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UFRN – DCA Processamento Digital de Sinais Aula 09 Projeto de Filtros IIR Prof. Felipe Silveira Sumário • Técnicas de Projeto • Filtros IIR • Projeto de Filtros IIR: ▫ Método da Transformação Bilinear ▫ Método por Invariância ao Impulso Técnicas de Projeto • Em geral, o projeto de filtros digitais envolve cinco passos: ▫ Especificação ▫ Cálculo dos coeficientes ▫ Realização ▫ Análise dos efeitos de quantização ▫ Implementação Especificação • Filtro passa-baixa: Filtros IIR • Os filtros IIR são caracterizados pela seguinte função de transferência: • Objetivo: Encontrar os coeficientes (ak, bk) e os parâmetros da ordem (N, M) do sistema de tal forma que a resposta resultante aproxime a desejada. € H(z) = B(z)A(z) = bkz−k k=0 M ∑ 1+ akz−k k=1 N ∑ € H(ω) = H(z) z=e jω € H(ω) ≈ Hd (ω ) Projeto de Filtros IIR • Existem várias abordagens para o projeto de filtros IIR • Abordagem adotada: ▫ Projeta-se um filtro analógico que atende aos requisitos desejados ▫ Projeta-se o filtro digital a partir desse filtro analógico através de transformações apropriadas Transformação Bilinear Transformação por Invariância ao Impulso Filtro Analógico • Aproximação de Butterworth: ▫ Uma função de Butterworth de ordem N é definida por: Filtro Analógico • Filtro de Butterworth ▫ Função de Transferência ▫ Os pólos são uniformemente espaçados no círculo de raio no plano s, sendo obtidos por: ▫ Apenas os N pólos sk no semi-plano esquerdo são escolhidos. Filtro de Butterworth Transformações de Freqüência • Chama-se protótipo passa-baixas um filtro passa- -baixa com freqüência de corte normalizada para 1. • O filtro protótipo passa-baixa pode ser convertido em outros tipos de filtro por meio das transformações: ▫ : Protótipo para passa - baixa com corte ▫ : Protótipo para passa - alta com corte ▫ : Protótipo para passa-faixa simétrico é a freqüência central e B é a largura da faixa de passag. Método da Transformação Bilinear • Seja um filtro definido por Hd(s). • O filtro digital correspondente é obtido aplicando-se a transformação bilinear, ou seja: Em que e T é o período de amostragem. Método da Transformação Bilinear • A transformação bilinear impõe uma relação não-linear entre a freqüência analógica e a freqüência digital , dada por: • Essa distorção é conhecida como warping. • Antes do projeto do filtro analógico, deve-se aplicar o pré-warping: Em que é a especificação desejada para o filtro digital Método da Invariância ao Impulso • A resposta ao impulso de um filtro digital é obtida amostrando-se a resposta ao impulso do filtro analógico que se quer aproximar, ou seja: • No domínio da freqüência, esse processo de amostragem pode ser visto como segue: em que • Aliasing na técnica de projeto por invariância ao impulso d 1/T Método da Invariância ao Impulso • Desde que não exista aliasing, a resposta em freqüência pode ser aproximada por: ▫ A função de transferência analógica deve ser monotonicamente decrescente nas altas freqüências! • Observe que a resposta do sistema discreto é a mesma do sistema analógico a menos de uma constante. Método da Invariância ao Impulso • Passos do Projeto: 1. Dada a especificação para o filtro digital , deve-se encontrar a especificação para o filtro de aproximação fazendo: 2. Projetar o filtro de aproximação com a especificação desejada 3. Transformar o filtro analógico em um filtro discreto por amostragem, como segue: Método da Invariância ao Impulso 3. Transformação do filtro analógico em um filtro discreto: ▫ Utilizando o método de frações parciais, encontra-se ▫ A transformação inversa de Laplace produz: ▫ A resposta h[n] é obtida por amostragem: Método da Invariância ao Impulso • Logo H(z) é dado por: • Observe neste ponto que não é necessário se calcular todos esses passos! ▫ Basta conhecer Ak e sk para se encontrar H(z) Resumo da Aula • Definição de filtros seletivos em freqüência; • Classificação dos filtros digitais em FIR e IIR; • Transformações na freqüência de filtros analógicos • Estudo do método de transformação de filtros analógicos em filtros IIR digitais ▫ Transformação Bilinear ▫ Invariância ao Impulso Bibliografia • Diniz, P. S. et al., Processamento Digital de Sinais: Projeto e Análise de Sistemas, ed. Bookman, 2004. • Oppenheim, A. V., et al., Discrete-Time Signal Processing, ed. Prentice-Hall, 1998. • Proakis, J., Manolakis, D., Digital Signal Processing, ed. Prentice-Hall, 1996.
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