Trabalho Cálculo Numérico Resolução de problemas de EDO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS - UFAM 
INSTITUTO DE COMPUTAÇÃO - ICOMP 
FACULDADE DE TECNOLOGIA - FT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE PESQUISA – CÁLCULO NUMÉRICO 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 
 
GABRIELA BAPTISTA DA SILVA (21457433) 
IGOR MORAES BEZERRA CALIXTO (21456321) 
LUCAS RONDON FONSECA SILVA (21354348) 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS (AMAZONAS) 
2015/3 
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS 
INSTITUTO DE COMPUTAÇÃO - ICOMP 
FACULDADE DE TECNOLOGIA - FT 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO DE PESQUISA – CÁLCULO NUMÉRICO 
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MANAUS (AMAZONAS) 
2015/3 
Relatório de Pesquisa, da disciplina de 
Cálculo Numérico, sobre Equações 
Diferenciais Ordinárias, orientada pelo 
professor Alexandre Passito Queiroz, 
com o intuito de obter conhecimentos da 
resolução de métodos numéricos em 
aplicativos computacionais aplicados ao 
curso de graduação dos discentes – 
Engenharia Química. 
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SUMÁRIO 
1.Resumo...............................................................................................................................................4 
2.Introdução...........................................................................................................................................5 
3.Objetivos da pesquisa.........................................................................................................................5 
4. Revisão Bibliográfica........................................................................................................................6 
 4.1.Equações Diferenciais Ordinárias..............................................................................................6 
 4.2.Uso do software Matlab para resolução de problemas numéricos.............................................8 
 4.3.Mistura de Soluções...................................................................................................................8 
 4.4.Datação de fósseis por carbono-14...........................................................................................10 
 4.5. Lei de resfriamento de Newton................................................................................................12 
5.Considerações Finais.........................................................................................................................13 
6.Referências Bibliográficas.................................................................................................................15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. Resumo 
 Neste relatório técnico de pesquisa de Cálculo Numérico, devemos buscar aplicações de Equações 
Diferenciais Ordinárias, um dos mais importantes métodos numéricos de resolução, ao curso de Engenharia 
Química. Basicamente, sabe-se que este ramo de estudo da Matemática é extremamente diversificado e 
interdisciplinar e por isso existem diversas aplicações que são introduzidas aos cursos de graduação da maioria 
das engenharias existentes atualmente. Apresentaremos as equações diferenciais lineares de primeira ordem e 
mostraremos como elas podem ser essenciais em diversos problemas de ordem química. Além disso, é preciso 
entender que existem diversas ferramentas computacionais que contribuem para a resolução de problemas de 
ordem matemática, além de fornecer gráficos e informações mais específicas do problema. Assim, deve-se 
mostrar algum desses softwares que podem colaborar para o trabalho do acadêmico quanto à possibilidade de 
resolver problemas da ordem de cálculo numérico aplicados à Engenharia Química. Por fim, mostrar os 
problemas escolhidos sendo resolvidos por este aplicativo e demonstrar como se pode resolver este problema 
apenas utilizando linguagem computacional, que obviamente além de ser uma ferramenta importante, 
contribui para a evolução dos estudos acadêmicos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Introdução 
 O estudo das Equações Diferenciais Ordinárias iniciou com os primórdios do desenvolvimento de cálculo, 
com a colaboração de Newton e Leibtniz, ainda no final do século XVII, motivados por problemas físicos. Já 
no final do século XVIII, a teoria das Equações Diferenciais se transformou em uma das ferramentas mais 
essenciais e eficazes para pesquisa científica e tecnológica. As contribuições de Euler, Lagrange, Laplace e 
outros foram decisivos no desenvolvimento do Cálculo das Variações, Mecânica Celeste, Teoria das 
Oscilações, Elasticidade, Dinâmica de Fluidos e outros ramos de estudo. 
 A maioria dos postulados da Física, Biologia, Química e Ciências Sociais encontram suas expressões 
naturais nas Equações Diferenciais. A preocupação dominante desde aquela época até meados do século XIX 
era a obtenção de soluções das equações em forma explícitas. Inicialmente, procurava-se expressar as soluções 
em termos de funções elementares, um dos métodos mais usados era procurar reduzir o problema de obtenção 
da solução ao cálculo de primitivas. Entretanto, logo se verificou que o número de equações que podiam ser 
resolvidas em termos de funções elementares era muito pequeno. 
 Essa constatação gerou a busca de novos métodos e surgiu assim, no século XIX, o uso das séries de 
funções. Esse método surge dentro do estudo das Equações Diferenciais Parciais, em cuja resolução aparecem 
Equações Diferenciais Ordinárias. O rigor que a análise ganhava no decorrer do século XIX começou a pôr 
em dúvida certos métodos onde às operações com séries eram feitas um tanto descuidadamente. Foi nesta fase 
que surgiu os Teoremas de Existência e Unicidade, a importância desses teoremas reside em que, sabendo-se 
a priori da existência de solução, sua busca através de processos informais se torna justificável e promissor. 
Os teoremas de existência e unicidade marcam, por assim dizer, o início da fase moderna, que se define com 
Poincaré, no final do século XIX. 
 Relacionado ao estudo das Equações Diferenciais Ordinárias, vamos mostrar que os modelos matemáticos 
e computacionais tem demonstrado sua potencialidade de previsão ao longo dos anos em diversas áreas. A 
partir das diversas aplicações que existem nas áreas de engenharia, deve-se mostrar nas próximas seções que 
que alguns problemas importantes podem ser resolvidas por EDO para o curso de Engenharia Química. 
 
3. Objetivos da Pesquisa. 
Objetivos Gerais: Buscar problemas típicos de Equações Diferenciais Ordinárias para aplicações na área de 
Engenharia Química e através disso, resolvê-los por programas computacionais. 
Objetivos Específicos: 
 Mostrar a resolução do problema pela ferramenta computacional; 
 Entender os conceitos e como se utilizam as Equações Diferenciais de Primeira Ordem; 
 Demonstrar que a utilização de programas computacionais é extremamente importante para o trabalho 
profissional de engenheiros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.Revisão Bibliográfica. 
4.1.Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem; 
- Histórico: 
 As Equações Diferenciais começaram com o estudo de Isaac Newton e Gottfreied W.Leibniz no século 
XVII. Newton atuou relativamente pouco na área das equações diferenciais, mas o desenvolvimento do 
cálculo e elucidação dos princípios básicos da mecânicaforneceram a base para a aplicação das equações 
diferenciais no século XVIII especialmente por Euler. Newton desenvolveu um método para resolver a 
equação de primeira ordem dy/dx=f(x,y) no caso em que f(x,y) é um polinômio em x e y usando séries 
infinitas. 
 Outro que trouxe contribuições para as equações diferenciais foi o Leibniz, que foi um autodidata em 
matemática. Ele compreendia o poder de uma boa notação matemática assim como o sinal de integral. 
Também descobriu o método de separação das variáveis para as equações dy/dx=P(y)/Q(x). Em 1961, 
verificou a redução de equações homogêneas a equações separáveis e o procedimento para resolver equações 
lineares de primeira ordem. 
 Ao redor do início do século XVIII, a nova onda de pesquisadores de equações diferenciais começou a 
aplicar estes tipos de equações a problemas de astronomia e ciências físicas. Jakob Bernoulli, que foi o 
primeiro a descrever a palavra “integral” no sentido moderno, estudou e descreveu equações diferenciais para 
o movimento planetário, utilizando os princípios desenvolvidos por Newton. Outro grande estudioso chamado 
Halley utilizou os mesmos princípios para calcular a trajetória de um cometa que hoje leva o seu nome. O 
irmão de Jakob, Johann Bernoulli, foi, provavelmente, o primeiro matemático a entender o cálculo de Leibniz 
e os princípios da mecânica para modelar matematicamente fenômenos físicos utilizando equações 
diferenciais e a encontrar suas soluções. Entretanto, cinquenta anos de teoria geral trouxeram significativos 
avanços, mas não uma teoria geral. 
 O desenvolvimento das equações diferenciais precisava de um mestre para consolidar e generalizar os 
métodos existentes. Muitas equações pareciam amigáveis, mas se tornaram decepcionantemente difíceis. O 
maior matemático do século XVIII, Leonhard Euler identificou a condição para que as equações de primeira 
ordem sejam exatas. Euler entendeu o papel e as estruturas das funções, estudou as propriedades e definições. 
Também foi o primeiro a entender as propriedades e os papéis das funções exponenciais, logarítmicas, 
trigonométricas e muitas outras funções elementares. Em um artigo publicado em 1734, Euler desenvolveu a 
teoria dos fatores integrantes e encontrou a solução geral para as equações de coeficientes constantes, tal como 
 
 Depois de Euler, vieram vários especialistas que refinaram e entenderam muitas das ideias das equações 
diferenciais baseadas nas ideias de Euler, utilizando as equações em áreas como física matemática, mecânica, 
energia, sistemas dinâmicos, astronomia. Porém, o próximo avanço importante nesse assunto ocorreu no início 
do século XIX com os pesquisadores Gauss e Cauchy, quando as teorias e conceitos de funções variáveis 
complexas se desenvolveram. Gauss usou as equações diferenciais para melhorar a teoria das órbitas para 
modelar a propagação de ondas sobre a superfície de um líquido. 
 As equações diferenciais são uma parte integral ou um dos objetivos de vários cursos de graduação de 
cálculo. Assim, é amplamente aceito que as equações diferenciais são importantes para a matemática pura e 
aplicada. 
 
- Conceito e Propriedades; 
 Conceitualmente, a equação diferencial é uma equação em que as incógnitas são funções e a equação 
envolve derivadas destas funções. Também podemos dizer que a equação diferencial é uma equação que 
contém derivadas ou diferenciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis 
independentes. 
 As equações diferenciais podem ser classificadas em EDO( Equações Diferenciais Ordinárias), quando 
possui apenas derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma única variável 
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independente, e EDP (Equações Diferenciais Parciais), quando envolve derivadas de uma ou mais variáveis 
dependentes em relação a duas ou mais variáveis independentes. 
 Toda função definida em um intervalo “I” que tem, pelo menos, “n” derivadas contínuas em I, às quais, 
quando substituídas na equação diferencial de ordem “n”, reduzem a equação diferencial a uma identidade no 
intervalo. Em outras palavras, a solução de uma equação diferencial de ordem “n” é uma função Φ que tem, 
pelo menos, “n” derivadas de forma que F(x, Φ(x), Φ'(x),..., Φn(x))=0. 
 Em resumo, as Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Primeira Ordem podem ser escritas da 
seguinte forma: 
dy/dt + p(t)y= q(t) 
 onde p: (a.b) IR e q:(a,b) IR são funções contínuas, definidas em um intervalo aberto (a,b). 
 Uma função y:(a,b) IR é uma solução de (1,1), se ela for diferenciável e satisfazer a equação: 
Y´=dy/dt, 
Onde y´é a derivada de y com relação a variável independente t. 
 Analisando a equação acima, podemos observar dois problemas básicos: 
 1. Determinar a solução geral da equação acima; 
 2.Determinar a solução do problema de valor inicial (PVI); 
{ dy/dt + p(t)y=q(t) e y(t0)=yo, 
Onde to E (a,b) e yo são dos dados iniciais. Veremos ainda que o problema de valor inicial possui uma e 
somente uma solução. 
 
- Aplicações – Equações Diferenciais Ordinárias; 
 É frequentemente desejável descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno da vida real em 
termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos. Como hipóteses sobre um 
sistema envolvem frequentemente uma taxa de variação de uma ou mais variáveis, a descrição matemática 
de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o 
modelo matemático pode ser uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. 
 Uma das primeiras tentativas de modelagem de crescimento populacional por meio da matemática foi 
feita pelo economista inglês Thomas Malthus, em 1798. Basicamente, a ideia por trás do modelo 
malthusiano é a hipótese de que a taxa segundo a qual a população de um país cresce em um determinado 
instante é proporcional à população total do país naquele instante. Em outras palavras, quanto mais pessoas 
houver em um instante t, mais pessoas existirão no futuro. Em termos matemáticos, se P(t) for a população 
total no instante t, então essa hipótese pode ser expressa por : 
 
onde K é uma constante de proporcionalidade. Esse modelo simples, embora não leve em conta muitos fatores 
que podem influenciar a população humana tanto em seu crescimento quanto em seu declínio, não obstante 
resulta ser razoavelmente preciso na previsão dos Estados Unidos entre os anos de 1790 e 1860. 
 Outra interessante aplicação das Equações Diferenciais é a Lei Empírica de Newton do resfriamento, que 
explica a taxa segundo a qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura 
do corpo e a temperatura do meio que o rodeia. Se T(t) representar a temperatura de um corpo no instante t, 
Tm a temperatura do meio que o rodeia e dT/dt a taxa segundo a qual a temperatura do corpo varia, a Lei de 
Newton do resfriamento é convertida na semelhança matemática: 
 
 Entre outas tantas aplicações das equações diferenciais, poderíamos citar casos como o decaimento 
radioativo do núcleo de um átomo, a disseminação de uma doença contagiosa em um comunidade, a 
decomposição de substâncias químicas através de suas reações, a mistura de soluções com concentrações 
diferentes, a velocidade do fluxo de um líquido em um buraco com bordas na base de um tanque, o modelo 
matemático do movimento de um corpo em queda livre com e sem a resistência do ar. Além dos modelos 
matemáticos clássicos, podemos verificar modelos variados como a proporção de memorização de um certo 
assunto entre outros. 
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4.2. Uso do software Maple para resolução de problemas numéricos;O Matlab é um software que abrange uma ampla gama de assuntos relacionados ao aprendizado e ao uso 
de recursos matemáticos com fins em si mesmos ou que sirvam de ferramentas de trabalho para químicos, 
engenheiros, físicos, acadêmicos e outros que necessitem de conhecimentos na área de exatas. Além disso, 
constitui um ambiente informático para a computação de expressões algébricas ou simbólicas, permitindo o 
desenho de gráficos em duas ou três dimensões. 
 Convém ressaltar que, inicialmente, este software não era delineado para atingir objetivos pedagógicos, 
mas sim, para resolver problemas profissionais. No entanto, com o seu aprimoramento, os discentes podem 
torná-lo um grande aliado na resolução de problemas matemáticos, pois, ele é muito potente em relação à 
computação algébrica, numérica e gráfica de alguns tópicos da Matemática. 
 Ao acionar o software Matlab, visualiza-se a seguinte tela inicial que consiste em uma área de trabalho, 
um menu horizontal com comandos básicos e um menu vertical com comandos específicos para Matemática. 
 
- O cálculo com o software Matlab. 
 O Matlab é um poderosa ferramente no ensino dos conteúdos do Cálculo, pois oferece diversos recursos 
algébricos e gráficos, bem como, manipulações de fórmulas e uma linguagem de programação de alto nível. 
O principal foco no estudo do Cálculo Diferencial e Integral I é o estudo das funções de uma variável real. 
Para definir função de uma variável no Matlab, escolhe-se um nome e digita-se o nome da variável, depois, o 
comando de transformação que é “->” e a lei de formação da função. Por exemplo, seja f: IR---IR, tal que 
f(x)=x^2+x+1. 
 
4.3.Resolução de problema de Mistura de soluções aplicada pelo software Matlab; 
A mistura de duas soluções salinas com concentrações diferentes dá origem a uma equação diferencial de 
primeira ordem para a quantidade de sal contida na mistura. Abaixo, um problema resolvido por EDO: 
 
Problema: Suponha que a salmoura contendo 0,5 quilos (Kg) de sal por litro(L) entre em um tanque cheio 
com 450 L de água, contendo 2,5 quilos(Kg) de sal. Se a salmoura entrar a 22,5 L/minuto, a mistura é mantida 
uniforme por agitação e a mistura flui no mesmo sentido. Encontre a massa de sal no tanque após : 
a)15 minutos. b) 20 minutos. c)25 minutos. 
 
(Dica: Considere que A indica o número de quilos de sal no tanque em t minutos após o processo iniciar e use 
o fato de que a taxa de aumento em A é igual a taxa de entrada menos a taxa de saída.) 
 
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Acima, o script básico para a resolução de um problema de EDO usando uma importante ferramenta como o 
Matlab. Basicamente, é necessário colocar a palavra “dsolve” para resolver a equação diferencial, a letra “D” 
indica diferencial ou derivada, as demais letras são variáveis do problema. Após resolver a EDO, é necessário 
aplicar o problema de Valor Inicial (PVI) para calcular a constante C3. Após isso, aplicar a função subs para 
calcular os valores de quantidade de salmoura A(t) após t=15minutos, t=20 minutos e por fim t=25minutos. 
Abaixo, a resolução pelo método tradicional do problema: 
 
a) Resolução: 
 
Dados: 
A1=0,5 Kg/L 
V=450 L 
 Massa= 2,5 Kg 
 X= 22,5 L/min 
 Massa Final=? 
 Tempo=15 minutos 
Resolução: 
(I). A taxa de entrada do sal é: 
Re=(Vazão)*(Entrada de salmoura no tanque)=(22.5l/min)*(0,5Kg/L)= 11,25 Kg/min 
(II). O número de litros no tanque no instante t é: 
V=450 L 
(III).A concentração de sal no tanque e o fluxo de saída; 
C=A(t)/V=A(t)/450L 
 
(IV). A taxa de saída do sal é: 
Rs=A(t)/V *(Vazão) = (A(T))/(450 L)*(22,5 L/min) =0,05 A(t) Kg/min 
 
(V) Cálculo: dA/dt=? 
dA/dt = (Taxa de entrada do sal) –( Taxa de Saída do sal) 
dA/dt = Re – Rs= 11,25 Kg/min - 0,05 A(t) 
dA/dt + 0,05 A(t)=11,25 
A= e^(-1/20)*t (int e^t/20*11,25dt + C) 
A=e^(-1/20)*t(20*e^(t/20)*11,25 + C) 
A=e^(-1/20)*t(225*e^(t/20)+C) 
A= 225 + C*e^(-1/20)*t ( Função atribuída para o problema) 
 
(VI) Calcular valor de C; 
A(0)=2,5 Kg; Para A(0)=2,5 Kg, temos: 
2,5= 225 + C*(e^(-0/20)) 
2,5=225 + C 
C= -222,5 
Logo, a solução fica: 
A=225 – 222,5*(e^(-t/20)) 
 
(VII). Calcular valor de A para t=15 minutos. 
A(15)=225 – 222,5*(e^(-15/20)) 
A(15)=225 – 222,5*(0,4724032869) 
A(15)=225 – 105,1097313 = 119,8902687 Kg 
 
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 b) Resolução: 
 
 c) Resolução: 
 
 4.4. Resolução de problemas de datação de fósseis por carbono -14. 
 Em Física, meia-vida é uma medida de estabilidade de uma substância radioativa. A meia-vida é 
simplesmente o tempo gasto para a metade dos átomos de uma quantidade inicial A se desintegrar ou se 
transformar em átomos de outro elemento. Quanto maior a meia-vida de uma substância, mais estável ela é. 
 Por volta de 1950, o químico Willard Libby inventou um método para determinar a idade de fósseis 
utilizando o carbono radioativo. A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isótopo do 
carbono 14 é produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio. A razão entre a 
quantidade de C-14 para carbono ordinário na atmosfera parece ser uma constante e, como consequência, a 
proporção de quantidade na atmosfera. 
 Quando um organismo morre, a absorção de C-14, através da respiração ou alimentação, cessa. Desta 
forma, comparando a quantidade proporcional de C-14 presente, digamos que em um fóssil com a razão 
constante encontrada na atmosfera, é possível obter uma razoável estimativa da idade do fóssil. O método se 
baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14, cerca de 5600 anos. Por esse trabalho, 
Libby recebeu o Prêmio Nobel de Química em 1960. 
 O método de Libby tem sido usado para datar mobílias de madeira nos túmulos egípcios e os 
pergaminhos do Mar Morto. Além do C-14, outras técnicas isotrópicas, como potássio 40 e argônio 40, 
podem fornecer datas de vários milhões de anos. Métodos não-isotrópicos, baseados no uso de aminoácidos, 
algumas vezes são possíveis. Abaixo, um problema típico que envolve a datação de carbono-14 de um fóssil. 
 
Problema: Em um pedaço de madeira, é encontrado 1/500 da quantidade original de carbono-14. Sabe-se 
que a meia-vida é de 5600 anos, ou seja, que em 5600 anos metade do carbono-14 presente transforma-se 
em carbono-12. Determine a idade deste pedaço de madeira 
 
Abaixo, o script da resolução do problema pelo Matlab. Novamente, inserir a função “dsolve”, que significa 
, dentro desta linguagem de programação resolver a equação diferencial, colocar a letra “D”, que é a 
diferencial ou derivada do problema e ans significa a solução da EDO. Logo abaixo do script, tem-se a 
resolução da questão pelo método analítico ou tradicional. 
(I) Calcular valor de A para t=20 minutos; 
A(t)=225-222,5*(e^(-t/20)) 
A(20)=225 -222,5*(e^(-1)) 
A(20) = 225 – 222,5*(0,3679175865) 
A(20) = 225 – 81,68166299 = 143, 138337 Kg 
 
(I) Calcular valor de A para t=25 minutos; 
A(t)=225-222,5*(e^(-t/20)) 
A(25)=225 -222,5*(e^(-1,2)) 
A(25) = 225 – 222,5*(0,3012316892) 
A(25) = 225 – 67,02405084 = 157,9759492 Kg 
 
 
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Resolução: 
(I) Expressar a variação da quantidade de carbono-14 pelo número de anos através da EDO abaixo: 
 Dy/dt= Ky e y(0)=y0 
 
(II). Calcular a função geral do problema: 
Dy/y= Kdt 
 Lny+lnc= kt 
E^(lnCy)=e^(Kt) 
C*y=E^(Kt) 
Y(t) = (1/C)*e^(Kt)= C*e^(Kt) 
 
(III) Estimar valor de C, quando y(0)=y0 
Y(0)=C*e^(k*0) 
C= y(0) 
Logo: y(0)= y0*e^(kt) 
 
(IV) . Sabendo que a meia-vida é de 5600 anos, podemos calcular y0: 
T=5600 anos , logo: y1=y0/2 
Y=y0*e^(Kt) 
Y0/2=y0*e^(k5600) 
K=(-ln2/5600) 
 
(V). Agora, calcular o número de anos para y0/500.Fórmula: y=y0*e^(Kt) 
Y0/500=y0*e^((-ln2/5600)*t) 
1/500=e^((-ln2/5600)*t) 
-ln 500= -(ln 2/5600)*t 
T=50208,39199 anos de decomposição da madeira. 
 
 
 
 
 
 
 
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 4.5. Resolução de problemas para Lei de Resfriamento de Newton. 
 Um modelo real simples que trata sobre a troca de calor de um corpo com o meio ambiente onde está 
posto, aceita três hipóteses básicas: 
1- A temperatura T=T(t) depende do tempo e é mesma em todos os pontos do corpo. 
2 – A temperatura Tm do meio ambiente permanece constante no decorrer da experiência. 
3- A taxa de variação da temperatura com relação ao tempo é proporcional à diferença de temperatura entre o 
corpo e o meio ambiente. 
 
Montagem da EDO: Assumiremos verdadeiras as hipóteses acima, observando que : 
 dT/dt=-K(T-Tm), 
onde T=T(t) é a temperatura do corpo no instante t, Tm é a temperatura constante do meio ambiente , T- Tm 
é a diferença de temperatura e K é uma constante que depende do material com que o corpo foi construído, 
sendo que o sinal negativo indica que a temperatura do corpo está diminuindo com o passar do tempo, em 
relação à temperatura do meio ambiente. 
Resolução da EDO: Esta é uma EDO separável, que pode ser transformada em: 
 dT/(T-Tm)=-kdt. 
Integrando ambos os membros em relação à variável tempo, temos: 
 Ln(T-Tm)=-Kt + Ko 
Aplicando a função exponencial a ambos os membros e tomando as constantes embutidas em uma só, temos: 
 T(t) – Tm= C exp(-kt) 
Logo, a solução de EDO será: 
 T(t)= Tm+C*exp(-Kt) 
Quando temos a temperatura inicial do corpo é T(0)=To, então podemos obter a constante C que aparece na 
solução, pois: 
 To= Tm+C 
Assim: C=To-Tm 
E a solução do PVI(Problema de Valor Inicial) será: 
 dT/dt=-k(T-Tm), T(0)=To 
 T(t)= Tm+(To-Tm)*(exp(-Kt)) 
 
Problema: O café está a 80ºC logo depois de coado e, um minuto depois, para 75ºC, em uma cozinha à 25ºC. 
Determine a temperatura do café em função do tempo e o tempo que leva para o café chegar a 60ºC. 
 
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A resolução pelo Matlab segue os mesmos procedimentos das outras questões. 
Abaixo, a resolução do problema analiticamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
dT/dt=K(T-Tm) dT/dt=k(T-25) 
T(0)=To T(0)=80ºC 
 
(I). Aplicar a integral em ambos os lados da EDO para encontrar a função que resolva o problema: 
Int dT/(T-25) = int Kdt 
T(t) = 25 + c*e^(kt) 
 
(II) Substituir To para encontrar o valor de c; 
T(0)=25 +c*e^(kt) 
80 = 25 + c*e^(k*0) 
c=80 -25= 55 
 
(III). Para T(1)=75ºC, temos: 
T(t)=25 + 55*e^(kt) 
T(1)= 25 +55*e^(k*1) 
75-25=55*e^(k) 
50=55*e^(k) , logo k=ln(50/55) 
 
(IV) Determinar a o tempo em que a temperatura do café chega a 60ºC. 
T(t)=25+55*e^(-0,0953101798t) 
60=25+55*e^(-0,0953101798t) 
35=55*e^(-0,0953101798t) 
 ln(35/55)=ln(e^(-0,0953101798t)) 
-0,4519851237=-0,0953101798 t 
 Tempo t=4,742254444 minutos 
 
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5.Considerações Finais 
 O estudo das Equações Diferenciais Ordinárias é extremamente importante para a compreensão de que 
diversos fenômenos físico-químicos podem ser resolvidos por métodos numéricos altamente evoluídos que 
possibilitam o crescimento da indústria e do domínio humano das diversas reações químicas que ocorrem. 
Além disso, sabe-se que existem diversas ferramentas computacionais matemáticas que colaboram no 
processo de aprendizagem e manipulação de dados extremamente complexos que podem facilmente ser 
resolvidos por estes aplicativos e assim colaborar para que problemas sejam resolvidos de maneira rápida, 
correta e eficiente. Este presente relatório tratou de três importantes aplicações das Equações Diferenciais de 
Primeira Ordem que, por meio delas, podem-se calcular misturas de soluções, variação de temperatura de 
corpos( o que é importante em diversos segmentos da Química como a Termodinâmica, por exemplo) e a 
datação de fósseis por carbono-14 após o entendimento do que é meia-vida ( essencialmente fundamental para 
a área de Arqueologia, porém importante para entender se o organismo em estudo foi extremamente 
decomposto ou não). Assim, foi possível entender que este método de resolução numérico é muito vital e 
assim é necessário entendê-lo bem para que assim possamos aplicar estes conceitos futuramente em meio 
acadêmico e profissional. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6.Referências Bibliográficas. 
 
1) SILVA; E.C. Equações Diferenciais Ordinárias em Alguns contextos históricos e Reais. 
2) ARAÚJO;J.E. Equações Ordinárias e Aplicações, 2011. Centro de Ciências Tecnológicas. 
3) SOUZA,F.P.D; ASSIS, A.M.D.M. Ensino de Matemática com o Maple para graduação em Química. 
4) http://www.mat.puc-rio.br/~calneto/MAT1154/Sit