Calculo 1 - Lista de exercicios N3

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CA´LCULO I - 2016.2 - LISTA 3
1. Seja f (x) =

3 − x
2
, x < 1
1√
x
, x ≥ 1
. f e´ diferencia´vel em x = 1? f e´ contı´nua em x = 1?
2. Seja f (x) =

−x
2
, x < 1
1√
x
, x ≥ 1
. f e´ diferencia´vel em x = 1? f e´ contı´nua em x = 1?
3. Determine a e b de modo que f (x) =
 x
2 se x < 1
ax + b se x ≥ 1
seja diferencia´vel.
4. Seja f tal que | f (x)| ≤ x2,∀x ∈ R. Mostre que f e´ diferencia´vel em x = 0.
5. Use o gra´fico da func¸a˜o para determinar os valores de x em que a func¸a˜o e´ diferencia´vel e indique os valores
de x em que a derivada e´ (i) nula (ii) positiva (iii) negativa.
a) f (x) = |x + 3| b) f (x) = |x2 − 9| c) f (x) = √|x| d)
 x
2 − 4 , x ≤ 0
4 − x2 , x > 0
6. Determine os valores de a e de b, tais que a func¸a˜o
f (x) =

x2 − 2x + a se x ≤ 2
bx − 3 se x > 2
,
(a) seja contı´nua.
(b) seja diferencia´vel.
7. Seja f (x) =

x2 se x ≤ 1
2x − 1 se x > 1
.
a) f e´ deriva´vel em 1?
b) f e´ contı´nua em 1?
8. Considere f (x) =

1 − cosx se x < 0
x se 0 ≤ x < 1
−2x + 3 se x ≥ 1
.
(a) Determine os pontos onde f na˜o e´ deriva´vel. [ Sugesta˜o: no ca´lculo de f ′−(0) multiplique por 1 + cosx no
numerador e no denominador para sair da indeterminac¸a˜o. ]
1
(b) Calcule f ′ (observe seu domı´nio).
9. Considere f (x) =

sen(x) se x < 0
3x2 se 0 ≤ x ≤ 1
2x3 + 1 se x > 1
.
(a) Mostre que f e´ contı´nua.
(b) Determine os pontos onde f na˜o e´ deriva´vel.
10. Determine os valores de a e de b, tais que a func¸a˜o
f (x) =

2x2 + ax − 5 se x ≤ −1
2x − b se x > −1
,
seja diferencia´vel.
11. Determine os valores de a e b tais que a func¸a˜o f , definida por
g(x) =

x3 + x2 − 2x
x − 1 se x < 1
ax + b se x ≥ 1
seja diferencia´vel.
12. Calcule a e b de modo que a func¸a˜o
g(x) =

ax2 + b se x ≤ 2
x2 − 4
x − 2 se x > 2
seja diferencia´vel.
2