Prova N2

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Pergunta 1
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Comentário
da
resposta:
Analise a figura a seguir:
 
 
Figura: Semicircunferência no primeiro quadrante.
Fonte: Elaborada pela autora.
 
A figura apresenta uma semicircunferência localizada no primeiro quadrante do
plano cartesiano. Essa pode ser expressa em coordenadas polares como
 , com  . Supondo uma lâmina com o formato da região acima,
a medida da densidade de massa por unidade de área em qualquer ponto é
proporcional à medida de sua distância até a origem, isto é,  , onde   é
uma constante. Assinale a alternativa que corresponde à massa da lâmina descrita
acima considerando   e   e sabendo que  .
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, dados   e  , temos
que  e  . Então, a região de integração é
 e a massa corresponde à integral 
.
Pergunta 2
Considere o Teorema de Fubini: 
 
“Se   for contínua no retângulo  , então
 . De modo
mais geral, esse resultado vale se supusermos que   seja limitada em  ,   tenha
descontinuidades apenas em um número finito de curvas suaves e que a integral
iterada exista”.
 
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Comentário
da
resposta:
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. v. 2, p. 890.
 
Considere a integral dupla  , onde  . Com
relação ao Teorema de Fubini, assinale a alternativa correta:
.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Temos que as variáveis
estão definidas para os seguintes intervalos:   e   De acordo
com o Teorema de Fubini, independentemente de qual variável é escolhida para
se começar a integração, o resultado da integral será o mesmo. No entanto, se
escolhermos começar integrando por  , teremos que usar o método de
integração por partes para resolver a integral, o que torna o desenvolvimento
mais extenso, porém o resultado obtido é o mesmo de começar a integração pela
variável  , a saber:
.
Pergunta 3
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Comentário
da
resposta:
O conceito de derivada direcional pode ser estendido para funções de três
variáveis. Nesse caso, a mudança no cálculo se dá pela quantidade de
componentes que o vetor gradiente e o vetor que dá a direção apresentam, nesse
caso, esses vetores possuem três componentes. Considere a seguinte situação: O
potencial elétrico num ponto   do espaço tridimensional é expresso pela
função  . 
Assinale a alternativa que corresponde à direção e ao sentido em que se dá a
maior taxa de variação do potencial elétrico   no ponto  .
 
  
Resposta correta. A alternativa está correta. A maior taxa de variação do potencial
elétrico ocorre na direção e no sentido do vetor gradiente calculado no ponto P,
isto é,  Dado que o vetor gradiente no ponto P(2,2,-1) é
 e sua norma é
, temos que a direção procurada
é  .
Pergunta 4
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Comentário
da
resposta:
Suponha que   seja uma função diferenciável de   e  , tal que  .
No entanto,   e   são funções de   expressas por   e  . Para
se obter a derivada de   com relação a variável   devemos fazer uso da regra da
cadeia. 
Aplicando essa regra corretamente, assinale a alternativa que corresponde à
derivada de   em relação a  , isto é,  , para quando  .
 
  
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela regra da cadeia, temos que
, onde  . Assim,
. Dado que  , temos
.
Pergunta 5
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Comentário
da
resposta:
Um circuito elétrico simples composto por um resistor  , um indutor   e uma força
eletromotriz   (proporcionada por uma pilha ou gerador) pode ser modelado
matematicamente por meio da seguinte equação diferencial:  .
Sabendo que essa equação é do tipo linear de primeira ordem, considere um
resistor de  , uma indutância de   e uma voltagem constante de  . 
 
Assinale a alternativa que corresponde ao fator integrante da EDO dada.
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. O fator integrante de uma EDO linear
de primeira ordem   é expresso por  . Dada a
EDO  , temos que   e, portanto, o fator
integrante é  .
Pergunta 6
Um fazendeiro deseja cercar um campo retangular em sua propriedade próxima a
um rio. Para cercar o lado   paralelo ao rio, será usado um material que custa R$
10,00 por metro linear e, para cercar as laterais, lado  , será usado um material
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Comentário
da
resposta:
que custa R$ 5,00 por metro linear. Nesse sentido, sabendo que o fazendeiro
possui apenas R$ 2.500,00 para fazer esse cercado, assinale a alternativa que
apresenta o campo de maior área possível que possa ser cercado (determine as
dimensões do campo).
75 m x 100 m.
62.5 m x 125 m.
Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta. Sejam   e   as
dimensões do campo retangular, em que   é a medida do lado paralelo ao rio e 
 é a medida das laterais, a partir das informações do enunciado, faz-se possível
escrever as seguintes funções: 
Custo total:   
Área:   
Queremos maximizar a função área, então iremos expressá-la em função apenas
do comprimento   do campo, isto é,  . Isolando   na função custo total,
temos que  . Portanto a função área pode ser expressa por
, em que  . Derivando a função área, temos que: 
        e           . 
Se  , então  . Os possíveis candidatos a máximo e mínimo da
função área   são seus extremos e os pontos críticos. Repare que a derivada
segunda é uma função constante,   para todo   no domínio da
função  . Como   para todo  , temos que ela possui um valor que a
maximiza, logo, para decidir qual é esse valor, precisaremos calcular o valor
funcional do ponto crítico e dos extremos, isto é,  ,   e
. 
Como   é o maior dos valores já obtidos, temos que os comprimentos do
lado do campo devem ser   e  , pois  .
Pergunta 7
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da
resposta:
Na física, a integral da função velocidade   resulta na função posição  . Considere
uma partícula, em trajetória retilínea, que obedece a função de velocidade
 , em que a unidade de medida da velocidade   equivale a
metros por segundo e a unidade de medida do tempo   corresponde a segundos.
Nesse sentido, assinale a alternativa que apresenta a função de posição da
partícula, sabendo que a posição inicial desta é de 4 m, isto é,  .
Resposta correta. A alternativa está correta. Note que, dentre as alternativas,
apenas a função   satisfaz a condição   e
Veja a seguir. 
- Se  , então   e  (opção correta). 
- Se  , então   e    
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- Se  , então   e    
- Se  , então   e   
- Se  , então   e  e 
Pergunta 8
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Comentário
da
resposta:
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações
diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para
resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens
em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em
1694”.
 
STEWART, J. Cálculo . São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a
integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que
corresponde à solução da equação diferencial  . 
  
  
.
.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma
equação separável. Separando as variáveis   e  , podemos reescrever a equação
como  . Integrando ambos os lados da igualdade,
temos
.
Pergunta 9
Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza
podem ser modelados matematicamente por meio do seguinte problema de valor
inicial: 
 , 
onde   é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa.
Considere a seguinte situação:
 
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é
proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que
corresponde à expressão da função crescimentodessa população.
 
 
  
  
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Comentário
da
resposta:
Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito pela
seguinte equação diferencial  , onde   é a função quantidade de
bactérias que depende do tempo  . Além disso, temos os seguintes dados: para
 temos  . Resolvendo a equação diferencial, temos 
, onde   e   são constantes e  . Como   temos
. Portanto, a função que
descreve o crescimento dessa população de bactérias é  .
Pergunta 10
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Comentário
da
resposta:
Analise a figura a seguir:
 
Figura: Região plana   sobre a qual o sólido se encontra
Fonte: Elaborada pela autora.
 
Um tetraedro é uma figura geométrica formada por quatro faces triangulares. Ao
localizarmos essa figura em um sistema de coordenadas tridimensionais, temos
que cada face pode ser descrita por um plano diferente. Com isso, podemos usar
o estudo de integrais duplas para determinar seu volume. Considere um tetraedro
limitado pelos planos  ,   e pelos planos coordenados
  e  . Assinale a alternativa que corresponde ao seu volume:
Resposta correta. A alternativa está correta, pois o sólido se encontra abaixo do
gráfico da função   e acima da região  , a qual pode ser
expressa por  . Assim, o volume do
tetraedro pode ser calculado como a seguinte integral dupla: 
.
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