Álgebra linear e geométrica analítica

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IST - 2o Semestre de 2012/13
LEGM , LMAC , MEFT , MEBiom , MEC
EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
FICHA 1 - Método de Eliminação de Gauss
1
1 Sistemas de equações lineares
Uma equação linear nas variáveis (ou incógnitas) x1, ..., xn, é uma equação do tipo
a1x1 + ...+ anxn = d, (1.1)
onde a1, ..., an e d são números (reais ou complexos); a1, ..., an, dizem-se os coeficientes da
equação e d o seu segundo membro.
Um sistema de p equações lineares (SEL) nas n variáveis (ou incógnitas)
x1, ..., xn, é um conjunto de p de equações do tipo da equação (1.1):

a11x1 + ...+ a1nxn = d1
a21x1 + ...+ a2nxn = d2
...
ap1x1 + ...+ apnxn = dp
. (1.2)
Uma sequência numérica (s1, ..., sn) diz-se uma solução do sistema (1.2) se for solução de
cada uma das equações que compõem (1.2).
Dois sistemas de p equações lineares a n incógnitas são equivalentes se tiverem o
mesmo conjunto de soluções
Tornando implícitas as variáveis de um SEL, ele acha-se plenamente caracterizado pela
matriz
A|d =


a11 ... a1n d1
a21 ... a2n d2
... ... ... ...
ap1 ... apn dp

 .
que toma o nome de matriz aumentada do sistema (MAS). A matriz com p linhas e n
colunas (matriz p× n) sem os segundos membros das equações do sistema,
A =


a11 ... a1n
a21 ... a2n
... ... ...
ap1 ... apn

 ,
toma o nome de matriz dos coeficientes do sistema, ou matriz do sistema.
1Coligidos por: João Ferreira Alves, Ricardo Coutinho e José M. Ferreira.
1
1.1 Classificação dos sistemas de equações lineares
Um SEL pode ser:
• Impossível se não tiver soluções.
• Possível e determinado se possuir uma só solução.
• Possível e indeterminado se tiver infinitas soluções.
1.2 Operações elementares sobre as linhas de uma matriz
Sobre as linhas de uma matriz iremos considerar as seguintes operações:
1. Trocar linhas.
2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero, obtendo-se um múltiplo dessa
linha.
3. Substituir uma linha pela sua soma com o múltiplo de outra linha.
Estas operações podem ser resumidamente indicadas através da seguinte notação:
Li ←→ Lj
αLi
Li + αLj
significa a operaca˜o de trocar a linha i com a linha j.
diz-nos que estamos a multiplicar a linha Li pelo nu´mero α �= 0.
indica que estamos a substituir a linha Li pela sua soma com o
mu´ltiplo αLj da linha Lj
1.3 Matriz em escada de linhas
Uma matriz diz-se em escada de linhas se tiver as seguintes características:
1. Não tem linhas nulas seguidas de linhas não nulas.
2. Chamando pivô de uma linha à primeira entrada não nula dessa linha, caso exista,
cada pivô de uma linha encontra-se numa coluna à direita da coluna a que pertence o
pivô da linha imediatamente anterior.
Por exemplo, 

1 5 0 3 −6 0
0 0 0 −3 0 9
0 0 0 0 2 −4
0 0 0 0 0 0

 .
2
1.4 Forma reduzida de uma matriz em escada de linhas
Uma matriz em escada de linhas diz-se na forma reduzida se possuir as seguintes carac-
terísticas adicionais:
• Todos os pivôs são iguais a 1.
• Cada pivô é a única entrada não nula da coluna respectiva.
Por exemplo, 

1 5 0 0 0 −3
0 0 0 1 0 −3
0 0 0 0 1 −2
0 0 0 0 0 0

 .
1.5 Variáveis dependentes e variáveis livres
Se a MAS, A|d, estiver em escada de linhas, dizemos que, com 1 ≤ i ≤ n, xi é uma
variável dependente se na coluna i de A|d existir um pivô. Caso contrário diremos que
xi é variável livre. Nestas condições podem ainda tirar-se as seguintes conclusões:
1. O sistema é impossível se e só se existir um pivô na última coluna de A|d.
2. O sistema é possível e determinado se e só se não existir um pivô na última coluna de
A|d e não existirem variáveis livres.
3. O sistema é possível e indeterminado se e só se não existe um pivô na última coluna
de A|d e existirem incógnitas livres.
1.6 Método de eliminação de Gauss2 (MEG)
PASSO 1: Ordenar as variáveis e escrever a matriz aumentada do sistema A|d.
PASSO 2: Por meio de operações elementares de linhas obter uma matriz em escada de
linhas.
PASSO 3: Verificar se o sistema é possível. Neste caso identificar as variáveis livres e as
dependentes e:
PASSO 4: Por meio de operações elementares de linhas obter uma matriz na forma reduzida
e ler a solução.
2Johann Carl Friederich Gauss, n. 30 de Abril de 1777 em Brunswick, m. em 23 de Fevereiro de 1855 em
Gottingen.
3
1.7 Exercícios
Exercício 1 Quais dos seguintes pares (x, y):
(0, 0) , (−1, 1) , (1,−1) e (1, 1) ,
são soluções do sistema 

x+ y = 0
−x− 2y = 1
2x+ 2y = 0
?
Exercício 2 Quais dos seguintes ternos (x, y, z):
(0, 0, 0) , (−1, 1, 0) , (1,−1, 0) , (0,−1, 1) , (−2, 0, 1) e (0,−1, 0)
são soluções do sistema �
x+ y + 2z = 0
−x− 2y − z = 1
?
Exercício 3 Resolva os seguintes sistemas de equações lineares a duas incógnitas e inter-
prete geometricamente as suas eventuais soluções :
a)
�
x+ 2y = 1
x+ 3y = 0
. b)
�
2x+ 3y = 1
4x+ 6y = 2
. c)
�
4x+ 5y = 1
12x+ 15y = 0
.
d)


x+ y = 1
3x− y = 2
x− y = 0
. e) {x+ y = 1 . f)


2x− y = 4
x− y = 1
x+ y = 5
.
Exercício 4 Resolva os seguintes sistemas de equações lineares a três incógnitas e proceda
à interpretação geométrica das suas eventuais soluções:
a)


2x+ 2y + 3z = 1
x+ 2y + z = 0
x− y + z = 0
. b)


x+ 2y + 3z = 1
4x+ 7y + 7z = 3
2x+ 3y + z = 0
.
c)


x+ 2y + z = 0
4x+ 10y + 10z = 0
x+ 3y + 4z = 0
. d)
�
2x+ 3y + z = 0
x+ y + z = 0
.
Exercício 5 Resolva os seguintes sistemas de equações lineares
a)
�
2x1 + x2 + x3 + x4 = 1
2x1 + x2 − x3 + x4 = 3
. b)


2x+ 2y + 2z + 3w = 3
x+ y + z + w = 1
3x+ 3y + 3z + 2w = 2
.
c)


x+ z + 2w = 0
2x+ 3z + 3w = 0
y + 2w = 2
x+ 2z + w = 0
. d)


y1 + y3 + 2y4 = 0
y1 + 2y2 + y3 + y4 = 1
y2 + 2y4 = 8
y1 + 2y3 + y4 = 0
.
4
Exercício 6 Determine o conjunto das soluções dos seguintes sistemas:
a)


y + z = 0
2x+ 3w = 2
6x+ 3y + 3z + 4w = 6
3x+ 2w = 3
5x+ y + z + 5w = 5
. b)


3y − 2z = 0
2x+ 2y − 2z = 0
x+ 4y − 3z = 0
x− y + z = 2
.
Exercício 7 Em função dos parâmetros α e β, discuta os seguintes sistemas de equações
lineares:
a)


x+ 4y + 3z = 10
2x+ 7y − 2z = 10
x+ 5y + αz = β
. b)


2x+ y + z = −6β
αx+ 3y + 2z = 2β
2x+ y + (α+ 1) z = 4
.
Exercício 8 Caracterize os vectores (b1, b2, b3) ∈ R3 que tornam possível o seguinte sistema
de equações lineares nas incógnitas x, y e z

x+ y + 3z = b1
2x+ 2y − z = b2
4x+ 4y + 5z = b3
.
Exercício 9 Considere o sistema de equações lineares com parâmetros α e β, e incógnitas
x, y e z : 

2x+ 7y = 9
2x+ αy + βz = 1
2x+ 7y + z = 7
.
Determine os únicos valores de α e β para os quais o sistema é indeterminado.
Exercício 10 Obtenha uma equação linear cujo conjunto de soluções seja:
a) S = {(1 + t, 1− t) : t ∈ R} .
b) S = {(1− t, 2s, t) : s, t ∈ R} .
c) S = {(3t+ 2s, t− s+ 1, 2t− s+ 2) : s, t ∈ R} .
Exercício 11 Indique um sistema de equações lineares que tenha como conjunto de soluções:
a) S = {(3s− 2t+ 1, s, 5t− 1, t) : s, t ∈ R} .
b) S = {(3t, 2t, t) : t ∈ R} .
Exercício 12 Determine um polinómio p (t) = a0+a1t+a2t2 cujo gráfico passe pelos pontos
(1, 12) , (2, 15) e (3, 16) .
Exercício 13 Um mealheiro contém moedas de 1, 5 e 10 cêntimos num total de 13 moedas
e de 83 cêntimos. Quantas moedas de cada tipo contém o mealheiro?
Exercício 14 Quatro números inteiros são dados. Seleccionando três deles, fazendo a res-
pectiva média e adicionando ao quarto obtiveram-se os seguintes valores: 29, 23, 21 e 17.
Determine aqueles números.
5
Exercício 15 Um filamento de espessura negligenciável está representado na Figura 1, onde
são também indicadas as temperaturas em três nós do filamento (30o, 40o e 60o). Determinar
as temperaturasdos restantes três nós, sabendo que cada uma delas é igual às médias das
temperaturas dos três nós mais próximos.
Figura 1
Exercício 16 Sejam v1, ..., vp, pontos de R3 e suponha-se que para cada j = 1, ..., p, se
encontra um objecto em vj de massa mj. Em Física tais objectos são chamados de pontos
de massa. A massa total do sistema é
m = m1 + ...+mp
e o ponto
v =
1
m
(m1v1 + ...+mpvp)
é chamado de centro de gravidade (ou centro de massa) do sistema.
a) Calcule o centro de gravidade de um sistema composto pelos pontos de massa indicados
na seguinte tabela:
Pontos Massas
(5,−4, 3) 2g
(4, 3,−2) 5g
(−4,−3,−1) 2g
(−9, 8, 6) 1g
b) Uma placa de espessura negligenciável com 3g de massa tem a forma de um triângulo de
vértices (0, 1, 0) , (8, 1, 0) e (2, 4, 0) . Supondo que a densidade da placa é uniforme, determine
o seu centro de massa. (Este ponto coincide com o centro de massa de um sistema composto
por 1g de massa colocado em cada vértice do triângulo).
c) Como distribuiria uma massa adicional de 6g pelos três vértices da placa de modo a
deslocar o centro de gravidade da placa para o ponto (2, 2, 0)?
6
2 Operações com matrizes
Uma matriz m×n é um quadro de números reais ou complexos com m filas horizontais
e n filas verticais
A =


a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1 am2 ... amn

 .
Chamaremos linhas às filas horizontais de A e colunas às suas filas verticais. O coeficiente
(ou entrada) de uma matriz A relativo à linha i e coluna j representa-se por aij ou [A]ij.
O conjunto das matrizes m × n com coeficientes reais (resp. complexos) representa-se por
Mm×n(R) (resp. Mm×n(C)).
2.1 Soma de matrizes e produto de uma matriz por um escalar
Dadas duas matrizes p× n
A =


a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
ap1 ap2 ... apn

 e B =


b11 b12 ... b1n
b21 b22 ... b2n
... ... ... ...
bp1 bp2 ... bpn


pela soma de A com B entendemos a matriz, também p× n,
A+B =


a11 + b11 a12 + b12 ... a1n + b1n
a21 + b21 a22 + b22 ... a2n + b2n
... ... ... ...
ap1 + bp1 ap2 + bp2 ... apn + bpn

 .
O produto do escalar α ∈ R pela matriz A consiste na matriz
αA =


αa11 αa12 ... αa1n
αa21 αa22 ... αa2n
... ... ... ...
αap1 αap2 ... αapn

 .
• Decorrentes de propriedades bem conhecidas dos números reais, facilmente se observa
a validade das propriedades seguintes onde A, B e C são matrizes n× p e α, β ∈ R:
i) A+B = B+A (comutatividade).
ii) (A+B) +C = A+ (B+C) (associatividade).
iii) α (A+B) = αA+ αB (distributividade).
iv) (α+ β)A = αA+ βA (distributividade).
v) (αβ)A = α (βA) (associatividade).
7
2.2 Produto de matrizes
Consideremos duas matrizes A e B, a primeira m× n e a segunda n× p :
A =


a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1 am2 ... amn

 e B =


b11 b12 ... b1p
b21 b22 ... b2p
... ... ... ...
bn1 bn2 ... bnp


(note que o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B). À matriz AB com
m linhas, p colunas e entradas [AB]ij definidas por
[AB]ij =
n�
k=1
aikbkj
chamamos matriz produto de A por B.
Observemos que, como consequência da definição de produto, a coluna j da matriz AB é
dada pela expressão
A


b1j
b2j
...
bnj

 = b1j


a11
a21
...
am1

+ b2j


a12
a22
...
am2

+ · · ·+ bnj


a1n
a2n
...
amn

 .
Analogamente, a linha i da matriz AB é dada por
ai1 ai2 ... ain
�
B = ai1
b11 b12 ... b1p
�
+ ai2
b21 b22 ... b2p
�
+ · · ·
· · ·+ ain
bn1 bn2 ... bnp
�
.
O produto de matrizes goza das propriedades a seguir indicadas.
• Seja A uma matriz m× n, B, C matrizes de tamanhos adequados e α ∈ R. Então:
i) A (BC) = A (BC) (associatividade).
ii) A (B+C) = AB+AC (distributividade).
iii) (A+B)C = AC+BC (distributividade).
iv) α (AB) = (αA)B = A (αB) (associatividade).
v) ImA = A = AIn onde
Im
(matriz m×m)
=


1 0 ... 0
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 1

 e In
(matriz n×n)
=


1 0 ... 0
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 1


são chamadas de matrizes identidade (existência de elementos neutros).
Notemos que em geral o produto de matrizes não é comutativo.
8
2.3 Descrição matricial de um SEL
O produto de matrizes permite ainda uma descrição matricial do SEL

a11x1 + a12x2 + ...+ a1nxn = d1
a21x1 + a22x2 + ...+ a2nxn = d2
...
ap1x1 + ap2x2 + ...+ apnxn = dp
,
através da relação
Ax = d,
onde
A =


a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
ap1 ap2 ... apn

 , x =


x1
x2
...
xn

 e d =


d1
d2
...
dp

 .
2.4 Transposta de uma matriz
Seja A uma matriz p × n. A matriz transposta de A é a matriz AT que se obtém
a partir de A, transformando a primeira linha de A na primeira coluna de AT , a segunda
linha de A na segunda coluna de AT , etc. AT é uma matriz n× p.
Esta operação de transposição de uma matriz satisfaz as propriedades a seguir estabe-
lecidas.
• Seja A uma matriz p× n, B uma matriz n× k e α ∈ R. Então (ver ex. 26 b):
i)
�
A
T
�T
= A.
ii) (A+B)T = AT +BT .
iii) (αA)T = αAT .
iv) (AB)T = BTAT .
2.5 Exercícios
Exercício 17 Sempre que possível efectue as seguintes operações de matrizes. Justifique os
casos de impossibilidade.
a)
1 2
�
+
�
0
2
�
. b)
�
2
8
�
+ 2
�
3
−5
�
. c) 2
�
1 0
2 1
�
+ 3
�
0 2
6 1
�
.
d)
1
2

 4−2
8

− 1
3

 9−3
6

 . e) 2
3

 6 −69 3
−3 12

+ 3
2

 −6 4−4 8
2 −2

 .
f)

 0 8 −7 −63 1 5 4
−4 6 −2 −1

−

 1 −9 10−4 2 −8
6 7 −3

 .
9
Exercício 18 Efectue os seguintes produtos de matrizes. Caso algum deles não seja possível,
explique porquê.
a)
1 0 2
�  23
1

 . b)

 −4 21 6
0 1



 3−2
7

 . c)

 26
−1

� 2
−1
�
.
d)
�
8 3 −4
5 1 2
� 10
1

 . e)

 1 −5 3−3 −1 4
2 1 0



 12
1

 . f) � 1 0
0 1
� 23
1

 .
Exercício 19 Nos seguintes produtos, preencha os espaços em branco.
a)
1 2
� � −1 �
= [3] . b)
�
1 −8 4
−2 −7 3 −5
�
5
−1
−2

 =
�
−8
16
�
.
c)


7 −3
1
9
−3 2


�
−2
−5
�
=

 −912

 . d)

 1 0 26 1
−7 2 9



 2

 =

 39
6


Exercício 20 Efectue os seguintes produtos de matrizes:
a)
�
1 0
0 0
� �
0 1
1 0
�
. b)
�
−3 4
−1 3
� �
0 1 2
1 0 −2
�
. c)

 1 23 1
0 3

� 1 0 1
2 1 0
�
.
d)
�
0 1
1 0
� �
1 0
0 0
�
. e)
�
1 2 0
3 1 1
� 1 0 10 1 0
1 0 1

 . f)

 1 0 00 1 0
0 0 1



 30 42 10
2 20

 .
g)

 0 0 10 1 0
1 0 0



 30 42 10
2 20

 . h)

 1 0 00 1 0
0 0 3



 30 42 10
2 20

 . i)

 1 0 00 1 0
2 0 1



 30 42 10
2 20

 .
Exercício 21 Preencha os espaços em branco nos seguintes produtos de matrizes:
a)
�
4
1
� �
−1 1
1 −1
�
=
�
−6
−4
�
.
b)

 −1−2 0
0

� 0
1
�
=

 −4 −22
2

 .
c)

 12 1
3

� 0 1
−3 −1
�
=

 3 3
−3 12

 .
Exercício 22 Resolva o SEL Ax = b para:.
a) A =

 1 2 40 1 5
−2 −4 −8

 e b =

 31
3

 ; b) A =

 1 2 1−3 −1 2
0 5 3

 e b =

 01
−1

 .
10
Exercício 23 Com a ∈ R qualquer, seja
A =
�
0 a
a 0
�
.
a) Calcule A2 e A3.
b) Mostre as seguintes relações:
A
2k =
�
a2k 0
0 a2k�
e A2k+1 =
�
0 a2k+1
a2k+1 0
�
(k = 0, 1, 2, ...) .
Exercício 24 Dê um exemplo de duas matrizes A e B para as quais não são verificadas as
relações:
i) (A−B) (A+B) = A2 −B2. ii) (A+B)2 = A2 + 2AB+B2.
Exercício 25 O traço de uma matriz quadrada A = [aij]
n
i,j=1 consiste na soma das entradas
de A que se encontram na diagonal principal. Isto é:
trA =
n�
j=1
ajj .
a) Justifique que tr (A+B) = trA+ trB.
b) É uma relação do mesmo tipo verificada para a multiplicação de uma matriz por um
escalar? E para o produto de matrizes?
c) Verifique para matrizes 2× 2 que tr (AB) = tr (BA) .
Exercício 26 A transposta de uma matriz A (m× n) é uma outra matriz designada por
A
T (n×m) em que a primeira linha de AT é a primeira coluna de A, a segunda linha de
A
T é a segunda coluna de A, etc.
a) Indique as transpostas das seguintes matrizes:
A =
�
1 3 −1 −3
0 2 4 −2
�
, B =


2 0 −1
1 3 −2
−3 4 5
0 −1 1

 .
b) Justifique que: i)
�
A
T
�T
= A. ii) (A+B)T = AT +BT . iii) (αA)T = αAT . iv) (AB)T =
B
T
A
T .
Exercício 27 Uma matriz A (n× n) diz-se simétrica sempre que AT = A.
a) Dê exemplo de uma matriz, 3× 3, simétrica sem entradas nulas.
b) A+AT é sempre uma matriz simétrica? E AAT?
11
Exercício 28 Uma matriz quadrada,M, é dita de Markov se cada entrada da matriz estiver
entre zero e um e a soma dos elementos de cada coluna for igual a 1.
a) Diga se as seguintes matrizes são de Markov:
A =
�
1/2 1/3
1/2 2/3
�
, B =

 0, 2 0 0, 240, 25 0 0, 37
0, 55 1 0, 5

 .
b) Analise para matrizes 2× 2, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
i) A soma de matrizes de Markov e´ uma matriz de Markov.
ii) O produto de matrizes de Markov e´ uma matriz de Markov.
3 Inversão de matrizes
Uma matriz A, n×n, diz-se invertível se existir uma matriz C, também n×n, tal que
AC = CA = In,
onde In é a matriz identidade n × n (elemento neutro para a multiplicação de matrizes).
Nestas circunstâncias a matriz C diz-sematriz inversa de A e será representada por A−1.
• Quando existe, a inversa de uma matriz é única (ver ex. 31).
• Para o caso n = 2, se
A =
�
a b
c d
�
é uma matriz tal que ad− bc �= 0, então A é invertível e a sua inversa é
A
−1 =
1
ad− bc
�
d −b
−c a
�
.
Uma matriz que não admite inversa é chamada de matriz singular.
3.1 Propriedades das matrizes invertíveis
Sejam A e B matrizes n× n invertíveis. Então:
i) A−1 é invertível e (A−1)−1 = A (ver exercício 32 a)).
ii) AT é invertível e
�
A
T
�
−1
= (A−1)
T
.
iii) Se α ∈ R\ {0} , (αA) é invertível e (αA)−1 = 1
α
A
−1 (ver exercício 32 c)).
iv) (AB) é invertível e (AB)−1 = B−1A−1.
12
3.2 Teorema da matriz inversa
Seja A uma matriz n× n. Então são equivalentes as seguintes afirmações:
(1) A é invertível.
(2) A forma reduzida de A é In.
(3) A forma reduzida de A tem n pivôs.
(4) Para qualquer d ∈ Rn, o sistema Ax = d é possível e determinado.
(5) O sistema homogéneo Ax = 0 só tem a solução nula.
(6) Existe uma matriz C (n× n) tal que CA = In.
(7) Existe uma matriz D (n× n) tal que AD = In.
3.3 Matrizes elementares
Uma matriz elementar (n× n) é uma matriz que se obtém a partir da matriz identi-
dade In por meio de uma única operação elementar sobre as linhas de In.
Estas matrizes possuem as seguintes propriedades:
• Uma matriz elementar é invertível e a sua inversa é também uma matriz elementar.
• Se A é uma matriz qualquer e E uma matriz elementar, ambas n× n, EA é a matriz
que se obtém a partir de A por execução da mesma operação elementar que permitiu
obter E a partir da matriz identidade In.
• A forma reduzida da matrizA pode ser obtida por sucessivas multiplicações de matrizes
elementares.
• A forma reduzida da matriz A será In se e só se existirem matrizes elementares
E1, ...,Ek, tais que
Ek...E1A = In.
Nestas circunstâncias A é invertível e
A
−1 = Ek...E1In.
Estas relações resumem o algoritmo de Gauss-Jordan3 para a inversão de uma ma-
triz: todas as operações elementares que transformem a matriz A na matriz iden-
tidade In, igualmente repetidas pela mesma ordem sobre In originam a matriz
A
−1.
3Wilhelm Jordan, n. em 1842 em Ellwangen, m. 1899 em Hannover.
13
3.4 Exercícios
Exercício 29 Sempre que possível, calcule a inversa de cada uma das seguintes matrizes:
a)
�
0 0
0 0
�
. b)
�
1 0
0 1
�
. c)
�
1 2
2 1
�
. d)

 1 0 01 1 0
1 1 1

 .
e)

 1 −1 01 1 −1
0 1 1

 . f)

 1 0 10 1 0
3 3 3

 . g)


1 2 3 4
0 1 2 3
0 0 1 2
0 0 0 1

 . h)


1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 2 1
1 −1 1 0

 .
Exercício 30 Escreva os seguintes sistemas de equações lineares na forma matricial Ax =
b e utilize, respectivamente, as alíneas e) e h) do exercício anterior para os resolver.
a)


x− y = 0
x+ y − z = 1
y + z = −1
. b)


x+ z = 1
y + w = 1
x+ 2z + w = −1
x− y + z = 1
.
Exercício 31 Mostre que a inversa de uma matriz quadrada A, quando existe, é única.
Exercício 32 Sejam A e B matrizes n× n, invertíveis.
a) Será A−1 invertível?
b) Ter-se-á
�
A
k
�
−1
= (A−1)
k
, (k = 1, 2, ...)?
c) Se α ∈ R, caso exista, qual é a inversa de αA? E a de A + B? Será (A+B)−1 =
A
−1 +B−1?
Exercício 33 Considere as matrizes;
A =

1 0 −30 1 0
0 0 1

 , B =

0 1 01 0 0
0 0 1

 , C =

1 0 00 2 0
0 0 1

 , D =

1 0 00 1 0
0 5 1

 .
Calcule a matriz ABCD e a sua inversa (ABCD)−1 .
Exercício 34 Considere as matrizes A e B, definidas pelas igualdades
A =

 2 0 −3−2 0 4
−2 1 2

 e B =

0 0 10 1 0
1 0 0

 .
a) Determine a matriz A−1.
b) Calcule a única matriz X que satisfaz a igualdade
B
2
XA
−1 = B.
14
Exercício 35 Considere as matrizes A e B, definidas pelas igualdades
A =

1 1 10 1 1
0 0 1

 e B =

1 1 11 1 0
1 0 0

 .
Determine uma matriz X tal que:
a) A−1X = B+ 3A−1.
b) BX = A.
Exercício 36 4Com α ∈ R seja Rα a matriz dada pela relação
Rα =
�
cosα − sinα
sinα cosα
�
.
Verifique que RαRβ = Rα+β e com base nesta igualdade determine a inversa de Rα. Indique
ainda se a relação
R
−1
α = R
T
α
é verdadeira ou falsa.
Exercício 37 Uma matriz quadrada diz-se de permutação se cada coluna e cada linha tiver
uma entrada igual a 1 e as restantes entradas iguais a zero. Por exemplo, a matriz identidade
é uma matriz de permutação.
a) Dê exemplo de uma matrizA de permutação, 3×3, que seja diferente da matriz identidade.
b) Verifique que dada uma matriz qualquer B (3× 3) , a matriz AB procede a uma permu-
tação das linhas de B e a matriz BA resulta de B por uma permutação das suas colunas.
c) Verifique que A é invertível, tendo como inversa a sua transposta.
Exercício 38 Seja A uma matriz quadrada tal que A3 = 0. Por exemplo
A =

0 0 01 0 0
0 1 0

 .
Verifique que a matriz I−A é invertível com inversa dada por (I−A)−1 = I+A+A2.
Exercício 39 Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada cujos elementos fora da diagonal
principal são todos nulos:
A =


a11 0 ... 0
0 a22 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... ann

 .
Por exemplo, a identidade é uma matriz diagonal.
4Tenha em conta que cos (α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ e sin (α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ
15
a) Use o método de indução para mostrar que
A
k =


ak11 0 ... 0
0 ak22 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... aknn

 .
b) Mostre que se nenhum dos elementos da diagonal principal deA é zero entãoA é invertível
e indique a respectiva inversa.
4 Soluções
1) Apenas (1,−1) . 2) Somente (1,−1, 0) e (−2, 0, 1)
3) a) Sistema possível e determinado: S = {(3,−1)}; as duas rectas intersectam-se no ponto(3,−1) .
b) Sistema indeterminado com uma incógnita livre: S = {(1/2− 3y/2, y) : y ∈ R} ; as
duas rectas são coincidentes.
c) Sistema impossível: S = ∅; as duas rectas são paralelas.
d) Sistema impossível: S = ∅; as três rectas não são concorrentes num ponto.
e) Sistema indeterminado com uma incógnita livre: S = {(1− y, y) : y ∈ R} ; equação de
uma recta.
f) Sistema possível e determinado: S = {(3, 2)}; as três rectas são concorrentes no ponto
(3, 2).
4) a) Sistema possível e determinado: S = {(−1, 0, 1)}; os três planos intersectam-se no
ponto (−1, 0, 1) .
b) Sistema impossível: S = ∅; os três planos não se intersectam num ponto.
c) Sistema indeterminado com uma incógnita livre: S = {z (5,−3, 1) : z ∈ R}; os três
planos intersectam-se segundo uma recta.
d) Sistema indeterminado com uma incógnita livre: S = {z (−2, 1, 1) : z ∈ R}; os dois
planos intersectam-se segundo uma recta.
5) a) Sistema indeterminado com duas incógnitas livres:
S =
��
1−
1
2
x2 −
1
2
x4, x2,−1, x4
�
: x2, x4 ∈ R
�
.
b) Sistema indeterminado com duas incógnitas livres:
S = {(−y − z, y, z, 1) : y, z ∈ R} .
c) Sistema indeterminado com uma incógnita livre:
S = {(−3w, 2− 2w,w,w) : w ∈ R} .
d) Sistema possível e determinado S = {(−9, 2, 3, 3)}.
16
6) a) {(1,−z, z, 0) : z ∈ R} . b) {(1, 2, 3)}.
7) a) Se α �= 11 o sistema é possível e determinado; se α = 11 e β = 20 o sistema é
indeterminado; se α = 11 e β �= 20 o sistema é impossível.
b) Se α �= 0 e α �= 6 o sistema é possível e determinado; se α = 0 e β = −2/3 o sistema é
indeterminado; se α = 0 e β �= −2/3 o sistema é impossível; se α = 6 e β = −2/63 o sistema
é indeterminado; se α = 6 e β �= −2/63 o sistema é impossível.
8) O sistema é possível se e só se 2b1 + b2 − b3 = 0.
9) α = 7 e β = 4.
10) a) x1 + x2 = 2. b) x1 + 0x2 + x3 = 1. c) x1 + 7x2 − 5x3 = −3.
11) a)
�
x1 − 3x2 + 2x4 = 1
x3 − 5x4 = −1
. b)
�
x1 − 3x3 = 0
x2 − 2x3 = 0
.
12) p (t) = 7 + 6t− t2.
13) 3, 4 e 6, respectivamente.
14) 3, 9, 12 e 21.
15) Nó 1: 42,5o; nó 2: 47,5o; nó 3: 40o.
16) a)
�
13
10
, 9
10
, 0
�
. b)
�
10
3
, 2, 0
�
. b) 3,5g pelo vértice (0, 1, 0) , 0,5g pelo vértice (8, 1, 0) e 2g
pelo vértice (2, 4, 0) .
17) a) Não é possível. Uma matriz é 1× 2 e a outra 2× 1.
b)
�
8
−2
�
. c)
�
2 6
22 5
�
. d)

 −10
2

 . e)

 −5 20 14
1 5

 .
f) Não é possível. Uma matriz é 3× 4 e a outra 3× 3.
18) a) [4] . b) Não é possível. A primeira matriz é 3× 2 e a segunda 3× 1.
c) Não é possível. A primeira matriz é 3× 1 e a segunda 2× 1.
d)
�
4
7
�
. e)

 −6−1
4

 .
f) Não é possível. A primeira matriz é 2× 2 e a segunda 3× 1.
19)
a)
1 2
� � −1
2
�
= [3] . b)
�
5 1 −8 4
−2 −7 3 −5
�
5
−1
3
−2

 =
�
−8
16
�
.
c)


7 −3
2 1
9 -6
−3 2


�
−2
−5
�
=


1
−9
12
-4

 . d)

 1 0 2-4 6 1
−7 2 9



 12
1

 =

 39
6

 .
17
20)
a)
�
0 1
0 0
�
. b)
�
4 −3 −14
3 −1 −8
�
. c)

 5 2 15 1 3
6 3 0

 . d) � 0 0
1 0
�
. e)
�
1 2 1
4 1 4
�
.
f)

 30 42 10
2 20

. g)

 2 202 10
30 4

 . h)

 30 42 10
6 60

 . i)

 30 42 10
62 28

 .
21)
a)
�
4 -2
-3 1
� �
−1 1
1 −1
�
=
�
−6 6
4 −4
�
.
b)

 3 −1−2 0
0 1

� -1 0
1 2
�
=

 −4 −22 0
1 2

 .
c)

 1 -12 1
0 3

� 0 2 1
−3 −1 4
�
=

 3 3 -3-3 3 6
-9 −3 12

 .
22) a) Sistema impossível. b) Sistema possível e determinado S = {(3/5,−4/5, 1)} .
23) a) A2 =
�
a2 0
0 a2
�
, A3 =
�
0 a3
a3 0
�
.
24) As relações não são verificadas se for AB �= BA.
25) b) Para qualquer α ∈ R é tr (αA) = α (trA) . A relação tr (AB) = (trA) (trB) não é
válida como se pode comprovar através do exemplo
A = B =
�
1 0
1 1
�
.
26) a) AT =


1 0
3 2
−1 4
−3 −2

 , BT =

 2 1 −3 00 3 4 −1
−1 −2 5 1

 .
27) a) A =

 a 1 21 b 3
2 3 c

 . b) Sim, em ambos os casos.
28) a) A é de Markov, B não.
b) i) Falsa. Por exemplo
�
0, 3 0, 1
0, 7 0, 9
�
+
�
0, 8 0, 3
0, 2 0, 7
�
=
�
1, 1 0, 4
0, 9 1, 6
�
.
ii) Verdadeira.
29 a) A matriz não é invertível.
18
b)
�
1 0
0 1
�
. c)
�
−1/3 2/3
2/3 −1/3
�
. d)

 1 0 0−1 1 0
0 −1 1

 . e)

 2/3 1/3 1/3−1/3 1/3 1/3
1/3 −1/3 2/3

 .
f) Amatriz não é invertível. g)


1 −2 1 0
0 1 −2 1
0 0 1 −2
0 0 0 1

 . h)


1 1 −1 1
1 0 0 −1
0 −1 1 −1
−1 1 0 1

 .
30) a) {(0, 0,−1)} ; b) {(4, 0,−3, 1)} .
32) a) Sim e a sua inversa é A. b) Sim. Pode usar o método de indução para o mostrar.
c) Se α �= 0, (αA)−1 = 1
α
A
−1. Para α = 0 não há invertibilidade. O mesmo pode acontecer
quando se somam duas matrizes invertíveis. Por exemplo, I e−I são invertíveis (elas próprias
constituem as suas inversas). Mas I+ (−I) = 0 não é invertível.
33) ABCD =

0 −13 −31 0 0
0 5 1

 , (ABCD)−1 =

 0 1 01/2 0 3/2
−5/2 0 −13/2

 .
34) a) A−1 =

2 3/2 02 1 1
1 1 0

 ; b) X =

−2 1 2−2 0 4
2 0 −3


35) a) X =

6 2 12 4 0
1 0 3

 ; b) X =

0 0 10 1 0
1 0 0


36) R−1α = R−α = R
T
α =
�
cosα sinα
− sinα cosα
�
.
37) a) A =

 0 0 11 0 0
0 1 0

 .
39) b) A−1 =


a−111 0 ... 0
0 a−122 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... a−1nn

 .
19
IST - 2o Semestre de 2012/13
LEGM, LMAC, MEFT, MEBiom, MEC
EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
FICHA 2 - Espaços Vectoriais
1
1 Combinações lineares de vectores de Rn
Por Rn entenderemos o conjunto de todas as sequências ordenadas de n números reais
x = (x1, ..., xn) ,
às quais chamaremos de vectores. Os valores reais x1, ..., xn, tomam o nome de componentes
do vector x.
Dois vectores x = (x1, ..., xn) e y = (y1, ..., yn) dizem-se iguais se as suas componentes
homólogas forem iguais. Isto é x = y⇔ x1 = y1, ..., xn = yn.
Em Rn introduzimos duas operações. Uma de soma de vectores e outra de multiplicação
ou produto de um escalar por um vector. Para isso sejam u = (u1, ..., un) , v = (v1, ..., vn)
e w = (w1, ..., wn) vectores de Rn e α, β números reais.
• Soma em Rn:
u+ v = (u1 + v1, ..., un + vn) .
• Produto escalar em Rn:
αu = (αu1, ..., αun) .
• Estas operações gozam das seguintes propriedades, características da estrutura algé-
brica de Rn:
i) (u+ v) +w = u+ (v+w) (associatividade).
ii) u+ v = v + u (comutatividade).
iii) u+ 0 = u, onde 0 = (0, ..., 0) é o vector nulo (existência de elemento neutro).
iv) u+ (−u) = 0, onde −u = (−u1, ...,−un) (existência de elemento simétrico).
v) α (u+ v) = αu+ αv (distributividade).
vi) (α+ β)u = αu+ βu (distributividade).
vii) α (βu) = (αβ)u (associatividade).
viii) 1u = u.
1Coligidos por: João Ferreira Alves, Ricardo Coutinho e José M. Ferreira.
1
Sejam v1, v2, ..., vn, vectores de Rm. Um vector v ∈ Rm diz-se uma combinação linear
de v1, v2, ..., vn, se existirem números reais x1, ..., xn, tais que
x1v1 + x2v2 + ...+ xnvn = v.
Os valores x1, x2, ..., xn, tomam o nome de coeficientes da combinação linear.
O conjunto de todas as combinações lineares de v1, v2, ..., vn, designa-se por
L ({v1,v2, ...,vn}) ,
e é chamado de conjunto gerado por {v1,v2, ...,vn} , o qual toma o nome de conjunto
gerador.
Se L ({v1,v2, ...,vn}) = Rm, diremos que {v1,v2, ...,vn} é um conjunto gerador de Rm.
Em termos de componentes, v1 = (v11, v21, ..., vm1) , v2 = (v12, v22, ..., vm2) , ..., vn =
(v1n, v2n, ..., vmn) formam um conjunto gerador de Rm se e só se a matriz

v11 v12 ... v1n
v21v22 ... v2n
... ... ... ...
vm1 vm2 ... vmn

 ,
pode ser transformada por operações elementares de linhas numa matriz em escada de linhas
com um pivô em cada linha (i .e., sem linhas nulas).
1.1 Exercícios
Exercício 1 Considere em R2 o conjunto G = {(1, 1) , (2, 2)} .
a) Mostre que o vector (−5,−5) é combinação linear dos vectores de G.
b) É também o vector (1, 0) combinação linear dos vectores de G?
c) O conjunto G gera R2?
d) Determine a forma geral dos vectores (a, b) ∈ L(G).
Exercício 2 Considere em R3 o conjunto G = {(1, 1, 1) , (0, 1, 1) , (1, 2, 2)} .
a) Mostre que o vector (2, 3, 3) é combinação linear dos vectores de G.
b) Mostre que o vector (0, 0, 1) não é combinação linear dos vectores de G.
c) O conjunto G gera R3?
d) Determine a forma geral dos vectores (a, b, c) ∈ L(G).
Exercício 3 Indique quais dos seguintes conjuntos de vectores geram R3:
a) {(1, 3, 3) , (4, 6, 4) , (−2, 0, 2) , (3, 3, 1)} .
b) {(1, 0, 0) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)} .
c) {(1, 4, 2) , (0, 0, 0) , (−1,−3,−1) , (0, 1, 1)} .
d) {(26, 47, 29) , (123, 0, 498)} .
2
Exercício 4 Quais dos conjuntos indicados a seguir geram R4?
a) {(1, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 1) , (1, 0, 0, 1) , (0, 1, 1, 0) , (0, 1, 1,−1)} .
b) {(1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 0) , (1, 1, 0, 0) , (1, 0, 0, 0)} .
c) {(1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 0) , (1, 1, 0, 0) , (1, 1, 0, 1)} .
d) {(11,−12, 1, 1) , (45, 17, 1, 20) , (21, 3, 41, 122)} .
Exercício 5 Determine o único valor de a que faz com que
G = {(1, 1, 1) , (1, 0, 1) , (0, 2, 0) , (3, 2, a)}
não seja um conjunto gerador de R3.
Exercício 6 Considere em R3 o conjunto G = {(1, 0, 1) , (0, 1, a) , (1, 1, b) , (1, 1, 1)} . Qual o
único par (a, b) ∈ R2 que faz com que G não gere R3?
Exercício 7 Considere em R4 o conjuntoG = {(1, 0, 1, 0) , (0, 1, 0, 1) , (1, 1, 0, 0) , (1, 1, 1, a)}.
Calcule o único valor de a que faz com que G não gere R4.
2 Dependência e independência linear
Os vectores de Rm, v1, v2, ..., vn, dizem-se linearmente dependentes sempre que um
deles é combinação linear dos restantes. Ou seja, os vectores v1, v2, ..., vn, são linearmente
dependentes se existir j ∈ {1, ..., n} tal que
vj ∈ L ({v1, ...,vj−1,vj+1, ...,vn}) ,
o que sucede se e só se existirem números reais c1, ..., cj−1, cj+1, ..., cn, tais que
vj = c1v1 + ...+ ci−1vj−1 + cj+1vi+1 + ...+ cnvn.
Em caso contrário diremos que os vectores v1, v2, ..., vn, são linearmente independentes.
São válidos os seguintes critérios para aferir se um conjunto de n vectores é linearmente
dependente ou independente:
i) No caso n = 2, v1, v2, são vectores linearmente dependentes se e só se um deles é
múltiplo do outro.
ii) Se existe j ∈ {1, ..., n} tal que vj = 0, então v1, ...,vj , ...,vn, são vectores linearmente
dependentes.
iii) v1, v2, ..., vn, são linearmente independentes se e só se o sistema homogéneo na forma
vectorial
x1v1 + x2v2 + ...+ xnvn = 0
nas variáveis x1, x2, ..., xn, só tem a solução nula.
3
Em termos de componentes, v1 = (v11, v21, ..., vm1) , v2 = (v12, v22, ..., vm2) , ..., vn =
(v1n, v2n, ..., vmn) , são linearmente independentes se e só se o sistema homogéneo

v11 v12 ... v1n
v21 v22 ... v2n
... ... ... ...
vm1 vm2 ... vmn




x1
x2
...
xn

 =


0
0
...
0

 ,
nas variáveis x1, x2, ..., xn, só tem a solução nula.
iv) v1 = (v11, v21, ..., vm1) , v2 = (v12, v22, ..., vm2) , ..., vn = (v1n, v2n, ..., vmn) , são linear-
mente independentes se e só se a matriz

v11 v12 ... v1n
v21 v22 ... v2n
... ... ... ...
vm1 vm2 ... vmn


pode ser transformada através de operações elementares de linhas numa matriz em
escada de linhas com n pivôs.
vi) Se n > m, v1, v2, ..., vn, são vectores linearmente dependentes.
2.1 Exercícios
Exercício 8 Em cada um dos seguintes casos, mostre que os vectores indicados são linear-
mente dependentes:
a) Em R3, v1 = (1, 1, 2), v2 = (2, 2, 4) .
b) Em R3, v1 = (1, 1, 1), v2 = (3, 3, 3), v3 = (0, 1, 1) .
c) Em R4, v1 = (0, 1, 0, 1), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (2, 3, 2, 3) .
d) Em R4, v1 = (0, 1, 0, 1), v2 = (1, 0, 1, 0), v3 = (2, 0, 1, 3), v4 = (0, 0, 0, 0) .
Exercício 9 Em cada um dos seguintes casos, analise se vectores indicados são linearmente
independentes:
a) Em R4, v1 = (1, 1, 0, 0) , v2 = (1, 0, 1, 0) , v3 = (0, 0, 1, 1) , v4 = (0, 1, 0, 1) .
b) Em R3, v1 = (1, 1, 2) , v2 = (1, 2, 1) , v3 = (3, 1, 1) .
Exercício 10 Quais dos seguintes conjuntos são constituídos por vectores linearmente in-
dependentes?
a) {(1, 1, 1) , (1, 2, 1)} ⊂ R3.
b) {(1, 1, 1) , (0, 1, 1) , (0, 0, 1)} ⊂ R3.
c) {(1, 1, 1) , (2, 2, 0) , (0, 0, 1)} ⊂ R3.
d) {(2, 46, 6) , (23, 2,−123) , (1, 23, 1) , (1, 10, 1)} ⊂ R3.
e) {(1, 0,−1, 0) , (4, 0,−3, 1) , (2, 0,−1, 1)} ⊂ R4.
f) {(1, 0,−1, 0) , (4, 0,−3, 1) , (2, 1,−1, 1)} ⊂ R4.
g) {(1, 1, 1, 1) , (1, 1, 1, 0) , (1, 1, 0, 0) , (1, 0, 0, 0)} ⊂ R4.
h) {(1, 23, 1, 14) , (1, 12, 1, 0) , (24,−1, 0, 0) , (11, 19, 17,−123) , (101, 119, 1, 1)} ⊂ R4.
4
Exercício 11 Calcule o único valor de a que faz com que os vectores de R4
v1 = (1, 0, 0, 2) , v2 = (1, 0, 1, 0) , v3 = (2, 0, 1, a)
sejam linearmente dependentes.
3 Bases de Rn
B = {v1,v2, ...,vn} diz-se uma base de Rm se L (B) = Rm e se v1,v2, ...,vn forem
vectores linearmente independentes.
As bases de Rm possuem as seguintes características:
• Se B = {v1,v2, ...,vn} é uma base de Rm então n = m. Isto é, todas as bases de Rm
possuem m vectores.
• Se v1,v2, ...,vn, são vectores linearmente independentes então B = {v1,v2, ...,vn} é
uma base de Rn.
• Se {v1,v2, ...,vn} é um conjunto gerador de Rn então B = {v1,v2, ...,vn} é uma base
de Rn.
3.1 Mudanças de base
Se B = {v1,v2, ...,vn} é uma base ordenada de Rn, qualquer vector x ∈ Rn pode ser
escrito de um único modo como combinação linear dos vectores v1,v2, ...,vn. Isto é, existem
escalares únicos α1, α2, ..., αm tais que
x = α1v1 + α2v2 + ...+ αnvn.
Dizemos então que (α1, α2, ..., αn) são as coordenadas de x na base ordenada B:
[x]
B
=


α1
α2
...
αn

 .
Designando por En = {e1, e2, ..., en} a base canónica de Rn e considerando as habituais
coordenadas do vector x na base En,
[x]
En
=


x1
x2
...
xn

 ,
passamos de [x]
B
para [x]
En
através da multiplicação de uma matriz que representamos por
MEn←B e a que chamamos matriz de mudança de base:
[x]
En
=MEn←B [x]B .
5
Concretamente, se v1 = (v11, v21, ..., vn1) , v2 = (v12, v22, ..., vn2) , ..., vn = (v1n, v2n, ..., vnn) ,
então
MEn←B =


v11 v12 ... v1n
v21 v22 ... v2n
... ... ... ...
vn1 vn2 ... vnn

 .
A passagem da base En para a base B será feita mediante a matriz
MB←En =M
−1
En←B
.
Dadas duas bases arbitrárias de Rn, B1 e B2 a matriz de mudança de base de B1 para
B2, MB2←B1 , pode ser obtida por intermédio da base canónica, En, através do diagrama
B1
MEn←B1−→ En
MB2←B1 ↓ ւMB2←En
B2
,
a partir do qual facilmente se conclui que
M
B2←B1
=MB2←EnMEn←B1 .
3.2 Exercícios
Exercício 12 Mostre que qualquer base de Rn tem n vectores.
Exercício 13 Determine quais dos seguintes conjuntos são bases de R2:
a) {(1, 0) , (0, 1)} .
b) {(1, 1) , (0, 3)} .
c) {(1, 0) , (0, 3) , (2, 5)} .
d) {(1, 2)} .
e) {(1, 1) , (0, 0)}.
Exercício 14 Quais dos conjuntos indicados a seguir constituem bases de R3?
a) {(1, 1, 1) , (1, 0, 1) , (1, 1, 0)} .
b) {(1, 1, 1) , (1, 0, 1) , (1, 2, 1)} .
c) {(3, 0, 0) , (1, 1, 0) , (2, 2, 2) , (1, 3, 5)} .
d) {(1, 1, 1) , (2, 2, 0)} .
Exercício 15 Indique quais dos conjuntos seguintes são bases de R4:
a) {(1, 0, 1, 0) , (1, 1, 0, 0) , (0, 0, 1, 0) , (2, 1,−1, 0)} .
b) {(1, 3, 0, 0) , (1, 1, 3, 1) , (2, 2, 3, 2) , (2, 3, 3, 2) , (2, 4, 1, 2)} .
c) {(2, 0, 0, 2) , (1, 1, 0, 0) , (0, 0, 2, 3) , (1, 2, 1, 2)} .
d) {(2, 0, 0, 2), (1, 1, 0, 0) , (1, 2, 1, 2)} .
6
Exercício 16 Seja B = {v1,v2} a base de R2 constituída pelos vectores
v1 = (1, 0) e v2 = (1, 1).
a) Qual é o vector de R2 que na base B tem coordenadas (2, 2)?
b) Calcule as coordenadas do vector (3, 5) na base B.
c) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as coordenadas de um vector
(a, b) ∈ R2 nesta base.
Exercício 17 Seja B = {v1,v2,v3} a base de R3 constituída pelos vectores
v1 = (2, 0, 0), v2 = (1, 1, 0) e v3 = (1, 1, 1).
a) Qual é o vector de R3 que na base B tem coordenadas (0, 3, 5)?
b) Calcule as coordenadas do vector (2, 0, 1) na base B.
c) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as coordenadas de um vector
(a, b, c) ∈ R3 nesta base.
Exercício 18 A é matriz de mudança de base se e só se A é invertível. Justifique.
Exercício 19 Quais das matrizes indicadas a seguir podem ser matrizes de mudança da
base canónica, E2, para uma outra base B de R2? Nos casos afirmativos indique a respectiva
base B.
A =
�
5 0
0 4
�
. B =
�
2 1
3 1
�
. C =
�
−1 4
2 −8
�
. D =
�
1 −1
1 1
�
.
Exercício 20 Os vectores u = (−1, 2) e v = (2, 3) constituem uma base de R2.
a) Qual a matriz, MB1←−E2, de mudança da base canónica, E2, para B1 = {u,v}?
b) Se B2 = {x,y} for uma outra base de R2 cuja matriz de mudança da base canónica, E2,
para B2 é
MB2←E2 =
�
−2 4
−5 1
�
,
determine x e y.
c) Qual a matriz, MB2←−B1, de mudança da base B1 para B2?
Exercício 21 Dois vectores u e v de R2 têm nas bases B1 e B2, respectivamente, as seguintes
coordenadas:
[u]
B1
= (1,−1) , [u]
B2
= (0, 2) , [v]
B1
= (1, 2) , [v]
B2
= (3, 6) .
Quais as matrizes de mudança de base: MB2←B1 e MB1←B2?
7
4 Subespaços de Rn
Um subconjunto S ⊂ Rn é dito um subespaço de Rn se satisfizer as seguintes condições:
1) x+ y ∈ S, ∀x ∈ S, ∀y ∈ S.
2) αx ∈ S, ∀x ∈ S,∀α ∈ R.
4.1 Bases e dimensão de subespaços
À semelhança do que sucede com Rn, relativamente a um qualquer subespaço S de Rn,
podemos analogamente formular o conceito de base de S. Assim, B = {b1, ...,bp} ⊂ S diz-se
uma base de S, se b1, ...,bp forem vectores linearmente independentes e L (B) = S.
Mantêm-se as seguintes características das bases de Rn:
• Todas as bases de S possuem o mesmo número de elementos. Esse número é chamado
de dimensão de S e representado por dimS.
• Se dimS = p, qualquer conjunto de p vectores de S que sejam linearmente indepen-
dentes constitui uma base de S.
• Se dimS = p, qualquer conjunto de p vectores de S que sejam geradores de S, constitui
uma base de S.
4.2 Exemplos
1. S = {0} constitui um subespaço de Rn, chamado subespaço trivial. Adoptaremos a
convenção de que este subespaço é gerado pelo conjunto vazio. Isto é, convenciona-se
que L (∅) = {0} . Assim, como o vector nulo é linearmente dependente, a única base
do subespaço nulo é o conjunto ∅ e por conseguinte, a sua dimensão é zero.
2. Se v1, v2, ..., vp, são vectores de Rn, L ({v1,v2, ...,vp}) é um subespaço de Rn, dito
agora subespaço gerado por {v1,v2, ...,vp} .
3. Se U e V são dois subespaços de Rn, o conjunto U ∩ V também é um subespaço de
Rn, dito subespaço intersecção de U com V. O conjunto U ∪ V pode não ser um
subespaço de Rn. Por essa razão, considera-se o conjunto
U + V = {x+ y : x ∈ U e y ∈ V } ,
o qual constitui um subespaço de Rn, dito subespaço soma de U com V. É ele o
menor subespaço de Rn que contém U ∪ V. As dimensões destes espaços relacionam-se
através da fórmula
dim (U + V ) + dim (U ∩ V ) = dimU + dimV.
8
4. Associados a uma matriz m× n,
A =


a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
am1 am2 ... amn


são considerados os seguintes subespaços:
(a) Se
a1 = (a11, a21, ..., am1) , a2 = (a12, a22, ..., am2) , ..., an = (a1n, a2n, ..., amn) ,
são as colunas de A, L ({a1,a2, ..., an}) é um subespaço de Rm, chamado de su-
bespaço das colunas da matriz A e representado por ColA. Observemos que
y ∈ ColA se e só se existe x ∈ Rn tal que Ax = y.
(b) NulA = {x ∈ Rn : Ax = 0} é um subespaço de Rn, designado por subespaço
nulo da matriz A.
4.3 Característica e nulidade de uma matriz
Dada uma matriz A (m× n) , à dimensão do subespaço ColA chama-se característica
de A, que designaremos por c (A):
c (A) = dim (ColA) .
A dimensão do espaço nulo de A toma o nome de nulidade de A e será designada por
n (A):
n (A) = dim (NulA) .
Característica e nulidade satisfazem as seguinte relação fundamental:
c (A) + n (A) = n.
4.4 Teorema da matriz inversa
Estes novos conceitos permitem-nos actualizar o teorema da matriz inversa do seguinte
modo:
Seja A uma matriz n× n. Então são equivalentes as seguintes afirmações:
(1) A é invertível.
(2) Para qualquer d ∈ Rn, o sistema Ax = d é possível e determinado.
(3) O sistema homogéneo Ax = 0 só tem a solução nula.
(4) ColA = Rn.
(5) NulA = {0} .
(6) c (A) = n.
(7) n (A) = 0.
9
4.5 Exercícios
Exercício 22 Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do plano, iden-
tificando os que são subespaços de R2:
a) S = {(x, y) ∈ R2 : x = 0} .
b) S = {(x, y) ∈ R2 : x+ y = 0} .
c) S = {(x, y) ∈ R2 : x+ y = 0 e x− y = 0} .
d) S = {(x, y) ∈ R2 : x+ y = 1} .
e) S = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.
Exercício 23 Represente graficamente cada um dos seguintes subconjuntos do espaço, iden-
tificando os que são subespaços de R3:
a) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0} .
b) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 1} .
c) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 0 e x− y + 2z = 0 } .
d) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y = 1 e x− y + 2z = 0} .
e) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1} .
f) S = {(x, y, z) ∈ R3 : xyz = 0} .
Exercício 24 Considere as matrizes
A =
�
1 1
1 1
�
e B =

 1 3 12 0 4
1 −3 −3

 .
a) (1, 3) ∈ ColA?
b) (1, 0, 0) ∈ ColB?
c) Qual a nulidade de A? E de B?
d) Represente geometricamente ColA.
Exercício 25 Determine a característica de cada uma das matrizes indicadas a seguir. Que
conclui sobre a sua invertibilidade?
a)

 2 1 31 −1 2
1 0 3

 . b)

 1 −1 23 −3 6
−2 2 4

 . c)

 1 3 25 1 1
6 4 3

 .
Exercício 26 Para cada uma das matrizes indicadas a seguir, determine bases para o espaço
das colunas e para o espaço nulo. Indique ainda a característica e a nulidade de cada uma
10
delas.
a) A =
	
1 0
. b) A =
�
1 1
1 1
�
. c) A =
�
1 2 1
1 1 2
�
.
d) A =

 1 12 1
1 2

 . e) A =

 1 0 01 1 0
1 1 1

 . f) A =

 1 −1 11 1 3
0 1 1

 .
g) A =

 1 4 −2 33 6 0 3
3 4 2 1

 . h) A =


1 4 2
0 0 0
−1 −3 −1
0 1 1

 . i) A =


1 2 3 4
2 1 2 3
3 2 1 2
4 3 0 1

 .
Exercício 27 Para a, b, c ∈ R\ {0} quaisquer, que valores deve assumir d para que a matriz�
a b
c d
�
tenha característica 1?
Exercício 28 Com h ∈ R seja
A =

 1 3 −2 1−1 1 2 3
2 −1 −4 h


a) Para que valores de h tem A característica máxima?
b) Se h = −5 qual a nulidade de A?
Exercício 29 Seja A uma matriz 5× 5. É verdadeiro ou falso que:
a) Se NulA = {0}, então Ax = b tem uma e uma só solução, qualquer que seja b ∈ R5.
b) Se dim(ColA) = 4, então Ax = b é um sistema possível, qualquer que seja b ∈ R5.
c) Se c (A) = 3, então A x = 0 é um sistema possível com 3 variáveis livres.
d) Se c (A) = 3, então c
�
AT
�
= 2.
e) Se c (A) = 5, então a matriz A não é invertível.
Exercício 30 Determine uma base e a dimensão de cada um dos seguintes subespaços:
a) S = {(x, y) ∈ R2 : x+ y = 0} .
b) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + 2z = 0 } .
c) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0 e x+ y + 2z = 0 } .
d) S = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x+ y + z + w = 0 e x+ y + 2z = 0 } .
e) S = L{(1, 1) , (2, 1) , (1, 2)} .
f) S = L{(1,−1, 1) , (1, 1, 3) ,(0, 1, 1)} .
g) S = L{(1, 4,−2, 3) , (3, 6, 0, 3) , (3, 4, 2, 1)} .
11
5 Espaços e subespaços vectoriais
Um conjunto E �= ∅ diz-se um espaço vectorial sobre K = R ou C, se estiver munido
de duas operações, uma entre elementos deE a que chamaremos soma e outra entre elementos
de E e elementos de K a que chamaremos produto escalar,
+ : u,v ∈ E → u+ v, . : α ∈ K,v ∈ E → α.v,
verificando os seguintes axiomas:
i) Associatividade da soma: (u+ v) +w = u+ (v +w) , ∀u,v,w ∈ E.
ii) Comutatividade da soma: u+ v = v + u, ∀u,v ∈ E.
iii) Existência de elemento neutro ou zero: u+ 0 = u, ∀u ∈ E.
iv) Existência de elemento simétrico : u+ (−u) = 0, ∀u ∈ E.
v) Distributividade do produto por escalares em relação à soma em E: α. (u+ v) =
α.u+ α.v, ∀u,v ∈ E, ∀α ∈ K.
vi) Distributividade do produto por escalar em relação à adição em K: (α+ β) .u =
α.u+ β.u, ∀u ∈ E, ∀α, β ∈ K.
vii) Associatividade entre o produto por escalar e a multiplicação emK: α. (β.u) = (αβ) .u,
∀u ∈ E, ∀α, β ∈ K.
viii) A unidade de K como elemento neutro do produto por escalares: 1.u = u, ∀u ∈ E.
O primeiro exemplo de espaço vectorial (sobre R) que nos pode ocorrer é o de Rn.
Podemos mesmo observar ser um espaço vectorial algo com uma estrutura algébrica idêntica
à de Rn. Daí que os diversos conceitos apresentados relativamente a Rn possam analogamente
ser formulados num qualquer espaço vectorial E sobre K. Muito brevemente recordamo-los
seguidamente:
• Um subconjunto S ⊂ E é dito um subespaço de E se satisfizer as seguintes condições:
1) x+ y ∈ S, ∀x ∈ S, ∀y ∈ S.
2) αx ∈ S, ∀x ∈ S, ∀α ∈ K.
Nestas condições, S verifica todos os axiomas i)-viii), constituindo ele próprio um espaço
vectorial sobre K e em particular 0 ∈ S.
• Dados v1, v2, ..., vn, elementos de E, v ∈ E diz-se uma combinação linear de v1, v2, ...,
vn, se existirem escalares x1, ..., xn ∈ K tais que
x1v1 + x2v2 + ...+ xnvn = v.
O conjunto de todas as combinações lineares de v1, v2, ..., vn designa-se por
L ({v1,v2, ...,vn}) e forma o subespaço de E gerado por {v1,v2, ...,vn} .
12
• Os elementos de E, v1, v2, ..., vn, dizem-se linearmente dependentes sempre que um
deles é combinação linear dos restantes. Em caso contrário diremos que v1, v2, ..., vn,
são linearmente independentes; v1, v2, ..., vn são linearmente independentes se e só se
x1v1 + x2v2 + ...+ xnvn = 0⇔ x1 = x2 = ... = xn = 0.
• B = {v1,v2, ...,vn} diz-se uma base de E se L (B) = E e se v1,v2, ...,vn forem vectores
linearmente independentes.
• Teorema de Steinitz. Dado um espaço vectorial E sobre K:
a) Se B = {v1,v2, ...,vn} é uma base de E, então todas as bases de E possuem n
elementos; n diz-se a dimensão de E (dimE = n) .
b) Se dim = n e v1,v2, ...,vn, são vectores linearmente independentes então B =
{v1,v2, ...,vn} é uma base de E.
c) Se dimS = n, e L ({v1,v2, ...,vn}) = E então B = {v1,v2, ...,vn} é uma base de
E.
5.1 Exemplos
Vejamos alguns exemplos significativos de espaços vectoriais.
1. Cn = {(z1, ..., zn) : z1, ..., zn ∈ C} munido de soma e de produto escalar análogos aos
definidos para Rn, constitui um espaço vectorial sobre R. Facilmente se verifica que
B = {(1, 0, ..., 0) , ..., (0, ..., 0, 1) , (i, 0, ..., 0) , ..., (0, ..., 0, i)}
é uma base de Cn enquanto espaço vectorial real. A sua dimensão será pois 2n.
2. Mas do mesmo modo Cn também constitui um espaço vectorial sobre C, tendo como
base
B = {(1, 0, ..., 0) , ..., (0, ..., 0, 1)} .
A sua dimensão será pois igual a n.
3. Designemos por Mm×n (R) o conjunto de todas as matrizes reais m × n. Munido da
soma de matrizes e do produto de um escalar real por uma matriz, obtemos um espaço
vectorial sobre R de dimensão mn: dimMm×n (R) = mn.
Por exemplo M2×2 (R) tem como base
�
1 0
0 0
�
,
�
0 1
0 0
�
,
�
0 0
1 0
�
,
�
0 0
0 1
��
e dimM2×2 (R) = 4.
4. Mm×n (C) , conjunto das matrizes complexas m×n, munido das mesmas operações de
soma de matrizes e de produto de um escalar complexo por uma matriz, forma um
espaço vectorial sobre C, cuja dimensão é igualmente mn.
13
5. Seja F (R) o conjunto de todas as funções reais tendo como domínio R. Consideremos
a soma de duas funções f1 e f2 como sendo a função f1 + f2 dada por
(f1 + f2) (t) = f1 (t) + f2 (t) , ∀t ∈ R,
e o produto de um escalar real α por uma função f como sendo a função αf tal que
(αf) (t) = αf (t) , ∀t ∈ R.
Munido destas operações F (R) constitui um espaço vectorial sobre R. Contudo, F (R)
não admite nenhuma base finita, dizendo-se por isso de um espaço de dimensão
infinita.
6. Facilmente se observa que o conjunto dos polinómios de coeficientes reais com grau
não superior a n,
Pn (R) = {a0 + a1t+ ...+ ant
n : a0, a1, ..., an ∈ R}
é um subespaço vectorial de F (R) . Ao contrário de F (R) , Pn (R) tem dimensão finita,
pois
Pn = {1, t, ..., t
n}
constitui uma base de Pn (R), sendo portanto dimPn (R) = n+ 1.
7. Também o conjunto de todos os polinómios de coeficientes reais, independentemente
do seu grau,
P (R) = {a0 + a1t+ ...+ ant
n : n ∈ N, a0, a1, ..., an ∈ R} ,
constitui um subespaço vectorial de F (R) , igualmente de dimensão infinita.
5.2 Exercícios
Exercício 31 Indique se os seguintes subconjuntos do espaço vectorial P3 (polinómios com
grau menor ou igual a 3) constituem subespaços de P3:
U = {p (t) ∈ P3 : p (0) = p (1)} .
V = {p (t) ∈ P3 : p (−1) = p (0) = p (1) = 0} .
W =
�
a+ bt+ ct2 + dt3 : a, b, c, d ∈ Z
�
.
Exercício 32 O subconjunto do espaço vectorial P2 (dos polinómios com grau ≤ 2),
U = {p (t) ∈ P2 : p (0) = a} ,
é um subespaço de P2 para qualquer valor de a ∈ R?
Exercício 33 Relativamente ao espaço vectorial, F, das funções f : R → R, indique quais
dos seguintes conjuntos são subespaços de F:
U = {f ∈ F : f (t) + f (−t) = 0, ∀t ∈ R} .
V = {f ∈ F : f (t) = cos (πt) , ∀t ∈ Z} .
W = {f ∈ F : f (t) = sin (πt) , ∀t ∈ Z} .
X = {f ∈ F : f é diferenciável e f ′ (t) = f (t) , ∀t ∈ R} .
14
Exercício 34 SejaMn×n (R) o espaço vectorial das matrizes reais n×n. Quais dos seguintes
subconjuntos de Mn×n (R) são subespaços de Mn×n (R)?
U = {A ∈Mn×n (R) : A é invertível} .
V = {A ∈Mn×n (R) : A não é invertível} .
W = {A ∈Mn×n (R) : trA = 0} .
X = {A ∈Mn×n (R) : A é simétrica} .
Y = {A ∈Mn×n (R) : A é de Markov} .
Exercício 35 Considere em P2 o conjunto de polinómios G = {1 + t, 1− t2} .
a) Mostre que o polinómio t+ t2 é combinação linear dos elementos de G.
b) Mostre que o polinómio t não é combinação linear dos elementos de G.
c) G gera P2?
d) Determine a forma geral dos polinómios p(t) ∈ L(G).
Exercício 36 Mostre que os polinómios
p1 (t) = 1 + 2t− t
2, p2 (t) = 3 + t
2, p3 (t) = 5 + 4t− t
2, p4 (t) = −2 + 2t− t
2
geram P2.
Exercício 37 Mostre que no espaço vectorial, F, das funções reais de variável real, cada um
dos seguintes conjuntos é constituído por funções linearmente dependentes.
a)
�
2, sin2(t), cos2(t)
�
b)
�
cos(2t), sin2(t), cos2(t)
�
c) {et, e−t, cosh(t)} d)
�
1, t, t2, (t+ 1)2
�
.
Exercício 38 Dadas n funções f1 : R→ R, f2 : R→ R, ..., fn : R→ R, do espaço vectorial,
F, das funções reais de variável real, mostre que se existirem números t1, t2, ..., tn ∈ R tais
que a matriz 

f1 (t1) f2 (t1) ... fn (t1)
f1 (t2) f2 (t2) ... fn (t2)
...
...
...
...
f1 (tn) f2 (tn) ... fn (tn)


é invertível, então f1, f2,..., fn são linearmente independentes.
Exercício 39 Aplicando o exercício anterior, mostre que os conjuntos
�
1, t, et
�
e {sin(t), cos(t), t cos(t)}
são constituídos por funções linearmente independentes. (Sugestão: no primeiro caso faça
t1 = 0, t2 = 1, t3 = −1; no segundo faça t1 = 0, t2 = π/2, t3 = π).
15
Exercício 40 Seja B = {p1, p2, p3} o subconjunto de P2 constituído pelos polinómios
p1 (t) = 1 + t, p2 (t) = 1 + 2t e p3 (t) = t2.
a) Mostre que B é uma base de P2.b) Qual é o polinómio que nesta base tem coordenadas (1, 3,−2)?
c) Determine as coordenadas do polinómio 2 + 2t− t2 na base B.
d) Mediante uma matriz de mudança de base apropriada, calcule as coordenadas de um
polinómio a+ bt+ ct2 na base B.
Exercício 41 Considere o espaço vectorial P3 e a sua base canónica P3 = {1, t, t2, t3} .
a) Mostre que B = {1 + t, 1− t− t2, t2, t3} é também uma base de P3.
b) Qual a matriz de mudança de base de P3 para B?
c) Quais as coordenadas do polinómio 1− 2t+ t3 na base B?
Exercício 42 Sejam U e V subespaços de um mesmo espaço vectorial E.
a) Mostre que intersecção U ∩ V é um subespaço de E.
b) Dê exemplos em que:
i) A união U ∪ V é um subespaço de E.
ii) A união U ∪ V não é um subespaço de E.
Exercício 43 Sejam U e V subespaços de um espaço vectorial E e considere-se o subcon-
junto soma
U + V
def
= {u+ v : u ∈ U e v ∈ V } .
Mostre que:
a) O conjunto U ∪ V está contido no conjunto U + V.
b) A soma U + V é um subespaço de E.
c) Se W for um subespaço de E que contém U ∪ V, então W também contém U + V .
d) A soma U + V é o menor subespaço de E que contém U ∪ V.
Exercício 44 Relativamente aos subespaços de R3 descritos a seguir, determine uma base
e a sua dimensão.
a) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0 } ∩ {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y − 3z = 0 } .
b) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0 } ∩ L ({(1, 1, 1) , (0, 1, 1)}) .
c) S = L ({(1, 0, 0) , (0, 0, 1)}) ∩ L ({(1, 1, 1) , (0, 1, 1)}) .
d) S = L ({(1, 0, 0) , (0, 0, 1)}) + L ({(1, 1, 1) , (0, 1, 1)}) .
e) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0}+ L ({(1, 1, 1) , (0, 1, 1)}) .
f) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0 }+ {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y − 3z = 0} .
16
Exercício 45 Considere os seguintes subespaços U e V de R3 e determine uma base do
subespaço soma U + V e uma base do subespaço intersecção U ∩ V .
a) U = {(0, 0, 0)} e V = {(0, 0, 0)} .
b) U = {(0, 0, 0)} e V = L{(1, 1, 1)}..
c) U = L{(1, 0, 0)} e V = L{(0, 1, 0)}.
d) U = L{(1, 0, 0)} e V = L{(1, 0, 0)}.
e) U = L{(1, 0, 0)} e V = L{(0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.
f) U = L{(1, 0, 0)} e V = L{(0, 1, 0) , (1, 1, 0)}.
Exercício 46 Considere os seguintes subespaços U e V de R4 e determine uma base do
subespaço soma U + V e uma base do subespaço intersecção U ∩ V .
a) U = L{(0, 1,−1, 1) , (1, 0, 1, 0) , (1, 1, 0, 1)} e V = L{(0, 1, 0, 0) , (1, 0, 0, 0) , (1, 1, 0, 0)}.
b) U = L{(0, 1,−1, 1) , (1, 0, 1, 0) , (1, 1, 0, 1)} e V = L{(0, 1, 0, 0) , (1, 0, 0, 0) , (1, 2,−1, 1)}.
c) U = L{(1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0) , (1, 1, 0, 1)} e V = L{(1, 1, 1, 0) , (1, 1,−1, 0) , (0, 0, 0, 1)}.
d) U = L{(1, 1, 0, 0) , (0, 1, 1, 0) , (0, 0, 1, 1)} e V = L{(1, 0,−1, 0) , (0, 1, 0,−1) , (1, 1, 1, 1)}.
e) U = L{(1, 1, 0, 0) , (0, 1, 1, 0) , (0, 0, 1, 1)} e V = L{(1, 0,−1, 0) , (0, 1, 0,−1)}.
f) U = L{(1, 1, 0, 0) , (0, 1, 1, 0) , (0, 0, 1, 1)} e V = L{(1, 0,−1, 1) , (0, 1, 0,−2)}.
g) U = L{(1, 1, 0, 0) , (1, 1, 1, 1) , (0, 0, 1, 1)} e V = L{(1, 0, 1, 0) , (2, 1, 2, 1)}.
Exercício 47 Determine uma base para cada um dos seguintes subespaços de P3:
a) S = {p(t) ∈ P3 : p(0) = 0} .
b) S = {p(t) ∈ P3 : p(1) = 0} .
c) S = {p(t) ∈ P3 : p(1) = p (0)} .
Exercício 48 Considere o espaço vectorial Mm×n (R) ,das matrizes reais m× n.
a) Mostre que S =
�
A ∈M2×3 (R) :
	
1 1
A = 0
�
é um subespaço de M2×3 (R) . Determine
uma base deste subespaço.
b) Mostre que o conjunto S =
�
A ∈M2×2 (R) : A = A
T
�
(das matrizes que são simétricas)
é um subespaço de M2×2 (R) e determine uma sua base.
c) Mostre que o conjunto S = {A = [aij ] ∈ M3×3 (R) : aij = 0 se i+ j é par} é um subespaço
de M3×3 (R) . Encontre uma base para este subespaço.
Exercício 49 No espaço vectorial C2 (R) das funções reais de variável real que são duas
vezes diferenciáveis, considere o subconjunto
S =
�
f ∈ C2 (R) : f ′′ − 2f ′ + f = 0
�
.
a) Mostre que S é um subespaço de C2 (R) .
b) Mostre que o conjunto {et, tet} é uma base de S. (Sugestão: mostre que se f ∈ S, então
f(t)e−t é um polinómio com grau � 1).
c) Tendo em conta a alínea anterior mostre que, dados a e b ∈ R, existe uma e uma só
função f ∈ S tal que f(0) = a e f ′(0) = b.
17
6 Soluções
1) b) Não. c) Não. d) L (G) = {(a, b) ∈ R2 : a = b} .
2) c) G não gera R3. d) L(G) = {(a, b, c) ∈ R3 : b = c}.
3) a) Não. b) Sim c) Não. d) Não.
4) a) Sim. b) Sim. c) Não. d) Não.
5) a = 3.
6) (a, b) = (0, 1).
7) a = 1.
9) a) L.D. b) L. I.
10)a) L. I. b) L. I. c) L.D. d) L.D. e) L.D. f) L. I. g) L. I. h) L.D.
11) a = 2.
13) a) Sim. b) Sim. c) Não. d) Não. e) Não.
14) a) É base de R3. b) Não é base de R3. c) Não é base de R3. d) Não é base de R3.
15) a) Não é base de R4. b) Não é base de R4. c) É base de R4. d) Não é base de R4.
16) a) (4, 2) . b) (−2, 5) . c) (a− b, b).
17) a) (8, 8, 5) . b) (1,−1, 1). c)
�
1
2
a− 1
2
b, b− c, c
�
.
19)A, B = {(1/5, 0) , (0, 1/4)} .B, B = {(−1, 3) , (1,−2)} .D, B = {(1/2,−1/2) , (1/2, 1/2)} .
C não é matriz de mudança de base.
20) a) MB1←E2 =
�
−3/7 2/7
2/7 1/7
�
.
b) x = (1/18, 5/18) , y = (−2/9,−1/9) .
c) MB2←B1 =
�
10 8
7 −7
�
.
21) MB2←B1 =
�
1 1
10/3 4/3
�
e MB1←B2 =
�
−2/3 1/2
5/3 −1/2
�
.
22) a) É subespaço de R2. b) É subespaço de R2. c) É subespaço de R2.
d) Não é subespaço de R2. e) Não é subespaço de R2.
23) a) É subespaço de R3. b) Não é subespaço de R3. c) É subespaço de R3.
d) Não é subespaço de R3. e) Não é subespaço de R3. f) Não é subespaço de R3.
24) a) Não. b) Sim. c) 1 e 0. d) Recta y = x.
25) a) 3; invertível. b) 2; não invertível. c) 2; não invertível.
26) a) {1} é base de ColA, c (A) = 1, {(0, 1)} é base de NulA, n (A) = 1.
b) {(1, 1)} é base de ColA, c (A) = 1, {(−1, 1)} é base de NulA, n (A) = 1.
c) {(1, 1) , (2, 1)} é base de ColA, c (A) = 2, {(−3, 1, 1)} é base de NulA, n (A) = 1.
18
d) {(1, 2, 1) , (1, 1, 2)} é base de ColA =, c (A) = 2,
∅ é base de NulA, n (A) = 0.
e) {(1, 1, 1) , (0, 1, 1) , (0, 0, 1)} é base de ColA, c (A) = 3,
∅ é base de NulA, n (A) = 0.
f) {(1, 1, 0) , (−1, 1, 1)} é base de ColA =, c (A) = 2,
{(−2,−1, 1)} é base de NulA, n (A) = 1.
g) {(1, 3, 3) , (4, 6, 4)} é base de ColA =, c (A) = 2,
{(−2, 1, 1, 0) , (1,−1, 0, 1)} é base de NulA, n (A) = 2.
h) {(1, 0,−1, 0) , (4, 0,−3, 1)} é base de ColA, c (A) = 2,
{(2,−1, 1)} é base de NulA, n (A) = 1.
i) {(1, 2, 3, 4) , (2, 1, 2, 3) , (3, 2, 1, 0)} é base de ColA, c (A) = 3,
{(−1, 0,−5, 4)} é base de NulA =, n (A) = 1.
27) d = bc/a.
28) a) h �= −5. b) n (A) = 2.
29) a) V. b) F. c) F. d) F. e) F.
30) a) {(−1, 1)} é uma base de S, dimS = 1.
b) {(−1, 1, 0) , (−2, 0, 1)} é uma base de S, dimS = 2.
c) {(−1, 1, 0)} é uma base de S, dimS = 1.
d) {(−1, 1, 0, 0) , (−1,−1, 1, 1)} é uma base de S, dimS = 2.
e) {(1, 1) , (1, 2)} é uma base de S, dimS = 2.
f) {(1,−1, 1) , (1, 1, 3)} é uma base de S, dimS = 2.
g) {(1, 4,−2, 3) , (3, 6, 0, 3)} é uma base de S, dimS = 2.
31) U e V são subespaços de P3. W não.
32) U é subespaço de P3 se e só se a = 0.
33) U, W e X são subespaços de F. V não.
34) W e X são subespaços de Mn×n (R) . U, V e Y não.
35) c) G não gera P2. d) L(G) = {b− c+ bt+ ct2 : b, c ∈ R} .
40) b) 4 + 7t− 2t2; c) (2, 0,−1) ; d) (2a− b, b− a, c) .
41) b) MP3→B =


1/2 1/2 0 0
1/2 −1/2 0 0
1/2 −1/2 1 0
0 0 0 1

 .
c) (−1/2, 3/2, 3/2, 1) .
19
44) a) {(−1, 1, 0)} é uma base de S, dimS = 1.
b) {(−2, 1, 1)} é uma base de S, dimS = 1.
c) {(1, 0, 0)} é uma base de S, dimS = 1.
d) {(1, 0, 0) , (0, 0, 1) , (1, 1, 1)} é uma base de S, dim(S) = 3.
e) {(1, 1, 1) , (0, 1, 1) , (−1, 1, 0)} é uma base de S, dimS = 3.
f) {(−1, 1, 0) , (−1, 0, 1) , (3, 0, 1)} é uma base de S, dimS = 3.
45) a) A base de U ∩ V e de U + V é o conjunto vazio.
b) A base de U ∩ V é o conjunto vazio. Uma base de U + V é {(1, 1, 1)}.
c) A base de U ∩V é o conjunto vazio. Uma base de U + V é {(1, 0, 0) , (0, 1, 0)}.
d) Uma base de U ∩ V e de U + V é {(1, 0, 0)}.
e) A base de U ∩ V é o conjunto vazio. Uma base de U +V é {(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1)}.
f) A base de U ∩ V é {(1, 0, 0)}. Uma base de U + V é {(1, 0, 0) , (0, 1, 0)}.
46) a) A base de U ∩ V é o conjunto vazio.
Uma base de U + V é {(0, 1,−1, 1) , (1, 0, 1, 0) , (0, 1, 0, 0) , (1, 0, 0, 0)}.
b) Uma base de U ∩ V é {(0,−1, 1,−1)} .
Uma base de U + V é {(0, 1,−1, 1) , (1, 0, 1, 0) , (0, 1, 0, 0) , (1, 0, 0, 0)}.
c) Uma base de U ∩ V é {(1, 1, 0, 0) , (0, 0, 0, 1)}.
Uma base de U + V é {(1, 0, 0, 0) , (0, 1, 0, 0) , (1, 1, 0, 1) , (1, 1, 1, 0)}.
d) Uma base de U ∩ V é {(1, 0,−1, 0) , (0, 1, 0,−1) , (1, 1, 1, 1)} = U = V .
Uma base de U + V é {(1, 1, 0, 0) , (0, 1, 1, 0) , (0, 0, 1, 1)}.
e) Uma base de U ∩ V é {(1, 0,−1, 0) , (0, 1, 0,−1)}.
Uma base de U + V é {(1, 1, 0, 0) , (0, 1, 1, 0) , (0, 0, 1, 1)}.
f) Uma base de U ∩ V é {(1, 1,−1,−1)}.
Uma base de U + V é {(1, 1, 0, 0) , (0, 1, 1, 0) , (0, 0, 1, 1) , (1, 0,−1, 1)}.
g) Uma base de U ∩ V é {(1, 1, 1, 1)}.
Uma base de U + V é {(1, 1, 0, 0) , (1, 1, 1, 1) , (1, 0, 1, 0)}.
47) a) {t, t2, t3} é uma base de S. b) {t− 1, t2 − 1, t3 − 1} é uma base de S.
c) {1, t2 − t, t3 − t} é uma base de S.
48) a)
�
1 0 0
−1 0 0
�
,
�
0 1 0
0 −1 0
�
,
�
0 0 1
0 0 −1
��
.
b)
�
1 0
0 0
�
,
�
0 0
0 1
�
,
�
0 1
1 0
��
.
c)



0 0 01 0 0
0 0 0

 ,

0 1 00 0 0
0 0 0

 ,

0 0 00 0 0
0 1 0

 ,

0 0 00 0 1
0 0 0



 .
20
IST - 2o Semestre de 2012/13
LEGM, LMAC, MEFT, MEBiom, MEC
EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR
FICHA 3 - Transformações Lineares
1
1 Linearidade
Transformações lineares são funções
T : E1 → E2
entre dois espaços vectoriais E1 e E2 (sobre R ou C) com as seguintes características:
i) T (u+ v) = T (u) + T (v), ∀u,v ∈ E1.
ii) T (αu) = αT (u), ∀u ∈ E1, ∀α ∈ K.
A partir destes axiomas pode facilmente mostrar-se que as transformações lineares go-
zam das seguintes propriedades:
• T (αu+ βv) = αT (u) + βT (v), ∀u,v ∈ E1, ∀α, β ∈ K.
• T (−u) = −T (u).
• T (0) = 0.
Um exemplo de transformação linear pode ser obtido através da operação de derivação
de funções, dadas as suas propriedades no que concerne à soma e ao produto de funções. Se
considerarmos o espaço P de todos os polinómios, a função D : P→ P tal que
Dp (t) = p′ (t) ,
ou mais concretamente
D
�
ant
n + ...+ a2t
2 + a1t+ a0
�
= nant
n−1 + (n− 1) an−1tn−2 + ...+ 2a2t+ a1,
constitui uma transformação linear entre P e ele próprio.
1Coligidos por: João Ferreira Alves, Ricardo Coutinho e José M. Ferreira.
1
1.1 Algumas transformações lineares de R2 em R2
Outro exemplo de transformação linear
T : Rn → Rm
é-nos dado pelo produto de uma matriz A, m× n, por um vector coluna x ∈ Rn:
T (x) = Ax.
Entre elas constam as seguintes transformações lineares de R2 em R2 (ver exercícios 8 e 11
da secção seguinte).
1. MUDANÇA DE ESCALA:
Sr (x, y) = (rx, ry) =
�
r 0
0 r
� �
x
y
�
.
(ampliação se r > 1, redução se r < 1).
2. ROTAÇÃO EM TORNO DA ORIGEM DE AMPLITUDE θ:
Rθ (x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) =
�
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
� �
x
y
�
.
3. REFLEXÃO RELATIVAMENTE ÀS RECTAS y = ±x:
R (x, y) = (±y,±x) =
�
0 ±1
±1 0
� �
x
y
�
.
4. REFLEXÃO RELATIVA AO EIXO DOS xx:
Rx (x, y) = (x,−y) =
�
1 0
0 −1
� �
x
y
�
.
5. REFLEXÃO RELATIVA AO EIXO DOS yy:
Ry (x, y) = (−x, y) =
� −1 0
0 1
� �
x
y
�
.
6. REFLEXÃO RELATIVA À ORIGEM:
R0 (x, y) = (−x,−y) =
� −1 0
0 −1
� �
x
y
�
.
7. PROJECÇÃO SOBRE O EIXO DOS xx:
Px (x, y) = (x, 0) =
�
1 0
0 0
� �
x
y
�
.
8. PROJECÇÃO SOBRE O EIXO DOS yy:
Py (x, y) = (0, y) =
�
0 0
0 1
� �
x
y
�
.
2
1.2 Exercícios
Exercício 1 T : R4 → R2 é uma transformação linear tal que
T (u1) = (1,−1) , T (u2) = (1, 2) , T (u3) = (−3,−1) .
a) Calcule
i) T (u1 − 2u2) . ii) T (3u1 − u2) . iii) T (u1 − u2 + 4u3) .
b) Determine α e β tais que T (αu1 + β u3) = (0,−8) .
Exercício 2 Quais das seguintes transformações são lineares?
a) T (x1, x2) = (x1, x2) .
b) T (x1, x2) = (x1 + 1, x2) .
c) T (x1, x2) = (2x21 + x1x2, x1) .
d) T (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x1 + 2x2, x1 + 2x2 + x3) .
e) T (x1, x2, x3) = (x1 + 3, x1 + 2x2 + x3, x2 − 4x3) .
f) T (x1, x2, x3, x4) = (2x1 + x2 − x3 + x4, x1 + x2 − 3x3) .
Exercício 3 Com k,m ∈ R, sejam Tk e Tm as transformações de R3 em R2 dadas, respec-
tivamente, por:
Tk (x, y, z) = (x− y − z, x+ y + z) + (k, k) ,
Tm (x, y, z) =
�
xm − ym − zm, ym−1z� .
Para que valores de k e m são Tk e Tm transformações lineares?
Exercício 4 A transformação T : P → P, entre o espaço de todos os polinómios P e ele
próprio, é dada por
T (p (t)) = tp (t) .
a) Calcule T (5 + 4t+ 3t2 + 2t3) .
b) Mostre que T é uma transformação linear.
Exercício 5 Seja P1 (R) = {a0 + a1t : a0, a1 ∈ R} o espaço dos polinómios de grau não
superior a 1. A transformação T : P1 (R)→ P1 (R) , entre P1 (R) e ele próprio, é dada por
T (a0 + a1t) = b0 + b1t
em que �
b0
b1
�
=
�
1 −1
−1 1
� �
a0
a1
�
.
a) Calcule T (1 + 2t) .
b) Determine a0 e a1 tais que T (a0 + a1t) = 1− t. E tais que T (a0 + a1t) = 1− 2t?
c) Mostre que T é uma transformação linear.
3
Exercício 6 Sejam v1, ..., vp, vectores de Rn e T : Rn → Rm uma transformação linear.
Mostre que se T (v1) , ..., T (vp) são linearmente independentes então o mesmo sucede a
v1, ..., vp.
Exercício 7 Seja T : R2 → R a transformação linear definida por T (x, y) = x − y. Dado
E ⊂ R, por T−1 (E) entende-se o subconjunto de R2,
T−1 (E) =
�
(x, y) ∈ R2 : T (x, y) ∈ E� .
Determine e represente geometricamente:
a) T−1 ({3}) . b) T−1 ({0}) . c) T−1 ([−1, 1]) .
Exercício 8 Seja ∆ ⊂ R2 o triângulo de vértices (1, 1) , (1,−1) e (2, 0) e Cρ ⊂ R2 a
circunferência de centro na origem e raio ρ > 0. Relativamente às transformações lineares
T : R2 → R2 descritas a seguir, determine:
i) T (∆) . ii) T (Cρ) .
a) Reflexão relativamente ao eixo dos xx.
b) Reflexão relativamente ao eixo dos yy.
c) Reflexão relativa à recta y = x.
d) Reflexão relativa à recta y = −x.
e) Mudança de escala de razão r > 0.
Exercício 9 A transformação linear T : R2 → R2 dada por
T (x, y) =
�x
2
,
y
3
�
.
Determine T (E) , onde E designa a elipse de equação
x2
4
+
y2
9
= 1.
Exercício 10 Com θ ∈ R, a transformação linear Rθ : R2 → R2 dada por
Rθ(x, y) = (x cos θ − y sin θ, x sin θ + y cos θ) ,
diz-se uma rotação de amplitude θ.
a) Calcule os vectores Rπ/2 (1, 0) , Rπ/2 (0, 1) , Rπ/2 (1, 1) , Rπ/3 (1, 1) . Interprete os resulta-
dos geometricamente.
b) Quais das seguintes matrizes representam rotações? Em caso afirmativo indique a respec-
tiva amplitude.
i)
�
0 −1
1 0
�
. ii)
�
0 1
−1 0
�
. iii)
� −√2/2 −√2/2√
2/2 −√2/2
�
.
iv)
� −√3/2 1/2
−1/2 −√3/2
�
. v)
� −1/2 √3/2√
3/2 −1/2
�
.
4
c) A composição de duas rotações, Rθ2 ◦ Rθ1 , é uma rotação? Em caso afirmativo, qual a
sua amplitude?
d) Mostre que para qualquer θ ∈ R, Rθ admite inversa. Determine-a.
e) Se Cρ ⊂ R2 for a circunferência de centro na origem e raio ρ > 0, mostre que Rθ (Cρ) =
Cρ, para qualquer θ ∈ R.
f) Seja ra a recta de R2 cuja equação analítica é y = ax (a �= 0) . Qual a equação analítica
da recta Rπ/2 (ra)?
Exercício 11 Seja ∆ ⊂ R3, o triângulo de vértices (1, 0, 1) , (−1, 1, 0) e (0, 0, 2) . Relativa-
mente às transformações lineares T : R3 → R3 descritas a seguir, determine T (∆) .
a) Reflexão com relação ao plano xOz.
b) Reflexão com relação ao plano yOz.
c) Rotação em torno do eixos dos zz de amplitude π/2.
2 Representação matricial de transformaçõeslineares
Se T : E1 → E2 for uma transformação linear entre E1 e E2, e estes forem espaços
vectoriais de dimensão finita, então T admite uma representação matricial no sentido que
passamos a descrever.
Sejam B1 = {u1, ...,un} uma base de E1 (dimE1 = n) e B2 = {v1, ...,vm} uma base de
E2 (dimE2 = m) . Então com x ∈ E1 temos
x = x1u1 + ...+ xnun
e
T (x) = x1T (u1) + ...+ xnT (un) .
Como tal, as coordenadas de [T (x)]
B2
de T (x) na base B2 relacionam-se com as coordenadas
[x]
B1
de x na base B1 através de uma matriz [T ]B2B1 (m× n):
[T (x)]
B2
= [T ]
B2B1
[x]
B1
,
em que as colunas de [T ]
B2B1
são as coordenadas na base B2, [T (u1)]B2 , ..., [T (un)]B2 , de
T (u1) , ..., T (un) .
No caso de ser E1 = Rn e E2 = Rm, ou seja, quando T : Rn → Rm é uma transformação
linear entre Rn e Rm, os vectores x e T (x) confundem-se com as suas coordenadas nas
correspondentes bases canónicas, En e Em. Assim, em tal caso
T (x) = [T ] x
em que as colunas da matriz [T ] são as coordenadas na base Em dos vectores T (u1) , ..., T (un) .
5
2.1 Composição de transformações lineares
ComE1, E2 eE3 espaços vectoriais sobreK (R ou C) sejam T1 : E1 → E2 e T2 : E2 → E3
duas transformações lineares. Então facilmente se observa que a composição de T2 com T1,
(T2 ◦ T1) (x) = T2 (T1 (x))
é uma transformação linear entre os espaços E1 e E3.
Se E1, E2 e E3 forem espaços de dimensão finita tais que
dimE1 = n , dimE2 = m e dimE3 = ℓ ,
de bases, respectivamente, B1, B2 e B3, T1 admite uma representação matricial através de
uma matriz [T1]B2B1 , m×n, e T2 uma representação matricial por uma matriz [T2]B3B2 , ℓ×m.
Como tal, T2 ◦ T1 terá como representação matricial a matriz [T2]B3B2 [T1]B2B1 (ℓ× n) . Na
verdade,
[(T2 ◦ T1) (x)]B3 = [T2 (T1 (x))]B3
= [T2]B3B2 [T1 (x)]B2
= [T2]B3B2 [T1]B2B1 [x]B1 .
2.2 Representação matricial e mudanças de base
Se D1 e D2 forem outras bases, respectivamente, de E1 e E2 a transformação linear
T : E1 → E2 terá uma representação matricial diferente, dada agora por uma outra matriz
[T ]
D2D1
, igualmente m× n.
As matrizes [T ]
B2B1
e [T ]
D2D1
relacionam-se de acordo com o diagrama
[x]
B1
[T ]
B2B1−→ [T (x)]
B2
MB1←D1 ↑ ↓ MD2←B2
[x]
D1
−→
[T ]
D2D1
[T (x)]
D2
onde MB1←D1 é a matriz de mudança de base D1 para a base B1 e MD2←B2 é a matriz de
mudança de base de B2 para D2. Ou seja,
[T ]
D2D1
=MD2←B2 [T ]B2B1 MB1←D1
2.3 Exercícios
Exercício 12 Considere R2 munido da base B = {v1,v2} , onde v1 = (1, 2) , v2 = (2, 1) .
Represente matricialmente na base B as seguintes transformações lineares T : R2 → R2
definidas pelas seguintes relações:
a) T (1, 2) = (2, 1) e T (2, 1) = (1, 2).
b) T (1, 2) = (3, 3) e T (2, 1) = (6, 6).
c) T (v1) = v1 + v2 e T (v2) = 3v1 − 7v2.
d) T (v1 + v2) = 5v1 + v2 e T (v1 − v2) = 3v1 − 7v2.
6
Exercício 13 Considere uma transformação linear T : R2 → R3 tal que
T (1, 3) = (1, 1, 1) e T (5, 7) = (2, 2, 3)
Determine uma base B2 = {v1,v2} de R2 e uma base B3 = {w1,w2,w3} de R3 de forma
que a representação matricial de T nestas bases B2, B3 seja
1 20 1
0 0

 .
Exercício 14 Considerem-se as aplicações lineares S : R3 → R2 e T : R2 → R3 definidas
por S (x, y, z) = (3x+ y + 4z, x+ z) e T (x, y) = (x− 4y, 2x− 5y, 3x− 6y). Determine a
representação matricial de S ◦T e de T ◦S nas bases canónicas de R3 e R2, respectivamente.
Exercício 15 Considere R2 munido da base B = {v1,v2} , onde v1 = (0, 2) , v2 = (2, 0) .
Represente matricialmente na base B as seguintes transformações lineares T : R2 → R2:
a) T é definida por T (x1, x2) = (2x1 + x2, x1 + 2x2) .
b) T é representada na base canónica de R2 pela matriz�
a b
c d
�
.
Exercício 16 B = {v1,v2} constitui uma base de R2, onde v1 = (1, 1) , v2 = (1, 2) .
a) Qual a representação matricial da transformação linear T : R2 → R2 na base B, se na
base canónica de R2 ela for representada pela matriz�
2 1
1 2
�
?
b) Supondo que T é representada na base B pela matriz�
3 2
1 2
�
,
determine a expressão analítica para T (x1, x2) .
Exercício 17 Com v1 = (0, 2, 0) , v2 = (0, 0, 2) e v3 = (2, 0, 0) , B = {v1,v2,v3} forma uma
base de R3. Determine as representações matriciais na base B das seguintes transformações
lineares T : R3 → R3:
a) T é dada analiticamente por T (x1, x2, x3) = (x1 + x2, x1 + x3, x3 + x2) .
b) Relativamente à base canónica de R3, T é representada pela matriz
 a b cd e f
g h i

 .
7
Exercício 18 Considere a base de R3, B = {v1,v2,v3} , onde v1 = (1, 0, 0) , v2 = (1, 1, 0)
e v3 = (1, 1, 1) .
a) Sabendo que T : R3 → R3 é uma transformação linear que na base canónica de R3 é
representada pela matriz 
 1 1 01 0 1
0 1 1

 ,
determine a sua representação matricial na base B.
b) Supondo que na base B, uma transformação linear T é representada matricialmente pela
matriz 
 1 2 11 0 0
0 1 2

 ,
determine analiticamente T (x1, x2, x3) .
Exercício 19 T : R3 → R2 é a transformação linear dada por
T (x1, x2, x3) = (2x1 + x2, x3 + 3x2) .
Por que matrizes é representada T relativamente à base B1 = {u1,u2,u3} de R3 e B2 =
{v1,v2} de R2 nos casos em que:
a) u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0) , u3 = (0, 0, 1) , v1 = (1, 0) , v2 = (0, 1) .
b) u1 = (0, 2, 0), u2 = (0, 0, 2) , u3 = (2, 0, 0) , v1 = (1, 0) , v2 = (0, 1) .
c) u1 = (1, 0, 0) , u2 = (1, 1, 0) , u3 = (1, 1, 1) , v1 = (1, 1) , v2 = (1, 2) .
d) u1 = (1, 0, 0) , u2 = (0, 1, 0) , u3 = (0, 0, 1) , v1 = (1, 1) , v2 = (1, 2) .
Exercício 20 Considerem-se as bases B2 = {w1,w2} de R2 e B3 = {v1,v2,v3} de R3, onde
v1 = (1,−1, 0) , v2 = (−1, 1, 1) e v3 = (1, 0,−1) .
Sejam S : R3 → R2 e T : R2 → R3 aplicações lineares tais que
S (v1) = w1 +w2, S (v2) = w1 −w2, S (v3) = w1,
T (w1) = v1 + v2 e T (w2) = v2 + v3.
determine a expressão analítica para T ◦ S (x, y, z).
Exercício 21 Seja T : P2 → P2 definida por T (p (t)) = tp′ (t). Determine a matriz que
representa T na base P2 = {1, t, t2}.
Exercício 22 Seja T : P2 → P4 definida por T (p (t)) = p (t2)+p (2) t3. Determine a matriz
que representa T nas bases P2 = {1, t, t2}, P4 = {1, t, t2, t3, t4}.
Exercício 23 Seja T : P2 → R3 definida por T (p (t)) = (p (−1) , p (0) , p (1)). Determine a
matriz que representa T nas bases canónicas P2, E3.
8
Exercício 24 T : P2 → P3 é uma transformação linear tal que
T (1) = 1 + t, T (t) = 1 + 2t, T
�
t2
�
= t− t3.
a) Que polinómio é T (1− 2t+ 3t2)?
b) Represente matricialmente T com respeito às bases canónicas de P2 e de P3.
c) Represente matricialmente T relativamente às bases B = {1, 1 + t, 1 + t+ t2} de P2 e
D = {1, 1 + t, 1 + t2, 1 + t3} de P3.
Exercício 25 Seja F :M2×2 (R)→M2×2 (R) dada por
F (A) = A+AT .
a) F é uma transformação linear. Justifique.
b) Por que matriz é representada F relativamente à base canónica de M2×2 (R) ,
�
1 0
0 0
�
,
�
0 1
0 0
�
,
�
0 0
1 0
�
,
�
0 0
0 1
��
.
Exercício 26 Seja
A =
�
a b
c d
�
uma matriz arbitrária do espaço vectorial M2×2 (R) das matrizes reais 2 × 2. Quais das
seguintes transformações de M2×2 (R) em R, são lineares?
T1 (A) = a+ d. T2 (A) = ab− cd. T3 (A) = a+ b+ c+ d. T4 (A) = abcd.
Nos casos afirmativos indique a respectiva representação matricial relativamente à base canó-
nica de M2×2 (R) .
Exercício 27 Considere as transformações D : P3 → P2 e P : P2 → P3 definidas por:
Dp (t) = p′ (t) , Pp (t) =
� t
0
p (s) ds,
em que p designa um polinómio de P3.
a) Ambas são transformações lineares. Justifique.
b) Determine as matrizes que representam D e P relativamente às bases canónicas {1, t, t2}
de P2 e {1, t, t2, t3} de P3.
c) D e P são transformações inversas?
9
3 Núcleo e contradomínio de uma transformação linear
Relativamente a uma qualquer transformação linear T : E1 → E2 entre dois espaços
vectoriais E1 e E2, facilmente se verifica que