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Universidade de Bras´ılia Departamento de Matema´tica Ca´lculo III Mo´dulo 3 – Gabaritos – Lista 2 2.o/2013 Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o ao lado do item e justificando a sua resposta. 1) Em um sistema de eixos em que o centro da Terra esta´ na origem e um sate´lite no ponto P , indique por F (P ) a forc¸a gravitacional com que a Terra atrai o sate´lite. Indique ainda por M a massa e por R o raio da Terra, por m a massa do sate´lite e por G a constante de gravitac¸a˜o. Suponha que o sate´lite partiu do solo e alcanc¸ou a altura H percorrendo um dos caminhos C1 ou C2 ilustrados na figura. C E a) F (P ) tem a direc¸a˜o e o sentido do vetor P ‖P‖ . C E b) A intensidade de F (P ) e´ igual a GMm/‖P‖2. C E c) O trabalho realizado por F ao longo de C1 e´ igual a −GMm( 1 R − 1 R+h ) C E d) Tem-se que F (P ) = ∇f(P ) onde f(P ) = −GMm 1 ‖P‖ . HC1C2 C E e) Ao longo de C2, o trabalho realizado por F e´ maior do que ao longo de C1. 2) Considere um fio infinito ao longo do eixo Oz percorrido por uma corrente ele´trica esta- ciona´ria de intensidade i0, conforme a figura, em que o c´ırculo C ao redor do fio representa uma linha de campo do campo magne´tico B gerado pela corrente. Por simetria, a intensi- dade ||B|| e´ constante ao longo de C. Ale´m disso, pode-se mostrar que B(P ) = ||B||T (P ), em que T (P ) e´ o vetor unita´rio tangente a C no ponto P . P B a) Obtenha uma parametrizac¸a˜o anti-hora´ria P (t) de C supondo que este c´ırculo esteja no plano Oxy e tenha raio r0. Resposta: P (t) = (r0 cos(t), r0 sen(t)), t ∈ [0, 2pi] b) Calcule agora o vetor T (P (t)), e verifique que o produto escalar 〈B(P (t)), P ′(t)〉 e´ independente do paraˆmetro t. Resposta: T (P (t)) = (− sen(t), cos(t)) e 〈B(P (t)), P ′(t)〉 = r0||B|| c) Segundo a lei de Ampe`re, a integral de linha de B ao longo de C e´ igual a µ0 i0, em que µ0 > 0. Use esse fato para determinar a intensidade do campo B ao longo de C. Resposta: ||B|| = µ0 i0/(2pi r0) d) Determine a expressa˜o de B(x, y) em termos das coordenadas do ponto P = (x, y). Resposta: B(x, y) = µ0 i0/(2pi)(−y/(x 2 + y2), x/(x2 + y2)) e) Calcule a integral de linha ∫ Ĉ 〈B, T 〉ds, onde Ĉ e´ o c´ırculo de raio 2. Resposta: ∫ Ĉ 〈B, T 〉ds = µ0 i0 Ca´lculo III Mo´dulo 3 – Gabaritos – Lista 2 2.o/2013 – 1/2 3) Na regia˜o Q = {(x, y) ∈ R2; y > 0}, que na˜o inclue a origem O, o campo magne´tico B(x, y) = (L(x, y),M(x, y)), onde L(x, y) = µ0 i0 2pi ( −y x2 + y2 ) e M(x, y) = µ0 i0 2pi ( x x2 + y2 ) , esta´ bem definido e e´ de classe C1. Ale´m disso, B satisfaz as condic¸o˜es para ser um campo conservativo, isto e´, para existir f : Q→ R de classe C2 tal que B = ∇f em Q. a) Calcule as derivada parciais das coordenadas L e M . Resposta: Lx(x, y) = µ0i0 2pi 2yx (x2+y2)2 = −My(x, y) e Ly(x, y) = µ0i0 2pi y2−x2 (x2+y2)2 = Mx(x, y) b) Verifique a afirmac¸a˜o feita acima, de que B satisfaz as condic¸o˜es para ser conservativo. Resposta: basta notar que Mx = Ly. c) Lembrando que arctan′(s) = 1/(s2 + 1), calcule a integral indefinida ∫ L(x, y) dx, observando que a constante de integrac¸a˜o k = k(y) pode depender de y. Resposta: ∫ L(x, y) dx = −µ0i02pi arctan( x y ) + k(y). d) Determine agora uma func¸a˜o potencial para o campo magne´tico. Resposta: f(x, y) = −µ0i02pi arctan( x y ) + k, k constante. e) Use a regra da cadeia para justificar a afirmac¸a˜o de que a integral ∮ C 〈B, T 〉 ds se anula para todo caminho regular e fechado C contido na regia˜o Q. Resposta: ∮ C 〈B, T 〉 ds = ∫ b a d dt f(P (t)) dt = f(P (b))− f(P (a)) = 0. 4) Suponha que uma part´ıcula de massa m percorra o caminho C de parametrizac¸a˜o P (t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b], e denote por v(t) = P ′(t) e a(t) = P ′′(t) os vetores velocidade e acelerac¸a˜o, respectivamente. Segundo a lei de Newton, F (P (t)) = ma(t), em que F e´ a resultante das forc¸as sobre a part´ıcula. Suponha ainda que o campo F possua uma func¸a˜o energia potencial p, isto e´, que F seja o campo gradiente F (P ) = −∇p(P ). a) Calcule d dt m 2 ‖v(t)‖2 em termos de um produto escalar envolvendo os vetores v(t) e a(t). Resposta: d dt m 2 ‖v(t)‖ 2 = 〈ma(t), v(t)〉. b) Use a lei de Newton e o item anterior para expressar o produto escalar 〈F (P (t)), P ′(t)〉 em termos de uma derivada. Resposta: 〈F (P (t)), P ′(t)〉 = d dt m 2 ‖v(t)‖ 2 c) Calcule o trabalho WC realizado por F ao longo de C usando o item anterior. Resposta: WC = ∫ b a d dt m 2 ‖v(t)‖ 2 dt = m2 ( ‖v(b)‖2 − ‖v(a)‖2 ) . d) Calcule agora o mesmo trabalho WC em termos da energia potencial p. Resposta: WC = ∫ b a 〈−∇p (P (t)), P ′(t)〉 dt = p(P (a))− p(P (b)). e) Use os itens anteriores para concluir que a soma p(P (t)) + m 2 ‖v(t)‖2 das energias po- tencial e cine´tica e´ constante ao longo do caminho C. Resposta: p(P (b)) + m2 ‖v(b)‖ 2 = p(P (a)) + m2 ||v(a)|| 2. Ca´lculo III Mo´dulo 3 – Gabaritos – Lista 2 2.o/2013 – 2/2
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