a expansão da amplitude vertical 
ocorrendo simultaneamente. 
 
 
 
 
 
9) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 2. 𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
 
 
 
 
 
58 
 
10) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
 
 
 
 
11) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = −𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
12) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = −2𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
 
 
 
 
13) Trace no Winplot o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥). 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
14) Trace no papel o gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥). 
 
 
 
Aqui também há um encolhimento, mas pela terça parte do gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
 
 
 
 
15) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (3𝑥). 
 
 
 
 
 
 
61 
 
16) Trace no papel (sem a ajuda do software) o gráfico de 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑥). 
 
 
 
 
Exercícios da Aula 6: 
 
1) 𝑦 = (
1
3
)
𝑥
 
 
 
 
 
 
62 
 
2) 𝑦 = 3𝑥 
 
 
 
3) 𝑦 = 0,8𝑥 
 
 
 
63 
 
4) 𝑦 = 1,8𝑥 
 
 
Exercícios da Aula 7: 
1) Devido a extração indiscriminada de açaizeiros em certas regiões do Estado, a 
produção de açaí decresce anualmente, segundo a função 𝑦 = 32. 0,5𝑥 , onde x é o tempo 
em anos e y representa as toneladas de açaí produzidas anualmente. Nestas condições, 
daqui a 4 anos, qual será a produção de açaí, em toneladas? 
𝑦 = 32. 0,5𝑥  𝑦 = 32. 0,54  𝑦 = 32.0,0625 = 2 𝑡𝑜𝑛𝑒𝑙𝑎𝑑𝑎𝑠 
 
2) O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é 
dado pela expressão 𝑁(𝑡) = 1200. 20,4𝑡. Nessas condições, quanto tempo após o início 
do experimento a cultura terá 38.400 bactérias? 
𝑁(𝑡) = 1200. 20,4𝑡  38400 = 1200. 20,4𝑡  
38400
1200
= 20,4𝑡 
20,4𝑡 = 32  20,4𝑡 = 25  0,4𝑡 = 5 
 
64 
 
𝑡 =
5
0,4
= 12,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 12ℎ30𝑚𝑖𝑛 
 
3) A massa (em gramas) de uma certa substância radioativa em uma amostra é dada 
pela expressão 𝐴(𝑡) = 500. 2−0,1𝑡 com t em anos. Quantos gramas havia no início da 
contagem do tempo? E 10 anos depois? 
No início da contagem temos t=0. Assim, 𝐴(0) = 500. 2−0,1.0 = 500.20 = 500𝑔 
Após 10 anos temos t=10. Assim, 𝐴(10) = 500. 2−0,1.10 = 500.2−1 = 250𝑔 
 
4) A função 𝑃(𝑥) = 25000. (
3
4
)
𝑥
 é usada para determinar o valor, em euros, de um carro 
x anos depois da sua compra. Qual é o custo inicial do carro? Qual o valor do carro após 
3 anos? 
O custo inicial é obtido fazendo x=0. Assim, 𝑃(0) = 25000. (
3
4
)
0
= 25000 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠. Após 3 
anos temos 𝑃(3) = 25000. (
3
4
)
3
= 25000.
27
64
= 10.546,87 𝑒𝑢𝑟𝑜𝑠 
 
5) A população de uma colônia de fungos cresce exponencialmente de acordo com a 
fórmula 𝑁(𝑡) = 10000. 20,1𝑡, em que t representa o número de dias decorridos desde o 
instante inicial. Após quantos dias essa população dobra? 
A população inicial é de 10000, portanto deve passar para 20000. 
20000 = 10000. 20,1𝑡  
20000
10000
= 20,1𝑡  2 = 20,1𝑡  21 = 20,1𝑡 
1 = 0,1𝑡  
1
0,1
= 𝑡  𝑡 = 10 dias 
 
 
Texto para as questões 6 a 9: 
O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, 
é dado pela expressão 𝑁(𝑡) = 1200. 20,4𝑡. Nessas condições: 
 
6) Qual o número de bactérias após 5 horas? 
 
65 
 
𝑁(5) = 1200. 20,4.5  𝑁(5) = 1200. 22  𝑁(5) = 1200.4 = 4800 𝑏𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑎𝑠 
 
7) Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá10300 bactérias? 
10300 = 1200. 20,4𝑡  
10300
1200
= 20,4𝑡  8,5833 = 20,4𝑡  0,4𝑡 =
log 8,5833
log 2
  
0,4𝑡 =
0,9337
0,301
  0,4𝑡 = 3,102  𝑡 =
3,102
0,4
  𝑡 ≅ 7,75 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 7ℎ45𝑚𝑖𝑛 
 
8) Qual o número de bactérias após 10 horas? 
𝑁(10) = 1200. 20,4.10  𝑁(5) = 1200. 24  𝑁(5) = 1200.16 = 19200 𝑏𝑎𝑐𝑡é𝑟𝑖𝑎𝑠 
 
9) Quanto tempo após o início do experimento o número de bactérias dobra? 
2400 = 1200. 20,4𝑡  
2400
1200
= 20,4𝑡  2 = 20,4𝑡  21 = 20,4𝑡  0,4𝑡 = 1  
𝑡 =
1
0,4
  𝑡 ≅ 2,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 2ℎ30𝑚𝑖𝑛Texto para as questões 10 a 13: 
A massa (em gramas) de uma certa substância radioativa em uma amostra é dada 
pela expressão 𝐴(𝑡) = 500. 2−0,1𝑡 com t em anos. 
 
10) Qual a massa da substância após 3 anos? 
𝐴(3) = 500. 2−0,1.3  𝐴(3) = 500. 2−0,3  𝐴(3) ≅ 406,13 𝑔 
 
11) Quanto tempo leva para a massa ser de 400g? 
400 = 500. 2−0,1𝑡  
400
500
= 2−0,1𝑡  0,8 = 2−0,1𝑡  −0,1𝑡 =
log 0,8
log 2
  
−0,1𝑡 =
−0,0969
0,301
  −0,1𝑡 = −0,322  𝑡 =
−0,322
−0,1
  𝑡 ≅ 3,2 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
12) Qual a massa da substância após 20 anos? 
𝐴(20) = 500. 2−0,1.20  𝐴(20) = 500. 2−2  𝐴(20) = 125 𝑔 
 
66 
 
13) Quanto tempo leva para a massa ser de 300g? 
300 = 500. 2−0,1𝑡  
300
500
= 2−0,1𝑡  0,6 = 2−0,1𝑡  −0,1𝑡 =
log 0,6
log 2
  
−0,1𝑡 =
−0,2218
0,301
  −0,1𝑡 = −0,737  𝑡 =
−0,737
−0,1
  𝑡 ≅ 7,4 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
 
Texto para as questões 14 a 16: 
 
 A função 𝑃(𝑡) = 30000. (0,87)𝑡 é usada para determinar o valor, em reais, de um 
carro t anos depois da sua compra. 
 
14) Qual o valor do carro após 5 anos? 
𝑃(5) = 30000. (0,87)5 ≅ 14952,63 
 
15) Depois de quantos anos o carro valerá 22000? 
22000 = 30000. (0,87)𝑡 
22000
30000
= (0,87)𝑡 
0,7333 = (0,87)𝑡 
𝑡 =
log 0,7333
log 0,87
 
𝑡 =
−0,1347
−0,0605
 
𝑡 ≅ 2,2 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
16) Qual o valor do carro após 10 anos? 
𝑃(10) = 30000. (0,87)10 ≅ 7452,70 
 
67 
 
 DISPOSITIVO PRÁTICO DE BRIOT-RUFFINI 
Em alguns casos podemos utilizar um algoritmo alternativo para divisão de 
polinômios, o dispositivo prático de Briot-Ruffini. Poderemos lançar mão desse dispositivo 
quando o divisor for um polinômio do tipo 𝑥 − 𝑎, sendo 𝑎 um número real. 
 
Tomemos dois exemplos. 
Exemplo 1: Dividir 𝑝(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 11 por 𝑥 + 3. Neste caso, 𝑎 = −3. Montamos o 
dispositivo da seguinte maneira. 
 
 
 
Dispostos assim os números iniciamos o cálculo repetindo o primeiro dos 
coeficientes, neste caso o 1, na linha de baixo. 
 
 
Multiplicamos esse coeficiente por a, neste caso −3, e somamos o resultado com 
o próximo coeficiente, o −5, obtendo 1. (−3) + (−5) = −8. 
 
 
68 
 
 
 
 
Agora fazemos o mesmo com o −8 e assim sucessivamente até completarmos o 
algoritmo. 
 
Obtemos os números 1, −8 e 35. Agora vamos interpretá-los. Como dividimos um 
polinômio de grau 2 por um polinômio de grau 1, o quociente será um polinômio de grau 
1. Assim, o primeiro número obtido, 1, é o primeiro coeficiente de um polinômio de grau 
1 e −8 o segundo coeficiente. Logo, o polinômio (quociente) é 𝑥 − 8. O outro número, 35, 
é o resto da divisão. 
 
69 
 
Assim temos que (𝑥2 − 5𝑥 + 11) = (𝑥 + 3). (𝑥 − 8) + 35, o que pode ser facilmente 
verificado. 
 
Exemplo 2: Dividir 𝑝(𝑥) = −𝑥3 − 5𝑥 + 150 por 𝑥 − 5. Neste caso, 𝑎 = 5. Montamos o 
dispositivo da seguinte maneira. 
 
 
Agora efetuamos os cálculos obtendo os coeficientes e o resto. 
 
 
 
Obtivemos os coeficientes −1, −5 e −30 e resto zero. Como dividimos um 
polinômio de grau 3 por um polinômio de grau 1, o quociente será um polinômio de grau 
2. Assim, o primeiro número obtido, −1, é o primeiro coeficiente de um polinômio de grau 
2. O segundo coeficiente será −5 e o terceiro, −30. Logo, o quociente é −𝑥2 − 5𝑥 − 30. 
O outro número, 𝑧𝑒𝑟𝑜, é o resto da divisão. 
Assim temos que (−𝑥3 − 5𝑥 + 150) = (𝑥 − 5). (−𝑥2 − 5𝑥 − 30). 
 
 
70 
 
Se substituirmos 𝑥 por 5 na expressão (𝑥 − 5). (−𝑥2 − 5𝑥 − 30) obtemos zero 
como valor numérico. 
O Teorema de D’Alembert nos diz exatamente isso: 
 
“Um polinômio 𝑓 é divisível por 𝑥 − 𝑎 se, e somente se, 𝑎 é raiz de 𝑓”. 
 
Exemplo 3: Se dividirmos 𝑝(𝑥) = (𝑥2 − 7𝑥 + 17) por (𝑥 − 3) obtemos o quociente (𝑥 − 4) 
e resto 5. 
Dessa maneira temos que 𝑝(𝑥) = (𝑥2 − 7𝑥 + 17) = (𝑥 − 3). (𝑥 − 4) + 5. Conforme o 
Teorema de D’Alembert, o resto 5 corresponde a 𝑝(3) e isso é fácil de verificar. Basta 
calcular 𝑝(3) em 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 3). (𝑥 − 4) + 5. 
Substituindo x por 3, teremos 𝑝(3) = (3 − 3). (3 − 4) + 5 = 5. 
 
Generalizando, se 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑎). 𝑞(𝑥) + 𝑟, teremos: 
𝑝(𝑎) = (𝑎 − 𝑎). 𝑞(𝑎) + 𝑟 = 𝑟, ou seja, 𝑝(𝑎) = 𝑟 
 
Exercício proposto: Determine o quociente e o resto das seguintes divisões de 
polinômios: 
 
1) (2𝑥3 + 12𝑥 − 7): (𝑥 + 1) 
2) (𝑥4 − 7𝑥3 + 5𝑥 − 1): (𝑥 + 5) 
3) (2𝑥5 − 𝑥4 − 2𝑥3 + 8𝑥 − 13): (𝑥 − 3) 
4) (𝑥5 − 𝑥4 − 𝑥3 + 2𝑥 − 1): (𝑥 − 2) 
 
 
71 
 
 LIMITES 
Nesta aula, abordaremos o conceito de limite, de importância central ao estudo 
das derivadas e das integrais, objetos de estudo ao longo do nosso curso. 
No cotidiano, usamos a palavra limite para nos referir a algo que podemos atingir, 
mas não podemos superar ou ultrapassar. Na Matemática, o limite tem um significado 
parecido, quase idêntico ao do cotidiano. A diferença é que na Matemática o limite é algo 
que não se pode alcançar e, tampouco, ultrapassar. Vejamos como isso funciona 
matematicamente com uma abordagem intuitiva deste conceito. 
Consideremos a função dada por 𝑓(𝑥) =
𝑥2−9
𝑥−3
 e vamos analisar seu 
comportamento numérica e graficamente. 
Se atribuirmos valores a 𝑥 e determinarmos suas respectivas imagens, obteremos 
a seguinte tabela de pares ordenados: 
 
 
Ao que parece, os valores de 𝑓(𝑥) são 3 unidades maiores que os valores de 𝑥. 
Em outras palavras, esta tabela seria a mesma se a função fosse dada por 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3. 
Assim, se 𝑥 = 3, deveríamos ter 𝑓(𝑥) = 6, mas não é isso que ocorre! Por quê? 
 
72 
 
Vejamos, em 𝑓(𝑥) =
𝑥2−9
𝑥−3
 não podemos atribuir a 𝑥 o valor 3 já que não podemos 
ter denominador zero. Em outras palavras, dizemos que 3 não pertence ao domínio de 𝑓 
ou que 𝑓 não está definida para 𝑥 = 3. Sendo assim, a função definida por 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3 
não é exatamente a mesma que 𝑓(𝑥) =
𝑥2−9
𝑥−3
. E por que os valores da tabela são os 
mesmos, exceto para 𝑥 = 3? 
Para responder a essa pergunta, basta verificarmos que 
𝑥2−9
𝑥−3
=
(𝑥+3).(𝑥−3)
𝑥−3
 e, para 
qualquer 𝑥 que não seja 3, 
(𝑥+3).(𝑥−3)
𝑥−3
= 𝑥 + 3 (basta cancelar o fator 𝑥 − 3). 
Voltando ao comportamento numérico de 𝑓(𝑥) =
𝑥2−9
𝑥−3
 e, sabendo que ela não está 
definida para 𝑥 = 3, quais são os valores de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 se aproxima indefinidamente 
de 3? 
Podemos apelar para outra tabela, com valores de 𝑥 cada vez mais próximos de 
3. Primeiro, pela esquerda, ou seja, indo de 2 para 3, por exemplo. 
 
 
 
 
 
73 
 
Agora pela direita, indo de 4 para 3. 
 
 
 
Observando estes valores, parece que ao aproximarmo-nos de 3, os valores de 
𝑓(𝑥) se aproximam de 6. Se isto se confirmar, diremos que o limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 
tende a 3 é 6 ou escreveremos lim
𝑥→3
𝑥2−9
𝑥−3
= 6. 
Para confirmar que 6 é mesmo o limite procurado, voltemos à álgebra e, em 
seguida, veremos que o comportamento gráfico da função nos indica qual é esse limite. 
Conforme vimos, para valores de 𝑥 diferentes de 3 , 
(𝑥+3).(𝑥−3)
𝑥−3
= 𝑥 + 3. Assim, 
podemos escrever lim
𝑥→3
𝑥2−9
𝑥−3
= lim
𝑥→3
(𝑥+3).(𝑥−3)
𝑥−3
= lim
𝑥→3
𝑥 + 3 = 3 + 3 = 6. Observe que 
podemos cancelar o fator 𝑥 − 3 porque ele não é nulo, já que quando estamos calculando 
o limite quando 𝑥 tende a 3, está implícito que 𝑥 não vale 3, apenas se aproxima de 3. O 
gráfico de 𝑓, como era de se esperar, é o mesmo de 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3, apenas diferindo 
quando 𝑥 = 3 onde 𝑓 não está definida. Portanto, o gráfico de 𝑓 é: 
 
 
74 
 
 
 
Vejamos alguns exemplos de cálculo de limites: 
 
Exemplo 1: Calcule lim
𝑥→−1
𝑥2−1
𝑥+1
. 
Inicialmente, é importante verificar se a função está definida para o valor indicado 
no limite. Substituindo 𝑥 por −1 na função temos 
𝑥2−1
𝑥+1
=
(−1)2−1
−1+1
=
0
0
 que é uma 
indeterminação. Quando isso ocorre, precisamos eliminar a indeterminação para calcular 
o limite procurado. Lembrando que 𝑥2 − 1 = (𝑥− 1). (𝑥 + 1), temos: 
 
lim
𝑥→−1
𝑥2 − 1
𝑥 + 1
= lim
𝑥→−1
(𝑥 − 1). (𝑥 + 1)
𝑥 + 1
= lim
𝑥→−1
𝑥 − 1 = −1 − 1 = −2 
 
 
 
 
 
75 
 
Exemplo 2: Calcule lim
𝑥→2
𝑥2−1
𝑥+2
. 
Substituindo 𝑥 por 2 na função temos 
𝑥2−1
𝑥+2
=
22−1
2+2
=
3
4
. Neste caso, não há 
indeterminação e o limite procurado é 
3
4
. 
 
Exemplo 3: Calcule lim
𝑥→9
√𝑥−3
𝑥−9
. 
Substituindo 𝑥 por 9 na função temos 
√𝑥−3
𝑥−9
=
√9−3
9−9
=
0
0
, ou seja, uma 
indeterminação. Para eliminar a indeterminação e calcular o limite vamos racionalizar o 
numerador da fração, lembrando que, para racionalizar uma expressão do tipo √𝑥 − 𝑎 
devemos multiplica-la por √𝑥 + 𝑎, já que (√𝑥 − 𝑎). (√𝑥 + 𝑎) = 𝑥 − 𝑎2. 
 
 
 
 
 
 
lim
𝑥→9
√𝑥 − 3
𝑥 − 9
= lim
𝑥→9
√𝑥 − 3
𝑥 − 9
.
√𝑥 + 3
√𝑥 + 3
= lim
𝑥→9
𝑥 − 9
(𝑥 − 9). (√𝑥 + 3)
= lim
𝑥→9
1
√𝑥 + 3
=
1
√9 + 3
=
1
6
 
 
Exemplo 4: Calcule lim
𝑥→2
𝑥3−8
3𝑥−6
. 
Substituindo 𝑥 por 2 na função temos 
𝑥3−8
3𝑥−6
=
23−8
3.2−6
=
0
0
 que é uma indeterminação. 
Para eliminá-la, vamos fatorar o numerador e o denominador da fração. 
Recordemos que 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏). (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) (Diferença de cubos). Assim, 
temos: 
 
A propriedade que está por trás deste artifício é a 
do produto da soma pela diferença de dois termos 
que é igual ao quadrado do primeiro menos o 
quadrado do segundo. 
 
 
76 
 
lim
𝑥→2
𝑥3−8
3𝑥−6
= lim
𝑥→2
𝑥3−23
3𝑥−6
= lim
𝑥→2
(𝑥−2).(𝑥2+2𝑥+22)
3.(𝑥−2)
= lim
𝑥→2
𝑥2+2𝑥+4
3
=
22+2.2+4
3
= 4 
 
Para este exemplo, poderíamos também usar o dispositivo prático de Briot Rufinni 
e dividir 𝑥3 − 8 por 𝑥 − 2, obtendo 𝑥2 + 2𝑥 + 4, ao invés de usar a fatoração da diferença 
de cubos. 
 
 Propriedades dos limites 
No cálculo de limites, é importante sabermos suas propriedades. Listamos a seguir 
algumas delas: 
 
(I) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) + lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
 
(II) lim
𝑥→𝑎
𝑘. 𝑓(𝑥) = 𝑘. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 
 
(III) lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) . lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) 
 
(IV) lim
𝑥→𝑎
[
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
] =
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
, (lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0) 
 
(V) lim
𝑥→𝑎
𝑘 = 𝑘 
 
Estas propriedades são válidas se existirem os limites lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) e sendo 
𝑘 um número real. 
 
Exemplo 5: Vimos no Exemplo 2 que lim
𝑥→2
𝑥2−1
𝑥+2
=
3
4
 e no Exemplo 4 vimos que lim
𝑥→2
𝑥3−8
3𝑥−6
=
4. Assim, pela propriedade (I), lim
𝑥→2
𝑥2−1
𝑥+2
+
𝑥3−8
3𝑥−6
=
3
4
+ 4 =
19
4
. 
 
 
77 
 
Exemplo 6: Vimos no Exemplo 1 que lim
𝑥→−1
𝑥2−1
𝑥+1
= −2. Então, pela propriedade (II), 
lim
𝑥→−1
5. (
𝑥2−1
𝑥+1
) = 5. lim
𝑥→−1
𝑥2−1
𝑥+1
= 5. (−2) = − 10. 
 
Exemplo 7: Como lim
𝑥→2
𝑥2−1
𝑥+2
=
3
4
 e lim
𝑥→2
𝑥3−8
3𝑥−6
= 4. Então, pela propriedade (III), 
lim
𝑥→2
𝑥2−1
𝑥+2
.
𝑥3−8
3𝑥−6
= lim
𝑥→2
𝑥2−1
𝑥+2
. lim
𝑥→2
𝑥3−8
3𝑥−6
=
3
4
. 4 = 3 e pela propriedade (IV), lim
𝑥→2
[
𝑥2−1
𝑥+2
𝑥3−8
3𝑥−6
] =
3
4
4
=
3
16
. 
 
Exercícios Propostos: 
 
1) Calcule lim
𝑥→−2
𝑥2−4
𝑥+2
. 
 
2) Calcule lim
𝑥→3
𝑥2−2
𝑥+3
. 
 
3) Calcule lim
𝑥→1
√𝑥−1
𝑥−1
. 
 
4) Calcule lim
𝑥→3
𝑥3−27
3𝑥−9
. 
 
5) Seja a função 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = {
𝑥2 − 4, 𝑥 ≤ 2
1, 𝑥 > 2
 determine, se existir, lim
𝑥→2
𝑓(𝑥). 
 
6) Seja a função 𝑔 definida por 𝑔(𝑥) = {
𝑥2 − 5𝑥, 𝑥 ≤ 7
2𝑥, 𝑥 > 7
 determine, se existir, lim
𝑥→7
𝑔(𝑥). 
 
78 
 
 LIMITES LATERAIS E CONTINUIDADE 
Ao considerarmos lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥), estávamos interessados no comportamento da função 
nos valores próximos de a. Entretanto, o comportamento de algumas funções, quando 𝑥 
está próximo de a, mas assume valores menores que a, é diferente do comportamento 
da mesma função, quando 𝑥 está próximo de a assumindo valores maiores que a. 
 
Exemplo 1: Consideremos a função 𝑣(𝑡) = 2𝑡 + 5 que representa a velocidade (em m/s) 
de um veículo em função do tempo (em segundos). Podemos estar interessados em 
saber se, quando nos aproximamos do instante 𝑡 = 2 ,por exemplo, a velocidade do 
veículo estará próxima daquela que o veículo apresentava quando 𝑡 = 1,9 ou, ainda, 
quando 𝑡 = 2,1 o veículo apresentará velocidade próxima daquela que apresentava 
quando 𝑡 = 2. 
De acordo com o gráfico da função vemos que, quando t se aproxima de 2 
segundos pela esquerda (ou seja, assumindo valores menores que 2), a velocidade do 
móvel aproxima-se de v (2) = 2.2 + 5 = 9 m/s, assumindo valores menores que 9 m/s. 
 
 
Em símbolos matemáticos escrevemos: 
 
 
79 
 
lim
𝑡→2−
𝑣(𝑡) = 9 
Dizemos que o limite lateral à esquerda de 𝑣(𝑡) quando 𝑡 tende a 2 é 9. Por outro 
lado, quando 𝑡 se aproxima de 2 segundos pela direita (ou seja, assumindo valores 
maiores que 2) a velocidade se aproxima de 𝑣(2) = 2.2 + 5 = 9 𝑚/𝑠, assumindo valores 
maiores que 9 𝑚/𝑠. Simbolicamente escrevemos: 
lim
𝑡→2+
𝑣(𝑡) = 9 
Dizemos que o limite lateral direito de 𝑣(𝑡) quando 𝑡 tende a 2 é 9. Como os limites 
laterais coincidem, podemos dizer então que lim
𝑡→2
𝑣(𝑡) = 9 . 
 
Exemplo 2: Seja a função 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = {
𝑥2, 𝑥 ≤ 2
5, 𝑥 > 2
. Observemos que neste caso 
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 4 e que lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 5. De onde vêm esses valores? Vejamos, se 𝑥 tende a 2 
pela esquerda, então 𝑥 < 2 e, portanto, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 = 22 = 4. E se 𝑥 tende a 2 pela direita, 
então 𝑥 > 2 e, portanto, 𝑓(𝑥) = 5. 
Como os limites laterais são diferentes, dizemos que lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) não existe. 
 
Exemplo 3: Agora seja 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = {
𝑥2, 𝑥 ≤ 2
4, 𝑥 > 2
. Neste caso, lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = 4 e 
lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = 4 então podemos dizer que lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 4. 
 
 Continuidade: 
Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo aberto I e 𝑎 um elemento de I. Dizemos 
que 𝑓 é contínua em 𝑎, se lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). Para se falar em continuidade de uma 
função em um ponto é necessário que este ponto pertença ao domínio da função. Da 
definição decorre que se 𝑓 é contínua em 𝑎 então as três condições deverão ser 
satisfeitas: 
 
80 
 
I) existe 𝑓(𝑎) 
 
II) existe lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 
 
III) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 
 
Definição: Seja 𝑓 uma função definida em um intervalo aberto I e 𝑎 um elemento de I. 
Dizemos que 𝑓 é descontínua em 𝑎 se 𝑓 não for contínua em 𝑎. 
Observa-se também que quando falamos em descontinuidade de uma função em um 
ponto, é necessário que este ponto pertença ao domínio da função. Da definição decorre 
que se 𝑓 é descontínua em 𝑎, então as duas condições abaixo deverão ser satisfeitas: 
 
I) existe 𝑓(𝑎) 
 
II) não existe lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ou lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑎) 
 
Definição: Diz-se que uma função 𝑓 é contínua em um intervalo aberto se for contínua 
em todos os pontos desse intervalo. 
 
Definição: Seja 𝑎 um ponto do domínio de 𝑓. Diz-se que 𝑓 é contínua à direita de 𝑎 se 
lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). Analogamente se define a continuidade à esquerda de 𝑎. 
 
Definição: Diz-se que uma função 𝑓 é contínua em um intervalo fechado [𝑎, 𝑏] se f for 
contínua no intervalo aberto] a, b[ e se também for contínua em 𝑎, à esquerda, e em 𝑏, à 
direita. 
 
 
81 
 
 Propriedades das Funções Contínuas 
Se as funções 𝑓 e 𝑔 são contínuas em um ponto 𝑎, então se pode afirmar que: 
 
I) 𝑓 ± 𝑔 é contínua em 𝑎; 
 
II) 𝑓𝑔 é contínua em 𝑎; 
 
III) 
𝑓
𝑔
 é contínua em 𝑎, desde que 𝑔(𝑎) ≠ 0. 
 
 Proposição 
a) Uma função polinomial é contínua para todo 𝑥 real. 
b) Uma função racional é contínua em todos os pontos de seu domínio; 
c) As funções trigonométricas 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e cos(𝑥) são contínuas para todo 𝑥 real. 
d) As funções exponenciais são contínuas para todo 𝑥 real. 
 
Exemplo 4: Avaliar a continuidade das funções dadas a seguir: 
 
𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥−1
 𝑔(𝑥) = {
𝑥2−1
𝑥−1
 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1
1 𝑠𝑒 𝑥 = 1
 
 
No caso de 𝑓 a função não é contínuapois não está definida para 𝑥 = 1. A função 
𝑔 está definida para qualquer número real, mas lim
𝑥→1
𝑔(𝑥) ≠ 𝑔(1) já que lim
𝑥→1
𝑔(𝑥) = 2 e 
𝑔(1) = 1. 
 
 
 
 
 
 
82 
 
Exercícios propostos: 
1) Calcule, se existir, lim
𝑥→3
𝑓(𝑥), sendo 𝑓(𝑥) = {
𝑥2, 𝑥 ≤ 3
5, 𝑥 > 3
. 
 
2) Calcule, se existir, lim
𝑥→−3
𝑓(𝑥), sendo 𝑓(𝑥) = {
𝑥2, 𝑥 ≤ −3
9, 𝑥 > −3
. 
 
3) Calcule, se existir, lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→5
𝑓(𝑥), sendo 𝑓(𝑥) = {
−3𝑥 + 1, 𝑥 < 0
𝑥2 + 1, 0 ≤ 𝑥 < 5
4𝑥 + 6, 𝑥 ≥ 5
. 
 
4) Dada a função 𝑓(𝑥) = 10 + √𝑥2 − 4, com 𝑥 ≤ −2 ou 𝑥 ≥ 2, determinar, se 
possível, lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥). 
 
5) Considere a função dada 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6. Determine, se existirem, lim
𝑥→4+
𝑓(𝑥), 
lim
𝑥→4−
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→4
𝑓(𝑥). 
 
6) Classifique as funções em contínuas ou descontínuas. 
 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5 
 
b) 𝑦 = −𝑥2 + 7𝑥 
 
c) 𝑓(𝑥) = {
−3 𝑠𝑒 𝑥 < 6
3 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 6
𝑓(𝑥) = {𝑥
2 + 𝑥 + 5 𝑠𝑒 𝑥 < 2
5𝑥 + 1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
 
 
 
 
83 
 
7) Utilize as propriedades para justificar a continuidade das funções seguintes: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 7𝑥5 − 2𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 − 2 
 
b) 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). cos(𝑥) . 5𝑥 
 LIMITES INFINITOS E NO INFINITO 
Em alguns casos, quando calculamos o limite de uma função, estes não resultam 
em um número, pois a função em jogo cresce ou decresce indefinidamente. Em outras 
palavras, se quando 𝑥 se aproxima de 𝑎 (𝑥 → 𝑎) tiver 𝑓(𝑥) crescendo ou decrescendo 
indefinidamente, diremos que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = +∞ ou lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = −∞, respectivamente. 
Tomemos dois exemplos. 
Exemplo 1: Considere a função dada por 𝑓(𝑥) =
1
𝑥−3
 e determine lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥). 
 
Se 𝑥 tende a 3 pela direita, então 𝑥 − 3 se aproxima de zero por valores positivos. 
 
Logo, o quociente 
1
𝑥−3
 cresce indefinidamente. Dizemos, então, que lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) = +∞. 
Se 𝑥 tende a 3 pela esquerda, então 𝑥 − 3 se aproxima de zero por valores negativos. 
Logo, 
1
𝑥−3
 decresce indefinidamente. Dizemos, então, que lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = −∞. 
 
Em termos informais, se o numerador é um número positivo e o denominador se 
aproxima de zero, o resultado será um número cada vez maior (em módulo), ou seja, um 
número muito grande, positivo ou negativo. Então, 1 dividido por um número positivo 
muito pequeno resulta em um número positivo muito grande, ao passo que 1 dividido por 
um número negativo muito pequeno resulta em um número negativo muito grande. Note 
 
84 
 
que o fato de o numerador ser 1 não difere, neste caso, dele ser qualquer outro número 
real, já que quando o denominador tende a zero, o resultado da divisão tende a infinito. 
 
Exemplo 2: Considere a função dada por 𝑓(𝑥) =
5
𝑥2
 e determine lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥). 
 
Se 𝑥 tende a 0 pela direita, então 𝑥2 se aproxima de zero por valores positivos. 
 
Logo, o quociente 
5
𝑥2
 cresce indefinidamente. Dizemos, então, que lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = +∞. 
 
Se 𝑥 tende a 0 pela esquerda, então 𝑥2 se aproxima de zero também por valores 
negativos. Logo, o quociente 
5
𝑥2
 cresce indefinidamente. Dizemos, então, que lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) =
+∞. 
 
No Exemplo 1, temos que lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥). Neste caso, dizemos que não 
existe lim
𝑥→3
𝑓(𝑥). Já no exemplo 2, temos lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥). Portanto, dizemos que 
lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = +∞. 
 
 Limites no infinito: 
Existem limites de determinadas funções que ao serem resolvidos, obtém-se como 
resultado uma das expressões a seguir, 
 
0
0
,
∞
∞
, ∞ − ∞, 0. ∞, 00, ∞0, 1∞ 
 
Costuma-se dizer que estas expressões são indeterminadas, ou seja, 
correspondem a símbolos de indeterminação. Para a resolução de limites que 
 
85 
 
apresentam como solução os símbolos acima, é necessário que se faça uso de artifícios 
algébricos, o que veremos agora. 
Consideremos que a temperatura de um objeto em função do tempo seja dada por 
𝑓(𝑡). Se estivermos interessados em estudar o comportamento da temperatura do objeto 
quando esperamos um tempo suficientemente longo traduzimos isto matematicamente 
como: 
lim
𝑡→∞
𝑓(𝑡) 
 
Também podemos imaginar que uma função 𝑔 represente a concentração de um 
medicamento introduzido por via endovenosa no sangue de um paciente. Suponha que 
estejamos interessados em estudar esta concentração após um tempo muito grande. 
Matematicamente estamos interessados no limite 
lim
𝑡→∞
𝑔(𝑡) 
 
Exemplo 3: Seja 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
+ 3, vamos calcular lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥). Observemos que, para valores 
de 𝑥 cada vez maiores (tendendo ao infinito), a expressão 
1
𝑥2
 assume valores cada vez 
menores (tendendo a zero). 
 
lim
𝑥→∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→∞
1
𝑥2
+ 3 = lim
𝑥→∞
1
𝑥2
+ lim
𝑥→∞
3 = 0 + 3 = 3 
 
O gráfico de 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
+ 3 evidencia o resultado encontrado. 
 
86 
 
 
 
Conforme 𝑥 aumenta indefinidamente, o gráfico de 𝑓 se aproxima da reta 𝑦 = 3 
sem nunca a intersectar. O comportamento numérico da função, mostrado na tabela a 
seguir, também nos indica que 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2
+ 3 = 3. 
 
 
 
Observemos que, à medida que 𝑥 tende ao infinito (assume valores cada vez 
maiores), o limite de 𝑓(𝑥) vai ficando arbitrariamente próximo de 3 (mas com valores 
estritamente maiores que três). 
A reta 𝑦 = 3 é denominada assíntota horizontal. 
 
 
 
 
87 
 
Exemplo 4: Calcular lim
𝑥→4
3𝑥2−17𝑥+20
4𝑥2−25𝑥+36
. 
 
Substituindo o valor de 𝑥 por 4, obtém-se a indeterminação 
0
0
, assim, para que o 
limite acima possa ser resolvido, é necessário dividir o numerador e o denominador por 
𝑥 − 4, ou seja, efetua-se a divisão de polinômios. 
 
lim
𝑥→4
3𝑥2−17𝑥+20
4𝑥2−25𝑥+36
= lim
𝑥→4
3𝑥2−17𝑥+20
𝑥−4
4𝑥2−25𝑥+36
𝑥−4
= lim
𝑥→4
3𝑥−5
4𝑥−9
=
3.4−5
4.4−9
= 1 
 
Exemplo 5: lim
𝑥→0
√16+2𝑥−4
𝑥
. 
Substituindo 𝑥 por zero, obtém-se a indeterminação 
0
0
. Para eliminar esta 
indeterminação, vamos racionalizar o numerador multiplicando-o por seu conjugado, ou 
seja, √16 + 2𝑥 + 4. 
lim
𝑥→0
√16+2𝑥−4
𝑥
= lim
𝑥→0
√16+2𝑥−4
𝑥
.
√16+2𝑥+4
√16+2𝑥+4
= lim
𝑥→0
(√16+2𝑥)
2
−42
𝑥.(√16+2𝑥+4)
= 
lim
𝑥→0
16+2𝑥−16
𝑥.(√16+2𝑥+4)
= lim
𝑥→0
2𝑥
𝑥.(√16+2𝑥+4)
= lim
𝑥→0
2
√16+2𝑥+4
=
2
√16+2.0+4
=
2
8
=
1
4
 
 
Exemplo 6: Determinar lim
𝑥→∞
4𝑥2−2
𝑥+4
. 
Substituindo 𝑥 por ∞, obtém-se a indeterminação 
∞
∞
. Neste caso, como temos 
polinômios, podemos “colocar em evidência” a maior das potências, no caso 𝑥2, tanto no 
numerador quanto no denominador. 
Assim, lim
𝑥→∞
4𝑥2−2
𝑥+4
= lim
𝑥→∞
𝑥2(4−
2
𝑥2
)
𝑥2(
1
𝑥
+
4
𝑥2
)
= lim
𝑥→∞
(4−
2
𝑥2
)
(
1
𝑥
+
4
𝑥2
)
. Chegamos, então, a uma fração onde 
o numerador tende a 4 (pois 
2
𝑥2
 tende a zero) e denominador tendendo a zero. Portanto, 
lim
𝑥→∞
4𝑥2−2
𝑥+4
= ∞. 
 
88 
 
Também poderíamos usar um procedimento prático, considerando apenas a maior 
potência do numerador, no caso 𝑥2 e a maior do denominador, no caso 𝑥, desprezando 
os demais termos. Assim, ficaríamos com lim
𝑥→∞
4𝑥2
𝑥
= lim
𝑥→∞
4𝑥 = 4. ∞ = ∞. 
 
Exercícios Propostos: 
 
1) Considerando os gráficos abaixo estime os valores de lim
𝑥→𝑥0
−
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→𝑥0
+
𝑓(𝑥) para cada 
𝑥0 dado. 
 
a) 𝑥0 = 2 b) 𝑥0 = 4 
 
 
 
2) Seja 𝑓(𝑥) =
2
𝑥−5
 e determine lim
𝑥→5+
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→5−
𝑓(𝑥). 
3) Seja 𝑓(𝑥) = −
5
𝑥−4
 e determine lim
𝑥→4+
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→4−
𝑓(𝑥). 
 
4) Seja 𝑓(𝑥) =
7
𝑥2
 e determine lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥). 
 
89 
 
5) Seja 𝑓(𝑥) =
8
𝑥3
 e determine lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥). 
 
6) Seja 𝑓(𝑥) = −
1
𝑥2
 e determine lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) e lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥). 
 
7) Calcular lim
𝑥→5
3𝑥2−22𝑥+35
11𝑥−𝑥2−30
. 
 
8) Calcular lim
𝑥→−3
5𝑥2+6𝑥−27
2𝑥2+2𝑥−12
. 
 
9) Calcule lim
𝑥→0
√9+𝑥−3
𝑥
. 
 
10) Calcule lim
𝑥→1
√14+2𝑥−4
𝑥−1
. 
 RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS DA AULA 09 ATÉ 12 
Exercícios