segmentos de retas semi retas e ângulos

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SEGMENTO DE RETA, SEMI-RETA E ÂNGULO 
 
Apesar de Euclides ter definido ponto, reta e plano, suas definições não 
são satisfatórias. Mais precisamente, no livro 1, na definição 1, Euclides define 
ponto como aquilo que não tem partes; na definição 2 Euclides diz que uma 
linha é comprimento sem largura; na definição 4 Euclides define reta como 
sendo uma linha que jaz igualmente com os pontos sobre ela; na definição 5 
Euclides diz que uma superfície é o que tem apenas comprimento e largura e 
na definição 7 Euclides define uma superfície plana como sendo uma superfície 
que jaz igualmente com as retas sobre ela. 
Nós consideraremos ponto, reta e plano como conceitos primitivos, não 
sendo definidos. Estes conceitos são abstratos. Geralmente, usamos letras 
maiúsculas do nosso alfabeto para representar pontos, usamos letras 
minúsculas também do nosso alfabeto para representar retas e usamos letras 
gregas para representar planos. Apesar de não podermos obter estes entes 
geométricos na natureza, nós conseguimos imaginar o que seja um ponto (algo 
sem dimensões), o que seja uma reta (algo que se prolongue indefinidamente 
numa dada direção e que não possui área) ou um plano (algo sem espessura 
que se prolongue em infinitas direções), e até os representamos no papel. 
 
 
 
 
 
Vamos começar enunciando alguns axiomas, ditos de incidência, da 
geometria plana. O primeiro é uma versão do primeiro postulado de Euclides; o 
segundo diz que não há retas com apenas um ponto e o terceiro diz que nem 
todos os pontos do plano pertencem a uma mesma reta: 
 
Axiomas de incidência: 
1) Existe uma única reta passando por dois pontos distintos. 
2) Em qualquer reta existem, pelo menos, dois pontos distintos. 
3) Existem três pontos distintos não pertencentes a uma mesma reta. 
 
 
 
Para indicar a única reta que passa pelos pontos distintos 
A
 e 
B
, 
usaremos a notação 
AB
. Para as relações de pertinência (pertence) e inclusão 
(está contido), usaremos as notações 

 e 

 , respectivamente. 
Note que, pelo axioma 1 de incidência, se duas retas tiverem dois pontos 
distintos em comum elas têm todos os pontos em comum. Neste caso, dizemos 
que elas são coincidentes. 
Dadas duas retas distintas no plano, dizemos que elas se intersectam 
num ponto 
P
, se 
P
 pertencer a ambas as retas. 
Dadas duas retas no plano, dizemos que elas são paralelas se elas não 
têm nenhum ponto em comum ou se elas têm pelo menos dois pontos distintos 
em comum, ou seja, duas retas são paralelas se não se intersectam ou se são 
coincidentes. Duas retas no plano que não são paralelas são chamadas 
concorrentes. Portanto, retas concorrentes são retas que se intersectam em um 
único ponto. 
 
Pela definição dada, temos que a relação de paralelismo de retas no 
plano satisfaz as seguintes propriedades: 
1) Toda reta é paralela a ela mesma (propriedade reflexiva). 
2) se uma reta 
r
 é paralela a outra reta 
s
 então 
s
 também é paralela a 
r
 
(propriedade simétrica). 
3) Se uma reta 
r
 é paralela a uma reta 
s
 e a reta 
s
 por sua vez é paralela a 
uma reta 
t
, então 
r
 é paralela a 
t
 (propriedade transitiva). 
 
Observação: Uma relação que satisfaz as propriedades acima (reflexiva, 
simétrica e transitiva) é chamada relação de equivalência. 
 
 
 
 
 
O axioma de incidência 3 diz que dados três pontos, dois a dois 
distintos, eles não precisam, necessariamente, pertencer a uma mesma reta. 
 
 
 
 
Três ou mais pontos que pertencem a uma mesma reta são chamados 
colineares. 
 
 
 
 
Se três pontos colineares e distintos estão dispostos como na figura 
anterior, dizemos que 
B
 é um ponto que está entre 
A
 e 
C
 (ou que 
B
 é um 
ponto que está entre 
C
 e 
A
). O ponto 
A
 não está entre os pontos 
B
 e 
C
, 
assim como o ponto 
C
 é um ponto que não está entre os pontos 
A
 e 
B
. 
Assim, usamos está denominação estar entre, para três pontos colineares e 
distintos. Note que é bastante intuitivo que dados dois pontos distintos 
A
 e 
C
 
existe sempre um ponto 
B
 que esteja entre 
A
 e 
C
 e existe um outro ponto 
D
 
que não esteja entre 
A
 e 
C
. Também, dados três pontos colineares e dois a 
dois distintos, um e apenas um deles está entre os outros dois. Estas 
afirmações auto-evidentes, que dão uma noção de ordem para os pontos da 
reta, serão tomadas como axiomas. Enunciemos então os axiomas de ordem: 
 
Axiomas de ordem: 
1) Dados três pontos colineares e dois a dois distintos, um deles, e 
somente um, está entre os outros dois. 
2) Dados dois pontos distintos, existe um outro ponto que está entre esses 
dois. 
3) Dados dois pontos distintos 
A
 e 
B
, existe um outro ponto 
C
 tal que 
B
 
esteja entre 
A
 e 
C
. 
 
 
 
 
 
 
Note que com os axiomas de incidência e de ordem, não precisamos do 
segundo postulado de Euclides. 
A partir dos axiomas de ordem podemos falar nos pontos que estão 
entre dois pontos distintos dados. Estes pontos, juntamente com os dois pontos 
dados, formam um subconjunto importante da reta. 
 
Definição: Dados dois pontos distintos 
A
 e 
B
, o conjunto formado pelos 
pontos 
A
, 
B
 e todos os pontos que estão entre 
A
 e 
B
 é chamado segmento 
de reta 
AB
. 
 
Os pontos 
A
 e 
B
 são os extremos do segmento de reta 
AB
. 
 
 
 
 
 
 
Definição: Dados dois pontos distintos 
A
 e 
B
, o conjunto dos pontos do 
segmento de reta 
AB
 e dos pontos 
X
 tais que 
B
 esteja entre 
A
 e 
X
, é 
chamado semi-reta com origem em 
A
 e que contém o ponto 
B
, e é 
representada por 
AB
. 
 
Assim, dada a reta que passa pelos pontos distintos 
A
 e 
B
, se 
tomarmos um ponto 
C
 tal que o ponto 
A
 esteja entre os pontos 
C
 e 
B
, temos 
que o ponto 
A
 determina duas semi-retas, ditas semi-retas opostas, 
AC
 e 
AB
. 
 
 
 
 
 
 
Vamos introduzir agora um conceito primitivo relacionado ao tamanho de 
segmentos de retas, que é o conceito de congruência de segmentos. 
 
 
 
Intuitivamente, diremos que dois segmentos são congruentes se eles possuem 
o mesmo “tamanho”. 
Usaremos a notação 
CDAB 
 significando que o seguimento de reta 
AB
 é congruente ao segmento de reta 
CD
. Intuitivamente isto significa que se 
fizermos um dos extremos do segmento 
AB
, digamos 
A
, coincidir com um dos 
extremos do segmento 
CD
, digamos 
C
, então podemos fazer o ponto 
B
 
coincidir com o ponto 
D
. 
É natural aos nossos sentidos que a relação ser congruente para 
segmentos de retas seja uma relação de equivalência (lembre da propriedade 
reflexiva, simétrica e transitiva da observação 2.1). Vamos enunciar estas 
propriedades como axiomas: 
 
Axiomas de congruência de segmentos: 
1) Todo segmento é congruente a ele mesmo. (propriedade reflexiva) 
2) Se o segmento 
AB
 é congruente ao segmento 
CD
 então o segmento 
CD
 é congruente ao segmento 
AB
. (propriedade simétrica) 
3) Se o segmento 
AB
 é congruente ao segmento 
CD
 e o segmento 
CD
 é 
congruente ao segmento 
EF
 então o segmento 
AB
 é congruente ao 
segmento 
EF
. (propriedade transitiva) 
 
Para indicarmos que segmentos são congruentes, usaremos traços 
pequenos transversais nos segmentos. Uma mesma quantidade de traços 
indica que os segmentos são congruentes. 
 
 
 
Agora, vejamos o seguinte:dado um segmento de reta 
AB
 e uma semi-
reta 
CD
, é intuitivo que deva existir um ponto 
E
 sobre esta semi-reta tal que o 
segmento 
CE
 seja congruente ao segmento 
AB
. Para fixar as idéias, 
pensemos do seguinte modo: se pegarmos um compasso, colocarmos a ponta 
seca sobre o ponto 
A
 e a outra ponta sobre o ponto 
B
, obteremos uma 
abertura no compasso. Agora, mantendo esta abertura, coloquemos a ponta 
seca do compasso no ponto 
C
 e marquemos, com a outra ponta do compasso, 
um ponto 
E
sobre a semi-reta 
CD
. Para efeito prático, desprezando-se os 
erros de construção que naturalmente surgem quando lidamos com 
instrumentos, podemos considerar 
ABCE 
. É isso que fazemos para 
“transportar” um segmento, quando estamos trabalhando numa parte da 
geometria que se ocupa de resolver problemas utilizando régua e compasso, 
chamada construções geométricas. 
Como não podemos garantir a existência do ponto 
E
 por construção, 
enunciamos um axioma que garante tal existência: 
 
Axioma do transporte de segmentos: 
Dados um segmento 
AB
 e uma semi-reta 
CD
, existe um, e um só, ponto 
E
 na 
semi-reta 
CD
 tal que o segmento 
CE
 é congruente ao segmento 
AB
. 
A figura a seguir ilustra o axioma do transporte de segmentos. 
 
 
 
 
A figura a seguir mostra que às vezes nossa intuição falha! Os 
segmentos 
AB
 e 
CD
 parecem ser congruentes? Não? Mas eles são! Por isso, 
não podemos confiar simplesmente nas figuras nem utiliza-las como 
demonstrações de resultados. Elas devem ser apenas ilustrativas e usadas 
para que possamos raciocinar geometricamente. 
 
 
 
 
Pensemos agora como fazemos quando queremos medir um objeto 
retilíneo. O metro é uma unidade padrão de medida. Quando temos algo que 
representa esta unidade (um pedaço de madeira, um pedaço de barbante ou 
fita, por exemplo), colocamos sobre o objeto retilíneo para vermos quantas 
vezes podemos sobrepô-lo. Se não tivermos esta unidade chamada metro, 
podemos usar nosso polegar (que originou a polegada) ou nossos pés (que 
originou a unidade de medida chamada pé), ou ainda o nosso palmo (quem 
nunca usou o palmo para comparar tamanho de objetos?). Da mesma forma, 
se tomarmos um segmento de reta 
AB
 como unidade de medida, podemos 
utiliza-lo para medir um outro segmento 
CD
, simplesmente verificando quantas 
vezes podemos sobrepor o segmento 
AB
 ao segmento 
CD
. Pode ser que o 
segmento 
CD
 “contenha” exatamente 
n
 segmentos congruentes ao segmento 
AB
, com 
n
. Neste caso escrevemos 
nABCD 
 ou 
CD
n
AB
1

, para 
representar isto. Se o segmento 
CD
 for congruente a 
m
 vezes 
AB
n
1
, com 
nm,
, dizemos que o segmento 
CD
 tem medida 
n
m
 e escrevemos 
n
m
CDm )(
. Neste caso dizemos ainda que os segmentos 
AB
 e 
CD
 são 
comensuráveis. 
Agora, pode ser que o segmento 
CD
 não seja congruente a nenhum 
múltiplo de nenhum segmento 
AB
n
1
, para nenhum inteiro 
n
. Dizemos então 
que os segmentos 
AB
 e 
CD
 são incomensuráveis. Neste caso a medida do 
segmento 
CD
, tomando 
AB
 como unidade, é um número irracional positivo. 
 Vamos relacionar a noção de medida de segmentos com segmentos 
congruentes, através dos axiomas a seguir: 
 
Axiomas de medida de segmentos: 
1) A cada segmento 
AB
 está associado um número real positivo 
)(ABm
, 
chamado medida de 
AB
. Reciprocamente, dado um número real 
positivo 
x
, existem segmentos cuja medida é 
x
. 
2) Dois segmentos são congruentes se, e somente se, têm a mesma 
medida. 
3) Se 
C
 está entre 
A
 e 
B
 então 
)()()( CBmACmABm 
. 
 
A noção comum (2) de Euclides, juntamente com os axiomas de medida de 
segmentos implica que a congruência de segmentos é aditiva: 
 
Se 
B
 está entre 
A
 e 
C
, e 
E
 está entre 
D
 e 
F
 de forma que 
DEAB 
 e 
EFBC 
, então 
DFAC 
. 
 
 
Definição: A distância entre dois pontos 
A
 e 
B
 distintos, representada por 
),( BAd
, é definida por 
)(:),( ABmBAd 
. 
 
Definição: Dizemos que um ponto 
M
 é ponto médio do segmento 
AB
 se 
M
 
está entre 
A
 e 
B
, e 
AM MB
. Isto é, 
M
 é um ponto do segmento 
AB
 tal 
que 
),(),( BMdMAd 
. 
 
 Na proposição 10 do livro I dos Elementos, Euclides propõe bissecar um 
segmento de reta. Vamos reformular isto na proposição a seguir. 
 
Proposição: Todo segmento possui um único ponto médio. 
 
Prova: Seja 
AB
 um segmento qualquer. Pelo axioma 1 de medida de 
segmentos, existe um número real positivo 
c
 tal que 
( )m AB c
. Também, 
ainda pelo axioma 1 de medida de segmentos, existe um segmento de reta 
CD
 tal que 
( )
2
c
m CD 
 , já que 
0
2
c

. Agora, pelo axioma de Transporte de 
segmento e pelo axioma 2 de medida de segmentos, existe um único ponto 
M
 
na semi-reta 
AB
 tal que 
( )
2
c
m AM 
. Logo, pelo axioma 3 de medida de 
segmentos, também temos 
( )
2
c
m MB 
 e 
M
 está entre 
A
 e 
B
. Portanto, 
M
 
está entre 
A
 e 
B
, e 
AM MB
. Assim, 
M
 é ponto médio de 
AB
 e é único. 
 
Da mesma forma que um ponto sobre uma reta divide a reta em dois 
subconjuntos, que são semi-retas opostas, temos também que uma reta num 
plano divide o plano em dois subconjuntos importantes. Estes subconjuntos 
são disjuntos, um segmento de reta, com cada extremo pertencente a um dos 
conjuntos, intersecta a reta, e um segmento de reta cujos extremos pertencem 
a um dos conjuntos está inteiramente contido no conjunto. Vamos então 
caracterizar estes subconjuntos através do seguinte axioma: 
 
Axioma da separação dos pontos de um plano: 
Uma reta 
r
 no plano 

 separa os pontos de 

, que não 
pertencem à 
r
, em dois subconjuntos 
1
 e 
2
, de 

, tais que: 
1. 
1 2  
. 
2. Se 
A
 e 
B
 são dois pontos de 

 tais que 
1A 
 e 
2B 
 
então 
AB r 
. 
3. Se 
A
 e 
B
 são dois pontos ambos de 
1
 
(respectivamente 
2
) então o segmento 
AB
 está 
inteiramente contido em 
1
 (respectivamente 
2
). 
 
Os subconjuntos 
1
 e 
2
 acima são chamados semiplanos abertos 
determinados pela reta 
r
. Os conjuntos 
1 r 
 e 
2 r 
 são chamados 
semiplanos determinados por 
r
. Os semiplanos 
1
 e 
2
 são semiplanos 
opostos em relação à reta 
r
. 
 
Definição: Ângulo é a figura formada por duas semi-retas não opostas, 
distintas e com mesma origem. 
 
 
As semi-retas 
OA
 e 
OB
 são os lados do ângulo e o ponto 
O
 é o vértice do 
ângulo. O ângulo é representado por 
BOA ˆ
. 
O interior do ângulo 
BOA ˆ
 é a interseção do semiplano aberto 
determinado pela reta que passa pelos pontos 
O
 e 
A
, e que contém o ponto 
B
, com o semiplano aberto determinado pela reta que passa pelos pontos 
O
 e 
B
, e que contém o ponto 
A
. 
 
 
 
 
Dizemos que uma semi-reta divide um ângulo se ela tem como origem o 
vértice do ângulo e se ela intersecta o interior do ângulo. Por exemplo, na 
figura a seguir, a semi-reta 
OC
 divide o ângulo 
ˆAOB
. Neste caso, os ângulos 
ˆAOC
 e ˆCOB são chamados ângulos adjacentes. 
 
 
 
 
 
 
Mais geralmente, ângulos adjacentes são ângulos que têm um lado em 
comum e seus interiores não se intersectam. 
A congruência de ângulosé uma noção primitiva e que está relacionada 
a “abertura” de seus lados. Intuitivamente, dois ângulos são congruentes se 
 
 
 
 
têm a mesma “abertura”. Da mesma forma que para congruência de 
segmentos, também é natural aos nossos sentidos que a relação ser 
congruente, para ângulos, também seja uma relação de equivalência. Assim, 
analogamente ao caso de segmentos de retas, enunciamos abaixo os axiomas 
de congruência de ângulos, onde o símbolo “

” também é usado para 
congruência de ângulos. 
 
Axiomas de congruência de ângulos: 
1) Todo ângulo é congruente a ele mesmo. 
2) Se 
ˆ ˆABC DEF
 então 
ˆ ˆDEF ABC
. 
3) Se 
ˆ ˆABC DEF
 e 
ˆ ˆDEF GHI
 então 
ˆ ˆABC GHI
. 
 
Em construções geométricas, nós usamos o compasso para 
“transportar” um determinado ângulo dado para uma dada semi-reta. Se o 
ângulo é 
ˆAOB
 e a semi-reta é 
CD
, nós tomamos uma abertura qualquer no 
compasso, fixamos a ponta seca do compasso no ponto 
O
 e traçamos uma 
curva (um “arco de círculo”), que corta os lados do ângulo em pontos 
E
 e 
F
. 
Com a mesma abertura do compasso, fixamos agora a ponta seca no ponto 
C
 
(origem da semi-reta) e traçamos uma curva (“arco de círculo”) que corta a 
semi-reta num ponto 
G
. Agora, colocamos a ponta seca do compasso no 
ponto 
E
 e abrimos compasso até que a outra ponta fique no ponto 
F
, ou seja, 
pegamos a abertura do ângulo dado. Mantendo essa abertura do compasso, 
colocamos a ponta seca agora no ponto 
G
, na semi-reta, e traçamos outra 
curva (outro “arco de círculo”) que intersecta aquele construído anteriormente 
em um ponto 
H
 (note que podemos obter dois pontos 
H
, um em cada 
semiplano determinado pela reta 
CD
). Temos então que as semi-retas 
CD
 e 
CH
 são os lados de um ângulo ˆHCD que é congruente ao ângulo ˆAOB . 
 
 
 
 
 
 
 
Formulemos então um axioma que nos garante que podemos 
“transportar” um ângulo dado para uma semi-reta. 
 
Axioma do transporte de ângulos: 
Dados um ângulo 
ˆAOB
 e uma semi-reta 
CD
, em cada semiplano determinado 
pela reta que passa pelos pontos 
C
 e 
D
, existe uma única semi-reta 
CE
 tal 
que 
ˆ ˆDCE AOB
. 
 
 Existe um instrumento, que muitos de nós já até utilizamos, chamado 
transferidor. Este instrumento, cujo formato é a metade de um círculo, é feito de 
material transparente e é usado para medir ângulos. Utilizando uma graduação 
numérica, este instrumento associa a cada ângulo um número real que varia 
entre 0 e 180 e vice-versa. Portanto, nossa intuição nos diz que podemos 
relacionar ângulos com números reais positivos menores do que 180. Também, 
a noção comum (2) de Euclides, aplicada a ângulos, significa que a 
congruência de ângulos é aditiva. Formalizemos isso em um axioma: 
 
Axiomas de medida de ângulos: 
1) A cada ângulo 
ˆAOB
 está associado um número real positivo 
ˆ( )m AOB
, 
menor que 180, chamado medida do ângulo ˆAOB . Reciprocamente, 
todo número real positivo menor que 180 é a medida de algum ângulo. 
2) Dois ângulos são congruentes se, e somente se, têm a mesma medida. 
3) Se a semi-reta 
OC
 divide o ângulo ˆAOB então a soma das medidas dos 
ângulos ˆAOC e ˆCOB é igual a medida do ângulo ˆAOB . 
 
A unidade de medida de ângulos é o grau, e é representada por “

”. 
 Considere duas semi-retas opostas 
OA
 e 
OB
. Tome um ponto 
C
 que 
não esteja sobre a reta 
AB
. Portanto, a semi-reta 
OC
 não é oposta nem 
coincidente com nenhuma das semi-retas 
OA
 e 
OB
. 
 
 
 
 
 
 Os ângulos 
ˆCOB
 e 
ˆCOA
 são chamados suplementares adjacentes. 
Usando os axiomas de medidas de ângulos temos que a soma das medidas de 
dois ângulos suplementares adjacentes é 
180
. Desta forma, estendemos a 
noção de ângulo, para o caso em que seus lados são semi-retas opostas. Este 
ângulo é chamado ângulo raso e sua medida é 
180
. Também, no caso em que 
os lados do ângulo são semi-retas coincidentes, definimos o ângulo como 
sendo o ângulo nulo. A medida do ângulo nulo é 
0
. Note que estes ângulos 
não estavam contemplados na definição de ângulo. Note também, que a 
definição de interior de um ângulo não se aplica a estes ângulos. 
 Sejam 
ˆCOB
 e 
ˆCOA
 ângulos suplementares adjacentes tal que 
ˆ ˆCOB COA
. Logo, 
ˆ ˆ( ) ( )m COA m COB
 e 
ˆ ˆ( ) ( ) 180m COA m COB  
. Portanto, 
ˆ ˆ( ) ( ) 90m COA m COB  
. 
Ângulos cuja medida é 
90
 são chamados ângulos retos. 
 
 Dois ângulos cuja soma das medidas é 
180
 são chamados ângulos 
suplementares, e dois ângulos cuja soma das medidas é 
90
 são chamados 
ângulos complementares. Neste caso, um é dito ser o complementar do outro. 
Um ângulo com medida menor que 
90
 é chamado ângulo agudo e um ângulo 
com medida maior que 
90
 é chamado ângulo obtuso. 
 
Definição: Dois ângulos são chamados opostos pelo vértice se os lados de um 
deles são semi-retas opostas aos lados do outro. 
Na figura a seguir, os ângulos ˆABC e EBD ˆ são opostos pelo vértice. 
 
 
 
Note que dadas duas retas concorrentes, o ponto em que elas se 
intersectam é a origem de dois pares de semi-retas opostas. Logo, duas retas 
concorrentes formam dois pares de ângulos opostos pelo vértice. 
Usaremos a noção de ângulos suplementares adjacentes, para mostrar 
que ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida, ou seja, são 
congruentes. Este resultado é creditado a Tales de Mileto (ver mais sobre 
Tales na aula 6) e é a proposição 15 do livro I dos Elementos de Euclides. 
 
Proposição: Ângulos opostos pelo vértice são congruentes. 
 
Prova: Sejam ˆDBE e ˆABC ângulos opostos pelo vértice. Mostremos que 
ˆ ˆ( ) ( )m DBE m ABC
. De fato, como os ângulos 
EBD ˆ
 e ˆABD são suplementares 
adjacentes, temos: 
ˆ ˆ( ) ( ) 180m ABD m DBE  
 (1) 
Também, como os ângulos 
CBA ˆ
 e ˆABD são suplementares adjacentes, 
temos: 
ˆ ˆ( ) ( ) 180m ABD m ABC  
 (2) 
De (1) e (2), 
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )m ABD m DBE m ABD m ABC  
. Logo, pela noção comum 
(3), de Euclides, temos 
ˆ ˆ( ) ( )m DBE m ABC
. Assim, pelo axioma (2) de medida 
de ângulos, temos ˆ ˆDBE ABC . 
 
Observação: Note que os axiomas de congruência de ângulos e de medida de 
ângulos implicam no quarto postulado de Euclides.