lista controle resolvida

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Controle e 
simulação 
Lista 1
LISTA DE EXERCÍCIOS 
RESOLVIDA 1
O objetivo dessa lista de exercícios é resolver as questões como se
estivéssemos numa prova, então eu irei lhe mostrar métodos de
resolver as questões rapidamente para não ficar perdendo tempo.
Aqui eu vou considerar que você estudou tudo o que era necessário
para chegar até aqui, então não reclame se não entender algo, tudo
que será exposto aqui eu já expliquei nos mínimos detalhes.
Parece uma bagunça, né? Mas lembre-se: se
você não consegue resolver um amplificador
operacional pelos métodos convencionais,
utilize análise nodal no nó do lado positivo (lá
onde está o B) e lei dos nós no nó virtual (onde
fica o A).
Análise nodal em B:
𝐵
1
𝑅2
+ 𝐶𝑠 − 𝐸𝑖 𝑠 𝐶𝑠 = 0
Logo:
𝐵 = 𝐸𝑖 𝑠
𝑅2𝐶𝑠
1 + 𝑅2𝐶𝑠
Aplicando lei dos nós no ponto A, temos:
𝐸𝑖 𝑠 − 𝐴
𝑅1
=
𝐵 − 𝐸𝑜 𝑠
𝑅1
2𝐴 = 𝐸𝑖 𝑠 + 𝐸0 𝑠
Mas 𝐴 = 𝐵, por que A é um nó virtual de B, logo os dois são iguais:
2𝐸𝑖 𝑠
𝑅2𝐶𝑠
1 + 𝑅2𝐶𝑠
= 𝐸𝑖 𝑠 + 𝐸0 𝑠
2
𝑅2𝐶𝑠
1 + 𝑅2𝐶𝑠
= 1 +
𝐸0 𝑠
𝐸𝑖 𝑠
𝐸0 𝑠
𝐸𝑖 𝑠
=
2𝑅2𝐶𝑠
1 + 𝑅2𝐶𝑠
− 1
Após simplificar, encontramos a função de transferência:
𝐸0 𝑠
𝐸𝑖 𝑠
=
𝑅2𝐶𝑠 − 1
𝑅2𝐶𝑠 + 1
Seja rápido, este amplificador é um inversor,
seu lado positivo está conectado ao fio
terra. Sua função de transferência é:
𝐺 𝑠 = −
𝑍𝑐𝑖𝑚𝑎
𝑍𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
Logo:
𝐺 𝑠 = −
𝑅2
𝐶𝑠
𝑅2 +
1
𝐶𝑠
𝑅1
= −
𝑅2
𝑅1𝑅2𝐶𝑠 + 𝑅1
Associação 
em paralelo.
Montando o circuito: Bomba é a fonte,
reservatório 1 está em paralelo com a fonte
(mesma vazão), o buraco A, B e C são
resistências, A e B são resistências que formam
uma ponte até o outro reservatório, então eles
recebem a mesma vazão, logo estão em paralelo.
Depois de A e B um novo nó é formado que irá
distribuir uma vazão diferente da bomba para o
reservatório 2.
C está recebendo a mesma vazão que o
reservatório 2, então estão em paralelo.
Seu circuito e sua análise nodal
ficam:
𝐴
𝐵
𝐶
𝐻1 𝐻2
𝐻1 𝑠 𝐶1𝑠 +
𝑅𝐴𝑅𝐵
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵
−𝐻2 𝑠
𝑅𝐴𝑅𝐵
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵
= 𝑄
−𝐻1 𝑠
𝑅𝐴𝑅𝐵
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵
+ 𝐻2 𝑠 𝐶2𝑠 +
1
𝑅𝐶
+
𝑅𝐴𝑅𝐵
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵
= 0
Utilize a regra de Cramer, vamos supor que queremos a vazão no
segundo reservatório:
𝐻2 𝑠 =
𝐶1𝑠 +
𝑅𝐴𝑅𝐵
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵
𝑄 𝑠
−
𝑅𝐴𝑅𝐵
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵
0
𝐶1𝑠 +
𝑅𝐴𝑅𝐵
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵
−
𝑅𝐴𝑅𝐵
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵
−
𝑅𝐴𝑅𝐵
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵
𝐶2𝑠 +
1
𝑅𝐶
+
𝑅𝐴𝑅𝐵
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵
Encontrando a função:
𝐻2 𝑠 =
𝑄 𝑠
𝑅𝐴𝑅𝐵
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵
𝐶1𝑠 +
𝑅𝐴𝑅𝐵
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵
𝐶2𝑠 +
1
𝑅𝐶
+
𝑅𝐴𝑅𝐵
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵
−
𝑅𝐴𝑅𝐵
𝑅𝐴 + 𝑅𝐵
2
É inviável querer trabalhar com essas variáveis, vamos encontrar uma
função gigante desnecessariamente, vamos supor que todas as
resistências e capacitores sejam iguais a 2.
𝐻2 𝑠
𝑄 𝑠
=
2
8𝑠2 + 10𝑠 + 1
Mas o que queremos encontrar é a vazão e não a altura do nível do
reservatório 2, por isso fazemos:
𝐻2 𝑠 = 𝑅𝐶𝑄2 𝑠 = 2𝑄2 𝑠
Logo:
𝑄2 𝑠
𝑄 𝑠
=
1
8𝑠2 + 10𝑠 + 1
Outro inversor, os dois estão em
cascata, logo a função de
transferência total será o produto das
funções de transferência de cada um:
𝐺 𝑠 =
𝑅2
𝐶2𝑠
𝑅2 +
1
𝐶2𝑠
𝑅1
𝐶1𝑠
𝑅1 +
1
𝐶1𝑠
𝑅4
𝑅3
=
𝑅1𝑅2𝑅4𝐶1𝑠 + 𝑅4𝑅2
𝑅1𝑅2𝑅3𝐶2𝑠 + 𝑅3𝑅1
Há somente um caminho que ligue
diretamente a entrada𝑅 𝑠 e a saída 𝐶 𝑠 :
𝑇1 = 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐺3 𝑠 𝐺4 𝑠 𝐺5 𝑠
Temos quatro loops:
𝐿1 = 𝐺2 𝑆 𝐻1 𝑠
𝐿2 = 𝐺4 𝑆 𝐻2 𝑠
𝐿3 = 𝐺7 𝑆 𝐻4 𝑠
𝐿4 = 𝐺2 𝑆 𝐺3 𝑆 𝐺4 𝑆 𝐺5 𝑆 𝐺6 𝑆 𝐺7 𝑆 𝐺8 𝑆
Logo:
෍𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + 𝐿4
Os loops 1, 2 e 3 não se tocam, mas o loop 4 toca todos os três loops
ao mesmo tempo. Logo, na formula do ∆ teremos três somatórios,
porque os loops se tocam três vezes:
∆= 1 −෍𝐿 +෍𝐿2×2 −෍𝐿3×3
Então:
෍𝐿2×2 → 𝐶4,2 =
4!
2! 4 − 2 !
= 6 →
෍𝐿2×2 = 𝐿1𝐿2 + 𝐿1𝐿3 + 𝐿2𝐿3
12 23 34
13 24
14
Prosseguindo:
෍𝐿3×3 → 𝐶4,3 =
4!
2! 4 − 2 !
= 4 →
෍𝐿3×3 = 𝐿1𝐿2𝐿3
O nosso ∆, enfim, fica:
∆= 1 − 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + 𝐿4 + 𝐿1𝐿2 + 𝐿1𝐿3 + 𝐿2𝐿3 − 𝐿1𝐿2𝐿3
Então, temos somente um caminho, logo, teremos somente o ∆1
que irá zerar todos os laços que tocam nele, isto é, os laços 1, 2 e 4.
∆= 1 − 𝐿3
123 234 342
134
Utilizando a regra de Mason, a função de transferência fica:
𝐺 𝑠 =
σ𝑘 𝑇𝑘∆𝑘
∆
𝐺 𝑠 =
𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐺3 𝑠 𝐺4 𝑠 𝐺5 𝑠 1 − 𝐿3
1 − 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3 + 𝐿4 + 𝐿1𝐿2 + 𝐿1𝐿3 + 𝐿2𝐿3 − 𝐿1𝐿2𝐿3
Já sabe né: a questão pediu função de
transferência para corrente, use análise de
malhas, mas se pedir para tensão, use análise
nodal. Vamos fazer os dois:
Análise nodal:
𝑉1
1
𝑅
+ 𝐶𝑠 +
1
𝐿𝑠
− 𝑉2
1
𝐿𝑠
= 0
−𝑉1
1
𝐿𝑠
+ 𝑉2
1
𝐿𝑠
= 𝑉 𝑠
Análise de malhas:
൞
𝐼1 𝑠 𝐿𝑠 + 𝑅 − 𝐼2 𝑠 𝑅 = 𝑉 𝑠
−𝐼1 𝑠 𝑅 + 𝐼2 𝑠
1
𝐶𝑠
+ 𝑅 = 0
𝑁ó 2
𝑖1 𝑖2
Aplicando regra de Cramer nos dois:
Análise nodal: encontrar 𝑉1 𝑠
𝑉1 𝑠
𝑉 𝑠
=
−
1
𝐿𝑠
1
𝑅 + 𝐶𝑠 +
1
𝐿𝑠
1
𝐿𝑠 −
1
𝐿𝑠
2 =
−𝑅
𝑅𝐶𝑠 + 1
Análise de malhas: encontrar 𝐼2 𝑠
𝐼2 𝑠
𝑉 𝑠
=
𝑅
1
𝐶𝑠 + 𝑅 𝐿𝑠 + 𝑅 − 𝑅
2
=
𝑅𝐶𝑠
𝑅𝐿𝐶𝑠2 + 𝐿𝑠 + 𝑅
Vou nem falar nada.
Análise nodal:
൞
𝑉1
1
𝑅
+ 𝐶1𝑠 +
1
𝐿𝑠
+ 𝐶2𝑠 − 𝑉2𝐶1𝑠 = 0
−𝑉1𝐶1𝑠 + 𝑉2𝐶1𝑠 = 𝑉 𝑠
Análise de malhas:
𝐼1 𝑠
1
𝐶1𝑠
+ 𝐿𝑠 − 𝐼2 𝑠 𝐿𝑠 = 𝑉 𝑠
−𝐼1 𝑠 𝐿𝑠 + 𝐼2 𝑠
1
𝐶2𝑠
+ 𝐿𝑠 + 𝑅 = 0
𝑉1𝑉2
𝑖1 𝑖2
A análise nodal é totalmente livre. Você pode escolher
quantos nós quiser e aonde quiser, por exemplo no
caso acima poderíamos escolher um, dois ou até três
nós para resolver essa questão. O que determinará
quantos ou aonde colocar é a liberdade que a
questão está lhe dando, as vezes um determinado
ponto é mais interessante do que o outro para a
questão.
Aplicando regra de Cramer nos dois:
Análise nodal: encontrar 𝑉1 𝑠
𝑉1 𝑠
𝑉 𝑠
=
−𝐶1𝑠
1
𝑅 + 𝐶1𝑠 +
1
𝐿𝑠 + 𝐶2𝑠 𝐶1𝑠 − 𝐶1𝑠
2
=
−𝑅𝐿𝑠
𝑅𝐿𝐶2𝑠2 + 𝐿𝑠 + 𝑅
Análise de malhas: encontrar 𝐼2 𝑠
𝐼2 𝑠
𝑉 𝑠
=
𝐿𝑠
1
𝐶1𝑠
+ 𝐿𝑠
1
𝐶2𝑠
+ 𝐿𝑠 + 𝑅 − 𝐿𝑠 2
=
𝐿𝐶1𝐶2𝑠
3
𝐿𝐶1𝐶2𝑠3 + 𝐶1 + 𝐶2 𝐿𝑠2 + 𝑅𝐶2𝑠 + 1
Vamos montar o circuito elétrico equivalente desse sistema hidráulico.
Temos duas fonte, o primeiro reservatório está em paralelo com a primeira e o segundo reservatório está
em paralelo com a segunda fonte. A resistência 2 recebe a mesma vazão que o reservatório 2 e essa vazão
vem da fonte 2, então a resistência 2 está em paralelo com o reservatório e a fonte. A resistência 1 forma
uma ponte entre os dois reservatórios, ela está sem série no circuito, depois do reservatório 1.
Nosso circuito fica:
Sua análise nodal:
𝐻1 𝑠
1
𝑅1
+ 𝐶1𝑠 − 𝐻2 𝑠
1
𝑅1
= 𝑄1 𝑠
−𝐻1 𝑠
1
𝑅1
+ 𝐻2 𝑠
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+ 𝐶2𝑠 = 𝑄2 𝑠
𝐻1 𝐻2
Utilizando a regra de Cramer para o segundo nó:
𝐻2 𝑠 =
𝐷𝑦
𝐷
=
1
𝑅1
+ 𝐶1𝑠 𝑄1 𝑠
−
1
𝑅1
𝑄2 𝑠
1
𝑅1
+ 𝐶1𝑠 −
1
𝑅1
−
1
𝑅1
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+ 𝐶2𝑠
Ora, a função de transferência fica:
𝐻2 𝑠 =
1
𝑅1
+ 𝐶1𝑠 𝑄2 𝑠 +
1
𝑅1
𝑄1 𝑠
1
𝑅1
+ 𝐶1𝑠
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+ 𝐶2𝑠 −
1
𝑅1
2
𝐻2 𝑠 =
𝑅1𝑅2𝐶1𝑠 + 𝑅2 𝑄2 𝑠 + 𝑅2𝑄1
𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2𝑠2 + 𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶1 + 𝑅2𝐶2 𝑠2 + 1
𝐻2 𝑠 = 𝑄1 𝑠
𝑅2
𝑠2𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑠 𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶1 + 𝑅2𝐶2 + 1
+ 𝑄2 𝑠
𝑅1𝑅2𝐶1𝑠 + 𝑅2
𝑠2𝑅1𝑅2𝐶1𝐶2 + 𝑠 𝑅1𝐶1 + 𝑅2𝐶1 + 𝑅2𝐶2 + 1
Para não ficar uma coisa muito grande, vamos supor que a questão
tenha dado as seguintes informações:𝑅1 = 𝑅2 = 𝐶1 = 𝐶2 =1.
𝐻2 𝑠 = 𝑄1 𝑠
1
𝑠2 + 3𝑠 + 1
+ 𝑄2 𝑠
𝑠 + 1
𝑠2 + 3𝑠 + 1
Essa é a função de transferência. Este caso é igual a um amplificador
somador, onde temos várias tensões e a função de transferência
resultante está em função de todas elas. Para encontrar uma função
de transferência para cada fonte, seria necessário desconsiderar as
outras fontes e deixar somente uma. Se lá no início da questão você
considerar uma das fontes como zero, vai dar no mesmo.
Lembre-se, a função de transferência que encontramos serve para a
altura do nível do reservatório, mas se a questão pedir para você
encontrar a vazão no reservatório 2 simplesmente faça:
𝐻2 = 𝑅𝑄2
Onde “R” é a resistência em paralelo com o reservatório 2. Porém, se
a questão pedir para você encontrar a vazão no reservatório 1, boa
sorte, você terá que fazer análise de malhas para encontrar a
equação da corrente nesse reservatório e depois aplicar na função
de transferência que achamos.
Sabe aqueles jogos que o nível mais fácil de
dificuldade é “somente observar”, então essa
questão é esse nível para nós.
Isso ao lado é um aviso: sempre quando ver
uma imagem como essa, pode apostar que é
paralelo. Mas preste atenção, se as setas
mudarem de sentido, já era, não é paralelo.
Então, podemos fazer um paralelo de duas formas:
1
1
𝐺 + 𝐻
𝐺
1 + 𝐻𝐺
Onde G são os blocos que estão no caminho reto e H são os blocos que estão fora do
caminho, estão nas ramificações.
Então, nossa função de transferência global fica:
𝐺
1 + 𝐻𝐺
=
𝐾 𝑠 + 1
𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 6
1 +
1
𝑠 + 1
𝐾 𝑠 + 1
𝑠 𝑠2 + 2𝑠 + 6
=
𝐾 𝑠 + 1
𝑠3 + 2𝑠2 + 6𝑠 + 𝐾
Simples assim.
Olha como o sistema mecânico é lindo, só que é
um saco desenhar tudo isso. São 3 massas,
logo, temos 3 equações, não é nenhum bicho
de sete cabeças por favor, né.
M1 M2
M3
𝑏1𝑠
𝑘3
𝑏1𝑠
𝑘2
𝐵2s
𝑏1𝑠
Como aqui ninguém é Mãe Dináh, vamos supor
que o atrito em baixo das massas M1 e M2 são
iguais aos atritos que ele causam na massa M3.
𝑀1𝑠
2
Continuando:
M2 M1
M3
𝑏3𝑠
𝑘3
𝑏3𝑠
𝑘3
𝑏3𝑠
𝐹 𝑠
M3
M2M1
𝑏3𝑠𝑏1𝑠
𝑏3𝑠
𝑘1
𝑏1𝑠
𝑀3𝑠
2
𝑀2𝑠
2
Quando resolvo essas questões e
desenho o bloco que contem a
força aplicada, dá vontade de falar:
“eu tenho a força!”.
Nossas lindas equações ficam assim:
൞
𝑥1 𝑠 𝑀1𝑠
2 + 2𝑏1 + 𝐵2 𝑠 + 𝑘2 − 𝑥2 𝑠 𝑘3 − 𝑥3 𝑠 𝑏1𝑠 = 0
−𝑥1 𝑠 𝑘3 + 𝑥2 𝑠 𝑀2𝑠
2 + 2𝑏3𝑠 + 𝑘3 − 𝑥3 𝑠 𝑏3𝑠 = 𝐹 𝑠
−𝑥1 𝑠 𝑏1𝑠 − 𝑥2 𝑠 𝑏3𝑠 + 𝑥3 𝑠 𝑀3𝑠
2 + 𝑏1 + 𝑏3 𝑠 + 𝑘1 = 0
Apesar desse método parecer fácil, tome muito cuidado, o sistema
mecânico é manso mas é traiçoeiro um segundo de distração é o
suficiente para você errar uma força e a questão inteira.
Veja essa belezura, isso vai dar uma dor de cabeça meu amigo, tá
vendo que se formos fazer regra de Cramer o resultado será
determinantes de ordem 3? Então meu amigo, isso vai tomar muito
seu tempo, meu conselho é: espaços de estado.
Vamos mudar a análise nodal para espaços de estados, como? Com
dois passos:
1. Isolar o capacitor multiplicado por 𝑥 𝑠 ;
2. Mude a notação de 𝑥 𝑠 𝐶𝑠 para ሶ𝑥𝐶, ou seja, retire todos os “s”.
Logo:
−𝑥1 2𝑏1 + 𝐵2 + 𝑘2 + 𝑥2𝑘3 − 𝑥3𝑏1 = ሶ𝑥1𝑀1
𝑥1𝑘3 − 𝑥2 2𝑏3 + 𝑘3 + 𝑥3𝑏3 + 𝐹 = ሶ𝑥2𝑀2
𝑥1𝑏1𝑠 + 𝑥2𝑏3 − 𝑥3 𝑏1 + 𝑏3 + 𝑘1 = ሶ𝑥3𝑀3
Isolando x:
−𝑥1 2𝑏1 + 𝐵2 + 𝑘2 /𝑀1 + 𝑥2𝑘3/𝑀1 − 𝑥3𝑏1/𝑀1 = ሶ𝑥1
𝑥1𝑘3/𝑀2 − 𝑥2 2𝑏3 + 𝑘3 /𝑀2 + 𝑥3𝑏3/𝑀2 + 𝐹/𝑀2 = ሶ𝑥2
𝑥1𝑏1/𝑀3 + 𝑥2𝑏3/𝑀3 − 𝑥3 𝑏1 + 𝑏3 + 𝑘1 /𝑀3 = ሶ𝑥3
As matrizes são formadas assim:
𝐴 =
−𝑥1 𝑥2 𝑥3
𝑥1 −𝑥2 𝑥3
𝑥1 𝑥2 −𝑥3
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚 𝑥
𝐵 =
0
𝐾
0
𝐹 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚 𝑎 𝑓𝑜𝑛𝑡𝑒
𝐶 = 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑢𝑚 𝑑𝑒𝑣𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 1 𝑒 𝑜𝑠 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 0
Na matriz C você irá escolher qual é a variável que você irá querer
modelar, neste caso vamos escolher 𝑥2.
Antes de criar as matrizes, vamos substituir os números dados no
enunciado para enxugar essas equações:
−𝑥1
10
4
+ 𝑥2 − 𝑥3
1
2
= ሶ𝑥1
𝑥1
4
5
− 𝑥22 + 𝑥3
3
5
+ 𝐹
1
5
= ሶ𝑥2
𝑥1
2
5
+ 𝑥2
3
5
− 𝑥32 = ሶ𝑥3
Mas que coisa maravilhosa.
As nossas matrizes ficam:
𝐴 =
10/4 1 1/2
4/5 2 3/5
2/5 3/5 2
𝐵 =
0
1/5
0
𝐶 = 0 1 0 𝑥
Nossa mas como ficou bonito. Ei, isso aí não é difícil! O problema é
você querer ir para a prova sem treinar, aí você já quer demais, né?
Você sabe que existe duas formas de resolver isso, em casa ou no
celular você pode usar o MatLab® mas na hora da prova é a HP®50g
mesmo. Vou mostrar dos dois jeitos.
Pelo MatLab® use a seguinte função:
[𝑛𝑢𝑚, 𝑑𝑒𝑛] = 𝑠𝑠2𝑡𝑓(𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 1)
Nós não usamos a matriz D, então ela é zero. Então nosso resultado
é:
0𝑠3 + 0,2𝑠2 − 0,9𝑠 + 0,96
𝑠3 − 6,5𝑠2 + 12,64𝑠 − 7,58
Numerador
Denominador
Nossa função de transferência é:
𝑥2 𝑠
𝐹 𝑠
=
0,2𝑠2 − 0,9𝑠 + 0,96
𝑠3 − 6,5𝑠2 + 12,64𝑠 − 7,58
Pensou se fosse tão rápido assim na HP®50g? Mas querendo ou
não ela já corre meio mundo por você.
Vamos agora encontrar essa mesma resposta na calculadora
usando a seguinte equação:
𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1𝐵
𝑠𝐼 − 𝐴 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1
𝑥2 𝑠
𝐹 𝑠
=
50𝑠2 − 225𝑠 + 240
50𝑠3 − 325𝑠2 + 632𝑠 − 379 5
𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1𝐵
Se você está voando aí, deixa eu te explicar, mas eu já expliquei tudo
isso antes viu:
1. Faça a matriz na sua calculadora usando MTRW;
2. Faça a matriz 𝑠𝐼 usando a variável x;
3. Subtraia-os, no resultado x deve estar positivo e os valores de A
negativos, para confirmar que você acertou;
4. Faça matriz inversa usando 1/x acima do número 9;
5. Multiplique com C, se você errar a posição da multiplicação a
calculadora irá dar erro de dimensão;
6. Pegue a matriz B e a transforme numa matriz de ordem 3
completando com zeros, para que a calculadora não der erro. O
valor que estiver dentro da matriz deverá ficar na posição
referente ao 𝑥 que estamos analisando, por exemplo, se fosse 𝑥1
então 1/5 ficaria na posição 𝑎11, mas como é 𝑥2 então será 𝑎22 e
se fosse 𝑥3 seria 𝑎33.
7. Multiplique a matriz B, se você errar a ordem da multiplicação a
calculadora irá dar erro de dimensão, então não tem desculpa
para errar isso.
Nada de assustador, vamos acabar
logo com isso.
A equação fica:
ቐ
𝑥1 𝑠 𝑀1𝑠
2 + 𝑏1 + 𝑏2 + 𝐵3 𝑠 + 𝑘 − 𝑥2 𝑠 𝑏1 + 𝑏2 + 𝐵3 𝑠 + 𝑘 = 𝐹 𝑠
−𝑥1 𝑠 𝑏1 + 𝑏2 + 𝐵3 𝑠 + 𝑘 + 𝑥2 𝑠 𝑀2𝑠
2 + 𝑏4 + 𝐵3 𝑠 + 𝑘 = 0
Substituindo os valores:
൝
𝑥1 𝑠 𝑠
2 + 3𝑠 + 1 − 𝑥2 𝑠 3𝑠 + 1 = 𝐹 𝑠
−𝑥1 𝑠 3𝑠 + 1 + 𝑥2 𝑠 𝑠
2 + 2𝑠 + 1 = 0
Utilizando a regra de Cramer para 𝑥2 𝑠 :
𝑥2 𝑠 =
𝐷𝑦
𝐷
=
𝑠2 + 3𝑠 + 1 𝐹 𝑠
− 3𝑠 + 1 0
𝑠2 + 3𝑠 + 1 − 3𝑠 + 1
− 3𝑠 + 1 𝑠2 + 2𝑠 + 1
𝑥2 𝑠 =
3𝑠 + 1 𝐹 𝑠
1𝑠2 + 3𝑠 + 1 1𝑠2 + 2𝑠 + 1 − 3𝑠 + 1 2
Simplificando através da HP®50g:
𝐺 𝑠 =
𝑠 + 1
𝑠4 + 5𝑠3 + 7𝑠2 + 3𝑠
=
3𝑠 + 1
𝑠 𝑠3 + 5𝑠2 − 𝑠 + 1
Daqui eu estou vendo um paralelo cujo resultado vai multiplicar
pelos outros dois e depois fazer mais um paralelo com o número 1.
Pronto acabou a questão.
Tá eu não iria fazer uma sacanagem dessas com você. Se você
não entendeu eu vou desenhar para vocês.
Esse cara que eu pintei de azul é um paralelo, um paralelo sempre apresentará essas
características. Depois de calcularmos o paralelo essa junção irá desaparecer, então
poderemos multiplicar todos os três blocos que estão na linha. Por fim, o último bloco
que restar irá ficar em paralelo com uma linha vazia, mesmo que tenha nada nela
significa que ela tem valor 1, ou seja, haverá um paralelo do bloco final com o número 1.
Paralelo:
𝐺
1 + 𝐻𝐺
=
𝑠2
𝑠 𝑠 + 6
9/𝑠2
=
𝑠3
9𝑠 +54
Produto dos três blocos em linha reta:
𝑠3
9𝑠 + 54
𝑠 + 1
𝑠3 𝑠 + 2
𝑠2 + 𝑠 + 1
𝑠 𝑠 + 2
=
𝑠3 + 2𝑠2 + 2𝑠 + 1
9𝑠2 + 72𝑠 + 108 𝑠 𝑠 + 2
Isso tá ficando feio.
No final, restará somente isso:
Então fazemos o último paralelo para encontrar a resposta final:
𝐺
1 + 𝐻𝐺
=
𝑠3 + 2𝑠2 + 2𝑠 + 1
9𝑠2 + 72𝑠 + 108 𝑠 𝑠 + 2
1 +
𝑠3 + 2𝑠2 + 2𝑠 + 1
9𝑠2 + 72𝑠 + 108 𝑠 𝑠 + 2
Por fim:
𝐺 𝑠 =
𝑠3 + 2𝑠2 + 2𝑠 + 1
9𝑠2 + 72𝑠 + 108 𝑠 𝑠 + 2 + 𝑠3 + 2𝑠2 + 2𝑠 + 1
Olha, desnecessário uma resposta tão grande quanto essa e
acredite, existem piores.
Isso aí é muito fácil, acho que
você já deve ter encontrado a
resposta logo de cara desse
negócio, né?
Nós temos as seguintes
características:
1. As junções podem se tornar uma só;
2. Os três blocos ligados as junções podem se somar e formar um só;
3. Os blocos 𝐺2 e 𝐺3 vão se multiplicar.
Só nessa conversa, já fizemos isso:
Advinha? Paralelo de novo e depois de fazer o paralelo basta multiplicar
com o bloco 𝐺1 e acabou.
Agora a dificuldade aumentou um pouquinho, né? Agora tô com medo.
Que nada, você verá que isso é muito mais simples do que parece.
1
• Há um paralelo em 1;
• Em 2, o sinal depois da soma deve apresentar −𝐻1𝐺1 −𝐻2, então se você colocar 𝐺1
depois da junção de soma o sinal vai ficar −𝐻1 − 𝐻2 G1, para você retornar ao sinal
anterior faça o𝐻2 virá𝐻2/𝐺1 e pronto, o sinal retornará ao que era antes.
• Em 3, você pode trazer 𝐺2 para antes do ponto de ramificação, colocando um bloco no
ramo acima com 1/𝐺2. Depois disso, haverá um ramo vazio e outro com 1/𝐺2, como os
dois estão ligado na mesma junção você poderá soma-los e formar um bloco só.
2
3
• Os blocos irão se multiplicar em 1;
• Os blocos irão se somar em 2;
• O resultado de 2 irá formar um paralelo com 3;
• O resultado de 3 irá multiplicar com o resultado de 1.
1
2
3
Chegamos na fase 15 do nosso jogo e
nos deparamos com o chefão. É
realmente essa coisa é muito feia e as
minhas costas estão doendo, estou
suado e com stress acumulado só de
resolver essas questões.
Mas vamos acabar logo com isso que a
vitória é grande.
1. Traga a ligação do ramo de 𝐺5 para depois de 𝐺7. 
Então, o bloco 𝐺5 ficará 𝐺5/𝐺7.
2. Os blocos 𝐺3 e 𝐺4 estão ligado na mesma 
junção, então eles podem se somar.
1. Podemos trazer o bloco 𝐺3 + 𝐺4 para depois da junção. Nós
o multiplicamos com o bloco 𝐺7, porém na linha onde está
𝐺6 somente 𝐺7 deve passar como sinal, logo fazemos o
bloco 𝐺6 virá 𝐺6/(𝐺3 + 𝐺4).
1. Há um paralelo entre o bloco 𝐺7 𝐺3 + 𝐺4 e a coisa que está
em cima dele.
2. O sinal que deve chegar em 𝐺2 é 𝐺1 +
𝐺8 , se mudarmos a conexão do seu
ramo para depois do resultado do
paralelo explicado em 1 teremos o
seguinte: 𝐺1 + 𝐺2 𝐾 , onde 𝐾 é o
resultado do paralelo. Para retirar esse
𝐾 basta mudar o bloco 𝐺2 para 𝐺2/𝐾.
1. O sinal depois da junção de soma na linha reta deve ser 𝐺8 + 𝐺1𝐻, onde
“H” é o que vem das outras ramificações, e quando chegar no bloco
seguinte vai ficar 𝐺8 + 𝐺1𝐻 𝐾 = 𝐾𝐺8 + 𝐾𝐻𝐺1 . Como 𝐾 multiplica 𝐺1
então podemos trazer o bloco para depois da junção, mas o sinal
modificará para 𝐺8 +𝐻 𝐺1𝐾, então para isso não ocorrer fazemos 𝐺8
virar 𝐺8/𝐺1 para que aconteça isso:
𝐺8
𝐺1
+𝐻 𝐺1𝐾 = 𝐾𝐺8 + 𝐾𝐻𝐺1.
Podemos fazer a soma de todos os ramos fora a linha reta:
𝐻 𝑠 = −
𝐺5
𝐺7
−
𝐺2 1 + 𝐺6𝐺7
𝐺7 𝐺3 + 𝐺4
+
𝐺8
𝐺1
Então a função de transferência dessa coisa fica:
𝐺 𝑠 =
𝐺
1 + 𝐻𝐺
𝑮 𝒔 =
𝑮𝟕𝑮𝟏 𝑮𝟒+ 𝑮𝟑
𝑮𝟕𝑮𝟔+ 𝟏 𝑮𝟐𝑮𝟏+ 𝑮𝟒 + 𝑮𝟑 𝑮𝟓𝑮𝟏− 𝑮𝟖𝑮𝟕 + 𝑮𝟕𝑮𝟔+ 𝟏
Coloquei até em negrito por que isso aí é um troféu meu
amigo.
Essas questões que eu resolvi por diagramas também poderia ser
resolvidas tranquilamente pela regra de Mason, transformando os
diagramas de blocos em diagramas de fluxo de sinal. Mas isso fica
como tarefa para você treinar, porque eu já lhe ensinei da melhor
maneira possível como é que se faz e eu já mostrei as respostas das
questões dessa lista, então não tem como você ter dúvidas ou errar.
Se ainda assim persistir dúvidas, ninguém melhor do que um amigo,
um monitor ou o professor para lhe ajudar, eu me esforcei para lhe
ensinar da melhor forma possível.
Referências
(1) Ogata, Katsuhiko. Engenharia de Controle Moderno – 3ª ed. – tradução: Prof.
Bernardo Severo. Rio de Janeiro: 2000, LTC.
(2)Nise, Norman S. Engenharia de sistemas de controle – 6 ed. – tradução e
revisão técnica Jackson Paul Matsuura. - 6. ed. - [Reimpr.]. - Rio de Janeiro:
LTC, 2013.