APOSTILA - Modelagem PARA ENGENHARIA

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Modelagem Matemática 
 
 
 
 
MEC-442 – Sistemas de Controle Prof. Josemar dos Santos 
 
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MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS 
 
 
 O objetivo geral da modelagem matemática de sistemas é habilitar o aluno a 
aplicar métodos científicos de forma obter um modelo matemático que descreva o 
comportamento de um sistema físico, bem como a utilizar equipamentos e 
dispositivos usuais da área de Engenharia para determinar e reconhecer as 
propriedades dos modelos dinâmicos de parâmetros concentrados. 
 A primeira etapa para desenvolver um modelo matemático consiste em aplicar 
as leis físicas fundamentais de ciência e engenharia. Por exemplo, ao modelar 
circuitos elétricos, a lei de Ohm e as leis de Kirchhoff que são as leis básicas de 
circuitos elétricos, serão aplicadas inicialmente. Somaremos tensões ao longo de 
uma malha ou corrente em um nó. Ao estudar sistemas mecânicos, utilizaremos as 
leis de Newton com princípios-guia fundamentais. Somaremos, neste caso, forças e 
torques. Com base nestas equações iremos obter a relação entre a saída e a entrada 
do sistema. 
 
APLICAÇÕES DOS MODELOS MATEMÁTICOS 
 
• O modelo matemático é uma representação matemática de um processo real. 
• Modelos matemáticos podem auxiliar na análise do processo e controle. 
• As aplicações da modelagem na área de controle são as seguintes: 
 
 1. Aprimorar o entendimento do processo 
 
 A simulação do processo pode ser usado para estudar o seu comportamento 
e explorar as regiões de operação. 
 
 2. Treinamento de operadores 
 
 Os operadores podem ser treinados em várias regiões de operação do 
processo, inclusive em situações de emergência, através de simulação onde a 
interface é a própria plataforma de operação. 
 
 3. Projeto da estratégia de controle de um processo novo 
 
 Os modelos de processo permitem que se teste diversas estratégias de 
controle, definindo inclusive a instrumentação necessária. Possibilita também testar 
estratégias de controle mais complexas. 
 
 
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 4. Projeto do controlador 
 
 Através de simulação ou análise direta do modelo dinâmico, podem-se 
encontrar os parâmetros do controlador ou até mesmo verificar e determinar se o 
controlador é aplicável ao caso. 
 
 5. Projeto da lei de controle 
 
 As técnicas modernas de controle normalmente incluem o modelo do processo 
na lei de controle. Estas técnicas são comumente chamadas de controle preditivo ou 
controle baseado em modelo. 
 
 6. Otimização do processo 
 
 Em muitos processos há a possibilidade de se operar uma planta em 
condições que maximize o lucro ou minimize os custos. Neste caso normalmente se 
utiliza modelo em estado-estacionário. 
 
CLASSIFICAÇÃO DOS MODELOS MATEMÁTICOS 
 
 Os modelos matemáticos podem ser classificados em três tipos, em função da 
forma como é obtido: 
 
 a ) Modelos teóricos 
 
 - Desenvolvidos usando princípios físico-químicos. 
 
 b ) Modelos empíricos 
 
 - Obtidos através da análise matemática (estatística) do processo a partir 
de dados da operação. 
 
 c ) Modelos semi-empíricos 
 
 - É a combinação dos modelos teóricos e empíricos onde alguns 
parâmetros físico-químicos são determinados a partir dos dados da 
planta. 
 
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GRAUS DE LIBERDADE NA MODELAGEM 
 
 O uso de modelos matemáticos para simulação de processo, deve nos 
fornecer uma única solução de todas as saídas em função das entradas, ou seja, o 
número de variáveis desconhecidas deve ser igual ao número de equações 
independentes do modelo. 
 
 Uma forma equivalente é dizer que devemos ter grau de liberdade zero. 
 
Na forma de equação temos: 
 
 N N N
f v e
= − = 0 
Onde: 
 
 Nf - grau de liberdade 
 Nv - número total de variáveis desconhecidas (entradas não especificadas) 
 Ne - número de equações independentes (diferenciais e algébricas) 
 
 A análise do grau de liberdade separa os problemas de modelagem em três 
categorias: 
 
 1. Nf = 0 : Sistema exatamente determinado (exatamente especificado) 
 
O número de variáveis dependentes nas equações é igual ao número de equações, 
ou seja, o conjunto de equações fornece uma solução única . 
 
2. Nf > 0 : Sistema subdeterminado (subespecificado) 
 
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O Nv > Ne , ou seja, tem mais variáveis dependentes do que equações. 
Conseqüentemente, as Ne equações tem infinitas soluções sendo que Nf variáveis 
podem ser especificadas arbitrariamente. O modelo do sistema é chamado de 
subespecificado. 
 
3. Nf < 0 : Sistema sobredeterminado (sobrespecificado) 
 
Tem menos variáveis dependentes do que equações e conseqüentemente o 
conjunto de equações não tem solução.O modelo do sistema é chamado de 
sobrespecificado. 
 
Note que Nf = 0 é o único caso satisfatório. 
Se Nf > 0 então um certo número de variáveis tem que ser especificados. 
Se Nf < 0 então um conjunto de equações independentes adicionais tem de ser 
desenvolvida. 
 
Etapas da modelagem: 
 
 1) Estabelecer as constantes ou parâmetros conhecidos, tais como, dimensões 
de equipamentos, propriedades físico-químicas constantes, etc.. 
 
 2) Identificar o número de variáveis saída (Ne), obtido através da solução de 
equações diferenciais do modelo (por integração usando condições de contorno) e 
equações algébricas. 
 
 3) Identificar as variáveis especificadas, a entrada no modelo.Por exemplo: 
Vazão de carga ou especificado como variável manipulada numa estratégia de 
controle. 
 
Note que t não é uma das Nv pois não é entrada ou saída do sistema. 
 
 
ESTUDOS DE SISTEMAS 
 
 
Etapas da construção de modelos 
 
Para estudos de sistemas, têm-se as seguintes etapas para obter os modelos 
dinâmicos: 
 
Etapa 1: Desenhar o diagrama esquemático do processo e nomear todas varáveis 
de processo. 
 
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Etapa 2 : Listar todas as hipóteses usadas no desenvolvimento do modelo. O modelo 
deve ser o mais simples possível para obter os objetivos da modelagem. 
 
Etapa 3 : Determinar se há outra variável independente que não seja o tempo. Se a 
variável espacial é importante, é necessário utilizar equações diferenciais parciais. 
 
Etapa 4 : Escrever os balanços dinâmicos adequados (balanço global de massa, 
balanço de componentes, balanço de energia, etc.). 
 
Etapa 5: Introduzir equações de equilíbrio, e outras relações algébricas 
(termodinâmicas, estequiometria de reação, geometria de equipamentos, etc...). 
 
Etapa 6: Identificar os parâmetros do sistema (constantes). 
 
Etapa 7: Identificar as variáveis do modelo. 
 
Etapa 8 : Calcular os graus de liberdade. 
 
Etapa 9 : Especificar as Nf entradas para utilizar o grau de liberdade disponíveis. Se 
esta etapa não for realizável, então retorne à etapa 2 e realize as hipóteses do 
modelo. 
 
Etapa 10 : Simplificar as equações do modelo se possível. Por exemplo: Arranjar as 
variáveis dependentes no lado esquerdo das equações e variáveis de entrada no 
lado direito. 
 
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MODELOS MATEMÁTICOS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
 
 
 Os circuitos equivalentes às redes elétricas com as quais trabalhamos 
consistem basicamente em três componentes lineares passivos: resistores, 
capacitores e indutores. A Tabela 1 resume os componentes e as relações entre 
tensão e corrente e entre tensão e carga, sob condições iniciais nulas. 
 
Tabela 1 – Relações tensão-corrente, tensão-cargae impedância para capacitoers, 
resistores e indutores. 
 
Nota: ν( t ) = V (volts), i( t ) = A (ampères), q( t ) = Q (coulombs), C = F (farads), R = Ω (ohms), G =(mhos), L = H (henries)
Componente Tensão-corrente Corrente-tensão Tensão-carga
Impedância
Z(s) = V(s)/I(s)
Admitância
Y(s) = I(s)/V(s)
 
 
 As equações de um circuito elétrico obedecem às leis de Kirchhoff, que 
estabelecem: 
• A soma algébrica das diferenças de potencial ao logo de um circuito fechado é 
igual a zero. 
• A soma algébrica das correntes em uma junção ou nó é igual a zero. 
 
 A partir destas relações podemos escrever as equações diferenciais do 
circuito. Aplica-se, então, a Transformada de Laplace das equações e finalmente se 
soluciona a Função de Transferência. 
 
Exemplo: 
 
Obter a função de transferência relacionando a tensão, VC(s), no capacitor à tensão 
de entrada, V(s), da figura 1. 
 
 
Figura 1 - Circuito RLC. 
 
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Resolução: 
 
 Utilizando as leis de Kirchhoff, obteremos a equação diferencial para o circuito. 
Somando as tensões ao longo da malha, supondo condições iniciais nulas, resulta a 
equação íntegro-diferencial. 
 
0
1( )
( ) ( ) ( )
tdi tL Ri t i d v t
dt C
τ τ+ + =∫ 
 
 Fazendo uma mudança de variável, de corrente para carga, usando a relação 
( ) ( ) /i t dq t dt= resulta: 
 
2
2
1( ) ( )
( ) ( )
d q t dq tL R q t v t
dt Cdt
+ + = 
 
 A partir da relação tensão-carga em um capacitor da Tabela 1: 
 
( ) ( )Cq t Cv t= 
 
 Substituindo: 
 
2
2
( ) ( )
( ) ( )C C C
d v t dv t
LC RC v t v t
dtdt
+ + = 
 
 Aplicando Laplace: 
 ( )2 1 ( ) ( )CLCs RCs V s V s+ + = 
 
Calculando a função de transferência, ( ) / ( )cV s V s : 
 
2
1
1
( )
( )
cV s LC
RV s s s
L LC
=
+ +
 
 
 
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 SISTEMAS MECÂNICOS EM TRANSLAÇÃO 
 
 
Os sistemas mecânicos obdecem à lei fundamental onde o somatório de 
todas as forças é igual a zero. Isto é conhecido como lei de Newton e pode ser dito 
da seguinte forma: a soma das forças aplicadas deve ser igual à soma das forças de 
reação. 
Iniciaremos arbitrando um sentido positivo para o movimento, por exemplo, 
para direita. Usando o sentido escolhido como positivo para o movimento, 
desenhamos em primeiro lugar um diagrama de corpo livre, posicionando sobre o 
corpo todas as forças que agem sobre ele no sentido do movimento ou no sentido 
oposto. Em seguida, utilizamos a lei de Newton para construir a equação diferencial 
do movimento somando as forças e igualando a soma a zero. Finalmente, supondo 
as condições iniciais nulas, aplicamos a transformada de Laplace à equação 
diferencial, sepramos as variáveis e chegamos à função de transferência. A Tabela 2 
apresenta os elementos mecânicos comuns em sistemas de translação como suas 
relações. 
 
Tabela 2 – Relações força-velocidade, força-deslocamento, e impedância de translação de molas, 
amortecedores e massas. 
 
 
 
Componente 
Força- 
velocidade
Força- 
deslocamento 
Impedância 
Zm(s)=F(s)/X(s) 
Mola 
Amortecedor viscoso 
Massa 
 
Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: f ( t ) = N 
(newtons), x( t ) = m (metros), ν( t ) = m/s (metros/segundo), K =N/ m (newtons/metro), f ν = N.s/ m 
(newton-segundo/ metro), M =kg (quilogramas = newton.segundo2 / metro). 
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Exemplo 
 
Obter a função de transferência, X(s)/F(s), para o sistema da figura abaixo: 
 
 
 
Resolução: 
 
Desenhando o diagrama de corpo livre para o sistema proposto e arbitrando o 
sentido do movimento para direta, obtemos: 
 
 
 
Utilizando a Lei de Newton escrevemos a equação diferencial do movimento. 
 
2
2
( ) ( )
( ) ( )v
d x t dx tM f Kx t f t
dtdt
+ + = 
 
Aplicando Laplace, 
 
2
2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
v
v
Ms X s f sX s KX s F s
Ms f s K X s F s
+ + =
+ + = . 
 
Resolvendo para obter a função de transferência, 
 
2
1( )
( )
( ) v
X sG s
F s Ms f s k
= = + + 
 
 
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Em sistemas mecânicos, o número necessário de equações de movimento é 
igual ao número de movimentos linearmente independentes. A independência linear 
implica que um onto de movimento em um sistema em movimento pode continuar a 
se mover mesmo se todos os outros pontos forem mantidos parados. A expressão 
linearmente independente também é conhecida por graus de liberdade. Desta forma 
podemos sugerir uma pequana equação. 
 
[Soma de Impedâncias]X(s) = [Soma de forças aplicadas] 
 
Quando utilizando a lei de Newton, somando as forças de cada corpo e 
fazemos a soma igual a zero, o resultado é um sistema de equações simultâneas do 
movimento. Estas equações podem ser resolvidas em função da variável de saída de 
interesse a partir da qual se calcula a função de transferência. 
 
Exemplo: 
 
Obter a função de transferência, X2(s)/F(s), para o sistema da figura abaixo. 
 
 
 
Usando o conceito apresentado anteriormente podemos solucionar o 
exercício por inspeção, escrevendo as equações de movimento do sistema, sem 
desenhar o diagrama de corpo livre. 
 
1 2
1
1 2
1
Soma das
Soma das
impedâncias Soma das
impedâncias
conectadas ao forças aplicadas
entre
movimento em x
x e x
em x
( ) ( )X s X s
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ − = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
e 
 
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1 2
1 2 2
2
Soma das
impedânciasSoma das Soma das
impedâncias conectadas ao forças aplicadas
movimentoentre x e x em x
em x
( ) ( )X s X s
⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
 
SISTEMAS MECÂNICO EM ROTAÇÃO 
 
As equações caracterizando os sistemas que apresentam movimento de 
rotação são semelhantes às dos sitemas com translação. Escrever as equações de 
conjugado é equivalente a escrever as equações de força, com os termos de 
deslocamento, velocidade e aceleração considerada agora como grandezas 
angulares. O torque substitui a força e deslocamento angular substitui deslocamento. 
O termo associado à Massa é substituído por inércia. 
O conceito de graus de liberdade também continua válido nos sitemas em 
rotação. O número de pontos de movimento que podem ser submetidos a 
deslocamentos angulares, enquanto se mantêm parados todos os demais, é igual ao 
número de equações de movimento ncessário para descrever o sistema. 
Os elementos relacionados ao movimento mecânico em rotação são 
apresentados na Tabela 3. 
 
Tabela 3 – Relações torque-velocidade angular, torque-deslocamento angular, e impedância de rotação de 
molas, amortecedores viscosos e inércia. 
 
Nota: Os seguintes conjuntos de símbolos e unidades são usadas ao longo deste livro: f ( t ) = N 
(newtons), x( t ) = m (metros), ν( t ) = m/s (metros/segundo), K =N/ m (newtons/metro), f ν = N.s/ m 
(newton-segundo/ metro), M =kg (quilogramas = newton.segundo2 / metro). 
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Exemplo 
 
Obter a função de transferência, 2( )
( )
s
T s
θ , para o sistema em rotação mostrado 
na figura abaixo. O eixo elástico é suspenso por meio de mancais em cada uma das 
extremidades e é submetido à torção. Um torque é aplicado à esquerda e o 
deslocamento angular é medidoà direita. 
 
 
 
Resolução: 
 
Embora a torção ocorra ao longo do eixo, aproximamos o sistema admitindo 
que a torção atua como uma mola concentrada em um ponto particular do eixo, com 
uma inércia, J1, à esquerda, e uma inércia J2 à direita. Usando o princípio da 
superposição notamos que o sistema apresenta dois graus de liberdade. Desta forma 
podemos solucionar o problema por inspeção, onde: 
 
1 2
1 2 1
1
1
1 2
Soma das Impedâncias
Soma das Impedâncias Soma dos torques
conectas ao movimento
entre e aplicados em 
em 
Soma das I
Soma das Impedâncias
entre e 
( ) ( )
( )
s s
s
θ θθ θ θθ
θθ θ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 2
2
mpedâncias
Soma dos torques
conectas ao movimento
aplicados em 
em 
( )sθ θθ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
 
 
Ou ainda utilizando o diagrama de corpo livre para cada um dos torques. 
 
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Sentido Sentido Sentido
 
 
 
Sentido Sentido Sentido
 
 
E assim obtemos as equações do movimento: 
 
2
1 1 1 2
2
1 2 2 2 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
J s D s K s K s T s
K s J s D s K s
θ θ
θ θ
+ + − =
− + + + = 
 
A partir das quais se obtém a função de transferência pedida: 
 
2
2
1 1
2
2 2
( )
( )
(
( )
s K
T s
J s D s K K
K J s D s K
θ = ∆
+ + −∆ = − + +