Integração em Campos Vetoriais - Lista 2

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 3 – Gabaritos – Lista 2 2.o/2013
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Em um sistema de eixos em que o centro da Terra esta´ na origem e um sate´lite no ponto
P , indique por F (P ) a forc¸a gravitacional com que a Terra atrai o sate´lite. Indique ainda
por M a massa e por R o raio da Terra, por m a massa do sate´lite e por G a constante de
gravitac¸a˜o. Suponha que o sate´lite partiu do solo e alcanc¸ou a altura H percorrendo um dos
caminhos C1 ou C2 ilustrados na figura.
C E a) F (P ) tem a direc¸a˜o e o sentido do vetor P
‖P‖
.
C E b) A intensidade de F (P ) e´ igual a GMm/‖P‖2.
C E c) O trabalho realizado por F ao longo de C1 e´ igual a
−GMm( 1
R
− 1
R+h
)
C E d) Tem-se que F (P ) = ∇f(P ) onde f(P ) = −GMm 1
‖P‖
.
HC1C2
C E e) Ao longo de C2, o trabalho realizado por F e´ maior do que ao longo de C1.
2) Considere um fio infinito ao longo do eixo Oz percorrido por uma corrente ele´trica esta-
ciona´ria de intensidade i0, conforme a figura, em que o c´ırculo C ao redor do fio representa
uma linha de campo do campo magne´tico B gerado pela corrente. Por simetria, a intensi-
dade ||B|| e´ constante ao longo de C. Ale´m disso, pode-se mostrar que B(P ) = ||B||T (P ),
em que T (P ) e´ o vetor unita´rio tangente a C no ponto P .
P
B
a) Obtenha uma parametrizac¸a˜o anti-hora´ria P (t) de C supondo que
este c´ırculo esteja no plano Oxy e tenha raio r0.
Resposta: P (t) = (r0 cos(t), r0 sen(t)), t ∈ [0, 2pi]
b) Calcule agora o vetor T (P (t)), e verifique que o produto escalar
〈B(P (t)), P ′(t)〉 e´ independente do paraˆmetro t.
Resposta: T (P (t)) = (− sen(t), cos(t)) e 〈B(P (t)), P ′(t)〉 = r0||B||
c) Segundo a lei de Ampe`re, a integral de linha de B ao longo de C e´ igual a µ0 i0, em
que µ0 > 0. Use esse fato para determinar a intensidade do campo B ao longo de C.
Resposta: ||B|| = µ0 i0/(2pi r0)
d) Determine a expressa˜o de B(x, y) em termos das coordenadas do ponto P = (x, y).
Resposta: B(x, y) = µ0 i0/(2pi)(−y/(x
2 + y2), x/(x2 + y2))
e) Calcule a integral de linha
∫
Ĉ
〈B, T 〉ds, onde Ĉ e´ o c´ırculo de raio 2.
Resposta:
∫
Ĉ
〈B, T 〉ds = µ0 i0
Ca´lculo III Mo´dulo 3 – Gabaritos – Lista 2 2.o/2013 – 1/2
3) Na regia˜o Q = {(x, y) ∈ R2; y > 0}, que na˜o inclue a origem O, o campo magne´tico
B(x, y) = (L(x, y),M(x, y)), onde
L(x, y) =
µ0 i0
2pi
(
−y
x2 + y2
)
e M(x, y) =
µ0 i0
2pi
(
x
x2 + y2
)
,
esta´ bem definido e e´ de classe C1. Ale´m disso, B satisfaz as condic¸o˜es para ser um campo
conservativo, isto e´, para existir f : Q→ R de classe C2 tal que B = ∇f em Q.
a) Calcule as derivada parciais das coordenadas L e M .
Resposta: Lx(x, y) =
µ0i0
2pi
2yx
(x2+y2)2 = −My(x, y) e Ly(x, y) =
µ0i0
2pi
y2−x2
(x2+y2)2 = Mx(x, y)
b) Verifique a afirmac¸a˜o feita acima, de que B satisfaz as condic¸o˜es para ser conservativo.
Resposta: basta notar que Mx = Ly.
c) Lembrando que arctan′(s) = 1/(s2 + 1), calcule a integral indefinida
∫
L(x, y) dx,
observando que a constante de integrac¸a˜o k = k(y) pode depender de y.
Resposta:
∫
L(x, y) dx = −µ0i02pi arctan(
x
y
) + k(y).
d) Determine agora uma func¸a˜o potencial para o campo magne´tico.
Resposta: f(x, y) = −µ0i02pi arctan(
x
y
) + k, k constante.
e) Use a regra da cadeia para justificar a afirmac¸a˜o de que a integral
∮
C
〈B, T 〉 ds se anula
para todo caminho regular e fechado C contido na regia˜o Q.
Resposta:
∮
C
〈B, T 〉 ds =
∫ b
a
d
dt
f(P (t)) dt = f(P (b))− f(P (a)) = 0.
4) Suponha que uma part´ıcula de massa m percorra o caminho C de parametrizac¸a˜o
P (t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b], e denote por v(t) = P ′(t) e a(t) = P ′′(t) os vetores
velocidade e acelerac¸a˜o, respectivamente. Segundo a lei de Newton, F (P (t)) = ma(t), em
que F e´ a resultante das forc¸as sobre a part´ıcula. Suponha ainda que o campo F possua
uma func¸a˜o energia potencial p, isto e´, que F seja o campo gradiente F (P ) = −∇p(P ).
a) Calcule d
dt
m
2
‖v(t)‖2 em termos de um produto escalar envolvendo os vetores v(t) e a(t).
Resposta: d
dt
m
2 ‖v(t)‖
2 = 〈ma(t), v(t)〉.
b) Use a lei de Newton e o item anterior para expressar o produto escalar 〈F (P (t)), P ′(t)〉
em termos de uma derivada.
Resposta: 〈F (P (t)), P ′(t)〉 = d
dt
m
2 ‖v(t)‖
2
c) Calcule o trabalho WC realizado por F ao longo de C usando o item anterior.
Resposta: WC =
∫ b
a
d
dt
m
2 ‖v(t)‖
2 dt = m2
(
‖v(b)‖2 − ‖v(a)‖2
)
.
d) Calcule agora o mesmo trabalho WC em termos da energia potencial p.
Resposta: WC =
∫ b
a
〈−∇p (P (t)), P ′(t)〉 dt = p(P (a))− p(P (b)).
e) Use os itens anteriores para concluir que a soma p(P (t)) + m
2
‖v(t)‖2 das energias po-
tencial e cine´tica e´ constante ao longo do caminho C.
Resposta: p(P (b)) + m2 ‖v(b)‖
2 = p(P (a)) + m2 ||v(a)||
2.
Ca´lculo III Mo´dulo 3 – Gabaritos – Lista 2 2.o/2013 – 2/2